6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理表格式教案二-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

教学设计 课程基本信息 学科 高中数学 年级 高二 学期 春季 课题 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（例7-例8） 教科书 书 名：选择性必修第三册教材 出版社：人民教育出版社 .4月 教学目标 1．能运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决简单的实际问题． 2．理解“分类”和“分步”的含义，能根据问题特征正确选择分类或者分步. 3．通过分类加法计数原理和分步乘法计数原理概念的学习，培养数学建模等核心素养． 4．借助求分类加法计数原理和分步乘法计数原理，提升数学运算等核心素养. 教学内容 教学重点：应用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决实际问题。 教学难点：根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”。 教学过程 新授课： 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．图6.1-4是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径? 另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数．你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗? 分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束．而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成．因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理． 解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为 ； 子模块4、子模块5中的子路径条数共为． 又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为． 在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块．这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常．总共需要的测试次数为． 再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为． 如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常．这样，测试整个模块的次数就变为． 显然，178与7371的差距是非常大的．你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？ 例题小结：应用两个计数原理计数的四个步骤： (1)明确完成的这件事是什么； (2)思考如何完成这件事； (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类； (4)选择计数原理进行计算. 例8通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图6.1-5所示． 其中，序号的编码规则为： （1）由10个阿拉伯数字和除，之外的24个英文字母组成； （2）最多只能有2个英文字母． 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌? 分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数．按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母．以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号分为五个子类，将有2个字母的序号分为十个子类． 解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数．根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母． （1）当没有字母时，序号的每一位都是数字．确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为 ． （2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类． 当第1位是字母时，分5个步骤确定个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为． 同样，其余四个子类号牌也各有240000张．根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为． （3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位． 当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1，2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从．10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为 ． 同样，其余九个子类号牌也各有576000张．于是，这类号牌张数一共为 ． 综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为． 例题小结：解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法. (2)当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法: ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理. 一般地，若抽取是有顺序的,则按分步进行; 若是按对象特征抽取的,则按分类进行. ②间接法. 去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 课堂归纳 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点： （1） 要完成的“一件事”是什么； （2） 需要分类还是需要分步. 分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数. 分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数. 【师生活动】教师引导学生自己进行总结.一般来说，解决计数问题时，可以“先分类，再对每一类分步计算”，分类或分步时都要注意按照统一标准进行. 思考：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有这种类似的关系吗？ 教师让学生通过教材第6页的例4思考这一问题. 一方面，先分为“甲在左”“乙在左”“丙在左”三类，然后再计算每一类中的挂法，即“甲乙、甲丙”“乙甲、乙丙”“丙甲、丙乙”，不同挂法种数为2+2+2=6.另一方面，由于每一类的挂法都是2种，因此可以简化为“分步”：第1步，选左边的画（选法3种）；第2步，选右边的画（选法2种），不同挂法的种数为3×2=6. 实际上，分步乘法计数原理也可以看成是特定条件下的分类加法计数原理的简化. 【设计意图】目的是让学生用联系的观点，类比（正整）数的加法与乘法的关系，进一步认识两个计数原理之间的关系. 归纳总结,反思提升 1.回顾本节课学到哪些知识？ (1)两个计数原理的区别与联系． (2)两个计数原理的应用：组数问题、占位模型中标准的选择、涂色问题及种植问题． (3)用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点: A要完成的“一件事”是什么﹔B需要分类还是需要分步. 分类要做到“不重不漏”.分步要做到“步骤完整” 2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 方法归纳：分类讨论、正难则反． 3.常见误区： 分类标准不明确，会出现重复或遗漏问题． 【师生活动】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。教师引导学生自己进行总结.一般来说，解决计数问题时，可以“先分类，再对每一类分步计算”，分类或分步时都要注意按照统一标准进行. 布置作业：配套作业 . 学科网（北京）股份有限公司 $