10.5用二元一次方程组解决问题（提升练习） 2025--2026学年苏科版七年级数学下册

苏科版数学2025-2026学年七年级下册 10.5用二元一次方程组解决问题 （提升练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.《九章算术》中有问题大意如下：现多人共同买东西，若每人出8元，则盈余3元；若每人出7元，则不足4元，问人数，物价各是多少？设共有x人，物价y元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2.小明去商店买文具，已知铅笔每支元，笔记本每本元，小明买了支铅笔和本笔记本，一共花了元，且笔记本的数量比铅笔数量的倍少本，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3.放假时一批中学生参加夏令营，途经某旅店住宿．如果每间客房安排住7人，就会有3人没地方住；如果每间客房安排住8人，就会出现一间房还有5个人没住满．设中学生的人数为x人，旅店的客房数为y间，则列方程组为（ ） A． B． C． D． 4.如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 5.甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（    ） A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380 6.学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 7.甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对题，就可提个问题，乙答对题就可提个问题，丙答对题就可提个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 或 ，， 8.已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.已知在一场篮球比赛中，小明两分球和三分球一共投进了个，两项共得分若设他分别投中了个两分球和个三分球，可得二元一次方程组 ． 10.《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x，y的二元一次方程组是 ． 11.科学研究表明：树叶经过光合作用产生的分泌物可以吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知1片梧桐树叶一年的平均滞尘量比1片杨树叶一年的平均滞尘量的1.5倍多2毫克，4片梧桐树叶与5片杨树叶一年的平均滞尘量共为208毫克．设1片梧桐树叶一年的平均滞尘量为毫克，1片杨树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组为 ． 12.小明在匀速行驶的汽车里，某一个时刻看到公路里程碑上的数是一个两位数；30分钟后，里程碑上的数字与第一次看到的两位数正好互换了两个数字的位置；再过20分钟，里程碑上的数是在第一次看到的两位数的两个数字中间添加了一个“0”．则第一次看到的里程碑上的数字为 　　． 13.如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为和，如图所示，则图中阴影部分的总面积为 ． 14.街道为环卫工人发放口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，则一共有________名环卫工人． 15.今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币：丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙换币机上换了 次． 16.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c对应密文a＋1，－a＋2b＋4，b＋3c＋9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为　　． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.新情境  高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？ 18.七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 19.某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． (1)请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ (2)若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 20.伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______； (2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程． 21.某生态柑橘园现有柑橘24吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．其中型车租金是1000元／辆，型车租金是700元／辆，已知满载时：1辆型车和1辆型车一次可运5吨柑橘；4辆型车和3辆型车一次可运18吨柑橘． (1)满载时这两种类型的货车一次可以分别运多少吨柑橘？ (2)若计划A、B两种型号的货车都租用（每种至少一辆）一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，怎样租车才能最省钱？ 22.如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． (1)①甲同学用空杯先接了温水，温水的体积是 ；再接了开水，若混合后的水温为，则温水温度升高了 （用含有t的式子表示）． ②根据题目条件求出温水和开水混合后的温度t． (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 23.综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形．   素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料． ②制作纸盒后没有剩余材料． （1）问题解决：为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题一：初探材料用量，请完善下表： 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 n个竖式无盖纸盒 n 问题二：再探关系，请完善下表： 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 300 问题三：写出m，n之间满足的关系式： ； （2）方案选择：用这300张纸板制作两种纸盒，并且材料没有剩余，得到的横式无盖纸盒的数量能否为竖式无盖纸盒数量的二倍，请你做出判断，写出详细的解答过程． 24.今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元 (1)求11月份两种取暖器各购进多少台？ (2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ (3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.《九章算术》中有问题大意如下：现多人共同买东西，若每人出8元，则盈余3元；若每人出7元，则不足4元，问人数，物价各是多少？设共有x人，物价y元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.小明去商店买文具，已知铅笔每支元，笔记本每本元，小明买了支铅笔和本笔记本，一共花了元，且笔记本的数量比铅笔数量的倍少本，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.放假时一批中学生参加夏令营，途经某旅店住宿．如果每间客房安排住7人，就会有3人没地方住；如果每间客房安排住8人，就会出现一间房还有5个人没住满．设中学生的人数为x人，旅店的客房数为y间，则列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 4.如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 5.甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（    ） A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380 【答案】A 6.学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 7.甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对题，就可提个问题，乙答对题就可提个问题，丙答对题就可提个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 或 ，， 【答案】D 8.已知青铜含有的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金，今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有的铜，的锌和的锡，则黄铜含有铜和锌的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.已知在一场篮球比赛中，小明两分球和三分球一共投进了个，两项共得分若设他分别投中了个两分球和个三分球，可得二元一次方程组 ． 【答案】 10.《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x，y的二元一次方程组是 ． 【答案】 11.科学研究表明：树叶经过光合作用产生的分泌物可以吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知1片梧桐树叶一年的平均滞尘量比1片杨树叶一年的平均滞尘量的1.5倍多2毫克，4片梧桐树叶与5片杨树叶一年的平均滞尘量共为208毫克．设1片梧桐树叶一年的平均滞尘量为毫克，1片杨树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组为 ． 【答案】 12.小明在匀速行驶的汽车里，某一个时刻看到公路里程碑上的数是一个两位数；30分钟后，里程碑上的数字与第一次看到的两位数正好互换了两个数字的位置；再过20分钟，里程碑上的数是在第一次看到的两位数的两个数字中间添加了一个“0”．则第一次看到的里程碑上的数字为 　　． 【答案】17 13.如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为和，如图所示，则图中阴影部分的总面积为 ． 【答案】82 14.街道为环卫工人发放口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，则一共有________名环卫工人． 【答案】8 15.今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币：丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙换币机上换了 次． 【答案】8 16.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c对应密文a＋1，－a＋2b＋4，b＋3c＋9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为　　． 【答案】6，7，2 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.新情境  高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？ 【答案】设每节车头的长度为米，每节车厢的长度为米， 根据题意，得， 解得， 答：该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米． 18.七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 【答案】解：设有 x 间宿舍， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：有 144 名住宿新生，19 间宿舍． 19.某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． (1)请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ (2)若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 【答案】（1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，由题意得： ， 解得：， 答：出租车的起步价是5元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元； （2）设他这次乘车走了m千米 根据题意得， 解得 答：他这次乘车走了31千米． 20.伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______； (2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程． 【答案】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：由题意可得：， 解得， 答：甲、乙两个工程队分别整治河道75米、150米． 21.某生态柑橘园现有柑橘24吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．其中型车租金是1000元／辆，型车租金是700元／辆，已知满载时：1辆型车和1辆型车一次可运5吨柑橘；4辆型车和3辆型车一次可运18吨柑橘． (1)满载时这两种类型的货车一次可以分别运多少吨柑橘？ (2)若计划A、B两种型号的货车都租用（每种至少一辆）一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，怎样租车才能最省钱？ 【答案】（1）解：设每辆型车满载时一次可运柑橘吨，每辆型车满载时一次可运柑橘吨，由题意可得： ， 解得：， 答：每辆型车满载时一次可运柑橘3吨，每辆型车满载时一次可运柑橘2吨． （2）解：设租用型车辆，型车辆，由题意可得： ， ∴ 均为正整数， ， 当时，总费用：（元）； 当时，总费用：（元）； 当时，总费用：（元）； ∴最省钱方案是租用6辆型车，3辆型车，花费8100元． 22.如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． (1)①甲同学用空杯先接了温水，温水的体积是 ；再接了开水，若混合后的水温为，则温水温度升高了 （用含有t的式子表示）． ②根据题目条件求出温水和开水混合后的温度t． (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 【答案】（1）解：① ， ②由题意得， 解得： 此时杯子里水的温度为 （2）解：设乙同学接温水的时间为，接开水的时间为． 解得： 答：乙同学接温水的时间为，接开水的时间为 23.综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形．   素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料． ②制作纸盒后没有剩余材料． （1）问题解决：为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题一：初探材料用量，请完善下表： 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 n个竖式无盖纸盒 n 问题二：再探关系，请完善下表： 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 300 问题三：写出m，n之间满足的关系式： ； （2）方案选择：用这300张纸板制作两种纸盒，并且材料没有剩余，得到的横式无盖纸盒的数量能否为竖式无盖纸盒数量的二倍，请你做出判断，写出详细的解答过程． 【答案】（1）问题一：初探材料用量，请完善下表： 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 n个竖式无盖纸盒 n 问题二：再探关系，请完善下表： 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 300 问题三：； （2）解：不能 假设能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍， 则可得方程组：， 解得， 为纸盒的数量， 为正整数， ∴不符合题意， ∴假设错误． 答：不能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍 24.今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元 (1)求11月份两种取暖器各购进多少台？ (2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ (3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 【答案】（1）解：设长虹取暖器购进x台，则格力取暖器购进y台． 由题意得：， 解得： 答：长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台． （2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元， 由题意得： 解得：， 答：长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多元． （3）当购买甲厂家台，共支付． 设在甲厂家购买了z台，则． 解得：． 若在乙厂家支付的元的原价小于元， 则可节约元． 若在乙厂家支付的元的原价大于元， 则可节约元． 答：商场可节约元或元． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $