10.5用二元一次方程组解决问题（巩固练习）2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版数学七年级下册 10.5用二元一次方程组解决问题 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【例2】北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【例3】某工厂去年的总利润（总收入﹣总支出）为200万元．今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为400万元．设去年的总收入为x万元、总支出为y万元，根据题意可列方程组 　 　． 【例4】小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有 个． 【例5】从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【例6】小林在某商店购买商品、共三次．只有一次购买时，商品、同时打折；其余两次均按标价购买．三次购买商品、的数量和费用如下表： 购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 7 8 1113 （1）小林以折扣价购买商品、是第______次购物； （2）若商品、的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【举一反三】 【变式1】“践行垃圾分类•助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【变式2】轮船顺流航行时的速度为m千米/小时，逆流航行时的速度为（m﹣12）千米/小时，则水流速度为（　　） A．3千米/小时 B．4千米/小时 C．6千米/小时 D．无法确定 【变式3】我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组 ． 【变式4】足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一足球队共赛了15场，共得33分，则该队得胜、负、平场数情况共有 种不同的可能性． 【变式5】6.18期间某网店销量大增，共售出商品520件，安排甲、乙两个工人打包发货，若甲先做2小时，然后两人再共做3小时，则还有10件没有打包；若两人合作4小时，恰好打包完．问甲、乙两个工人每小时各打包多少件商品？ 【变式6】扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元． (1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案． 【巩固练习】 1.我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”若设绳尺，竿尺，请你列出符合题意的二元一次方程组应该是（   ） A． B． C． D． 2.一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 3.港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大跨海通道，部分主体工程由桥梁和隧道构成，其中，隧道长度比桥隧总长（桥梁与隧道的长度之和）的少0.7千米，桥梁长度比桥隧总长的一半多8.1千米，求主体工程中的桥梁长度和隧道长度．设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 4.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”通过计算可得每匹马的价格为（   ） A．4两 B．5两 C．6两 D．7两 5.甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（    ）元 A．237 B．350 C．425 D．901 6.两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为 ． 7.小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 元． 8.在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 9.一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 10.如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中AE＝CG，AH＝CF，DF＝BH，DE＝BG．若⑤为正方形，则②的周长为　　 ；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为　　 ． 11.一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 12.甲、乙、丙三杯奶茶中含有牛奶的比例各不相同，若从甲、乙、丙三个杯子中各取出重量相等的奶茶，将它们混合后就成为含牛奶的奶茶；若从甲、乙两个杯子中按重量之比为来取，混合后就成为含牛奶的奶茶；若从乙、丙中按重量之比为来取，混合后就成为含牛奶的奶茶．求甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比． 13.为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． （1）甲、乙工程队每天各施工多少米？ （2）若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 14.某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要6.2秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要16.4秒． （1）求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ （2）已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 15.【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．如已知实数、满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出、的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下： ①－②，得：；①＋②×2，得：． 比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”． 【问题解决】 （1）已知二元一次方程组，则__________；__________． （2）某班级因组织活动购买奖品．买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需__________元． （3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，那么的值是__________． 答案解析 【典型例题】 【例1】《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【例2】北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【例3】某工厂去年的总利润（总收入﹣总支出）为200万元．今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为400万元．设去年的总收入为x万元、总支出为y万元，根据题意可列方程组 　 　． 【答案】 【例4】小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有 个． 【答案】 【例5】从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【答案】设平路的长为，山路的长为． 由题意，得， 解得， 答：平路的长为，山路的长为． 【例6】小林在某商店购买商品、共三次．只有一次购买时，商品、同时打折；其余两次均按标价购买．三次购买商品、的数量和费用如下表： 购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元） 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 7 8 1113 （1）小林以折扣价购买商品、是第______次购物； （2）若商品、的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】（1）根据表格中，第三购买A，B商品的数量都比前两次多，购买总费用反而少，则小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物． 故答案为：三； （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元， 根据题意，得， 解得：． 故商品A的标价为90元，商品B的标价为120元； 设商店是打a折出售这两种商品， 由题意得，（7×90＋8×120）×＝1113， 解得：a＝7． 答：商店是打7折出售这两种商品的． 【举一反三】 【变式1】“践行垃圾分类•助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【变式2】轮船顺流航行时的速度为m千米/小时，逆流航行时的速度为（m﹣12）千米/小时，则水流速度为（　　） A．3千米/小时 B．4千米/小时 C．6千米/小时 D．无法确定 【答案】C 【变式3】我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组 ． 【答案】 【变式4】足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一足球队共赛了15场，共得33分，则该队得胜、负、平场数情况共有 种不同的可能性． 【答案】3 【变式5】6.18期间某网店销量大增，共售出商品520件，安排甲、乙两个工人打包发货，若甲先做2小时，然后两人再共做3小时，则还有10件没有打包；若两人合作4小时，恰好打包完．问甲、乙两个工人每小时各打包多少件商品？ 【答案】设甲每小时打包件、乙每小时打包件， 依题意，得， 解这个方程组，得， 经检验，符合题意， 答：甲每小时打包60件、乙每小时打包70件． 【变式6】扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元． (1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案． 【答案】（1）解：设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，由题意，得： ，解得：， 答：“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元； （2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，由题意，得：且； ∴， ∴或或， 故共有3种购买方案： 方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只； 方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只； 方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只． 【巩固练习】 1.我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”若设绳尺，竿尺，请你列出符合题意的二元一次方程组应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2.一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 3.港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大跨海通道，部分主体工程由桥梁和隧道构成，其中，隧道长度比桥隧总长（桥梁与隧道的长度之和）的少0.7千米，桥梁长度比桥隧总长的一半多8.1千米，求主体工程中的桥梁长度和隧道长度．设主体工程中的桥梁长度为x千米，隧道长度为y千米，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”通过计算可得每匹马的价格为（   ） A．4两 B．5两 C．6两 D．7两 【答案】C 5.甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（    ）元 A．237 B．350 C．425 D．901 【答案】A 6.两地相距440千米，一辆小汽车和一辆客车同时从两地相向开出，经过3小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，可列二元一次方程组为 ． 【答案】 7.小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 元． 【答案】600 8.在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 9.一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 【答案】287 10.如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中AE＝CG，AH＝CF，DF＝BH，DE＝BG．若⑤为正方形，则②的周长为　　 ；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为　　 ． 【答案】8、1.4 11.一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 【答案】设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y， 根据题意得，， 解得，， 如果单独让男工加工或单独让女工加工， 需要女工（人）， 需要男工（人）， 女工比男工多（人）． 故女工比男工要多18人． 12.甲、乙、丙三杯奶茶中含有牛奶的比例各不相同，若从甲、乙、丙三个杯子中各取出重量相等的奶茶，将它们混合后就成为含牛奶的奶茶；若从甲、乙两个杯子中按重量之比为来取，混合后就成为含牛奶的奶茶；若从乙、丙中按重量之比为来取，混合后就成为含牛奶的奶茶．求甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比． 【答案】设甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分数分别为、、第一次混合从甲、乙、丙三个容器中各取出克牛奶，则有， 从甲和乙中按重量之比为来取牛奶时，设从甲中取牛奶克，从乙中取牛奶克，则有， 从乙和丙中按重量之比为来取牛奶时，设从乙中取牛奶克，从丙中取牛奶克，则有， 将上面三式消去辅助未知数得：， 解得， 答：甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分数分别为、、． 13.为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． （1）甲、乙工程队每天各施工多少米？ （2）若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 【答案】（1）解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据题意，得， 解得． 答：甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天， 则， 解得， （元）． 答：需支付的总费用为60000元． 14.某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要6.2秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要16.4秒． （1）求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ （2）已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】解：（1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． 根据题意列二元一次方程组得，， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要0.8秒． （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． 根据题意列二元一次方程得，75m+65n＝3000， ， ∵m，n均为正整数， ∴或或， ①27×1+15×0.8＝27+12＝39秒， ②14×1+30×0.8＝14+24＝38秒， ③1×1+45×0.8＝1+36＝37秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 15.【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．如已知实数、满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出、的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下： ①－②，得：；①＋②×2，得：． 比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”． 【问题解决】 （1）已知二元一次方程组，则__________；__________． （2）某班级因组织活动购买奖品．买13支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需48元；买25支铅笔、7块橡皮、3本笔记本共需84元．则购买5只铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需__________元． （3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，那么的值是__________． 【答案】（1）∵， 由①②，得； 由①+②，得， ∴； 故答案为：2；； （2）设买1支铅笔为a元，买1块橡皮为b元，买1本笔记本为c元，由题意得： ， ①×2②得：a+b+c=12， ∴5a+5b+5c=60， 故答案为：60； （3）， 由得：， ∴． 故答案为：． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $