第19讲 工程问题-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第19讲 工程问题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、工程问题解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 3 📌 考点一：核心概念与单人工程基础计算 3 📌 考点二：单人工程进阶（分阶段与效率变化） 5 📌 考点三：两人基础合作工程问题 6 📌 考点四：两人合作进阶（分阶段与先后完成） 8 ⚠️ 易错避坑指南 10 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 12 一、基础夯实篇(8题) 12 二、能力进阶篇(7题) 13 三、思维跃迁篇(5题) 15 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 16 一、基础夯实篇(8题) 16 二、能力进阶篇(7题) 18 三、思维跃迁篇(5题) 20 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 工程问题是小学奥数分数应用题模块的核心考点，也是小升初高频题型，核心逻辑是将抽象的工作总量转化为单位“1”，通过工作效率的加减运算，解决单人、合作场景下的工作时间与工作量问题，需精准掌握以下三大核心要素与规范公式： 三大核心基础概念 1　 工作总量：需要完成的工作的总数量，小学工程问题中，通常将完整的工作总量赋值为单位“1”（也可赋值为工作时间的最小公倍数简化整数计算），是整个题型的解题基础。 2　 工作效率：单位时间内完成的工作量，是工程问题的核心解题锚点，反映工作的快慢，单位与时间单位匹配（如“1/天”“1/小时”）。 3　 工作时间：完成指定工作量所需要的时间，必须与工作效率的时间单位严格统一。 核心公式专业规范表 公式类型 公式表达（专业规范） 适用场景 关键注意事项 核心基本公式 已知效率和时间，求完成的工作量 三者单位必须严格对应，总量与效率的基准统一 变形公式一 已知工作完成总时间，求单位时间的工作效率 完整工作总量为1时，效率=1÷单独完成总时间 变形公式二 已知工作量和对应效率，求所需工作时间 结果需符合实际意义，时间不可为负数 合作核心公式1 两人合作场景，计算整体工作效率 仅效率可直接相加，工作时间不可直接相加 合作核心公式2 已知两人效率，求合作完成总工作的时间 仅适用于两人同时开工、同时停工的合作场景 剩余工作量公式 分阶段完成工作，求剩余部分的耗时 已完成工作量需与对应效率、时间严格匹配 二、工程问题解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 关键步骤 记忆技巧 赋值法 将抽象工作总量赋值为单位“1”，或工作时间的最小公倍数，把分数计算转化为整数计算 1. 完整工作优先赋值为单位“1” 2. 多时间合作题，可赋值为时间的最小公倍数 3. 结合总量计算对应效率，完成后续求解 总量设为1，效率倒数来；想算整数解，公倍数安排 效率法 先锁定核心工作效率，再通过核心公式求解所有未知量，是工程问题的万能解法 1. 根据已知工作时间，求出对应单人/合作效率 2. 梳理题目中的工作阶段，匹配对应效率 3. 用核心公式求工作量/工作时间 解题先求效，万变不离其宗 合作拆解法 两人合作问题，先算效率和，再结合工作总量求解；非同步合作转化为“合作+单独”拆解计算 1. 同步合作：先算效率和，再求合作时间 2. 先后工作：转化为“合作固定时长+单人收尾” 3. 匹配总量与效率的对应关系，分步求解 合作看效率和，拆分找不变量 三、奥数思维提升 1　 对应思想：精准匹配工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系，明确某一效率对应的工作时段、某一工作量对应的完成主体，杜绝张冠李戴，是工程问题的解题基础。 2　 赋值思想：将无具体总量的工作抽象为单位“1”，或通过最小公倍数赋值为整数，把抽象的分数应用题转化为直观的整数计算，大幅降低解题难度，是工程问题的核心思维。 3　 转化思想：将复杂的分阶段工作、先后完成工作，转化为基础的“效率×时间=总量”模型，把非同步合作拆解为同步合作+单人工作，化繁为简。 4　 逆向思维：从已知的工作时间反推工作效率，从剩余工作量反推已完成工作量，从合作效率反推单人效率，解决正向推导难度大的题型。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：核心概念与单人工程基础计算 ✨ 典型例题 1（基础型——已知工作时间求工作效率） 一项工程，甲单独做需要8天完成，请问：甲的工作效率是多少？甲3天可以完成这项工程的几分之几？ 解题步骤： ① 赋值工作总量：将这项工程的总工作量看作单位“1” ② 计算甲的工作效率：根据公式，甲效率 ③ 计算3天完成的工作量：根据公式，3天完成量 ④ 检验：效率对应8天完成总量1，符合题意 【答案】甲的工作效率是，3天完成工程的 【知识点睛】单人工程问题的核心基础，完整工作总量为1时，单人工作效率=1÷单独完成的总时间，这是所有工程问题的计算起点。 ✨ 典型例题 2（基础型——已知工作效率求工作时间） 修一条公路，乙队每天能修完整条路的，请问：乙队单独修完这条公路需要多少天？乙队修完这条路的需要多少天？ 解题步骤： ① 赋值工作总量：将公路总工作量看作单位“1” ② 计算单独完成总时间：根据公式，总时间（天） ③ 计算修的时间：对应时间（天） ④ 检验：9天完成量，符合题意 【答案】单独修完需要12天，修完需要9天 【知识点睛】已知效率求时间，核心是找准工作量与效率的对应关系，完整工作用总量1计算，部分工作用对应分率计算，公式完全通用。 ✨ 典型例题 3（综合型——单人分阶段工程计算） 加工一批零件，王师傅单独做需要15天完成。王师傅先做了6天，还剩下这批零件的几分之几没有完成？剩下的零件还需要多少天才能做完？ 解题步骤： ① 赋值工作总量：将零件总工作量看作单位“1” ② 计算王师傅的工作效率： ③ 计算6天完成的工作量： ④ 计算剩余工作量： ⑤ 计算剩余工作时间：（天） ⑥ 检验：总时长6+9=15天，对应单独完成总时间，符合题意 【答案】还剩下没有完成，剩下的还需要9天做完 【知识点睛】单人分阶段工程问题，核心是分步计算已完成工作量，再通过剩余工作量匹配对应效率，求解剩余时间，是单人工程的核心应用题型。 📌 考点二：单人工程进阶（分阶段与效率变化） ✨ 典型例题 4（提高型——效率变化的单人工程） 一项工程，甲单独做需要20天完成。甲先做了5天，之后将工作效率提高了，剩下的工程还需要多少天完成？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，计算原工作效率： ② 计算5天完成的工作量： ③ 计算剩余工作量： ④ 计算提高后的工作效率： ⑤ 计算剩余工作时间：（天） ⑥ 检验：总完成量，符合题意 【答案】剩下的工程还需要12天完成 【知识点睛】效率变化的工程问题，核心是分阶段匹配对应的工作效率，前一阶段用原效率，后一阶段用变化后的效率，不可全程用同一效率计算。 ✨ 典型例题 5（提高型——最小公倍数赋值法应用） 修一段水渠，甲工程队单独修需要12天完成，乙工程队单独修需要18天完成。若将总工作量赋值为两个时间的最小公倍数，分别计算甲、乙两队的工作效率（整数形式）。 解题步骤： ① 计算12和18的最小公倍数：36，赋值水渠总工作量为36份 ② 计算甲队的工作效率：（份/天） ③ 计算乙队的工作效率：（份/天） ④ 检验：甲12天完成份，乙18天完成份，符合题意 【答案】甲队效率3份/天，乙队效率2份/天 【知识点睛】最小公倍数赋值法，可将分数效率转化为整数效率，大幅降低分数计算的出错率，尤其适用于后续合作问题的计算，是奥数中常用的简化技巧。 ✨ 典型例题 6（综合型——实际总量单人工程） 生产一批零件，李师傅每天生产120个，20天可以完成任务。如果要提前5天完成任务，李师傅每天需要多生产多少个零件？ 解题步骤： ① 计算零件总工作量（实际总量）：（个） ② 计算提前后的工作时间：（天） ③ 计算目标工作效率：（个/天） ④ 计算每天多生产的数量：（个） ⑤ 检验：15天完成个，符合总量要求 【答案】每天需要多生产40个零件 【知识点睛】有实际总量的工程问题，无需赋值单位1，直接用实际总量计算效率和时间，核心公式完全通用，重点是总量、效率、时间的对应关系。 📌 考点三：两人基础合作工程问题 ✨ 典型例题 7（基础型——两人同步合作求时间） 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。两人合作，需要多少天完成这项工程？ 解题步骤： 方法一：单位1赋值法 ① 赋值工作总量为单位“1”，计算两人效率： 甲效率，乙效率 ② 计算合作工作效率： ③ 计算合作总时间：（天） 方法二：最小公倍数赋值法 ① 10和15的最小公倍数是30，赋值总工作量为30份 ② 甲效率份/天，乙效率份/天 ③ 合作效率份/天，合作时间（天） 【答案】两人合作需要6天完成 【知识点睛】两人同步合作问题的核心，是合作效率等于两人效率之和，绝对不能直接对两人的工作时间求平均，必须先算效率和，再求合作时间。 ✨ 典型例题 8（基础型——已知合作效率求单人效率） 加工一批零件，甲乙两人合作8天可以完成，甲单独做需要12天完成。请问：乙单独做需要多少天完成？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，计算合作效率与甲效率： 合作效率，甲效率 ② 计算乙的工作效率：合作效率-甲效率 ③ 计算乙单独完成的时间：（天） ④ 检验：甲乙效率和，对应合作8天完成，符合题意 【答案】乙单独做需要24天完成 【知识点睛】已知合作时间和单人时间，求另一人单独时间，核心是通过合作效率反推单人效率，这是合作问题的逆向基础应用。 ✨ 典型例题 9（综合型——合作完成部分工作量） 一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要18天完成。两队合作，多少天可以完成这项工程的？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，计算两队效率： 甲效率，乙效率 ② 计算合作效率： ③ 计算完成的时间：（天） ④ 检验：6天合作完成量，符合题意 【答案】6天可以完成这项工程的 【知识点睛】合作完成部分工作量，核心公式不变，仅将工作总量从1替换为对应分率，用“部分工作量÷合作效率”即可求出对应时间。 📌 考点四：两人合作进阶（分阶段与先后完成） ✨ 典型例题 10（提高型——先单独后合作的分阶段工程） 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。甲先单独做2天，剩下的工程由甲乙两人合作完成，还需要多少天才能完成全部工程？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，计算两人效率： 甲效率，乙效率，合作效率 ② 计算甲2天完成的工作量： ③ 计算剩余工作量： ④ 计算剩余合作时间：（天，或天） ⑤ 检验：总完成量，符合题意 【答案】还需要4.8天（或天）完成 【知识点睛】先单独后合作的分阶段工程，核心是先算出单独完成的工作量，锁定剩余工作量，再用剩余工作量除以合作效率，求出合作时间。 ✨ 典型例题 11（综合型——先后工作转化为合作拆解） 一项工程，甲乙两人合作10天可以完成。现在甲先做8天，乙再做14天也刚好完成全部工程。请问：乙单独做这项工程需要多少天完成？ 解题步骤： ① 赋值工作总量为单位“1”，计算合作效率： ② 拆解工作过程：甲做8天+乙做14天 = 甲乙合作8天 + 乙单独做6天 ③ 计算合作8天完成的工作量： ④ 计算乙单独6天完成的工作量： ⑤ 计算乙的工作效率： ⑥ 计算乙单独完成的时间：（天） ⑦ 检验：甲效率，总完成量，符合题意 【答案】乙单独做需要30天完成 【知识点睛】两人先后不同时长工作的题型，核心是拆解为“同步合作+单人单独工作”，通过合作效率算出固定合作量，再反推单人效率，是六年级奥数合作问题的高频难点题型。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 合作问题中，直接对工作时间相加/求平均，忽略效率可加、时间不可加的核心规则 错误示例：甲单独10天完成，乙单独15天完成，错误计算合作时间天，或天 正确分析：错误在于混淆了工作时间和工作效率，合作的核心是效率相加，而非时间相加。正确做法是先算效率和，合作时间天。 ❌ 工作总量与工作效率不匹配，单位1的基准混乱 错误示例：甲先做了工程的，剩余工作量用总效率1计算，错误计算剩余时间天 正确分析：错误在于剩余工作量与总总量基准混乱，剩余工作量是，必须用除以对应效率，正确时间天。必须确保工作量与效率的基准统一，全程用同一总量赋值。 ❌ 效率与时间单位不统一，未做换算直接计算 错误示例：甲单独做需要2小时完成，乙单独做需要30分钟完成，错误计算合作效率 正确分析：错误在于时间单位不统一，一个是小时，一个是分钟。正确做法是统一单位，30分钟=0.5小时，乙效率，合作效率。 ❌ 效率变化问题中，全程使用同一效率计算，忽略分阶段匹配 错误示例：甲原效率，做5天后效率提高，错误计算总时间天 正确分析：错误在于全程使用提高后的效率，前5天用的是原效率。正确做法是分阶段计算，前5天完成，剩余用新效率计算，剩余时间12天，总时间17天。 ❌ 拆解先后工作时，合作时长匹配错误 错误示例：甲做8天+乙做14天，错误拆解为合作14天，导致计算错误 正确分析：错误在于合作时长取了最大值，正确拆解是取两人工作时长的重叠部分，即合作8天，乙单独做天，再进行后续计算。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 一、基础夯实篇(8题) 1． 打扫一间教室，小明单独打扫需要6分钟完成，小明的工作效率是多少？他3分钟可以打扫完这间教室的几分之几？ 2． 一项工程，小李单独做需要12天完成，他每天完成这项工程的几分之几？完成这项工程的需要多少天？ 3． 修一条路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。两队合作，需要多少天修完这条路？ 4． 生产一批零件，甲乙合作6天可以完成，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要多少天完成？ 5． 一项工程，甲单独做需要8天完成，甲先做了3天，还剩下这项工程的几分之几没有完成？ 6． 打印一份稿件，小张单独打印需要9小时完成，小王单独打印需要18小时完成。两人合作，多少小时可以打印完这份稿件的一半？ 7． 搬运一堆货物，王师傅单独搬需要20次搬完，李师傅单独搬需要30次搬完。两人一起搬，多少次可以搬完这堆货物？ 8． 一项工程，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要20天完成。甲先做5天，剩下的由乙单独完成，乙还需要多少天？ 二、能力进阶篇(7题) 9． 一项工程，甲队单独做需要18天完成，乙队单独做需要24天完成。甲队先做了6天，剩下的由两队合作完成，还需要多少天完成全部工程？ 10． 修一条水渠，甲乙两队合作12天可以完成。甲队先修8天，乙队再修18天刚好修完，乙队单独修这条水渠需要多少天？ 11． 一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成。现在两人合作，中途甲休息了2天，乙也休息了若干天，从开工到完成一共用了16天，乙休息了多少天？ 12． 生产一批零件，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要12天完成，丙单独做需要15天完成。甲乙两人合作3天后，剩下的由丙单独做，还需要多少天完成？ 13． 一项工程，甲乙合作8天完成，乙丙合作6天完成，丙丁合作12天完成。甲丁合作多少天可以完成这项工程？ 14． 修一条公路，甲队每天修60米，15天可以修完。如果要提前3天修完，每天需要多修多少米？ 15． 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。两人合作，多少天后还剩下这项工程的没有完成？ 三、思维跃迁篇(5题) 16． 一项工程，甲队单独做需要40天完成，乙队单独做需要60天完成。现在两队合作，中途甲队因事休息了几天，结果经过27天完成了全部工程，甲队休息了多少天？ 17． 一个水池有一个进水管和一个出水管，单开进水管20分钟可以将空池注满，单开出水管30分钟可以将满池水放完。如果两管同时打开，多少分钟可以将空池注满？ 18． 一项工程，甲乙合作15天完成，乙丙合作12天完成，甲丙合作8天完成。如果甲乙丙三人合作，多少天可以完成这项工程？ 19． 加工一批零件，甲单独做需要24天完成，乙单独做需要30天完成。甲乙两人合作一段时间后，乙停工休息，甲继续做了6天完成了全部任务。乙做了多少天？ 20． 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。现在两人合作，期间甲休息了3天，乙休息了若干天，最终用了16天完成全部工程，乙休息了多少天？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 一、基础夯实篇(8题) 1． 【答案】工作效率是，3分钟可以打扫 解题步骤： ① 赋值工作总量为1，小明效率 ② 3分钟完成量 【知识点睛】基础效率计算，完整工作总量为1时，效率=1÷总时间，工作量=效率×时间。 2． 【答案】每天完成，完成需要8天 解题步骤： ① 小李效率 ② 对应时间天 【知识点睛】已知效率求部分工作时间，用部分工作量除以效率即可。 3． 【答案】6天 解题步骤： ① 甲效率，乙效率，合作效率 ② 合作时间天 【知识点睛】基础合作问题，先算效率和，再用总量1除以效率和求合作时间。 4． 【答案】15天 解题步骤： ① 合作效率，甲效率，乙效率 ② 乙单独时间天 【知识点睛】合作问题逆向应用，通过合作效率减单人效率，求出另一人效率，再算单独时间。 5． 【答案】 解题步骤： ① 甲3天完成量 ② 剩余工作量 【知识点睛】单人分阶段工作量计算，用总量1减去已完成量，得到剩余工作量。 6． 【答案】3小时 解题步骤： ① 小张效率，小王效率，合作效率 ② 完成一半的时间小时 【知识点睛】合作完成部分工作量，用部分工作量除以合作效率，求出对应时间。 7． 【答案】12次 解题步骤： ① 王师傅效率，李师傅效率，合作效率 ② 合作次数次 【知识点睛】合作问题的基础应用，时间单位为“次”，核心公式完全通用。 8． 【答案】天（约13.33天） 解题步骤： ① 甲5天完成量，剩余工作量 ② 乙效率，剩余时间天 【知识点睛】先单独后单独的分阶段工程，先算剩余工作量，再用剩余工作量除以对应单人效率。 二、能力进阶篇(7题) 9． 【答案】天（约6.86天） 解题步骤： ① 甲效率，乙效率，合作效率 ② 甲6天完成量，剩余工作量 ③ 剩余合作时间天 【知识点睛】先单独后合作的分阶段工程，核心是分步计算已完成量和剩余量，匹配对应效率。 10． 【答案】30天 解题步骤： ① 合作效率，拆解工作：合作8天+乙单独10天 ② 合作8天完成量，乙10天完成量 ③ 乙效率，单独时间天 【知识点睛】先后工作拆解为合作+单独，通过合作效率反推单人效率，是合作进阶的核心题型。 11． 【答案】7天 解题步骤： ① 甲效率，乙效率，总工期16天，甲工作了天 ② 甲完成量，乙完成量 ③ 乙工作时间天，乙休息时间天 【知识点睛】中途休息的合作问题，核心是先算不休息的人的工作量，再反推另一人的工作时长，最终求出休息时间。 12． 【答案】4.5天 解题步骤： ① 甲效率，乙效率，丙效率 ② 甲乙合作3天完成量，剩余工作量 ③ 丙单独时间天 【知识点睛】多人分阶段工程，先算前一阶段的完成量，再用剩余量匹配后续单人效率。 13． 【答案】24天 解题步骤： ① 甲乙效率和，乙丙效率和，丙丁效率和 ② 甲丁效率和甲乙丙丁乙丙 ③ 甲丁合作时间天 【知识点睛】多组合作效率问题，通过效率和的加减，求出目标两人的效率和，再计算合作时间。 14． 【答案】15米 解题步骤： ① 公路总长度米 ② 提前后工期天，目标效率米/天 ③ 每天多修米 【知识点睛】有实际总量的工程问题，直接用实际总量计算，核心公式不变。 15． 【答案】天（6.4天） 解题步骤： ① 甲乙合作效率 ② 已完成工作量 ③ 工作时间天 【知识点睛】合作完成部分工作量，先算出需要完成的对应分率，再除以合作效率求时间。 三、思维跃迁篇(5题) 16． 【答案】5天 解题步骤： ① 乙全程工作27天，乙效率，乙完成量 ② 甲完成量，甲效率，甲工作时间天 ③ 甲休息时间天 【知识点睛】中途休息的进阶题型，先算全程工作的人的工作量，反推另一人的工作时长，求出休息时间。 17． 【答案】60分钟 解题步骤： ① 赋值水池总容量为1，进水管效率，出水管效率 ② 两管同开的净进水效率 ③ 注满时间分钟 【知识点睛】工程问题的拓展题型，进水管为正效率，出水管为负效率，净效率为两者差值，核心公式通用。 18． 【答案】天（约7.27天） 解题步骤： ① 甲乙效率和：，乙丙效率和：，甲丙效率和： ② 三人效率和： ③ 三人合作时间：天 【知识点睛】三人合作效率问题，三组效率和相加，每人效率被算了2次，除以2得到三人总效率，再求合作时间。 19． 【答案】10天 解题步骤： ① 甲效率，乙效率，甲单独6天完成量 ② 甲乙合作完成量，合作效率 ③ 乙工作时间=合作时间天 【知识点睛】先合作后单独的分阶段工程，先算单独收尾的工作量，反推合作完成的总量，再求合作时间。 20． 【答案】5.5天 解题步骤： ① 总工期16天，甲休息3天，甲工作天，甲效率，甲完成量 ② 乙完成量，乙效率，乙工作时间天 ③ 乙休息时间天 【知识点睛】两人中途休息的复杂合作问题，核心是分别计算两人的工作时长，通过总量1建立等量关系，是工程问题的高阶应用。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案1 学科网（北京）股份有限公司 $