第25讲 应用题模块综合-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第25讲 应用题模块综合 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、六大专题知识体系全景梳理 1 二、核心解题方法图表记忆法 3 三、奥数思维提升 3 📊 典型例题解构与解题策略精讲 4 📌 考点一：分数应用题核心量率对应突破 4 📌 考点二：比例应用题与正反比例应用 5 📌 考点三：工程问题综合模型应用 7 📌 考点四：浓度问题与十字交叉法进阶 8 📌 考点五：经济利润与折扣问题综合 9 📌 考点六：时钟问题追及模型与快慢钟应用 10 📌 考点七：多专题融合综合应用题 11 ⚠️ 易错避坑指南 13 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 15 一、基础夯实篇(8题) 15 二、能力进阶篇(7题) 16 三、思维跃迁篇(5题) 17 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 19 一、基础夯实篇(8题) 19 二、能力进阶篇(7题) 21 三、思维跃迁篇(5题) 24 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、六大专题知识体系全景梳理 应用题是小学奥数的核心综合模块，本次复习围绕分数、比例、工程、浓度、经济、时钟六大高频专题展开，核心是找准核心数量关系、匹配对应解题模型、分步严谨推导，需精准掌握以下核心知识点： 专题分类 核心数量关系与专业公式 适用场景 关键注意事项 分数应用题 核心公式： 1. 分量 = 单位“1”的量 × 对应分率 2. 单位“1”的量 = 分量 ÷ 对应分率 3. 对应分率 = 分量 ÷ 单位“1”的量 4. 比字分率转换：A比B多，则A=B×；A比B少，则A=B× 已知分率求分量、已知分量求单位“1”、多主体分率转换、增减幅度问题 1. 必须精准锁定单位“1”，“的”前、“比/占/是”后通常为单位“1” 2. 分率与分量必须严格对应，避免张冠李戴 3. 单位“1”变化时，需统一单位“1”后再计算 比例应用题 核心公式： 1. 比的基本性质：（） 2. 按比分配：分量 = 总量 × 3. 正比例判定：（定值），商一定，两量成正比例 4. 反比例判定：（定值），积一定，两量成反比例 按比分配问题、行程/工程正反比例转换、多主体份数统一、不变量应用题 1. 多组比统一份数时，需抓不变量作为中间量，统一最小公倍数 2. 正反比例判定必须紧扣“商一定/积一定”，避免混淆 3. 份数与实际量必须严格对应 工程问题 核心公式： 1. 工作总量 = 工作效率 × 工作时间（通常设工作总量为单位“1”） 2. 工作效率 = 1 ÷ 单独完成工作时间 3. 合作效率 = 各参与方工作效率之和 4. 工作时间 = 剩余工作总量 ÷ 对应工作效率 5. 交替工作：总工作量 = 周期数 × 单周期工作量 + 剩余工作量 单人/合作工程问题、交替工作问题、进出水水管问题、效率变化类工程题 1. 工作效率、工作时间、工作总量必须一一对应，禁止跨主体混用 2. 交替工作需先计算完整周期，再处理剩余工作量，注意工作顺序 3. 水管问题需区分进水管效率为正，出水管效率为负 浓度问题 核心公式： 1. 溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量 2. 浓度 = × 100% 3. 溶质质量 = 溶液质量 × 浓度 4. 混合浓度 = × 100% 5. 十字交叉法： 溶液稀释/加浓问题、两种及以上溶液混合问题、浓度不变量问题 1. 严格区分溶质、溶剂、溶液三个概念，避免溶剂与溶液混淆 2. 混合问题核心是总溶质守恒，稀释/加浓需抓不变量（稀释溶剂不变，加浓溶质不变） 3. 十字交叉法结果为溶液质量比，非浓度比 经济问题 核心公式： 1. 利润 = 售价 - 成本 2. 利润率 = × 100% = × 100% 3. 售价 = 成本 × (1 + 利润率) 4. 折扣售价 = 原价 × 折扣率（8折=80%=0.8） 5. 含税售价 = 不含税售价 × (1 + 税率) 6. 利息 = 本金 × 年利率 × 存期 商品买卖利润问题、折扣促销问题、银行存款利息问题、税率计算问题 1. 利润率的单位“1”是成本，绝对禁止用售价作为分母计算利润率 2. 折扣的计算基准是商品原价，而非成本或进价 3. 多件商品买卖需计算总利润=总售价-总成本，避免单件利润计算错误 时钟问题 核心公式： 1. 分针转速：6°/分钟（一圈360°，60分钟走完） 2. 时针转速：0.5°/分钟（一圈360°，12小时=720分钟走完） 3. 两针速度差：5.5°/分钟，速度和：6.5°/分钟 4. 追及时间 = 两针初始角度差 ÷ 5.5°/分钟 5. 快慢钟标准时间 = 钟面时间 × 两针重合/垂直/成直线问题、特定角度时间计算、快慢钟校准问题 1. 追及问题需先计算初始角度差，注意分针在前还是时针在前 2. 快慢钟问题核心是单位时间内的走时比例固定，按比例换算标准时间 3. 禁止用整数格数直接计算，需用角度差精准计算 二、核心解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 关键操作步骤 记忆技巧 分类梳理法 按六大专题拆分核心模型，梳理对应数量关系、解题步骤与适用场景，形成结构化应用题解题体系 1. 按专题整理核心公式与基础模型；2. 标注每个模型的典型题干特征；3. 总结同类题的通用解题步骤；4. 制作“题干特征-解题模型”对应表 题型先分类，模型对特征，公式记心间，解题不跑偏 数量关系分析法 拆解题干条件，锁定核心不变量与等量关系，将文字描述转化为数学表达式，分步推导求解 1. 通读题干，圈画已知量、未知量与关键条件；2. 锁定核心等量关系，确定解题模型；3. 对应公式，分步计算中间量；4. 代入验证结果是否符合题干所有条件 先找等量关系，再套对应公式，分步算中间量，最后验证结果 方程思想解题法 针对复杂多主体应用题，设核心未知量为x，根据题干等量关系列方程，化逆向思维为顺向思维 1. 确定单位“1”或核心不变量，设为未知数x；2. 用x表示题干中其他相关量；3. 根据等量关系列方程；4. 解方程并验证结果是否符合题意 复杂题不用慌，设x列方程，顺向推导易，结果验一验 综合训练法 通过多专题融合的综合题型，串联不同模型的解题逻辑，提升审题能力、模型匹配能力与综合解题能力 1. 从双专题融合题型入手，逐步进阶多专题综合题；2. 限时训练，先拆解题型模块，再分步求解；3. 复盘错题，定位薄弱模型，针对性强化 先拆模块，再解分步，融合题型不发怵；复盘错题，补全漏洞，综合能力稳提升 三、奥数思维提升 1　 对应思想：核心是找准分量与分率、份数与实际量、效率与时间的一一对应关系，是分数、比例应用题的底层逻辑，杜绝错位匹配导致的解题错误 2　 不变量思想：针对多主体变化的应用题，抓住总量不变、差不变、部分量不变的核心，统一单位“1”或统一份数，化繁为简，是复杂分数、比例、浓度题的核心突破口 3　 转化思想：将陌生的复杂应用题，转化为熟悉的基础模型，如将时钟问题转化为环形追及问题，将正反比例问题转化为份数问题，将经济问题转化为分数应用题，实现模型迁移 4　 方程思想：针对逆向求解、多主体多条件的复杂应用题，通过设未知数将文字描述转化为方程，规避复杂的逆向推导，大幅降低解题难度，提升准确率 5　 分类讨论思想：针对存在多种可能性的应用题（如时钟两针成特定角度、工程交替工作），按场景分类讨论，逐一验证，避免遗漏解 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：分数应用题核心量率对应突破 ✨ 典型例题 1（基础型——单位“1”已知求分量） 一根绳子长120米，第一次用去全长的，第二次用去余下的，还剩多少米？ 解题步骤： ① 锁定单位“1”，第一次用去的单位“1”是全长，计算第一次用完余下的长度： 米 ② 第二次用去的单位“1”是余下的80米，计算最终剩余长度： 米 ③ 综合算式验证：米 【答案】60米 【知识点睛】分数应用题的核心是找准每一个分率对应的单位“1”，当单位“1”发生变化时，需分步计算，禁止直接用分率加减计算剩余量。 ✨ 典型例题 2（提高型——单位“1”未知求总量） 某工厂四月份生产一批零件，上半月完成了计划的，下半月完成了计划的，结果超额生产了400个零件，四月份计划生产多少个零件？ 解题步骤： ① 锁定单位“1”为四月份计划生产的零件总数，计算实际完成的分率： ② 计算超额完成的分率： ③ 超额的分量400个对应分率，求单位“1”的量： 个 ④ 验证：个，个，符合题意 【答案】1500个 【知识点睛】单位“1”未知的分数应用题，核心是找到已知分量对应的分率，用“分量÷对应分率”求出单位“1”的量，超额/亏损的分量对应超额/亏损的分率。 📌 考点二：比例应用题与正反比例应用 ✨ 典型例题 3（基础型——按比分配） 一个长方体的棱长总和是240厘米，长、宽、高的比是3:2:1，求这个长方体的体积。 解题步骤： ① 长方体棱长总和=4×(长+宽+高)，先计算长、宽、高的和： 厘米 ② 计算总份数：份，对应总量60厘米，1份对应厘米 ③ 分别计算长、宽、高： 长：厘米，宽：厘米，高：厘米 ④ 计算体积：立方厘米 【答案】6000立方厘米 【知识点睛】按比分配问题的核心是找准总份数对应的实际总量，先求出1份对应的实际量，再分别计算各分量，注意总量与总份数必须严格对应。 ✨ 典型例题 4（提高型——正反比例应用） 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，速度比是4:3，相遇后甲车速度降低25%，乙车速度提高20%，当甲车到达B地时，乙车离A地还有26千米，求A、B两地的全程。 解题步骤： ① 相遇时，两车行驶时间相同，路程与速度成正比例，因此相遇时甲、乙路程比=速度比=4:3，设全程为7份，甲走了4份，乙走了3份 ② 计算相遇后两车的速度比： 甲原速度4，降低25%后： 乙原速度3，提高20%后： 相遇后速度比： ③ 相遇后，甲到B地需要走乙相遇前走的3份路程，时间相同，路程与速度成正比例，因此甲走3份时，乙走了份 ④ 乙离A地剩余的路程：份，对应实际量26千米，1份对应千米 ⑤ 全程7份：千米 【答案】455千米 【知识点睛】行程问题中，时间相同，路程与速度成正比例；路程相同，速度与时间成反比例。正反比例应用的核心是找准定值，判定比例关系，用份数简化计算。 📌 考点三：工程问题综合模型应用 ✨ 典型例题 5（基础型——合作工程问题） 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作多少天可以完成这项工程的？ 解题步骤： ① 设工作总量为单位“1”，计算甲、乙的工作效率： 甲效率：，乙效率： ② 计算两人合作效率： ③ 计算完成工程所需时间：天 【答案】4天 【知识点睛】合作工程问题的核心是先计算各主体的工作效率，再求合作效率，最终用“工作总量÷合作效率=工作时间”求解，注意工作总量与效率的对应。 ✨ 典型例题 6（提高型——交替工作问题） 一项工程，甲单独做需要12小时完成，乙单独做需要18小时完成。如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，完成这项工程需要多少小时？ 解题步骤： ① 设工作总量为单位“1”，甲效率，乙效率，一个周期2小时，两人完成的工作量： ② 计算完整周期数：个完整周期，剩余工作量： ③ 7个周期用时小时，剩余工作量轮到甲做，甲的效率，所需时间： 小时=20分钟 ④ 总用时：小时 【答案】小时（或14小时20分钟） 【知识点睛】交替工作问题的核心是先计算一个周期的工作量，求出完整周期数，再处理剩余工作量，注意工作顺序，剩余工作量需按顺序匹配对应主体的效率计算时间。 📌 考点四：浓度问题与十字交叉法进阶 ✨ 典型例题 7（基础型——溶液混合问题） 有浓度为20%的糖水300克，浓度为50%的糖水200克，将两种糖水混合，混合后的糖水浓度是多少？ 解题步骤： ① 分别计算两种糖水中的糖（溶质）质量： 20%糖水的溶质：克 50%糖水的溶质：克 ② 计算混合后总溶质质量：克 ③ 计算混合后总溶液质量：克 ④ 计算混合浓度： 【答案】32% 【知识点睛】溶液混合问题的核心是总溶质守恒，混合后的浓度必须用总溶质除以总溶液计算，禁止直接对两个浓度求平均数。 ✨ 典型例题 8（提高型——十字交叉法应用） 要配制浓度为15%的盐水300克，需要浓度为20%和10%的盐水各多少克？ 解题步骤： ① 方法一：十字交叉法 两种溶液浓度与混合浓度的差分别为： 20%-15%=5%，15%-10%=5% 两种溶液的质量比= ② 总质量300克，按1:1分配，两种盐水各需克 ③ 验证：克，混合浓度，符合题意 【答案】需要20%的盐水150克，10%的盐水150克 【知识点睛】十字交叉法是两种溶液混合问题的快捷解法，核心是交叉作差后，差的比等于两种溶液的质量比，注意差的顺序不能颠倒。 📌 考点五：经济利润与折扣问题综合 ✨ 典型例题 9（基础型——利润与利润率计算） 一件商品的进价是200元，售价是260元，这件商品的利润率是多少？如果打八折出售，利润率是多少？ 解题步骤： ① 计算利润：元 ② 计算利润率： ③ 打八折后的售价：元 ④ 打折后的利润：元，利润率： 【答案】原利润率30%，打八折后利润率4% 【知识点睛】利润率的计算基准是成本（进价），绝对禁止用售价作为分母计算利润率，折扣的计算基准是原售价。 ✨ 典型例题 10（提高型——折扣促销综合问题） 某商店购进一批服装，每件进价150元，标价240元出售，为了促销，商店决定打折销售，但要保证利润率不低于20%，最多可以打几折出售？ 解题步骤： ① 先计算保证利润率20%的最低售价： 最低售价=成本×(1+最低利润率)=元 ② 计算最低折扣率：折扣率=最低售价÷标价=，即七五折 ③ 验证：打七五折售价180元，利润30元，利润率，符合要求 【答案】最多可以打七五折 【知识点睛】折扣问题的核心是先根据利润率要求锁定最低售价，再计算折扣率，注意折扣率的取值范围，结果需符合实际促销场景。 📌 考点六：时钟问题追及模型与快慢钟应用 ✨ 典型例题 11（基础型——两针追及问题） 现在是下午3点整，再过多少分钟，时针与分针第一次重合？ 解题步骤： ① 3点整时，时针指向3，分针指向12，两针的初始角度差为：（时针每小时走30°） ② 分针与时针的速度差为5.5°/分钟，追及时间=角度差÷速度差 ③ 计算追及时间：分钟 【答案】再过分钟，时针与分针第一次重合 【知识点睛】时针分针重合问题是典型的环形追及问题，核心是先计算初始角度差，再用“角度差÷速度差5.5°/分钟”计算追及时间。 ✨ 典型例题 12（提高型——快慢钟问题） 一个钟表每小时比标准时间慢3分钟，早上8点整将钟表对准了标准时间，当钟表显示下午2点整时，标准时间是多少？ 解题步骤： ① 计算慢钟与标准时间的走时比例： 标准时间1小时=60分钟，慢钟走分钟，慢钟时间:标准时间=57:60=19:20 ② 计算慢钟从8点到下午2点的走时：14-8=6小时=360分钟 ③ 按比例计算标准时间走时：分钟=6小时分钟 ④ 标准时间：8点+6小时分钟=下午2点分 【答案】标准时间是下午2点分（或14点分） 【知识点睛】快慢钟问题的核心是锁定单位时间内的走时比例固定，先求出慢钟与标准时间的比例，再根据慢钟走时换算标准时间，禁止直接用“每小时慢3分钟，6小时慢18分钟”的错误算法。 📌 考点七：多专题融合综合应用题 ✨ 典型例题 13（综合型——分数+经济+比例融合） 某商店购进一批商品，按50%的利润率定价，结果只卖出了70%的商品，为了尽快卖完剩余商品，商店决定打折出售，最终获得的总利润是原定利润的82%，请问剩余商品打了几折出售？ 解题步骤： ① 设商品的成本为单位“1”，商品总数为100件（设数法简化计算），则总成本=100×1=100 ② 原定定价：，原定总利润： ③ 实际总利润：，实际总售价： ④ 先卖出70%的商品，售价： ⑤ 剩余30件商品的总售价：，单件售价： ⑥ 计算折扣率：，即八折 【答案】剩余商品打了八折出售 【知识点睛】多专题融合应用题，核心是先拆解每个模块的数量关系，用设数法简化单位“1”的计算，分步求解中间量，最终匹配目标问题。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 分数应用题单位“1”混淆，分率与分量错位匹配 错误示例：一根绳子100米，先剪去，再剪去米，错误计算剩余米，混淆了分率与具体量，且单位“1”变化未区分。 正确分析：第一个的单位“1”是全长，剪去米，剩余80米；第二个米是具体量，最终剩余米。分率必须对应对应的单位“1”，分率与具体量不能直接加减。 ❌ 浓度混合问题直接对浓度求平均，忽略溶液质量 错误示例：100克20%的糖水与200克50%的糖水混合，错误计算混合浓度为，忽略了两种溶液的质量不同。 正确分析：混合浓度必须用总溶质÷总溶液计算，总溶质克，总溶液300克，混合浓度。只有两种溶液质量相等时，才能对浓度求平均。 ❌ 经济问题利润率计算基准错误，用售价代替成本 错误示例：一件商品售价200元，利润50元，错误计算利润率为，用售价作为了分母。 正确分析：利润率的定义是利润÷成本×100%，成本=售价-利润=150元，正确利润率。无论题干如何表述，利润率的单位“1”永远是成本，除非明确说明是“销售利润率”。 ❌ 工程问题效率与时间混淆，直接对时间求平均 错误示例：一项工程，甲单独做2天完成，乙单独做3天完成，错误计算两人合作完成时间为天，混淆了效率与时间。 正确分析：工程问题必须先算效率，甲效率，乙效率，合作效率，合作时间天。工作时间不能直接加减，只有工作效率可以叠加。 ❌ 时钟问题速度差用错，忽略时针的转动 错误示例：3点整求两针重合时间，错误计算为分钟，只算了分针的转速，忽略了时针也在转动。 正确分析：分针转动的同时，时针也在转动，两针是追及问题，必须用速度差5.5°/分钟计算，正确时间为分钟。 ❌ 比例问题正反比例判定错误，份数不统一 错误示例：路程一定，速度比是2:3，错误认为时间比也是2:3，混淆了正反比例。 正确分析：路程一定，速度与时间成反比例，速度比2:3，时间比应为3:2。正反比例判定必须紧扣“商一定正比，积一定反比”，多组比需先统一不变量的份数，再计算。 ❌ 快慢钟问题直接用时间差计算，忽略走时比例 错误示例：一个钟每小时慢3分钟，校准后走了6小时，错误认为标准时间是6小时+18分钟=6小时18分钟，忽略了慢钟走的6小时不是标准时间。 正确分析：慢钟走57分钟对应标准时间60分钟，慢钟走6小时=360分钟，标准时间应为分钟=6小时18.95分钟，必须按走时比例换算，不能直接加减时间差。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 一、基础夯实篇(8题) 1． 一桶油重20千克，第一次用去，第二次用去千克，还剩多少千克？ 2． 一个三角形三个内角的度数比是2:3:4，这个三角形最大的内角是多少度？按角分类属于什么三角形？ 3． 一项工程，甲单独做需要8天完成，乙单独做需要12天完成，两人合作多少天可以完成全部工程？ 4． 有浓度为10%的盐水400克，加入多少克水可以稀释成浓度为8%的盐水？ 5． 一件商品进价300元，按40%的利润率定价，这件商品的售价是多少元？ 6． 现在是上午9点整，再过多少分钟，时针与分针第一次垂直？ 7． 学校把450本课外书按4:5分给五、六年级，六年级比五年级多分多少本？ 8． 一批零件，师傅单独做需要6小时完成，徒弟单独做需要9小时完成，两人合作完成时，师傅比徒弟多做了120个零件，这批零件一共有多少个？ 二、能力进阶篇(7题) 9． 某工厂一月份生产零件2000个，二月份比一月份增产10%，三月份比二月份减产10%，三月份生产的零件比一月份多还是少？相差多少个？ 10． 甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时甲、乙两车行驶的路程比是5:4，相遇后乙车每小时比原来多行驶27千米，甲车速度不变，结果两车同时到达对方出发点，已知甲车一共行驶了10小时，求A、B两地全程。 11． 一项工程，甲、乙合作6天可以完成，乙、丙合作10天可以完成，现在先由甲、乙、丙合作3天后，余下的乙再做6天可以完成，乙单独做这项工程需要多少天？ 12． 有浓度为25%的盐水若干，加入20克水后，浓度变为15%，再加入多少克盐，浓度可以变为25%？ 13． 某商店按定价出售一件商品，可获利45元，按定价的八五折出售8件，与按定价每件减价35元出售12件的利润相同，这件商品的进价是多少元？ 14． 一个钟表每小时比标准时间快4分钟，早上6点整将钟表对准标准时间，当钟表显示中午12点整时，标准时间是多少？ 15． 甲、乙两个仓库原有粮食的质量比是5:4，甲仓库运走36吨后，甲、乙两仓库粮食质量比是3:4，甲仓库原有粮食多少吨？ 三、思维跃迁篇(5题) 16． 有两根同样长的蜡烛，粗蜡烛可以燃烧5小时，细蜡烛可以燃烧3小时，同时点燃两根蜡烛，多少小时后，粗蜡烛剩下的长度是细蜡烛的3倍？ 17． 甲、乙两件商品的成本共200元，甲商品按30%的利润率定价，乙商品按20%的利润率定价，后来两件商品都按定价的九折出售，结果仍获利27.7元，求甲商品的成本是多少元？ 18． 一个水池有甲、乙两个进水管，一个出水管丙。单开甲管3小时可以注满水池，单开乙管5小时可以注满水池，单开丙管4小时可以放完满池水。现在水池是空的，按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流各开1小时，多少小时可以注满水池？ 19． 瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中浓度变为14%，已知A种酒精溶液的浓度是B种的2倍，求A种酒精溶液的浓度。 20． 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。已知快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，求慢车每小时行多少千米？ 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 一、基础夯实篇(8题) 1．【答案】14.75千克 解题步骤： ① 第一次用去千克，剩余千克 ② 第二次用去千克，最终剩余千克 【知识点睛】区分分率与具体量，分率需对应单位“1”计算，具体量直接加减。 2．【答案】80度，锐角三角形 解题步骤： ① 总份数份，三角形内角和180°，1份对应 ② 最大内角，三个角都小于90°，属于锐角三角形 【知识点睛】按比分配问题，总量是三角形内角和180°，最大角小于90°为锐角三角形。 3．【答案】4.8天 解题步骤： ① 甲效率，乙效率，合作效率 ② 合作时间天 【知识点睛】合作工程问题，核心是先求合作效率，再用总量÷效率求时间。 4．【答案】100克 解题步骤： ① 稀释过程溶质不变，溶质质量克 ② 稀释后溶液总质量克 ③ 加入水的质量克 【知识点睛】稀释问题核心是溶质不变，先求溶质，再求稀释后总溶液，差值为加入的水。 5．【答案】420元 解题步骤： ① 售价=成本×(1+利润率)=元 【知识点睛】基础利润问题，直接套用售价公式，利润率基准为成本。 6．【答案】分钟 解题步骤： ① 9点整，两针初始角度差270°，第一次垂直时角度差90°，追及的角度差 ② 追及时间分钟 【知识点睛】时针分针垂直问题，先计算需要追及的角度差，再用速度差计算时间。 7．【答案】50本 解题步骤： ① 总份数份，六年级比五年级多份 ② 1份对应本，即多分50本 【知识点睛】按比分配问题，差值对应份数差，直接计算差值。 8．【答案】600个 解题步骤： ① 师傅与徒弟的效率比，合作时间相同，工作量比=效率比=3:2 ② 师傅比徒弟多份，对应120个，总份数份，总零件数个 【知识点睛】工程问题与比例结合，时间相同，工作量与效率成正比例。 二、能力进阶篇(7题) 9．【答案】比一月份少，相差20个 解题步骤： ① 二月份产量：个 ② 三月份产量：个 ③ 与一月份相差：个，比一月份少20个 【知识点睛】增减幅度问题，两次变化的单位“1”不同，需分步计算，不能直接抵消。 10．【答案】600千米 解题步骤： ① 相遇时路程比5:4，时间相同，速度比=路程比=5:4，设甲速度5v，乙原速度4v ② 相遇后，甲到B地需走4份路程，乙到A地需走5份路程，同时到达，时间相同，路程比4:5，因此相遇后速度比=4:5 ③ 相遇后甲速度不变5v，乙速度变为，乙速度增加了，对应27千米/小时 ④ 解得千米/小时，甲速度千米/小时 ⑤ 全程=甲速度×总时间=千米 【知识点睛】行程正反比例应用，时间相同，路程与速度成正比例，抓住相遇后同时到达的时间相等条件，列比例求解。 11．【答案】15天 解题步骤： ① 设工作总量为单位“1”，甲乙合作效率，乙丙合作效率 ② 题干条件可转化为：甲乙丙合作3天+乙单独6天=甲乙合作3天+乙丙合作3天+乙单独3天 ③ 计算完成的工作量：，剩余由乙单独3天完成 ④ 乙的效率：，乙单独完成时间天 【知识点睛】复杂工程问题，核心是拆分工作过程，转化为已知的合作效率，求出乙的单独效率。 12．【答案】克（或约6.67克） 解题步骤： ① 设原有盐水x克： → → → 克，正确。 ② 加水后溶液50克，溶质7.5克，设加盐y克，浓度25%： → → → 克≈6.67克 【知识点睛】浓度问题，先通过稀释过程求原有溶液质量，再通过加盐过程的水不变或列方程求解加盐量。 13．【答案】155元 解题步骤： ① 设商品进价为x元，则定价为元 ② 按八五折出售8件的利润： ③ 减价35元出售12件的利润：元 ④ 列方程： → → → 元 【知识点睛】复杂利润问题，设进价为未知数，根据两种销售方式利润相同列方程求解。 14．【答案】11点37分30秒（或11时分） 解题步骤： ① 快钟与标准时间的走时比例：快钟64分钟对应标准时间60分钟，快钟时间:标准时间=64:60=16:15 ② 快钟从6点到12点走了6小时=360分钟 ③ 标准时间走时：分钟=5小时37分30秒 ④ 标准时间：6点+5小时37分30秒=11点37分30秒 【知识点睛】快慢钟问题，先求走时比例，再按比例换算标准时间，禁止直接加减时间差。 15．【答案】90吨 解题步骤： ① 乙仓库粮食质量不变，统一乙的份数，原有比5:4，后来比3:4，乙都是4份 ② 甲从5份变为3份，减少了2份，对应36吨，1份对应吨 ③ 甲仓库原有吨 【知识点睛】比例应用题，抓住不变量（乙仓库）统一份数，通过份数差求1份对应的实际量。 三、思维跃迁篇(5题) 16．【答案】2.5小时 解题步骤： ① 设蜡烛总长为单位“1”，粗蜡烛每小时燃烧，细蜡烛每小时燃烧 ② 设x小时后，粗蜡烛剩余长度是细蜡烛的3倍，列方程： ③ 解方程： → → 小时 【知识点睛】工程问题的变形，将燃烧长度转化为效率，根据剩余长度的倍数关系列方程求解。 17．【答案】130元 解题步骤： ① 设甲商品成本x元，乙商品成本元 ② 甲定价，乙定价，九折后总售价： ③ 总利润27.7元，总售价=成本+利润=227.7元，列方程： → → 元 【知识点睛】多商品利润问题，设成本为未知数，根据总售价列方程求解。 18．【答案】小时（或9小时27分钟） 解题步骤： ① 设水池总量为单位“1”，甲效率，乙效率，丙效率，一个周期3小时，净注水量： ② 计算完整周期数：3个周期后，注水量，剩余 ③ 3个周期用时9小时，剩余工作量先开甲管，甲1小时注，所需时间： 小时 ④ 总用时：小时 【知识点睛】交替工作水管问题，先计算完整周期的净注水量，注意最后剩余工作量无需完整周期，直接计算所需时间。 19．【答案】20% 解题步骤： ① 混合后总溶液质量克，总溶质克 ② 原有溶质克，A、B两种溶液的溶质和克 ③ 设B溶液浓度为x，A溶液浓度为2x，列方程： → → → ④ A溶液浓度 【答案】20% 【知识点睛】多溶液混合问题，核心是总溶质守恒，设未知数表示两种溶液的溶质，列方程求解。 20．【答案】19千米/小时 解题步骤： ① 统一单位：6分钟=0.1小时，10分钟=小时，12分钟=0.2小时 ② 快车追上骑车人时行驶了千米，中车追上时行驶了千米 ③ 骑车人在小时到小时内行驶的路程：千米，时间差小时 ④ 骑车人的速度：千米/小时 ⑤ 三车出发时与骑车人的距离：千米 ⑥ 慢车12分钟追上骑车人，行驶的总路程：千米 ⑦ 慢车速度：千米/小时 【知识点睛】追及问题与比例结合，核心是先求出骑车人的速度和初始距离，再计算慢车的速度。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案1 学科网（北京）股份有限公司 $