第23讲 几何模块综合-六年级数学思维拓展精编讲义（通用版）

第23讲 几何模块综合 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、核心公式与性质全景梳理 1 二、几何解题方法图表记忆法 3 三、奥数思维提升 4 📊 典型例题解构与解题策略精讲 4 📌 考点一：圆与扇形核心公式基础应用 4 📌 考点二：组合平面图形面积计算进阶 6 📌 考点三：圆柱表面积与体积综合应用 9 📌 考点四：圆柱与圆锥体积关系专项突破 10 📌 考点五：几何综合题多模型融合进阶 12 ⚠️ 易错避坑指南 13 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 16 一、基础夯实篇(8题) 16 二、能力进阶篇(7题) 17 三、思维跃迁篇(5题) 19 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 20 一、基础夯实篇(8题) 20 二、能力进阶篇(7题) 22 三、思维跃迁篇(5题) 25 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、核心公式与性质全景梳理 几何模块是小学奥数的核心应用模块，本次复习围绕平面几何（圆、扇形、组合图形）、立体几何（圆柱、圆锥）两大核心板块展开，核心是通过公式精准计算、通过技巧转化简化运算，需精准掌握以下核心知识点： 模块分类 公式类型 公式专业表达 适用场景 关键注意事项 平面几何-圆 圆的周长 已知半径/直径，求圆的周长、滚动路程 1. 区分半径和直径，；2. 半圆周长，不是圆周长的一半 圆的面积 已知半径/直径/周长，求圆的面积 必须用半径计算，禁止直接用直径代入公式，周长求面积先算半径 平面几何-扇形 扇形弧长 已知圆心角、半径，求扇形弧长、周长 扇形周长=弧长+2个半径，不要遗漏两条半径 扇形面积 已知圆心角、半径或弧长、半径，求扇形面积 为扇形圆心角度数，需找准圆心角与360°的占比关系 平面几何-组合图形 圆环面积 环形、半环形、扇环的面积计算 为外圆半径，为内圆半径，平方差公式可简化计算 弓形面积 （劣弧弓形） （优弧弓形） 单弓形、多弓形组合的阴影面积计算 区分劣弧和优弧，准确判断扇形与三角形的加减关系 方中圆/圆中方 方中圆： 圆中方： 正方形与圆内嵌的组合图形快速计算 方中圆：圆的直径=正方形边长；圆中方：圆的直径=正方形对角线 立体几何-圆柱 圆柱侧面积 圆柱表面积、包装纸面积、压路面积计算 侧面积=底面周长×高，找准底面周长与高的对应关系 圆柱表面积 完整圆柱的表面积计算 无盖圆柱，无底无盖仅算侧面积，禁止盲目套用完整公式 圆柱体积 圆柱体积、容积、排水法体积计算 体积=底面积×高，底面积必须用半径计算，容积需从容器内部测量数据 立体几何-圆锥 圆锥体积 圆锥体积、容积计算 必须乘系数，等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的 圆柱圆锥体积关系 等底等高： 等体积等底： 等体积等高： 圆柱与圆锥的体积、底面积、高的互推 只有等底等高的前提下，圆柱与圆锥才有3倍体积关系，禁止随意套用 立体几何-组合图形 组合立体表面积 多个立体拼接后的表面积计算 每拼接1次，表面积减少2个重叠面的面积，切割1次，表面积增加2个切面的面积 组合立体体积 多个立体组合的体积、容积计算 体积具有可加性，拼接不改变总体积，仅改变表面积 二、几何解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 关键操作步骤 记忆技巧 公式梳理法 分模块梳理核心公式与性质，形成结构化知识体系，强化记忆，规避公式误用 1. 按平面/立体两大模块拆分公式；2. 标注每个公式的适用场景与高频易错点；3. 制作公式对应图形卡片，图文结合记忆；4. 结合基础题巩固公式应用 分类记公式，图形配公式，易错点标红，用则不混淆 割补转化法 将不规则、分散的组合图形，通过割、补、平移、旋转、对称，转化为圆、扇形、正方形等规则图形，化繁为简 1. 观察图形结构，找到不规则部分的特征；2. 通过切割、平移、旋转，将分散的图形拼接为完整规则图形；3. 分别计算规则图形的面积/体积；4. 按题目要求合并或求差得到结果 不规则转规则，割补平移化繁为简，分散变整体 等积变形法 利用面积/体积不变的核心性质，转换图形的底和高、形状，解决无法直接计算的几何问题 1. 锁定题目中的不变量（面积/体积）；2. 找到等高/等底的对应关系，转换图形形状；3. 套用公式计算转换后的规则图形；4. 还原得到原图形的结果 积不变，形转换，找等高/等底是关键，正难则反 整体减空白法 当阴影部分为不规则图形，直接计算困难时，用整体规则图形的面积减去空白部分的面积，快速求解 1. 确定包含阴影的整体规则图形；2. 拆分空白部分为多个规则图形，分别计算求和；3. 整体面积减去空白总面积，得到阴影面积 直接算难就反着来，整体减空白，一步出结果 错题复盘法 拆解几何错题，定位知识点漏洞与错误根源，专项强化，避免重复踩坑 1. 标注错题对应的核心知识点与公式；2. 拆解错误步骤，明确是公式误用、方法错误还是计算失误；3. 针对性做同类型专项练习；4. 总结高频易错点，形成避坑清单 错因找根源，同类练三遍，不踩同一个坑 三、奥数思维提升 1　 转化思想：将不规则图形、复杂组合图形转化为圆、扇形、圆柱、圆锥等基础规则图形，化未知为已知，是几何解题的核心底层逻辑 2　 等积变形思想：利用底高比例关系、排水法等，在面积/体积不变的前提下，转换图形的形状与位置，解决无法直接测量、直接计算的几何问题 3　 割补平移思想：通过切割、填补、平移、旋转，将分散的、不规则的图形拼接为完整的规则图形，减少计算步骤，提升运算准确率 4　 容斥原理思想：针对有重叠部分的组合图形，通过“各部分面积之和 - 重叠部分面积”计算总面积，解决圆与正方形、多扇形交叉的复杂阴影面积问题 5　 逆向思维：从面积/体积的结果反推半径、高、圆心角、底面积等未知量，解决几何逆向求解、方程类几何问题 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：圆与扇形核心公式基础应用 ✨ 典型例题 1（基础型——圆的周长与面积综合） 一个圆形花坛的直径是12米，在花坛的周围修一条宽1米的环形小路，求这条小路的面积和小路外沿的周长。（π取3.14） 解题步骤： ① 确定内外圆半径：内圆（花坛）半径米，外圆半径米 ② 计算小路面积（圆环面积）：平方米 ③ 计算小路外沿周长（外圆周长）：米 ④ 检验：结果符合圆环面积、圆周长公式，数值在合理范围 【答案】小路面积40.82平方米，外沿周长43.96米 【知识点睛】圆环面积是圆的核心考点，关键是准确区分内外圆的半径，小路的宽度是内外圆半径的差，而非直径的差；计算周长时，需明确是内圆还是外圆的周长，避免半径用错。 ✨ 典型例题 2（提高型——扇形的弧长与面积计算） 一个扇形的圆心角是120°，半径是6厘米，求这个扇形的周长和面积。（π取3.14） 解题步骤： ① 计算扇形弧长：厘米 ② 计算扇形周长：扇形周长=弧长+2条半径，即厘米 ③ 计算扇形面积：平方厘米 ④ 验证：用弧长公式验证面积平方厘米，结果一致 【答案】扇形周长24.56厘米，面积37.68平方厘米 【知识点睛】扇形计算的高频易错点是遗漏周长中的两条半径，扇形周长≠弧长，必须加上两条半径；面积计算有两个公式，可相互验证结果，避免圆心角占比计算错误。 ✨ 典型例题 3（综合型——方中圆与圆中方进阶） 有一个面积为20平方厘米的正方形，在正方形内画一个最大的圆，再在圆内画一个最大的正方形，求圆的面积和圆内小正方形的面积。（π取3.14） 解题步骤： ① 方中圆：圆的直径=大正方形的边长，根据方中圆面积比 圆的面积平方厘米 ② 圆中方：圆的直径=小正方形的对角线，根据圆中方面积比 小正方形面积平方厘米 ③ 验证：大正方形边长为，，圆半径，面积，结果一致；小正方形对角线为，面积=对角线²÷2=，结果一致 【答案】圆的面积15.7平方厘米，圆内小正方形面积10平方厘米 【知识点睛】方中圆、圆中方的核心是找准正方形与圆的边长/直径/对角线的对应关系，记住固定面积比可大幅简化计算，无需开方求边长，避免复杂计算失误。 📌 考点二：组合平面图形面积计算进阶 ✨ 典型例题 4（基础型——割补平移法求阴影面积） 如图，边长为10厘米的正方形内，有两个半径为10厘米的半圆交叉形成阴影，求阴影部分的面积。（π取3.14） 解题步骤： ① 观察图形，阴影部分是两个扇形的重叠区域，用容斥原理：两个扇形的面积和 = 正方形面积 + 阴影面积 ② 计算两个扇形的面积和：每个扇形是圆心角90°，半径10厘米，两个扇形拼接为一个半圆，面积平方厘米 ③ 计算正方形面积：平方厘米 ④ 推导阴影面积：平方厘米 ⑤ 割补法验证：将阴影拆分，平移后可拼接为半圆减正方形，结果一致 【答案】57平方厘米 【知识点睛】组合图形面积计算，核心是找准图形的构成，容斥原理是解决重叠阴影面积的关键，割补平移法可将不规则阴影转化为规则图形的加减，避免复杂拆分计算。 ✨ 典型例题 5（提高型——旋转法求阴影面积） 如图，三角形ABC是等腰直角三角形，直角边AB=BC=10厘米，以A为圆心，AB为直径画圆弧，以C为圆心，BC为半径画圆弧，求阴影部分的面积。（π取3.14） 解题步骤： ① 观察图形，通过旋转，将两扇形任意一个旋转可拼接成一个圆 ② 计算圆面积：半径5厘米，平方厘米 ③ 计算等腰直角三角形面积：平方厘米 ④ 阴影面积：平方厘米 【答案】30.375平方厘米 【知识点睛】旋转法适用于有相等边长、相等半径的组合图形，通过旋转将分散的阴影拼接为一个完整的规则图形，大幅简化计算，核心是找到旋转中心和旋转角度，确保图形完全重合。 📌 考点三：圆柱表面积与体积综合应用 ✨ 典型例题 6（基础型——圆柱表面积与体积计算） 一个圆柱的底面半径是4厘米，高是10厘米，求这个圆柱的表面积和体积。（π取3.14） 解题步骤： ① 计算底面积：平方厘米 ② 计算侧面积：平方厘米 ③ 计算表面积：平方厘米 ④ 计算体积：立方厘米 【答案】表面积351.68平方厘米，体积502.4立方厘米 【知识点睛】圆柱表面积计算必须明确包含几个底面，完整圆柱是2个底面，无盖圆柱是1个底面，无底无盖仅算侧面积；体积计算是底面积乘高，与表面积公式严格区分，避免混淆。 ✨ 典型例题 7（提高型——圆柱切拼后的表面积变化） 一个高为8厘米的圆柱，沿底面直径垂直切开，分成两个完全相同的半圆柱，表面积增加了128平方厘米，求原来圆柱的体积。（π取3.14） 解题步骤： ① 分析表面积增加的部分：沿直径切开，增加了2个完全相同的长方形切面，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径 ② 计算一个切面的面积：平方厘米 ③ 计算底面直径：长方形面积=高×直径，因此直径厘米，半径厘米 ④ 计算圆柱体积：立方厘米 【答案】401.92立方厘米 【知识点睛】圆柱切割问题的核心是找准表面积增加的切面形状与数量：沿直径垂直切，增加2个长方形切面；沿水平方向横切，增加2个圆形底面。通过增加的表面积反推底面半径或高，是圆柱高频考点。 ✨ 典型例题 8（综合型——无盖圆柱的实际应用） 一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面周长是18.84分米，高是5分米，做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？这个水桶最多能装多少升水？（铁皮厚度忽略不计，π取3.14） 解题步骤： ① 计算底面半径：底面周长，因此分米 ② 计算需要的铁皮面积（无盖圆柱表面积）：平方分米 ③ 计算水桶容积：立方分米=141.3升 【答案】需要122.46平方分米铁皮，最多能装141.3升水 【知识点睛】无盖圆柱的实际应用，核心是表面积仅计算1个底面，避免多算一个底面导致铁皮面积错误；容积计算需注意单位转换，1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升。 📌 考点四：圆柱与圆锥体积关系专项突破 ✨ 典型例题 9（基础型——圆锥体积计算） 一个圆锥的底面直径是6厘米，高是5厘米，求这个圆锥的体积。（π取3.14） 解题步骤： ① 计算底面半径：厘米 ② 套用圆锥体积公式： ③ 计算结果：立方厘米 【答案】47.1立方厘米 【知识点睛】圆锥体积计算必须乘系数，这是最高频易错点；必须用半径计算底面积，禁止直接用直径代入公式，计算时可先约分，简化运算。 ✨ 典型例题 10（提高型——等底等高圆柱圆锥体积关系） 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是48立方分米，求圆柱和圆锥的体积分别是多少？ 解题步骤： ① 等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍，设圆锥体积为1份，圆柱体积为3份，总体积为4份 ② 计算1份的体积（圆锥体积）：立方分米 ③ 计算圆柱体积：立方分米 ④ 验证：立方分米，符合体积和，且满足3倍关系 【答案】圆柱体积36立方分米，圆锥体积12立方分米 【知识点睛】等底等高的圆柱与圆锥，体积比是3:1，体积差是2倍圆锥体积，体积和是4倍圆锥体积，记住比例关系可快速求解，无需列方程。 ✨ 典型例题 11（综合型——排水法求圆锥体积） 一个底面半径是10厘米的圆柱形水桶里装有水，把一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，水面上升了0.5厘米，求这个铅锤的高。（π取3.14） 解题步骤： ① 分析：水面上升的体积等于圆锥形铅锤的体积 ② 计算上升的水的体积（圆柱体积）：立方厘米 ③ 圆锥体积=157立方厘米，反推圆锥的高： ④ 代入计算：厘米 【答案】6厘米 【知识点睛】排水法是立体几何体积转换的核心方法，完全浸没时，物体体积等于水面上升/下降的体积；圆锥体积反推高时，必须先乘3，再除以底面积，避免遗漏的反向应用。 📌 考点五：几何综合题多模型融合进阶 ✨ 典型例题 12（综合型——平面与立体几何融合） 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径是10厘米，求这个圆柱的表面积和体积。（π取3.14） 解题步骤： ① 侧面展开图是正方形，说明圆柱的底面周长=高 ② 计算底面周长（高）：厘米，半径厘米 ③ 计算表面积：平方厘米 ④ 计算体积：立方厘米 【答案】表面积1142.96平方厘米，体积2464.9立方厘米 【知识点睛】侧面展开图是正方形的圆柱，核心特征是底面周长=高，需结合圆的周长公式先求出高，再计算表面积和体积，是圆柱高频综合考点。 ✨ 典型例题 13（综合型——圆柱与圆锥组合立体） 一个粮仓，上面是圆锥形，下面是圆柱形，圆柱的底面周长是12.56米，高是2米，圆锥的高是0.6米，每立方米粮食重750千克，这个粮仓最多能装多少吨粮食？（π取3.14） 解题步骤： ① 计算底面半径：米 ② 计算圆柱体积：立方米 ③ 计算圆锥体积：立方米 ④ 计算总体积：立方米 ⑤ 计算粮食重量：千克=20.724吨 【答案】20.724吨 【知识点睛】组合立体的体积计算，核心是分别计算各部分体积再求和，注意圆锥体积必须乘，同时注意单位转换，千克与吨的进率是1000。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 圆锥体积计算忘记乘，反向求高/底面积时忘记乘3 错误示例：一个圆锥底面半径3厘米，高5厘米，错误计算体积为立方厘米，遗漏。 正确分析：圆锥体积公式是，必须乘系数，正确结果是47.1立方厘米；反向求高时，必须先将体积乘3，再除以底面积，禁止直接用体积除以底面积。 ❌ 组合图形割补、容斥应用错误，重复计算或漏算面积 错误示例：两个扇形交叉的阴影面积，错误用正方形面积减去两个扇形面积，导致结果为负数，逻辑错误。 正确分析：重叠阴影面积需用容斥原理，两个图形的面积和 = 整体面积 + 重叠面积，因此重叠面积=两个图形面积和 - 整体面积；割补时需确保图形平移、旋转后完全重合，不改变面积大小，避免漏算或多算部分面积。 ❌ 圆柱表面积计算混淆有盖/无盖/无底，漏算或多算底面 错误示例：无盖圆柱形水桶，错误计算表面积为2个底面积+侧面积，多算一个底面，导致铁皮用量计算错误。 正确分析：圆柱表面积需结合实际场景判断底面数量：完整圆柱2个底面，无盖水桶/水池1个底面，通风管/烟囱0个底面，禁止盲目套用完整表面积公式。 ❌ 半径与直径混淆，公式中错用直径代替半径 错误示例：圆的直径10厘米，错误计算面积为平方厘米，直接用直径代入面积公式。 正确分析：圆、扇形、圆柱、圆锥的所有核心公式，均使用半径计算，已知直径时必须先除以2得到半径，再代入公式，禁止直接用直径计算面积、体积。 ❌ 扇形周长计算遗漏两条半径，误将弧长当作周长 错误示例：圆心角120°，半径6厘米的扇形，错误计算周长为12.56厘米，仅算了弧长，遗漏两条半径。 正确分析：扇形周长=弧长+2条半径，扇形是一个封闭图形，必须包含两条半径的长度，正确周长是24.56厘米。 ❌ 圆柱切割/拼接时，表面积变化计算错误，漏乘2 错误示例：圆柱横切一刀分成两个圆柱，错误认为表面积增加1个底面面积。 正确分析：每切割1次，增加2个切面的面积；每拼接1次，减少2个重叠面的面积，必须乘2，避免遗漏。 ❌ 单位不统一，计算前未换算单位，导致结果错误 错误示例：圆柱底面半径10厘米，高2分米，错误直接计算体积为立方厘米，未统一单位。 正确分析：几何计算前必须统一单位，半径10厘米=1分米，正确体积是立方分米=6280立方厘米，避免单位不统一导致的数量级错误。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 一、基础夯实篇(8题) 1． 一个圆形喷水池的半径是5米，在它的周围修一条宽2米的环形小路，求小路的面积。（π取3.14） 2． 一个扇形的圆心角是90°，半径是8厘米，求这个扇形的周长和面积。（π取3.14） 3． 一个圆柱的底面直径是6分米，高是8分米，求它的表面积和体积。（π取3.14） 4． 一个圆锥的底面半径是4厘米，高是6厘米，求它的体积。（π取3.14） 5． 一个边长为8厘米的正方形，在里面画一个最大的圆，求圆的面积和正方形与圆之间的面积差。（π取3.14） 6． 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积差是24立方厘米，求圆柱和圆锥的体积。 7． 一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面半径是3分米，高是6分米，做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？（π取3.14） 8． 一个圆柱的底面周长是18.84厘米，侧面展开图是一个正方形，求这个圆柱的高。（π取3.14） 二、能力进阶篇(7题) 9． 如图，边长为12厘米的正方形，分别以四条边为直径向内画半圆，形成四个花瓣状的阴影，求阴影部分的面积。（π取3.14） 10． 一个圆柱的高减少2厘米，表面积就减少50.24平方厘米，求这个圆柱的底面积。（π取3.14） 11． 一个底面直径是20厘米的圆柱形玻璃缸里装有水，将一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升了2厘米，求这个铁块的高。（π取3.14） 12． 一个圆环的外圆周长是62.8厘米，内圆周长是31.4厘米，求圆环的面积。（π取3.14） 13． 一个圆柱的侧面展开图是一个长方形，长是18.84厘米，宽是10厘米，求这个圆柱的最大体积。（π取3.14） 14． 一个圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长，已知正方体的体积是60立方厘米，求圆锥的体积。（π取3.14） 15． 如图，等腰直角三角形的直角边是6厘米，分别以两条直角边为直径画半圆，求阴影部分的面积。（π取3.14） 三、思维跃迁篇(5题) 16． 一个粮仓，上面是圆锥形，下面是圆柱形，圆柱和圆锥的底面半径都是3米，圆柱的高是4米，圆锥的高是圆柱高的，每立方米粮食重800千克，这个粮仓最多能装多少吨粮食？（π取3.14） 17． 把一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体木块，削成一个最大的圆柱，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，求圆锥的最大体积。（π取3.14） 18． 如下图，以直角三角形ABC的一条直角边AB为直径画一个半圆。已知AB=20厘米，阴影部分1的面积比2的面积小18平方厘米，求BC的长度。（π取3.14） 19． 一个圆柱形容器，底面半径是10厘米，里面装有水深12厘米的水，现将一个底面半径是5厘米，高是10厘米的圆锥形铁块，完全浸没在水中，水面会上升多少厘米？（π取3.14） 20． 有一个底面直径是2分米的圆柱形玻璃杯，里面装有一部分水，水中浸没着一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水面会下降多少厘米？（π取3.14） 🔍 精准解析—思路拆解・知识点睛 一、基础夯实篇(8题) 1．【答案】75.36平方米 解题步骤： ① 外圆半径米，内圆半径米 ② 圆环面积平方米 【知识点睛】圆环面积的基础应用，关键是准确计算外圆半径，小路宽度是半径的差值。 2．【答案】周长28.56厘米，面积50.24平方厘米 解题步骤： ① 弧长厘米 ② 扇形周长厘米 ③ 扇形面积平方厘米 【知识点睛】扇形周长必须加上两条半径，避免仅计算弧长的错误。 3．【答案】表面积207.24平方分米，体积226.08立方分米 解题步骤： ① 半径分米，底面积平方分米 ② 侧面积平方分米 ③ 表面积平方分米 ④ 体积立方分米 【知识点睛】完整圆柱表面积包含2个底面，体积=底面积×高，公式严格区分。 4．【答案】100.48立方厘米 解题步骤： ① 底面积平方厘米 ② 圆锥体积立方厘米 【知识点睛】圆锥体积必须乘，本题可先约分，6和约分为2，简化计算。 5．【答案】圆的面积50.24平方厘米，面积差13.76平方厘米 解题步骤： ① 圆的直径=正方形边长=8厘米，半径厘米 ② 圆的面积平方厘米 ③ 正方形面积平方厘米，面积差平方厘米 【知识点睛】方中圆的基础应用，圆的直径等于正方形的边长，面积比固定为。 6．【答案】圆柱体积36立方厘米，圆锥体积12立方厘米 解题步骤： ① 等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍，体积差是2倍圆锥体积 ② 圆锥体积立方厘米，圆柱体积立方厘米 【知识点睛】等底等高圆柱与圆锥的体积关系，体积差是2倍圆锥体积，体积和是4倍圆锥体积。 7．【答案】141.3平方分米 解题步骤： ① 底面积平方分米 ② 侧面积平方分米 ③ 无盖水桶表面积平方分米 【知识点睛】无盖圆柱仅计算1个底面积，避免多算一个底面的错误。 8．【答案】18.84厘米 解题步骤： ① 侧面展开图是正方形，说明圆柱的底面周长=高 ② 底面周长是18.84厘米，因此高是18.84厘米 【知识点睛】侧面展开图为正方形的圆柱，核心特征是底面周长=高，无需额外计算。 二、能力进阶篇(7题) 9．【答案】82.08平方厘米 解题步骤： ① 四个半圆拼接为2个完整的圆，半径厘米 ② 两个圆的面积和平方厘米 ③ 正方形面积平方厘米 ④ 阴影面积=两个圆面积和 - 正方形面积平方厘米 【知识点睛】花瓣阴影面积的经典题型，用容斥原理求解，四个半圆的面积和减去正方形面积，就是重叠的花瓣阴影面积。 10．【答案】50.24平方厘米 解题步骤： ① 高减少2厘米，表面积减少的是高2厘米的圆柱侧面积 ② 侧面积平方厘米，代入，得厘米 ③ 底面积平方厘米 【知识点睛】圆柱高变化时，表面积变化仅来自侧面积，底面积不变，通过侧面积反推底面半径。 11．【答案】24厘米 解题步骤： ① 水面上升的体积=圆锥形铁块的体积 ② 玻璃缸半径厘米，上升体积立方厘米 ③ 圆锥体积立方厘米，高厘米 【知识点睛】排水法求圆锥体积，反向求高时必须先乘3，再除以底面积，避免遗漏的反向应用。 12．【答案】235.5平方厘米 解题步骤： ① 外圆半径厘米，内圆半径厘米 ② 圆环面积平方厘米 【知识点睛】已知周长求半径，再计算圆环面积，核心是通过周长公式准确求出内外圆半径。 13．【答案】282.6立方厘米 解题步骤： ① 分两种情况： 情况1：长18.84厘米为底面周长，半径厘米，体积立方厘米 情况2：宽10厘米为底面周长，半径厘米，体积立方厘米 ② 最大体积是282.6立方厘米 【知识点睛】侧面展开图的长和宽都可以作为底面周长，需分情况计算，取体积最大值，底面周长越大，底面积越大，体积越大。 14．【答案】62.8立方厘米 解题步骤： ① 设正方体棱长为，则立方厘米 ② 圆锥的底面半径和高都是，体积 ③ 代入，得立方厘米 【知识点睛】无需开方求棱长，直接将正方体体积代入圆锥体积公式，简化计算，是代数思想在几何中的应用。 15．【答案】10.26平方厘米 解题步骤： ① 两个半圆拼接为一个完整的圆，半径厘米，圆的面积平方厘米 ② 等腰直角三角形面积平方厘米 ③ 阴影面积=圆的面积 - 三角形面积平方厘米 【知识点睛】容斥原理的应用，两个半圆的面积和减去三角形面积，得到阴影部分的总面积，割补法验证结果一致。 三、思维跃迁篇(5题) 16．【答案】97.968吨 解题步骤： 1　 圆柱体积： 2　 圆锥体积： 3　 总体积：122.46立方米 4　 重量：122.46×800=97968千克=97.968吨 【答案】97.968吨 【知识点睛】组合立体体积计算，分别计算圆柱和圆锥体积，注意圆锥体积乘，单位转换千克转吨，除以1000。 17．【答案】100.48立方厘米 解题步骤： ① 分三种情况削圆柱，取最大体积： 情况1：以8×6的面为底面，直径最大6厘米，高10厘米，体积立方厘米 情况2：以10×8的面为底面，直径最大8厘米，高6厘米，体积立方厘米 情况3：以10×6的面为底面，直径最大6厘米，高8厘米，体积立方厘米 ② 最大圆柱体积是301.44立方厘米，削成最大圆锥，体积是圆柱的，即立方厘米 【答案】100.48立方厘米 【知识点睛】长方体削最大圆柱，需分三种情况计算，底面直径取长方形的短边，体积最大的情况是底面积最大的情况；等底等高的圆锥体积是圆柱的。 18．【答案】17.5厘米 解题步骤： ① 阴影①比阴影②小18平方厘米，说明半圆面积比三角形ABC的面积小18平方厘米 ② 半圆面积平方厘米 ③ 三角形ABC的面积平方厘米 ④ 三角形面积，代入AB=20，得厘米 【知识点睛】差不变原理的应用，两个阴影的面积差，等于两个整体图形的面积差，无需计算空白部分面积，简化求解。 19．【答案】厘米≈0.83厘米 解题步骤： ① 圆锥形铁块的体积立方厘米 ② 圆柱形容器的底面积平方厘米 ③ 水面上升高度铁块体积容器底面积厘米≈0.83厘米 【答案】厘米（或约0.83厘米） 【知识点睛】完全浸没时，物体体积等于水面上升的体积，用体积除以容器底面积，得到水面上升的高度，注意圆锥体积必须乘。 20．【答案】0.3厘米 解题步骤： ① 统一单位：2分米=20厘米，玻璃杯半径厘米，铅锤半径厘米 ② 圆锥形铅锤的体积立方厘米 ③ 玻璃杯底面积平方厘米 ④ 水面下降高度厘米 【答案】0.3厘米 【知识点睛】铅锤取出后，水面下降的体积等于铅锤的体积，计算前必须统一单位，避免分米和厘米的单位混淆导致错误。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案1 学科网（北京）股份有限公司 $