7.3.2 离散型随机变量的方差（培优教学课件）数学人教A版选择性必修第三册

7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.2 离散型随机变量的方差 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册·高二 章节导读 条件概率与全概率公式 条件概率 全概率公式 随机变量 离散型随机变量 分布列 均值和方差 二项分布 超几何分布 连续型随机变量 正态分布 学 习 目 标 1 2 3 会根据离散型随机变量的分布列求出方差、标准差，提升数学抽象和数学运算的核心素养. 掌握离散型随机变量方差的性质，并能简单应用 能利用离散型随机变量的方差解决一些简单的实际问题，提升数学建模的核心素养 知识回顾 1. 离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 2. 均值的性质： 3. 随机变量X服从两点分布，则有 新知导入 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” . 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小 . 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 新知探究 问题1 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 如何评价这两名同学的射击水平? 通过计算可得， 由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. E(X)= 8 ；E(Y)=8 思考 那么我们将如何评价这两名同学的射击水平呢? 新知探究 为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图. O 6 7 8 10 9 P 0.1 0.2 0.3 0.4 O 6 7 8 10 9 P 0.1 0.2 0.3 0.4 比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 新知探究 我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的. 问题2 怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 所以我们可以用能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度呢？ 答案是肯定的！ 新知探究 样本数据的方差 随机变量取值的方差 定义新知 离散型随机变量的方差与标准差的概念 X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 设离散型随机变量X的分布列如下表所示. 随机变量X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方为 (x1－E(X))2， (x2－E(X))2 ，‧ ‧ ‧，(xn－E(X))2. 所以偏差平方的平均值为 我们把随机变量X的这个平均值称为随机变量X的方差，用D(X)表示. (x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2 p2＋‧ ‧ ‧＋(xn－E(X))2pn . 因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来衡量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度. 定义新知 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的方差， 有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 离散型随机变量的方差与标准差的概念 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 新知探究 现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性． 已知：E(X)= 8 ；E(Y)=8 X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 ∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 新知探究 在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论. 新知探究 方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质． 问题3 离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化? 离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化? 它们和期望的性质有什么不同? 离散型随机变量X加上一个常数b, 其均值也相应加上常数b, 故不改变X与其均值的离散程度, 方差保持不变. 离散型随机变量X乘以一个常数a, 其方差变为原方差的a2倍. 新知探究 一般地，可以证明以下的结论成立： 方差性质 说明: (1)当a=0时，D(aX+b)=D(b)=0，即常数的方差等于0. (2)当a=1时，D(X+b)=D(X)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身. (3)当b=0时，D(aX)=a2D(X)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积. (4)当a，b均为非零常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X) . 典例分析 例5 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差. 解1：随机变量X的分布列为 典例分析 例5 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差. 解2：随机变量X的分布列为 说明: 方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法． 典例分析 例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 投资哪种股票的期望收益大? 投资哪种股票的风险较高? 收益X /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y /元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 分析：股票投资收益是随机变量, 期望收益就是随机变量的均值. 投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下, 可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低, 方差越大风险越高, 方差越小风险越低. 典例分析 ∵E(X)>E(Y), ∴投资股票A的期望收益较大. E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1, E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1. ∵E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y), ∴投资股票A比投资股票B的风险高. (2)股票A和股票B投资收益的方差分别为 D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×0.6−1.12=1.29, D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3−12=0.6. 解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为 在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小． 新知解读 随机变量的方差是一个重要的数字特征,它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度,或者说反映随机变量取值的离散程度. 在不同的实际问题背景中,方差可以有不同的解释.例如， (1)如果随机变量是某项技能的测试成绩,那么方差的大小反映了技能的稳定性; (2)如果随机变量是加工某种产品的误差,那么方差的大小反映了加工的精度; (3)如果随机变量是风险投资的收益,那么方差的大小大小反映了投资风险的高低. 巩固练习 课本70页 解： 1. 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 求D(X)和σ(2X＋7). 巩固练习 课本70页 2.若随机变量X满足P(X=c)=1，其中c为常数，求D(X). 解： 巩固练习 课本70页 3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位: cm)的分布列如下: 甲班的目测误差分布列 X －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断. 乙班的目测误差分布列 Y －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 解：直观的观察可判断X的离散程度较大，下面用方差验证. ∵D(X)>D(Y) ∴ X的分布离散程度较大 离散型随机变量的方差、标准差 题型一 题型探究 【例1】(1) 已知随机变量的分布列如下表（其中 为常数），则下列选项正确的 是( ) 0 1 2 3 0.2 0.4 0.1 C A. B. C. D. [解析] 由 ， 得 ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选C. 离散型随机变量的方差、标准差 题型一 题型探究 【例1】(2)已知随机变量的可能取值为0，1，2，若 ，， 则__， _ ___. [解析] 设，则 ， 由，得 ， 所以, , 则， . 离散型随机变量的方差、标准差 题型一 题型探究 解题感悟 求离散型随机变量 的方差的基本步骤 （1）理解的意义，写出 的所有可能取值； （2）求取每个值时的概率，并写出 的分布列； （3）由均值的定义求出 ； （4）利用公式求出 . 离散型随机变量方差的性质 题型二 题型探究 【例2】(1)(多选题)设离散型随机变量 的分布列为 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足 ，则( ) ABD A. B. C. D. [解析] 由分布列的性质知，则 ， 故 ，故A正确； ，故C错误； ，故B正确； ，故D正确. 故选 . 离散型随机变量方差的性质 题型二 题型探究 【例2】(2)若随机变量服从两点分布，且，则 _____. 0.21 [解析] 随机变量服从两点分布，且 ， . 【例2】(3)已知为离散型随机变量，且， .若，， ,,则 的值是______. 0或2 [解析] 由，得，即 . 又，所以当时，，解得 ， 此时；当时，，解得 ， 此时. 综上， 的值是0或2. 离散型随机变量方差的性质 题型二 题型探究 提分笔记 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 （1）已知分布列，直接利用定义求解. （2）若 <m></m> 服从两点分布，则 <m></m> . （3）若未知分布列，则可先借助已知条件及概率知识求得分布列，再求 方差. （4）若已知 <m></m> 求 <m></m> ，则利用方差的性质求解， 即 <m></m> . 离散型随机变量方差的简单实际应用 题型三 题型探究 【例3】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量<m></m>，<m></m>，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6，且甲射中<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>环的概率分别为0.5, <m></m>，<m></m>,<m></m>，乙射中<m></m>,<m</m>,<</m>环的概率分别为<m></m>,<m></m>,<m></m>. (1)求 <m></m> ， <m></m> 的分布列； [解析] 由题意得 ，解得 . 因为乙射中 , , 环的概率分别为0.3, , ， 所以乙射中7环的概率为 ， 所以 ， 的分布列分别为 10 9 8 7 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 离散型随机变量方差的简单实际应用 题型三 题型探究 (2)求 <m></m> ， <m></m> 的数学期望与方差，并比较甲、乙的射击技术. [解析] 由（1）得， ， ， 所以 ， . ， ， 说明甲射中环数的均值比乙高，且成绩比乙稳定，所以甲比乙的射击技术好. 离散型随机变量方差的简单实际应用 题型三 题型探究 解题感悟 均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断. 课堂达标 1.若为离散型随机变量，则“”是“ ”的( ) B A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析] 由，得，由 ，得 ，则“”是“ ”的必要不充分条件. 故选B. 课堂达标 2.已知离散型随机变量满足， ，则( ) B A. ， B. ， C. ， D. ， [解析] 由，得 ， 由，得 ，故选B. 课堂达标 3.已知甲、乙两种零件某次性能测评的分值分别为， ，且它们的分布列如下， 则性能更稳定的零件是____. 8 9 10 0.3 0.2 0.5 8 9 10 0.2 0.4 0.4 乙 [解析] ， ， 所以 , , 因为 ，所以性能更稳定的零件是乙. 课堂小结 名称 数学期望 方差 定义 　　 　　 性质 (为常数,且) (为常数,且) 数学 意义 是一个常数,它反映了随 机变量取值的平均水平. 是一个常数,它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度. 感谢聆听! $