压轴08 带电粒子在电磁组合场中的运动（压轴题专练）（全国通用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

压轴08 带电粒子在电磁组合场中的运动 命题预测 2026年高考物理中，带电粒子在电磁组合场中的运动依旧是核心高频考点，大概率以压轴综合题形式出现，命题会贴合新课标导向，侧重结合科技应用情境命题，如粒子探测、电磁仪器等真实场景。考题将以电场加速、磁场偏转的分段运动为主，重点考查受力分析、运动轨迹推导、临界条件判断，融合动能定理、几何关系、能量守恒等知识，弱化繁琐计算，强化物理建模与逻辑分析能力的考查。 备考时需牢牢把握基础规律，明晰电场力、洛伦兹力的受力特点与做功差异，熟练掌握类平抛、匀速圆周运动的解题方法，精准突破有界磁场临界问题、多过程衔接等重难点。同时要针对性练习典型真题与模拟题，总结解题模型与几何分析技巧，提升知识迁移能力，做到快速梳理物理过程、规范书写解题步骤，高效攻克这类综合题型。 高频考法 1.粒子由磁场进入电场 2.粒子由电场进入磁场 3.粒子在电场和磁场中的往复运动 4.带电粒子在交变磁场中的运动 5.带电粒子在组合场中含动量问题 考向一 带电粒子在电磁组合场中的基本规律 1．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 2.“电偏转”与“磁偏转”的基本规律 垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹示例 求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝；周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 考向二 先电场后磁场 (1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 (2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 考向三 先磁场后电场 对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： (1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 (2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 典例·靶向·突破 题型01 先电场后磁场 1．如图所示，直角坐标系中存在匀强电场和匀强磁场。其中一、二象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，三、四象限存在沿轴正方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的带电粒子从点沿轴正方向射出，初速度大小为。经电场作用后从轴上点进入磁场。带电粒子在磁场中运动，恰好可以沿轴负方向撞击位于正半轴上某位置处的一块挡板，撞击挡板后带电粒子速度大小不变，方向反向，经过一段时间后带电粒子恰好可以重新返回至点。若之间的距离为，，不考虑重力的作用，求： (1)求电场强度的大小以及带电粒子经过点时速度的大小及速度方向与轴正方向夹角的正切值； (2)挡板所处位置与坐标原点的距离以及磁感应强度的大小； (3)带电粒子从点出发第一次回到所用的时间。 题型解码 电场中用动能定理或运动学求速度，磁场中画轨迹、定圆心、几何关系求半径，分段处理，以速度为衔接。 题型02 先磁场后电场 2．如图所示，在xOy平面内，有一宽度为b的粒子源持续不断地沿x轴正方向发射速率均为v0的正粒子，在粒子源的右侧，有一个半径为R的圆形匀强磁场，匀强磁场的方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小为B1＝B，粒子源最低点与磁场圆心O1等高，其中正对圆形磁场圆心O1射入磁场的粒子经磁场偏转后恰沿y轴的负方向从O点射出。x轴下方有一与其平行的直线区域AC，AC与x轴相距为d，x轴与直线AC间区域分布有平行于y轴负方向的匀强电场，电场强度大小，已知，不计粒子的重力，忽略粒子间相互作用和各场的边缘效应。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子流从O点射出时与y轴负方向的夹角θ的范围； (3)粒子离开匀强电场时速度的大小以及与AC夹角的最小值β的余弦值。 题型解码 先由磁场圆周运动确定出射速度大小与方向，再进入电场做匀变速/类平抛。注意，出磁场时速度方向容易画错，必须规范作图。 题型03 交变电磁组合场 3．如甲图所示，三维直角坐标系所在的整个空间存在竖直方向的匀强磁场，其磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示（磁场方向取竖直向上为正）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从坐标原点O以速度v沿y轴正方向射入磁场。图乙中B已知，。 (1)若粒子重力可忽略不计，试求粒子在内做圆周运动的轨迹半径； (2)若粒子重力可忽略不计，试求时刻粒子的位置坐标； (3)若粒子重力不可忽略，试求粒子出发后经过z轴时的位置坐标（重力加速度为g）。 题型解码 按场的周期分段分析，确定每段受力与运动形式。核心是抓住速度、位移连续性，巧用周期与对称性。同时注意，场的切换时刻速度不能突变，受力突变要立刻重新判断运动。 题型04 三维空间电磁组合场 4．在半导体器件制造中，离子注入的角度控制是决定其性能的关键之一，其控制过程可简化为如图所示模型。空间直角坐标系o-xyz中有一个长为4L、高为2L的长方体区域，被正方形abcd等分成左右两个相等的正方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，整个长方体空间（含边界）存在沿x轴正方向的匀强电场E，同时空间Ⅱ还存在沿x轴正方向的匀强磁场B（图中均未标出）。已知一个质量为m，电荷量为q的离子从ON边的中点P以速度v0平行于z轴正方向射入，一段时间后该离子经过正方形abcd的中心点Q，且离子在空间Ⅱ运动的过程中，恰好未从xoz面飞出，不计离子重力和空气阻力，不考虑其他影响，则（　　） A．该离子带负电 B．空间Ⅰ中匀强电场的电场强度大小 C．空间Ⅱ中匀强磁场的磁感应强度大小 D．该离子离开此区域时速度与x轴正方向的夹角满足 题型解码 可以分解为沿磁场方向直线运动 + 垂直磁场方向圆周运动。 技巧：三维问题降维处理，只在垂直磁场平面内画圆。 题型05 带电粒子在电场和磁场中的往复运动 5．MM50是新一代三维适形和精确调强的放射治疗尖端设备，其核心技术之一是多级能量跑道回旋加速器，工作原理如图所示。两个匀强磁场区域、的边界平行，相距为，磁感应强度大小均为，方向垂直纸面向外。下方两‘条横向虚线之间的区域存在水平向左的匀强电场（两条横向虚线之间的区域宽度很窄，可忽略不计），方向与磁场边界垂直。某一质量为、电荷量为的电子从端飘入电场（初速度忽略不计），经多次电场加速和磁场偏转后，电子从位于边界上的出射口处向左射出磁场并被收集。已知之间的距离为，匀强电场的电场强度大小为，电子的重力不计，不考虑相对论效应。下列说法正确的有（　　） A．电子第一次加速至端时速度的大小 B．电子从端飘入电场到第一次回到端的过程中所用的时间 C．电子最终从点射出时的动能为 D．电子经过圆弧段的时间与经过圆弧段的时间相同 题型解码 找折返、相切、边界约束等临界条件，用能量守恒贯穿全程。往复过程要注意受力可能突变。 题型06 带电粒子在组合场中含动量问题 6．如图为某粒子分析器的工作原理图。粒子源O中有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，粒子从O处由静止开始经电场加速后，沿通道中心经过静电分析器，接着恰好从A 点沿着AB方向进入磁分析器ABCD。已知加速电场的电压为U，圆弧形静电分析器通道内存在均匀辐射电场，通道中心是半径为R 的圆弧，圆弧上各点电场强度大小均为E（未知），磁分析器中有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场空间还存在着一种黏性介质，使得粒子运动时受到与速度大小成正比、方向相反的阻力f=kv。粒子速度第一次与进入磁场时的初速度方向相反时在F点，AF与AD夹角为θ。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．若要粒子能顺利沿静电分析器通道中心到达A点，则电场强度 B．若仅改变粒子质量，则粒子将不能通过静电分析器 C．θ与k的关系满足ktanθ=qB D．最终停下的点到AD的距离为 题型解码 磁场中洛伦兹力冲量为零，动量大小不变；电场中用动量定理。 1．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）如图甲，在空间直角坐标系中，平面与平面平行，平面左右两侧分别存在沿z轴和x轴方向周期性变化的磁场、如图乙、丙，磁场正方向与坐标轴正方向相同。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在时刻从平面上的A点沿y轴负方向射入左侧的匀强磁场，之后在两磁场中运动，不计粒子重力及磁场变化的影响，下列关于粒子运动轨迹在平面上的投影图正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东聊城·二模）如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为L的匀强电场和匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的a点由静止释放，运动到磁场的下边界的b点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，粒子从上边界c点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点d（图中位置仅为示意），下列说法正确的是（   ） A．a、b两点之间的距离为 B．匀强电场的场强大小为 C．粒子在d点的速度大小为 D．粒子从c点到d点的竖直位移为 3．（24-25高三下·湖北·月考）某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图所示，材料表面上方矩形区域充满竖直向下的匀强电场，电场宽为d；矩形区域充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长为L，宽为S；为磁场与电场之间的薄隔离层，一个电荷量为e、质量为m、初速度为零的电子，从P点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，时间极短、运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，电子第一次进入磁场区域恰好未从穿出，第五次穿越隔离层后垂直于磁场边界飞出，不计电子所受重力。则下列说法正确的是（　　） A．电子在磁场中第一次与第二次圆周运动的半径比为 B．电子在磁场中第一次与第二次运动的时间比为10∶9 C．电场强度大小为 D． 4．（2026·山西运城·一模）如图所示，在x轴下方宽度的区域中，的区域有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小，的区域无电场。在和的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。一比荷的带正电粒子从点由静止释放，不计粒子重力，下列判断正确的是（　　） A．粒子第一次经过x轴时的速度大小为 B．粒子经过x轴时的速度方向与x轴始终垂直 C．粒子第三次经过y轴时的位置坐标为 D．粒子从开始释放到第三次经过x轴所用的时间为 5．（2026·四川内江·二模）如图所示，在竖直平面内的直角坐标系中，轴上方有一圆形有界匀强磁场（图中未画），磁场方向垂直纸面向内，磁感应强度轴下方有一斜向右上与轴正方向成夹角的匀强电场。在轴上放一挡板，挡板长为，板的左端在坐标原点处。现有一带正电粒子从轴上的点，以大小、方向与轴负方向成角的速度射入第二象限，经过圆形磁场偏转后从轴上的点与轴正方向成夹角射出并进入匀强电场。已知粒子的比荷，不计粒子的重力，，。则下列说法中正确的是（　　） A．粒子在圆形磁场中运动时，轨迹半径为 B．圆形有界磁场的最小面积为 C．要让粒子能打在挡板上，电场强度的最大值为 D．能打在挡板上的粒子，从点射出到挡板运动的最长时间为 6．（2026·广西贵港·一模）如图所示，虚线与轴正方向的夹角，与轴负半轴上侧区域存在电场强度大小为、方向沿轴负方向的匀强电场，下侧与第四象限存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的粒子从点由静止释放，到粒子第二次经过虚线过程中恰好没有穿过轴正半轴。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子第一次进入磁场时的速度大小为 B．磁感应强度的大小为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子再次进入电场后，运动到距离虚线最远时所需的时间为 7．（25-26高三上·云南楚雄·期末）如图所示，在坐标系内存在匀强磁场和匀强电场，电场方向沿z轴正方向，磁场方向沿z轴负方向。一质子从点处沿y轴正方向入射，其轨迹与z轴的第1个交点坐标为。若质子的质量为m，带电荷量为q，入射速度大小为，不计质子所受的重力，则下列说法正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．质子轨迹一定过点 D．质子轨迹与z轴的第5个交点为 8．（2025·浙江嘉兴·一模）某科研小组设想用如图所示的装置来选择密度相同、大小不同的球状纳米粒子。粒子在电离室中被电离后带有正电，缓慢通过小孔进入极板间电压为的水平加速电场区域Ⅰ，再通过小孔射入相互正交的恒定匀强电场、磁场区域Ⅱ，其中磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。收集室的小孔与、在同一条水平线上。调节区域Ⅱ的电场强度，收集室恰好能收集到半径为的粒子。已知纳米粒子材料的密度为，电离后的带电量与其表面积成正比，即，式中为已知常数。不计纳米粒子的重力，则（　　） A．区域II的电场强度方向应竖直向下 B．半径为的粒子通过时的速率为 C．半径为的粒子在区域Ⅱ中会向上极板偏转 D．要收集到半径的粒子，在其他条件不变时，应增大区域Ⅱ的电场强度 9．（2025·广西南宁·一模）某种回旋加速器的设计方案如图甲所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U。两极板的板面中部各有一沿OP方向的狭长狭缝，带电粒子可通过狭缝穿越极板，如图乙所示。两虚线外侧区域存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S中产生的质量为m、带电量为的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场区域，最终只能从出射孔P射出。如果离子打到器壁或离子源外壁即被吸收。O点到极板右端的距离为D，到出射孔P的距离为，图乙磁场的磁感应强度B大小可调，下列说法正确的是( ) A．离子能从P射出，可能的磁感应强度B的最小值为 B．若，则离子一定不能从P射出 C．若，，离子从P射出时的动能为16qU D．若，，离子从P射出时的动能为9qU 10．（2025·广西·高考真题）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 11．（2025·河北·高考真题）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 12．（2026·云南·模拟预测）如图所示，在一竖直平面内建立平面直角坐标系xOy，其中y轴竖直向上，x轴水平向右。空间中0<x≤3d区域分布有电场强度大小相等的匀强电场，其中0<x≤d、2d<x≤3d区域电场方向沿x轴正向，d<x≤2d区域电场方向沿y轴正向；x>d区域还分布有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从点P（，0）静止释放一带正电微粒，该微粒依次经过每个边界的速度大小都相等且速度方向与边界的夹角都为45°。已知重力加速度为g，sin37°=0.6，求： (1)带电微粒的比荷； (2)微粒由释放至到达边界x=3d所需时间t； (3)在x>3d区域，微粒运动过程中的最小速度vmin。 13．（2026·山东临沂·一模）某科研小组将威尔逊云室置于如图所示的匀强电场和匀强磁场中，用来显示带电粒子的运动径迹，进而研究带电粒子的性质。平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，x轴上有M、N、P三点，三点的横坐标满足，。在区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场；在区域内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一未知粒子从坐标原点O沿与x轴正方向成角射入（速度大小未知），在点以速度垂直于磁场边界射入磁场，并从P点射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子的重力，。 (1)求该粒子的比荷； (2)求匀强电场的电场强度E的大小及N、P两点之间的距离lNP。 (3)若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子的轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于D点（图中未画出）。求粒子由C点运动到D点的时间t，以及D点的纵坐标。 14．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴负方向的匀强电场；电场强度大小为，第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质子从坐标原点以某一速度飞入电场，先后经过点进入磁场。点坐标为点坐标为。已知质子质量为，带电荷量为，不计重力。 (1)求质子在点的速度大小及该速度与轴正方向的夹角； (2)若质子第一次进入磁场后，到达轴时速度方向恰好垂直轴，求质子在电场和磁场中运动的总时间； (3)若质子某次出磁场后能经过点（2d，0.5d），求磁感应强度的最小值。 15．（2026·四川成都·二模）某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图所示，材料表面上方矩形区域充满竖直向下的匀强电场，电场宽为d；矩形区域充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长为5s，宽为s，A是的中点；为电场和磁场的分界线，电子可穿过，不考虑边界效应。一个电荷量为e、质量为m的电子，从P点开始由静止被电场加速后垂直进入磁场，最后电子从磁场边界飞出，不计电子受到的重力。 (1)求电场强度的最大值E； (2)若要使电子在间垂直于飞出（不包含A、两点），求满足条件的飞出电子中，在磁场内运动时间的最大值t； (3)若电场和磁场的分界线存在薄隔离层，电子每次穿越隔离层的时间极短、运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，要使电子从磁场边界飞出，求电场强度大小的取值范围。 16．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图所示，在平面内：第一象限存在方向垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为；第二象限存在一个方向垂直平面向外的圆形匀强磁场区域（图中未画出），磁感应强度的大小为；第四象限内存在沿轴正方向的匀强电场。一带正电粒子从点沿轴正方向射入磁场，粒子质量为，电荷量为，速度大小为，经磁场偏转后进入电场，再经电场直接从原点O进入第二象限。忽略粒子重力及磁场边缘效应。求： (1)粒子从发射到第一次打到轴经历的时间； (2)电场强度的大小； (3)粒子经第二象限圆形磁场偏转后可以从P点回到第一象限，求圆形磁场面积的最小值，及此后粒子经过轴时对应位置的横坐标。 17．（2026·广东广州·一模）如图空间直角坐标系O-xyz将y≥0的空间划分为四个区域，IV区域存在沿z轴负方向的匀强电场，Ⅱ、Ⅲ区域存在沿y轴负方向的匀强磁场。在xOy平面内x>0区域放置一足够大的吸收屏，吸收屏下方紧靠P（l，0，0）处有一粒子源可向x轴负方向发射速率为v0、质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）。粒子运动经过Q（0，0，）点且刚好打在屏上P点，粒子打在吸收屏上即被吸收且不影响空间电、磁场分布。 (1)求匀强电场的电场强度大小E0； (2)求匀强磁场的磁感应强度大小B0； (3)若在I区域加沿y轴正方向、电场强度大小为2E0的匀强电场，同时调节IV区域中电场强度大小为kE0（电场方向不变），求粒子打在吸收屏上落点的坐标。 18．（2026·广东深圳·一模）如图所示，有一个位于x轴上方带电的平行板电容器，极板长度为2L、极板间距为L，电容器的右极板与y轴重合且下端在原点O。y轴右侧有一与y轴平行的虚线y'，在y轴和虚线y'之间存在垂直于xOy平面的匀强磁场，x轴上方磁场方向垂直纸面向外，x轴下方磁场方向垂直纸面向里。某时刻一质量为m、电荷量为q、不计重力的带正电粒子沿y轴正方向以大小为的初速度紧挨电容器左极板下端射入电容器内，经电场偏转后，粒子刚好从电容器的右极板最上端P射入磁场中。求： (1)电容器内的电场强度大小以及粒子进入磁场时的速度大小和方向； (2)若粒子从P进入磁场后，经x轴上方磁场偏转（未到达虚线y'）后不会打到电容器的右极板上，x轴上方磁场的磁感应强度应满足怎样的条件； (3)若x轴上、下磁场的磁感应强度大小之比为1：2，粒子在x轴上方轨道半径为。虚线y'与y轴之间距离满足怎样关系时，粒子垂直于y'离开磁场。 19．（25-26高三上·广东深圳·期中）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，在区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场，平行于轴的接收屏到轴的距离为，其上端紧靠轴；现在点沿轴正方向以大小为的初速度射出一个质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子经磁场偏转从坐标原点进入电场，经电场偏转后再次进入磁场，粒子在磁场中运动后垂直打在接收屏上，粒子重力不计，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)匀强电场的电场强度的大小； (3)现在第一象限内放置一个足够长的绝缘弹性挡板，挡板垂直于坐标平面且平行于轴，粒子与挡板碰撞前后，平行于板的分速度不变，垂直于板的分速度等大反向，为了使粒子经挡板碰撞后最终不能打在接收屏上，则挡板到轴的距离应满足什么条件。 20．（2026·山东·一模）如图所示，平面直角坐标系xOy中，第一象限存在沿轴负方向的匀强电场，第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小可调。一带正电的粒子从坐标原点以与轴正方向夹角、大小为的速度飞入电场，经过轴上的点第一次进入磁场，点坐标为。已知该粒子质量为，带电荷量为，不计重力。 (1)求匀强电场的场强； (2)若粒子第一次进入磁场后，到达轴时速度方向恰好与轴垂直，求该粒子在电场和磁场中运动的总时间； (3)若粒子某次出磁场后能经过点，求磁感应强度的最小值。 21．（2026·广东深圳·一模）离子注入是现代半导体芯片制造中的工艺，如下图所示是工作原理示意图。磁分析器截面是内外半径分别为r和3r的四分之一圆环，内有方向垂直纸面向外的匀强磁场。离子源中的电子轰击气体，使其电离，得到离子，质量分别为11m、49m，电荷量均为e。初速度可忽略不计的离子飘入加速电场，经加速后由ab边中点水平向右垂直ab进入磁分析器。已知离子由cd边中点N射出后，竖直向下注入下方水平面内的晶圆。加速电压为U，整个系统置于真空中，不计离子间作用和离子重力。 (1)进入磁分析器时，的速度大小之比； (2)离子注入的目标是将注入晶圆，试通过计算分析是否经过cd边被掺杂进了晶圆内。 22．（2026·湖北·一模）如图所示，两块平行金属板水平放置，板长和板间距均为2d，两板之间存在竖直向上的匀强电场.极板右侧空间存在范围足够大的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外.极板左侧有一束宽度为2d，均匀分布的正离子束，平行于金属板进入电场，已知正离子质量为m，电荷量为q，进入电场速度为，进入电场的粒子有50%能从电场射出.不考虑粒子间的相互作用，不计粒子重力和金属板厚度，忽略电场的边缘效应。 (1)求两极板间电场强度E的大小； (2)若从电场射出的粒子经磁场偏转后能全部回到电场中，求磁感应强度B的取值范围； (3)若磁感应强度B大小取（2）中的最小值，求磁场中有粒子经过的区域面积。 23．（25-26高三上·山东潍坊·期末）如图甲所示的三维直角坐标系中，区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，区域存在沿y轴负方向的匀强电场，的区域存在方向随时间变化的磁场。一电荷量为、质量为m的粒子，从点平行于y轴正方向出发，初速度大小为，从点进入电场，从点M（图中未画出）离开电场区域时，速度方向与x轴平行，粒子重力不计。 (1)求区域磁场的磁感应强度大小； (2)求匀强电场的电场强度大小E； (3)的区域磁场磁感应强度大小为，方向沿z轴正方向和沿x轴正方向交替变化，从粒子离开点M开始计时，变化规律如图乙所示，其中。求时粒子所处位置坐标。 24．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）一个质量为、电荷量为的带负电粒子从轴上的点以速度沿与正方向成角射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，磁感应强度大小为，电场强度大小为。不计粒子重力。求： (1)、两点间的距离； (2)带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标； (3)从点进入磁场到第三次经过轴所用的时间。 25．（2026·河北·一模）如图，平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴负方向的匀强电场，电场强度大小为，第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。现有一质子从坐标原点以某一速度飞入电场，先后经过点进入磁场。点坐标为点坐标为。已知质子质量为，带电荷量为，不计重力。 (1)求质子在点的速度大小及该速度与轴正方向的夹角； (2)若质子第一次进入磁场后，到达轴时速度方向恰好垂直轴，求质子在电场和磁场中运动的总时间； (3)若质子某次出磁场后能经过点（2d，0.5d），求磁感应强度的最小值。 26．（25-26高三上·云南曲靖·期末）如图甲所示的坐标系中，在x轴上方的区域内存在着如图乙所示周期性变化的电场和磁场，交变电场的场强大小为，交变磁场的磁感应强度大小为，取x轴正方向为电场的正方向，取垂直纸面向外为磁场的正方向。在时刻，将一质量为m，带电量为q，重力不计的带正电粒子，从y轴上A点由静止释放，粒子经过电场加速和磁场偏转后垂直打在x轴上且恰好能被位于x轴上的粒子收集器接收。求： (1)粒子第一次在磁场中运动的半径； (2)若粒子经过三次加速并在第三次偏转过程中被粒子收集器接收，此时粒子收集器距坐标原点O的距离。 27．（25-26高三上·云南普洱·期末）如图所示，平面直角坐标系的第一象限内有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁场边界是边长为L的等边三角形MON，N点坐标为；在第二象限有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为+q的粒子从P点由静止释放，粒子从y轴上Q点飞出电场时速度为v，粒子经过磁场偏转后恰好又从Q点进入电场，且在磁场中的运动轨迹与磁场一边界相切，不计粒子重力。求： (1)P点到y轴的距离， (2)磁感应强度B的大小； (3)粒子从Q点出电场到再次回到Q点经过的时间。 28．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）如图甲，电子枪连续不断的逸出质量为、电荷量大小为的电子（初速度可视为0），经电压为的电场加速，沿与、板平行的方向从两板正中间射入。平行金属板、间的电压随时间变化如图乙所示，BAC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，，、板的右端均在磁场边界上，点到板的距离为。时刻射入板间的电子恰好从板的右边缘飞出，且在两板间运动的时间为。已知，其中、、、为已知量，不计电子的重力和电子间相互作用力，单位时间逸出电子数量不变。取，。求： (1)金属板的板长及、板间的距离； (2)若区域的磁感应强度，板的长度足够长，求打到板上的电子占电子数量的百分比； (3)若将BAC区域改为垂直边斜向上的匀强电场，要使电子不从AC边界射出，求匀强电场的电场强度最小值，以及此条件下打在BD板上的位置离板的最远距离。 29．（2026·湖南湘潭·二模）如图所示，两竖直放置的平行金属板M、N之间的电压，N板右侧宽的区域分布着电场强度大小、方向竖直向下的匀强电场，虚线与为其边界，虚线右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量、电荷量的粒子从靠近M板的点由静止释放，经上的点进入间，经过虚线上的点进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动后从虚线上的点（、两点未画出）返回电场时，将电场方向变为竖直向上，恰好经点再次回到点。不计粒子重力。求： (1)粒子第一次到达点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小； (3)粒子从点进入电场至返回到点的运动时间（结果可以用表示）。 30．（2026·安徽芜湖·一模）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xoy，水平方向为x轴，在第一象限有方向沿x轴负方向的匀强电场，场强为E（大小未知）；在第二象限有正交的匀强电场和匀强磁场，其中匀强电场的方向竖直向上、场强大小为，匀强磁场的方向垂直纸面向里。若将一质量为m、带电量为q的带正电小球从x轴上的M点，以某一初速度竖直向上射入第一象限，小球达到最高点时恰好经过y轴上的P点（未画出）。小球进入第二象限后刚好可以做匀速圆周运动，一段时间后直接从x轴上N点离开复合场，N点坐标为。已知重力加速度为g。求： (1)出发点M的横坐标； (2)第二象限匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若在第三、四象限加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，则小球第一次在三、四象限中运动时的最大速度和离x轴的最大距离。 31．（25-26高三上·广东肇庆·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，y>0的区域内有沿x轴负方向的匀强电场，y<0的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，t=0时刻，一质量为m、电荷量为+q的粒子从P点（0，L）处以初速度v0沿y轴负方向射出，从Q（，0）点处进入磁感应强度的匀强磁场。ON为处于x轴正方向且长为4L的弹性绝缘薄挡板，粒子与挡板相碰后x轴方向上的速度不变，y轴方向上的速度大小不变，方向相反，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变。不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子第一次与弹性绝缘薄挡板相碰的位置； (3)粒子从P点进入电场到第一次离开磁场所经历的时间。 32．（2026·江苏南通·一模）如图所示，在平面内第一象限存在沿方向的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的粒子，在时刻从轴上处以初速度沿方向射入电场，进入磁场时的速度大小为。不计粒子重力，求： (1)电场强度的大小； (2)粒子前两次经过轴位置的间距； (3)粒子经过轴的时刻。 33．（25-26高三上·天津红桥·期末）如图，竖直平面内有两个连续的有界区域，边界竖直且平行。第I区域宽度为 其内分布着方向水平向右，电场强度大小为E的匀强电场；第II区域宽度为d₂，其内分布着垂直于竖直平面向里的磁感应强度大小为B(B为未知量)的匀强磁场，一质量为m，带电量为q(q>0)的带电粒子从左侧边界的P点以与竖直方向夹角为45°的初速度射入第I区域的电场内，经过一段时间后进入第II区域时的速度方向恰好与电场右边界夹角为 ，不计粒子的重力，忽略边缘效应，求： (1)该粒子在第I区域中的加速度； (2)该粒子从P点入射时的速度v0的大小； (3)能使该粒子重新回到左侧电场B的最小值。 34．（2025·湖北·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系，第二象限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E0的匀强电场，第三、四象限存在沿着y轴负方向、磁感应强度大小为B0的匀强磁场。现让质量为m、带电量为q的粒子（忽略重力）从A点以斜向右上方的速度射入电场，经过一段时间到达O点时的速度与x轴正方向的夹角为37°，然后进入磁场，。 (1)求粒子在O点电场力的功率以及A、O两点间的距离； (2)粒子到达O点时，假设经过一段时间到达y轴上的B点，求A、B两点的距离为多少； (3)粒子到达O点时，假设经过一段时间到达C点（未画出），求粒子从A点到C点对时间而言所受的平均作用力为多少。 35．（2025·山东济南·三模）现代科学研究中经常利用电场、磁场来控制带电粒子的运动。在平面直角坐标系xOy中存在如图的电磁场，在轴上方有方向垂直纸面向外、半径为的圆形匀强磁场区域，圆心的位置坐标为，轴下方有宽度为、电场强度为、方向沿轴负向的匀强电场，边界MN与轴平行。在MN下方有垂直纸面向外，磁感应强度随轴衰减的磁场，为了研究非均匀磁场对带电粒子的偏转，简化建立如图所示理想模型。设每个磁场间距均为，磁场分界线与轴平行，从上向下磁场依次减弱，第一区域磁感应强度为，下面各区域磁感应强度依次为、、、的匀强磁场。在第二象限磁场区域左侧有一平行于轴的线状粒子源ab（点与等高）源源不断发射沿轴正方向初速度均为的正电粒子进入匀强磁场，从点射出的粒子恰好从点进入电场。已知、、、、、、，粒子重力和其相互间作用力均不计，计算结果可以保留根式，求： (1)粒子穿过MN边界时的速率； (2)若从射出的粒子恰好未进入衰减磁场的第二层，求此时的大小； (3)若从射出的粒子恰好未进入衰减磁场的第二层，则至少需要几层衰减磁场才能确保粒子不从衰减磁场下方射出。 36．（2025·浙江·一模）如图甲所示，装置1由多个横截面积相同的金属圆筒沿同一直线水平排列而成，圆筒长度依次按一定规律增加。奇数序号的圆筒与交变电源的一个电极相连，偶数序号的圆筒与另一电极相连，图乙为交变电源两极间电势差随时间的变化规律。在时刻，偶数圆筒相对于奇数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板（与偶数圆筒相连）中心的一个带正电粒子，在圆板与圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1。为使粒子在通过任意两个圆筒之间的间隙时都能在电场力作用下持续加速，圆筒的长度需按一定规律设计。粒子离开装置1后，沿虚线进入装置2。装置2中的水平极板、足够长，且关于虚线对称放置，板间距，板间加有恒定电压，方向如图所示，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。已知粒子比荷，粒子通过圆筒间隙的时间可忽略，重力不计。求 (1)若粒子恰能沿虚线匀速通过装置2，装置1中应设置的圆筒个数； (2)若粒子能够通过装置2且不碰到极板，装置1中应设置的圆筒个数； (3)若装置2的两极板内侧涂有特殊材料，粒子与板发生弹性碰撞时，沿板方向速度分量不变，垂直板方向速度分量大小不变、方向反向。若装置1中设置16个圆筒，粒子相邻两次打到板上的时间间隔及相邻落点之间的距离。 37．（2025·浙江·二模）如图甲所示，平行金属板M、N水平固定放置，两板间加有如图乙所示的周期性变化的电压，M、N板右侧的BAC区域内有竖直向上的匀强电场，M、N板的右端均在竖直边AB上，A点到M板的距离为h，质量为m、电量大小为e的电子由静止开始，经电压也为的电场加速后，连续不断地沿与M、N板平行的方向从两板正中间射入两板之间，所有电子都能从两板间飞出，且在两板间运动的时间均为时刻射入M、N板间的电子恰好从M板的右边缘飞出，已知其中m，e，h，t₀为已知量，不计电子的重力，求： (1)金属板的板长； (2)M、N板间的距离; (3)要使所有的电子均不能从AC边射出，BAC区域内的匀强电场的电场强度至少多大； (4)在（1）（2）的条件下，若将BAC区域改为垂直纸面向里磁感应强度为的匀强磁场，已知点A到M、N板右端的水平距离为0（即电子从板右端射出后立即进入磁场），AC的长度足够长，求从AC边界射出磁场的电子占电子数量的百分比。 38．（2025·广东中山·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第二、三象限内存在沿轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带正电粒子以初速度自轴上的点射入电场，初速度方向与轴正方向的夹角，之后粒子经轴上的点进入第一象限，再经轴上的点进入第四象限，经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反。粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场。已知点到点的距离为，电场强度大小为，不计粒子重力，，。求： (1)粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角； (2)第一、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小的比值； (3)粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间。 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴08 带电粒子在电磁组合场中的运动 典例·靶向·突破 题型01 先电场后磁场 1．【答案】(1)，， (2)， (3) 【详解】（1）根据题意带电粒子在电场中做类平抛运动，可知， 解得 进入磁场时，沿轴正方向的速度为 竖直方向速度为 所以带电粒子进入磁场时速度方向与轴正方向的夹角的正切值以及速度大小分别为， （2）带电粒子竖直作用在处的挡板上，根据几何关系可知带电粒子在磁场中做圆周运动的半径满足下述关系， 解得， 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）粒子的轨迹如图所示， 根据对称性可知，带电粒子在电场中运动的总时间为 带电粒子在磁场中运动的周期是 在磁场中运动的时间是 总时间 题型02 先磁场后电场 2．【答案】(1) (2) (3)2v0 ， 【详解】（1）粒子运动轨迹如图甲所示 由几何关系得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 由牛顿第二定律可得 所以粒子的比荷 （2）由几何知识知图甲中四边形PO1OO2为菱形，粒子运动的半径为R，则    所以 则粒子流从O点射出时与y轴负方向的夹角满足 （3）由动能定理得 解得 粒子的运动轨迹如图乙所示 粒子进入匀强电场后，沿x轴方向做匀速直线运动，则有 离开电场时与AC的最小偏角的余弦值为 即 题型03 交变电磁组合场 3．【答案】(1) (2)（，0，0） (3)或 【详解】（1）洛伦兹力提供向心力，内磁感应强度大小为 洛伦兹力不做功，粒子速度大小仍为，则： 代入 解得： （2）0∼2T内，磁感应强度，粒子做圆周运动的周期为： 即时间刚好为一个完整周期，粒子转一周后回到原点，速度方向仍沿正方向。 内，磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的周期为： 时间刚好为半个周期；带正电粒子速度沿正方向，磁场向下，洛伦兹力沿负方向，半个周期后粒子位移为沿负方向，方向位移为0，粒子始终在平面运动， 代入 得 因此时刻坐标为： （3）    z轴的坐标满足，重力沿轴负方向，粒子运动可分解：平面仍为原圆周运动，方向做初速度为0的匀加速直线运动，加速度，因此 根据平面运动规律，可得粒子经过轴（）的时刻满足：和（k=1,2,3⋯） 代入 得坐标：当时， 当时， 因此经过z轴的位置坐标为： 或 题型04 三维空间电磁组合场 4．【答案】BC 题型05 带电粒子在电场和磁场中的往复运动 5．【答案】BD 题型06 带电粒子在组合场中含动量问题 6．【答案】AD 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】ABC 5．【答案】AC 6．【答案】AD 7．【答案】AC 8．【答案】BC 9．【答案】ABC 10．【答案】AD 11．【答案】BCD 12．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，在0 < x≤d区域内，微粒做匀加速直线运动，有mg=qE 根据动能定理有 解得 在d < x≤2d区域内，微粒做匀速圆周运动，有 根据几何关系可知 联立解得 （2）在区域内，根据牛顿第二定律有 运动时间为 在区域内，有 其中、 在区域内，由于 则微粒做匀速直线运动，有 微粒到达边界x=3d所需时间 （3）在x>3d区域，微粒运动过程中有最小动能时，微粒运动速度沿水平方向，根据动量定理有 其中 根据动能定理有 联立解得（另解舍去） 13．【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）由题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，且运动半径为r=d 洛伦兹力提供向心力，则 可得 （2）粒子在电场中做一个反向的平抛运动，则， 解得 由位移关系可得 可得 则 （3）由于阻力作用，粒子速度减小，故半径也减小，但是粒子运动的 周期与速度无关，由 可得 所以 又由粒子的运动轨迹可知 则粒子由C运动到D的时间为 设某时刻粒子的速度大小为v，方向如图所示，将速度分解为粒子到达D点时 把和f=kv作正交分解，则在x方向有 选择的微元过程，即上式两边同时乘以，并有； 对C点到D点全过程累加求和，且有 则 解得 14．【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）质子在电场中做类斜抛运动，根据对称性可知，P点为抛物线的顶点，从O到Q点经过的时间为 由牛顿第二定律有 y方向做匀变速运动，O到P的时间为，根据位移时间关系 可得 x方向做匀速运动，O到Q过程中， 解得 y方向，由速度时间关系 可得， 质子在O点的速度 （2）根据运动的对称性可知，质子第一次到达Q点时速度大小为，方向与x轴正方向夹角为 质子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为，如图所示由几何关系有 质子在磁场中做匀速圆周运动的周期 质子在磁场中运动的时间 质子在电场和磁场中运动的总时间 （3）设质子第2次经过x轴的位置到O的距离为，如图所示 由几何关系有 质子某次出磁场后能经过点，需满足 可得 因质子在磁场中轨迹不能过第三象限，还需满足 所以 则，可得 即或 根据洛伦兹力提供向心力 可得 当越大时，B越小，即时磁感应强度有最小值 则 15．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图所示， 电场强度取最大值时，电子在磁场中运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可得 可得 在电场中，根据动能定理有 可得 （2）设电子在磁场中运动半周的次数为，轨道半径为，电子在间垂直于飞出，有， 根据几何关系有， 解得 取正整数，可得时，在磁场中运动时间最大，解得 （3）电场强度取最大值时，电子经过薄隔离层后的速度等于第一问中的最大速度，有 根据 解得电场强度的最大值为 电场强度取最小值时，设电子第一次经过薄隔离层后的速度为，再次经过薄隔离层后的速度为，有 可得 根据 可得，可得前后两次在磁场中运动的半径之比为 如图所示，根据几何关系有 可得 可得半径 对应的速度为 根据， 解得 可得电场强度大小的取值范围为 16．【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子在第一象限磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子从 P(0, L) 沿 y 轴正方向射入，圆心在 粒子打到 x 轴时，，由几何关系可知粒子转过的圆心角为 粒子运动周期 故运动时间 （2）设粒子在A点进入第四象限电场，A点横坐标 此时速度方向与 x 轴负方向成 即 ， 粒子在电场中做类斜抛运动，直接从原点 O 进入第二象限，说明水平位移大小为 ，竖直位移为 0。水平方向 竖直方向 联立解得 （3）粒子从O点进入第二象限，速度方向与 x 轴负方向成 。粒子经磁场偏转后从 P(0, L) 回到第一象限。其半径 圆形磁场区域面积最小时，根据几何关系可知，其值为 故最小面积 粒子从 P 点射出时，速度方向与 x 轴正方向成 。进入第一象限磁场后，做半径为 的圆周运动。圆心在 (L, 0)。粒子轨迹方程为 ( 第一次当 时 之后将在第一象限和第四象限重复运动，则第n次回到横轴表达式为 17．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从P到Q做类平抛运动，设运动时间为t1 x方向有 z方向有 其中 联立三式得： （2）设粒子到达Q点时，速度方向与x轴成θ角，由得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，从Q点进入磁场，从M点离开磁场。设粒子圆周运动半径为r，速度，由洛伦兹力提供向心力有 并且 粒子打在P点，有 联立三式得 （3）调节I、IV区域的电场分布后，设粒子从Q'点进入磁场，再从M'点离开磁场 由前面分析可知，与IV区域电场强度大小无关。 粒子要进入I区域，打在吸收屏上，需满足，即 粒子到达M'点时，z方向的分速度 粒子在I区域运动，设经历时间t2，落点在吸收屏上坐标设为（x，y，0）有 得 故， 所以打在吸收屏的坐标是 18．【答案】(1)，粒子进入磁场时速度与y轴正方向的夹角为，，大小为 (2) (3)或（n＝0，1，2，3……） 【详解】（1）粒子在电场中运动时，沿电场方向，做匀加速运动，有 其中 在沿y轴方向上，有 联立可解得 粒子进入磁场时的速度大小为 可解得 设粒子进入磁场时的速度方向与y轴方向夹角为，则有 所以角度 （2）粒子从P进入磁场后，经磁场偏转后不会打到电容器的右极板上，需要粒子进入x轴下方磁场，临界条件是粒子轨迹与x轴相切，设此种情况下粒子在x轴上方磁场中运动的半径为，则粒子与x轴相切时，有 粒子与x轴相切时对应磁感应强度的最大值为，此时有 可解得 所以若粒子经磁场偏转后不会打到右极板上，在x轴上方磁感应强度应为 （3）当粒子在x轴上方轨迹半径为时，有 在下方磁场区域内，有 则 画出粒子的运动轨迹，如下图所示 由于 可知粒子在x轴上方的运动轨迹刚好为半圆，设粒子从上到下穿越x轴时速度与x轴成角，根据几何关系可知 根据轨迹可知粒子有可能在x轴上方或下方垂直打在上，也有可能上下转动多次后打在上。所以如果粒子在x轴的下方垂直打到y'上，y'与y的距离满足（n＝0，1，2，3……） 如果粒子在x轴的上方垂直打到y'上，y'与y的距离满足 （n＝0，1，2，3……） 19．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得 根据牛顿第二定律可得 解得 （2）如图 粒子垂直打在接收屏，由对称性以及（1）中式子，根据几何关系有，，， 联立，解得 （3）粒子运动轨迹如图乙所示 设当粒子第一次经挡板反弹后进入磁场并恰好打在接收屏与x轴交点处时，挡板离x轴的距离为，则粒子反弹后进入磁场时的位置离O点的距离为，设粒子第一次在电场中运动的时间为，则有， 解得 设当粒子经挡板第二次反弹后经电场偏转恰好打在接收屏与x轴交点处时，挡板离轴的距离为，则粒子第一次反弹后进入磁场时的位置离O点的距离为，设粒子第二次在电场中运动的时间为，则， 解得 因此 20．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类斜抛运动，设粒子在电场中运动的加速度为，从到点经过的时间为，粒子沿轴方向做匀速直线运动，则有 粒子从到最高点有 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，作出其运动轨迹，如图所示 根据几何关系有 又周期 磁场中运动的时间 在电场中到有 可得 粒子运动的总时间 （3）设粒子第2次经过轴的位置到点的距离为，又粒子在电场中到达的最大高度 作出粒子的运动轨迹，如图所示 根据几何关系有 粒子某次出磁场后能经过点，需满足 可得 因粒子在磁场中轨迹不能过第三象限，还需满足 所以 则有 可得 即或 根据洛伦兹力提供向心力 可知 即时磁感应强度有最小值，则 21．【答案】(1) (2)不能从cd边射出掺杂到晶圆内 【详解】（1）在加速电场中加速过程对有 对有 两式相比得 （2）在磁分析器中对有 洛伦兹力提供向心力有 联立 解得 对有 联立 解得 若离子恰好从d点射出，有： 解得，由于，所以不能从cd边射出掺杂到晶圆内。 22．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）有50%的粒子能够从电场射出，则粒子在电场中竖直偏转距离为d，粒子做类平抛运动，竖直方向有， 水平方向有 联立解得 （2）粒子射出电场时竖直方向速度 粒子射出电场时速度为v，， 解得， 根据洛伦兹力提供向心力 从电场射出的粒子经磁场Ⅱ偏转后能全部回到电场，根据几何关系有 解得 （3）有粒子经过的区域如图所示，由几何关系知扇形面积为 三角形面积为 弓形面积为 梯形面积为 在磁场中有粒子经过的区域面积为 23．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在区域做匀速圆周运动，由几何关系得 解得 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）设粒子过Q点时速度方向与x轴夹角为，由几何关系得 解得 粒子在区域做匀变速曲线运动，设粒子在电场中运动时间为t，则 联立以上各式解得 （3）粒子进入区域时的速度 各段均为匀速圆周运动，半径 周期 M点到x轴的距离 解得 时，     即粒子所处位置坐标为 24．【答案】(1) (2)（，） (3) 【详解】（1）粒子第一次在磁场中的运动轨迹如图所示 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r。粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力可得 由几何关系可得 联立求得 （2）粒子离开磁场时，离O的距离为 粒子在电场中做匀减速直线运动，粒子速度第一次为零时运动的水平距离为 由牛顿第二定律 联立求得 则粒子在电场中速度第一次为零时的坐标为（，）。 （3）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则 由图知，粒子第一次在磁场中做圆周运动对应的圆心角为 粒子第一次在磁场中运动的时间 联立解得 粒子在电场中先匀减速到零再反向匀加速第2次经过y轴，运动时间为 粒子再次进入磁场中时，垂直y轴进入磁场，向上偏转垂直y轴第3次经过y轴，运动时间 则粒子从P点进入磁场到第三次经过y轴所用的时间 25．【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）质子在电场中做类斜抛运动，根据对称性可知，P点为抛物线的顶点，从到点经过的时间为 牛顿第二定律有 方向做匀变速运动，到的时间为，根据位移时间关系 可得 方向做匀速运动，到过程中， 解得 方向，速度时间关系 可得， 质子在点的速度 （2）根据运动的对称性可知，质子第一次到达点时速度大小为，方向与轴正方向夹角为 质子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为，如图所示由几何关系有 质子在磁场中做匀速圆周运动的周期 质子在磁场中运动的时间 质子在电场和磁场中运动的总时间 （3）设质子第2次经过轴的位置到的距离为，如图所示 由几何关系有 质子某次出磁场后能经过点，需满足 可得 因质子在磁场中轨迹不能过第三象限，还需满足 所以 则，可得 即或 根据洛伦兹力提供向心力 可得 当越大时，B越小，即时磁感应强度有最小值 则 26．【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子第一次在电场中运动的时间 根据牛顿第二定律有 根据速度公式有 解得 粒子第一次进入磁场中，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）粒子经过3次加速与偏转后垂直打在x轴上于O点的距离如图所示 粒子圆周运动的周期 结合上述解得， 可知，粒子第一次进入磁场后在磁场中运动半个周期。粒子第一次在电场中加速的位移 结合上述解得 粒子第2次进入电场加速的速度 粒子第2次在电场中加速的位移 粒子第2次进入磁场后，在磁场中也运动半个周期，粒子第2次出磁场时与y轴的距离 粒子第3次在电场中加速后的速度 粒子第3次在电场中加速的位移 粒子第3次出磁场时与y轴的距离 粒子第3次出磁场时，在磁场中圆周运动的轨道半径 所以粒子经过3次加速并在第3次偏转过程中被粒子收集器接收，接收器与坐标原点O的距离 结合上述解得 27．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设P点到y轴的距离为l，根据动能定理有 解得 （2）粒子的运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 根据几何关系有 联立解得， （3）粒子从Q点出电场到再次回到Q点运动轨迹的长度为 又 求得粒子从Q点出电场到再次回到Q点经过的时间 28．【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）电子离开加速场的速度为，由动能定理     电子沿与、板平行的方向做匀速运动     解得         电子沿与、板垂直的方向先做匀加速运动，后做匀减速运动，由牛顿第二定律得     由对称可知     解得 （2）由（1）可得电子进入磁场中速度大小一定都为，且水平向右，由洛伦兹力提供向心力     解得 设与板相距的电子从两板间射出时，在磁场中运动的轨迹恰好与边界相切， 由几何关系     解得    则打到板上的电子占电子数量的百分比为     解得 （3）进入电场的粒子做类斜抛运动，从板边缘射出的电子运动轨迹与边界相切时电场强度最小，对粒子运动进行正交分解，沿电场方向分速度刚好减为0，则有     牛顿第二定律得     解得     从板边缘射出的电子打在板上的位置离板的距离最远，垂直电场方向有     沿电场方向有     解得 29．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理可得 解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，有 解得 根据 可得 故粒子离开电场时的速度 解得 则 由题意可知，点到点与点到点有一定的对称性，粒子从点回到点的时间 即 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，则 解得 根据 可得 （3）根据几何关系可知粒子在磁场中的偏转角度为，故在磁场中的运动时间为 故粒子从点进入电场至返回到点的运动时间为 30．【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由题意，因小球在第二象限做匀速圆周运动，所以重力和电场力平衡，即 故 则第一象限的电场力在水平方向产生的加速度大小 小球在y方向做竖直上抛运动，则从M到P的时间   小球在P点速度  方向沿x轴负方向 故 即M点横坐标为 （2）小球在第二象限内做匀速圆周运动，经过N点，由几何关系 解得 由 解得 （3）小球从P到N做匀速圆周运动，由几何关系 故 则小球在N点时速度方向与x轴正方向成角。把过N点速度分解成水平向右的分速度和另一分速度，如图所示 令 解得 根据平行四边形定则，有，方向与x轴正方向成角 即小球在三、四象限中的运动可分解为水平向右的匀速直线运动和速度为的匀速圆周运动。 则 解得 小球在最低点时，分速度和同向，此时速度最大且离x轴最远，即 31．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，沿y轴方向有 沿x轴方向有 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）粒子经过Q点时，x轴方向上的速度 合速度 粒子在磁场中做圆周运动，则有 又 解得 根据几何关系，可知粒子从进入磁场到第一次碰到弹性绝缘薄挡板，则运动轨迹对应的圆心角 第一次碰撞弹性绝缘薄挡板的位置距离坐标原点 粒子第一次与弹性绝缘薄挡板相碰的位置为 （3）由第（1）问，可得粒子在电场中运动的时间 粒子与弹性绝缘薄挡板相碰后，沿x轴的速度不变，沿y轴的速度大小不变，方向相反，粒子又在磁场中做圆弧运动，根据几何关系可知，粒子与弹性绝缘薄挡板碰撞两次，第三次圆弧运动后到坐标原点的距离为 此时粒子第一次离开磁场，粒子在磁场中运动时间 解得 粒子从P点进入电场到第一次离开磁场所经历的时间 32．【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，有 竖直方向做匀加速直线运动，有 加速度为 联立解得 （2）设粒子从Q点进入磁场做匀速圆周运动，速度与轴的夹角为，轨迹如图所示 有 可知 由洛伦兹力提供向心力，有 可得 由几何关系可知，匀速圆周运动的圆心角为 则粒子从Q点进磁场，从点出磁场的间距 （3）粒子做类平抛的时间为 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 则粒子在磁场中匀速圆周的时间为 则粒子第一次经过轴的时刻为 粒子第二次经过轴的时刻为 粒子从Q点进入电场后做类斜上抛运动，由运动的对称性可知在电场中运动时间为，粒子第三次经过轴开始，奇数次穿过轴的时刻为（） 粒子第四次经过轴开始，偶数次穿过轴的时刻为（） 33．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由牛顿第二定律有 则粒子在第I区域中的加速度 （2）设粒子从点入射时的速度大小为，将其沿水平方向和竖直方向分解，水平分量为 竖直分量为 粒子进入第II区域时的速度为，水平分量 竖直分量 粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向上为匀速直线运动，则有 可得 水平方向上做匀加速直线运动，电场力提供加速度，可得 根据匀加速直线运动速度位移关系有 联立解得 （3）粒子在磁场内做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 可得 其中 当粒子的运动轨迹与磁场右边界相切时，轨迹半径达到最大值，此时为粒子能够回到左侧电场的磁场强度最小值。根据几何关系可得 解得 可得 34．【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设粒子在A、O两点的速度大小均为v，把v分别沿着x轴和y轴分解，则有， 粒子从A到O做类斜抛运动，由类斜抛运动的规律可得粒子从A到O的运动时间 结合 综合可得、、 粒子在O点电场力的功率为 A、O两点间的距离 （2）根据受力分析和运动分解可知把粒子在磁场中的运动看成沿y轴负方向速度为的匀速直线运动与线速度为的水平方向匀速圆周运动的合运动，匀速圆周运动的周期 时间 粒子运动到y轴上的B点，O、B两点间的距离 由几何关系可得A、B两点间的距离为 综合可得 （3）时间内，粒子从O点到达C点，水平方向匀速圆周分运动速度的方向改变180°，则A、C两点的速度等大反向，粒子从A到C，速度变化量的大小为 粒子从A到C，由动量定理可得 综合可得 35．【答案】(1) (2) (3)最多3层就能确保粒子不从衰减磁场射出 【详解】（1）从点射出的粒子恰好从点进入电场，则粒子在匀强磁场区域做圆周运动的半径 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 联立可得 粒子经过电场区域，由动能定理得 代入数据可得 （2）从射出的粒子经过点时，速度方向沿轴负方向，粒子在电场中做类平抛运动，由（1）问可知粒子穿过MN边界时的速率为，方向与MN边界的夹角满足 可得 若从射出的粒子恰好未进入衰减磁场的第二层，设粒子在衰减磁场的第一层中的轨道半径为，根据几何关系可得 解得 由洛伦兹力提供向心力得 解得 （3）设向下速度为，水平速度为，在水平方向上很短时间，有 从射出的粒子恰好未进入衰减磁场第二层，则有 从射出的粒子在衰减磁场中沿轴的偏移量最大，在衰减磁场中依次有，， 最低点时水平速度为，联立方程组代入可得 解得 则最多3层就能确保粒子不从衰减磁场射出。 36．【答案】(1)4个 (2)3、4、5或6个 (3)， 【详解】（1）带电粒子恰能沿虚线匀速通过装置2，即带电粒子所受静电力与洛伦兹力平衡。设带电粒子离开装置1速度为，则有 解得 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 解得 即装置1中应设置4个圆筒。 （2）设带电粒子离开装置1速度为。 （方法一）若带电粒子恰能打到下极板，设带电粒子打到下极板速度为，由动能定理 水平方向由动量定理得 解得 若带电粒子恰能打到上极板，设带电粒子打到下极板速度为，由动能定理 水平方向由动量定理得 解得 综上 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 将代入解得 装置1中应设置3、4、5或6个圆筒。 （方法二）带电粒子的运动可以分解为的匀速直线运动与的匀速圆周运动。 匀速圆周运动的半径为 带电粒子不打到极板，即 解得 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 将代入解得 故装置1中应设置3、4、5或6个圆筒 （3）装置1中设置16个圆筒，由动能定理得 解得 将带电粒子的运动可以分解为的匀速直线运动与的匀速圆周运动。由洛伦兹力提供向心力 解得匀速圆周运动的半径为 如下图所示 当匀速圆周分运动至1处时，带电粒子打到上极板，随后沿板方向速度分量不变，垂直板方向速度分量大小不变，方向反向，即匀速圆周分运动变至2处。随后匀速圆周分运动再从2处运动至1处，故相邻两次打到板上的时间间隔为 相邻两落点间距离为 37．【答案】(1) (2)2h (3) (4) (4) 【详解】（1）设电子经加速电场加速后的速度大小为v0，根据动能定理 解得 则板长为 （2）从t=0时刻进入M、N板间的电子在垂直于极板方向先做匀加速运动后做匀减速运动，设电子运动的加速度为a，则有 又因为 根据题意有 解得M、N板间的距离为 （3）由于所有电子经过M、N板的运动时间均为2t0，因此所有电子出M、N间电场时，速度均沿水平方向，且速度大小均为 要使所有电子均不从AC边射出，则从M板边缘飞出的电子在电场中的运动轨迹刚好与AC相切。设电场强度的大小为E2，则粒子在该电场中运动的加速度为 根据题意，从M边缘飞出的电子运动到刚好与AC相切的位置时，速度与水平方向夹角为53°，根据类平抛规律则有 水平方向 竖直方向 根据几何关系有 联立解得BAC区域内的匀强电场的电场强度至少为 （4）设从距离M板为dy的P点进入磁场的电子轨迹恰好与AC相切，此时满足的几何关系为 洛伦兹力提供向心力 解得轨道半径 解得 又因为d=2h 故从AC边界射出磁场的电子占比为 38．【答案】(1) (2)4:1 (3) 【详解】（1）粒子在第二象限运动只受电场作用，沿x方向做匀速运动，其速度 沿y方向做匀减速运动，其初速度，其加速度 设粒子从P点运动到M点所需时间为t1，则 解得 则粒子运动到M点时延y方向的速度 所以粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角 （2）由（1）可知，粒子进入第一象限的速度 OM的距离 设粒子在第一、四象限中的运动轨迹半径分别为r1、r2，粒子经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反，根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场，根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 所以 （3）粒子从M点运动到N点所需时间为 粒子从N点到第3次经过轴所需时间为 所以粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间 解得 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴08 带电粒子在电磁组合场中的运动 命题预测 2026年高考物理中，带电粒子在电磁组合场中的运动依旧是核心高频考点，大概率以压轴综合题形式出现，命题会贴合新课标导向，侧重结合科技应用情境命题，如粒子探测、电磁仪器等真实场景。考题将以电场加速、磁场偏转的分段运动为主，重点考查受力分析、运动轨迹推导、临界条件判断，融合动能定理、几何关系、能量守恒等知识，弱化繁琐计算，强化物理建模与逻辑分析能力的考查。 备考时需牢牢把握基础规律，明晰电场力、洛伦兹力的受力特点与做功差异，熟练掌握类平抛、匀速圆周运动的解题方法，精准突破有界磁场临界问题、多过程衔接等重难点。同时要针对性练习典型真题与模拟题，总结解题模型与几何分析技巧，提升知识迁移能力，做到快速梳理物理过程、规范书写解题步骤，高效攻克这类综合题型。 高频考法 1.粒子由磁场进入电场 2.粒子由电场进入磁场 3.粒子在电场和磁场中的往复运动 4.带电粒子在交变磁场中的运动 5.带电粒子在组合场中含动量问题 考向一 带电粒子在电磁组合场中的基本规律 1．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 2.“电偏转”与“磁偏转”的基本规律 垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹示例 求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝；周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 考向二 先电场后磁场 (1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 (2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 考向三 先磁场后电场 对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： (1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 (2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 典例·靶向·突破 题型01 先电场后磁场 1．如图所示，直角坐标系中存在匀强电场和匀强磁场。其中一、二象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，三、四象限存在沿轴正方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的带电粒子从点沿轴正方向射出，初速度大小为。经电场作用后从轴上点进入磁场。带电粒子在磁场中运动，恰好可以沿轴负方向撞击位于正半轴上某位置处的一块挡板，撞击挡板后带电粒子速度大小不变，方向反向，经过一段时间后带电粒子恰好可以重新返回至点。若之间的距离为，，不考虑重力的作用，求： (1)求电场强度的大小以及带电粒子经过点时速度的大小及速度方向与轴正方向夹角的正切值； (2)挡板所处位置与坐标原点的距离以及磁感应强度的大小； (3)带电粒子从点出发第一次回到所用的时间。 【答案】(1)，， (2)， (3) 【详解】（1）根据题意带电粒子在电场中做类平抛运动，可知， 解得 进入磁场时，沿轴正方向的速度为 竖直方向速度为 所以带电粒子进入磁场时速度方向与轴正方向的夹角的正切值以及速度大小分别为， （2）带电粒子竖直作用在处的挡板上，根据几何关系可知带电粒子在磁场中做圆周运动的半径满足下述关系， 解得， 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）粒子的轨迹如图所示， 根据对称性可知，带电粒子在电场中运动的总时间为 带电粒子在磁场中运动的周期是 在磁场中运动的时间是 总时间 题型解码 电场中用动能定理或运动学求速度，磁场中画轨迹、定圆心、几何关系求半径，分段处理，以速度为衔接。 题型02 先磁场后电场 2．如图所示，在xOy平面内，有一宽度为b的粒子源持续不断地沿x轴正方向发射速率均为v0的正粒子，在粒子源的右侧，有一个半径为R的圆形匀强磁场，匀强磁场的方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小为B1＝B，粒子源最低点与磁场圆心O1等高，其中正对圆形磁场圆心O1射入磁场的粒子经磁场偏转后恰沿y轴的负方向从O点射出。x轴下方有一与其平行的直线区域AC，AC与x轴相距为d，x轴与直线AC间区域分布有平行于y轴负方向的匀强电场，电场强度大小，已知，不计粒子的重力，忽略粒子间相互作用和各场的边缘效应。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子流从O点射出时与y轴负方向的夹角θ的范围； (3)粒子离开匀强电场时速度的大小以及与AC夹角的最小值β的余弦值。 【答案】(1) (2) (3)2v0 ， 【详解】（1）粒子运动轨迹如图甲所示 由几何关系得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 由牛顿第二定律可得 所以粒子的比荷 （2）由几何知识知图甲中四边形PO1OO2为菱形，粒子运动的半径为R，则    所以 则粒子流从O点射出时与y轴负方向的夹角满足 （3）由动能定理得 解得 粒子的运动轨迹如图乙所示 粒子进入匀强电场后，沿x轴方向做匀速直线运动，则有 离开电场时与AC的最小偏角的余弦值为 即 题型解码 先由磁场圆周运动确定出射速度大小与方向，再进入电场做匀变速/类平抛。注意，出磁场时速度方向容易画错，必须规范作图。 题型03 交变电磁组合场 3．如甲图所示，三维直角坐标系所在的整个空间存在竖直方向的匀强磁场，其磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示（磁场方向取竖直向上为正）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从坐标原点O以速度v沿y轴正方向射入磁场。图乙中B已知，。 (1)若粒子重力可忽略不计，试求粒子在内做圆周运动的轨迹半径； (2)若粒子重力可忽略不计，试求时刻粒子的位置坐标； (3)若粒子重力不可忽略，试求粒子出发后经过z轴时的位置坐标（重力加速度为g）。 【答案】(1) (2)（，0，0） (3)或 【详解】（1）洛伦兹力提供向心力，内磁感应强度大小为 洛伦兹力不做功，粒子速度大小仍为，则： 代入 解得： （2）0∼2T内，磁感应强度，粒子做圆周运动的周期为： 即时间刚好为一个完整周期，粒子转一周后回到原点，速度方向仍沿正方向。 内，磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的周期为： 时间刚好为半个周期；带正电粒子速度沿正方向，磁场向下，洛伦兹力沿负方向，半个周期后粒子位移为沿负方向，方向位移为0，粒子始终在平面运动， 代入 得 因此时刻坐标为： （3）    z轴的坐标满足，重力沿轴负方向，粒子运动可分解：平面仍为原圆周运动，方向做初速度为0的匀加速直线运动，加速度，因此 根据平面运动规律，可得粒子经过轴（）的时刻满足：和（k=1,2,3⋯） 代入 得坐标：当时， 当时， 因此经过z轴的位置坐标为： 或 题型解码 按场的周期分段分析，确定每段受力与运动形式。核心是抓住速度、位移连续性，巧用周期与对称性。同时注意，场的切换时刻速度不能突变，受力突变要立刻重新判断运动。 题型04 三维空间电磁组合场 4．在半导体器件制造中，离子注入的角度控制是决定其性能的关键之一，其控制过程可简化为如图所示模型。空间直角坐标系o-xyz中有一个长为4L、高为2L的长方体区域，被正方形abcd等分成左右两个相等的正方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，整个长方体空间（含边界）存在沿x轴正方向的匀强电场E，同时空间Ⅱ还存在沿x轴正方向的匀强磁场B（图中均未标出）。已知一个质量为m，电荷量为q的离子从ON边的中点P以速度v0平行于z轴正方向射入，一段时间后该离子经过正方形abcd的中心点Q，且离子在空间Ⅱ运动的过程中，恰好未从xoz面飞出，不计离子重力和空气阻力，不考虑其他影响，则（　　） A．该离子带负电 B．空间Ⅰ中匀强电场的电场强度大小 C．空间Ⅱ中匀强磁场的磁感应强度大小 D．该离子离开此区域时速度与x轴正方向的夹角满足 【答案】BC 【详解】A．整个长方体空间存在沿x轴正方向的匀强电场E，由ON边的中点P以速度v0平行于z轴正方向射入的离子向右运动经过Q点，可知离子所受电场力沿x轴正方向，因此离子带正电，A错误； B．离子在空间Ⅰ中做类平抛运动，离子从P点运动到Q点的过程中，由运动学公式有沿z轴方向 沿x轴方向 由牛顿第二定律有 联立解得：，B正确； C．离子由Q点进入空间Ⅱ，在yoz平面以速度v0做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 根据题意可知离子做匀速圆周运动的半径 联立解得，C正确； D．离子在整个长方体空间运动过程中，沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，由运动学公式有 联立解得 因此该离子离开此区域时，速度与x轴正方向的夹角满足，D错误。 故选BC。 题型解码 可以分解为沿磁场方向直线运动 + 垂直磁场方向圆周运动。 技巧：三维问题降维处理，只在垂直磁场平面内画圆。 题型05 带电粒子在电场和磁场中的往复运动 5．MM50是新一代三维适形和精确调强的放射治疗尖端设备，其核心技术之一是多级能量跑道回旋加速器，工作原理如图所示。两个匀强磁场区域、的边界平行，相距为，磁感应强度大小均为，方向垂直纸面向外。下方两‘条横向虚线之间的区域存在水平向左的匀强电场（两条横向虚线之间的区域宽度很窄，可忽略不计），方向与磁场边界垂直。某一质量为、电荷量为的电子从端飘入电场（初速度忽略不计），经多次电场加速和磁场偏转后，电子从位于边界上的出射口处向左射出磁场并被收集。已知之间的距离为，匀强电场的电场强度大小为，电子的重力不计，不考虑相对论效应。下列说法正确的有（　　） A．电子第一次加速至端时速度的大小 B．电子从端飘入电场到第一次回到端的过程中所用的时间 C．电子最终从点射出时的动能为 D．电子经过圆弧段的时间与经过圆弧段的时间相同 【答案】BD 【详解】A．第一次加速，由动能定理得 解得，故A错误； B．电子在加速电场中运动可看作速度为零的匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得 电子在电场中加速了1次，可得其运动的位移大小为 根据位移与时间的关系可得 联立以上各式解得 电子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力有 则周期为 电子从点第一次加速至回到点过程中，其在磁场中运动的时间 无场区运动时间 电子从点第一次加速至回到点所用时间 解得，故B正确； C．当该电子从处以最大速度射出时，最后一次做圆周运动的轨迹半径不能变，即 由此可知，从处射出的电子动能，故C错误； D．该电子在磁场中运动的周期，始终不变，故D正确。 故选BD。 题型解码 找折返、相切、边界约束等临界条件，用能量守恒贯穿全程。往复过程要注意受力可能突变。 题型06 带电粒子在组合场中含动量问题 6．如图为某粒子分析器的工作原理图。粒子源O中有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，粒子从O处由静止开始经电场加速后，沿通道中心经过静电分析器，接着恰好从A 点沿着AB方向进入磁分析器ABCD。已知加速电场的电压为U，圆弧形静电分析器通道内存在均匀辐射电场，通道中心是半径为R 的圆弧，圆弧上各点电场强度大小均为E（未知），磁分析器中有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场空间还存在着一种黏性介质，使得粒子运动时受到与速度大小成正比、方向相反的阻力f=kv。粒子速度第一次与进入磁场时的初速度方向相反时在F点，AF与AD夹角为θ。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．若要粒子能顺利沿静电分析器通道中心到达A点，则电场强度 B．若仅改变粒子质量，则粒子将不能通过静电分析器 C．θ与k的关系满足ktanθ=qB D．最终停下的点到AD的距离为 【答案】AD 【详解】A．电场中加速过程有 静电分析器内做匀速圆周运动有 联立解得，故A正确； B．只要满足，粒子做匀速圆周运动就能通过静电分析器，与粒子的质量无关，故B错误； C．粒子在磁分析器中运动时，速度第一次与初速度方向相反时在F点，有 水平方向的速度变化为零，由动量定理 即 联立可得，故C错误； D．对粒子在磁分析器中运动到最终停下的全过程分析，在竖直方向由动量定理 可得 水平方向的速度变化为零，由动量定理 即有 代入初速度，可得最终停下的点到AD的距离为，故D正确。 故选AD。 题型解码 磁场中洛伦兹力冲量为零，动量大小不变；电场中用动量定理。 1．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）如图甲，在空间直角坐标系中，平面与平面平行，平面左右两侧分别存在沿z轴和x轴方向周期性变化的磁场、如图乙、丙，磁场正方向与坐标轴正方向相同。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在时刻从平面上的A点沿y轴负方向射入左侧的匀强磁场，之后在两磁场中运动，不计粒子重力及磁场变化的影响，下列关于粒子运动轨迹在平面上的投影图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子在平面左侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影图为一水平方向的直径，粒子在平面右侧的运动轨迹为半圆，在平面上的投影图为一竖直方向的直径，经过磁场的一个周期，粒子回到原位置，组合起来整个运动轨迹在平面上的投影图如A项所示。 故选A。 2．（2025·山东聊城·二模）如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为L的匀强电场和匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的a点由静止释放，运动到磁场的下边界的b点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，粒子从上边界c点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点d（图中位置仅为示意），下列说法正确的是（   ） A．a、b两点之间的距离为 B．匀强电场的场强大小为 C．粒子在d点的速度大小为 D．粒子从c点到d点的竖直位移为 【答案】C 【详解】A．由几何关系可得 粒子从a到b的位移为 故A错误； B．设粒子在磁场中速率为v，半径为R 由动能定理可得 由洛伦兹力充当向心力可得 由题意结合几何关系可得 联立解得 故B错误； CD．把粒子从c到d的过程中的平均速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，设两个平均分速度分别为、，把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解 根据左手定则，两个洛伦兹力的分力分别为， 设粒子在最低点d的速度为v 水平方向由动量定理可得 由动能定理可得 结合， 联立解得， 故C正确，D错误； 故选C。 3．（24-25高三下·湖北·月考）某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图所示，材料表面上方矩形区域充满竖直向下的匀强电场，电场宽为d；矩形区域充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长为L，宽为S；为磁场与电场之间的薄隔离层，一个电荷量为e、质量为m、初速度为零的电子，从P点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，时间极短、运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，电子第一次进入磁场区域恰好未从穿出，第五次穿越隔离层后垂直于磁场边界飞出，不计电子所受重力。则下列说法正确的是（　　） A．电子在磁场中第一次与第二次圆周运动的半径比为 B．电子在磁场中第一次与第二次运动的时间比为10∶9 C．电场强度大小为 D． 【答案】D 【详解】C．设粒子第一次到达隔离层时的速度大小为，穿过隔离层后的速度大小为。粒子第一次进入磁场区域做圆周运动的半径 由动能定理得 由题意知 由牛顿第二定律得 解得 故C错误； A．设粒子穿过隔离层后第2次进入电场时的速度大小为，粒子由电场返回穿越隔离层后的速度大小为，第二次在磁场中做圆周运动的半径为，由题意知， 由牛顿第二定律得 解得 故电子在磁场中第一次与第二次圆周运动的半径比为10∶9，故A错误， B．电子第一次与第二次在磁场中均转过半个周期，时间比为1∶1，故B错误； D．电子第三次在磁场中运动的半径为 则磁场区域的长度 故D正确。 故选D。 4．（2026·山西运城·一模）如图所示，在x轴下方宽度的区域中，的区域有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小，的区域无电场。在和的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。一比荷的带正电粒子从点由静止释放，不计粒子重力，下列判断正确的是（　　） A．粒子第一次经过x轴时的速度大小为 B．粒子经过x轴时的速度方向与x轴始终垂直 C．粒子第三次经过y轴时的位置坐标为 D．粒子从开始释放到第三次经过x轴所用的时间为 【答案】ABC 【详解】A．粒子从M点由静止释放经过电场加速到第一次经过x轴过程中有 解得，故A正确； BC．根据题意画出粒子的运动轨迹如图所示 设粒子经过电场加速一次后在磁场中的运动半径为r1，由洛伦兹力提供向心力得 解得 同理，粒子经过电场加速两次后，有 可得粒子在磁场中的运动半径 由图综合分析可知，粒子经过x轴时速度方向与x轴始终垂直，粒子第三次经过y轴时的位置坐标为，故BC正确； D．粒子在磁场中运动的周期 粒子在电场中第一次加速的时间 粒子在电场中第二次加速的时间 粒子在无电场和无磁场区域做匀速直线运动的时间为 则粒子从开始释放到第三次经过x轴所用的时间，故D错误。 故选ABC。 5．（2026·四川内江·二模）如图所示，在竖直平面内的直角坐标系中，轴上方有一圆形有界匀强磁场（图中未画），磁场方向垂直纸面向内，磁感应强度轴下方有一斜向右上与轴正方向成夹角的匀强电场。在轴上放一挡板，挡板长为，板的左端在坐标原点处。现有一带正电粒子从轴上的点，以大小、方向与轴负方向成角的速度射入第二象限，经过圆形磁场偏转后从轴上的点与轴正方向成夹角射出并进入匀强电场。已知粒子的比荷，不计粒子的重力，，。则下列说法中正确的是（　　） A．粒子在圆形磁场中运动时，轨迹半径为 B．圆形有界磁场的最小面积为 C．要让粒子能打在挡板上，电场强度的最大值为 D．能打在挡板上的粒子，从点射出到挡板运动的最长时间为 【答案】AC 【详解】A．洛伦兹力提供向心力 解得，故A正确； B． 由几何关系，圆形磁场半径最小值满足 面积，故B错误； C．粒子进入电场后做类平抛运动，设它从A点射到x轴的位移为x，则有 联立得 ，得，故C正确； D．由图的对称性可知 解得 打在挡板最右侧时间最长，，， 总时间，故D错误。 故选AC。 6．（2026·广西贵港·一模）如图所示，虚线与轴正方向的夹角，与轴负半轴上侧区域存在电场强度大小为、方向沿轴负方向的匀强电场，下侧与第四象限存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的粒子从点由静止释放，到粒子第二次经过虚线过程中恰好没有穿过轴正半轴。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子第一次进入磁场时的速度大小为 B．磁感应强度的大小为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子再次进入电场后，运动到距离虚线最远时所需的时间为 【答案】AD 【详解】A．设粒子进入磁场前在电场中运动的距离为，由几何关系可知 在电场中，粒子做匀加速直线运动， 根据牛顿第二定律可得 由匀变速直线运动规律可得 联立解得，故A正确； B．由于粒子在第一象限磁场内运动时恰好没有越过轴正半轴，即粒子的运动轨迹与轴正半轴相切，由几何关系可知，其做圆周运动的半径为，洛伦兹力提供向心力，则有 解得，故B错误； C．由题可知，粒子轨迹对应圆心角为，粒子不会再进入磁场，则粒子在磁场中运动的时间，故C错误； D．粒子再次进入电场后，做类平抛运动，当运动到速度方向与平行时离最远，所需时间为，故D正确。 故选AD。 7．（25-26高三上·云南楚雄·期末）如图所示，在坐标系内存在匀强磁场和匀强电场，电场方向沿z轴正方向，磁场方向沿z轴负方向。一质子从点处沿y轴正方向入射，其轨迹与z轴的第1个交点坐标为。若质子的质量为m，带电荷量为q，入射速度大小为，不计质子所受的重力，则下列说法正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．质子轨迹一定过点 D．质子轨迹与z轴的第5个交点为 【答案】AC 【详解】A．质子在电场力作用下，沿z轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，在洛伦兹力的作用下，在xOy平面内做匀速圆周运动，由几何关系可知，质子做圆周运动的半径，由洛伦兹力提供质子做圆周运动的向心力，有 解得匀强磁场的磁感应强度大小，故A正确； B．质子从入射到与z轴交第1个点的过程经历的时间 沿z轴方向有 解得，故B错误； C．质子每隔2t经过出发点正上方，则质子第n次经过出发点正上方时z轴方向上的位移大小 解得 则当时质子经过点，故C正确； D．质子与z轴第1次相交后，每隔2t时间再与z轴相交，则第n次与z轴相交时，在z轴上有 则与z轴的第5个交点的坐标为，故D错误。 故选AC。 8．（2025·浙江嘉兴·一模）某科研小组设想用如图所示的装置来选择密度相同、大小不同的球状纳米粒子。粒子在电离室中被电离后带有正电，缓慢通过小孔进入极板间电压为的水平加速电场区域Ⅰ，再通过小孔射入相互正交的恒定匀强电场、磁场区域Ⅱ，其中磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。收集室的小孔与、在同一条水平线上。调节区域Ⅱ的电场强度，收集室恰好能收集到半径为的粒子。已知纳米粒子材料的密度为，电离后的带电量与其表面积成正比，即，式中为已知常数。不计纳米粒子的重力，则（　　） A．区域II的电场强度方向应竖直向下 B．半径为的粒子通过时的速率为 C．半径为的粒子在区域Ⅱ中会向上极板偏转 D．要收集到半径的粒子，在其他条件不变时，应增大区域Ⅱ的电场强度 【答案】BC 【详解】A．粒子被电离后带有正电，在区域Ⅱ受到的洛伦兹力向下，粒子能沿 进入收集室，则区域Ⅱ受力平衡，故所受静电力竖直向上，区域II的电场强度方向应竖直向上，故A错误； B．半径为的粒子所带电荷量，在区域Ⅰ由动能定理得 ，又 ，综合解得 ，故B正确； C．由B项分析，同理可知半径为的粒子通过时的速率，设区域Ⅱ电场强度为，该粒子在区域Ⅱ受力平衡，半径为的粒子带的电荷量，则有 得，半径为的粒子设电荷量为，有 则，竖直向上的电场力大于竖直向下的洛伦兹力，故半径为的粒子在区域Ⅱ中会向上极板偏转，故C正确； D．由C项分析可知，要收集到半径的粒子，在其他条件不变时，应减小区域Ⅱ的电场强度，故D错误。 故选BC。 9．（2025·广西南宁·一模）某种回旋加速器的设计方案如图甲所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U。两极板的板面中部各有一沿OP方向的狭长狭缝，带电粒子可通过狭缝穿越极板，如图乙所示。两虚线外侧区域存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S中产生的质量为m、带电量为的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场区域，最终只能从出射孔P射出。如果离子打到器壁或离子源外壁即被吸收。O点到极板右端的距离为D，到出射孔P的距离为，图乙磁场的磁感应强度B大小可调，下列说法正确的是( ) A．离子能从P射出，可能的磁感应强度B的最小值为 B．若，则离子一定不能从P射出 C．若，，离子从P射出时的动能为16qU D．若，，离子从P射出时的动能为9qU 【答案】ABC 【详解】A．磁感应强度B最小时，离子经一次加速后从P点离开磁场，根据动能定理得 进入磁场后做匀速圆周运动 求得，故A正确； B．若 根据得 离子经过加速后在磁场中转一圈打到离子源外壁被吸收，不能从P射出，故B正确； CD．若， 离子第一次加速后的半径 在磁场中转动半圈后进入电场做减速运动，到下极板速度减为零又再次加速飞出上极板，半径仍为 如此重复两次后离子从下极板进入电场，可继续加速，速度变大半径变大，如此重复直至从P射出。射出时的半径为 射出时的速度 因此射出时动能为，故C正确，D错误。 故选ABC。 10．（2025·广西·高考真题）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 【答案】AD 【详解】A．对M粒子在加速电场中 在速度选择器中 解得M的质量，故A正确； B．进入粒子速度选择器后因N粒子向下偏转，可知 即，故B错误； C．M粒子在磁场中运动半径为r1，则 解得 N粒子在磁场中运动的半径为r2，则 解得 其中 可得 由动能定理N粒子在选择器中 在加速电场中 解得， 则要想使得粒子N沿轴线OO＇通过选择器，则需满足 联立解得，故C错误； D．若N粒子沿直线通过选择器，则在磁场中运动的半径为r3，则 其中， 由AB选项分析可知，所以 则打在探测器的位移与调节前M打在探测器上的位置间距为 可得，故D正确。 故选AD。 11．（2025·河北·高考真题）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 【答案】BCD 【详解】A．根据粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则可知粒子带负电，选项A错误； B．随着粒子不断打到N极板上，N极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒子恰能到达N极板时满足， 解得 即d越大，板间所形成的最大电场强度越小，选项B正确； C．因粒子发射方向与OP夹角为60°时恰能垂直穿过M板Q点的小孔，则由几何关系 解得r=2L 可得 可得粒子从磁场上方，直接打在打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 当N极板吸收一定量的粒子后，粒子再从Q点射入极板，会返回再从在Q点射出，后继续做圆周运动，这时打M板在板上表面的位置 则粒子打在M板上表面的位置的最大距离为，选项C正确； D．因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ长度时，粒子仍可从Q点进入两板之间，由几何关系可知此时粒子从P点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M板夹角为α=30°，则在两板间运动时间 其中 打到M板下表面距离Q点的最小距离 解得 选项D正确。 故选BCD。 12．（2026·云南·模拟预测）如图所示，在一竖直平面内建立平面直角坐标系xOy，其中y轴竖直向上，x轴水平向右。空间中0<x≤3d区域分布有电场强度大小相等的匀强电场，其中0<x≤d、2d<x≤3d区域电场方向沿x轴正向，d<x≤2d区域电场方向沿y轴正向；x>d区域还分布有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从点P（，0）静止释放一带正电微粒，该微粒依次经过每个边界的速度大小都相等且速度方向与边界的夹角都为45°。已知重力加速度为g，sin37°=0.6，求： (1)带电微粒的比荷； (2)微粒由释放至到达边界x=3d所需时间t； (3)在x>3d区域，微粒运动过程中的最小速度vmin。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，在0 < x≤d区域内，微粒做匀加速直线运动，有mg=qE 根据动能定理有 解得 在d < x≤2d区域内，微粒做匀速圆周运动，有 根据几何关系可知 联立解得 （2）在区域内，根据牛顿第二定律有 运动时间为 在区域内，有 其中、 在区域内，由于 则微粒做匀速直线运动，有 微粒到达边界x=3d所需时间 （3）在x>3d区域，微粒运动过程中有最小动能时，微粒运动速度沿水平方向，根据动量定理有 其中 根据动能定理有 联立解得（另解舍去） 13．（2026·山东临沂·一模）某科研小组将威尔逊云室置于如图所示的匀强电场和匀强磁场中，用来显示带电粒子的运动径迹，进而研究带电粒子的性质。平面直角坐标系xOy位于竖直平面内，x轴上有M、N、P三点，三点的横坐标满足，。在区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场；在区域内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一未知粒子从坐标原点O沿与x轴正方向成角射入（速度大小未知），在点以速度垂直于磁场边界射入磁场，并从P点射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子的重力，。 (1)求该粒子的比荷； (2)求匀强电场的电场强度E的大小及N、P两点之间的距离lNP。 (3)若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子的轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于D点（图中未画出）。求粒子由C点运动到D点的时间t，以及D点的纵坐标。 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）由题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，且运动半径为r=d 洛伦兹力提供向心力，则 可得 （2）粒子在电场中做一个反向的平抛运动，则， 解得 由位移关系可得 可得 则 （3）由于阻力作用，粒子速度减小，故半径也减小，但是粒子运动的 周期与速度无关，由 可得 所以 又由粒子的运动轨迹可知 则粒子由C运动到D的时间为 设某时刻粒子的速度大小为v，方向如图所示，将速度分解为粒子到达D点时 把和f=kv作正交分解，则在x方向有 选择的微元过程，即上式两边同时乘以，并有； 对C点到D点全过程累加求和，且有 则 解得 14．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴负方向的匀强电场；电场强度大小为，第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。一质子从坐标原点以某一速度飞入电场，先后经过点进入磁场。点坐标为点坐标为。已知质子质量为，带电荷量为，不计重力。 (1)求质子在点的速度大小及该速度与轴正方向的夹角； (2)若质子第一次进入磁场后，到达轴时速度方向恰好垂直轴，求质子在电场和磁场中运动的总时间； (3)若质子某次出磁场后能经过点（2d，0.5d），求磁感应强度的最小值。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）质子在电场中做类斜抛运动，根据对称性可知，P点为抛物线的顶点，从O到Q点经过的时间为 由牛顿第二定律有 y方向做匀变速运动，O到P的时间为，根据位移时间关系 可得 x方向做匀速运动，O到Q过程中， 解得 y方向，由速度时间关系 可得， 质子在O点的速度 （2）根据运动的对称性可知，质子第一次到达Q点时速度大小为，方向与x轴正方向夹角为 质子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为，如图所示由几何关系有 质子在磁场中做匀速圆周运动的周期 质子在磁场中运动的时间 质子在电场和磁场中运动的总时间 （3）设质子第2次经过x轴的位置到O的距离为，如图所示 由几何关系有 质子某次出磁场后能经过点，需满足 可得 因质子在磁场中轨迹不能过第三象限，还需满足 所以 则，可得 即或 根据洛伦兹力提供向心力 可得 当越大时，B越小，即时磁感应强度有最小值 则 15．（2026·四川成都·二模）某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动，如图所示，材料表面上方矩形区域充满竖直向下的匀强电场，电场宽为d；矩形区域充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，长为5s，宽为s，A是的中点；为电场和磁场的分界线，电子可穿过，不考虑边界效应。一个电荷量为e、质量为m的电子，从P点开始由静止被电场加速后垂直进入磁场，最后电子从磁场边界飞出，不计电子受到的重力。 (1)求电场强度的最大值E； (2)若要使电子在间垂直于飞出（不包含A、两点），求满足条件的飞出电子中，在磁场内运动时间的最大值t； (3)若电场和磁场的分界线存在薄隔离层，电子每次穿越隔离层的时间极短、运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，要使电子从磁场边界飞出，求电场强度大小的取值范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图所示， 电场强度取最大值时，电子在磁场中运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可得 可得 在电场中，根据动能定理有 可得 （2）设电子在磁场中运动半周的次数为，轨道半径为，电子在间垂直于飞出，有， 根据几何关系有， 解得 取正整数，可得时，在磁场中运动时间最大，解得 （3）电场强度取最大值时，电子经过薄隔离层后的速度等于第一问中的最大速度，有 根据 解得电场强度的最大值为 电场强度取最小值时，设电子第一次经过薄隔离层后的速度为，再次经过薄隔离层后的速度为，有 可得 根据 可得，可得前后两次在磁场中运动的半径之比为 如图所示，根据几何关系有 可得 可得半径 对应的速度为 根据， 解得 可得电场强度大小的取值范围为 16．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图所示，在平面内：第一象限存在方向垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为；第二象限存在一个方向垂直平面向外的圆形匀强磁场区域（图中未画出），磁感应强度的大小为；第四象限内存在沿轴正方向的匀强电场。一带正电粒子从点沿轴正方向射入磁场，粒子质量为，电荷量为，速度大小为，经磁场偏转后进入电场，再经电场直接从原点O进入第二象限。忽略粒子重力及磁场边缘效应。求： (1)粒子从发射到第一次打到轴经历的时间； (2)电场强度的大小； (3)粒子经第二象限圆形磁场偏转后可以从P点回到第一象限，求圆形磁场面积的最小值，及此后粒子经过轴时对应位置的横坐标。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子在第一象限磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子从 P(0, L) 沿 y 轴正方向射入，圆心在 粒子打到 x 轴时，，由几何关系可知粒子转过的圆心角为 粒子运动周期 故运动时间 （2）设粒子在A点进入第四象限电场，A点横坐标 此时速度方向与 x 轴负方向成 即 ， 粒子在电场中做类斜抛运动，直接从原点 O 进入第二象限，说明水平位移大小为 ，竖直位移为 0。水平方向 竖直方向 联立解得 （3）粒子从O点进入第二象限，速度方向与 x 轴负方向成 。粒子经磁场偏转后从 P(0, L) 回到第一象限。其半径 圆形磁场区域面积最小时，根据几何关系可知，其值为 故最小面积 粒子从 P 点射出时，速度方向与 x 轴正方向成 。进入第一象限磁场后，做半径为 的圆周运动。圆心在 (L, 0)。粒子轨迹方程为 ( 第一次当 时 之后将在第一象限和第四象限重复运动，则第n次回到横轴表达式为 17．（2026·广东广州·一模）如图空间直角坐标系O-xyz将y≥0的空间划分为四个区域，IV区域存在沿z轴负方向的匀强电场，Ⅱ、Ⅲ区域存在沿y轴负方向的匀强磁场。在xOy平面内x>0区域放置一足够大的吸收屏，吸收屏下方紧靠P（l，0，0）处有一粒子源可向x轴负方向发射速率为v0、质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）。粒子运动经过Q（0，0，）点且刚好打在屏上P点，粒子打在吸收屏上即被吸收且不影响空间电、磁场分布。 (1)求匀强电场的电场强度大小E0； (2)求匀强磁场的磁感应强度大小B0； (3)若在I区域加沿y轴正方向、电场强度大小为2E0的匀强电场，同时调节IV区域中电场强度大小为kE0（电场方向不变），求粒子打在吸收屏上落点的坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从P到Q做类平抛运动，设运动时间为t1 x方向有 z方向有 其中 联立三式得： （2）设粒子到达Q点时，速度方向与x轴成θ角，由得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，从Q点进入磁场，从M点离开磁场。设粒子圆周运动半径为r，速度，由洛伦兹力提供向心力有 并且 粒子打在P点，有 联立三式得 （3）调节I、IV区域的电场分布后，设粒子从Q'点进入磁场，再从M'点离开磁场 由前面分析可知，与IV区域电场强度大小无关。 粒子要进入I区域，打在吸收屏上，需满足，即 粒子到达M'点时，z方向的分速度 粒子在I区域运动，设经历时间t2，落点在吸收屏上坐标设为（x，y，0）有 得 故， 所以打在吸收屏的坐标是 18．（2026·广东深圳·一模）如图所示，有一个位于x轴上方带电的平行板电容器，极板长度为2L、极板间距为L，电容器的右极板与y轴重合且下端在原点O。y轴右侧有一与y轴平行的虚线y'，在y轴和虚线y'之间存在垂直于xOy平面的匀强磁场，x轴上方磁场方向垂直纸面向外，x轴下方磁场方向垂直纸面向里。某时刻一质量为m、电荷量为q、不计重力的带正电粒子沿y轴正方向以大小为的初速度紧挨电容器左极板下端射入电容器内，经电场偏转后，粒子刚好从电容器的右极板最上端P射入磁场中。求： (1)电容器内的电场强度大小以及粒子进入磁场时的速度大小和方向； (2)若粒子从P进入磁场后，经x轴上方磁场偏转（未到达虚线y'）后不会打到电容器的右极板上，x轴上方磁场的磁感应强度应满足怎样的条件； (3)若x轴上、下磁场的磁感应强度大小之比为1：2，粒子在x轴上方轨道半径为。虚线y'与y轴之间距离满足怎样关系时，粒子垂直于y'离开磁场。 【答案】(1)，粒子进入磁场时速度与y轴正方向的夹角为，，大小为 (2) (3)或（n＝0，1，2，3……） 【详解】（1）粒子在电场中运动时，沿电场方向，做匀加速运动，有 其中 在沿y轴方向上，有 联立可解得 粒子进入磁场时的速度大小为 可解得 设粒子进入磁场时的速度方向与y轴方向夹角为，则有 所以角度 （2）粒子从P进入磁场后，经磁场偏转后不会打到电容器的右极板上，需要粒子进入x轴下方磁场，临界条件是粒子轨迹与x轴相切，设此种情况下粒子在x轴上方磁场中运动的半径为，则粒子与x轴相切时，有 粒子与x轴相切时对应磁感应强度的最大值为，此时有 可解得 所以若粒子经磁场偏转后不会打到右极板上，在x轴上方磁感应强度应为 （3）当粒子在x轴上方轨迹半径为时，有 在下方磁场区域内，有 则 画出粒子的运动轨迹，如下图所示 由于 可知粒子在x轴上方的运动轨迹刚好为半圆，设粒子从上到下穿越x轴时速度与x轴成角，根据几何关系可知 根据轨迹可知粒子有可能在x轴上方或下方垂直打在上，也有可能上下转动多次后打在上。所以如果粒子在x轴的下方垂直打到y'上，y'与y的距离满足（n＝0，1，2，3……） 如果粒子在x轴的上方垂直打到y'上，y'与y的距离满足 （n＝0，1，2，3……） 19．（25-26高三上·广东深圳·期中）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，在区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场，平行于轴的接收屏到轴的距离为，其上端紧靠轴；现在点沿轴正方向以大小为的初速度射出一个质量为、电荷量为的带正电的粒子，粒子经磁场偏转从坐标原点进入电场，经电场偏转后再次进入磁场，粒子在磁场中运动后垂直打在接收屏上，粒子重力不计，求： (1)匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)匀强电场的电场强度的大小； (3)现在第一象限内放置一个足够长的绝缘弹性挡板，挡板垂直于坐标平面且平行于轴，粒子与挡板碰撞前后，平行于板的分速度不变，垂直于板的分速度等大反向，为了使粒子经挡板碰撞后最终不能打在接收屏上，则挡板到轴的距离应满足什么条件。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得 根据牛顿第二定律可得 解得 （2）如图 粒子垂直打在接收屏，由对称性以及（1）中式子，根据几何关系有，，， 联立，解得 （3）粒子运动轨迹如图乙所示 设当粒子第一次经挡板反弹后进入磁场并恰好打在接收屏与x轴交点处时，挡板离x轴的距离为，则粒子反弹后进入磁场时的位置离O点的距离为，设粒子第一次在电场中运动的时间为，则有， 解得 设当粒子经挡板第二次反弹后经电场偏转恰好打在接收屏与x轴交点处时，挡板离轴的距离为，则粒子第一次反弹后进入磁场时的位置离O点的距离为，设粒子第二次在电场中运动的时间为，则， 解得 因此 20．（2026·山东·一模）如图所示，平面直角坐标系xOy中，第一象限存在沿轴负方向的匀强电场，第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小可调。一带正电的粒子从坐标原点以与轴正方向夹角、大小为的速度飞入电场，经过轴上的点第一次进入磁场，点坐标为。已知该粒子质量为，带电荷量为，不计重力。 (1)求匀强电场的场强； (2)若粒子第一次进入磁场后，到达轴时速度方向恰好与轴垂直，求该粒子在电场和磁场中运动的总时间； (3)若粒子某次出磁场后能经过点，求磁感应强度的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类斜抛运动，设粒子在电场中运动的加速度为，从到点经过的时间为，粒子沿轴方向做匀速直线运动，则有 粒子从到最高点有 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，作出其运动轨迹，如图所示 根据几何关系有 又周期 磁场中运动的时间 在电场中到有 可得 粒子运动的总时间 （3）设粒子第2次经过轴的位置到点的距离为，又粒子在电场中到达的最大高度 作出粒子的运动轨迹，如图所示 根据几何关系有 粒子某次出磁场后能经过点，需满足 可得 因粒子在磁场中轨迹不能过第三象限，还需满足 所以 则有 可得 即或 根据洛伦兹力提供向心力 可知 即时磁感应强度有最小值，则 21．（2026·广东深圳·一模）离子注入是现代半导体芯片制造中的工艺，如下图所示是工作原理示意图。磁分析器截面是内外半径分别为r和3r的四分之一圆环，内有方向垂直纸面向外的匀强磁场。离子源中的电子轰击气体，使其电离，得到离子，质量分别为11m、49m，电荷量均为e。初速度可忽略不计的离子飘入加速电场，经加速后由ab边中点水平向右垂直ab进入磁分析器。已知离子由cd边中点N射出后，竖直向下注入下方水平面内的晶圆。加速电压为U，整个系统置于真空中，不计离子间作用和离子重力。 (1)进入磁分析器时，的速度大小之比； (2)离子注入的目标是将注入晶圆，试通过计算分析是否经过cd边被掺杂进了晶圆内。 【答案】(1) (2)不能从cd边射出掺杂到晶圆内 【详解】（1）在加速电场中加速过程对有 对有 两式相比得 （2）在磁分析器中对有 洛伦兹力提供向心力有 联立 解得 对有 联立 解得 若离子恰好从d点射出，有： 解得，由于，所以不能从cd边射出掺杂到晶圆内。 22．（2026·湖北·一模）如图所示，两块平行金属板水平放置，板长和板间距均为2d，两板之间存在竖直向上的匀强电场.极板右侧空间存在范围足够大的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外.极板左侧有一束宽度为2d，均匀分布的正离子束，平行于金属板进入电场，已知正离子质量为m，电荷量为q，进入电场速度为，进入电场的粒子有50%能从电场射出.不考虑粒子间的相互作用，不计粒子重力和金属板厚度，忽略电场的边缘效应。 (1)求两极板间电场强度E的大小； (2)若从电场射出的粒子经磁场偏转后能全部回到电场中，求磁感应强度B的取值范围； (3)若磁感应强度B大小取（2）中的最小值，求磁场中有粒子经过的区域面积。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）有50%的粒子能够从电场射出，则粒子在电场中竖直偏转距离为d，粒子做类平抛运动，竖直方向有， 水平方向有 联立解得 （2）粒子射出电场时竖直方向速度 粒子射出电场时速度为v，， 解得， 根据洛伦兹力提供向心力 从电场射出的粒子经磁场Ⅱ偏转后能全部回到电场，根据几何关系有 解得 （3）有粒子经过的区域如图所示，由几何关系知扇形面积为 三角形面积为 弓形面积为 梯形面积为 在磁场中有粒子经过的区域面积为 23．（25-26高三上·山东潍坊·期末）如图甲所示的三维直角坐标系中，区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，区域存在沿y轴负方向的匀强电场，的区域存在方向随时间变化的磁场。一电荷量为、质量为m的粒子，从点平行于y轴正方向出发，初速度大小为，从点进入电场，从点M（图中未画出）离开电场区域时，速度方向与x轴平行，粒子重力不计。 (1)求区域磁场的磁感应强度大小； (2)求匀强电场的电场强度大小E； (3)的区域磁场磁感应强度大小为，方向沿z轴正方向和沿x轴正方向交替变化，从粒子离开点M开始计时，变化规律如图乙所示，其中。求时粒子所处位置坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在区域做匀速圆周运动，由几何关系得 解得 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）设粒子过Q点时速度方向与x轴夹角为，由几何关系得 解得 粒子在区域做匀变速曲线运动，设粒子在电场中运动时间为t，则 联立以上各式解得 （3）粒子进入区域时的速度 各段均为匀速圆周运动，半径 周期 M点到x轴的距离 解得 时，     即粒子所处位置坐标为 24．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）一个质量为、电荷量为的带负电粒子从轴上的点以速度沿与正方向成角射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，磁感应强度大小为，电场强度大小为。不计粒子重力。求： (1)、两点间的距离； (2)带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标； (3)从点进入磁场到第三次经过轴所用的时间。 【答案】(1) (2)（，） (3) 【详解】（1）粒子第一次在磁场中的运动轨迹如图所示 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r。粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力可得 由几何关系可得 联立求得 （2）粒子离开磁场时，离O的距离为 粒子在电场中做匀减速直线运动，粒子速度第一次为零时运动的水平距离为 由牛顿第二定律 联立求得 则粒子在电场中速度第一次为零时的坐标为（，）。 （3）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则 由图知，粒子第一次在磁场中做圆周运动对应的圆心角为 粒子第一次在磁场中运动的时间 联立解得 粒子在电场中先匀减速到零再反向匀加速第2次经过y轴，运动时间为 粒子再次进入磁场中时，垂直y轴进入磁场，向上偏转垂直y轴第3次经过y轴，运动时间 则粒子从P点进入磁场到第三次经过y轴所用的时间 25．（2026·河北·一模）如图，平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴负方向的匀强电场，电场强度大小为，第四象限存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。现有一质子从坐标原点以某一速度飞入电场，先后经过点进入磁场。点坐标为点坐标为。已知质子质量为，带电荷量为，不计重力。 (1)求质子在点的速度大小及该速度与轴正方向的夹角； (2)若质子第一次进入磁场后，到达轴时速度方向恰好垂直轴，求质子在电场和磁场中运动的总时间； (3)若质子某次出磁场后能经过点（2d，0.5d），求磁感应强度的最小值。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）质子在电场中做类斜抛运动，根据对称性可知，P点为抛物线的顶点，从到点经过的时间为 牛顿第二定律有 方向做匀变速运动，到的时间为，根据位移时间关系 可得 方向做匀速运动，到过程中， 解得 方向，速度时间关系 可得， 质子在点的速度 （2）根据运动的对称性可知，质子第一次到达点时速度大小为，方向与轴正方向夹角为 质子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为，如图所示由几何关系有 质子在磁场中做匀速圆周运动的周期 质子在磁场中运动的时间 质子在电场和磁场中运动的总时间 （3）设质子第2次经过轴的位置到的距离为，如图所示 由几何关系有 质子某次出磁场后能经过点，需满足 可得 因质子在磁场中轨迹不能过第三象限，还需满足 所以 则，可得 即或 根据洛伦兹力提供向心力 可得 当越大时，B越小，即时磁感应强度有最小值 则 26．（25-26高三上·云南曲靖·期末）如图甲所示的坐标系中，在x轴上方的区域内存在着如图乙所示周期性变化的电场和磁场，交变电场的场强大小为，交变磁场的磁感应强度大小为，取x轴正方向为电场的正方向，取垂直纸面向外为磁场的正方向。在时刻，将一质量为m，带电量为q，重力不计的带正电粒子，从y轴上A点由静止释放，粒子经过电场加速和磁场偏转后垂直打在x轴上且恰好能被位于x轴上的粒子收集器接收。求： (1)粒子第一次在磁场中运动的半径； (2)若粒子经过三次加速并在第三次偏转过程中被粒子收集器接收，此时粒子收集器距坐标原点O的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子第一次在电场中运动的时间 根据牛顿第二定律有 根据速度公式有 解得 粒子第一次进入磁场中，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）粒子经过3次加速与偏转后垂直打在x轴上于O点的距离如图所示 粒子圆周运动的周期 结合上述解得， 可知，粒子第一次进入磁场后在磁场中运动半个周期。粒子第一次在电场中加速的位移 结合上述解得 粒子第2次进入电场加速的速度 粒子第2次在电场中加速的位移 粒子第2次进入磁场后，在磁场中也运动半个周期，粒子第2次出磁场时与y轴的距离 粒子第3次在电场中加速后的速度 粒子第3次在电场中加速的位移 粒子第3次出磁场时与y轴的距离 粒子第3次出磁场时，在磁场中圆周运动的轨道半径 所以粒子经过3次加速并在第3次偏转过程中被粒子收集器接收，接收器与坐标原点O的距离 结合上述解得 27．（25-26高三上·云南普洱·期末）如图所示，平面直角坐标系的第一象限内有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁场边界是边长为L的等边三角形MON，N点坐标为；在第二象限有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为+q的粒子从P点由静止释放，粒子从y轴上Q点飞出电场时速度为v，粒子经过磁场偏转后恰好又从Q点进入电场，且在磁场中的运动轨迹与磁场一边界相切，不计粒子重力。求： (1)P点到y轴的距离， (2)磁感应强度B的大小； (3)粒子从Q点出电场到再次回到Q点经过的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设P点到y轴的距离为l，根据动能定理有 解得 （2）粒子的运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 根据几何关系有 联立解得， （3）粒子从Q点出电场到再次回到Q点运动轨迹的长度为 又 求得粒子从Q点出电场到再次回到Q点经过的时间 28．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）如图甲，电子枪连续不断的逸出质量为、电荷量大小为的电子（初速度可视为0），经电压为的电场加速，沿与、板平行的方向从两板正中间射入。平行金属板、间的电压随时间变化如图乙所示，BAC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，，、板的右端均在磁场边界上，点到板的距离为。时刻射入板间的电子恰好从板的右边缘飞出，且在两板间运动的时间为。已知，其中、、、为已知量，不计电子的重力和电子间相互作用力，单位时间逸出电子数量不变。取，。求： (1)金属板的板长及、板间的距离； (2)若区域的磁感应强度，板的长度足够长，求打到板上的电子占电子数量的百分比； (3)若将BAC区域改为垂直边斜向上的匀强电场，要使电子不从AC边界射出，求匀强电场的电场强度最小值，以及此条件下打在BD板上的位置离板的最远距离。 【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）电子离开加速场的速度为，由动能定理     电子沿与、板平行的方向做匀速运动     解得         电子沿与、板垂直的方向先做匀加速运动，后做匀减速运动，由牛顿第二定律得     由对称可知     解得 （2）由（1）可得电子进入磁场中速度大小一定都为，且水平向右，由洛伦兹力提供向心力     解得 设与板相距的电子从两板间射出时，在磁场中运动的轨迹恰好与边界相切， 由几何关系     解得    则打到板上的电子占电子数量的百分比为     解得 （3）进入电场的粒子做类斜抛运动，从板边缘射出的电子运动轨迹与边界相切时电场强度最小，对粒子运动进行正交分解，沿电场方向分速度刚好减为0，则有     牛顿第二定律得     解得     从板边缘射出的电子打在板上的位置离板的距离最远，垂直电场方向有     沿电场方向有     解得 29．（2026·湖南湘潭·二模）如图所示，两竖直放置的平行金属板M、N之间的电压，N板右侧宽的区域分布着电场强度大小、方向竖直向下的匀强电场，虚线与为其边界，虚线右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量、电荷量的粒子从靠近M板的点由静止释放，经上的点进入间，经过虚线上的点进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动后从虚线上的点（、两点未画出）返回电场时，将电场方向变为竖直向上，恰好经点再次回到点。不计粒子重力。求： (1)粒子第一次到达点时的速度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小； (3)粒子从点进入电场至返回到点的运动时间（结果可以用表示）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理可得 解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，有 解得 根据 可得 故粒子离开电场时的速度 解得 则 由题意可知，点到点与点到点有一定的对称性，粒子从点回到点的时间 即 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，则 解得 根据 可得 （3）根据几何关系可知粒子在磁场中的偏转角度为，故在磁场中的运动时间为 故粒子从点进入电场至返回到点的运动时间为 30．（2026·安徽芜湖·一模）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xoy，水平方向为x轴，在第一象限有方向沿x轴负方向的匀强电场，场强为E（大小未知）；在第二象限有正交的匀强电场和匀强磁场，其中匀强电场的方向竖直向上、场强大小为，匀强磁场的方向垂直纸面向里。若将一质量为m、带电量为q的带正电小球从x轴上的M点，以某一初速度竖直向上射入第一象限，小球达到最高点时恰好经过y轴上的P点（未画出）。小球进入第二象限后刚好可以做匀速圆周运动，一段时间后直接从x轴上N点离开复合场，N点坐标为。已知重力加速度为g。求： (1)出发点M的横坐标； (2)第二象限匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若在第三、四象限加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，则小球第一次在三、四象限中运动时的最大速度和离x轴的最大距离。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由题意，因小球在第二象限做匀速圆周运动，所以重力和电场力平衡，即 故 则第一象限的电场力在水平方向产生的加速度大小 小球在y方向做竖直上抛运动，则从M到P的时间   小球在P点速度  方向沿x轴负方向 故 即M点横坐标为 （2）小球在第二象限内做匀速圆周运动，经过N点，由几何关系 解得 由 解得 （3）小球从P到N做匀速圆周运动，由几何关系 故 则小球在N点时速度方向与x轴正方向成角。把过N点速度分解成水平向右的分速度和另一分速度，如图所示 令 解得 根据平行四边形定则，有，方向与x轴正方向成角 即小球在三、四象限中的运动可分解为水平向右的匀速直线运动和速度为的匀速圆周运动。 则 解得 小球在最低点时，分速度和同向，此时速度最大且离x轴最远，即 31．（25-26高三上·广东肇庆·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，y>0的区域内有沿x轴负方向的匀强电场，y<0的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，t=0时刻，一质量为m、电荷量为+q的粒子从P点（0，L）处以初速度v0沿y轴负方向射出，从Q（，0）点处进入磁感应强度的匀强磁场。ON为处于x轴正方向且长为4L的弹性绝缘薄挡板，粒子与挡板相碰后x轴方向上的速度不变，y轴方向上的速度大小不变，方向相反，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变。不计粒子的重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子第一次与弹性绝缘薄挡板相碰的位置； (3)粒子从P点进入电场到第一次离开磁场所经历的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，沿y轴方向有 沿x轴方向有 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）粒子经过Q点时，x轴方向上的速度 合速度 粒子在磁场中做圆周运动，则有 又 解得 根据几何关系，可知粒子从进入磁场到第一次碰到弹性绝缘薄挡板，则运动轨迹对应的圆心角 第一次碰撞弹性绝缘薄挡板的位置距离坐标原点 粒子第一次与弹性绝缘薄挡板相碰的位置为 （3）由第（1）问，可得粒子在电场中运动的时间 粒子与弹性绝缘薄挡板相碰后，沿x轴的速度不变，沿y轴的速度大小不变，方向相反，粒子又在磁场中做圆弧运动，根据几何关系可知，粒子与弹性绝缘薄挡板碰撞两次，第三次圆弧运动后到坐标原点的距离为 此时粒子第一次离开磁场，粒子在磁场中运动时间 解得 粒子从P点进入电场到第一次离开磁场所经历的时间 32．（2026·江苏南通·一模）如图所示，在平面内第一象限存在沿方向的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的粒子，在时刻从轴上处以初速度沿方向射入电场，进入磁场时的速度大小为。不计粒子重力，求： (1)电场强度的大小； (2)粒子前两次经过轴位置的间距； (3)粒子经过轴的时刻。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，有 竖直方向做匀加速直线运动，有 加速度为 联立解得 （2）设粒子从Q点进入磁场做匀速圆周运动，速度与轴的夹角为，轨迹如图所示 有 可知 由洛伦兹力提供向心力，有 可得 由几何关系可知，匀速圆周运动的圆心角为 则粒子从Q点进磁场，从点出磁场的间距 （3）粒子做类平抛的时间为 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 则粒子在磁场中匀速圆周的时间为 则粒子第一次经过轴的时刻为 粒子第二次经过轴的时刻为 粒子从Q点进入电场后做类斜上抛运动，由运动的对称性可知在电场中运动时间为，粒子第三次经过轴开始，奇数次穿过轴的时刻为（） 粒子第四次经过轴开始，偶数次穿过轴的时刻为（） 33．（25-26高三上·天津红桥·期末）如图，竖直平面内有两个连续的有界区域，边界竖直且平行。第I区域宽度为 其内分布着方向水平向右，电场强度大小为E的匀强电场；第II区域宽度为d₂，其内分布着垂直于竖直平面向里的磁感应强度大小为B(B为未知量)的匀强磁场，一质量为m，带电量为q(q>0)的带电粒子从左侧边界的P点以与竖直方向夹角为45°的初速度射入第I区域的电场内，经过一段时间后进入第II区域时的速度方向恰好与电场右边界夹角为 ，不计粒子的重力，忽略边缘效应，求： (1)该粒子在第I区域中的加速度； (2)该粒子从P点入射时的速度v0的大小； (3)能使该粒子重新回到左侧电场B的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由牛顿第二定律有 则粒子在第I区域中的加速度 （2）设粒子从点入射时的速度大小为，将其沿水平方向和竖直方向分解，水平分量为 竖直分量为 粒子进入第II区域时的速度为，水平分量 竖直分量 粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向上为匀速直线运动，则有 可得 水平方向上做匀加速直线运动，电场力提供加速度，可得 根据匀加速直线运动速度位移关系有 联立解得 （3）粒子在磁场内做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 可得 其中 当粒子的运动轨迹与磁场右边界相切时，轨迹半径达到最大值，此时为粒子能够回到左侧电场的磁场强度最小值。根据几何关系可得 解得 可得 34．（2025·湖北·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系，第二象限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E0的匀强电场，第三、四象限存在沿着y轴负方向、磁感应强度大小为B0的匀强磁场。现让质量为m、带电量为q的粒子（忽略重力）从A点以斜向右上方的速度射入电场，经过一段时间到达O点时的速度与x轴正方向的夹角为37°，然后进入磁场，。 (1)求粒子在O点电场力的功率以及A、O两点间的距离； (2)粒子到达O点时，假设经过一段时间到达y轴上的B点，求A、B两点的距离为多少； (3)粒子到达O点时，假设经过一段时间到达C点（未画出），求粒子从A点到C点对时间而言所受的平均作用力为多少。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设粒子在A、O两点的速度大小均为v，把v分别沿着x轴和y轴分解，则有， 粒子从A到O做类斜抛运动，由类斜抛运动的规律可得粒子从A到O的运动时间 结合 综合可得、、 粒子在O点电场力的功率为 A、O两点间的距离 （2）根据受力分析和运动分解可知把粒子在磁场中的运动看成沿y轴负方向速度为的匀速直线运动与线速度为的水平方向匀速圆周运动的合运动，匀速圆周运动的周期 时间 粒子运动到y轴上的B点，O、B两点间的距离 由几何关系可得A、B两点间的距离为 综合可得 （3）时间内，粒子从O点到达C点，水平方向匀速圆周分运动速度的方向改变180°，则A、C两点的速度等大反向，粒子从A到C，速度变化量的大小为 粒子从A到C，由动量定理可得 综合可得 35．（2025·山东济南·三模）现代科学研究中经常利用电场、磁场来控制带电粒子的运动。在平面直角坐标系xOy中存在如图的电磁场，在轴上方有方向垂直纸面向外、半径为的圆形匀强磁场区域，圆心的位置坐标为，轴下方有宽度为、电场强度为、方向沿轴负向的匀强电场，边界MN与轴平行。在MN下方有垂直纸面向外，磁感应强度随轴衰减的磁场，为了研究非均匀磁场对带电粒子的偏转，简化建立如图所示理想模型。设每个磁场间距均为，磁场分界线与轴平行，从上向下磁场依次减弱，第一区域磁感应强度为，下面各区域磁感应强度依次为、、、的匀强磁场。在第二象限磁场区域左侧有一平行于轴的线状粒子源ab（点与等高）源源不断发射沿轴正方向初速度均为的正电粒子进入匀强磁场，从点射出的粒子恰好从点进入电场。已知、、、、、、，粒子重力和其相互间作用力均不计，计算结果可以保留根式，求： (1)粒子穿过MN边界时的速率； (2)若从射出的粒子恰好未进入衰减磁场的第二层，求此时的大小； (3)若从射出的粒子恰好未进入衰减磁场的第二层，则至少需要几层衰减磁场才能确保粒子不从衰减磁场下方射出。 【答案】(1) (2) (3)最多3层就能确保粒子不从衰减磁场射出 【详解】（1）从点射出的粒子恰好从点进入电场，则粒子在匀强磁场区域做圆周运动的半径 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 联立可得 粒子经过电场区域，由动能定理得 代入数据可得 （2）从射出的粒子经过点时，速度方向沿轴负方向，粒子在电场中做类平抛运动，由（1）问可知粒子穿过MN边界时的速率为，方向与MN边界的夹角满足 可得 若从射出的粒子恰好未进入衰减磁场的第二层，设粒子在衰减磁场的第一层中的轨道半径为，根据几何关系可得 解得 由洛伦兹力提供向心力得 解得 （3）设向下速度为，水平速度为，在水平方向上很短时间，有 从射出的粒子恰好未进入衰减磁场第二层，则有 从射出的粒子在衰减磁场中沿轴的偏移量最大，在衰减磁场中依次有，， 最低点时水平速度为，联立方程组代入可得 解得 则最多3层就能确保粒子不从衰减磁场射出。 36．（2025·浙江·一模）如图甲所示，装置1由多个横截面积相同的金属圆筒沿同一直线水平排列而成，圆筒长度依次按一定规律增加。奇数序号的圆筒与交变电源的一个电极相连，偶数序号的圆筒与另一电极相连，图乙为交变电源两极间电势差随时间的变化规律。在时刻，偶数圆筒相对于奇数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板（与偶数圆筒相连）中心的一个带正电粒子，在圆板与圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1。为使粒子在通过任意两个圆筒之间的间隙时都能在电场力作用下持续加速，圆筒的长度需按一定规律设计。粒子离开装置1后，沿虚线进入装置2。装置2中的水平极板、足够长，且关于虚线对称放置，板间距，板间加有恒定电压，方向如图所示，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。已知粒子比荷，粒子通过圆筒间隙的时间可忽略，重力不计。求 (1)若粒子恰能沿虚线匀速通过装置2，装置1中应设置的圆筒个数； (2)若粒子能够通过装置2且不碰到极板，装置1中应设置的圆筒个数； (3)若装置2的两极板内侧涂有特殊材料，粒子与板发生弹性碰撞时，沿板方向速度分量不变，垂直板方向速度分量大小不变、方向反向。若装置1中设置16个圆筒，粒子相邻两次打到板上的时间间隔及相邻落点之间的距离。 【答案】(1)4个 (2)3、4、5或6个 (3)， 【详解】（1）带电粒子恰能沿虚线匀速通过装置2，即带电粒子所受静电力与洛伦兹力平衡。设带电粒子离开装置1速度为，则有 解得 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 解得 即装置1中应设置4个圆筒。 （2）设带电粒子离开装置1速度为。 （方法一）若带电粒子恰能打到下极板，设带电粒子打到下极板速度为，由动能定理 水平方向由动量定理得 解得 若带电粒子恰能打到上极板，设带电粒子打到下极板速度为，由动能定理 水平方向由动量定理得 解得 综上 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 将代入解得 装置1中应设置3、4、5或6个圆筒。 （方法二）带电粒子的运动可以分解为的匀速直线运动与的匀速圆周运动。 匀速圆周运动的半径为 带电粒子不打到极板，即 解得 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 将代入解得 故装置1中应设置3、4、5或6个圆筒 （3）装置1中设置16个圆筒，由动能定理得 解得 将带电粒子的运动可以分解为的匀速直线运动与的匀速圆周运动。由洛伦兹力提供向心力 解得匀速圆周运动的半径为 如下图所示 当匀速圆周分运动至1处时，带电粒子打到上极板，随后沿板方向速度分量不变，垂直板方向速度分量大小不变，方向反向，即匀速圆周分运动变至2处。随后匀速圆周分运动再从2处运动至1处，故相邻两次打到板上的时间间隔为 相邻两落点间距离为 37．（2025·浙江·二模）如图甲所示，平行金属板M、N水平固定放置，两板间加有如图乙所示的周期性变化的电压，M、N板右侧的BAC区域内有竖直向上的匀强电场，M、N板的右端均在竖直边AB上，A点到M板的距离为h，质量为m、电量大小为e的电子由静止开始，经电压也为的电场加速后，连续不断地沿与M、N板平行的方向从两板正中间射入两板之间，所有电子都能从两板间飞出，且在两板间运动的时间均为时刻射入M、N板间的电子恰好从M板的右边缘飞出，已知其中m，e，h，t₀为已知量，不计电子的重力，求： (1)金属板的板长； (2)M、N板间的距离; (3)要使所有的电子均不能从AC边射出，BAC区域内的匀强电场的电场强度至少多大； (4)在（1）（2）的条件下，若将BAC区域改为垂直纸面向里磁感应强度为的匀强磁场，已知点A到M、N板右端的水平距离为0（即电子从板右端射出后立即进入磁场），AC的长度足够长，求从AC边界射出磁场的电子占电子数量的百分比。 【答案】(1) (2)2h (3) (4) 【详解】（1）设电子经加速电场加速后的速度大小为v0，根据动能定理 解得 则板长为 （2）从t=0时刻进入M、N板间的电子在垂直于极板方向先做匀加速运动后做匀减速运动，设电子运动的加速度为a，则有 又因为 根据题意有 解得M、N板间的距离为 （3）由于所有电子经过M、N板的运动时间均为2t0，因此所有电子出M、N间电场时，速度均沿水平方向，且速度大小均为 要使所有电子均不从AC边射出，则从M板边缘飞出的电子在电场中的运动轨迹刚好与AC相切。设电场强度的大小为E2，则粒子在该电场中运动的加速度为 根据题意，从M边缘飞出的电子运动到刚好与AC相切的位置时，速度与水平方向夹角为53°，根据类平抛规律则有 水平方向 竖直方向 根据几何关系有 联立解得BAC区域内的匀强电场的电场强度至少为 （4）设从距离M板为dy的P点进入磁场的电子轨迹恰好与AC相切，此时满足的几何关系为 洛伦兹力提供向心力 解得轨道半径 解得 又因为d=2h 故从AC边界射出磁场的电子占比为 38．（2025·广东中山·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第二、三象限内存在沿轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带正电粒子以初速度自轴上的点射入电场，初速度方向与轴正方向的夹角，之后粒子经轴上的点进入第一象限，再经轴上的点进入第四象限，经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反。粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场。已知点到点的距离为，电场强度大小为，不计粒子重力，，。求： (1)粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角； (2)第一、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小的比值； (3)粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间。 【答案】(1) (2)4:1 (3) 【详解】（1）粒子在第二象限运动只受电场作用，沿x方向做匀速运动，其速度 沿y方向做匀减速运动，其初速度，其加速度 设粒子从P点运动到M点所需时间为t1，则 解得 则粒子运动到M点时延y方向的速度 所以粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角 （2）由（1）可知，粒子进入第一象限的速度 OM的距离 设粒子在第一、四象限中的运动轨迹半径分别为r1、r2，粒子经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反，根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场，根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 所以 （3）粒子从M点运动到N点所需时间为 粒子从N点到第3次经过轴所需时间为 所以粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间 解得 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $