第六章 计数原理 单元测试卷【基础版】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理 单元测试卷（基础版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟 满分：150分） 1、 单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。） 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由组合数的性质可得，解得， 又，所以或， 解得（舍去）或， 故. 故选：C. 2．，则m等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】，而， 所以，即. 故选：B 3．化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 4．的二项展开式中的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以ABC不是的二项展开式中的项，是的二项展开式中的项. 5．在的展开式中，含项的系数为（    ） A．160 B．192 C．184 D．186 【答案】B 【详解】二项式的展开式的通项， 当时，，项的系数为192. 故选：B. 6．已知，则（   ） A．32 B．31 C． D．1 【答案】C 【详解】令，则； 令，则，故. 7．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.从书架上任取数学书和语文书各1本，不同的选取方法有（    ） A．6种 B．30种 C．5种 D．11种 【答案】B 【详解】先从6本不同的数学书取出1本数学书，有6种方法，再从5本不同的语文书取出1本语文书，有5种方法， 由分步乘法计数原理，不同的选取方法有种. 8．昆明马拉松活动中，将4名志愿者分配到3个不同的服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法种类数为（   ） A．12 B．36 C．48 D．72 【答案】B 【详解】将4名志愿者分配到3个不同的服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点， 每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法种类数为. 故选：B. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．下列各式中与排列数相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，由排列数公式知，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 10．已知，则的可能取值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【详解】因为，所以，所以， 其中，而 ， 所以的值可能是2或3． 故选：CD． 11．以下的值，能使的展开式恰有2项二项式系数最大的是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】AC 【详解】因的展开式有项，当为奇数时，展开式有偶数项，中间两项二项式系数最大；当为偶数时，展开式有奇数项，中间一项二项式系数最大. 故选：AC. 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。） 12．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 【答案】18 【详解】区域种同一种花，不同的种植方法有：； 区域种不同的花，不同的种植方法有：； 由分类加法计数原理可得，共有18种方法. 故答案为：18 13．计算________.（用数字作答） 【答案】 【详解】. 故答案为： 14．在的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则__________． 【答案】6 【详解】由于的展开式中，各二项式系数的和等于，解得：． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息． (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下（小明不坐），有多少种不同的坐法？ (2)若小明与爸爸分别就座，有多少种不同的坐法？ 【答案】(1)14 (2)182 【详解】（1）小明爸爸选凳子可以分两类： 第一类：选东面的空闲凳子，有种坐法； 第二类：选西面的空闲凳子，有种坐法． 根据分类加法计数原理知，小明爸爸共有（种）不同的坐法． （2）小明与爸爸分别就座，可以分两步完成： 第一步，小明先就座，从东、西面共（个）空闲凳子中选一个坐下，共种坐法； 第二步，小明爸爸再就座，从东、西面共个空闲凳子中选一个坐下，共种坐法． 由分步乘法计数原理知，小明与爸爸分别就座共有（种）不同的坐法． 16．有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加. (1)只需一人，有多少种不同的选法？ (2)需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？ (3)需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？ 【答案】(1)7 (2)10 (3)20 【详解】（1）； （2）； （3）. 17．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加研讨会. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种的选法？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加， 在剩下的18人中再选3人即可，有种选法； （2）甲乙均不能参加，在剩下的18人中选5人即可，有种选法； 18．已知二项式，求： (1)二项展开式第3项的二项式系数； (2)二项展开式第8项的系数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）展开式的通项公式为， 故二项展开式第3项的二项式系数为． （2）二项展开式第8项为， 故二项展开式第8项的系数为16． 19．设． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中令，则. （2）在中令， 则，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理 单元测试卷（基础版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟 满分：150分） 1、 单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。） 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．，则m等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．化简（    ） A． B． C． D． 4．的二项展开式中的一项是（    ） A． B． C． D． 5．在的展开式中，含项的系数为（    ） A．160 B．192 C．184 D．186 6．已知，则（   ） A．32 B．31 C． D．1 7．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.从书架上任取数学书和语文书各1本，不同的选取方法有（    ） A．6种 B．30种 C．5种 D．11种 8．昆明马拉松活动中，将4名志愿者分配到3个不同的服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法种类数为（   ） A．12 B．36 C．48 D．72 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．下列各式中与排列数相等的是（　　） A． B． C． D． 10．已知，则的可能取值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．以下的值，能使的展开式恰有2项二项式系数最大的是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。） 12．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 13．计算________.（用数字作答） 14．在的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则__________． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息． (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下（小明不坐），有多少种不同的坐法？ (2)若小明与爸爸分别就座，有多少种不同的坐法？ 16．有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加. (1)只需一人，有多少种不同的选法？ (2)需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？ (3)需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？ 17．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加研讨会. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同的选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种的选法？ 18．已知二项式，求： (1)二项展开式第3项的二项式系数； (2)二项展开式第8项的系数． 19．设． (1)求的值； (2)求的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $