专题06 函数最值问题（填空压轴题）（压轴题专练）（浙江专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题06 函数最值问题（填空压轴题） 命题预测 函数最值问题是最常考的压轴题，通常为填空题压轴题，是中考复习必须重点突破的模块。综合题分值高、设问角度灵活，掌握题型规律与答题模板，对提分至关重要，预计 2026 年中考命题仍将围绕以上核心题型展开。函数最值问题在填空题压轴（通常为第16题）及解答题压轴中占据核心地位。结合近5年真题及2026年命题风向，其命题逻辑已从单纯的“求最值”演变为“含参讨论”与“动态范围”的综合。 最值差问题不直接求最值，而是给定“最大值与最小值的差”或“函数值范围”，求参数。数形结合，画出抛物线示意图，锁定区间端点与顶点（最值点）的位置关系。若题目说“差为定值”，通常意味着区间必须包含顶点或处于单调区间。 隐函数与多变量约束，不直接给出函数解析式，而是通过几何条件（如线段垂直、相似）或代数关系（如韦达定理）构造目标式，求最值。此类题目常结合三角函数或相似三角形进行跨板块综合。 高频考法 1.反比例函数最值问题 2.二次函数最值问题 3.一次函数最值问题 4.二次函数与几何变换 典例·靶向·突破 题型01 反比例函数最值问题 1．（2026•平阳县校级模拟）反比例函数，若当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，此时最小值为___________． 2．（2026•柯城区一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在双曲线上，且x1﹣x2＝3，若y1≤y2，则x1的取值范围是___________． 题型02 二次函数最值问题 1．（2026•宁波校级一模）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝10a﹣b2，则t的最大值是___________． 2．（2025•衢州四模）已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为___________． 题型03 一次函数最值问题 1．（2025•临平区校级三模）定义：A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平 2．（2026•溧水区一模）对于给定实数，记是三数，，中最小的数，则的最大值是_____． 题型04 二次函数与几何变换 1．（2026•长兴县校级模拟）在平面直角坐标系中，将函数y＝x2图象进行平移得到函数y＝（x+m）2+n（﹣2＜m＜﹣1）．当x＝1时图象上对应点记为P，当x＝2时图象上对应点记为Q，在函数图象移动的过程中PQ的取值范围是___________． 2．（2026•宁波模拟）同一平面直角坐标系中，抛物线与y＝﹣（x+m）2﹣（x+n）2关于原点成中心对称，则代数式（m+2）2+（n+2）2的值为___________． 1．（2026•西湖区校级模拟）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为___________． 2．（2025•乐清市校级模拟）如图，在直角坐标系中，A（0，4），B是直线y＝x上一点，连结AB，△AOB沿着AB折叠，点O的对应点为C，过点C作DE⊥x轴，交直线y＝x于点D，交x轴于点E．若CD＝CE，则的值为___________． 3．（2025•西湖区校级三模）若二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值为4，则y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的最小值是___________． 4．（2025•西安三模）已知反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则的值为___________． 5．（2026•大庆一模）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，，…，都是“方形点”．下列结论：①直线上不存在“方形点”；②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是；③若二次函数（）的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数（）的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是；其中，正确结论的序号是______． 7．（2026•南通一模）若时，二次函数的最小值为，则________________． 8．（2026•山东一模）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为__________________ ． 9．（2026•安徽一模）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最小值是，则a的值为___________； （2）若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，则的取值范围是___________． 10．（2026•上海一模）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是___________． 11．（2026•宝鸡一模）反比例函数（），当时，函数y的最大值和最小值之差为3，则______． 12．（2026•西安一模）当时，反比例函数的最大值为m，则反比例函数的最大值为________．（用含m的式子表示） 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数最值问题（填空压轴题） 命题预测 函数最值问题是最常考的压轴题，通常为填空题压轴题，是中考复习必须重点突破的模块。综合题分值高、设问角度灵活，掌握题型规律与答题模板，对提分至关重要，预计 2026 年中考命题仍将围绕以上核心题型展开。函数最值问题在填空题压轴（通常为第16题）及解答题压轴中占据核心地位。结合近5年真题及2026年命题风向，其命题逻辑已从单纯的“求最值”演变为“含参讨论”与“动态范围”的综合。 最值差问题不直接求最值，而是给定“最大值与最小值的差”或“函数值范围”，求参数。数形结合，画出抛物线示意图，锁定区间端点与顶点（最值点）的位置关系。若题目说“差为定值”，通常意味着区间必须包含顶点或处于单调区间。 隐函数与多变量约束，不直接给出函数解析式，而是通过几何条件（如线段垂直、相似）或代数关系（如韦达定理）构造目标式，求最值。此类题目常结合三角函数或相似三角形进行跨板块综合。 高频考法 1.反比例函数最值问题 2.二次函数最值问题 3.一次函数最值问题 4.二次函数与几何变换 典例·靶向·突破 题型01 反比例函数最值问题 1．（2026•平阳县校级模拟）反比例函数，若当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，此时最小值为　2　 ． 【答案】2 【分析】先根据区间﹣2≤x≤﹣1（第二象限）和最大值y＝4，判断m＜0，此时函数在该区间单调递增，最大值在x＝﹣1处，求出m＝﹣4，再根据单调性，最小值在区间左端点x＝﹣2处，代入函数计算得最小值为2． 【解答】解：﹣2≤x≤﹣1中，x为负数，对应反比例函数的第二象限分支： 若m＞0，第二象限无图象，排除， 若m＜0，第二象限内y随x的增大而增大， ∴在﹣2≤x≤﹣1，x越大，y越大， ∴最大值出现在区间右端点x＝﹣1处， ∴ymax4， 解得：m＝﹣4，即反比例函数为y， 由单调性，m＜0时第二象限内y随x增大而增大，因此最小值出现在x＝﹣2处， ∴ymin2． 故答案为：2． 2．（2026•柯城区一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在双曲线上，且x1﹣x2＝3，若y1≤y2，则x1的取值范围是　0＜x1＜3　 ． 【答案】0＜x1＜3． 【分析】根据反比例函数的性质列出不等式组求解即可． 【解答】解：∵x1﹣x2＝3， ∴x2＝x1﹣3，且x1＞x2， ∵x1＞x2，y1＜y2， ∴， 即， 解得0＜x1＜3． 题型02 二次函数最值问题 1．（2026•宁波校级一模）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝10a﹣b2，则t的最大值是 　9　 ． 【答案】9． 【分析】根利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义即可列出a与b的关系式，再由 t＝10a﹣b2可列出t与a的关系式，最后利用完全平方公式求出最大值． 【解答】解：ax2+bx+1＝0（a＞0） ∴x， ∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a＞0）是“邻根方程”， ∴1， ∴b2＝a2+4a， ∵t＝10a﹣b2， ∴t＝10a﹣（a2+4a）＝﹣（a﹣3）2+9， ∵a＞0， ∴当a＝3时，t的最大值为9． 故答案为：9． 2．（2025•衢州四模）已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为　1　 ． 【答案】1． 【分析】依据题意，现将y＝x2﹣2x+k变形为y＝（x﹣1）2+k﹣1，然后结合﹣1≤x≤4判断当x＝4时取最大值，从而列方程计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣2x+k＝x2﹣2x+1+k﹣1＝（x﹣1）2+k﹣1， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1． 又∵﹣1≤x≤4，抛物线开口向上， ∴当x＝4时，y取最大值，最大值y＝9+k﹣1＝8+k． 又此时y的最大值为9， ∴8+k＝9． ∴k＝1． 故答案为：1． 题型03 一次函数最值问题 1．（2025•临平区校级三模）定义：A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”，例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“平衡点”，则m的最小值为　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【分析】依据题意，由x＝y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵x＝y， ∴x＝2x+m，即x＝﹣m． ∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3， ∴﹣3≤m≤1． ∴m的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3． 2．（2026•溧水区一模）对于给定实数，记是三数，，中最小的数，则的最大值是_____． 【答案】3． 【分析】此题考查了一次函数的图像和性质，求一次函数图像交点坐标，首先根据题意设，，，然后画出图像，分别联立求出交点坐标，然后根据图像求解即可． 【详解】解：如图所示，设，，， ∴联立和得， 解得 ∴； ∴联立和得， 解得 ∴； ∴联立和得， 解得 ∴ ∵是三数，，中最小的数， ∴由图像可得， ∴的最大值在点C处取得，即当时， ∴的最大值是3． 故答案为：3． 题型04 二次函数与几何变换 1．（2026•长兴县校级模拟）在平面直角坐标系中，将函数y＝x2图象进行平移得到函数y＝（x+m）2+n（﹣2＜m＜﹣1）．当x＝1时图象上对应点记为P，当x＝2时图象上对应点记为Q，在函数图象移动的过程中PQ的取值范围是　1≤PQ　 ． 【答案】1≤PQ． 【分析】根据题意求得P、Q的坐标，进一步求得PQ，结合﹣2＜m＜﹣1即可求得PQ的取值范围． 【解答】解：由题意可知P（1，（1+m）2+n），Q（2，（2﹣1（2+m）2+n）， ∴yP＝（1+m）2+n，yQ＝（2+m）2+n， ∴yQ﹣yP＝（2+m）2+n﹣（1+m）2﹣n＝3+2m，xQ﹣xP＝2﹣1＝1， ∴PQ， ∵﹣2＜m＜﹣1， ∴﹣1＜3+2m＜1， ∴0≤（3+2m）2＜1， ∴1≤1+（3+2m）2＜2， ∴1≤PQ． 故答案为：1≤PQ． 2．（2026•宁波模拟）同一平面直角坐标系中，抛物线与y＝﹣（x+m）2﹣（x+n）2关于原点成中心对称，则代数式（m+2）2+（n+2）2的值为　　 ． 【答案】． 【分析】设（x，y）为y＝﹣（x+m）2﹣（x+n）2上任一点，它关于原点成中心对称的点为（﹣x，﹣y），根据抛物线与y＝﹣（x+m）2﹣（x+n）2关于原点成中心对称，（﹣x，﹣y）在抛物线上，得， 从而或，求解即可． 【解答】解：设（x，y）为y＝﹣（x+m）2﹣（x+n）2上任一点，它关于原点成中心对称的点为（﹣x，﹣y）， ∵抛物线与y＝﹣（x+m）2﹣（x+n）2关于原点成中心对称， ∴（﹣x，﹣y）在抛物线上， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故答案为：． 1．（2026•西湖区校级模拟）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为　1或　 ． 【答案】1或． 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线y＝x+2中进行计算，即可解答． 【解答】解：y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3 ＝x2﹣6mx+9m2﹣9m2+6m2+5m+3 ＝（x﹣3m）2﹣3m2+5m+3， ∴抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点为（3m，﹣3m2+5m+3）， 把（3m，﹣3m2+5m+3）代入y＝x+2中得： ﹣3m2+5m+3＝3m+2， 整理得：3m2﹣2m﹣1＝0， 解得：m1＝1，m2， 故答案为：m的值为1或， 故答案为：1或． 2．（2025•乐清市校级模拟）如图，在直角坐标系中，A（0，4），B是直线y＝x上一点，连结AB，△AOB沿着AB折叠，点O的对应点为C，过点C作DE⊥x轴，交直线y＝x于点D，交x轴于点E．若CD＝CE，则的值为　　 ． 【答案】． 【分析】先根据点D在直线y＝x上，得D（r，r），结合折叠性质，得AC＝AO＝4，OB＝BC，再运用两点距离公式列式，得出，，则，同理设B（b，b），结合OB＝BC，故，解得，同理得，把数值代入进行化简，即可作答． 【解答】解：过点B作BH⊥x轴，如图所示： ∵点D在直线y＝x上，过点C作DE⊥x轴， ∴设点D（r，r）， ∵CD＝CE， ∴， 由条件可知AC＝AO＝4，OB＝BC， 则， 整理得， 解得， ∴，； ∴OD， ∵B是直线y＝x上一点， ∴设B（b，b）， ∵OB＝BC， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 3．（2025•西湖区校级三模）若二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值为4，则y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的最小值是　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【分析】根据题意，得出a＞0，再根据函数y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的图象与y＝﹣ax2+bx+2图象之间的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为二次函数y＝﹣ax2+bx+2有最大值为4， 所以a＞0，且抛物线顶点的纵坐标为4． 因为二次函数y＝ax2﹣bx﹣2的图象与二次函数y＝﹣ax2+bx+2的图象关于x轴对称， 所以二次函数y＝ax2﹣bx﹣2顶点的纵坐标为﹣4，且开口向上， 所以二次函数y＝ax2﹣bx﹣2有最小值﹣4． 将二次函数y＝ax2﹣bx﹣2向左平移1个单位长度可得函数y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2的图象， 所以函数y＝a（x+1）2﹣b（x+1）﹣2有最小值为﹣4． 故答案为：﹣4． 4．（2025•西安三模）已知反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性，分别求出两个反比例函数在范围内的最大值和，再计算即可． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数， 当时，随的增大而减小， 因此当时，取得最大值； 对于反比例函数，比例系数， 当时，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值； 则． 5．（2026•大庆一模）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，，…，都是“方形点”．下列结论：①直线上不存在“方形点”；②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是；③若二次函数（）的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数（）的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是；其中，正确结论的序号是______． 【答案】② 【分析】根据新定义可知“方形点”满足，分别联立各函数，通过方程解的情况判断①，计算两个方形点的距离判断②，求出二次函数解析式后，根据二次函数的性质确定的取值范围，判断③，即可得到正确结论； 【详解】解：由“方形点”的定义可知，方形点的横纵坐标互为相反数，即满足； ① 令，代入直线得： ， 解得，则，即直线上存在方形点，故①错误； ② 令，代入抛物线得： ， 整理得， 解得，； 当时，当时，即两个方形点为和； 两点之间的距离为，故②正确； ③ 因为点是二次函数的方形点，将代入解析式得： ，整理得； 因为二次函数图象上有且只有一个方形点，所以方程有且只有一个实数根，整理得； 所以判别式； 将代入得： ， 整理得，即，解得，则； 所以二次函数的解析式为； 该二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即函数的最大值为； 令，得，整理得，解得，； 若当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是，与结论中不符，故③错误； 综上，正确结论的序号是②； 6．（2026•安徽一模）已知两个非负实数，满足， （1）z的取值范围是______； （2）若，则M的最大值为______． 【答案】 【分析】（1）用表示和，结合非负数的性质，求出的取值范围； （2）将和替换为，得到一个关于的二次函数，结合二次函数的性质求出的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵，是非负实数， ∴， 解得； （2）由（1）可知，，， ∴， ∴是关于的二次函数，且该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越小， ∵， 又∵， ∴当时，取得最大值． 7．（2026•南通一模）若时，二次函数的最小值为，则________________． 【答案】 5 【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果. 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： ①当，即时， 在范围内，y随x的增大而增大，当时，y取得最小值， ， 解得， ∵ ，不符合条件，舍去； ②当，即时， 二次函数最小值在对称轴处取得，将代入得： ， 解得，均不在范围内，舍去； ③ 当，即时， 在范围内，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值， ， 解得，符合的条件. 8．（2026•山东一模）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为__________________ ． 【答案】/ 【分析】将已知等式整理为关于y的一元二次方程，根据存在正实根y，结合根与系数的关系和根的判别式确定x的取值范围，即可求得x的最大值． 【详解】解：由得，， ∴， 由题意得，，即， ∴，即， 当时，，，，， ∴的解集为或或， 设方程的两根为，， ∴， ∴，两根同号， ∵为正实数， ∴，即， ∴或，即或， ∴或或或 ∴或无解或无解或， ∴或， ∴或， ∴实数的最大值为． 9．（2026•安徽一模）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最小值是，则a的值为___________； （2）若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质， （1）由二次函数开口向下，对称轴为直线，在上，最小值出现在处，代入求值解方程； （2）由条件可知抛物线开口向下，点离对称轴更近，根据当时与时两点关于对称轴对称，结合二次函数性质求的范围即可． 【详解】解：（1）二次函数的对称轴为直线， 由于图象开口向下，在时， 当函数在处取得最小值，， 由题意，解得； 故答案为：； （2）∵二次函数的对称轴为直线，且当时，均满足， ∴抛物线开口向下，点离对称轴更近， ∵当时与时两点关于对称轴对称， 且， 解得， 故答案为：． 10．（2026•上海一模）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，新定义，一元二次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据抛物线和，得出开口方向和对称轴，再求出这两个抛物线的交点的横坐标，分别是，再根据点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵的 ∴开口方向向下，对称轴为， 把代入，得， 即的最大值为； ∵的 ∴开口方向向上，对称轴为， 抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大， 依题意，得， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴抛物线和有两个交点，且它们的横坐标分别是， 把代入，得， ∵抛物线的对称轴为，最大值为，抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大，且，点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点， ∴， 故答案为：． 11．（2026•宝鸡一模）反比例函数（），当时，函数y的最大值和最小值之差为3，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的系数分析函数在给定范围内随的增大而增大，确定最大值和最小值，再结合差值列方程求解． 【详解】解：∵， ∴在的范围内随的增大而增大， 当时， 当时，， ∵当时，函数y的最大值和最小值之差为3， ∴， 解得． 12．（2026•西安一模）当时，反比例函数的最大值为m，则反比例函数的最大值为________．（用含m的式子表示） 【答案】 【分析】利用反比例函数的性质进行求解． 【详解】解：∵，即，且， ∴， ∴自变量的取值范围在的负半轴上， 由得，在每个象限内的图象，随的增大而减小， 则，在每个象限内的图象，随的增大而增大， 在内，当时，反比例函数取得最大值为m， ∴， ∴， ∴， 在内，当时，反比例函数取得最大值， ∴． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $