5 长方形和正方形-【拔尖特训】2025-2026学年三年级下册数学（苏教版·新教材）

垃圾分类中的 数学问题 1.(1)③⑧④⑥ ②⑤⑦① (2)① 垃圾站的回收处理情况统计图 数量/吨 2025年8月 30 25 20 15 10 3 5 0 2 D垃圾分类 ②有害垃圾（或C)可回收物（或A) ③可以举办垃圾分类积分兑换活动，也可 以大力宣传垃圾分类，使小区居民认识到垃 圾分类的好处（合理即可） 2.(1)40 质量/吨 35 35 30 30 25 20 15 10 10 5 0 A B 社区 (2)5 (3)D (4)1615(5)10 五 长方形和正方形 第1课时 相交与平行 1.②③⑤⑥⑧⑥ ①⑦ 易错分析》 混淆平行、垂直与相交 同一平面内，两条直线不是互相平 行，就是相交，互相垂直属于相交的一种。 2.(1)C(2)C(3)C(4)B 3.(1)B (2)A 知识归纳 平行线的递进关系 同一平面内，互相平行的两条直线， 一条直线与第三条直线互相垂直（平 行)，另一条直线也必定与第三条直线互 相垂直（平行）。 (3)B 4.4组，分别为ac、b∥g、dh、e∥f 5.OA和OB互相垂直∠3=180°一∠2= 180°-140°=40°∠1+∠3=50°+40°= 90°因为OA与OB相交成直角，所以OA 与OB互相垂直解析：先计算出两条线相 交所形成的夹角的度数，若这个角是直角， 则说明这两条线互相垂直；若这个角不是直 角，则说明这两条线不互相垂直。 第2课时 画垂线点到 直线的距离 1.(1)C(2)A (3)A 知识归纳》 点与线之间垂直线段最短 从直线外一，点到已知直线所画的所 有线段中，与这条直线垂直的线段最短。 3 (1)起 线 8 解析：测量跳远成绩应以距离起跳线近的 只脚的脚后跟作为测量点，过该点向起跳线 作垂线即可。 (2)C解析：皮尺和起跳线不垂直，则1.6米 的成绩要比实际成绩长一些，3个数据中， 1.5米符合。 4.运动员C跑得最慢理由：点E与点A、 B、C、D的所有连线中，垂线段最短，即点C 到点E的路程最短。四人同时出发，同时到 达，时间相同，路程越短，跑得越慢。 5. A B 一河边 解析：由两点间线段最短可知，将军从点A 处骑马到点B处的最短路线是A、B两点间 的连线。再从点B处向河边作垂线，垂线段 的长度就是将军从B处到河边给马饮水的 最短距离。 第3课时平行线之间的距离 画平行线 1.(1)无数1(2)无数(3)2(4)垂 直平行 2.(1) (2) 3.15116 4.方法不唯一，如画出与地面平行的一条 直线，通过旋转，使标识牌的长边与画的这 条直线重合即可摆正（如图） 安全出口 EXIT 777777777777777777777 江海路 草 北 民路 器眼统店 (江海路画法不唯一)解析：眼镜店在中坝 路上，且中坝路与草坝路平行，因此过眼镜 店作草坝路的平行线，作出的就是中坝路； 江海路与人民路平行，且在人民路的北边， 草坝路的西边，所以在人民路的上方、草坝 路的左边作人民路的平行线，作出的就是江 海路。 6.10+6=16(厘米)或10一6=4（厘米） 解析：情况一：直线b在直线a和直线c之 间，此时直线a与直线c之间的距离为直线 a与直线b的距离加上直线b与直线c的距 离，即10十6=16（厘米）。情况二：直线c在 直线a和直线b之间，此时直线a与直线c 之间的距离为直线a与直线b的距离减去直 线b与直线c的距离，即10一6=4（厘米）。 第4课时 练习六 1.①②④⑤⑥ ①③④①④ 2.(1)A(2)B B 4.1151156565相等解析：先测 量出四个角的度数，再找出它们之间的关 系，从而发现规律。 5. 小鸡家 河 小鸭家 解析：因为小鸭在岸上走路比较吃力，所以 在岸上走最短路线。先画出小鸭家到河边 的最短路线，然后画出小鸡家到河边的最短 路线，最后连接河两边的垂足，这时候所形 成的路线就是比较合适的路线。 第5课时长方形和正方形 1.(1)①③(2)长方22 (3)42 2.(1)164(2)8 3.(1)19长方1913 (2)136 方法归纳 在长方形中画最大的正方形问题 先按要求画出长方形，最大的正方 形取决于长方形的宽，再在长方形中以 长方形的宽为边长画一个正方形。 4.可以拼成3种不同的正方形，还可以拼成 8种不同的长方形解析：拼成的正方形边 长分别为2厘米、5厘米和2+5=7（厘米）。 拼成的长方形的长和宽分别如下表。 长/厘米5577 9 1010 12 宽/厘米2 2 5 2 2 5.2346 解析：☐有14个 有2个，共有23个正方形。 有 20 个； 有12个； 4 个； 有8个； 有2个，共46个长方形。 第6课时画长方形和正方形 1.(1) (2) 2. 3.长：4+2=6（厘米）宽：4一2=2（厘米） 2厘米 6厘米 4.(1)画法不唯一，如图(2)如图 (3)等于 5.(1)2510解析：用正方形拼，每排摆 10÷2=5(个)边长是2厘米的正方形，要摆 5排，所以需要5×5=25（个）；用长方形拼， 因为要拼的正方形的边长等于小长方形长 的10÷5=2倍，等于小长方形宽的10÷2= 5倍，所以需要2×5=10（个）。 (2)156解析：用正方形拼，每排摆10÷ 2=5(个)边长是2厘米的正方形，要摆6÷ 2=3(排)，所以需要5×3=15（个）。用长方 形拼，因为要拼的长方形的长等于小长方形 长的10÷5=2倍，宽等于小长方形宽的6÷ 2=3倍，所以需要2X3=6(个)。 6.宽：(20-4)÷2=8（厘米）长：8+4= 12(厘米)解析：由题图可知，小长方形的 0 长与宽的和是20厘米，差是4厘米。把长 方形的长去掉4厘米，就和宽一样长，所以 宽是(20一4)÷2=8（厘米），长是8+4= 12(厘米)。 第7课时练习七(1) 1.(1)①②（或③ ⑥)③④⑥（或 ③⑥⑦)(2)10 2.(1)54102(2)42 3. 2厘米 4.相等在题图①中，∠1+∠3=180°， ∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2。在题图 ②中，∠1十∠3=90°，∠2十∠3=90°，所以 ∠1=∠2 5.11一5×2=1（米）解析：由题意可知， 把原来的长方形苗圃变成了两个正方形苗 圃，所以正方形苗圃的边长是5米，11米减 去两个5米即可得到这条小的宽度。 6.14解析：可以在图中将长3厘米、宽 2厘米的小长方形“横放”或“竖放”，多次尝 试即可。分法如图所示。 第8课时练习七(2) 1.(1)44 (2)正方3解析：白色长方形的长是大 涂色正方形的边长，白色长方形的宽是最小 正方形的边长，大图形的边长是由两个涂色 正方形的边长合成的，所以最小正方形的边 长是10-7=3（厘米）。 (3)③或⑤ ④或⑥ 3.(1)如图(2)垂直(3)如图从直线 外一点向已知直线画出的所有线段中，垂直 线段最短 光明新村 一江海路 造纸厂 幸福大道 取水口 白鹭湖 滨湖大道南京路 4.公共汽车站应该建在点O处，如图 乙村 甲村 解析：从甲村向直线作垂线，找到对应 点，使得对应点和甲村到直线m的距离相 等，连接对应点和乙村，与直线m相交于点 O,这样，对应点、点O和乙村在一条直线 上，因为两点间线段最短，所以从甲、乙两村 到公共汽车站的路程之和最短。 提分真题集训 1.(1)②(2)1410 2.(1)C(2)A 3.(1)答案不唯一，如长方形内剪一个最大 的正方形，正方形的边长是长方形的宽 (2)642解析：第一次操作剪下的 ①号正方形的边长是原来长方形的宽，是 6厘米。第二次操作后，②号长方形的长是 原来长方形的长去掉原来长方形的宽，是 10一6=4（厘米），②号长方形的宽是原来长 方形的宽去掉4厘米，是6一4=2（厘米）。 4. 第五单元整合提升 1.互相垂直互相平行未指明平放时， 答案不确定解析：将两根筷子用线段a,b 表示，先画出a与b互相垂直的示意图，再 根据题意画第三根筷子，用线段c表示（如 图)。第一幅图，若c与a平行，则c与b互 相垂直；第二幅图，若c与a垂直，则c与b 互相平行；当不在同一平面内时，如第三幅 图，c可能同时垂直于a和b,答案不确定。 2.两条平行线间的距离处处相等解析：尺 的一边紧靠木板是为了保持垂直。 3. 阳光路 智慧路 致富西路 路 致富东路 4.A 5. ”小兔家 <小河 小象家 2 6. 休息区 *0 7.(1)168(2)328 8 益 5厘米 解析：要使分割出的正方形的数量最少，就 要使每个正方形尽可能大。按照这个思路， 每次都从长方形上分割出一个最大的正方 形，直到不能分为止。 9.188解析：第一幅题图：单个小长方 形有6个；由2个小长方形组成的长方形有 7个；由3个小长方形组成的长方形有2个； 由4个小长方形组成的长方形有2个；由 6个小长方形组成的长方形有1个。一共有 6十7+2+2+1=18（个）长方形。第二幅题 图：单个小长方形有4个；由2个小长方形 组成的长方形有2个；由3个小长方形组成 的长方形有1个。由4个小长方形组成的 长方形有1个。所以一共有4十2+1+1= 8(个)长方形。 10.5解析：我们按照正方形的大小来数 含有☆的正方形。含有☆的1个小正方形 只有1个；由4个小正方形组成的含有☆ 的正方形有3个。由9个小正方形组成的 含有☆的正方形有1个。一共有1+3十1= 5(个)。 寻找“宝藏” 第1课时“宝藏”在哪里 1.(1)南 西北西南(2)东南东 北西北东北(3)东北西南 2长方形和正方形 第1课时 习基础进阶 1.★先观察下面各组同一平面内的两条 线，再填一填。 ⑤ ⑥ ⑦ 8 两条直线相交的有( ),两 条直线互相垂直的有( ),两 条直线互相平行的有( 2.选一选。 (1)在同一平面内，两条互相垂直的直 线可以组成( )个直角。 A.1 B.2 C.4 (2)下面的时间中，( )时，钟面上 时针和分针互相垂直。 A.3:30 B.6:00 C.9:00 (3)(学科融合)下面的汉字中，既含有 垂线又含有平行线的有( )个。 三上木火干末 A.5 B.4 C.3 (4)下面能正确表示出平行、垂直和相 交关系的为( )。 平行 相交 垂直 垂直丫相交 垂直 平行 相交 平行 A. B 相交与平行 团能力攀升 3.想一想，选一选。 A.互相垂直 B.互相平行 C.无法确定位置关系 (1)在同一平面内，直线a和直线b互 相平行，直线c和直线b也互相平行， 那么直线a和直线c( ）。 (2)*在同一平面内，直线a与直线b 互相平行，直线m与直线b互相垂直， 那么直线a与直线m()。 (3)在同一平面内，直线b与直线m 互相垂直，直线n与直线b也互相垂 直，那么直线m与直线n()。 4.(几何直观)下面一共有几组平行线？ 请写出来。 5.(几何直观)已知∠1=50°，∠2=140°， 请你判断OA和OB的关系，并通过 计算说明。 47 拔尖特训·数学（苏教版）三年级下 第2课时 画垂线 只 习基础进阶 1.选一选。 (1)下面画垂线的方法中，错误的是 ()。 A B (2)过直线上一点或直线外一点画这 条直线的垂线，可以画( )条。 A.1 B.2 C.无数 (3)★（生活应用）小亮家通往五一大 4. 街有3条路线（如图），长度分别是900 米、1千米、1800米，其中B路线与五 一大街互相垂直。根据下图可以判断 B路线的长度是( )。 五一大街 A B /c 小亮家 A.900米B.1千米 C.1800米 2.经过点A画出已知直线的垂线。 5. A 能力攀升 3.体育课上，小华在跳远测试中的情况 48 点到直线的距离 示意图如下。 起 线 (1)这次跳远成绩该如何测量？请画 出示意图。 (2)体育老师测量出小华的成绩是 1.6米，但发现测量时皮尺和起跳线不 垂直，于是重新测量。小华的实际成 绩可能是( )米。 A.1.8 B.1.7 C.1.5 (说理表达)育华小学运动会上，A、B、 C、D四位运动员跑步到E处集合。 如果四人同时出发，同时到达E处，那 么哪位运动员跑得最慢？请说明理由。 A B CD E (学科融合)“白日登山望烽火，黄昏饮 马傍交河”中隐含着一个有趣的数学 问题：将军从点A处骑马到点B处登 山，再到河边给马饮水，怎样走最近？ 画一画。 A ·B 河边 第3课时 平行线 习基础进阶 1.填一填。 (1)在同一平面内画一条直线的平行 线，可以画( )条。过直线外一点 画已知直线的平行线，可以画 ()条。 (2)两条平行线之间可以画( )条 与平行线垂直的线段。 (3)在同一平面内，与已知直线相距 4厘米的平行线可以画()条。 (4)拿一张正方形纸连续对折两次，再 打开。如果出现两条折痕，那么这两 条折痕互相( );如果出现三条折 痕，那么这三条折痕互相( ）。 2.按要求画一画 (1)过点A画出直线a的平行线。 A (2)画出与下面直线的距离为1厘米 的平行线。 3.下面的图形中，各有几组互相平行的 线段？ )细 )组 ()组 五长方形和正方形 之间的距离 画平行线 团能力攀升 4.(说理表达)学校墙上的安全出口标识 牌松动了（如图），怎样才能摆正？请 画一画并写出具体的方法。 安全出口 EXIT 5.中坝路与草坝路平行，且眼镜店在中 坝路上；江海路与人民路平行，且江海 路在人民路的北边，草坝路的西边。 请在图上分别画出中坝路和江海路。 草 北 人民路 ·眼镜店 6.(创新应用)在同一平面内，直线a、直 线b与直线c互相平行，如果直线a 与直线b之间的距离是10厘米，直线 b与直线c之间的距离是6厘米，那么 直线a与直线c之间的距离是多少 厘米？ 49 拔尖特训·数学（苏教版）三年级下 第4课时 团能力攀升 1.按要求将序号填在括号里。 1 ② ③ ④ ⑤ ⑥ 有互相平行的线段的图形是( 有互相垂直的线段的图形是( 既有互相平行又有互相垂直的线段的 图形是( )。 2.选一选。 (1)如图，梯子两边的竖杆互相平行， 两根竖杆中间的横杆与竖杆互相垂 直，则所有横杆的长度( ）。 A.相等 B.不相等 C.无法确定 (2)同学们站在起掷线上投掷沙包，沙 包的落地点到起掷线的距离为同学们 的投掷成绩。下面是三名同学某次投 掷沙包的示意图，( )的成绩最好。 起掷线 东东明明 笑笑 A.东东 B.明明 C.笑笑 练习六 因思维拓展 3.过点B画一条直线与边AC平行，过 点C画边AB的垂线。 B 4.(操作探究)如图，直线a与直线b互 相平行，测量图中各角的度数，你发现 了什么？ ∠1=( ) ∠2=( )° ∠3=( )° ∠4=( )° 我发现：两条平行线被第三条直线所 截，位于截线的两侧且夹在两条平行 线间的两个角的度数()。 5.(创新应用)小鸭在岸上走路比较吃 力，但擅长游泳，它想从家去河对岸的 小鸡家玩，选择怎样的路线比较合适？ 在图中画出来。 小鸡家 河一 ·小鸭家 50 五长方形和正方形 第5课时 长方形和正方形 基础进阶 3.★（五育并举）同学们要设计一期有关 1.填一填。 消防安全知识的黑板报。 (1)下面是三根有折痕的铁丝。 ① ② 32分米 ③ (1)在黑板上画一个最大的正方形为“火 )号可以围成正方形，( )号 场逃生方法”板块，它的边长是( )分 可以围成长方形。 米。剩下部分是一个( )形，它的 (2)下图是( )形，如果宽不变，长 长是( )分米，宽是( )分米。 减少( )厘米，可以变成正方形；如 (2)在剩下的部分中再画一个最大的 果长不变，宽增加( )厘米，也可以 正方形为“灭火应急办法”板块，其他 变成正方形。 部分是“灭火器种类”板块，其他部分 5厘米 长是( )分米，宽是( )分米。 团能力攀升 (3)至少要( )个相同的小正方形 4.(操作探究)现有长为2厘米和5厘米 才能拼成一个大正方形。用8个同样 的小棒各4根，可以拼成多少种不同 大的小正方形可以拼出( )种不同 的正方形？还可以拼成多少种不同的 的长方形。 长方形？ 2.拼一拼，填一填。 如图，把两个长8厘米、宽4厘米的长 方形拼成一个大长方形或正方形。 8厘米 米 5.数一数。 (1)拼成的大长方形的长是( )厘 米，宽是( )厘米。 (2)拼成的正方形的边长是( ( )个正方形 厘米。 )个长方形 51 拔尖特训·数学（苏教版）三年级下 第6课时画长 习基础进阶 1.按要求画一画。 (1)根据给出的两条边，补全长方形。 (2)根据给出的一条边，补全正方形。 2.画一画。（每个小方格的边长表示1厘米） (1)画一个长5厘米、宽4厘米的长方形。 (2)画一个边长为3厘米的正方形。 3.(创新应用)把一个长方形的长减少 2厘米，宽增加2厘米，就变成了一个 边长为4厘米的正方形。 用圆规和直 尺画出原来 的长方形。 中能力攀升 4.(1)在平行线之间画出一个长方形，使 长方形的顶点都在平行线上。 52 方形和正方形 (2)在平行线之间画一个最大的正 方形。 (3)我发现：正方形的边长( )这组 平行线间的距离。（填“大于”“小于” 或“等于”) 5.(操作探究)拼一拼，填一填。 2厘米 5厘米 2厘米 2厘米 (1)拼一个边长是10厘米的正方形， 如果用上面这样的正方形拼，需要 ( )个。如果用上面这样的长方形 拼，需要()个。 (2)拼一个长10厘米、宽6厘米的长 方形，如果用上面这样的正方形拼，需 要( )个。如果用上面这样的长方 形拼，需要( )个。 6.(思维过程)如图，用一个边长是4厘 米的正方形和4个一样大的小长方 形，一起拼成一个边长是20厘米的大 正方形。小长方形的长和宽分别是多 少厘米？ 第7课时 习基础进阶 1.(几何直观)填一填。 (1)用左下图中的七巧板拼图形。用 ()号图形和( )号图形可以拼 成一个正方形；用( )号图形、 ( )号图形和( )号图形可以拼 成一个长方形。 ② (7 (2)天天用小正方形拼大正方形，如右 上图，他至少还需要( )个小正方 形才可以将这个大正方形拼完整。 2.折一折，画一画，填一填。 10厘米 米 (1)把上面的长方形纸折成两个相同 的长方形，折成的长方形的长是 ()厘米，宽是( )厘米；或者长 是( )厘米，宽是( )厘米。 (2)从上面的长方形纸中剪出最大的 正方形，这个正方形的边长是( 厘米，最多可以剪( )个。 3.下面两条直线互相垂直，利用它们画 一个边长是2厘米的正方形。 五长方形和正方形 练习七(1) 团能力攀升 4.(说理表达)下面每个图形中的∠1和 ∠2大小相等吗？为什么？ 5.（思维过程)学校有一个长11米、宽 5米的长方形苗圃（如图）。为了方便 同学们观察小苗的生长情况，在苗圃 中间修了一条小路，把原来的长方形 苗圃分成了两个正方形苗圃。这条小 路宽多少米？ 米 小 11米 6.(操作探究)把下面的大长方形分成长 3厘米、宽2厘米的小长方形，最多能 分成( )个。（每个小方格的边长 表示1厘米) 53 拔尖特训·数学（苏教版）三年级下 第8课时 团能力攀升 1.填一填。 (1)左下图中有( )组互相平行的 直线，( )组互相垂直的直线。 (2)右上图中，这个大的图形是边长为 10厘米的正方形，如果两个白色的长 方形完全相同，那么两个涂色的图形 是( )形。如果白色长方形的长是 7厘米，那么最小正方形的边长是 ()厘米。 (3)6只鸭子从南岸游到北岸，它们游 的路线如图所示，①号鸭子与() 号鸭子游的路程同样长，②号鸭子与 ()号鸭子游的路程同样长。（填 序号，符合要求的都要填) 北岸 南岸手 小河 号品号 ①②③④⑤⑥ 2.(操作探究)下面是破损的木板，图中 的长方形的长是宽的2倍，请借助圆 规和直尺画出这个长方形。 木工师傅要用这块木板加工成最大的 练习七(2) 正方形，该怎样做？请你在图上画出 这个正方形。 因思维拓展 3.(生话应用)下面是某街区示意图。 光明新村 造纸厂· 幸福大道 白鹭湖 滨湖大道南京路 (1)江海路经过光明新村，且与幸福大 道互相平行。请画一画，并标出路名。 (2)江海路与南京路互相( 。 (3)造纸厂要新建一条供水管道从白 鹭湖取水，取水口设在哪个位置才可 以使管道最短？把它画出来。这样设 计的依据是( )。 4.(操作探究)直线m是一条公路，公路 的一侧有甲、乙两个村子（如图）。现 在要在公路边建一个公共汽车站，如 果想让这两个村子的村民到公共汽车 站的路程之和最短，那么公共汽车站 应该建在什么地方？画一画。 乙村 甲村 m 54 五长方形和正方形 提分真题集训 1.填一填。 3.(苏州张家港)小华按照下图的方法， (1)(咸阳永寿)“天街小雨润如酥，草 经过两次操作，从一张长10厘米、宽 色遥看近却无。”现在的广济街就是诗 6厘米的长方形纸上剪下了两个大小 中的“天街”的其中一段，晶晶从饭店 不同的正方形。 吃完饭去广济街，选择走( )号路 第一次操作 第二次操作 ② 线最近。 B ① 饭店≤ ② 济 (1)观察上图的操作过程并思考，你能 ③ 街 得到哪些图形的信息？请写一写。 (2)(南通崇川区)右上图中的O是长 方形的中心点，点O到线段AB的距 离是5厘米，到线段AC的距离是 (2)第一次操作剪下的①号正方形边 7厘米。长方形ABDC的长是 长是( )厘米。第二次操作后，还 ( )厘米，宽是( )厘米。 剩下的②号长方形的长是()厘 2.选一选。 米，宽是( )厘米。 (1)(杭州富阳区)如图，a仍，下面描 4.(西安雁塔区)周末，小冬在人民广场 述错误的是( 玩足球，不小心滚到了长方形花坛里， D 他要把足球捡回来。 A.如果AB⊥a,DCa,那么ABDC ·A B.四边形ABCD是一个长方形 (1)花坛外有一条直直的小路平行于 C.EF的长度是平行线a与b之间的 长方形的长边，小冬此时站在小路的 距离 A点，请你画出这条小路。 (2)(邵阳武冈)用16个同样大小的正 (2)画出小冬从A点出发去捡足球的 方形拼长方形或正方形，可以拼出 最短路线。 ()种不同的长方形或正方形。 (3)画出小冬捡到足球后离开花坛的 A.3 B.4 C.5 最短路线。 55