专题03 向量基本定理及坐标表示（期中复习专项训练）高一数学下学期苏教版

专题03 向量基本定理及坐标表示 题型1 平面向量共线定理 题型7 由坐标解决线段平行和长度问题（难点） 题型2 已知向量共线（平行）求参数（重点） 题型8 向量坐标的线性运算解决几何问题（重点） 题型3 用基底表示向量 题型9 线段的定比分点（难点） 题型4 平面向量基本定理的应用（常考点） 题型10 由向量线性运算解决最值和范围问题（重点） 题型5 利用平面向量基本定理求参数（常考点） 题型11 利用坐标求向量的模 题型6 由坐标解决向量三点共线问题（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平面向量共线定理（共5小题） 1．若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【详解】因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故A错误； 因为，， 由，所以，所以三点共线，故B正确； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故C错误； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故D错误. 2．如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 3．如图，在中，是边上靠近点B的三等分点，O是的中点. (1)如图1，延长交于点Q. （i）若，求的值； （ⅱ）若，，，求的余弦值； (2)如图2，E，F分别是边，上的动点，且E，O，F三点共线，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ⅱ） (2). 【分析】（1）（i）结合图象根据向量线性运算法则可得，设，根据向量共线定理的推论可求，再结合平面向量基本定理求结论； （ⅱ）结合（i）由数量积的运算律求，，再根据向量夹角公式求结论； （2）设，，结合向量共线推论可得，根据数量积的定义求的表达式，结合二次函数性质求结论. 【详解】（1）（i）因为是上靠近点的三等分点，所以， 所以， 因为是的中点，所以， 设，则， 因为，，三点共线，所以，解得， 所以，即， 所以， 所以，，. （ⅱ） ， ， ， . （2）设，， 又，所以， 因为，，三点共线，所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以， 当时，，， 即的取值范围是. 4．已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以三点共线； 由，所以与不平行，所以三点不共线； 因为，所以与不平行，所以三点不共线； ， 因，所以与不平行，所以三点不共线. 5．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为________ 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则， 故，整理得， 结合同向和可得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 题型二 已知向量共线（平行）求参数（共5小题） 6．已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数__． 【答案】 【详解】因与是共线向量，则存在唯一的，满足， 即， 又因是两个不共线的向量， 故有，解得. 7．已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______． 【答案】 【分析】利用平面向量共线定理建立等量关系，从而求出的值. 【详解】由向量共线，根据平面向量共线定理可得， 化简得：， 所以，解得， 因此. 8．已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A．-1或 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【分析】先判断 与 是否共线，再根据方向相反设共线关系，展开并整理系数联立方程组，最后代入求解并检验即可. 【详解】因为 ， 所以向量 ， 不共线，且向量 ， 方向相反， 所以存在实数 使 ， 即， 又因为向量 不共线， 所以，整理得 ， 解得 或 ， 又因为 ，所以 ，故舍去 ，最终得到 . 故选：D. 9．已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时，此时它们是同向还是反向？ 【答案】(1) (2) (3)，反向 【分析】（1）利用，把向量模的运算转化为数量积运算即得结果； （2）利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算，最后解方程即得结果； （3）利用向量共线的充要条件得，根据平面向量基本定理，可得解. 【详解】（1）由已知得， 因为. 所以 （2）若，即， 所以，即，解得， 即当时，. （3）若，即， 根据平面向量基本定理可得，解得， 此时与反向. 10．如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为三点共线，且， 所以 又因为三点共线，且， 所以 可得， 即 解得 所以 故选： 题型三 用基底表示向量（共5小题） 11．如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点. (1)试用表示； (2)设，求的值； (3)若，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用线性运算，结合图形求解即可； （2）根据线性运算，结合共线定理的推论求解可得； （3）共线定理的推论，结合数量积的定义求解即可. 【详解】（1）， 又是边的中点，. （2）， 又因为是中点，所以， 三点共线，. （3）由（2）知， ， 设， ， 又三点共线，所以，， ， 又， 或（舍去）， 故. 12．如图,在中,,,与相交于点,若（）,则__________. 【答案】 【分析】设，，用分别表示，即可得到关于的方程组，进而根据与的关系，即可求得结果. 【详解】设，， 则； 设，， 则； 又不共线，故，解得，则. 13．在中，点满足．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 因为，，所以，. ， 所以，，所以. 14．如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得， ， 又， 则由平面向量基本定理可知，，得， 则. 15．如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量运算结合基本定理可得答案； （2）设出两线段的关系，利用基本定理可得答案； （3）利用基底得出的关系，结合对勾函数的性质可得范围. 【详解】（1）因为，，所以， , 因为E为线段BC的中点，所以，. （2）设，则，， ， 又共线，所以存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即. （3）设,；,， ， 因为，所以，可得， 解得，所以， 由对勾函数的性质可得时，. 题型四 平面向量基本定理的应用（共5小题） 16．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 17．下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若非零向量，满足，则，，三点共线 C．若，则向量与的夹角为钝角 D．若向量，不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对，，使 【答案】BD 【详解】对于A，当时，满足，，但不一定得到，A错误； 对于B，由，得与为平行向量，又向量与有公共点，因此三点共线，B正确； 对于C，当两个非零向量与反向时，满足，C错误； 对于D，向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对，使，D正确. 18．如图，在中，，的夹角为，，，则______________ 【答案】 【分析】根据向量的线性运算利用向量表示，根据数量积的性质即可求解. 【详解】因为，又， 所以， 所以， 因为，所以， 又因为的夹角为，所以， 又，，所以， 所以. 19．在中，点是边上的四等分点，且，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确. 对于B，因为，所以，， 由三点共线可得，. 因为，所以，， 由三点共线可得，. 而，所以有，整理得，故B正确. 对于C，因为，则， 当且仅当，即时取等号，故C正确. 对于D， 因为， 所以， 当且仅当即时取等号.而，故D错误. 20．如图所示，已知在中，，，，在上，且，在上，且，为与的交点，则________． 【答案】 【分析】设，，以为基底，表示出，，利用平面向量数量积的有关运算求与的夹角即可. 【详解】设，，与的夹角为， 则，， 因为，． 所以， 又，，所以． 又因为，所以，即向量，的夹角． 故答案为： 题型五 利用平面向量基本定理求参数（共5小题） 21．已知：在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为___________ 【答案】 【详解】如图，因为，所以， 则， 因为三点共线， 所以，所以. 22．在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量共线定理，结合为的中点，可得，由向量的线性运算，分别用表示，由，即可求得的值, 【详解】由图象可得，，，三点共线，且为的中点， 故存在实数使， 有， 且， 因为，即， 因为与不共线，所以有，解得. 故选：C. 23．设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】利用共线向量定理结合平面向量基本定理列式计算得解. 【详解】由， 由三点共线，得， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 24．如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 25．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算即可得到向量关于的表达式； （2）由推得，结合题设条件和基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由图和题设条件可得： ； . （2）由图和可得：，即（*）， 因， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则， 由（*）可得：，即， 因三点共线，故， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，的最小值为. 题型六 由坐标解决向量三点共线问题（共5小题） 26．已知，，，若，，三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据向量加法求出，再利用向量共线的性质列出等式，最后求解. 【详解】已知，，则. 因为，，三点共线，所以与共线.可得. 即.等式两边同时除以（因为，若，则，此时），得到. 故选：B. 27．如图，在中，是的中点，点满足与交于点. (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，设，再应用三点共线得出向量平行及，应用坐标关系求解即可得出参数 （2）设，再应用垂直的坐标运算计算求解得出点的坐标为，最后应用数量积公式计算即可. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则. 由，得，所以. 由是的中点，得，所以. 设，则. 因为三点共线， 所以，即①， 因为三点共线， 所以，即②， 联立①②解得点的坐标为， 所以. 所以，所以实数的值为. （2）因为上的点满足， 设， 则. 因为，所以，解得，所以点的坐标为， 所以. 又，所以. 28．如图，在直角梯形中，，，，点为的中点，与相交于.    (1)当时，求； (2)设，求的值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，得到，结合数量积的坐标表示即可得解； （2）分解向量得，结合三点共线的推论即可列方程求解. 【详解】（1）因为， 所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    若，，则， 所以， 所以； （2）设，，则，，， 则，，， 由题意， 因为三点共线，所以，解得. 29．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若三点共线，求实数的值； (2)若是锐角三角形，求实数取值范围； (3)是否存在实数，使得在上的投影向量是？若存在，请求出实数的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据向量共线定理计算即可； （2）计算三个数量积均大于0，即可得到m的取值范围； （3）利用投影向量的定义，建立关于m的方程，解方程即可得解. 【详解】（1）若为原点，由题意得，， 因为三点共线，所以，即， 所以，解得； （2）由题意可得，，， ，， ，， 因为是锐角三角形，所以 解得，显然该范围不存在m使相关向量同向共线，所以实数取值范围为； （3）由（2）知，， 在上的投影为：， 所以在上的投影向量为：， 因为在上的投影向量是，所以有，解得或, 所以存在实数，使得在上的投影向量是，此时或. 30．已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【答案】或 【分析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以，, 因为，，三点共线， 所以平行， 所以，即， 将代入中，得或. 题型七 由坐标解决线段平行和长度问题（共5小题） 31．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)若为坐标原点，是否存在常数使得成立，若存在，求出t的值 (2)设梯形，且，，求点坐标； (3)若点满足：，且，求点坐标． 【答案】(1)不存在 (2) (3)或. 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，列出方程组求解判断. （2）根据给定条件，利用相等向量列式求解. （3）利用数量积的坐标表示、模的坐标表示列出方程组求解. 【详解】（1）假设存在常数使得成立，则， 即，解得，此方程组无解， 所以不存在常数使得成立. （2）设，依题意，，， 而，则，即，解得， 所以点. （3）设，则，， 依题意，，解得或， 所以点的坐标为或. 32．已知向量，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用向量垂直坐标表示判断A；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断B；利用共线向量的坐标表示判断C；利用投影向量的定义及向量夹角求解判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，由，得，则， 又均为非零向量，因此，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，，，在上的投影向量，则， 因此，，又，于是，D正确. 故选：BCD. 33．已知、满足，. (1)设，的夹角为，求； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量的线性运算求出，再根据向量的夹角公式计算可得结果； （2）因为平行求出，再根据向量的数量积求出模长，最后应用二次函数的最值求出模长最值. 【详解】（1）由，得， 同相减得，， 代入中，得. 所以， 所以. （2）因为，设，所以， 所以 当时，取得最小值，最小值为. 34．已知，，则与同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点坐标求出的坐标，再除以，即为所求单位向量. 【详解】由题意，， 所以与同方向的单位向量为. 故选：D. 35．已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是_______． 【答案】或 【分析】利用向量的坐标运算即可求得坐标，注意有两解. 【详解】由得， 因为点P在直线上，且， 所以或． 因为可设， 所以，可得， 或，可得， 则点P的坐标是或． 故答案为：或． 题型八 向量坐标的线性运算解决几何问题（共5小题） 36．如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出，由数量积的坐标表示即可得出答案; （2）由向量的线性运算求出，由点的轨迹求出的最大值和最小值即可得出答案. 【详解】（1）由题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 所以， 由，可得，所以， 所以.    （2） ， 当时，点的轨迹表示以为圆心，为半径的圆， 所以， ， 所以的取值范围为：. 37．已知集合，．若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先分析方程表示的曲线，设，可知三点共线，根据题意可知的最小值即为的最大值，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设方程表示的曲线为， 用代换方程不变，可知曲线关于y轴对称； 用代换方程不变，可知曲线关于x轴对称； 当时，方程可化为， 据此可知曲线为边长为的正方形， 且方程表示圆心为，半径的圆， 显然曲线在圆内， 设，即点在曲线上，点在圆上， 则， 因为，即，可知三点共线， 即过曲线上任一点作圆的弦， 由圆的性质可知的最小值， 因为存在点，使得，则， 结合点的任意性可知的最小值即为的最大值， 若取到最大值，即取到最小值， 可知的最小值即为正方形的内切圆半径，即， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 38．在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.    可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 39．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 40．某老旧小区积极响应国家“老旧小区改造”及“适老化改造”的政策号召，计划对小区内一空地进行重新规划改造，如图，四边形ABDC为空地，AC，CD为围墙，AB为单元楼，E为单元楼入口，D为小区入口，现规划在小区修建一条直道DE，并在BC与DE的交点F处安装路灯及监控．已知，，，，为的中点，，则______，______．    【答案】 / 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标性质可求的坐标，设，根据求出，利用向量的夹角公式可求，从而可求. 【详解】    建立如图所示的平面直角坐标系，则, 因为，故， 故，故，故. 设，故， 故，而， 所以， 整理得，故或. 若，则，， 故， 而为三角形内角，故. 若，则， 故， 而为三角形内角，故, 综上，. 题型九 线段的定比分点（共5小题） 41．已知，点在直线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由得或，利用坐标运算即可求解. 【详解】由题意得：或，设点， 所以， 当时，所以，解得，所以， 当时，所以，解得，所以. 42．已知点，点，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】设点，根据平面向量的坐标运算及，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标. 【详解】设点，因为点，点，且， 所以，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 43．已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意有或，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有或， 当时，得，所以，故A正确； 当时，得，所以，故B正确. 故选：AB. 44．在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． (1)已知，，求； (2)①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据“相离度”的定义代入相应值进行计算. （2）首先证明①，可得，根据，等价于即可证明； ②由左右同时平方可求得，由题知为的重心，然后以、为基底表示出、，进而求出，再代即可得解. 【详解】（1）． （2）①因为 ， 且，，则， 所以． 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得，， 则， ， ， 可得， 所以． 45．如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点． (1)记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点） (2)若的面积为，求的面积的最小值． (3)试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的重心保持不变，理由见解析. 【分析】（1）直接利用向量的线性运算求出结果； （2），进而表示出，由二次函数的性质即可求出最小值； （3）在同一时刻，分所成的比相同，进而设出坐标验证重心的坐标即可证明出结果. 【详解】（1）由于点为的重心，所以， 故. （2），， ，， 同理， ， 当时，的面积的最小值． （3）的重心保持不变，证明如下： 设，的重心， 由题意，在同一时刻，分所成的比相同，设为， 则可得， ， ， ， 由三角形重心坐标公式有， 把的坐标代入中， 求得的重心坐标为， 它与无关，即在运动过程中，的重心保持不变. 题型十 由向量线性运算解决最值和范围问题（共5小题） 46．如图，分别是菱形的边和上的动点，且. (1)若分别是的中点，求； (2)若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； (3)若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，即可求； （2）设，求出，，表示出，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，表示出，利用二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则， ，由分别是的中点， ， ； （2）由（1）知，设，则， .当时，取得最大值为-2. （3）设，由得，，当时， 取得最大值为，当时，取得最小值为的范围为 47．已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 【答案】/ 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点在内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】 如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线 分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2， 则，， 设，则，， 因为，且， 所以，且， 即，可得. 因为，点在内部，所以， 可得，所以. 所以， 所以， 所以当时， 取最小值. 故答案为： 48．正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（   ） A．点在线段上时，为定值 B．点在线段上时，为定值 C．的最大值为2 D．使的点轨迹长度为 【答案】BC 【分析】A选项，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，故，不是定值；B选项，设，计算出；C选项，设，，表达出，故当时，取得最大值，最大值为2，C正确；D选项，由C得到，点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段，由勾股定理求出轨迹长度. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，， 当在线段上时，设，， 则，不是定值，A错误； B选项，点在线段上时，设，， ，为定值，B正确； C选项，，设，，， 由得，， 所以，即， ，故当时，取得最大值，最大值为2，C正确； D选项，由C知，，故，即， 所以点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段， 其中中，令得，令得， 故，故使的点轨迹长度为，D错误. 故选：BC 49．如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】ABC 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到，，从而求出，求出值域。 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，则，，，， 设，因为，所以，即，，故，， 则， ，因为，所以. 故选：ABC    50．如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用建系法，将向量运算转化为数量运算求解. 【详解】以点为坐标原点，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，则，， 设，所以，则， 因为，所以，即的最大值为10. 故答案为：C 题型十一 利用坐标求向量的模（共5小题） 51．已知点，，若中点为，，则点与两点间的距离为______． 【答案】/ 【分析】根据中点坐标公式得出点坐标.由已知得出，进而求出点坐标，进而得出，求模即可得出答案. 【详解】由已知可得，点坐标为. 由可得，， 所以有，又，所以， 所以点为，. 所以，点与两点间的距离为. 故答案为：. 52．在中，为边的中点，对于所在直线上的任意点，均有，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，设，通过坐标运算即可求解. 【详解】以为原点，直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 设， 则， 上式为开口向上的二次函数，当时， ， 因为， 又因为， 所以， 解得，即，故， 所以两点的横坐标相同，故, 所以为直角三角形. 故选：B.    53．已知平面向量，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算的坐标，然后由向量模的公式可得； （2）由数量积的坐标表示可得. 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为， 所以． 54．已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，再求模长. 【详解】因为向量， 所以向量， 所以. 故选：C. 55．已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由及已知条件，代入计算即可； （3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【详解】（1）由得，，设向量与的夹角为， ，解得， 所以向量与的夹角． （2）． （3）由向量与互相垂直得，， 所以，即，解得或． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 向量基本定理及坐标表示 题型1 平面向量共线定理 题型7 由坐标解决线段平行和长度问题（难点） 题型2 已知向量共线（平行）求参数（重点） 题型8 向量坐标的线性运算解决几何问题（重点） 题型3 用基底表示向量 题型9 线段的定比分点（难点） 题型4 平面向量基本定理的应用（常考点） 题型10 由向量线性运算解决最值和范围问题（重点） 题型5 利用平面向量基本定理求参数（常考点） 题型11 利用坐标求向量的模 题型6 由坐标解决向量三点共线问题（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 平面向量共线定理（共5小题） 1．若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 2．如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 3．如图，在中，是边上靠近点B的三等分点，O是的中点. (1)如图1，延长交于点Q. （i）若，求的值； （ⅱ）若，，，求的余弦值； (2)如图2，E，F分别是边，上的动点，且E，O，F三点共线，求的取值范围. 4．已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（   ） A． B． C． D． 5．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为________ 题型二 已知向量共线（平行）求参数（共5小题） 6．已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数__． 7．已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______． 8．已知向量，且与方向相反，则实数的值为（　　） A．-1或 B．1或 C．1 D． 9．已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时，此时它们是同向还是反向？ 10．如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 题型三 用基底表示向量（共5小题） 11．如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点. (1)试用表示； (2)设，求的值； (3)若，求. 12．如图,在中,,,与相交于点,若（）,则__________. 13．在中，点满足．若，则（   ） A． B． C． D． 14．如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（   ） A． B． C．2 D． 15．如图所示，已知梯形ABCD中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 题型四 平面向量基本定理的应用（共5小题） 16．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 17．下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若非零向量，满足，则，，三点共线 C．若，则向量与的夹角为钝角 D．若向量，不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对，，使 18．如图，在中，，的夹角为，，，则______________ 19．在中，点是边上的四等分点，且，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（   ） A． B． C．的最小值为 D． 20．如图所示，已知在中，，，，在上，且，在上，且，为与的交点，则________． 题型五 利用平面向量基本定理求参数（共5小题） 21．已知：在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为___________ 22．在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 23．设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 24．如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 25．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 题型六 由坐标解决向量三点共线问题（共5小题） 26．已知，，，若，，三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 27．如图，在中，是的中点，点满足与交于点. (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值. 28．如图，在直角梯形中，，，，点为的中点，与相交于.    (1)当时，求； (2)设，求的值. 29．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若三点共线，求实数的值； (2)若是锐角三角形，求实数取值范围； (3)是否存在实数，使得在上的投影向量是？若存在，请求出实数的值，若不存在请说明理由． 30．已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 题型七 由坐标解决线段平行和长度问题（共5小题） 31．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)若为坐标原点，是否存在常数使得成立，若存在，求出t的值 (2)设梯形，且，，求点坐标； (3)若点满足：，且，求点坐标． 32．已知向量，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 33．已知、满足，. (1)设，的夹角为，求； (2)若，求的最小值. 34．已知，，则与同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 35．已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是_______． 题型八 向量坐标的线性运算解决几何问题（共5小题） 36．如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 37．已知集合，．若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为________． 38．在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 39．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 40．某老旧小区积极响应国家“老旧小区改造”及“适老化改造”的政策号召，计划对小区内一空地进行重新规划改造，如图，四边形ABDC为空地，AC，CD为围墙，AB为单元楼，E为单元楼入口，D为小区入口，现规划在小区修建一条直道DE，并在BC与DE的交点F处安装路灯及监控．已知，，，，为的中点，，则______，______．    题型九 线段的定比分点（共5小题） 41．已知，点在直线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 42．已知点，点，且，则点的坐标为______． 43．已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 44．在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为． (1)已知，，求； (2)①已知，的夹角为和，的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，，且，若，求． 45．如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点． (1)记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点） (2)若的面积为，求的面积的最小值． (3)试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由． 题型十 由向量线性运算解决最值和范围问题（共5小题） 46．如图，分别是菱形的边和上的动点，且. (1)若分别是的中点，求； (2)若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； (3)若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 47．已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 48．正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（   ） A．点在线段上时，为定值 B．点在线段上时，为定值 C．的最大值为2 D．使的点轨迹长度为 49．如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 50．如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 题型十一 利用坐标求向量的模（共5小题） 51．已知点，，若中点为，，则点与两点间的距离为______． 52．在中，为边的中点，对于所在直线上的任意点，均有，则的形状一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 53．已知平面向量，． (1)求的值； (2)求的值． 54．已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 55．已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $