专题02 向量运算（期中复习专项训练）高一数学下学期苏教版

专题02 向量运算 题型1 向量加减法的运算律 题型7 已知数量积求模（难点） 题型2 向量加减法法则的几何意义 题型8 向量夹角的计算（重点） 题型3 平面向量的混合运算（重点） 题型9 垂直关系的向量表示 题型4 向量的线性运算的几何应用 题型10 已知模求数量积（重点） 题型5 根据向量关系判断三角形的心（常考点） 题型11 已知模求参数（常考点） 题型6 数量积的运算律（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 向量加减法的运算律（共5小题） 1．化简： (1)； (2). 2．化简（    ） A． B． C． D． 3．已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 向量加减法法则的几何意义（共5小题） 6．如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 7．在中，，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 8．平面直角坐标系中，点M从原点O出发，每步只能按向量，，运动.若M要走遍以O，，，为顶点的正方形中所有整点（包含边界），至少要走______步. 9．八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ） A． B． C． D． 10．若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型三 平面向量的混合运算（共5小题） 11．如图，在平行四边形中，，则 （   ） A． B． C． D． 12．已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 13．化简以下各式，结果不是零向量的为（    ） A． B． C． D． 14．化简：（1）； （2）. 15．设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 题型四 向量的线性运算的几何应用（共5小题） 16．已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 17．，点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 18．设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 19．已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 20．若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 题型五 根据向量关系判断三角形的心（共5小题） 21．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 22．已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 23．已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 24．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 25．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 题型六 数量积的运算律（共5小题） 26．已知，． (1)若，的夹角为，求； (2)若，求与的夹角θ的余弦值． 27．（1）已知向量满足与的夹角为，求； （2）已知向量满足，求． 28．已知平面向量，满足，，与的夹角为，则（    ） A．18 B． C． D． 29．已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．在上的投影向量为 D．当取最小值时， 30．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 题型七 已知数量积求模（共5小题） 31．已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 32．已知向量，的夹角为45°，且，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 33．设，，是非零向量，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，，则 34．已知点A，B，C，P在同一个平面内，满足：，且，则（1）______；（2）的最小值为______. 35．已知向量、的夹角为，且，，则___________ 题型八 向量夹角的计算（共5小题） 36．已知，，且，则与的夹角为___________． 37．已知为单位向量，若对任意实数恒成立，则向量的夹角的取值范围为__________. 38．下列有关平面向量的说法中正确的是（ ） A． B．在边长为1的等边中， C．若，则 D．若，则向量的夹角是钝角 39．设是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（    ） A．若，则和的夹角为 B．若，则和的夹角为 C．若，则和方向相同 D．若，则和的夹角为锐角 40．已知是互相垂直的单位向量，，， (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 题型九 垂直关系的向量表示（共5小题） 41．已知向量、为单位向量，且，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 42．已知，，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 43．下列说法正确的是（   ） A．若，，则的最小值为6 B．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C．在中，若，则为钝角三角形 D．在平行四边形中，若，则四边形ABCD为矩形 44．已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 45．已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 题型十 已知模求数量积（共5小题） 46．若，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 47．已知 (1)求与的夹角大小； (2)求在上的数量投影. 48．已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．与的夹角为 49．若向量，满足，，，则______． 50．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型十一 已知模求参数（共5小题） 51．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 52．设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 53．已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 54．已知向量，的夹角为，且． (1)求； (2)若，求的值. 55．在中，已知，，和的夹角为，且． (1)若为的中点，求． (2)已知，若，求实数的值． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题02 向量运算 题型1 向量加减法的运算律 题型7 已知数量积求模（难点） 题型2 向量加减法法则的几何意义 题型8 向量夹角的计算（重点） 题型3 平面向量的混合运算（重点） 题型9 垂直关系的向量表示 题型4 向量的线性运算的几何应用 题型10 已知模求数量积（重点） 题型5 根据向量关系判断三角形的心（常考点） 题型11 已知模求参数（常考点） 题型6 数量积的运算律（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 向量加减法的运算律（共5小题） 1．化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由向量的线性运算法则， 可得. （2）解：由向量的运算法则，可得. 2．化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得. 【详解】. 故选：D 3．已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用平面向量的平行四边形法则和三角形法则求解. 【详解】A：因为，故A正确； B：因为，故B正确； C：因为，故C正确； D:因为，故D错误. 故选：ABC. 4．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法和减法运算公式化简求值. 【详解】. 故选：D. 5．如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法和减法法则即可. 【详解】由向量加法的三角形法则得，，故A错误； 由向量加法的平行四边形法则得，，故B正确； 由向量的减法法则得，，，故CD错误. 故选：B 题型二 向量加减法法则的几何意义（共5小题） 6．如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，再根据向量线性运算求解即可． 【详解】从题图上可看出， ，而． 故选：C． 7．在中，，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ACD 【分析】设三角形的重心为，根据三角形重心公式可判断A选项；由，，可判断B选项；设的中点为，根据是三角形的重心，结合A选项可判断C选项；设的中点为，利用三角形的中点向量可判断D选项. 【详解】设三角形的重心为，由，，根据三角形重心公式，可得，， 又，即，可得，则，故A正确； 因为，，故B错误； 设的中点为，因为是三角形的重心，故，，故C正确； 设的中点为，有，而，故，故D正确. 故选：ACD. 8．平面直角坐标系中，点M从原点O出发，每步只能按向量，，运动.若M要走遍以O，，，为顶点的正方形中所有整点（包含边界），至少要走______步. 【答案】28 【分析】作出图象，结合相关点的分布情况，即可得出答案. 【详解】 如图， ， 共需28步. 故答案为：28. 9．八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，， 由正八边形性质知：且，即， 所以，又， 所以，正确； 对于B，由正八边形性质知：，，设， 因为，所以为中点，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确. 故选：ABD 10．若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，确定的形状，进而确定此三角形费马点位置，再结合图形求解即得. 【详解】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形， ，而的所有内角均小于120°， 因此取得最小值的点是的费马点， ，则，点在斜边的中线上，如图， ，，， 所以的最小值为. 故选：B 题型三 平面向量的混合运算（共5小题） 11．如图，在平行四边形中，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，进行化简，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：B. 12．已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面的线性运算法则求解即可. 【详解】由题意得 ． 故选：C 13．化简以下各式，结果不是零向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D正确； 故选：B 14．化简：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据平面向量的线性运算化简整理即可求出结果. 【详解】（1）； （2）. 15．设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 题型四 向量的线性运算的几何应用（共5小题） 16．已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，利用三角形相似及三角形面积的关系求解即可. 【详解】如图， 设，作平行四边形，对角线与底边相交于点， 则，则共线， 因为，故，则， 又，故，则， ，即， 故选：B 17．，点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可. 【详解】 依题意，. 答案：B. 18．设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据条件，得到，从而有且，即可求解. 【详解】因为，得到， 如图，且，则到的距离等于到的距离相等， 又，所以， 故选：D. 19．已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得到，结合图像即可求解. 【详解】由，可得 设，则， ，又为中点，为四等分点， 所以， , 所以的面积为， 故选：D 20．若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和向量加法得到可解. 【详解】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C 题型五 根据向量关系判断三角形的心（共5小题） 21．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 22．已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】取的中点，则，得，即可判断A；若，则为的外心，不一定是内心，即可判断B；由题意，则，即可判断C；取的中点，则，得，，即可判断D. 【详解】取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则为的重心，故A正确； 若，则为的外心，不一定是内心，故B错误； 若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误； 取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则，故D正确. 故选：AD. 23．已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可知为的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求． 【详解】满足，∴为的重心， ∴＝＝， 又∵， ∴ ． 故选：A． 24．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G,可得， 又=-，则有=-，即AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上,即可得出结果. 【详解】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)， ∴， 又，可得=-，∴=-， ∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心. 故选：C. 25．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 题型六 数量积的运算律（共5小题） 26．已知，． (1)若，的夹角为，求； (2)若，求与的夹角θ的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的平方与向量模的关系可求向量的模； （2）由已知可得，计算可求得. 【详解】（1）因为， 所以， 所以 （2）若，则，即，所以， 即，所以． 27．（1）已知向量满足与的夹角为，求； （2）已知向量满足，求． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）通过结合向量数量积运算性质即可求解， （2）通过结合向量数量积运算性质即可求解. 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以． （2）因为， 所以． 28．已知平面向量，满足，，与的夹角为，则（    ） A．18 B． C． D． 【答案】C 【详解】. 29．已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．在上的投影向量为 D．当取最小值时， 【答案】ABD 【分析】由恒成立，转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求出的值.利用向量的模长公式可以判断A；向量垂直的充要条件可以判断B；向量投影向量公式可以判断C；结合绝对值的几何意义，建立平面直角坐标系可以判断D. 【详解】由得：，. 对任意，恒成立，两边平方得： ， 代入，整理得关于的二次不等式： 由对任意实数不等式恒成立，可得： 所以，故A正确； ，则，故B正确； 在上的投影向量为，故C错误； ， 表示动点到两定点距离和的2倍，如图所示， 关于x轴对称的点为，则， 所以由图可知当三点共线时，动点到两定点距离和的2倍取得最小值，此时， 所以当取最小值时，，D正确. 30．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（    ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 【答案】ACD 【详解】因为， 所以，所以，所以B错误； 所以， 因为，所以，所以A正确； 因为，所以C正确； 因为， 且，所以，所以D正确. 题型七 已知数量积求模（共5小题） 31．已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】借助模长与数量积的关系计算可得A、D；借助夹角公式计算可得B，即可得C. 【详解】对A、D：由，得，整理得， 由，得，整理得， 则，所以，，故A，D正确； 对B、C：，所以，所以，反向共线， 又，所以，，故B正确，C错误． 32．已知向量，的夹角为45°，且，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积运算律与数量积运算求得，再求向量的投影向量即可. 【详解】因为，向量，的夹角为45°，且， 所以， 整理得：，解得或（舍去）． 所以在上的投影向量为． 33．设，，是非零向量，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，，则 【答案】ABC 【分析】根据向量的数量积、向量乘法、向量的模、相等向量及向量平行逐项分析判断即可. 【详解】选项A：表示与共线的向量，表示与共线的向量，故不正确. 选项B：当时，，所以不正确. 选项C：若，此时与不一定是相等向量，如，故不正确. 选项D：因为，，是非零向量，若，，则，故正确. 34．已知点A，B，C，P在同一个平面内，满足：，且，则（1）______；（2）的最小值为______. 【答案】 【分析】（1）由得，即可得解； （2）取中点，进而，再结合即可转化为求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，所以； （2）因为，所以，如图，取中点， ， 因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以， 当且仅当点与点重合时等号成立， 所以的最小值为. 35．已知向量、的夹角为，且，，则___________ 【答案】4 【分析】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可． 【详解】， 即，解得或（舍去）， 则． 故答案为：． 题型八 向量夹角的计算（共5小题） 36．已知，，且，则与的夹角为___________． 【答案】 【分析】借助平面向量垂直定义及夹角公式计算即可得. 【详解】， 则，则，故. 37．已知为单位向量，若对任意实数恒成立，则向量的夹角的取值范围为__________. 【答案】 【分析】应用向量数量积的运算律有对任意实数恒成立，再由判别式符号及数量积的定义、余弦函数的单调性求夹角的范围. 【详解】由是单位向量，恒成立得， 依题意，不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 而，则，又， 函数在上单调递减，因此， 所以向量的夹角的取值范围为. 38．下列有关平面向量的说法中正确的是（ ） A． B．在边长为1的等边中， C．若，则 D．若，则向量的夹角是钝角 【答案】AC 【分析】根据相反向量、向量平行、向量数量积及向量夹角判断即可. 【详解】选项A：根据相反向量定义可知，，所以，故A正确. 选项B：等边中，，与的夹角为， 则，故B错误. 选项C：若，则满足，根据向量平行的判定定理可知，，故C正确. 选项D：，则. 但当时，，此时两向量反向共线，夹角不是钝角，故D错误. 39．设是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（    ） A．若，则和的夹角为 B．若，则和的夹角为 C．若，则和方向相同 D．若，则和的夹角为锐角 【答案】ABC 【分析】利用向量加减法的几何意义，判断A、B的正误；两向量模的性质判断C，由向量的夹角与数量积间的关系判定D. 【详解】，，，构成等边三角形，A正确； ，以向量，为邻边的平行四边形中， 由，和对角线构成的三角形是等边三角形， 由向量加法的平行四边形法则可知，和的夹角为，B正确； 因为， 所以，又， 故， 所以，则与同向，C正确； 若，则和的夹角为锐角或者，D错误. 40．已知是互相垂直的单位向量，，， (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合向量垂直性质，根据数量积的运算律列方程求解即可； （2）先利用数量积的运算律求解，利用数量积模的运算求解和，然后代入向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）由，得，则，即，所以，解得； （2）因为与的夹角为， 所以， ， ， 所以， 平方化简得，解得. 由夹角为 可知 ，即 ， 所以. 题型九 垂直关系的向量表示（共5小题） 41．已知向量、为单位向量，且，则、的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量垂直的条件结合平面向量数量积的运算性质可求得的值，结合平面向量夹角的取值范围可得结果. 【详解】因为向量、为单位向量，且， 则，所以， 故， 又因为，故，即、的夹角为. 42．已知，，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】结合平面向量的数量积运算化简整理原式，再结合题干垂直关系和向量的模求解. 【详解】由题意得， 因为，所以. 已知，，则，， 代入可得原式. 43．下列说法正确的是（   ） A．若，，则的最小值为6 B．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C．在中，若，则为钝角三角形 D．在平行四边形中，若，则四边形ABCD为矩形 【答案】AD 【详解】A正确：，设和夹角为，则，最小值为6. B错误：四点共线且，向量方向可能相反，不一定等于. C错误： 可得为锐角，不能判断三角形为钝角三角形. D正确：已知， 两边同时平方：， 展开得：， 化简得：，即， 所以，平行四边形为矩形. 44．已知，，且与的夹角为， (1)求的值， (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据数量积的定义可得，再结合数量积的运算律运算求解即可； （2）根据题意可得，再结合数量积的运算律运算求解即可. 【详解】（1）因为，，且与的夹角为，则， 所以. （2）由（1）可知：，，， 若，则， 可得，即，解得. 45．已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】利用题中新定义运算可判断A选项；利用特例法可判断B选项；利用题中定义结合平面向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由题中定义得与共线，与共线， 所以，A错； 对于B选项，不妨取，，， 则， 所以， ， 所以， 故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，若，则， 即， 因为为非零向量，所以，所以或当时，，D错. 故选：C. 题型十 已知模求数量积（共5小题） 46．若，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据模长公式可得,即可根据夹角公式求解. 【详解】由可得，故， 因此， 由于，所以， 故选：D 47．已知 (1)求与的夹角大小； (2)求在上的数量投影. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求得，然后根据夹角公式计算即可； （2）根据数量投影的概念计算即可. 【详解】（1）由题可知：， 所以 则，， 又，所以夹角为 （2）在上的数量投影为. 48．已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】AC 【分析】将已知等式两边平方可判断A；根据垂直向量的数量积为0可判断B；利用性质计算可判断C；由向量夹角公式直接计算可判断D. 【详解】， 将，的代入，可得，故A正确； ，故B错误； ，故，C正确. 设与的夹角为，则， 故，又，故，D错误. 故选：AC. 49．若向量，满足，，，则______． 【答案】 【分析】根据题设，由平面向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】由，有，即，得， 又，得． 故答案为：. 50．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对进行平方，得到与的关系，再根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】，，，， 在方向上的投影向量为. 故选：B. 题型十一 已知模求参数（共5小题） 51．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意可得与的夹角，然后表示，利用二次函数的性质计算即可. 【详解】由题可知：设，则， ， 又的最小值为，则的最小值为3， 所以当时，有，又，所以. 设，则， 所以， 当时，有最小值为. 故选：C 52．设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的定义及运算性质，利用向量的夹角公式求解； （2）根据向量的模可得，利用重要不等式求解． 【详解】（1）因为与均为单位向量，， 所以， 又， 所以， 又，所以． （2）因为，与的夹角为与均为单位向量， 所以， 即，所以， 解得，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为 53．已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据，利用向量模的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，满足，，且． 可得，可得， 设向量与的夹角为，可得， 因为，所以，即向量与的夹角为. （2）解：因为，可得， 即，解得或. 54．已知向量，的夹角为，且． (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)-4 (2)或3. 【分析】（1）代入向量数量积的定义，即可求解； （2）根据模长，转化为向量数量积的运算，即可求解. 【详解】（1）由向量，的夹角为，且， 得. （2）由（1）知，，由，得，即， 整理得，解得或， 所以的值是或3. 55．在中，已知，，和的夹角为，且． (1)若为的中点，求． (2)已知，若，求实数的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）首先可得，再由数量积的运算律及定义计算可得； （2）用、表示，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，，和的夹角为，且， 所以 因为为的中点，所以， 所以； （2）因为 ， 所以， 即有， 代入已知条件有，解得． $