专题04 向量应用（期中复习专项训练）高一数学下学期苏教版

专题04 向量应用 题型1 用向量证明线段垂直（重点） 题型5 向量在几何中的其他应用（常考点） 题型2 用向量解决夹角问题（重点） 题型6 解析法在几何中的应用（重点） 题型3 用向量解决线段的长度问题（重点） 题型7 向量在物理中的应用 题型4 向量与几何最值（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 用向量证明线段垂直（共5小题） 1．已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为线段的中点 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 2．在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的__________心． 【答案】垂 【分析】根据得到，然后得到，同理即可得到点H为的垂心． 【详解】因为， 所以，所以， 同理，，则点H为的垂心． 故答案为：垂. 3．如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证； （2）利用坐标表示出，然后由三角函数性质可得. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系. （方法一）由题意可知，设，则， ，，，得，， 所以，故，即. （方法二）由题意可知，，，设， 则，得，得，， 所以，故，即. （2）由题意得，则，设，则，， 由（1）得，， 所以， 由，得，当，即时，. 故的最大值为. 4．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 5．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 题型二 用向量解决夹角问题（共5小题） 6．如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得，然后利用平方非负求解即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 7．已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解. 【详解】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为． 故选：A． 8．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【详解】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以， 所以. 9．在中，已知，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（    ） A． B． C．的余弦值为 D． 【答案】BD 【分析】画出图形，由同时平方可求；同理由同时平方可求；由，代换成基底向量可求的余弦值；结合重心性质全部代换成可验证选项D. 【详解】如图所示：由题可知，分别为中点，则， 同时平方得 ， 则，故A错误； 又， 同时平方得， 则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 10．设两个向量满足． (1)若，求的夹角； (2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先由可求，再用向量夹角余弦的公式可得，则的夹角可求. （2）由向量与的夹角为钝角，可得且与不共线，再求解相应不等式即可. 【详解】（1） 又 即 又 （2）的夹角为且 向量与的夹角为钝角 且与不共线 即 解得：且 实数t的取值范围且 题型三 用向量解决线段的长度问题（共5小题） 11．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先由题意求出，再由题意结合以及模长公式和数量积运算律即可计算求解； （2）分别设求得和，利用向量共线的推论求出即可求解； （3）先求出，接着设得，将其代入结合一元二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由题， . （2）设·， 因为三点共线，所以， 所以； 设， 因为三点共线，所以， 所以. （3）由题， 所以， 所以， 所以当时，取得最大值13. 12．如图，已知在半径为r的以O为圆心的圆上有一定点M，圆上两动点A、B满足∠AMB=60°，则以下说法正确的是（   ） A．当时，MB为圆的直径； B．时，； C．的最大值为 D．作A、B的对径点A’、B’，连接A’B’交MA、MB于点P、Q，则取得最小值当且仅当M为弧AB的中点. 【答案】A 【分析】对于A，利用正弦定理求得即可判断；对于B，利用向量数量积的定义和余弦定理可解即可判断；对于C，计算得到，结合图形可确定其最大值；对于D，计算得到，可知M为弧AB的中点时，取得最大值. 【详解】 对于A，由正弦定理，，解得， ，，又，则，故MB为圆的直径，故A正确； 对于B，由正弦定理，，可得， 因，可得①， 由余弦定理，②， 由①②联立，解得或， 因，由，可得， 则与不垂直，即，故B错误； 对于C，设AB中点为，由B项已得， 则， 由垂径定理，，则当点为弧AB的中点时， ， 故的最大值为，故C错误； 对于D，由题意可得四边形为矩形，过作于点，交于E， 因，可得等边三角形，则， 因，则，则（*）， 当M为弧AB的中点时，取最大值时，即取得最大值， 又由C知，M为弧AB的中点时，的最大值为， 由（*）可得：， 故当且仅当M为弧AB的中点时，取得最大值为，故D错误. 故选：A. 13．已知均为实数，满足，则的最大值为__________；当取得最大值时，若，则__________. 【答案】 16 【分析】借助向量把转化成，利用向量数量积的定义即可求出的最大值，并得到此时向量的关系，也就是以及的关系，并利用它化简，得到，将其代入即可得解. 【详解】设 ， 设的夹角为， ， 所以当时，取最大值16，此时共线反向， 且，即①， 将①代入可得 ， 将①代入可得 ， ②. ③， ④， ③+④可得 ， 即， 将②代入上式可得， . 故答案为：； 14．在四边形中，已知，若，则的长度为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】设分别为的中点，先证明两点重合，则四边形为平行四边形，再分别将用表示，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】如图，设分别为的中点， 则， 所以， 两式相加得，① 同理可得，② 由①②得，③ 因为为的中点， 所以， 则，④ 而，则，⑤ 由④⑤得，⑥ 由③⑥可得， 即， 又因为， 所以，所以两点重合， 所以互相平方，所以四边形为平行四边形， 则， 故，即， 所以， 因为， 所以， 所以，即. 故选：D. 15．在△ABC中，，，，，_______________. 【答案】/ 【分析】用表示出，两边同时平方，根据向量数量积即可求得答案. 【详解】由题意可得：， 故. 故答案为： 题型四 向量与几何最值（共5小题） 16．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形，其中，动点在上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的有_____ ①若，则    ②若，则 ③    ④ 【答案】①②④ 【分析】根据条件建立平面直角坐标系，再设 ，根据同角三角函数关系可判断①；表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断②③④． 【详解】作 ，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则 ，设 ，则， 由可得 ，且 ， 对于①，若，由， 解得或（舍去），故，①正确； 对于②，若，由，则，所以，故②正确； 对于③，， 所以， 由于，故，所以，故，故③错误； 对于④，由于， 故 ， 而，所以， 故（当取等号），故④正确， 17．已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______. 【答案】2 【分析】设为和的夹角，则 ，由的范围可得答案. 【详解】如图，取中点为，连接，则，且， 设为和的夹角，则 ， 且， 当且仅当时，即与反向时右侧等号成立， 因， ，则当时，有最大值， 此时三点共线. 于是共线且点在点与之间，故. 18．已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】设，，，结合数量积公式与三角恒等变换公式计算可得的最小值，再利用数形结合可得其范围. 【详解】不妨设，，， 则 ， 令，则， 则， 取，时，等号成立， 当为直径时，点趋向于时，， 故的取值范围为. 故答案为：. 19．已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案. 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以表示的平分线上的共线向量， 又，即与垂直， 由三线合一可知，， 如图，取的中点，连接，则⊥， 又，其中， 所以，，故， 由于，，两式平方相减可得 ， 当⊥时，取得最小值， 其中由勾股定理得， 故， 故的最小值为. 故选：D 20．图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点在其边上运动，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解. 【详解】过点作于， 所以且，其中, ， 当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为； 当点与点重合时，此时，即，故，取得的最小值为； 的取值范围是． 故答案为：． 题型五 向量在几何中的其他应用（共5小题） 21．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】选项A用表示，代入数量积公式；选项B用表示，代入数量积公式；选项C由求出，代入模长公式计算；选项D根据欧拉线定理得到. 【详解】因为是的重心，， 又， ，选项A正确； 因为是的外心， ，， ， 选项B错误； 若，， 可得， ， 则，选项C正确； 根据已知条件，，即， ， 所以，选项D正确. 22．已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质得出，推导出，即可得出结论. 【详解】因为 ， 即，故， 所以为等腰三角形. 故选：B. 23．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【分析】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【详解】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D 24．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 【答案】 【分析】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 故答案为： 25．如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可； （2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参； （3）由已知得出三点共线，再结合基本不等式求出最小值即可． 【详解】（1）， ， ． （2）设， ， ， ，， ，解得， ∴存在一点，使得，． （3）， ∴， ， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为． 题型六 解析法在几何中的应用（共5小题） 26．如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【答案】ACD 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得，且，,，再逐一分析各选项即可． 【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 27．如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则______． 【答案】/ 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设后，写出各点坐标，用向量的坐标运算可得． 【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设， 则有， ，过D作轴于F，， ，所以， ，，， 因为， 所以， 所以，，解得：， 则的值为. 故答案为：. 28．在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算计算即可. 【详解】 如图所示建立平面直角坐标系，设，显然， 所以， 由二次函数的单调性知. 故选：A 29．已知，，，；若P是所在平面内一点，，则的最大值为 ________． 【答案】192 【分析】建立直角坐标系，由可得P的坐标，从而可得，再结合t的范围即可求得它的最大值． 【详解】由题意建立如图所示的坐标系， 可得， 因为，所以， 所以， 所以， 因为，则， 所以的最大值为192． 故答案为：192．    30．如图，扇形中，点是上一点，且.若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由平面向量的数量积运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可． 【详解】由题意，建立如图所示的坐标系，设扇形半径为， 由，可得，， 设，， 由，可得，，， 所以，整理得：， 则，其中， 所以当时，有最大值． 故选：A．    题型七 向量在物理中的应用（共5小题） 31．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据航行距离最短有合成速度垂直于两岸，即，再应用诱导公式化简，即可得. 【详解】要使船的航行距离最短，只需合成速度垂直于两岸， 所以，即. 故选：C 32．已知力作用于同一质点，使之由点移动到点，则力的合力对质点所做的功为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】用坐标表示合力，再结合向量数量积坐标运算求解即可. 【详解】依题意，， 所以合力对质点所做的功为. 33．一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得对物体所做的功. 【详解】由题意可得， 又因为，所以对物体所做的功为. 故选：A. 34．已知图中电线与天花板的夹角为，电线所受拉力为，；绳与墙壁垂直，所受拉力为，，求和的合力． 【答案】合力的模为，与成角竖直向上 【分析】利用平面向量的平行四边形法则求合力. 【详解】如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力． 在中，，，， ．． 与的合力的模为，与成角竖直向上． 35．在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 【答案】AC 【分析】根据向量的平行四边形法则，由可知平行四边形法则为菱形，再逐一可验证求解. 【详解】 因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确； 根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误； 当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确； 若，则，与矛盾，所以，故D错误； 故选：AC. $ 专题04 向量应用 题型1 用向量证明线段垂直（重点） 题型5 向量在几何中的其他应用（常考点） 题型2 用向量解决夹角问题（重点） 题型6 解析法在几何中的应用（重点） 题型3 用向量解决线段的长度问题（重点） 题型7 向量在物理中的应用 题型4 向量与几何最值（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 用向量证明线段垂直（共5小题） 1．已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 2．在中，O为外心，H为所在平面内一点，且，则点H为的__________心． 3．如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 4．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 5．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型二 用向量解决夹角问题（共5小题） 6．如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 7．已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 9．在中，已知，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，下列结论正确的是（    ） A． B． C．的余弦值为 D． 10．设两个向量满足． (1)若，求的夹角； (2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 题型三 用向量解决线段的长度问题（共5小题） 11．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 12．如图，已知在半径为r的以O为圆心的圆上有一定点M，圆上两动点A、B满足∠AMB=60°，则以下说法正确的是（   ） A．当时，MB为圆的直径； B．时，； C．的最大值为 D．作A、B的对径点A’、B’，连接A’B’交MA、MB于点P、Q，则取得最小值当且仅当M为弧AB的中点. 13．已知均为实数，满足，则的最大值为__________；当取得最大值时，若，则__________. 14．在四边形中，已知，若，则的长度为（   ） A．4 B． C．5 D． 15．在△ABC中，，，，，_______________. 题型四 向量与几何最值（共5小题） 16．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形，其中，动点在上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的有_____ ①若，则    ②若，则 ③    ④ 17．已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______. 18．已知A，B，C为单位圆上任意不同的三点，则的取值范围为________． 19．已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点在其边上运动，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是__________. 题型五 向量在几何中的其他应用（共5小题） 21．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 22．已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 23．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 24．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 25．如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 题型六 解析法在几何中的应用（共5小题） 26．如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 27．如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则______． 28．在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．已知，，，；若P是所在平面内一点，，则的最大值为 ________． 30．如图，扇形中，点是上一点，且.若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D．1 题型七 向量在物理中的应用（共5小题） 31．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（    ） A． B． C． D． 32．已知力作用于同一质点，使之由点移动到点，则力的合力对质点所做的功为（    ） A．2 B． C．4 D． 33．一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 34．已知图中电线与天花板的夹角为，电线所受拉力为，；绳与墙壁垂直，所受拉力为，，求和的合力． 35．在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $