第10讲 条件概率与全概率公式（六大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

本讲义聚焦高中数学“条件概率与全概率公式”核心知识点，系统梳理条件概率的定义、性质及乘法公式，衔接全概率公式与贝叶斯公式，构建从基础概念到综合应用的学习支架，为复杂概率问题解决奠定基础。 资料特色在于结合闯关游戏、八卦图等生活与文化情境设计题型，以数学眼光观察现实世界，通过变式训练培养逻辑推理的数学思维，规范公式表述与解题步骤强化数学语言，课中助力分层教学，课后供学生针对性练习查漏补缺。

第10讲 条件概率与全概率公式 【人教A版】 模块一 条件概率 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P()=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 3．求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)=. (2)样本点法：P(B|A)=. 【题型1 条件概率的计算】 【例1】（24-25高二下·江苏连云港·期中）设，为两个随机事件，若，，，则 （    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·重庆南岸·期中）从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二下·重庆·期末）小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为，小红能闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二下·天津河西·月考）宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦、”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“▂”为阳爻，“▂ ▂”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中至少有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（  ） A． B． C． D． 【题型2 条件概率性质的应用】 【例2】（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二下·浙江·期中）对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 模块二 全概率公式 1．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，有.我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解. 2．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 3．利用全概率公式的解题思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【注】1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 【题型3 利用全概率公式求概率】 【例3】（24-25高二下·江苏南通·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·湖南株洲·期中）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二下·新疆·期末）某超市鸡蛋成板出售，每板10个．若各板鸡蛋含0，1，2个破损鸡蛋的概率分别为，，．甲计划在该超市购买一板鸡蛋，先由超市服务员随意取一板，再由甲任意抽取该板鸡蛋中的3个鸡蛋，若没有破损鸡蛋，则买下该板鸡蛋，否则退回，则甲买下该板鸡蛋的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二下·四川资阳·期末）已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，所有球除颜色外完全相同.某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球.则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为（   ） A． B． C． D． 【题型4 利用贝叶斯公式求概率】 【例4】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二下·全国·课后作业）设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【题型5 条件概率与全概率公式的综合应用】 【例5】（24-25高二下·广东深圳·期末）某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二下·江苏·期末）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 【变式5.3】（24-25高二下·河北石家庄·期末）有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. (1)求首次摸球后试验就结束的概率； (2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； (3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 【题型6 条件概率与其他知识综合】 【例6】（24-25高一上·辽宁大连·期末）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【变式6.1】（2025·山东·模拟预测）甲、乙两人在足球游戏中进行踢点球比赛．在每一局比赛中，其中一人负责进攻球门，另一人负责防守球门  若进攻者进球则进攻者得1分，防守者得0分  若进攻者未进球则进攻者得0分，防守者得1分  第一局的进攻者随机确定，然后甲、乙轮流进攻．已知甲进攻时甲得分的概率为，甲防守时甲得分的概率为，各局的比赛结果相互独立，得分领先2分者获胜． (1)求两局比赛后甲得分的分布列和均值 (2)求甲获得该场比赛胜利的概率． 【变式6.2】（2025高三·全国·专题练习）在某地区进行流行病学调查，随机调查了位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到）. 【变式6.3】（24-25高二下·浙江·期中）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）设A，B为两个事件，且，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·全国·课后作业）某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽滁州·期末）跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 6．（24-25高二下·山西·期末）甲箱中有2个红球和3个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中所有的球仅颜色不同），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，设“从甲箱中取出的球是红球”，“从乙箱中取出的两球都是红球”，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·宁夏·期中）某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·福建泉州·期末）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列说法不正确的是（   ） A． B．是可能的 C． D． 10．（25-26高三上·广东深圳·期末）某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲、乙两个箱子中随机选择一个，然后从该箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取1个球，已知甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中有3个红球和3个白球，每次抽到红球记1分，抽到白球记0分，设事件“参与者选择甲箱”，事件“两次抽球总得分为2分”，则（   ） A． B． C．与相互独立 D． 11．（24-25高二下·江苏南京·期中）某位同学参加投篮比赛，第一次投篮投中的概率为．如果他第一次投中，那么在第二次投篮中更有自信，投中的概率为．如果他第一次未投中，那么在第二次投篮中会紧张，投中的概率为．下列说法正确的是（   ） A．连续投篮两次都投中的概率为 B．连续投篮两次都未投中的概率为 C．第二次投篮投中的概率为 D．若他第二次投中，则他第一次投中的概率为 三、填空题 12．（24-25高二下·山西·月考）已知随机事件A，B满足，且，则___________. 13．（25-26高二上·黑龙江·期末）进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为__________. 14．（24-25高二下·辽宁·月考）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，黑球在第1，2，3箱中分别占，，.已知某同学随意选取一箱从中取出的球为黑球，则该黑球取于第3箱中的概率为__________. 四、解答题 15．（25-26高二下·贵州黔西南·月考）甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件. (1)求取到优良产品的概率; (2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率. 16．（24-25高二下·全国·课后作业）袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 17．（2026·河南南阳·模拟预测）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)在的条件下，求甲胜的概率； (3)求比赛结束时甲胜的概率． 18．（24-25高二下·福建·期中）在量子通信中，通过发送和接收光子实现信息的传递.光子可制备为“0”和“1”两种偏振态.发送器和接收器独立选择测量基，基的匹配规则如下：①当发送器与接收器的测量基相同时，接收器可准确测得光子的偏振态；②当基不同时，接收器测量结果完全随机（即测得“0”或“1”光子的概率均为0.5）.现发射器使用基，从两个“1”、两个“0”光子中随机选取两个依次发送.接收器每次随机地以或基测量，每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第一次发送“0”光子的条件下，第二次发送“1”光子的概率； (2)求接收器测量到两个“1”光子的概率； (3)已知接收器测量到两个“1”光子，求发送器正好也是发送两个“1”光子的概率. 19．（24-25高二下·江苏南京·期中）假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球与2个红球，第二个盒子里装有2个白球与4个红球，这些小球除颜色外完全相同. (1)从两个盒子中分别取出一个球，求取到红球的概率； (2)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率； (3)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 条件概率与全概率公式 【人教A版】 模块一 条件概率 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P()=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 3．求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)=. (2)样本点法：P(B|A)=. 【题型1 条件概率的计算】 【例1】（24-25高二下·江苏连云港·期中）设，为两个随机事件，若，，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用条件概率公式计算即可求解. 【解答过程】，，， 又， ． 故选：B. 【变式1.1】（24-25高二下·重庆南岸·期中）从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据古典概型的计算方法和分步乘法概率计算公式，求出事件的概率和积事件的概率，依据条件概率公式求出条件概率即可. 【解答过程】根据题意知，符合5的倍数的牌有两张，分别是5和10，则, 事件有两种情况，第一次抽5且第二次抽的比第一次小，和第一次抽10且第二次抽的比第一次小，则. 根据条件概率公式可知. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二下·重庆·期末）小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为，小红能闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由对立事件及条件概率公式即可求解． 【解答过程】由题可知，小明能闯关成功的概率为， 此游戏被闯关成功的概率为， 则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为， 故选：B． 【变式1.3】（24-25高二下·天津河西·月考）宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦、”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“▂”为阳爻，“▂ ▂”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中至少有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设有1卦没有阳爻.设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件，然后根据古典概型和条件概率定义求解即可． 【解答过程】由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻．设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件． 因为，， 所以. 故选：D. 【题型2 条件概率性质的应用】 【例2】（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求. 【解答过程】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 【变式2.1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【解答过程】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二下·浙江·期中）对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件概率公式结合条件即可求解. 【解答过程】因为，. 故选：D. 【变式2.3】（24-25高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【解答过程】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 模块二 全概率公式 1．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，有.我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解. 2．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 3．利用全概率公式的解题思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【注】1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 【题型3 利用全概率公式求概率】 【例3】（24-25高二下·江苏南通·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意及全概率公式可得答案. 【解答过程】依题意，设事件为“零件为第i台车床加工”（1，2，3），事件B为“零件为次品”. 由全概率公式： . 故选：A. 【变式3.1】（24-25高二下·湖南株洲·期中）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由全概率公式计算可得． 【解答过程】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件， 则，，，， 根据全概率公式，． 故选：B． 【变式3.2】（24-25高二下·新疆·期末）某超市鸡蛋成板出售，每板10个．若各板鸡蛋含0，1，2个破损鸡蛋的概率分别为，，．甲计划在该超市购买一板鸡蛋，先由超市服务员随意取一板，再由甲任意抽取该板鸡蛋中的3个鸡蛋，若没有破损鸡蛋，则买下该板鸡蛋，否则退回，则甲买下该板鸡蛋的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出事件，直接利用全概率公式求解即可. 【解答过程】设事件为“该板鸡蛋中有i个破损鸡蛋”，其中i＝0，1，2， 事件B为“甲买下该板鸡蛋”，则， ， 则． 故选：D. 【变式3.3】（24-25高二下·四川资阳·期末）已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球，所有球除颜色外完全相同.某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球.则“从乙箱中取出的球是黑球”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】记事件从甲箱取出的球为红球，则事件从甲箱取出的球为黑球，记事件从乙箱中取出的球是黑球，利用全概率公式可求得的值. 【解答过程】记事件从甲箱取出的球为红球，则事件从甲箱取出的球为黑球， 记事件从乙箱中取出的球是黑球，则，，，， 由全概率公式可得. 故选：D. 【题型4 利用贝叶斯公式求概率】 【例4】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先计算每种情况下，“取出 2 个黑球” 的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率. 【解答过程】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【解答过程】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 【变式4.3】（24-25高二下·全国·课后作业）设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【答案】B 【解题思路】先根据全概率公式求出取到的产品是次品的概率，再代入贝叶斯公式计算即可. 【解答过程】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品， 则, ； 则取到的产品是次品的概率为： ； 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： 故选：B. 【题型5 条件概率与全概率公式的综合应用】 【例5】（24-25高二下·广东深圳·期末）某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件，根据条件概率公式及全概率公式求解即可． 【解答过程】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件， 则，， 所以， ， . 故选：A． 【变式5.1】（24-25高二下·江苏·期末）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出事件，根据全概率公式得到，，再利用条件概率公式计算得到答案. 【解答过程】设第一次取出红球的事件为，第二次取出的球是白球的事件为， 取到甲袋，乙袋的事件分别为，， 则， ， 则. 故选：C． 【变式5.2】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据条件概率公式及全概率公式计算求解； （2）应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【解答过程】（1）抽出的10件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了3，4和3件， 事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”， 所以； （2）分别记事件A、B、C表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件：抽取的一个零件为次品， 由题意可得，， 由全概率公式可得 ， 所以， 即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为. 【变式5.3】（24-25高二下·河北石家庄·期末）有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. (1)求首次摸球后试验就结束的概率； (2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； (3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 【答案】(1)； (2)； (3)方案二. 【解题思路】（1）利用全概率公式计算可得； （2）利用条件概率概率公式计算可得； （3）分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可. 【解答过程】（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件． 则， 所以首次摸球后试验就结束的概率为. （2）由题意，和为对立事件，则， 则， 所以选到的袋子是乙袋的概率是. （3）方案一：从原袋中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 原袋（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 原袋（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案一使第二次摸球后试验结束的概率为. 方案二：从另外一个袋子中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 另一个袋子（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 另一个袋子（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案二使第二次摸球后试验结束的概率为. 因为，所以方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大. 【题型6 条件概率与其他知识综合】 【例6】（24-25高一上·辽宁大连·期末）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】(1)岁 (2) (3) 【解题思路】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）根据频率分布直方图计算可得； （3）根据条件概率公式即可求出． 【解答过程】（1）平均年龄 （岁）． （2）由频率分布直方图可得该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率为； （3）设“任选一人年龄位于区间”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得：，，， 则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间， 此人患这种疾病的概率为． 【变式6.1】（2025·山东·模拟预测）甲、乙两人在足球游戏中进行踢点球比赛．在每一局比赛中，其中一人负责进攻球门，另一人负责防守球门  若进攻者进球则进攻者得1分，防守者得0分  若进攻者未进球则进攻者得0分，防守者得1分  第一局的进攻者随机确定，然后甲、乙轮流进攻．已知甲进攻时甲得分的概率为，甲防守时甲得分的概率为，各局的比赛结果相互独立，得分领先2分者获胜． (1)求两局比赛后甲得分的分布列和均值 (2)求甲获得该场比赛胜利的概率． 【答案】(1)分布列见解析；期望为 (2) 【解题思路】（1）依题意，的所有可能取值为0，1，2，再用分步乘法计数原理求出每种情况的概率，写出分布列并计算期望即可； （2）设甲获得比赛胜利为事件，根据条件概率及全概率公式可求. 【解答过程】（1）依题意，的所有可能取值为0，1，2， 设甲先进攻为事件，则乙先进攻为事件， 且， 所以 ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 故的均值为． （2）设甲获得比赛胜利为事件， 则． 由（1）知，， 由全概率公式， 得 ， 解得． 【变式6.2】（2025高三·全国·专题练习）在某地区进行流行病学调查，随机调查了位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到）. 【答案】(1)岁 (2) 【解题思路】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）根据条件概率公式即可求出． 【解答过程】（1）平均年龄 （岁）． （2）设“任选一人年龄位于区间”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得： ， 则由条件概率公式可得 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间， 此人患这种疾病的概率为． 【变式6.3】（24-25高二下·浙江·期中）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 【答案】(1)，， (2) (3)的最大值为，最小值为 【解题思路】（1）先求得，，然后结合全概率公式可得； （2）由全概率公式即可得解； （3）首先求得，对分奇数、偶数两种情况讨论即可得解. 【解答过程】（1）记事件“掷两颗骰子所得的点数之和大于等于10”， 则“掷两颗骰子所得的点数之和小于10”， 易得，，故 ，； （2）； （3）由（2）有，即，（，） 所以，即， 设，解得，. 所以为等比数列，公比为的等比数列， 所以，所以， 当n为偶数时，，由于单调递减， ∵，∴最大值为； 当n为奇数时，，由于单调递增， ∵，∴最小值为； 综上，的最大值为，最小值为. 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）设A，B为两个事件，且，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由条件概率公式即可求解. 【解答过程】由. 故选：A． 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件概率公式直接计算可得. 【解答过程】设为事件“数学不及格”，为事件“语文不及格”，则 由条件概率公式， 所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为． 故选：A. 3．（25-26高二下·全国·课后作业）某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用条件概率公式以及全概率公式计算可得结果. 【解答过程】用表示生产线初始状态良好，表示第一件产品是合格品， 则，，，从而， 可知； 因此． 故选：D. 4．（25-26高二上·安徽滁州·期末）跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 【答案】C 【解题思路】利用全概率公式计算即可. 【解答过程】设事件表示“随机抽取一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， 因为三个年级的教师人数之比为， 所以，，， 因为高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的， 所以，， 根据全概率公式可得 . 故选：C. 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】本题可根据条件概率公式以及，再结合独立事件的判定条件来逐一分析选项. 【解答过程】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 6．（24-25高二下·山西·期末）甲箱中有2个红球和3个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中所有的球仅颜色不同），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，设“从甲箱中取出的球是红球”，“从乙箱中取出的两球都是红球”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用全概率公式求，再利用条件概率公式或贝叶斯公式求解即可. 【解答过程】由题意得：， 根据全概率公式可得：， 所以， 故选：C. 7．（24-25高二下·宁夏·期中）某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先设出事件，依题分别求出和，和，利用全概率公式计算即可. 【解答过程】设事件为“丙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从箱中取出2道代数题”，则， 事件为“乙从箱中取出1道代数题和1道几何题”，则， 事件为“乙从箱中取出2道几何题”，则， 当发生时，箱中有5道代数题和3道几何题，则； 当发生时，箱中有4道代数题和4道几何题，则； 当发生时，箱中有3道代数题和5道几何题，则. 由全概率公式可得 . 故选：D. 8．（24-25高二下·福建泉州·期末）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据古典概型、条件概率概念、全概率公式分别计算即可判断各选项. 【解答过程】对于，表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因事件表示“第1次摸球，摸到红球”，易得， 事件表示“第2次摸球，摸到红球” ，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球， 所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得，故错误. 对于，第1次摸球，摸到白球的概率. 同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得， 由全概率公式可得，故错误. 对于，由A项分析，已得，故错误. 对于，由B项分析，已得，故正确. 故选：. 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列说法不正确的是（   ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据条件概率公式与概率性质，逐项判断. 【解答过程】对于A：由条件概率公式及知，故A错误； 对于B：当事件包含事件时，有，此时，故正确； 对于C：由条件概率性质，故C错误； 对于D：由条件概率公式可知，故D错误； 故选：ACD. 10．（25-26高三上·广东深圳·期末）某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲、乙两个箱子中随机选择一个，然后从该箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取1个球，已知甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中有3个红球和3个白球，每次抽到红球记1分，抽到白球记0分，设事件“参与者选择甲箱”，事件“两次抽球总得分为2分”，则（   ） A． B． C．与相互独立 D． 【答案】ABD 【解题思路】根据条件公式即可判断A，利用全概率公式即可判断B，利用事件的独立性的定义即可判断C，利用贝叶斯公式即可判断D. 【解答过程】设甲箱中每次抽到红球概率为，乙箱中每次抽到红球概率为， 由于参与者选择箱子是随机的，． 在事件发生的条件下（即选择了甲箱），每次抽到红球的概率为， 且各次抽取相互独立．两次总得分为2分，即两次均抽到红球，其概率为，故A正确； 在事件发生的条件下（即选择了乙箱），每次抽到红球的概率为，两次均抽到红球概率为， 由全概率公式，，故B正确； 由于， 显然，因此事件与事件不独立，故C错误； 由贝叶斯公式，，故D正确． 故选：ABD． 11．（24-25高二下·江苏南京·期中）某位同学参加投篮比赛，第一次投篮投中的概率为．如果他第一次投中，那么在第二次投篮中更有自信，投中的概率为．如果他第一次未投中，那么在第二次投篮中会紧张，投中的概率为．下列说法正确的是（   ） A．连续投篮两次都投中的概率为 B．连续投篮两次都未投中的概率为 C．第二次投篮投中的概率为 D．若他第二次投中，则他第一次投中的概率为 【答案】ACD 【解题思路】对A，利用全概率公式求解；对B，利用全概率公式求解；对C，利用全概率公式求解；对D，利用条件概率的公式求解. 【解答过程】设事件：第一次投篮投中，事件：第二次投篮投中， 则，，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，由条件概率得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二下·山西·月考）已知随机事件A，B满足，且，则___________. 【答案】 【解题思路】首先根据概率运算法则将原等式化简，求出的值，然后根据已知条件求出的值，最后即可求出条件概率的值. 【解答过程】因为，所以， 整理得，因为， 所以，所以， 所以． 故答案为：. 13．（25-26高二上·黑龙江·期末）进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为__________. 【答案】 【解题思路】根据条件概率公式、全概率公式及贝叶斯公式求解即可. 【解答过程】记事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人来自区”，事件为“选取的人患流感”. 已知，两区的人口数的比为，所以，. 两区患流感的概率：，. 所以. 故. 故答案为：. 14．（24-25高二下·辽宁·月考）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，黑球在第1，2，3箱中分别占，，.已知某同学随意选取一箱从中取出的球为黑球，则该黑球取于第3箱中的概率为__________. 【答案】 【解题思路】设出事件，利用条件概率公式进行求解即可. 【解答过程】设事件为“某同学随意选取一箱从中取出的球为黑球”，事件为“黑球取于第3箱中”， 则，， 故. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二下·贵州黔西南·月考）甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件. (1)求取到优良产品的概率; (2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率. 【答案】(1)0.915 (2) 【解题思路】利用全概率公式和贝叶斯公式展开即可求得. 【解答过程】（1）设事件分别表示取到的产品由甲、乙、丙机器生产，事件表示取到优良产品， 则，，，，， 所以 代入数据得：. （2）取到的优良产品由甲机器生产的概率为. 16．（24-25高二下·全国·课后作业）袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解. 【解答过程】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”， 则 由全概率公式有． （2）由贝叶斯公式有． 17．（2026·河南南阳·模拟预测）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)在的条件下，求甲胜的概率； (3)求比赛结束时甲胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）先把第１局作为互斥事件，再利用全概率公式计算求解； （2）先分别计算比赛进行3局时甲胜和乙胜的概率，求和得到，再利用条件概率公式计算求解； （3）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和． 【解答过程】（1）设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜， 由全概率公式得． （2）表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜： 乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为， 甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为， ， 甲胜的概率为． （3）时，甲胜的概率为； 时，甲胜的概率为； 时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为； 时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”， 概率为， 甲胜的概率为． 18．（24-25高二下·福建·期中）在量子通信中，通过发送和接收光子实现信息的传递.光子可制备为“0”和“1”两种偏振态.发送器和接收器独立选择测量基，基的匹配规则如下：①当发送器与接收器的测量基相同时，接收器可准确测得光子的偏振态；②当基不同时，接收器测量结果完全随机（即测得“0”或“1”光子的概率均为0.5）.现发射器使用基，从两个“1”、两个“0”光子中随机选取两个依次发送.接收器每次随机地以或基测量，每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第一次发送“0”光子的条件下，第二次发送“1”光子的概率； (2)求接收器测量到两个“1”光子的概率； (3)已知接收器测量到两个“1”光子，求发送器正好也是发送两个“1”光子的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用独立事件概率乘法公式，结合条件概率公式求解即可； （2）利用概率的乘法公式、加法公式，结合全概率公式求解即可； （3）直接利用条件概率公式求解即可； 【解答过程】（1）设事件“发射器第一次发送“0”偏振态的光子”， 事件“第二次发送“1”的光子”偏振态， 则，， 由条件概率公式，； （2）设事件“接收器测量到两个1偏振态光子”， 事件“发射器先后发射了0，0光子”， 事件“发射器先后发射了0，1光子”， 事件“发射器先后发射了1，0光子”， 事件“发射器先后发射了1，1光子”， 事件“发射器使用基发送1偏振态光子时接收器测量结果为1”， 事件“发射器使用基发送0偏振态光子时接收器测量结果为0”. ，， ，，，， 则，， ，. 由全概率公式，得： . （3）. 19．（24-25高二下·江苏南京·期中）假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球与2个红球，第二个盒子里装有2个白球与4个红球，这些小球除颜色外完全相同. (1)从两个盒子中分别取出一个球，求取到红球的概率； (2)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率； (3)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据古典概型结合对立事件概率计算求解； （2）应用对立事件及条件概率公式计算求解； （3）应用全概率公式计算求解. 【解答过程】（1）记“取到红球”为事件， 则， 即取到红球的概率为. （2）依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球， 则， 即所求概率为. （3）记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球， 则. 即所求概率为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $