精品解析：山东潍坊国开中学2025-2026学年高二下学期4月阶段考质量监测数学试题

潍坊国开中学2025-2026学年高二下学期4月阶段考质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y （单位：百元）与当天的平均气温x （单位：℃）之间有如下数据：（ ） x/℃ 20 22 24 21 23 y/百元 1 3 6 2 3 若y与x 具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程必过的点为（ ） A. B. C. D. 2. 设ξ～B（n，p），已知，则n与p值分别为（　　） A. 4， B. 12， C. 12， D. 24， 3. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球档的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略．三种时段的时间占比为．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为和：在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为和．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头，红外传感器，声音传感器．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（ ） A. 0.01 B. 0.02 C. 0.03 D. 0.04 5. 投掷红、蓝两个骰子，设：蓝色骰子的点数为1或2，：两骰子的点数之和小于5，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的通项公式，则数列的最大项为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至多有2次击中目标的 概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（ ） A. B. C. 9 D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 我国在各种乒乓球比赛中均取得过优异的成绩，例如在刚刚过去的2022年成都世界乒乓球团体锦标赛中，中国的乒乓球健将们再创佳绩，男团，女团分别获得了团体冠军.甲､乙两位乒乓球初学者，都学习了三种发球的技巧，分别是：上旋球､下旋球以及侧旋球.两人在发球以及接对方发球成功的概率如下表，两人每次发､接球均相互独立：则下列说法正确的是（ ） 上旋球（发/接） 下旋球（发/接） 侧旋球（发/接） 甲 乙 A. 若甲选择每种发球方式的概率相同，则甲发球成功的概率是 B. 甲在连续三次发球中选择了三种不同的方式，均成功的概率为 C. 若甲选择三种发球方式的概率相同，乙选择三种发球方式的概率也相同，则乙成功的概率更大 D. 在一次发球中甲选择了发上旋球，则乙接球成功（甲发球失误也算乙成功）的概率是 10. （多选题）对相关系数r来说，下列说法错误的有（ ） A. |r|≤1，|r|越接近0，相关程度越大；|r|越接近1，相关程度越小 B. |r|≥1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越大，相关程度越小 C. |r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小 D. |r|≥1，|r|越接近1，相关程度越小；|r|越大，相关程度越大 11. “外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（ ） A. 若，则从开始出现数字2 B. 若，则 C. 若，则的最后一个数字为6 D. 若，则中没有数字4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与的等差中项是____________. 13. 某食盐企业对生产的食盐采用自动流水线包装后进入市场销售．经统计，该自动流水线包装的每袋食盐的质量（单位：克）服从正态分布．随机抽取该厂生产的1000袋食盐，质量介于505克到510克之间的约有________袋． 附：若，则，． 14. 某资料室在计算机使用中，如右表所示，编码以一定规则排列（每一行、每一列都是等差数列），且从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列、、、、、的通项公式为__________．编码共出现__________次． 1 1 1 1 1 1 … 1 2 3 4 5 6 … 1 3 5 7 9 11 … 1 4 7 10 13 16 … 1 5 9 13 17 21 … 1 6 11 16 21 26 … … … … … … … … 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 甲、乙两校分别有120名、100名学生参加了某培训机构组织的自主招生培训，考试结果出来以后，培训机构为了进一步了解各校所培训学生通过自主招生的情况，从甲校随机抽取60人，从乙校随机抽取50人进行分析，相关数据如下表. 通过人数 未通过人数 总计 甲校 乙校 30 总计 60 （1）完成上面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关； （2）现从甲、乙两校通过的学生中采取分层抽样的方法抽取5人，再从所抽取的5人种随机抽取2人，求2人全部来自乙校的概率. 参考公式：，. 参考数据： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球乙同学得分的概率为，且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为. （1）求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； （2）求乙同学最终获胜的概率. 18. 甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立. （1）求甲校以3：1获胜的概率； （2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布. 19. 教育部决定自年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节. （1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据： 若该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求关于的线性回归方程. （2）根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，某考生准备从甲、乙两所大学选择一所报考，已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立，若该考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率分别为、、，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率均为.若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，该考生应报考哪所高校. 参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潍坊国开中学2025-2026学年高二下学期4月阶段考质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y （单位：百元）与当天的平均气温x （单位：℃）之间有如下数据：（ ） x/℃ 20 22 24 21 23 y/百元 1 3 6 2 3 若y与x 具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程必过的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知数据求得x，y的平均数，可得选项. 【详解】由题意知：，， 所以y与x的线性回归方程必过的点，即为， 故选：A. 【点睛】本题考查线性回归方程的样本中心，属于基础题. 2. 设ξ～B（n，p），已知，则n与p值分别为（　　） A. 4， B. 12， C. 12， D. 24， 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的期望与方差公式，联立方程组，即可得出结论． 【详解】由题意，∵ξ～B（n，p），， ∴ ∴p，n＝12 故选B． 【点睛】本题考查二项分布，解题的关键是掌握二项分布的期望与方差公式，属于基础题． 3. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球档的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】小球落下要经过5次碰撞，每次向右或向右的概率都是，而要落入③号球档需经过3次向左，2次向右，根据独立事件的概率公式可得． 【详解】设小球落入③号球档为事件，落入③号球档经过3次向左，2次向右， 所以． 故选：C． 4. 某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略．三种时段的时间占比为．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为和：在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为和．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头，红外传感器，声音传感器．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（ ） A. 0.01 B. 0.02 C. 0.03 D. 0.04 【答案】B 【解析】 【分析】先求出三种模式的时间占比，再求出每种模式误报警的概率，再由全概率公式即可求解. 【详解】因为工作日、周末、法定节假日三种模式的时间占比分别为， 又由题知，工作日使用摄像头、红外传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以工作日误报警的概率为， 周末使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以周末误报警的概率为， 法定节假日使用摄像头、声音传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以法定节假日误报警的概率为， 由全概率公式可知，系统发生误报警的概率为， 故选：B. 5. 投掷红、蓝两个骰子，设：蓝色骰子的点数为1或2，：两骰子的点数之和小于5，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别写出事件B和事件AB所包含的样本点，根据条件概率公式可得. 【详解】投掷红、蓝两个骰子，共有个样本点，其中 事件B包含，共个样本点， 事件包含，共个样本点， 所以. 6. 已知数列的通项公式，则数列的最大项为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 设数列的最大项为，据此可得，求解出不等式的解集即可得到对应的最大项. 【详解】设数列的最大项为， 所以，所以， 解不等式组可得：， 故选：B. 【点睛】本题考查求解数列中最大项，主要考查学生的理解与计算能力，难度一般.本例还可以通过分析数列的单调性求解出对应的最大项. 7. 若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至多有2次击中目标的 概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式直接求解. 【详解】至多击中2次的概率为. 故选：D． 【点睛】求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法. 8. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（ ） A. B. C. 9 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的性质，求得，结合，即可求解. 【详解】由数列为等差数列，可得， 因为，所以，所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 我国在各种乒乓球比赛中均取得过优异的成绩，例如在刚刚过去的2022年成都世界乒乓球团体锦标赛中，中国的乒乓球健将们再创佳绩，男团，女团分别获得了团体冠军.甲､乙两位乒乓球初学者，都学习了三种发球的技巧，分别是：上旋球､下旋球以及侧旋球.两人在发球以及接对方发球成功的概率如下表，两人每次发､接球均相互独立：则下列说法正确的是（ ） 上旋球（发/接） 下旋球（发/接） 侧旋球（发/接） 甲 乙 A. 若甲选择每种发球方式的概率相同，则甲发球成功的概率是 B. 甲在连续三次发球中选择了三种不同的方式，均成功的概率为 C. 若甲选择三种发球方式的概率相同，乙选择三种发球方式的概率也相同，则乙成功的概率更大 D. 在一次发球中甲选择了发上旋球，则乙接球成功（甲发球失误也算乙成功）的概率是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法和独立事件概率乘法即可求解 【详解】甲选择每种发球方式的概率相同,则选择每种发球方式的概率都为, 则甲选择上旋球发球方式且发球成功概率为, 则甲选择下旋球发球方式且发球成功概率为, 则甲选择侧旋球发球方式且发球成功概率为, 所以甲发球成功的概率是,故A错误; 甲连续三次发球中选择了三种不同的方式共有6种不同的顺序, 所以甲在连续三次发球中选择了三种不同的方式， 均成功的概率为,故B正确; 乙选择每种发球方式的概率相同,则选择每种发球方式的概率都为, 则乙选择上旋球发球方式且发球成功概率为, 则甲选择下旋球发球方式且发球成功概率为, 则甲选择侧旋球发球方式且发球成功概率为, 所以甲发球成功的概率是, 所以乙发球成功率的概率更大，故C正确; 乙接球成功分为以下两总情况： 甲发上旋球发球失误或甲发上旋球成功且乙接球成功， 所以乙接球成功的概率等于，故D错误. 故选:BC. 10. （多选题）对相关系数r来说，下列说法错误的有（ ） A. |r|≤1，|r|越接近0，相关程度越大；|r|越接近1，相关程度越小 B. |r|≥1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越大，相关程度越小 C. |r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小 D. |r|≥1，|r|越接近1，相关程度越小；|r|越大，相关程度越大 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相关系数的取值范围以及衡量两个变量之间的强弱规律即可判断作答. 【详解】相关系数r的取值范围是，即选项B，D都是错误的； 相关系数r衡量两个变量之间的相关关系的强弱时，r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，r的绝对值接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系， 所以“对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小”，选项A是错误的，选项C正确. 故选：ABD 11. “外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（ ） A. 若，则从开始出现数字2 B. 若，则 C. 若，则的最后一个数字为6 D. 若，则中没有数字4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题干中的递推规律，依次分析各项的正误. 【详解】对于A项，，即“个”，，即“个，个”，，即“个，个”，故，故A项错； 对于B项，，即“2个2”， ，即“2个2”，以此类推，该数列的各项均为22，则，故B项正确； 对于C项，，即“1个6”， ，即“1个1，1个6”， ，即“3个1，1个6”，故，即“1个3，2个1，1个6”，以此类推可知，的最后一个数字均为6，故C项正确； 对于D项，，则，，，， 若数列中，中为第一次出现数字，则中必出现了个连续的相同数字， 如，则在的描述中必包含“个，个”， 即，显然的描述应该是“ 2个1 ”，矛盾，不合乎题意， 若或，同理可知均不合乎题意， 故不包含数字，故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与的等差中项是____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用等差中项的公式求解即可. 【详解】由题得与的等差中项为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查等差中项的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 13. 某食盐企业对生产的食盐采用自动流水线包装后进入市场销售．经统计，该自动流水线包装的每袋食盐的质量（单位：克）服从正态分布．随机抽取该厂生产的1000袋食盐，质量介于505克到510克之间的约有________袋． 附：若，则，． 【答案】140 【解析】 【分析】求出，然后可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 所以质量介于505克到510克之间的约有袋. 故答案为：140 14. 某资料室在计算机使用中，如右表所示，编码以一定规则排列（每一行、每一列都是等差数列），且从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列、、、、、的通项公式为__________．编码共出现__________次． 1 1 1 1 1 1 … 1 2 3 4 5 6 … 1 3 5 7 9 11 … 1 4 7 10 13 16 … 1 5 9 13 17 21 … 1 6 11 16 21 26 … … … … … … … … 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】观察表中形成的数列，第二项比第一项大，第三相比第二项大，第四相比第三项大，第五相比第四项大，依此类推，后一项与前一项的差形成一个公差为的等差数列，用叠加法可求解第一空；观察可得第行的第个数为，令，则，列出关于、的方程组可求解第二个空. 【详解】设主对角线上的数字构成的数列、、、、、为， 因为， ， ， ， ， 将以上个式子相加，可得. 由编码观察可得，第行是首项为，公差为的等差数列，则第行的第个数为， 令，则， 所以，或，或，或，或，或， 解得或或或或或. 所以共出现次． 故答案为：；. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于与的方程组，计算即可求解； （2）先求，讨论的符号去绝对值，再结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， 所以 ； 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 16. 甲、乙两校分别有120名、100名学生参加了某培训机构组织的自主招生培训，考试结果出来以后，培训机构为了进一步了解各校所培训学生通过自主招生的情况，从甲校随机抽取60人，从乙校随机抽取50人进行分析，相关数据如下表. 通过人数 未通过人数 总计 甲校 乙校 30 总计 60 （1）完成上面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关； （2）现从甲、乙两校通过的学生中采取分层抽样的方法抽取5人，再从所抽取的5人种随机抽取2人，求2人全部来自乙校的概率. 参考公式：，. 参考数据： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表如下： 通过人数 未通过人数 总计 甲校 20 40 60 乙校 30 20 50 总计 50 60 110 有；（2）. 【解析】 【分析】（1）完成表中数据计算可得的观测值，与临界值比较，即可得出结论； （2）设抽取5人中，甲校2名学生分别为、，乙校3名同学分别为，利用列举法能根据古典概型概率公式可求出这2人来自乙校的概率． 【详解】（1）列联表如下： 通过人数 未通过人数 总计 甲校 20 40 60 乙校 30 20 50 总计 50 60 110 由上表数据算得：， 所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关； （2）按照分层抽样的方法，应从甲校中抽2人，乙校中抽3人，甲校2人记为，，乙校3人记为，，，从5人中任取2人共有，，，，，，，，，，10种情况，其中2人全部来自乙校的情况有，，共3种，所以所求事件的概率为. 17. 乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球乙同学得分的概率为，且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为. （1）求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； （2）求乙同学最终获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式求解； （2）设事件为“乙赢了本局”，事件为“乙赢了上一局”， 设事件为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为时，最终乙同学获胜”，由于初始，故乙同学最终获胜的概率等价于，分，，三种情况讨论求出概率的表达式，解方程组求出得解. 【小问1详解】 在打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球， 设事件为“再打两球后结束”，事件为“乙赢得比赛”， 则，， 故. 【小问2详解】 设事件为“乙赢了本局”，事件为“乙赢了上一局”， 设事件为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为时，最终乙同学获胜”， 当时，乙肯定赢了上一局，此时，若赢球则乙直接赢得比赛，若输球则乙获胜的概率为， 所以， 同理，当时，乙肯定输了上一局，此时，若输球则输掉比赛，若赢球则获胜的概率为， 所以， 当时，若乙赢了上一局，此时，若赢球则获胜的概率为， 若输球则获胜的概率为， 所以， 若乙输了上一局，， 同理可得， 又初始，故乙同学最终获胜的概率等价于， 所以，解得. 所以乙同学最终获胜的概率为. 18. 甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立. （1）求甲校以3：1获胜的概率； （2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布. 【答案】（1） （2） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求概率. （2）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求分布列. 【小问1详解】 甲校以3：1获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局， . 【小问2详解】 的所有可能取值为1，2，3， ， ， ， 故的概率分布为： 1 2 3 19. 教育部决定自年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节. （1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据： 若该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求关于的线性回归方程. （2）根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，某考生准备从甲、乙两所大学选择一所报考，已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立，若该考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率分别为、、，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率均为.若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，该考生应报考哪所高校. 参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，. 【答案】（1） （2）建议该考生报考甲大学，理由见解析 【解析】 【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出关于的线性回归方程； （2）设该考生报考甲、乙大学笔试过程中通过科目数分别为、，根据题意求出、的值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 解：由表格中的数据可得，， 所以，， ， 所以，，， 因此，关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 解：设该考生报考甲、乙大学笔试过程中通过科目数分别为、， 由题意可知，随机变量的取值有、、、， 则，， ， ， 所以，， 由题意可知，，则， 所以，，故建议该考生报考甲大学. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $