清单03 图形的变换（3个考点清单+16种题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版2024）

清单03 图形的变换（3个考点梳理+16种题型解读+提升训练） 清单01 平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 清单02 轴对称图形 对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 清单03 旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 【考点题型一 生活中的平移现象】（） 【例1】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A．杯 B．立 C．比 D．曲 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列几种运动现象中，属于平移的有（   ） ①水平运输带上砖的运动；②笔直的铁路上行驶的动车（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④钟表指针的运动． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式1-2】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）在中国园林建筑中，洞窗是最生动的眼睛，主要以镂空图案填心为主，故也称镂空花窗．花窗图案丰富多样，以各种植物，动物，字体，几何图案和其他图案为基础，相互交错形成多种吉祥图案．以下花窗的图样中，是通过平移设计的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1-3】（23-24七年级下·江苏无锡·期末）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子． 【变式1-4】（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图是正在进行的俄罗斯方块游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现出现一“T”形方块向下运动．    (1)若该“T”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（并画上阴影）． (2)为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？（俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动．） 【考点题型二 图形的平移】（） 【例2】（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．    【变式2-1】（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，长方形中，，，现将该长方形沿方向平移，得到长方形，若重叠部分的面积为16，则长方形向右平移的距离为 cm． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏南京·随堂练习）如图，平移四边形，使点移动到，作出平移后的四边形，并指出平移的方向和平移的距离．    【变式2-3】（23-24七年级下·江苏·期末）如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形． 【变式2-4】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点． (1)画出； (2)连接、，那么与的关系是 ； (3)线段AC扫过的图形的面积为 ． 【考点题型三 利用平移的性质求解】（） 【例3】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)先将三角形向右平移4格，再向下平移3格，请作出两次平移后所得的三角形； (2)连接，，判断与的位置关系，并求四边形的面积． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图：   (1)过点C作直线平行于； (2)平移三角形，并将三角形的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应，请画出平移后的三角形； (3)连结，．则与的位置关系与数量关系是 和 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏·阶段练习）如图，已知三角形的面积为，．现将三角形沿直线方向向右平移个单位长度到三角形的位置． (1)当三角形所扫过的面积（即梯形）为时，求的值． (2)若，求的度数． 【变式3-3】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点，，，你能求出阴影部分的面积吗？说说你的方法，并求出面积． 【变式3-4】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）（教材变式）如下图，的顶点都在方格纸的格点上，每个网格的边长均为1个单位长度．将向上平移4个单位长度，得到． (1)在图中画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段的关系是　　　　　． 【考点题型四 利用平移解决实际问题】（） 【例4】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台上铺上一块红地毯，问这块红地毯长至少需要（   ） A．23米 B．18米 C．15米 D．13米 【变式4-1】（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，在一块长为11米，宽为5米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线，这块草地的绿地面积是(   )平方米． A．50 B．55 C．40 D．44 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计划在学校新操场旁新建一长方形绿化带，如图所示，想在绿化带地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）某养殖场计划在内部用篱笆按如图所示的方法将一块长方形空地分割成四块区域用来养殖不同的动物（所有篱笆均与相对空地外墙平行），若空地外墙的周长为60米，则需使用的篱笆长度为 米． 【变式4-4】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 【考点题型五 平移作图】（） 【例5】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，将向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应的， (1)画出平移后的； (2)求的面积． 【变式5-1】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点与点重合．点，分别是点，的对应点． (1)请画出平移后的． (2)连接，，则这两条线段之间的关系是__________． (3)求的面积． 【变式5-2】（23-24七年级下·江苏南京·单元测试）三角形的位置如图所示． (1)将三角形向右平移5 格得到三角形，请画出三角形； (2)将第（1）题中平移所得到的三角形向下平移4 格得到三角形，请画出三角形； (3)经（1），（2）两题两次平移后得到的图形，能通过将三角形经过一次平移得到吗？如果你认为可以，描述这个平移过程；如果你认为不可以，请简要说明理由． 【变式5-3】（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，线段的端点及点C都在格点（网格线交点）上． (1)将线段向左平移2个单位长度、向上平移5个单位长度后得到线段，在图中画出线段； (2)在图中画出经过点C 且平行于的直线l，并简单的说明画法． 【变式5-4】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）动手操作： (1)如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接． ①线段平移的距离是______； ②四边形的面积是______； (2)如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到． ③画出平移后的； ④连接，多边形的面积是______． 【考点题型六 轴对称图形】（） 【例6】（24-25七年级下·江苏南京·单元测试）下列图形是轴对称图形吗？如果是，请画出它们的对称轴．                   【变式6-1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【变式6-2】（23-24八年级上·江苏南京·课堂例题）分别观察图（1）～（4）中的两个图形，判断它们是否分别关于某条直线成轴对称，并说明原因． 【变式6-3】（23-24八年级上·江苏南京·课堂例题）如图所示，判断下列图形是不是轴对称图形，如果是，请画出它们所有的对称轴． 【变式6-4】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2024个图案 轴对称图形（填“是”或“不是”）． 【考点题型七 根据成轴对称图形的特征进行求解】（） 【例7】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【变式7-1】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）如图，与关于所在的直线成轴对称，B，D，C三点共线．若，则的周长为 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 【变式7-3】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）小明把一张长方形纸片对折两次，画上一个四边形，再剪去这个四边形，展开长方形纸片，得到如下图形，设折痕为，，，观察图形并填空：    (1)①与②关于________成轴对称； (2)折痕可以看成哪两组图形的对称轴呢？ 【变式7-4】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知四边形与四边形关于直线对称，． (1)试写出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【考点题型八 台球桌面上的轴对称问题】（） 【例8】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式8-1】（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【变式8-2】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【变式8-3】（23-24八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【变式8-4】（23-24八年级上·北京海淀·期中）操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 【考点题型九 折叠问题】（） 【例9】（24-25七年级下·福建南平·阶段练习）如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，是折痕，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·辽宁阜新·一模）将长方形纸片按如图方式折叠，使得，其中为折痕，则的度数为 ． 【变式9-2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）图1是一张长方形纸条，点E，F分别在上，将纸条沿折叠成图2．若图2中的，则图1中的的度数是 ． 【变式9-3】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点F处，折痕为． (1)______（填“>”“=”或“<”）． (2)如果是的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ (3)在（2）的条件下，将沿折叠使其落在的内部，交于点M，若平分，求的大小． 【变式9-4】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）同学们，我们已学习了角平分线的有关知识，那么你会用它们解决有关问题吗？ （1）如图1，已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，则射线一定平分． 理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， 所以__________， 所以射线__________是__________的角平分线． 拓展应用 （2）如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点落在上的处并且使过点，折痕为．直接利用（1）的结论，解答下面问题； ①若，则的度数为__________， ②若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？（写出计算说理过程） 【考点题型十 对称轴】（） 【例10】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列说法：①线段的垂直平分线是它的对称轴；②角的对称轴是角的平分线；③平面上的两条相交直线是轴对称图形，它只有一条对称轴；④直线是轴对称图形，它有无数条对称轴．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-1】（23-24七年级下·江苏南京·单元测试）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（   ） A．圆形 B．等边三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【变式10-2】（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折．用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，该图案有 条对称轴． 【变式10-3】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图是“绿色食品”的标识，它是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？    【变式10-4】（23-24七年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【考点题型十一 旋转现象】（） 【例11】（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）将4张扑克牌按图1的方式放在桌面上，将其中1张扑克牌旋转了后得到图2，则被旋转过的扑克牌是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）下列物体的运动不是旋转的是（   ） A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针 C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片 【变式11-2】（24-25七年级下·江苏南京·假期作业）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式11-3】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 【变式11-4】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是 ． 【考点题型十二 找旋转中心、旋转角、对应点】（） 【例12】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25七年级下·福建莆田·期末）如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式12-2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，那么： （1）点B的对应点是 ，的对应角是 ，线段BC的对应线段是 ； （2）旋转中心是 ，旋转角是 ． 【变式12-3】（24-25七年级下·四川成都·开学考试）如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是 ． 【变式12-4】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）在中，，，点D为内一点，连接、． (1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° (2)延长交于F，交于M，求证：． 【考点题型十三 根据旋转的性质求解】（） 【例13】（2025·安徽滁州·一模）如图，已知，过边上一点O作直线，经测量，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）如图，在中，，过点O作于点O，，连接．将绕点O按逆时针方向旋转，使得与重合，得到，则旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24七年级下·广东潮州·期中）如图所示，把一个直角三角尺绕着角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在的延长线上的点E处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25七年级下·江苏南京·单元测试）如图，已知直角三角形，，，，点、在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，……按照此规律继续旋转，直到得到点，则 ． 【变式13-4】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中点．指出旋转中心，并求出旋转角的度数和的长．    【考点题型十四 画旋转图形】（） 【例14】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； (3)第（2）问中旋转过程中边“扫过”的面积为___________． 【变式14-1】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在方格纸中，的三个顶点和点都在小方格的顶点上．将绕点按顺时针方向旋转，在图上画出旋转后的． 【变式14-2】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）如下图，在的正方形网格中，三角形②和三角形③是由三角形①以点P为旋转中心逆时针依次旋转一定的角度后所得到的图形，请按下列要求作图． (1)在图中标出旋转中心点P的位置； (2)在图中作出再次逆时针旋转相同角度后的三角形④． 【变式14-3】（24-25七年级下·云南玉溪·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A，B，C，O四点均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出． (2)将绕着点O沿顺时针方向旋转90°，得到，画出． 【变式14-4】（24-25七年级下·江西赣州·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段，的端点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中，将线段绕点顺时针旋转，画出线段； (2)在图2中，线段绕点旋转后可得到线段，画出点． 【考点题型十五 求旋转对称图形的旋转角度】（） 【例15】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（　　） A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25七年级下·广东江门·期末）如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角的度数可以为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，点O是正八边形的中心，分别以各边为直径在正八边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案，这个图案绕点O旋转后能与自身完全重合，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ． 【变式15-4】（24-25七年级下·山西大同·期中）把正边形绕着它的中心旋转，所得的正边形与原正多边形重合，我们说这个正边形关于其中心有的旋转对称．下图是大同华严寺的木结构藻井，该藻井的图案可近似的看作旋转对称图形，则它的最小旋转角是 °． 【考点题型十六 旋转综合题】（） 【例16】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（23-24七年级下·广东惠州·阶段练习）如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（2022·江苏泰州·一模）如图，在△ABC中，∠CAB＝40°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为 ． 【变式16-3】（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【变式16-4】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图1，点O为直线上一点，将一副三角板摆放在直线同侧，将角的顶点与角的顶点重合放在点O处，三角板的顶点A与三角板的顶点D在直线上，三角板保持不动，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为． (1)如图2，当平分时，求t的值； (2)当时，画出相应的图形，并求t的值； (3)三角板在旋转过程中，若平分，平分，直接写出的度数． 1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，若平移的距离为7，，，则阴影部分的面积为（   ） A．50 B．54 C．56 D．49 3．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（　　） A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到 B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到 C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到 D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到 5．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图．如图，若，则的值是（　　）（用的代数式表示） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）如图，直角的直角边，将沿边的方向平移到的位置，交于点，，， 则四边形的面积 7．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，南湖公园有一块长为、宽为的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，小路（非阴影部分）宽为，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，求所走的路线（图中虚线）长 ． 8．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在长方形中，将三角形沿着翻折得到三角形，此时，点在上，连接，在的右侧作，使得，当的一条边与平行时，则的度数是 ． 9．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G，D、C分别落在点M、N的位置上，若，则 ． 10．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，，，将沿直线向右平移2.5个单位得到，连接，，则有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结有 ．（填序号即可） 11．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是点、的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接与； (3)在（2）的条件下，请直接写出与的关系． 12．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是，求四边形的面积． 13．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)________，________； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，点经过相同平移后的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 14．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全； (2)平移过程中，线段扫过的部分的面积是 ； (3)若点和是关于直线l的对称点，请画出直线l的位置； (4)在方格纸中，存在一点Q，则能使和（点Q不与点A重合）的面积相等的格点Q共有　　　个． 15．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 图形的变换（3个考点梳理+16种题型解读+提升训练） 清单01 平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 清单02 轴对称图形 对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 清单03 旋转 1.旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 【考点题型一 生活中的平移现象】（） 【例1】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A．杯 B．立 C．比 D．曲 【答案】C 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，根据图形平移的性质解答即可． 【详解】解：由图可知C是平移得到，A、B、D不是平移得到， 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列几种运动现象中，属于平移的有（   ） ①水平运输带上砖的运动；②笔直的铁路上行驶的动车（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④钟表指针的运动． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义，根据定义分析是解题的关键；平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，掌握平移的定义是解题的关键；根据平移的定义进行作答，逐个分析然后即可求解； 【详解】解：平移是指物体在运动过程中，所有点的移动方向和平移距离都相同， ①水平运输带上砖的运动：砖块随传送带整体直线移动，无旋转，属于平移， ②笔直铁路上行驶的动车（忽略车轮转动）：动车整体沿轨道直线运动，题目忽略车轮转动，属于平移， ③升降机的上下运动：升降机沿直线上下移动，无旋转，属于平移， ④钟表指针的运动：指针绕轴心旋转，属于旋转而非平移； 综上所述，①、②、③属于平移，共3种， 故选：C； 【变式1-2】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）在中国园林建筑中，洞窗是最生动的眼睛，主要以镂空图案填心为主，故也称镂空花窗．花窗图案丰富多样，以各种植物，动物，字体，几何图案和其他图案为基础，相互交错形成多种吉祥图案．以下花窗的图样中，是通过平移设计的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的定义是解题的关键； 根据平移的定义逐项判断即可； 【详解】解∶A．该图案可以看作是由一个基本图形沿着某个方向进行平移，重复排列而形成的．平移过程中，基本图形的形状、大小和方向都没有发生变化，只是位置发生了改变，符合平移的定义，故该选项符合题意； B．该图案明显是围绕着一个中心点进行旋转，旋转角度相同，从而形成了该图案，并非平移， 故该选项符合题意； C．该图案是围绕着一个中心点进行旋转，旋转角度相同，从而形成了该图案，不满足平移的特征，故该选项符合题意； D．该图案是基本图形围绕一个中心点进行旋转，其旋转一定角度后得到整个图案，不是平移得到的，故该选项符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（23-24七年级下·江苏无锡·期末）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子． 【答案】 ② ① ③ 【分析】要一次性通关，先推阻碍其它箱子的箱子，然后推动其它箱子即可． 【详解】要想使游戏一次性通关，则三个箱子要把右边的三个阴影位置占完，且每个箱子只能占一个位置； 观察三个箱子的位置，发现②号箱子会阻碍其余两个箱子的移动，因此要先推动②号箱子，其余两个箱子才能推动；然后推动①号箱子，最后推动③号箱子可以使得步数最少． 故答案为：②，①，③ 【点睛】本题考查平移变换，解答本题的关键要明确推箱子游戏的规则． 【变式1-4】（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图是正在进行的俄罗斯方块游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现出现一“T”形方块向下运动．    (1)若该“T”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（并画上阴影）． (2)为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？（俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动．） 【答案】(1)图见解析 (2)在（1）的基础上，先再向右平移4个单位长度，再向下平移个单位长度 【分析】（1）根据平移的定义及性质即可解答； （2）根据平移的定义及性质，俄罗斯方块的规则即可解答． 【详解】（1）解：∵该“T”形方块向下平移了个单位长度， ∴平移后的图形如图所示，      （2）解：∵俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动， ∴在（1）的基础上，先再向右平移4个单位长度，再向下平移个单位长度． 【点睛】本题考查了平移的定义及性质，掌握平移的性质是解题的关键． 【考点题型二 图形的平移】（） 【例2】（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．    【答案】3 【分析】根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果． 【详解】解：长方形平移到长方形的位置， 对应点B到的距离为：0-(-3)=3， ∴平移的距离是3， 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，理解掌握平移的性质是解题关键． 【变式2-1】（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，长方形中，，，现将该长方形沿方向平移，得到长方形，若重叠部分的面积为16，则长方形向右平移的距离为 cm． 【答案】6 【分析】根据重叠部分的面积求出的长，然后根据平移的性质可知，平移的距离为线段与线段的差，即可得到答案． 【详解】解：重叠部分为矩形，面积为，， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平移的性质，矩形的性质，解题关键是确定平移的距离为线段与线段的差． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏南京·随堂练习）如图，平移四边形，使点移动到，作出平移后的四边形，并指出平移的方向和平移的距离．    【答案】见解析，平移的方向是射线的方向，平移的距离是线段的长 【分析】此题考查图形的平移，作图的关键是确定平移的方向和距离．因为点A平移后的对应点已经确定，所以方向和距离也是确定的，只需要连接，然后过其余三点作的平行线，并在其平行线上截取等于的线段，即可得到其它对应点，然后连接即可． 【详解】解：如答图所示，平移方法如下： ①连结； ②分别过点、、作的平行线、、； ③在射线上截取．按同样的方法截取，； ④连结、、、，得四边形，则四边形就是所要求作的图形．    平移的方向是射线的方向，平移的距离是线段的长． 【变式2-3】（23-24七年级下·江苏·期末）如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3，右，4 【分析】本题考查了作图—平移，平移的性质； （1）根据平移不改变图形的大小、形状和方向确定出点，的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）中所作图形判断平移方式即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）由图可得：将三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形， 故答案为：3，右，4． 【变式2-4】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点． (1)画出； (2)连接、，那么与的关系是 ； (3)线段AC扫过的图形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)10 【分析】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）利用分割法求出四边形面积即可． 【详解】（1）解：如图，△A′B′C′即为所求； （2）解：与的关系是：，． 故答案为：，； （3）解：线段扫过的图形的面积=． 故答案为：． 【考点题型三 利用平移的性质求解】（） 【例3】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)先将三角形向右平移4格，再向下平移3格，请作出两次平移后所得的三角形； (2)连接，，判断与的位置关系，并求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查作图平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用割补法求四边形面积． （1）根据平移方式作出，，都是对应点，，，并顺次连接，，即可； （2）利用平移变换的性质判定位置关系，四边形面积可以看成是矩形的面积减去周围的四个三角形面积． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：由平移的性质可得． 四边形的面积． 【变式3-1】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图：   (1)过点C作直线平行于； (2)平移三角形，并将三角形的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应，请画出平移后的三角形； (3)连结，．则与的位置关系与数量关系是 和 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查图形的平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）利用平移，画出直线即可； （2）根据平移的性质，画出三角形即可； （3）根据平移的性质作答即可． 【详解】（1）解：如图直线即为所求； （2）如图，三角形即为所求； （3）由图形和平移的性质可知：． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏·阶段练习）如图，已知三角形的面积为，．现将三角形沿直线方向向右平移个单位长度到三角形的位置． (1)当三角形所扫过的面积（即梯形）为时，求的值． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质，解一元一次方程，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）过点作于点，利用三角形的面积可求得长度，再利用平移得，，利用梯形的面积为进行列式求解即可； （2）由平移得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵三角形的面积为，， ∴， 解得：， 由平移可得，， ∴， ∵梯形的面积为， ∴， 即， 解得：； （2）解：由平移得， ∴． 【变式3-3】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点，，，你能求出阴影部分的面积吗？说说你的方法，并求出面积． 【答案】阴影部分的面积为． 【分析】本题考查平移的性质，求阴影部分的面积等．由平移的性质可知，，，进而得出的长，根据，即可得出答案．将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键． 【详解】解：∵直角三角形沿方向平移得到，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【变式3-4】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）（教材变式）如下图，的顶点都在方格纸的格点上，每个网格的边长均为1个单位长度．将向上平移4个单位长度，得到． (1)在图中画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段的关系是　　　　　． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 【分析】本题考查作图平移变换，平移的性质等知识． （1）分别作出，，的对应点，，即可． （2）利用平移的性质判断即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：由平移的性质得：，， 故答案为：平行且相等． 【考点题型四 利用平移解决实际问题】（） 【例4】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台上铺上一块红地毯，问这块红地毯长至少需要（   ） A．23米 B．18米 C．15米 D．13米 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用平移解答实际问题，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形形的两边，求出地毯的长度即可． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形的两边，长方形的两条边长分别为10米，8米， 故地毯的长度至少为（米）． 故选：B． 【变式4-1】（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，在一块长为11米，宽为5米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线，这块草地的绿地面积是(   )平方米． A．50 B．55 C．40 D．44 【答案】A 【分析】根据平移可知，绿地部分拼成的图形长为米，宽为5米，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意得： （平方米）， 所以这块草地的绿地面积为50平方米， 故选A． 【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移求出绿地部分拼成的图形长和宽是解题的关键． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计划在学校新操场旁新建一长方形绿化带，如图所示，想在绿化带地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为 ． 【答案】540 【分析】此题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形的最上边和最左边，使余下部分是一个长方形，是解决本题的关键．根据把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形，然后利用长方形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形， ，， 长方形的面积． 答：绿化的面积为． 故答案为：540． 【变式4-3】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）某养殖场计划在内部用篱笆按如图所示的方法将一块长方形空地分割成四块区域用来养殖不同的动物（所有篱笆均与相对空地外墙平行），若空地外墙的周长为60米，则需使用的篱笆长度为 米． 【答案】30 【分析】本题主要考查了平移的性质；设长和宽为，根据长方形的对边相等，可知，可知需要使用的篱笆的长度是外墙的周长的一半，即可得出答案． 【详解】解：设长和宽为，根据题意，得， 将横向的篱笆向上方平移，则和为a米，将所有纵向的篱笆向右方平移，则和为b米， 所以，需要的篱笆长度为（米）． 故答案为：30． 【变式4-4】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 【答案】(1)平方米 (2)108米 【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． （1）结合图形，利用平移的性质求解； （2）结合图形，利用平移的性质求解． 【详解】（1）解：小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：（平方米）； （2）解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线（图中虚线）长为：（米）． 故答案为：108米． 【考点题型五 平移作图】（） 【例5】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，将向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应的， (1)画出平移后的； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画平移图形，利用网格求三角形的面积，掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）先确定平移后的点，然后连线即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：的面积为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点与点重合．点，分别是点，的对应点． (1)请画出平移后的． (2)连接，，则这两条线段之间的关系是__________． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握“平移后，各组对应点的线段互相平行且相等”是解题关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质即可得，； （3）利用补形法结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）解：如图， 由平移的性质可得：，． 故答案为：，． （3）解：． 的面积为． 【变式5-2】（23-24七年级下·江苏南京·单元测试）三角形的位置如图所示． (1)将三角形向右平移5 格得到三角形，请画出三角形； (2)将第（1）题中平移所得到的三角形向下平移4 格得到三角形，请画出三角形； (3)经（1），（2）两题两次平移后得到的图形，能通过将三角形经过一次平移得到吗？如果你认为可以，描述这个平移过程；如果你认为不可以，请简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)可以，将三角形沿斜下方平移，使点A落在位置 【分析】本题考查了作图——平移变换．确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点，、，依次连接即可； （2）利用网格特点和平移的性质画出，、的对应点，、，依次连接即可； （3）根据平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，三角形为所求； （2）解：如图，三角形为所求； （3）解：可以，将三角形沿斜下方平移，使点A落在位置． 【变式5-3】（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，线段的端点及点C都在格点（网格线交点）上． (1)将线段向左平移2个单位长度、向上平移5个单位长度后得到线段，在图中画出线段； (2)在图中画出经过点C 且平行于的直线l，并简单的说明画法． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，平移变换的作图，正确的理解题意是解题的关键． （1）利用平移的性质根据题意中平移的距离和方向分别作出A，B的对应点，，然后连接即可； （2）将C，T看作是A，B平移后的点，即找到A到的平移方式，将平移到点，作直线即可． 【详解】（1）解：将线段向左平移2个单位长度、向上平移5个单位长度后得到线段 在图中分别将两点向右平移2个单位长度、向上平移5个单位长度，得到对应点，，连接对应点，，线段即为所求． （2）解：如图，将C，T看作是A，B平移后的点，即找到到的平移为：向右平移2个单位长度、向下平移3个单位长度， ∴将向右平移2个单位长度、向下平移3个单位长度，平移到点，作直线即可． 作法：根据平移取格点T，作直线，直线l即为所求． 【变式5-4】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）动手操作： (1)如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接． ①线段平移的距离是______； ②四边形的面积是______； (2)如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到． ③画出平移后的； ④连接，多边形的面积是______． 【答案】(1)①3；②6 (2)③见解析；④6 【分析】本题考查平移性质的应用，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键． （1）①根据平移性质和网格特点求解即可；②根据网格特点和平行四边形的面积公式求解即可； （2）③根据平移性质和网格特点可画出图形；④根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可； 【详解】（1））解：①根据平移性质，线段平移的距离是； 故答案为：3； ②根据图形，四边形的面积为：； 故答案为：6 （2）解：③如图，即为所求； ④多边形的面积是 ． 故答案为：6 【考点题型六 轴对称图形】（） 【例6】（24-25七年级下·江苏南京·单元测试）下列图形是轴对称图形吗？如果是，请画出它们的对称轴．                   【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，画对称轴等知识点，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等．根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可得出答案，然后画出轴对称图形的对称轴即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，除了第二个和最后一个图形不是轴对称图形，其余都是轴对称图形， 画对称轴如下： 【变式6-1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【答案】(1)图案是轴对称图形，有4条对称轴 (2)图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴 (3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 【变式6-2】（23-24八年级上·江苏南京·课堂例题）分别观察图（1）～（4）中的两个图形，判断它们是否分别关于某条直线成轴对称，并说明原因． 【答案】图（1）（4）分别关于某条直线成轴对称；图（2）（3）不成轴对称，说明见解析 【分析】本题考查轴对称图形的判定，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：图（1）（4）分别关于某条直线成轴对称；图（2）（3）不成轴对称， 原因如下： 图（1）（4）分别关于某条直线成轴对称，因为沿某一直线对折，每一组的两个图形都可以完全重合（这里的“完全重合”是指必须沿某直线折叠后完全重合，这就要求两个图形必须形状相同、大小相等，同时还对两个图形的位置作了限定）； 图（2）（3）不成轴对称，因为不能找到它们的对称轴． 【变式6-3】（23-24八年级上·江苏南京·课堂例题）如图所示，判断下列图形是不是轴对称图形，如果是，请画出它们所有的对称轴． 【答案】图①②④⑤⑥是轴对称图形，见解析 【分析】本题考查了轴对称图形； 根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴”，进行判断并画图即可． 【详解】解：图①②④⑤⑥是轴对称图形，对称轴如图所示： 【变式6-4】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2024个图案 轴对称图形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查了图形的变化规律以及轴对称图形，注意由特殊到一般的分析方法．这类题型在中考中经常出现．作出前四个图形的对称轴，类推即可得出结论． 【详解】解：前四个图形的对称轴如下： 由此可得按此规律摆放成的图案都是轴对称图形． 故答案为：是． 【考点题型七 根据成轴对称图形的特征进行求解】（） 【例7】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：作N关于l的对称点E，连接，交l于点C， ∴的垂直平分线为l， ∴， ∴， 即P与C重合， 故选：C． 【变式7-1】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）如图，与关于所在的直线成轴对称，B，D，C三点共线．若，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是轴对称的性质，根据轴对称的性质可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵与关于所在的直线成轴对称，， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：10． 【变式7-2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质得出，根据线段间的数量关系，得出答案即可． 【详解】解：由轴对称可知：，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）小明把一张长方形纸片对折两次，画上一个四边形，再剪去这个四边形，展开长方形纸片，得到如下图形，设折痕为，，，观察图形并填空：    (1)①与②关于________成轴对称； (2)折痕可以看成哪两组图形的对称轴呢？ 【答案】(1) (2)②和③或①和④或①②和③④ 【分析】此题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）①与②关于成轴对称； （2）折痕可以看成②和③或①和④或①②和③④的对称轴． 【变式7-4】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知四边形与四边形关于直线对称，． (1)试写出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1) (2) (3)直线垂直平分 【分析】本题考查的是轴对称的性质，理解轴对称的含义是解本题的关键； （1）根据四边形与四边形关于直线对称，可得对应边相等，从而可得答案； （2）先求解，再根据轴对称的性质可得答案； （3）根据对称轴垂直平分对称点的连线，可得答案； 【详解】（1）解：∵四边形与四边形关于直线对称．， ∴； （2）解：∵， ∴， 由轴对称的性质可得： ； （3）解：∵对称轴垂直平分对称点的连线， ∴直线垂直平分． 【考点题型八 台球桌面上的轴对称问题】（） 【例8】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 【变式8-1】（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 【变式8-2】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 【变式8-3】（23-24八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求． （2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．    （2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 【变式8-4】（23-24八年级上·北京海淀·期中）操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质画出小球从起始点处出发的路径，即可求解； （2）根据轴对称的性质，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【详解】（1）解：如图，所以小球会击中的点是， 故答案为： （2）解：如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【点睛】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【考点题型九 折叠问题】（） 【例9】（24-25七年级下·福建南平·阶段练习）如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，是折痕，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．先根据图形折叠的性质求出，再根据平行线的性质得出，由补角的定义即可得出结论． 【详解】解：根据折叠可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式9-1】（2025·辽宁阜新·一模）将长方形纸片按如图方式折叠，使得，其中为折痕，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查折叠的性质，根据折叠的性质，结合平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式9-2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）图1是一张长方形纸条，点E，F分别在上，将纸条沿折叠成图2．若图2中的，则图1中的的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，图2中根据平行线的性质可得，再由折叠的性质可得的度数的2倍与的度数和为180度即可求出答案． 【详解】解：在图2中，∵， ∴， ∴图1中， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点F处，折痕为． (1)______（填“>”“=”或“<”）． (2)如果是的平分线，那么与有怎样的位置关系？为什么？ (3)在（2）的条件下，将沿折叠使其落在的内部，交于点M，若平分，求的大小． 【答案】(1)= (2)；理由见解析 (3) 【分析】 （1）根据折叠的性质可得出； （2）由折叠的性质可知，根据是的平分线，利用角平分线的定义可得出，将和相加结合与互补即可得出，由此即可得出； （3）设，根据折叠的性质结合角平分线的定义即可得出、，再根据即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了角的计算、翻折变换、角平分线的定义以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握翻折的特性；（2）通过角的计算求出；（3）根据角的关系找出关于的一元一次方程． 【详解】（1） 解：∵折叠， ． 故答案为：． （2） 解：，理由如下： 由折叠而成， ． 是的平分线， ， ． ． （3） 解：依照题意画出图形，如图所示． 设， 是的平分线， ． 由折叠而成， ． 平分， ， ． ， ， ． ． 【变式9-4】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）同学们，我们已学习了角平分线的有关知识，那么你会用它们解决有关问题吗？ （1）如图1，已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，则射线一定平分． 理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， 所以__________， 所以射线__________是__________的角平分线． 拓展应用 （2）如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点落在上的处并且使过点，折痕为．直接利用（1）的结论，解答下面问题； ①若，则的度数为__________， ②若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？（写出计算说理过程） 【答案】（1）；（2）①，②的度数始终是 【分析】本题考查折叠的性质，与角平分线有关的计算，掌握折痕为角平分线，是解题的关键． （1）根据折叠，得到，进而根据角平分线的定义，得到平分，即可； （2）①根据折叠的性质和平角的定义，进行求解即可；②根据折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：（1）因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， 所以， 所以射线是的角平分线． （2）①由题意，得：，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②的度数始终是， 由题意，得：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十 对称轴】（） 【例10】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）下列说法：①线段的垂直平分线是它的对称轴；②角的对称轴是角的平分线；③平面上的两条相交直线是轴对称图形，它只有一条对称轴；④直线是轴对称图形，它有无数条对称轴．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形以及对称轴，熟练掌握轴对称图形的相关知识是解题的关键． 根据轴对称图形以及对称轴的概念即可判断． 【详解】解：线段的垂直平分线是它的对称轴，①正确； 角的对称轴是角的平分线所在直线，②错误； 平面上两条相交直线是轴对称图形，它有2条对称轴，③错误：； 直线是轴对称图形，它有无数条对称轴，④正确． 故选：B． 【变式10-1】（23-24七年级下·江苏南京·单元测试）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（   ） A．圆形 B．等边三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键；因此此题可根据轴对称图形的性质进行求解即可． 【详解】解：圆形有无数条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，正五边形有5条对称轴；所以对称轴条数最多的是圆形； 故选A． 【变式10-2】（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折．用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，该图案有 条对称轴． 【答案】2/两 【分析】此题考查了有关轴对称的相关知识，其中要明确题中每次的对折都是完全重合的，即就是轴对称图形，那么题中有两次折叠，这样对称轴的个数也就出来了． 根据每次的折叠都是完全重合的图形，由此可得到对称轴的条数． 【详解】解：根据图中的每次的折叠，都是完全重合，故两次折叠得到了2个对称轴，且之后的裁剪对对称轴没有影响． 故该图案有2条对称轴， 故答案为：2． 【变式10-3】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图是“绿色食品”的标识，它是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？    【答案】该图是轴对称图形，有1条对称轴 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称的知识是解题的关键．根据轴对称图形的定义得出结论即可． 【详解】解：该图是轴对称图形，有1条对称轴． 【变式10-4】（23-24七年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8；（2）n；（3）见解析 【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键． 【考点题型十一 旋转现象】（） 【例11】（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）将4张扑克牌按图1的方式放在桌面上，将其中1张扑克牌旋转了后得到图2，则被旋转过的扑克牌是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是旋转的性质，根据图形旋转的性质解答即可． 【详解】解：由图可知，将图1其中1张扑克牌旋转了后得到图形与图2相同，只有当梅花3被旋转过时才能出现这种情况． 故选：B． 【变式11-1】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）下列物体的运动不是旋转的是（   ） A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针 C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可． 【详解】解：A．坐在摩天轮里的小朋友，属于旋转，故不符合题意； B．正在走动的时针，属于旋转，故不符合题意； C．骑自行车的人，属于平移，故符合题意； D．正在转动的风车叶片，属于旋转，故不符合题意； 故选：C． 【变式11-2】（24-25七年级下·江苏南京·假期作业）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移、旋转现象，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键． 根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④⑤共3个． 故选：B． 【变式11-3】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 【变式11-4】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是 ． 【答案】689 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案． 【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689． 故答案为：689． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键． 【考点题型十二 找旋转中心、旋转角、对应点】（） 【例12】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的旋转，牢记图形旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角）是解题的关键．旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点，等于旋转角． 【详解】解：∵点的对应点为点，点的对应点为点，且对应点到旋转中心的距离相等， ∴旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点． 如图，作线段和线段的垂直平分线，其交点为旋转中心．    连接，． 根据旋转的性质，得 ． 故选：C． 【变式12-1】（24-25七年级下·福建莆田·期末）如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键．根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【详解】 解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， 由图形可知：点在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上， ∴旋转中心是点， 故选：A． 【变式12-2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，那么： （1）点B的对应点是 ，的对应角是 ，线段BC的对应线段是 ； （2）旋转中心是 ，旋转角是 ． 【答案】 点 点 或 【分析】本题考查了图形旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应点，对应角，对应线段的关系以及旋转中心和旋转角的确定方法． 根据旋转性质，确定旋转后的对应元素（点，角，线段），以及旋转中心和旋转角． 【详解】（1）由旋转性质可知，旋转得到时，点的对应点是点；的对应角是旋转后的；线段的对应线段是． 故答案为：点；；； （2）旋转中心是旋转过程中位置固定的点，即点；旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角，因此是或． 故答案为：点；或． 【变式12-3】（24-25七年级下·四川成都·开学考试）如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是 ． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B为旋转中心． 故答案为：B． 【变式12-4】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）在中，，，点D为内一点，连接、． (1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° (2)延长交于F，交于M，求证：． 【答案】(1)C；90 (2)见解析 【分析】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，三角形的内角和定理等知识，正确理解相关的概念及性质是解决本题的关键． （1）根据图形旋转的定义求出结果即可； （2）由旋转的性质可得，对顶角，再根据三角形内角和定理推出，结论即可得证． 【详解】（1）解：由逆时针旋转得到了可知：点是的旋转中心，旋转角为． （2）证明： 由逆时针旋转得到了可知，， 在中，， 在中，， 而 ， 即． 【考点题型十三 根据旋转的性质求解】（） 【例13】（2025·安徽滁州·一模）如图，已知，过边上一点O作直线，经测量，要使，直线绕点O按逆时针方向至少旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转角以及平行线的判定和性质的运用，令，然后根据平行线的性质，可以求得的度数，再根据的度数，即可求得的度数． 【详解】解：令， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 即直线绕点O按逆时针方向至少旋转， 故选：B． 【变式13-1】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）如图，在中，，过点O作于点O，，连接．将绕点O按逆时针方向旋转，使得与重合，得到，则旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据将绕点O按逆时针方向旋转，使得与重合，得到，即可得出旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点O按逆时针方向旋转，使得与重合，得到， ∴旋转的角度是：， 故选：A 【变式13-2】（23-24七年级下·广东潮州·期中）如图所示，把一个直角三角尺绕着角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在的延长线上的点E处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转前后对应角相等可得，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：由旋转知，， C，B，E共线， ， 故选C． 【变式13-3】（24-25七年级下·江苏南京·单元测试）如图，已知直角三角形，，，，点、在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，……按照此规律继续旋转，直到得到点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，以及图形的规律问题，根据题意可知，旋转三次为一组，得到的长度依次增加，，，即可得出答案． 【详解】在中，， ，，，， 将绕着点顺时针转到位置①，得到点，此时， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点， 此时， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，得到点， 此时， 又 ， ， 故答案为：． 【变式13-4】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中点．指出旋转中心，并求出旋转角的度数和的长．    【答案】旋转中心为点A，旋转角的度数为， 【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质，先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角∠BAD的大小； 【详解】解：在中， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为， 由旋转得， ∵为的中点， ∴ ∴． 所以，旋转中心为点A，旋转角的度数为，． 【考点题型十四 画旋转图形】（） 【例14】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上． (1)将向左平移4格，画出平移后的对应； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的； (3)第（2）问中旋转过程中边“扫过”的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向左平移4格得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点B，C绕点A顺时针旋转得到点，，再首尾顺次连接即可． （3）首先勾股定理求出，然后得到旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）根据题意得， ∵绕点顺时针旋转得到 ∴旋转过程中边“扫过”的部分是以点A为圆心，以为半径的圆 ∴旋转过程中边“扫过”的面积为． 【变式14-1】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在方格纸中，的三个顶点和点都在小方格的顶点上．将绕点按顺时针方向旋转，在图上画出旋转后的． 【答案】图见解析 【分析】本题考查旋转作图，根据旋转的性质，画出即可． 【详解】解：如图，即为所求； 【变式14-2】（2025七年级下·江苏南京·专题练习）如下图，在的正方形网格中，三角形②和三角形③是由三角形①以点P为旋转中心逆时针依次旋转一定的角度后所得到的图形，请按下列要求作图． (1)在图中标出旋转中心点P的位置； (2)在图中作出再次逆时针旋转相同角度后的三角形④． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转变换作图，旋转的性质，解题的关键是： （1）根据旋转的性质并结合网格的特征，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心， （2）根据旋转的性质并结合网格的特征，找出各对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：旋转中心点P的位置如图所示， （2）解∶ 三角形④如图所示． 【变式14-3】（24-25七年级下·云南玉溪·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A，B，C，O四点均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出． (2)将绕着点O沿顺时针方向旋转90°，得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画平移图形、画旋转图形等知识点，掌握平移规律和旋转的性质成为解题的关键． （1）先根据平移规律得到点，再顺次连接即可解答； （2）先根据旋转的性质得到点，再顺次连接即可解答． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． 【变式14-4】（24-25七年级下·江西赣州·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段，的端点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中，将线段绕点顺时针旋转，画出线段； (2)在图2中，线段绕点旋转后可得到线段，画出点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转作图，找旋转中心，熟练掌握旋转的定义和性质是解题的关键． （1）根据格点的特点，过点B作即可； （2）连接、，则与的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求；    （2）解：如图，点P即为所求．    【考点题型十五 求旋转对称图形的旋转角度】（） 【例15】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转图形，由旋转图形得，即可求解；理解旋转图形的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 至少旋转才能与自身重合； 故选：D． 【变式15-1】（24-25七年级下·广东江门·期末）如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角的度数可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，解题的关键是判断图形，找到正确的旋转角度．把此图案绕看作正六边形，然后根据正六边形的性质求解即可． 【详解】解：， ∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时，能够与自身重合， ∴可以为． 故选：C． 【变式15-2】（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，点O是正八边形的中心，分别以各边为直径在正八边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案，这个图案绕点O旋转后能与自身完全重合，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转对称图形．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数． 【详解】解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心， ∴这个图案的最小旋转角为； ∴这个图案绕点旋转后能与自身完全重合，则的最小值； 故选：B． 【变式15-3】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ． 【答案】72 【分析】本题考查了旋转性质，涉及周角为，据此作答，观察出该图形被平分成五部分，这五部分完全重合是解题的关键． 【详解】解：因为该图形被平分成五部分，这五部分完全重合， 所以每个部分形成的角度：． 即旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 故答案为：72． 【变式15-4】（24-25七年级下·山西大同·期中）把正边形绕着它的中心旋转，所得的正边形与原正多边形重合，我们说这个正边形关于其中心有的旋转对称．下图是大同华严寺的木结构藻井，该藻井的图案可近似的看作旋转对称图形，则它的最小旋转角是 °． 【答案】45 【分析】本题考查了旋转对称图形．根据正八边形的性质，旋转中心为正八边形的中心，由于正八边形每个顶点到旋转中心距离相等，两个相邻的顶点可看作对应点． 【详解】解：正八边形每边所对的中心角是， 因此角的最小值是， 故答案为：45． 【考点题型十六 旋转综合题】（） 【例16】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 【变式16-1】（23-24七年级下·广东惠州·阶段练习）如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，根据，可得然后旋转后AB与即可得出结论． 【详解】∵， ∴， ∵C，A，在一条直线上， ∴， ∵旋转后AB与重合， ∴旋转角为 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转角度问题，正确理解题意是解题的关键． 【变式16-2】（2022·江苏泰州·一模）如图，在△ABC中，∠CAB＝40°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为 ． 【答案】100°/100度 【分析】根据平行线的性质和旋转的性质求出∠C′CA＝∠CAB＝40°，AC′＝AC，求出∠AC′C＝∠C′CA＝40°，根据三角形内角和求出∠C′AC即可． 【详解】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝40°， ∴∠C′CA＝∠CAB＝40°， ∵将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置， ∴AC′＝AC， ∴∠AC′C＝∠C′CA＝40°， ∴∠C′AC＝180°−40°−40°＝100°， 即旋转角的度数是100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题考查了旋转的性质和平行线的性质，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题的关键． 【变式16-3】（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式16-4】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图1，点O为直线上一点，将一副三角板摆放在直线同侧，将角的顶点与角的顶点重合放在点O处，三角板的顶点A与三角板的顶点D在直线上，三角板保持不动，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为． (1)如图2，当平分时，求t的值； (2)当时，画出相应的图形，并求t的值； (3)三角板在旋转过程中，若平分，平分，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质及角的和差关系，分情况讨论是解题关键； （1）根据平分，得出，然后表示出，在依据每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，即可得出方程，解答即可； （2）根据题意可分两种种情况讨论：①当过，但并未过，②超过延长线且未过延长线时，根据角平分线的性质和角的和差关系，表示即可解答； （3）分三种情况讨论①未超过时，②超过，但未超过时，③超过时，分别表示出，再根据平分，平分，根据角的和差关系即可求出，最后得出结论， 【详解】（1）平分， ， 绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为， ， （2）①当过，但并未过，如图 ， ， ，， ， ， ②超过延长线且未过延长线时，如图 ， ， ， ， ， 即：， ， 综上所述：t的值为或 （3）①未超过时，如图 ， ， ， 平分，平分， ， ， ②超过，但未超过时，如图 ，， ， ， 平分，平分， ， ， ③超过时， ，， ， ， 平分，平分， ， ， ， 综上所述：的度数为 1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，若平移的距离为7，，，则阴影部分的面积为（   ） A．50 B．54 C．56 D．49 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．根据平移的性质可得三角形也是直角三角形，，，，则，再求出，然后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积计算即可得． 【详解】解：∵将直角三角形沿方向平移得到三角形，平移的距离为7，， ∴三角形也是直角三角形，，，， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为 ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题关键．设，根据平行线的性质可得，，结合折叠的性质可得，进而可解得的值，即可获得答案． 【详解】解：设， 根据题意，， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴，解得， ∴． 故选：D． 4．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（　　） A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到 B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到 C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到 D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到 【答案】C 【分析】本题考查图形变换−平移，根据平移前后的图形，确定平移方式即可求解． 【详解】解：由图可得， 将先向右平移3格，再向上平移2格得到， 或将先向上平移2格，再向右平移3格得到； 将先向下平移2格，再向左平移3格得到， 或将先向左平移3格，再向下平移2格得到； 综上所述，只有选项C错误，符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图．如图，若，则的值是（　　）（用的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，正确得到，是解题的关键． 先根据平行线的性质得到，，再由折叠的性质得到，则，根据三角形内角和定理得到，则． 【详解】解：∵， ∴，， ∵纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 故选：D． 6．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）如图，直角的直角边，将沿边的方向平移到的位置，交于点，，， 则四边形的面积 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质可得，，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵直角的直角边，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形的面积， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，南湖公园有一块长为、宽为的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，小路（非阴影部分）宽为，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，求所走的路线（图中虚线）长 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．结合图形，利用平移的性质求解即可． 【详解】解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线（图中虚线）长为：（米）． 故答案为：106． 8．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在长方形中，将三角形沿着翻折得到三角形，此时，点在上，连接，在的右侧作，使得，当的一条边与平行时，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．分和两种请开给你进行讨论求解即可． 【详解】①如图，当时，延长交于点，则：， ∵翻折， ∴， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，同理可得：， ∵长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：或． 9．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G，D、C分别落在点M、N的位置上，若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等，翻折变换的性质是解题的关键， 根据两直线平行，内错角相等求出，再根据翻折的性质以及平角等于求出的度数． 【详解】解：∵长方形纸片的边， ∴， 根据翻折的性质可得， 故答案为：80． 10．（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，，，将沿直线向右平移2.5个单位得到，连接，，则有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结有 ．（填序号即可） 【答案】①②③④ 【分析】考查平移的性质,等边三角形的判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 对①、②③根据平移的性质得，，，从而即判断； 对于④，先根据平移的性质得，再根据平行线的性质得，据此即可判断． 【详解】解：如图， ①经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，则，，成立，故①②正确； ③经过平移，对应角相等，则成立，故③正确； 经过平移，对应点所连的线段平行，则，所以，故成立，故④正确． 故答案为：①②③④ 11．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是点、的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接与； (3)在（2）的条件下，请直接写出与的关系． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)平行且相等 【分析】本题主要考查了平移作图和平移的性质，熟练平移的性质是解答本题的关键． （1）观察点到点的移动规律，点向右平移了4个单位长度，向下平移了1个单位长度。找出点B、C的对应点E、F，顺次连接D、E、F即可得出结果； （2）直接连接即可； （3）根据平移的性质进行判断即可； 【详解】（1）如图：即为所求； （2）解：如图与即为所求； ; （3）∵是的对应点，是的对应点， ∴与是对应点所连的线段， ∵平移前后，对应点的连线平行且相等， ∴线段与是平行且相等． 12．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平移的性质以及平移的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移性质，得，则，结合条件，即可作答； （2）作平行交于点．根据平移性质，得与平行四边形相等，可求解． 【详解】（1）解：沿着方向平移至， ． ， ． 平移的距离是边的1.5倍， ． ． （2）解：作平行交于点D． 沿着方向平移至， ，． 、与平行四边形等高，． ． 平移的距离是边的倍， ． 设的高为h， ，， 平行四边形的面积三角形的面积， 四边形的面积为． 13．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)________，________； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，点经过相同平移后的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质；能熟练利用平移的性质进行求解是解题的关键． （1）由平移的性质得，，由平行线的性质即可求解； （2）由平移的性质得，由即可求解； （3）由平移的性质得，，，，即可求解； 【详解】（1）解：由平移得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：由平移得， ； （3）解：由平移得 ，， ，， ， ， ， ， 解得：， ． 14．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全； (2)平移过程中，线段扫过的部分的面积是 ； (3)若点和是关于直线l的对称点，请画出直线l的位置； (4)在方格纸中，存在一点Q，则能使和（点Q不与点A重合）的面积相等的格点Q共有　　　个． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 (4) 【分析】本题主要考查了作图一平移变换，轴对称等知识点，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质． （1）将三个顶点分别向左平移2个单位，向上平移4个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）利用平移的性质可知，线段扫过的部分是，利用方格即可求得面积； （3）根据网格和轴对称的性质画图即可； （4）点分布在过点且平行于的直线上，再确定此直线上的格点即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图， 线段扫过的部分（）的面积为， 故答案为：； （3）解：如图所示，直线即为所求； （4）解：如图所示，能使和(点不与点重合)的面积相等的格点共有4个， 故答案为：4． 15．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质； （1）由平行线的性质结合轴对称的性质可得答案； （2）由平行线的性质证明，结合折叠的性质可得，从而可得结论； 【详解】（1）解： ． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． （2）解：． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴， ∴． 28 / 76 学科网（北京）股份有限公司 $$