精品解析：四川眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题

彭山一中2027届高二下4月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A. 2 B. C. 10 D. 5 5. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象在的切线的斜率为0 B. 函数在上单调递减 C. 是函数的极小值点 D. 是函数的极大值 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有两个极值点 B. 直线是函数的切线 C. 的对称中心是 D. 有且仅有三个零点 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若恒成立，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________. 13. 已知函数，则______________________. 14. 若函数有2个零点，则m的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 已知函数在处的切线垂直于轴． （1）求实数的值； （2）求函数的极小值． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在上的最小值为，求的值． 18. 设函数. （1）若，求函数的极值点； （2）设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）. 19. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彭山一中2027届高二下4月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出求导公式、导数运算法则逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 2. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导后，代入即可构造方程求得结果. 【详解】，，解得：. 故选：B. 3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导函数与原函数之间的关系分析选项即可. 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D； 当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0， 再小于0，最后大于0，排除B. 故选:A. 4. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A. 2 B. C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合导数的定义分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 5. 点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 【详解】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 6. 如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数，构造新函数，根据新函数的单调性即可求解. 【详解】函数的定义域为,且, 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 因为在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 7. 已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数结合已知确定单调性，进而比较大小即得. 【详解】令函数，则，函数在上单调递增， 则，即，所以. 故选：B 8. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立，构造函数，，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解. 【详解】因为，不等式成立，即， 又，则恒成立， 令，可得， 当，，单调递增， 则不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立，即恒成立， 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当，函数取得最大值，最大值为， 所以，即，则实数m的最小值为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象在的切线的斜率为0 B. 函数在上单调递减 C. 是函数的极小值点 D. 是函数的极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可. 【详解】由图可知，所以函数的图象在的切线的斜率为0，故A正确； 由图可知时，，所以函数在上单调递增，故B错误； 由图可知时，，所以函数在上单调递增，不是函数的极小值点，故C错误； 由C选项可知函数在上单调递增，由图可知时，，所以函数在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确． 故选：AD. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有两个极值点 B. 直线是函数的切线 C. 的对称中心是 D. 有且仅有三个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，判断函数单调性，可判断极值点，判断A；根据导数的几何意义可判断B；计算可判断C；根据函数的单调性结合零点存在定理以判断D. 【详解】因为函数，所以， 令， 当或时，，在上都单调递增， 当时，，在上单调递减， 故为函数的极大值点，为函数的极小值点， 即有两个极值点，A正确； 不妨设直线是曲线的切线，则满足， 则，即切点坐标为， 而， 说明假设不成立，即直线不是曲线的切线，B错误； 因为， 故点是曲线的对称中心，C正确； 由A可知有两个极值点，且， ， 结合的单调性可知函数在各有一个零点， 即函数有3个零点，D正确； 故选：ACD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若恒成立，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调区间，即可求解；对于B，利用选项A中结果，结合，即可求解；对于C，分和两种情况，当时，恒成立，当，根据条件可得，构造函数，求出的最大值，即可求解；对于D，根据条件得到，再结合选项A的结果，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，由，得到， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项A错误， 对于选项B，由得到，由（1）知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，，又，所以的解集为，故选项B正确， 对于选项C，由，得到，当时，恒成立， 当时，由，得到，所以， 令，则，当时，，当时，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以， 则，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 则，由选项A知，在区间上单调递增， 所以，则，故选项D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意，先求出函数在处的导数，进而根据导数的几何意义得到答案. 【详解】k＝ . 故答案为：1. 13. 已知函数，则______________________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】， 故，故， 故答案为： 14. 若函数有2个零点，则m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数有两个不同的零点，即函数的图象与x轴有两个不同的交点，利用导数探讨函数的最值，建立不等式求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多1个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， 而当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大；当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大， 函数有两个不同的零点，当且仅当函数的图象与x轴有两个不同的交点， 因此，解得， 所以m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为4，最小值为 【解析】 【分析】（1）依题意有，据此求解即可； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值． 【小问1详解】 由题可知，，解得． 此时， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值．所以． 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增． 又因为， 所以函数在区间上的最大值为4，最小值为． 16. 已知函数在处的切线垂直于轴． （1）求实数的值； （2）求函数的极小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据斜率即可求解， （2）求导，得函数的单调性，即可根据极值的定义求解. 【小问1详解】 由可得， 则， 由于，故， 【小问2详解】 ， 当或时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极小值为 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在上的最小值为，求的值． 【答案】（1），在上单调递增；，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导函数结合参数的取值分析单调性； （2）根据函数单调性分情况讨论即可求出的值. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，故，在上单调递增， 当时，令得， 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可得：若，则在上单调递增，最小值为，与矛盾， 若，则的极小值点为， ①当，即时，在上单调递增，最小值为，与矛盾， ②当，即时，在上单调递减，最小值为，解得，满足， ③当，即时，最小值为，解得，即，但，不满足，故舍去， 综上，. 18. 设函数. （1）若，求函数的极值点； （2）设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）. 【答案】（1）函数的极大值点为，函数没有极小值点； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得单调性，据此可得的极值点； （2）由，可得.令，由导数知识可得 大致图像，随后由图象与有2个交点可得答案. 【小问1详解】 ， 则. . 则在上单调递增，在上单调递减. 则在时取极大值； 所以函数的极大值点为，函数没有极小值点； 【小问2详解】 令，因， 则.令，则. 令，则， 从而在上递增，又注意到， 则， 则， 从而在上单调递减，在上单调递增， 又，可画出大致图象. 又在上有两个零点等价于图象与有2个交点. 则由图可得. 19. 已知函数． （1）求在点处的切线方程； （2）当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3） 法一：由（2）得当时，恒成立， 即，令， 所以， 令，则， 故在上单调递增， 所以，即成立，得证． 法二：令， 先证，即证， 令， 当单调递增；当单调递减， 所以，所以，即得证， 因为，所以， 令， 则，令，所以， 所以在上单调递增，又因为， 所以使得，即，也即， 所以时，单调递减；时，单调递增， 所以，代入得， ， 又在时单调递减，而， 所以， 所以， 即成立，所以，原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）结合导数即可求得切线方程； （2）令，结合导数求出的最大值后，解不等式即可； （3）法一：结合（2）知，据此转化题目所证不等式，等价为证明，最后通过求导即可证明；法二：先证，据此转化题目所证不等式，等价为证明，最后通过求导即可证明． 【小问1详解】 ，令，所以切线方程为． 【小问2详解】 因为恒成立，即恒成立， 令，， 令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 故的最大值为， 因为恒成立，所以， 所以，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $