精品解析：四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

彭山第一中学高2026届四月考数学试题 一、选择题（共8小题） 1. 已知数列，根据该数列的规律，则是该数列的（ ）． A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项 2. 设函数在点处的切线方程为，则（　　） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（ ） A 10 B. 16 C. ±4 D. 4 4. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A. 1678 B. 1666 C. 1472 D. 1460 8. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题 9. 设是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若等差数列项数为，为所有奇数项的和，为所有偶数项的和，则 B. 若是等差数列，则是与的等差中项 C. 若是等比数列，则是与的等比中项 D. 若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知为等差数列，若（其中），则 B. 若等比数列的公比为q，则其前n项和为 C. 若，，，则数列的通项公式为 D. 若数列的首项为1，其前n项和为，且，则 11. 已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数可能取值为（ ） A. 1 B. C. D. 三、填空题（共3小题） 12. ．如图函数F(x)＝f(x)＋x2的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________. 13. 函数(x>0)的图像在点处的切线与x轴交点的横坐标为，且，则___________. 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程 （2）若，求函数的最大值与最小值. 16. 在等差数列中，的前项和为. （1）求数列通项公式； （2）求的最大值； （3）设，求. 17 已知等差数列和正项等比数列满足：，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，数列的前项和为，求. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 19. 拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得.已知函数，数列满足，且. （1）求，； （2）证明：数列等比数列； （3）若数列的前n和为，且设，问：是否存在实数p，q，使得对任意，总有成立？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 彭山第一中学高2026届四月考数学试题 一、选择题（共8小题） 1. 已知数列，根据该数列的规律，则是该数列的（ ）． A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项 【答案】C 【解析】 【分析】利用，再根据题中所给数列的规律即可求出结果. 【详解】因为，所以根据该数列的规律可知，是该数列的第项， 故选：C. 2. 设函数在点处的切线方程为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知，再根据导数值的定义即可选出答案. 【详解】由导数值的定义，，根据导数的几何意义，，即. 故选：A 3. 在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 10 B. 16 C. ±4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合等比数列的下标性质进行求解即可. 【详解】由题意可得：， 且数列为等比数列，则，可得， 注意到，可知， 则，所以. 故选：D. 4. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：C 5. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式可得，再结合等差数列的性质判断处的符号，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值， 即中最小的项是. 故选：B. 6. 函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导函数的部分图象可得和的解集，进而可得函数的单调性，从而结合选项选择即可. 【详解】设的零点分别为，其中， 当时，，当时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 只有选项B符合条件. 故选：B. 7. 已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A. 1678 B. 1666 C. 1472 D. 1460 【答案】B 【解析】 【分析】求出新数列的公差，确定新数列的项数，利用前项和公式求解即可. 【详解】第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6， 故新数列的公差是4和6的最小公倍数12， 则新数列的公差为12，首项为2， 其通项公式为， 令，得， 故， 则， 故选：B. 8. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求导可得,则可转化问题为在上有解,进而求解即可 【详解】由题,, 因为,则若函数在区间存在单调递减区间, 即在上有解, 即存在,使得成立, 设,则, 当时,, 所以,即, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数处理函数的单调性问题,考查已知函数单调性求参数,考查转化思想 二、多选题 9. 设是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若等差数列的项数为，为所有奇数项的和，为所有偶数项的和，则 B. 若是等差数列，则是与的等差中项 C. 若是等比数列，则是与的等比中项 D. 若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用等差数列的性质和求和公式分别求出、，两式作差可判断A正确；B选项，利用等差数列的求和公式求出的通项公式，由可判断为等差数列，根据等差数列的性质可判断B正确；C选项，令时，求出、、，即可根据等比数列中的项不能为0判断C错误；D选项，根据题意得，利用累加法及等比数列的求和公式求出的通项公式即可判断D正确. 【详解】A选项，奇数项有项，首项为，末项为，所以， 偶数项有项，首项为，末项为，所以， 所以，A选项正确； B选项，设等差数列的首项为，公差为，则，， 因为，所以数列为等差数列，因为，所以是与的等差中项，故B正确； C选项，因为是等比数列，设其公比为q，当时，，等比数列中的项不能为0，此时不是与的等比中项，故C错误； D选项，，当时， ， 满足上式，所以，故D正确. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知为等差数列，若（其中），则 B. 若等比数列的公比为q，则其前n项和为 C. 若，，，则数列的通项公式为 D. 若数列的首项为1，其前n项和为，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式计算判断A；利用等比数列前n项和公式判断B；倒序相加求和判断C；求出通项公式判断D. 【详解】对于A，设等差数列的为公差，由， 得 ，A正确； 对于B，等比数列的公比为q，当时，，此时无意义，B错误； 对于C，由，， 得 ，因此数列的通项公式为，C正确； 对于D，由，得当时，， 两式相减得，即，则当时，，而，因此，D错误. 故选：AC 11. 已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数可能取值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】原题意等价于与在内有2个不同的交点，构建，利用数形结合法求解． 【详解】因为，则， 令，可得， 原题意等价于与在内有2个不同的交点， 构建，则． 当时，，当时，， 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于时，趋近于， 其图象如下： 可得，解得， 结合选项可知：AC错误；BD正确. 故选：BD． 三、填空题（共3小题） 12. ．如图函数F(x)＝f(x)＋x2的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________. 【答案】-5 【解析】 【详解】因为F（5）=f（5）+5=-5+8=3，所以f（5）=-2． 又F′（x）=f′（x）+x， 所以F′（5）=f′（5）+×5=-1， 解得f′（5）=-3，f（5）+f′（5）=-5． 故答案为-5 13. 函数(x>0)的图像在点处的切线与x轴交点的横坐标为，且，则___________. 【答案】21 【解析】 【分析】利用导数求出切线方程，进而求出数列的通项作答. 【详解】函数，求导得，于是函数的图像在点处的切线斜率为， 切线方程为，而，令，得，又， 因此数列是等比数列，公比为，， 所以. 故答案为：21. 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数的大致图象，令可得，或，由条件结合图象可得的取值范围. 【详解】当时，，所以， 当时，，函数上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 且，，， 当时，，当时，， 当时，与一次函数相比，函数增长速度更快， 从而， 当时，，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且，， 当时，，当时，， 当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快， 从而， 当，且时，， 根据以上信息，可作出函数的大致图象如下： 函数的零点个数与方程的解的个数一致， 方程，可化为， 所以或， 由图象可得没有解， 所以方程的解的个数与方程解的个数相等， 而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等， 由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题 15. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程 （2）若，求函数的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，进而得出切线方程； （2）先求出导函数，进而得出单调性，最后得出函数的最值. 【小问1详解】 由题，则切线的斜率为， 故曲线在点处的切线方程为，即为； 【小问2详解】 ∵，令，解得：或， 令，解得：， ∴在单调递增，在单调递减，在单调递增； ∴，， 又，，，， 所以在上的最大值为，最小值为. 16. 在等差数列中，的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值； （3）设，求. 【答案】（1） （2）36 （3） 【解析】 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前项和公式，即可求得答案； （3）判断数列项的正负情况，讨论的取值，结合等差数列的前项和公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知在等差数列中，，设公差为， 则，解得，则， 故， 所以通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得前项和， 所以当时，取最大值36. 小问3详解】 因为， 所以当时，得， 即当时有；当时有； 当时，， 当时， ， 综上，. 17. 已知等差数列和正项等比数列满足：，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列定义由已知条件列出方程组，解得公差和公比即可写出数列，的通项公式； （2）由（1）可知利用等差数列和等比数列前项和公式即可求得； （3）利用错位相减法即可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为； 由，，可得， 解得或（舍），则； 所以，； 可得数列的通项公式为，的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 ， 即可得； 【小问3详解】 易知， 则， ； 两式相减可得 ； 所以数列的前项和为. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分和讨论即可，根据导数的符号判断原函数单调性； （2）先由函数的单调性求出的最大值，再将问题转化为，恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数分析单调性，求出最值即可. 【小问1详解】 由题意可知：函数的定义域为， 且，， ①当时，令得；令得； 可知在内单调递增；在内单调递减； ②当时，令得；令得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减. 【小问2详解】 当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减， 即当时，函数取得极小值，同时也是最小值. 若对任意，存，使， 等价于为，即，整理可得， 构建，则， 由，得，或（舍）， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，函数在内单调递减， 则当时，取得极大值同时也是最大值， 且，， 可知，则函数的最小值为， 可得，所以实数的取值范围为. 19. 拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得.已知函数，数列满足，且. （1）求，； （2）证明：数列为等比数列； （3）若数列的前n和为，且设，问：是否存在实数p，q，使得对任意，总有成立？ 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 分析】（1）根据题意，求出，化简，可得，从而求解，； （2）由，可得证； （3）先求出，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 根据题意，函数，则， 由，可得， 即， 化简为， 由，所以； 【小问2详解】 由，可得， 即，所以数列为首项为3，公比为3的等比数列； 【小问3详解】 由（2）可得，则， 所以， 则 ， 所以存在实数，满足题意. 【点睛】数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$