2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（特殊四边形问题）

2026年中考数学第一轮专题复习 二次函数压轴题（特殊四边形问题） 1．如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，M为抛物线的顶点． (1)求点A、点B的坐标和这个二次函数的解析式； (2)若将该二次函数图象向上平移（）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包含边界），求m的取值范围； (3)点P是抛物线上一动点，交x轴于点Q，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标． 2．如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知：拋物线与轴分别交于点、点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点是抛物线上一点，作直线与轴正半轴交于点，若，求点的坐标； (3)如果点在线段BC上，且以为顶点的新抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，过点向轴作垂线，交原抛物线于点，当四边形是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？ (3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标． 7．综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线解析式； (2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)当点到的距离最大时，点在直线上，则的最小值为_______． 8．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点．已知抛物线（、是常数）经过点、，抛物线与轴交于点．点是抛物线上任意一点（点不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包括端点）记为图象． (1)求、的值； (2)连结、，当的面积是面积的2倍时，求的值； (3)当图象的最高点与最低点的纵坐标的差为时，直接写出点的坐标； (4)已知，以点为对称中心构造矩形，轴．当抛物线在矩形内部的图象从左至右逐渐下降时，直接写出的取值范围． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点； (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求所在直线的解析式； (3)点为抛物线上一动点，且在第二象限； ①点为轴上一点，构造四边形，当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②如图2，过点作轴交线段于点，直接写出的最大值． 12．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)直接写出A，B的坐标与； (2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线于点D，求四边形面积的最大值及此时点E的坐标． 13．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)抛物线的对称轴上有一点P，当的值最小时，求点P的坐标； (4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 15．直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（特殊四边形问题）》参考答案 1．(1)，， (2) (3)或或 【分析】（1）令，求出点A个点B的坐标，再根据，求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式即可． （2）先求出点M的坐标，在求出的解析式，把代入的解析式，求出，再根据平移的性质得出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点落在的内部，得出关于m的不等式组求解即可得出答案． （3）分两种情况当点P在点Q的上方和当点P在点Q的下方时，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ， 或3， ，， ， ， 把的坐标代入，得：， ∴抛物线的解析式为；· （2）解：， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：，， ∴直线的解析式为． 把代入得， 由题意知，平移后的抛物线的顶点坐标为，又平移后的抛物线的顶点落在的内部， ， 解得∶； （3）解：当点P在点Q的上方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为3． 把代入抛物线的解析式得， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 当点P在点Q的下方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为． 把代入抛物线的解析式得， 解得：或（舍去）， ∴点P的坐标为． 综上所述，当点P的坐标为或或时， 以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形． 2．(1) (2)面积的最大值为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得二次函数的表达式； （2）设，作轴于点，则，，利用割补法，可得，即可得面积的最大值； （3）由待定系数法，可得直线的解析式为，设，由轴，可得，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中，令，得， ∴， 设， ∵点在直线上方，，， ∴，， 作轴于点，则，， 用割补法求面积： ∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积， 梯形的面积， 的面积， 的面积， ∴面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，点在上方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形是正方形，点在下方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为或或． 3．(1)， (2) (3) 【分析】（1）先利用待定系数法求得抛物线的表达式，然后将表达式化为顶点式即可求解； （2）设，过M作轴交y轴于G，过E作轴，两线相交于H，证明，根据相似三角形的性质可求出e的值，即可求解； （3）待定系数法求出直线的表达式，设，当点D在y轴左侧时，此时，点P不可能在上，故点D只能在y轴右侧，由新抛物线的对称轴与经过原点可知点，当垂直平分时，方程无解；当垂直平分时，则点与点G的纵坐标的绝对值相等，据此列出关于m的方程，解得m的值即可求得新抛物线的解析式． 【详解】（1）解：抛物线经过，， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为：， ∵， ∴顶点的坐标为 （2）解：∵ ∴， 设， 如图，过M作轴交y轴于G，过E作轴，两线相交于H， 则，，， ∴，即， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：∵ 设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 即直线的表达式为：； ∴设， 当点D在y轴左侧时，如图， 此时，点P不可能在线段上，故点D只能在y轴右侧， 由新抛物线的表达式知，其对称轴为， ∵以P为顶点的新抛物线经过原点， 则点， 当垂直平分时， 则， 此方程无解，即此种情况不存在； 当垂直平分时， 则，即， 解得：（舍去）或2， ∴， 设新抛物线的表达式为， 则， ∴， ∴新抛物线的表达式为：． 4．(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据，求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，， 解得或（舍去）， 点的横坐标为2， ． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， 直线的解析式为， ， 设在直线上，根据勾股定理得：， ， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 5．(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 6．(1) (2)存在，，的面积最大为1 (3)，或，或， 【分析】（1）将点A，点C的坐标分别代入解析式，即可求解； （2）过点N作轴于点E，交于点M，待定系数法的直线解析式为，设点N的坐标为，则点M的坐标为，，由三角形的面积及二次函数的性质即可求解； （3）①以为边，则，且；②以为对角线，则与互相平分；即可求解． 【详解】（1）解：抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，， ，， 将点A，点C的坐标分别代入得：， 解得：， ∴此函数的解析式为； （2）解：在下方的抛物线上，存在一点N使面积最大；理由如下： 如图1，过点N作轴于点E，交于点M， 设的解析式为，将点A的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， 设点N的坐标为，则点M的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，的面积最大，最大值为1；此时； （3）解：如图2，抛物线对称轴为直线， ①以为边，则，且． 设，则， ， 解得：，， 当时，； 当时，； 故，或，； ②以为对角线，则与互相平分， 设， 的中点， ． 把代入， 得：． ，， 综上所述，，或，或，． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数综合应用中的面积问题和特殊四边形问题，能熟练利用二次函数的性质及平行四边形的判定及性质进行求解是解题的关键． 7．(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或 (4) 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出、，得到抛物线解析式． （2）先利用待定系数法求直线、的解析式，再设点坐标，根据轴得、坐标，利用是中点列方程求解． （3）分情况讨论：①当，证明得，根据比例即可；②当，证明得，根据比例即可． （4）先通过竖直距离转化求到距离最大时的点，再利用三角函数将转化为竖直距离，结合垂线段最短求最小值． 【详解】（1）解：将，代入， ， 化简得， 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得：，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， 解得：，， ∴直线的解析式为； 设， ∵ 轴， ∴ ，， ∵ 是线段的中点， ∴ ， ， 化简得：， 解得：（舍去），， ∴， ∴ ； （3）解：存在，点的坐标为或． 分以下三种情况讨论： ①当时，如图，过点作轴于点， 过点作，交的延长线于点． 设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， 解得． ∴， ∴； ②当时，如图，过点作轴，过点作于点， 过点作交的延长线于点． 设，则，． ∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； ③当时，该情况不存在． 综上所述，点的坐标为或． （4）解：设，作轴交于，交轴于， ∵直线解析式为， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴 ∴， ∵在中，， ∴ ， ∵二次函数开口向下，当时，点到的距离最大， 此时即， 过作轴于，连接， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 当、、共线（即在上）时，， ∵，为到轴的距离， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求解、一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、二次函数的最值及线段和最小值问题，熟练掌握函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值求法及利用三角函数转化线段长度是解题的关键． 8．(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式中，得到关于a，b的方程组求解； （2）先根据（1）写出抛物线的解析式，再求出C点的坐标，从而可求出，再设，用m表示出，然后根据的面积是面积的2倍，列出关于m的方程求解； （3）先求得抛物线顶点坐标，确定抛物线开口向上，设，再分、、、四种情况，分别求出P点的坐标即可； （4）设P，先根据D点的坐标得出点D在直线上，再分点P在直线下方、点P在直线上、点P在直线上方三种情况讨论，分别求出m的范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点 和 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的解析式为， 令，得， ∴， ∴点到轴的距离为， ∵和 ， ∴的底边， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设， ∴点到轴的距离为， ∴， 当的面积是面积的2倍时， ∴， 当时， ， 解得：， 当时， ， 方程可变形为， 由于， 所以此方程无解， 所以的值为或； （3）解：抛物线， 顶点坐标为， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上， 设， 当时，如图， 在图象上，最高点为P点，点C为最低点， 当图象G的最高点与最低点的纵坐标的差为时， ∵， ∴， 解得：或，， ∵，， ∴不符合，，符合， 当时，点P的纵坐标为， 此时点P的坐标为； 当时，如图， 在图象上，最高点为C点，点P为最低点， 当图象G的最高点与最低点的纵坐标的差为时， ∴， 解得：或， ∵不在范围内，在范围内， ∴不符合，符合， 当时，点P的纵坐标为， 此时点P的坐标为； 当P在对称轴的右侧时，即此时，最低点为顶点， 若最高点为C，此时，如图， 则，不符合； 若最高点为P，，如图， 则， 解得：或， ∵，， ∴，都不符合； 若C、P两点关于对称轴对称时，，最高点的纵坐标为，如图， 则，不符合； 当时，此时点P在顶点处， 最高点为C，最低点为顶点， ∴，不符合， 综上所述，满足条件的点 P有两个：或； （4）解：设， 因为， 所以点D在直线上， 当点P在直线下方时，矩形与抛物线只有一个公共点P， 不存在：抛物线矩形内的部分始终是从左到右逐渐下降， 故不符合； 当点P在直线上时，， 解得：或， ∵， ∴，不符合， ，符合， 但此时不存在矩形，故不符合； 当点P在直线上方时，即或时， 因为， 所以不符合， 所以， 如图，可画出矩形， 因为是矩形的对称中心， 所以点D为的中点， 所以M的横坐标为， M的纵坐标为， 所以， 因为四边形是矩形， 所以， 所以点N的横坐标与点P的横坐标相同，即为m， 点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，即为， 所以， 因为抛物线， 所以顶点坐标为， 所以抛物线的对称轴为直线， 所以在y轴上，它在直线左侧， 在直线左侧的抛物线是从左到右逐渐下降的， 所以抛物线矩形内的部分始终是从左到右逐渐下降， 综上所述，当抛物线矩形内的部分始终是从左到右逐渐下降时，m的范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题(二次函数综合)，的最值，特殊四边形(二次函数综合)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 9．(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 10．(1) (2)点的坐标为，的最大值为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后设点的坐标为，过点作轴交于点，则点的坐标为，然后将，用的代数式表示出来，最后根据二次函数的性质求出面积的最大值； （3）根据平移规律求出抛物线，分情况讨论平行四边形的存在性：以为边或以为对角线两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：设抛物线的交点式为， 将点代入上式，得， 解得，， ，即； （2）设直线的解析式为，将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为过点作轴交于点，则点的坐标为， ， ， 当时，的最大值， 此时，点的纵坐标为，即； （3）原抛物线向左平移4个单位后，所得新抛物线，即， 抛物线的对称轴为轴， 设，， 情况1：以为边，四边形为平行四边形，根据中心对称的性质，得 ，解得， 点的坐标为; 以为边，四边形为平行四边形，根据中心对称的性质，得 解得， 点的坐标为; 以为对角线，四边形是平行四边形，根据中心对称的性质，得 解得， 点的坐标为; 综上所述，点 的坐标为 或 或  ． 【点睛】本题考查了一次函数的和二次函数的综合，用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，函数图象的平移，二次函数的性质及平行四边形的判定和性质，分类讨论思想，根据中心对称的性质及中点坐标公式求点的坐标是解题的关键． 11．(1) (2)直线的解析式为； (3)①点的坐标为；②的最大值为． 【分析】本题主要考查了二次函数解析式求解、一次函数的解析式求解和二次函数综合应用，准确分析计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （1）根据待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①根据平行四边形的性质求得，得到，据此求解即可； ②设，则，表示出的长，再利用二次函数的性质求出即可． 【详解】（1）解：将，代入中， 得，解得， ∴； （2）解：当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：①四边形为平行四边形， ∴，即轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标都等于3， 当时， ∴， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴，即点的坐标为； ②∵轴交线段于点， ∴设，则，∴， ∵， ∴当时，有最大值． 12．(1)，， (2)点P的坐标为或或 (3)面积有最大值为，点E的坐标为 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，二次函数和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系； （1）分别令和，求出的坐标，即可求解； （2）分当为平行四边形一条边、对角线，两种情况进行讨论，分别求解即可； （3）利用，即可求解． 【详解】（1）解：当，则， 解得：， 故，， 当时，，则， ； （2）解：①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 则点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故：点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点横坐标为：， 即：，解得：， 故点； 故：点P的坐标为或或； （3）解：直线的表达式为：， 设点坐标为，则点， ， ，故四边形面积有最大值， 当，其最大值为，点E的坐标为． 13．(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解． （2）求出直线的解析式，设，再根据题意设置F点和E点，利用列式计算即可． （3）根据菱形的性质，对是边和对角线两种情况进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）解：根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，运用待定系数法求函数解析式，菱形的性质．根据菱形性质，采用分类讨论法，正确设参数、列方程是解题关键． 14．(1)抛物线的解析式为 (2) (3) (4)存在，满足条件的点M的坐标为或或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出点B坐标，进而将点B，C坐标代入解析式中，建立方程组求解，即可得出结论； （2）将原抛物线化为顶点式，进而求出当时y的最值即可； （3）先判断出点P是直线与抛物线对称性的交点，再用待定系数法求出直线的解析式，即可得出结论； （4）设出点M，N坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，， ∵当时，， 当时，， ∴当时，； （3）解：由（2）知，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由（1）知， ， 即， ∵， ∴点A，C关于抛物线对称轴直线对称， ∴直线与对称轴直线的交点为点P， 设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （4）解：设点， ∵， ①当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； ②当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴， ③当与为对角线时，与互相平分， ， ∴， ∴； 即：满足条件的点M坐标为或或． 15．(1) (2) (3)点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、正方形的性质是解题的关键． （1）令，求点，令，求点，将点、点代入抛物线，即可求解； （2）设，由轴交于点，则，再由，可知，则有，连接，延长交轴于点，可证四边形是平行四边形，为等腰直角三角形，可求， ，，求出，，得到，即可求； （3）先求出，直线的解析式为，联立，求出，分四种情况讨论：①当时，点在上，点在上，可确定或，当时，，；②当时，此时轴，或，当时，；当时，． 【详解】（1）解：令，则， ． 令，则， ． 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线解析式为． （2）设， 轴交于点， ． ， ． ． ， ． 如图，连接，延长交轴于点， 四边形是平行四边形， ， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 点横坐标为， ∴，即， ． ． ，解得或（舍）． ． （3）令，则，解得或， ． 设直线的解析式为， 将，代入， ，解得， ∴直线的解析式为， ， ． 联立，解得 ． 以点，，，为顶点的四边形是正方形， ①如图2，图3，当时，点在上，点在上， 点在抛物线上， 或． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 此时与轴重合， 不符合题意． ②如图4，图5，当时，此时轴， 或． 当时，， ． 当时，， ． 综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是正方形，点坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $