精品解析：江苏徐州市泉山区第三十四中学2026年中考模拟质量检测一 九年级数学试题

徐州市2026年中考模拟质量检测一九年级数学试题 注意事项 1．本试卷共6页，满分140分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在本卷和答题卡的指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项对应的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况 5. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 6. 数学课上，老师在黑板上写了一个题目：“如图，在 中，，，，为的外接圆， P为上异于A，C的一点，求的度数．”对于以下两位同学的答案，下列判断正确的是( )甲同学说：“”；乙同学说：“．” A. 只有甲同学的正确 B. 只有乙同学的正确 C. 甲和乙的合在一起正确 D. 甲和乙的合在一起也不正确 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 8. 如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 2025年11月，神舟二十号和神舟二十一号航天员乘组进行中国空间站钥匙的交接仪式，中国空间站运行在距离地球约400000米的轨道高度，数字400000用科学记数法表示为_______． 10. 若函数的表达式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是_______． 11. 因式分解： =__________． 12. 若a为方程的解，则的值为________． 13. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 15. 若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是________． 16. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是________． 17. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 18. 如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程及解不等式组： （1）解方程：； （2）解不等式组． 21. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度； （3）若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 22. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 23. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 24. 2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 25. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知点A，B，C在同一条直线上，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． （1）若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； （2）若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 27. 根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． （1）作的一个内接等边三角形； （2）作的一个外切直角三角形． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，点E，F在直线上，且点E在点F的左下侧，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，分别连接，延长交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若的面积记作，的面积记作，线段在移动过程中，当的值最大时，求点E的坐标； （3）如图3，点D为该抛物线的顶点，连接，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市2026年中考模拟质量检测一九年级数学试题 注意事项 1．本试卷共6页，满分140分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在本卷和答题卡的指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项对应的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：， A错误； ，， B正确； ， C错误； ， D错误． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，按照规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵点的坐标为， ∴横坐标的相反数为，纵坐标仍为， 即点关于轴对称的点的坐标是． 4. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； C中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意； D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 6. 数学课上，老师在黑板上写了一个题目：“如图，在 中，，，，为的外接圆， P为上异于A，C的一点，求的度数．”对于以下两位同学的答案，下列判断正确的是( )甲同学说：“”；乙同学说：“．” A. 只有甲同学的正确 B. 只有乙同学的正确 C. 甲和乙的合在一起正确 D. 甲和乙的合在一起也不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理以及圆内接四边形对角互补；根据题意得出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：在 中，，，， ∴ ∴ 当在上时， 当在上时，， 故选：C． 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 8. 如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 2025年11月，神舟二十号和神舟二十一号航天员乘组进行中国空间站钥匙的交接仪式，中国空间站运行在距离地球约400000米的轨道高度，数字400000用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，需根据原数变为时小数点移动的位数确定，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，为正数，据此求解即可. 【详解】解：将用科学记数法表示可得 10. 若函数的表达式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负即可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴自变量的取值范围是． 11. 因式分解： =__________． 【答案】（x+4）（x-4） 【解析】 【分析】 【详解】x2-16=(x+4)(x-4)， 故答案为：(x+4)(x-4) 12. 若a为方程的解，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意得，将其变形与进行关联，即可求解． 【详解】解：∵a为方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 13. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”求得平移后的函数解析式，再根据二次函数顶点式的性质确定顶点坐标即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得平移后抛物线解析式为， 整理得， 所以平移后抛物线的顶点坐标为． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 15. 若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设这个圆锥的底面圆半径是，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径是， 根据题意得， 解得， 即这个圆锥的底面圆半径是． 故答案为：6． 16. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是________． 【答案】##米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键． 根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵坡的斜坡坡度， ∴，而， 即， 解得，， 经检验符合题意， 由勾股定理得，（米）， 故答案为：． 17. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 18. 如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据三角形的三边关系得出当点在的延长线时，的长度取得最大值，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴当点在的延长线时，的长度取得最大值， 由题意得，均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的长最大值为． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算； （1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，立方根，零指数幂进行计算即可求解； （2）根据分式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 解方程及解不等式组： （1）解方程：； （2）解不等式组． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用求根公式进行求解； （2）利用解不等式组的步骤进行求解． 【小问1详解】 解：， ∵， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为． 21. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度； （3）若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】（1）200，图见解析 （2）；108 （3）“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的应用，计算扇形统计图中的占比和圆心角，用样本估算总体，掌握好相关知识是关键． （1）用“偶尔”的人数除以占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可； （2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出占比，同样方法算出“较多”的占比，再乘以得出“较多”对应的圆心角； （3）计算出“一直”在样本中的占比，再乘以全校学生数即可． 【小问1详解】 解：对比两个统计图可知，“偶尔”的人数为人，占比， ∴本次抽查的人数为（人）， ∴“较多”的人数为（人）， 补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 解：“较少”的百分比为， ∴， “较多”对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名． 22. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 23. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 24. 2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 （2）；W的最大值为4500元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∵，， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 25. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点D处安装测角仪，测得信号杆顶端A的仰角为，与坡面的夹角β为，又测得点D与信号杆底端B之间的距离为．已知点A，B，C在同一条直线上，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，利用锐角三角函数进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵均与水平线垂直， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． （1）若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； （2）若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； 正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； 【小问2详解】 解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 27. 根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． （1）作的一个内接等边三角形； （2）作的一个外切直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先任意作一条直径，再分别以直径的端点为圆心，的半径为半径画与相交的弧，间隔一个弧连接可得等边； （2）过M作直线，交于D，过D作的垂线，过M作的垂线，交于E，过E作的垂线交于C，作射线交于F，过F作的垂线交于A，交于B，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 作图理由：由作图痕迹得， ∴，则为等边三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求： 作图理由： 由作图痕迹，，又是的半径， ∴与相切， ∵， ∴， ∵，是的半径， ∴与相切，， 同理与相切， ∴为的一个外切直角三角形． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，点E，F在直线上，且点E在点F的左下侧，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，分别连接，延长交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若的面积记作，的面积记作，线段在移动过程中，当的值最大时，求点E的坐标； （3）如图3，点D为该抛物线的顶点，连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数，两直线的交点，最短路径，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）可得的面积为定值，当的面积取最大值时，的值最大，当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时，求得点，即可求点； （3）过点作，截取，连接，得到的最小值为，利用两点距离公式即可解答． 【小问1详解】 解：把，代入， 可得， 解得， 所以抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，可得， 解得， ， 点到直线的距离为定值， 的面积为定值， 当的面积取最大值时，的值最大， 当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得，，解得， 所以直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 联立方程， 解得， 把代入，可得， ， 如图，作轴，作交于点， ， ， ， 轴， ， 为等腰直角三角形， ， ，即； 【小问3详解】 解：如图，过点作，截取，连接， ， 四边形为平行四边形， ， ， 当三点共线时，取最小值，最小值为， 根据（2）可得点的横坐标，纵坐标比点的的横坐标，纵坐标都大， ，即， ， ，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $