2026届高考数学压轴题冲刺演练（四）圆锥曲线

2026届高考压轴题冲刺演练（四） 圆锥曲线 1．（2026·河北·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为E，且 ，点在C上. (1)求C的方程. (2)已知A，B是椭圆 上的点，是C 上一点，若线段 PA，PB 的中点都在上，记 （i）当点 P 运动时，证明：的面积是定值； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）的面积定值为，证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用焦点距离关系与椭圆基本量关系求出，再代入已知点得方程 （2）（i）由中点条件推出共线方程，联立直线与椭圆，用弦长公式和点到直线距离，结合的椭圆方程化简得面积为定值；（ii）用三角形面积公式与向量点积将表示为关于点积的函数，利用韦达定理求点积范围，从而得的取值范围. 【详解】（1）由题意得，， 因为，所以，整理得， 联立，整理得，即， 所以，代入得，解得，则， 所以椭圆的方程为： （2）（i）设在上， 则的中点为在上， 代入得，整理得， 代入得，整理得， 因为在上，则，在上，则， 联立，整理得， 联立，整理得， 因此在直线上， 联立，得，则， ， 直线的斜率为， 则， 点到的距离， 则， 因为即，代入得， 即的面积是定值. （ii）设，则， ， 故， 由（i）知， ，则 ， 结合， 整理得， 其中，故， 则. 2．（2026·浙江温州·二模）已知曲线与点，O为原点，动点，且的最大值为． (1)求曲线E的方程； (2)已知有个点，，，…，按逆时针顺序依次在E上，且，． （ⅰ）当，关于y轴对称，且的面积为1时，求直线的斜率； （ⅱ）当的面积都相等时，记多边形的周长为．若对于，都有，求整数的最小值． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）9. 【分析】（1）设过点的切线方程，联立曲线方程，根据判别式等于0即可得到答案； （2）（i）利用参数方程法，设出点坐标，代入计算即可； （ii）设，写出相关面积表达式，再分和时讨论即可. 【详解】（1）设过点的切线为． 联立． 因为是切线，则， 化简得，则， 又取最大值时，为切线，且． . （2）（i）由（1）知椭圆为． 设. 则. 又. 因,则得, 故，即直线的斜率为． (ii)设， . 则． 题目条件为各面积相等，． 当时，设． 记． 则， 设，则， . 又， . 当时，若存在，由得． 又，其余各，这与矛盾． ． 记．则 . 故. 又， . 由柯西不等式，． 又． 又． 取，则满足面积相等， 且． 又对一切满足条件的，都有． 3．（2026·山东青岛·一模）已知为坐标原点，椭圆：（）的离心率为，长轴长为4. (1)求的方程； (2)若过的直线交于，两点，点在上，点为直线与轴的交点，点的横坐标为点横坐标的3倍. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若点，都在曲线：（）上，求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【分析】（1）利用离心率及长轴长计算即可得； （2）（ⅰ）法一：设，，借助点差法计算即可得；法二：设：，联立椭圆方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出与后，由可得，即可得证；（ⅱ）设，，则有，两式相乘可得，则可得，设，可得在上单调递增，故可得，即可得解. 【详解】（1）由题得，，，得，，， 所以的方程为； （2）（ⅰ）（法1）设，，，， 因为，两式作差得：， 又因为，即，所以， 所以； （法2）由题可知直线斜率存在且不为0， 设：，，，，， 由，得，所以， 所以，， 因为，则，即有，所以； （ⅱ）设，，其中，，， 因为，所以， 两式相乘得：，又因为， 所以， 所以， 令（）， 所以， 令，又因为在区间上单调递增； 所以， 显然在上单调递增，因为，得， 所以，所以（当且仅当，时取等号）， 综上，的最大值为. 4．（25-26高三下·江西·月考）若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆分别为左､右顶点且离心率.直线过交椭圆于两点.当直线垂直于轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)连接，并过两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点，过作的平行线交于点，直线（为坐标原点）交直线于点，直线和直线的斜率分别为和两点横坐标分别为. 证明（i）为定值： （ii）为定值. 【答案】(1)； (2)（i）（ii）证明见解析. 【分析】（1）代入点坐标并结合离心率公式即可得到方程组，解出即可； （2）（i）设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，得到和积关系式，再代入计算即可； （ii）根据切线方程结论得到两直线方程，联立得到，再计算得，从而有，即得. 【详解】（1）由题意可知在椭圆上，且由，可得， 联立方程，所以椭圆. （2）（i）由题意可知直线不与轴重合，设直线， 点，. ， . 又因为，所以， （ii）由题意可知过点的切线和点的切线分别为：，和， 联立方程. ，所以. 直线，直线， ， ，又由（i）可知，所以， 即. 可得为中点，所以，即． 5．（2026·广东广州·一模）已知双曲线：（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上． (1)求的方程； (2)点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （ⅰ）设，，求的最大值； （ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）4；（ⅱ） 【分析】（1）由焦点到渐近线的距离求得，再将点代入到双曲线方程即可求解； （2）（i）设出渐近线上的点，由中点坐标和得出的轨迹为椭圆，发现为其焦点，结合椭圆的定义即可求得，再使用基本不等式即可求解；（ⅱ）由及正弦定理，用坐标表示，并使用三角函数恒等变换和椭圆方程消去，得到比值关于的表达式，结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）设右焦点，其中一条渐近线方程为，即， 由题意得到的距离， 即，因为点在上， 将代入，得，解得， 即双曲线. （2）（i）由（1）得渐近线方程为，设， 设，则有，即， 则， 所以， 即，整理得， 即的轨迹是椭圆，易得其焦点为，长半轴长为2， 所以是点轨迹的焦点，所以， 则，当且仅当时等号成立. （ⅱ）在中，由正弦定理得， 因为，所以应在轴右侧，即， 且， 所以，设，则， 不妨令，因为在上，且， 所以， 又， 联立，整理得， 而，解得， 设，则， 易得当时，则在上单调递增， 所以，即，因为短半轴长为1，因此， 由整理得， 因为，解得， 因为，代入，所以整理得， 令，则，则，代入， 整理得， 设其中， 易得当时单调递增，则单调递减，单调递增，单调递增， 单调递增，单调递增，最终有在上单调递增， 所以，即. 由于椭圆的对称性，当时结果一致， 综上， 6．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，且点. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）①设点、，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线、的斜率之和； ②设的外接圆方程为，分析可知方程与方程为同解方程，可得出关于、、的方程组，解出、，可得出点的坐标，求出直线的方程，当时，求出直线的方程，取点为直线与轴的交点，结合勾股定理可得出结论. 【详解】（1）双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）①设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立，可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. ②设的外接圆方程为， 则， 由代入， 可得， 可得， 同理可得， 所以、为关于的方程的两根， 又因为、为关于的方程的两根， 所以方程与方程为同解方程， 所以，解得， 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 直线与轴的交点为，不妨取点，此时， 则， 故在轴上存在定点，使得为定值. 7．（2026·四川广安·二模）已知双曲线的离心率为，点为双曲线上的点，按如下方式依次构造点（且），过点作斜率为的直线与双曲线的另一支交于点，点关于轴的对称点为，记的坐标为． (1)求曲线的方程； (2)证明为等比数列； (3)记的面积为，四边形的面积为，求取何值时最小． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)时 【分析】（1）借助离心率与及双曲线上的点计算即可得； （2）由题意可得，联立曲线方程，可表示出， 从而可用、表示出、，再表示出后利用等比数列定义即可得证； （3）表示出可得数列也为等比数列，则可表示出、坐标，再利用三角形面积公式计算可得，由点关于轴的对称点为，可得，则可表示出，最后得到后，利用及对勾函数性质计算即可得. 【详解】（1）由题意可得，则，故， 故有，解得，则， 即曲线的方程为； （2）由题意可得， 由点关于轴的对称点为，则， 联立，则， 则，则， ， 故， 又，故为以为首项，为公比的等比数列； （3）由（2）知为以为首项，为公比的等比数列，则， 由，， 则， 又，故为以为首项，为公比的等比数列， 则， 故，， 设，则，， 则，即， ，即， ，即， 则 ， 故， 由， ， ， ， 则 ， 由点关于轴的对称点为，故轴， 故， ， ，， 则 则， 由在上单调递减，在上单调递增， 且，，则当，即时， 有最小值，则. 8．（2026·江苏南京·一模）已知圆，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点． (1)若，求的坐标； (2)证明：数列为等比数列； (3)已知，设及的面积分别为，，若存在正整数，使得，求所有可能的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或． 【分析】（1）根据，代入坐标运算，即可求解； （2）根据向量关系，并联立直线和圆的方程，求得点的坐标，再根据等比数列的定义证明； （3）根据（2）的结果求通项公式，表示点和的坐标，并代入求，同时将条件等式变形为的形式表示，并构造函数，判断函数的单调性，分情况代入数值求. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 由得或 因此． （2）因为，，， 所以，， 由得或 因此，， 因为，即， 所以， 因此， 又，所以， 因此，即数列为等比数列． （3）由（2）得，即， 于是， 注意到，因此， 由，， 得， 因此， 因为， 所以，即， 设，，， 则， 因为，， 所以， 所以，即单调递增． 又，， 所以或2， 若，则，， 当时，， 因此或3， 当时，，解得， 当时，，解得． 若，则，， 当时，， 因此， 所以，解得（舍）， 综上，或． 9．（2026·广东·一模）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最小值； (3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 【答案】(1) (2)9 (3)证明见解析 【分析】（1）依题意列出关于的方程组，求解即得双曲线的标准方程； （2）设直线的方程为与双曲线方程联立，推得，写出的表达式，利用的范围，即可求得的最小值； （3）先证明与边的切点即为点，再证，由此推得点在直线上，再证，结合，且，可得点均在上，即得证. 【详解】（1）不妨设点在第一象限，点在第四象限，离心率① ， 在中，当时，，故，即②  ， 又因③ ，联立① ②③，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）得，当直线的斜率为0时，直线与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 由，化简得， 设，则，解得， 则， 因，则，故，即. 故的最小值为9. （3）如图，设与边切于点， 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得， ，即点与点重合，即与边切于点. 设与边切于点，则， 在中，. 设点，点，则，解得， 即点在直线上，过点作直线的垂线，交直线于点， 其中，， 设点关于直线的对称点为点，所以. 因为点与点，点与点分别关于直线对称， 所以，且， 所以点均在上，且， 所以. 10．（2026·江苏·一模）已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)证明：的外接圆的圆心在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用双曲线的几何性质，列出方程组，求得，即可求解； （2）设，联立方程组，由，求得，且，结合，根据向量数量积的运算公式，列出方程，求得的值，即可求解； （3）由（2）求得线段的垂直平分线的方程为，设点的坐标为，根据及，列出方程，化简得到，代入，求得，得到圆心在定直线上，即可得证. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且是上一点， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，解得，所以或， 且， 因为，可得， 又因为， 可得， 所以 ， 将代入上式得， ， 因为，可得，即， 解得或， 又因为或，所以， 所以直线的方程为. （3）由（2）知，可得的中点的横坐标为， 则点的纵坐标为，即， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 设点的坐标为， 因为，可得 ， 又因为， 代入得， 整理得， 又由，可得， 则，可得， 其中， 则， 整理得， ①当时，两边同除以，可得， 代入，可得，即， 所以的外接圆的圆心在定直线上； ②当时，即时，可得直线的方程为， 此时点满足直线的方程，此时三点共线，不能构成三角形，舍去， 综上可得，的外接圆的圆心在定直线上. 11．（25-26高三下·山东·月考）已知动圆过点，且与相切，记该动圆的圆心轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若，直线与交于两点（点在点的右侧），直线与交于两点，在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为． （ⅰ）证明：三点共线； （ⅱ）若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）的最大值36 【分析】（1）根据已知条件可得的轨迹为抛物线，可求得的方程； （2）（ⅰ）设线段的中点为，利用向量证明三点共线，同理可证三点共线，进而可得结论； （ⅱ）将转化为四边形面积，将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出直线和直线的方程，则可求出坐标，然后利用面积公式求解最值即可. 【详解】（1）已知圆过点，且与相切， 所以圆心到点的距离与点到直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹为抛物线，且点为焦点，直线为准线， 设抛物线方程为，则，所以. 所以曲线的方程为. （2）（ⅰ）设线段的中点为， 因为，所以可设， 因为， 所以三点共线，同理，三点共线，所以三点共线． （ⅱ）设，的中点为，的中点为， 将代入得， 所以，解得， 所以，，所以， 同理，，所以，（均在定直线上）， 因为，所以与面积相等，与面积相等； 所以等于四边形的面积， 设，直线：，即， 整理得，直线：，又，所以， 同理，直线：，又，所以， 所以 ， 所以四边形面积 ， 当且仅当，即，等号成立， 所以四边形面积的最大值为36，即的最大值为36. 12．（2026·四川·模拟预测）已知椭圆的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆的方程； (2)若动直线l与椭圆有且仅有一个公共点，过原点O作l的垂线，垂足为M，设点M的轨迹为E． （ⅰ）求轨迹E的方程； （ⅱ）以坐标原点O为公共端点作两条互相垂直的射线，，分别与E交于点P，Q，与椭圆交于点，，求以P，，Q，为顶点的四边形的面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）根据短轴长求出，再由离心率得到与的关系，最后结合椭圆的基本关系式解出，从而确定椭圆方程； （2）（i）先设出直线方程并与椭圆联立，利用相切条件得到参数关系，再结合垂足在直线上且与直线垂直的条件，消去参数后得到轨迹方程，最后验证斜率不存在的情况；（ii）先设两互相垂直的射线斜率为与，分别求出四条线段长度的平方，利用发现的倒数关系表示四边形面积，再通过换元法转化为二次函数最大值，进而得到面积的最大值. 【详解】（1）已知椭圆，离心率，短轴长， 由短轴长得，由离心率，得， 结合，得，解得， 因此，椭圆的方程为：. （2）（i）若动直线的斜率存在，设其方程为， 联立直线与椭圆方程：，得， 直线与椭圆相切，故判别式，即，可得， 因为，所以直线的斜率为，设点的坐标为，则有：，即， 点也在直线上，所以，即 代入， ， 整理得轨迹的方程：（当时，，，代入上式也成立）； 若动直线的斜率不存在，切线方程为，过原点作垂线，垂线即轴，垂足的坐标为，满足， 综上，轨迹的方程：. （ii）点在轨迹上，将代入得： ，即，则， 同理可得， 点在椭圆上，代入得，即， 则，同理可得， 因为，四边形面积 因为，令，则， 因为与在时都是增函数，所以是增函数. 因为，令，则，， 则， 令，，则当时，即时，取得最大值， 最大值为，此时， . 13．（2026·河南南阳·一模）用圆规画一个圆，然后在圆外标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出直线与折痕所在直线的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，…进行折叠并得到标记点，，…，设圆的半径为4，点到圆心的距离为6，以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，所有的点，，，…形成的轨迹记为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)设为曲线上第一象限内的一点，记的重心为，内心为． ①若，求点的坐标； ②连接交曲线于第四象限一点，设的内心为，求四边形的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）由已知可得，进而由双曲线的定义知点，，，形成的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线，进而可求曲线的标准方程； （2）①由 得，可求得内心的纵坐标及的内切圆半径为，结合三角形面积公式计算可解得，再联立的距离方程与双曲线方程即可求得的坐标；②利用双曲线定义与三角形内切圆性质，先求内切圆在轴上的切点横坐标均为，进而可得和均为角平分线，通过直线倾斜角为，将转化为，再通过计算即可得出结果. 【详解】（1）把圆周上的点折叠到点，折痕所在直线是的垂直平分线， ∴，， 若不断在圆周上取新的点，，…，进行折叠并得到标记点，，…， 总有，成立， 符合双曲线定义，故点，，，…形成的轨迹是以，为焦点， 以为实轴长的双曲线，故， 由，得，∴，， 即曲线的标准方程为：． （2）方法一： ①设点（，），则的重心的坐标为， 由题知，即内心的纵坐标为，也即内切圆半径为， 于是由， 得，而，， 即，解得， 从而有，解得， 所以点的坐标为． ②设内切圆与轴的切点为，其横坐标为． 根据双曲线定义和内切圆性质： ，， 联立解得：，， 所以圆心的横坐标为：， 同理的内切圆与轴的切点横坐标也为2， 连接和，则和均为角平分线， 设直线倾斜角为，通过几何关系得：， 由题，均在右支上，可知，或，从而可得，即， 所以， 即的取值范围． 方法二： ①连接并延长交轴于，由题知，即， 由角平分线性质知：，于是有，且， 解得，，故，易得； 设内切圆与轴的切点为，其横坐标为． 根据双曲线定义和内切圆性质：，， 联立解得：，， 所以圆心的横坐标为：， 于是，即，故， 代入曲线得， 所以点的坐标为． ②，由①知的横坐标为2，同理的内切圆与轴的切点横坐标也为2， 连接和，则和均为角平分线，设直线倾斜角为，通过几何关系得： ， 由题，均在右支上，可知，或，从而可得即， 所以， 即的取值范围是． 14．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线的焦点F到直线的距离为． (1)求抛物线的方程． (2)点为直线上的一点，过点作的切线，切点分别为． ①问：直线是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． ②若点在抛物线的准线上，切点在第一象限内，存在过点的直线与相交于两点，过点作平行于的直线，分别与直线和直线交于点，若，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）由题意，根据点到直线距离公式计算即可求解； （2）①求得切线方程，由题意在切线方程上可得直线的方程为，由此计算可解；②直线的方程为，联立，可得，设，直线的方程为，可得，设直线的方程为，联立可得，设直线的方程为，联立可得，由此可计算，计算可解. 【详解】（1）由题意可得， 故焦点到直线的距离， 所以，解得或（舍去）； 所以抛物线的方程为； （2）设抛物线在点的切线方程为， 切线与抛物线联立方程组，得， 则， 化简可得，所以， 因为点在抛物线上，则，所以， 所以切线方程为，即， 将代入化简可得， 所以抛物线在点的切线方程为； ①设，因为抛物线， 所以点处的切线方程为，点处的切线为， 设点，由题意可得，点在直线和直线上， 所以， 所以直线过点， 所以直线的方程为，故， 令，解得， 所以直线过定点； ②由题意可得，直线的方程为，联立，解得，所以， 设，直线的方程为， 联立方程，解得， 设直线的方程为， 所以， 所以直线的方程为， 联立方程，解得， 设直线的方程为， 联立方程，消去可得， 由韦达定理可得，， 整理可得， 所以 ， 所以，即. 15．（25-26高三下·河北沧州·月考）平面直角坐标系中，抛物线：上的点到的最小距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过点不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，记点关于轴的对称点为. （i）证明：直线过定点； （ii）记的外接圆圆心为，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）首先设抛物线上任意一点为，利用两点间距离公式表示该点到的距离平方，转化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求最小值，进而求出. （2）（i）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理得到和，再写出直线的方程，分析定点. （ii）先求的外接圆圆心的坐标，再表示出直线的斜率，结合的取值和的范围求斜率范围. 【详解】（1）设抛物线上任意一点为. 由得. 则点到点的距离的平方为 . 令，. 其对称轴方程为.① 当，即时，在处取得最小值，即， 由题意知的最小值为，则， 即.解得或. 因为，所以.② 当，即时，在区间上单调递增； 在处取得最小值，此情况无解. 综上所述，，故抛物线的方程为. （2） （ⅰ）由（1）知的方程为，点的坐标为. 设直线的方程为. 联立直线与抛物线方程，即. 设，，则，. 由题意知点的坐标为，直线的方程为. 因为，，所以， 代入得直线的斜率为， 整理得，即， 将代入得， 所以直线恒过定点. （ⅱ）设的外接圆圆心为， 则到，，三点的距离相等，即， 由得， 也即. 因为，代入得 ， ， 也即. 因为点在抛物线上，且在轴上，故， 所以，解得. 同理，由可得. 由，化简得. 因为直线与抛物线交于两点，且构成三角形，故， 所以，即. 因为，所以. 由得，也即， 将代入得， 则点的轨迹方程为（其中）. 设直线的斜率为，则，所以. 将轨迹方程代入，得. 令， ， 令.因为， 当时，，即在上单调递增，又， 故当时，，函数在上单调递增，则， 又，即，解得或. 综上所述，直线斜率的取值范围是. 16．（2026·广东佛山·二模）已知椭圆的左顶点，上顶点． (1)求椭圆的方程和直线的方程； (2)过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点． （i）求证：直线的斜率之和为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，直接写出椭圆及直线方程. （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，进而求出点的坐标，再利用斜率坐标公式计算得证；（ii）由（i）求出点坐标，进而求出三角形面积关系，利用换元法，结合导数求出最大值. 【详解】（1）由椭圆的左顶点，上顶点，得， 所以椭圆的方程为，直线的方程为. （2）（i）直线斜率存在，设其方程为，点 由，得，则， 解得，即点， 直线交直线于点， 由点是线段的中点，得点， 因此直线的斜率，即， 所以直线的斜率之和为定值. （ii）由（i）同理得，， 点到直线的距离， 则的面积， 显然，，令， ，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 当时，，所以面积的最大值为. 17．（2026·湖北襄阳·一模）如图，设抛物线方程为，点P为直线上任意一点，过P作抛物线的切线，切点分别为，． (1)若的坐标为，求证：直线的方程为； (2)已知P点的坐标为，，求此时抛物线的方程； (3)是否存在点，使得点关于直线的对称点D在抛物线上，其中点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)存在， 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）设，则可得的方程为，结合点坐标及、在抛物线上，可得，是方程的两根，则可得与，有关韦达定理，再表示出直线的斜率后，利用弦长公式计算即可得解； （3）设，结合（1）、（2）中所得，可得，再利用在抛物线上，可得或，即有或，再分及讨论即可得. 【详解】（1）由得， 当时，， 所以，则的方程为：， 则，又， 故； 当时，， 所以，则的方程为：， 则，又， 故； 综上可得，； （2）设，由（1）可得的方程为， 又P点的坐标为，，则， 又，所以，同理， 所以，是方程的两根， 因此，，又， 由弦长公式得， 化简得，即， 所以或（负值舍去），因此所求抛物线方程为或； （3）设，由题意得， 则的中点坐标为， 由（1）（2）可知：直线的方程为， 由点在直线上，中点也在直线上， 则，， 作差得，即， 若在抛物线上，则， 因此或，即或； ①时，则，此时，点适合题意； ②当，对于，此时，， 又，由，所以， 即，矛盾，故不符； 对于，因为，此时直线DH平行于x轴， 又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾； 所以时，不存在符合题意的P点； 综上所述，仅存在一点适合题意. 18．（2026·浙江·模拟预测）已知抛物线：焦点为，直线与抛物线有且只有一个交点. (1)求抛物线的方程； (2)设抛物线的准线与轴交于点，过点作直线与抛物线交于两点. （i）若的面积为4，求直线的方程； （ii）设内切圆的半径为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）联立直线方程与抛物线的方程，得，由求得，从而得到抛物线的方程； （2）（i）易得，设，代入得，.设，结合韦达定理，根据的面积，求得的值，即可得到直线的方程；（ii）利用三角形的面积公式，将表示为的函数，利用导数分析其单调性，并求得其最大值. 【详解】（1）由得，由已知可得， 所以抛物线方程为； （2）（i）抛物线的准线方程为，所以. 设，代入得，， 设，且，则. ，所以， 所以直线l的方程为：或； （ii）由（i）得 ， ， . 设，则 显然关于m是增函数. 令，则， 两边平方，化简整理得，此时对应的值满足题意. 由于关于m是递增函数，；， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值为. 19．（2026·四川泸州·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于两点（点在轴上方），点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． (1)若的倾斜角为，求； (2)探究直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由； (3)若线段的中点分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，结合抛物线关系化简出直线的方程，由于直线过，代入得，由的倾斜角得出斜率关系，得，结合抛物线定义求弦长； （2）结合（1），设，得出，，，得出直线所过定点； （3）结合（1）（2），令，设与轴交于，逐步表示出点的坐标，利用得出的表达式，换元求范围即可. 【详解】（1）设， 当不与轴垂直时，直线的两点式方程为， 代入整理得， 当与轴垂直时也符合， 故直线的方程为. 由于直线过，代入得， 若的倾斜角为，则，则，， 则. （2）设，由（1）同理可得直线的方程为， 由于直线过点，代入得， 设，则直线的方程为， 由于直线过，代入得， 则， 直线的方程为， 即，过定点. （3）由（1）（2），令，则，，， 则，， ，， 设与轴交于， 直线的两点式方程为， 代入得， 则， 设，则， 则， 由于，则单调递增， 则， 的取值范围为. 20．（2026·河北衡水·模拟预测）已知动圆过点，且与相切，记该动圆圆心轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若，直线与交于点，直线与交于点，点在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为． ①证明：三点共线； ②若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②16 【分析】（1）设，根据题目条件列式化简可得轨迹； （2）①设线段的中点为，利用向量证明，，三点共线，同理可证，，三点共线，进而可得结论； ②将转化为四边形面积，将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出直线和直线的方程，则可求出坐标，然后利用面积公式求解最值即可. 【详解】（1）已知圆过点，且与相切，所以圆心到点与点到直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹为抛物线，且点为焦点，直线为准线. 设抛物线方程为，则，所以，故. 所以曲线的方程为. （2）①设线段的中点为， 因为，所以可设，, 因为 所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线， 所以G，E，H三点共线． ②设，，，，中点为，中点为， 将代入得：，所以，， 所以， 同理，，（均在定直线上） 因为，所以与面积相等，与面积相等； 所以等于四边形的面积， 设，， 直线：，即 整理得，直线：，又，所以， 同理，直线：，又，所以， 所以 所以四边形面积 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以四边形面积的最大值为16，即的最大值为16. 21．（2025·浙江宁波·一模）已知椭圆的离心率为，是上的点. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得，即可得椭圆方程； （2）（i）设DE的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示出，利用点到直线的距离公式表示出T到DE的距离，表示出面积，利用基本不等式即可求得面积的最大值； （ii）设，设出过点的椭圆的切线方程，与椭圆方程联立，消元得到一元方程，由相切得，再设，与切线方程联立，表示出点，点的横坐标，再由则，化简可得，可得直线MN过定点. 【详解】（1）已知椭圆的离心率为，是上的点. 则，解得， 所以椭圆的方程为； （2）（i）显然当DE与轴垂直时，TD，TE的倾斜角不互补， 设DE的方程为：，设， 联立,消x得：， 所以，， 则， 所以， 代入得：， 所以，即直线DE过定点. 所以，， 所以， 又T到DE的距离为， 所以，当时取等号. 即面积的最大值为； （ii）设，设过点的椭圆的两条切线为，， 联立， 得， 由相切得，化简得， 所以，， 设，联立，解得， 联立，解得， 则，化简得：， 所以直线MN过定点. 22．（2025·山东济南·一模）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）①设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； ②应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【详解】（1）由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为； （2）①证明：设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考压轴题冲刺演练（四） 圆锥曲线 1．（2026·河北·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为E，且 ，点在C上. (1)求C的方程. (2)已知A，B是椭圆 上的点，是C 上一点，若线段 PA，PB 的中点都在上，记 （i）当点 P 运动时，证明：的面积是定值； （ii）求的取值范围. 2．（2026·浙江温州·二模）已知曲线与点，O为原点，动点，且的最大值为． (1)求曲线E的方程； (2)已知有个点，，，…，按逆时针顺序依次在E上，且，． （ⅰ）当，关于y轴对称，且的面积为1时，求直线的斜率； （ⅱ）当的面积都相等时，记多边形的周长为．若对于，都有，求整数的最小值． 3．（2026·山东青岛·一模）已知为坐标原点，椭圆：（）的离心率为，长轴长为4. (1)求的方程； (2)若过的直线交于，两点，点在上，点为直线与轴的交点，点的横坐标为点横坐标的3倍. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若点，都在曲线：（）上，求的最大值. 4．（25-26高三下·江西·月考）若椭圆：上一点处的切线方程为.已知椭圆分别为左､右顶点且离心率.直线过交椭圆于两点.当直线垂直于轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)连接，并过两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点，过作的平行线交于点，直线（为坐标原点）交直线于点，直线和直线的斜率分别为和两点横坐标分别为. 证明（i）为定值： （ii）为定值. 5．（2026·广东广州·一模）已知双曲线：（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上． (1)求的方程； (2)点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （ⅰ）设，，求的最大值； （ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围． 6．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 7．（2026·四川广安·二模）已知双曲线的离心率为，点为双曲线上的点，按如下方式依次构造点（且），过点作斜率为的直线与双曲线的另一支交于点，点关于轴的对称点为，记的坐标为． (1)求曲线的方程； (2)证明为等比数列； (3)记的面积为，四边形的面积为，求取何值时最小． 8．（2026·江苏南京·一模）已知圆，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点． (1)若，求的坐标； (2)证明：数列为等比数列； (3)已知，设及的面积分别为，，若存在正整数，使得，求所有可能的值． 9．（2026·广东·一模）设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最小值； (3)记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 10．（2026·江苏·一模）已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)证明：的外接圆的圆心在定直线上. 11．（25-26高三下·山东·月考）已知动圆过点，且与相切，记该动圆的圆心轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若，直线与交于两点（点在点的右侧），直线与交于两点，在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为． （ⅰ）证明：三点共线； （ⅱ）若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值． 12．（2026·四川·模拟预测）已知椭圆的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆的方程； (2)若动直线l与椭圆有且仅有一个公共点，过原点O作l的垂线，垂足为M，设点M的轨迹为E． （ⅰ）求轨迹E的方程； （ⅱ）以坐标原点O为公共端点作两条互相垂直的射线，，分别与E交于点P，Q，与椭圆交于点，，求以P，，Q，为顶点的四边形的面积的最大值. 13．（2026·河南南阳·一模）用圆规画一个圆，然后在圆外标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出直线与折痕所在直线的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，…进行折叠并得到标记点，，…，设圆的半径为4，点到圆心的距离为6，以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，所有的点，，，…形成的轨迹记为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)设为曲线上第一象限内的一点，记的重心为，内心为． ①若，求点的坐标； ②连接交曲线于第四象限一点，设的内心为，求四边形的面积的取值范围． 14．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线的焦点F到直线的距离为． (1)求抛物线的方程． (2)点为直线上的一点，过点作的切线，切点分别为． ①问：直线是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． ②若点在抛物线的准线上，切点在第一象限内，存在过点的直线与相交于两点，过点作平行于的直线，分别与直线和直线交于点，若，求的值． 15．（25-26高三下·河北沧州·月考）平面直角坐标系中，抛物线：上的点到的最小距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过点不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，记点关于轴的对称点为. （i）证明：直线过定点； （ii）记的外接圆圆心为，求直线斜率的取值范围. 16．（2026·广东佛山·二模）已知椭圆的左顶点，上顶点． (1)求椭圆的方程和直线的方程； (2)过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点． （i）求证：直线的斜率之和为定值； （ii）求面积的最大值． 17．（2026·湖北襄阳·一模）如图，设抛物线方程为，点P为直线上任意一点，过P作抛物线的切线，切点分别为，． (1)若的坐标为，求证：直线的方程为； (2)已知P点的坐标为，，求此时抛物线的方程； (3)是否存在点，使得点关于直线的对称点D在抛物线上，其中点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2026·浙江·模拟预测）已知抛物线：焦点为，直线与抛物线有且只有一个交点. (1)求抛物线的方程； (2)设抛物线的准线与轴交于点，过点作直线与抛物线交于两点. （i）若的面积为4，求直线的方程； （ii）设内切圆的半径为，求的最大值. 19．（2026·四川泸州·二模）设抛物线的焦点为，过的直线与交于两点（点在轴上方），点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． (1)若的倾斜角为，求； (2)探究直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由； (3)若线段的中点分别为，求的取值范围． 20．（2026·河北衡水·模拟预测）已知动圆过点，且与相切，记该动圆圆心轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若，直线与交于点，直线与交于点，点在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为． ①证明：三点共线； ②若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值． 21．（2025·浙江宁波·一模）已知椭圆的离心率为，是上的点. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 22．（2025·山东济南·一模）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $