专题3.3 多项式的乘法重难点题型专训（1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

本初中数学讲义聚焦多项式的乘法这一核心知识点，系统梳理单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，作为整式乘法的进阶内容，承接前期整式基础，为后续乘法公式学习搭建阶梯式学习支架。 该资料亮点在于题型分层与素养融合，如“多项式与图形面积”题型结合几何直观培养数学眼光，“规律性问题”通过杨辉三角案例发展推理意识，拓展训练与自我检测设计助力课中突破重难点，课后学生可自主巩固，有效查漏补缺，提升运算与应用能力。

专题3.3 多项式的乘法重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 计算多项式乘多项式 题型二 (x+p)(x+q)型多项式乘法 题型三 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型四 多项式乘多项式一一化简求值 题型五 多项式乘多项式与图形面积 题型六 多项式乘法中的规律性问题 题型七 整式乘法混合运算 拓展训练一 多项式乘法与化简求值问题 拓展训练二 多项式的拓展应用 知识点一：整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江西九江·月考）已知，，且，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是运用多项式相等，对应项的系数也相等列方程，据此求解即可． 【详解】， ， ， 所以， 解得：， 所以， 故选：C 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空题： （1）_______； （2）_______； （3）（______）_______． 【答案】 1 4 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 故答案为：；；1；4． 【经典例题一 计算多项式乘多项式】 【例1】（24-25七年级下·河北邢台·月考）在展开多项式中，常数项为，则a等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式．首先利用多项式乘以多项式的法则得出常数项，进而得出a的值． 【详解】解： ， 常数项为， ∴， 解得， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）定义运算：．若，其中为含的多项式，为含的多项式，写出一组符合条件的和：______________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握已知条件中的新定义．先根据新定义和已知条件求出，从而求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ，， ，， 故答案为：，． 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法运算及多项式各项系数的特征，解题的关键是通过设未知数表示多项式展开式，结合常数项和一次项系数的符号及数值特征排除错误选项． 设 “” 为正数a，展开多项式得，根据常数项符号排除丙、丁；对于甲与乙，可根据一次项系数、常数项对应相等分别求得a值，保持一致性的确定为正确结果． 【详解】 解：设 “” 为正数a，则， ∴常数项，但丙与丁的常数项均为正数，故排除丙与丁． 若，得且， 均解得，故甲符合题意； 若，得且， 解得与，矛盾，无解，故乙不符合题意； 综上，只有甲符合题意， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·期中）下列各个多项式的乘积是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，不符合题意，本选项错误； B. ，不符合题意，本选项错误； C. ，不符合题意，本选项错误； D. ，符合题意，本选项正确； 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，整式的化简求值，先根据题意得出，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·上海·月考）阅读理解： 通过学习，我们发现两个一次二项式的乘法公式与我们将要学习的一元二次方程的解法有关： 如果我们能将一个一元二次方程化为的形式，就能够得到这个方程的两个根为．请结合上述阅读解决下列问题： (1)请用含有的式子分别来表示p、q：______；______； (2)若关于x的一元二次方程可以化为的形式，请求出这个方程的两个根； (3)逆向来看，我们也可以借助上述关系式来构造一元二次方程，请试着构造一个一元二次方程，使方程的二次项系数为2，且有一个根为3，另一个根为5． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，理解题干给定的信息，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则，进行求解即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则，进行计算后，求出的值，进而求出方程的两个根即可； （3）根据要求构造一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 由题意，可知：， ∴； 故答案为：； （2）， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）由题意，当或时，， ∵， ∴二次项系数为2，且有一个根为3，另一个根为5的一元二次方程可以为：． 【经典例题二 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 【例1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，正确掌握新定义是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 【例2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则______． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先根据多项式乘多项式法则得到，然后比较求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若，则有理数的末尾四位数是（    ） A．1131 B．2431 C．3131 D．4131 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．设，则，计算多项式乘以多项式可得，判断出的末尾四位数是0，由此即可得． 【详解】解：设， 则 ， ∵和的末尾四位数都是0，且， ∴的末尾四位数是0， ∴的末尾四位数是， 即有理数的末尾四位数是， 故选：A． 2．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若A、B、C均为整式，如果，则称A能整除C，例如由，可知能整除．若已知能整除，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设，运算得到同类项对应系数相等，即可得出答案． 【详解】解：∵能整除， ∴设， ∴， ∴， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意设出方程是本题的关键． 3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）已知，，均为整数，且，则的可能取值是______． 【答案】或 【分析】先根据多项式乘多项式运算法则得到对应系数关系，，再结合，均为整数分类讨论即可得到的所有可能取值． 【详解】解：，， 根据多项式相等对应系数相等可得，， ，均为整数， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的可能取值为或， 故答案为：或． 4．（25-26七年级下·山东济宁·周测）探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①__________________； ②__________________； ③__________________； (2)若，则________，________； (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①_________________； ②__________________； 【答案】(1)；；； (2)， (3)； 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）①根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；②根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；③根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （2）根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （3）①利用规律求解；②利用规律求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：；；； （2）解：若，则，； 故答案为：，； （3）解：①； ②． 故答案为：；． 【经典例题三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例1】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先展开原式合并同类项，再令x项的系数为0，即可求解a的值． 【详解】解： ∵ 结果中不含x项， ∴ x项的系数为，即， 解得∶． 【例2】（24-25七年级下·福建漳州·期末）若等式（）成立，则有理数k的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则把展开，结合已知可得出关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）对于多项式，，，（a，b，c，d是常数），若与的积减去与的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，整式的加减运算，根据为常数，可得化简后式子中x项的系数为0，由此可解． 【详解】解： ， 与的积减去与的积，其差为常数， ， ， 故选C． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期中）计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，则的值为（    ） A．1 B． C． D．7 【答案】B 【分析】先利用多项式与多项式乘法法则，展开后合并同类项，再令含x、y的一次项的系数均为零，列方程组求解即可得到答案． 【详解】解： = = 展开后多项式不含x、y的一次项， ， ， ， 故选B． 【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法，熟练掌握多项式与多项式乘法法则、合并同类项、“不含某一项则某一项的系数为零”的性质，是解答此题的关键． 3．（23-24七年级下·江西九江·月考）小林计算（其中是不为零的整数）时发现，合并同类项后会得到整式（为不大于10的整数），则的值为______． 【答案】1或4或9 【分析】此题考查了多项式的乘法运算，根据题意可得，则，求出，根据为不大于10的整数，即可得到答案． 【详解】解： 由题意得， ∴， ∴ ∴， ∵为不大于10的整数， ∴的值为1或4或9 故答案为：1或4或9 4．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若的展开式中不含和项，求的值． 【答案】36 【分析】直接利用多项式乘以多项式进而得出和项的系数为零进而得出答案． 【详解】解： ， 由题意知：展开式中不含和项，则有，， 解得：，， ∴． 【经典例题四 多项式乘多项式一一化简求值】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式化简求值，先将式子 展开，再把已知条件代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴原式， 故选：． 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·开学考试）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，先化简，然后将化为，代入即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了整式运算的应用，通过展开 M 和 N 的表达式，并计算 M 与 N 的差，从而比较大小关系． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即： ∴ ， 故选择： A． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)；1 【详解】（1）解： ， 当， 时， 原式； （2）解： ， 当，时， 原式． 【经典例题五 多项式乘多项式与图形面积】 【例1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形面积，利用长方形面积公式以及割补法分别表示图中几何图形面积即可． 【详解】解：A、如图，①中，， ∴图中几何图形的面积的是，故A不符合题意； B、图中几何图形的面积无法用表示，故B符合题意； C、由于图中几何图形的面积4个长方形的面积和，即，故C不符合题意； D、图中右侧两个长方形可以拼接成一个长为，宽为的长方形，故图中几何图形的面积的是，故D不符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）某校组织了班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，她先设计了一个正方形的班徽，修改时将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，则原正方形班徽与修改后的长方形班徽的面积相差______． 【答案】 【分析】设原正方形班徽的边长为，分别表示出原正方形面积和修改后长方形的面积，计算面积差即可． 【详解】解：设原正方形班徽的边长为，则原正方形的面积为， ∴修改后得到长方形，长为，宽为， ∴修改后长方形的面积为， ∴原正方形班徽与修改后的长方形班徽的面积相差． 1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张，小明要用若干张这些纸片拼一个长、宽分别为、的长方形（不重叠、无缝隙）．下列判断正确的是（    ） A．甲种纸片剩4张 B．丙种纸片缺4张 C．乙种纸片缺1张 D．甲种和乙种纸片都不够 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，利用多项式乘以多项式的法则求出长方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：， 故需用6张甲种纸片，7张乙种纸片，2张丙种纸片拼成一个长、宽分别为、的长方形， ∵甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张， ∴乙种纸片缺1张； 故选C． 2．（25-26七年级下·北京密云·期末）已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ， 故选：D． 3．（25-26七年级下·山西朔州·期末）甜菜种植不仅丰富了我省朔州市朔城区某镇的蔬菜种植结构，也给附近村民创造了家门口的增收机会．如图，长方形为某村的一块甜菜种植基地，其中，．若该甜菜种植基地扩大为长方形，其中点B在上，点D在上，，，则长方形的面积比长方形的面积增加了________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积，理解题意是解题的关键． 根据长方形的面积公式，分别计算长方形和的面积，二者再作差即可求解． 【详解】解：长方形的面积 ， 长方形的面积 ， ， ∴长方形的面积比长方形的面积增加了． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·宁夏银川·月考）一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）图（2）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，三个边长为x、y的长方形，一个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （2）图（3）中，大长方形面积为，图形中包括了两个边长为x的正方形，五个边长为x、y的长方形，二个边长为y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （3）根据题意，画出长为，宽为的长方形，再将图形划分，利用面积关系说明等式． 【详解】（1）解：由图（2）的面积关系可知，； 故答案为； （2）解：由图（3）的面积关系可知，； 故答案为； （3）解：以长为，宽为画长方形，如图所示， 由图可知，． 【经典例题六 多项式乘法中的规律性问题】 【例1】（25-26七年级下·福建漳州·月考）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】利用“杨辉三角”将展开，据此解答即可． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行：1，5，10，10，5，1； 的系数行：1，6，15，20，15，6，1； 即 则的展开式中，含项的系数是15． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小明同学在计算时发现一次项可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算时一次项为．仿照小明的方法，计算展开式中项的系数为______．（用含n的代数式表示） 【答案】（写作亦可） 【分析】本题主要考查与多项式乘多项式有关的规律探究，先根据题意得出展开式中项为：，然后再进行运算即可得出答案． 【详解】解：展开式中项为： ， ∴展开式中项的系数为． 故答案为：（写作亦可）． 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”（如右图），因此我们把这个图中的三角形叫作“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角解释了二项式的乘方规律，其两腰上都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．例如，此三角形中第六行的6个数1，5，，，5，1，恰好对应着展开式中的系数，则的展开式中的系数是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法的应用，找出本题的数字规律是解题的关键． 根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和，据此计算求值． 【详解】解：， 的系数是， 故选：D． 2．（2023·七年级下 湖北武汉）我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有详解九章算法，对数的运算进行了深入研究与总结，类比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题已知，为实数，且，，计算可得：，，，由此求得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意求出，进而推出，由此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了规律型：数字的变化类，多项式乘多项式，正确推出是解题的关键． 3．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了探索规律，由，，，得到，然后当时代入求解即可，根据题意规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 4．（2026·七年级下 河北石家庄）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 【答案】(1)①；②；③ (2)，证明见解析 【分析】（1）按照规律计算即可； （2）利用代数式表示两个乘数，根据总结的规律列出等式，再根据整式的运算进行证明即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； （2）解：设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（）， 这两个两位数分别为，， 观察发现规律为：， 证明： ， ， ． 【经典例题七 整式乘法混合运算】 【例1】（23-24七年级下·上海宝山·期末）已知并排放置的正方形和正方形如图，其中点在直线上，那么的面积和正方形的面积的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n，利用面积和差求出面积即可判断． 【详解】解：设正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为m、n， S1＝S正方形ABCD+S正方形BEFG﹣（S△ADE+S△CDG+S△GEF） ＝m2+n2﹣[m（m+n）+ m（m﹣n）+ n2] ＝n2； ∴S1＝S2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练用面积和差求三角形面积，准确进行计算． 【例2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，整式混合运算． 设两个正方形重合部分的面积是，则，，代入计算即可． 【详解】解：设两个正方形重合部分的面积是，则，， ∴ ． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河北唐山·月考）有一块长为a宽为b的矩形绿地上修两条小路以方便行人，小路的宽（小路与边界交点形成的线段）为1，则以下四种方法中哪一种小路所占面积与其他三种不同？（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查整式的计算，根据每个图形的面积分别计算小路面积即可判断 【详解】解：A.小路面积为， B.小路面积为，, C.小路面积为， D.如图： 过点A作于点A，则，但， ∴小路面积 故选D 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，准确识图，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再分别求出，，，进而得，据此即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ，， 又， ， 若要求出的面积，只需知道的长． 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 【答案】9 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【拓展训练一 多项式乘法与化简求值问题】 【例1】（23-24七年级下·山东烟台·期中）若的结果中关于x的二次项的系数为，则a的值为（    ） A．3 B． C． D．53 【答案】C 【分析】首先将化简，然后根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解： ∵的结果中关于x的二次项的系数为， ∴ ∴． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 1．（25-26七年级下·山东日照·期末）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．展开多项式，令x一次项的系数为零，即可得到p与q的关系． 【详解】解：∵ ， 又∵ 展开后不含x的一次项， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含的一次项，即含的一次项的系数为进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵计算结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26七年级下·全国·随堂练习）已知，那么代数式的值是________． 【答案】4 【分析】本题考查的是积的乘方运算的应用，多项式乘以多项式的化简求值，由条件，可得，再计算多项式乘以多项式并进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴原式4． 故答案为：4． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）按要求解题 (1)先化简再求值；，其中 (2)解方程： 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则进行乘法运算，再合并同类项； （2）先根据多项式乘以多项式法则进行去括号，合并同类项后移项，再合并同类项，x系数化为1即求出x． 【详解】（1）解： 当时，原式； （2）解： ． 【拓展训练二 多项式的拓展应用】 【例1】（25-26七年级下·四川乐山·期末）我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的几何意义，体现数形结合的思想．图中的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和，由此可得到答案． 【详解】解：图中的面积可表示为：， 或， 故可以得到的数学等式是：， 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·江苏扬州·月考）有个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加上得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论，其中正确的是________． ①第5项为③若则④当时，第k项的值为 【答案】①②③④ 【分析】依次求出各整式及…，发现规律：，整式中的第n项为：（n为正整数），即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， 整式中的第2项为：， ， 整式中的第3项为：， …… 观察发现，，整式中的第n项为：（n为正整数）， 整式中的第5项为：，故①正确． 当时，，故②正确． 若，则， 解得：，故③正确． 当时，令整式中的第k项的值为M， 则， ， 两式相减得：， ，故④正确； 1．（25-26七年级下·福建福州·期末）用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． 设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为，先根据大的长方形的边的长度可得，再求出图（3）中的阴影部分的周长为，图（4）中的阴影部分的周长为，则可得，，然后根据长方形的面积公式可得，，由此即可得的值． 【详解】解：设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为， 图（3）中阴影部分的周长为， 图（4）中阴影部分的周长为， ∵图（3）和图（4）中的阴影部分的周长一样， ∴， ∵图（3）中，图（4）中， ∴， 得， ∴， ， ∴， 故选A． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）将正方形纸片和正方形纸片按图放入周长为的长方形中，空白图形、，甲、乙、丙为阴影部分．设正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，且．已知下列选项的值，仍不能求出甲的周长的是（    ） A．乙的周长与丙的周长和 B．的周长与的周长和 C．乙的面积与丙的面积和 D．的值 【答案】C 【分析】本题考查了整式加法和乘法的应用，根据题意和图形分别求出甲、乙、丙、、的周长，乙的面积与丙的面积，进而求出乙与丙的周长和，与的周长和，乙与丙的面积和，根据结果逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，甲的长和宽为：，， 乙的长和宽为：，， 丙的长和宽为：，， ∴甲的周长为：， 乙的周长为：， 丙的周长为：， 的周长为：， 的周长为：， 乙的面积为：， 丙的面积为：， ∴乙的周长与丙的周长和为：， 的周长与的周长和为：， 乙的面积与丙的面积和为： ， ∵甲的周长为， ∴只要确定了的值，就能求出甲的周长， 由上可知，已知选项的值，均能确定的值，已知选项的值，不能确定的值， ∴不能求出甲的周长的是， 故选：． 3．（24-25七年级下·湖北襄阳·自主招生）已知，n为正整数，则___________． 【答案】385 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得，则可得到，…，，把这些等式的左边和右边分别求和，可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ， …… ， 将以上等式两边分别相加，左边求和得， 右边求和得 ∴ ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这个数分别为，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 如年月份的日历图，当时（如图），小明在其中画出两个的方框，通过计算，：发现． (1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明： (2)请同学们利用小明的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究． 当时，如图，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； 当时，如图，若在日历中用的方框框住位置上的个数，直接写出“”的值的规律； (3)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析； (2)；； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律探究，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）根据，，中的规律，推出相应的规律即可． 【详解】（1）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （2）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，； ， ∴． 1．（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原运算错误； B、，原运算错误； C、，原运算错误； D、，原运算正确. 2．（23-24七年级下·山东青岛·月考）若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若展开的结果中不含x的一次项，则a、b满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法中不含某项的字母关系求解，先利用多项式乘多项式法则展开式子，合并同类项后，根据不含x的一次项即一次项系数为0，即可得出a、b的关系式． 【详解】∵ 又∵展开结果中不含x的一次项， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式——化简求值，正确计算是解题的关键． 先把所求式子化简为，然后把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则阴影部分的面积为（    ）平方米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去中间空白长方形的面积，分别利用多项式乘法法则计算出两个长方形的面积，再作差化简即可得出答案． 【详解】解：由图可知，大长方形的长为米，宽为米， 中间空白长方形的长为米，宽为米， ∴阴影部分的面积为： 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）观察：，，，……．根据以上各式的规律，若，则的值是（  ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据已知等式归纳出通用规律：(为正整数)，再结合已知等式变形求解． 【详解】解：∵，，，……， ∴， ∴当时，． 又， ， ． 7．（25-26七年级下·山西大同·月考）太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查根据板材的数量和形状列代数式及因式分解，用代数式表示出正方形墙壁的总面积，再通过因式分解求出边长． 【详解】解：由图可得：板材的面积为，板材的面积为，板材的面积为。 ∵用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务， ∴总面积为： 即： ∴边长为． 故选：B． 8．（23-24七年级下·山东济宁·期末）在矩形内将两张边长分别为和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】解：， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟悉相关运算法则是解题的关键． 9．（25-26七年级下·内蒙古兴安·期中）若（a、b是整数），则m的值可能是（　　）． A．5或13 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的乘法法则可得且，再列出所有符合题意的整数即可解答． 【详解】解：∵， ∴，（a、b为整数）． 列出所有整数对a、b满足： 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则． ∴ m的可能值为或． 故选D． 10．（23-24七年级下·重庆·期末）如果代数式（均为非0常数），（均为非0常数），且满足，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（    ）个． ①若，则； ②若为常数，，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式（k为正整数）不含一次项，则的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程（k、t均为常数）有相同的解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，代数式求值，根据新定义，求出的值，判断①，根据新定义得到，判断②，将转化为，计算后，根据不含一次项，得到，判断③，根据新定义得到，判断④． 【详解】解：若， 则：， ∴， ∴；故①正确； ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵为常数， ∴；故②正确； ∵， ∴ ∵代数式（k为正整数）不含一次项， ∴， ∵均为非0常数， ∴， ∴， ∵k为正整数， ∴当时，最大为；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 故选C． 11．（25-26七年级下·河南南阳·期末）小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，通过错误的计算结果逆向求出参数的值，再代入正确的整式乘法式子计算正确结果． 【详解】解： ∴， 解得． ∴ 故答案为：． 12．（25-26七年级下·广西崇左·月考）计算： (1)已知，则__________． (2)若，则__________． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，计算多项式乘多项式，型多项式乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先将待求式子展开，再整体代入求值； （2）先将已知式子中等号右边的式子展开，与左边比较后得出m，n的值，再代入待求式子求值． 【详解】（1）解：， 整理得①， 又②， 将①代入②可得， 故答案为∶． （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为∶． 13．（25-26七年级下·陕西西安·月考）定义一种新运算：．若，则的值为______； 【答案】 【分析】根据新定义运算规则，将转化为，然后展开多项式，比较系数得到a、b、c的值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴，，， ∴． 14．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______． 【答案】 【分析】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出与面积，求面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得，，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案． 【详解】如图所示，对需要的交点标注字母： ， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 化简得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目考察阴影部分面积的实质是对多项式之间的化简求值，求出各部分阴影面积是题目难点． 15．（23-24七年级下·江西新余·月考）为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是________． 【答案】2或6 【分析】可分析确定，进而或，分别求解； 【详解】； ∵ ， ∴ ∴或 解得或 时，， 时，， 故答案为：2或6 【点睛】本题考查整式的运算，运用整式乘法确定代数式的取值范围是解题的关键． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）证明：在a+b+c=0时，a3+b3+c3=3abc． 【答案】见解析 【分析】由a+b+c=0可得(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0，再根据(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=a3+b3+c3-3abc即可证明结论． 【详解】证明：∵a+b+c=0， ∴(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0， ∵(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=a3+b3+c3-3abc， ∴a3+b3+c3-3abc=0， ∴a3+b3+c3=3abc． 【点睛】本题主要考查了整式的运算，计算得到(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=a3+b3+c3-3abc是解答本题的关键． 17．（25-26七年级下·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（23-24七年级下·山东青岛·月考）试说明对于任何正整数n，式子的值都能被3整除． 【答案】见解析 【分析】先将原式展开并合并同类项进行化简，若化简结果为与某个整数的乘积，则可说明原式的值能被整除 【详解】证明：原式 又是正整数 是正整数 是的倍数 即对于任何正整数，式子的值都能被整除 19．（24-25七年级下·全国·周测）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 20．（2023·七年级下 重庆渝中）阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2； (2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； (3)①见解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29． 【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （2）直接求得长方形的面积，然后再根据长方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （3）①根据题意画出图形即可； ②直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可； ③将a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入②中得到的关系式，然后进行计算即可． 【详解】（1）大正方形的面积可表示为=（a+2b）2， 大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2， 所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2， 故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2； （2）大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b）， 大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2， 所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2， 故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； （3）①所画图形如下： ②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2； 正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， 所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca； ③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 多项式的乘法重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 计算多项式乘多项式 题型二 (x+p)(x+q)型多项式乘法 题型三 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型四 多项式乘多项式一一化简求值 题型五 多项式乘多项式与图形面积 题型六 多项式乘法中的规律性问题 题型七 整式乘法混合运算 拓展训练一 多项式乘法与化简求值问题 拓展训练二 多项式的拓展应用 知识点一：整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江西九江·月考）已知，，且，则的值（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空题： （1）_______； （2）_______； （3）（______）_______． 【经典例题一 计算多项式乘多项式】 【例1】（24-25七年级下·河北邢台·月考）在展开多项式中，常数项为，则a等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）定义运算：．若，其中为含的多项式，为含的多项式，写出一组符合条件的和：______________． 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 设 “” 为正数a，展开多项式得，根据常数项符号排除丙、丁；对于甲与乙，可根据一次项系数、常数项对应相等分别求得a值，保持一致性的确定为正确结果． 2．（24-25七年级下·全国·期中）下列各个多项式的乘积是的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，则________． 4．（25-26七年级下·上海·月考）阅读理解： 通过学习，我们发现两个一次二项式的乘法公式与我们将要学习的一元二次方程的解法有关： 如果我们能将一个一元二次方程化为的形式，就能够得到这个方程的两个根为．请结合上述阅读解决下列问题： (1)请用含有的式子分别来表示p、q：______；______； (2)若关于x的一元二次方程可以化为的形式，请求出这个方程的两个根； (3)逆向来看，我们也可以借助上述关系式来构造一元二次方程，请试着构造一个一元二次方程，使方程的二次项系数为2，且有一个根为3，另一个根为5． 【经典例题二 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 【例1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则______． 1．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若，则有理数的末尾四位数是（    ） A．1131 B．2431 C．3131 D．4131 2．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若A、B、C均为整式，如果，则称A能整除C，例如由，可知能整除．若已知能整除，则k的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）已知，，均为整数，且，则的可能取值是______． 4．（25-26七年级下·山东济宁·周测）探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①__________________； ②__________________； ③__________________； (2)若，则________，________； (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①_________________； ②__________________； 【经典例题三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例1】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 【例2】（24-25七年级下·福建漳州·期末）若等式（）成立，则有理数k的值是______． 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）对于多项式，，，（a，b，c，d是常数），若与的积减去与的积，其差为常数，则a，b，c，d应满足的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期中）计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，则的值为（    ） A．1 B． C． D．7 3．（23-24七年级下·江西九江·月考）小林计算（其中是不为零的整数）时发现，合并同类项后会得到整式（为不大于10的整数），则的值为______． 4．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若的展开式中不含和项，求的值． 【经典例题四 多项式乘多项式一一化简求值】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·开学考试）若，则的值为______． 1．（25-26七年级下·河南南阳·期中）若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【经典例题五 多项式乘多项式与图形面积】 【例1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）某校组织了班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，她先设计了一个正方形的班徽，修改时将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，则原正方形班徽与修改后的长方形班徽的面积相差______． 1．（25-26七年级下·河南南阳·期末）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张，小明要用若干张这些纸片拼一个长、宽分别为、的长方形（不重叠、无缝隙）．下列判断正确的是（    ） A．甲种纸片剩4张 B．丙种纸片缺4张 C．乙种纸片缺1张 D．甲种和乙种纸片都不够 2．（25-26七年级下·北京密云·期末）已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山西朔州·期末）甜菜种植不仅丰富了我省朔州市朔城区某镇的蔬菜种植结构，也给附近村民创造了家门口的增收机会．如图，长方形为某村的一块甜菜种植基地，其中，．若该甜菜种植基地扩大为长方形，其中点B在上，点D在上，，，则长方形的面积比长方形的面积增加了________． 4．（24-25七年级下·宁夏银川·月考）一些平面几何图形的面积，可以用代数恒等式来表示． 例如：图①就可以用等式来表示该几何图形的面积． (1)请写出图②所表示的代数恒等式：__________________； (2)请写出图③所表示的代数恒等式：__________________； (3)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． 【经典例题六 多项式乘法中的规律性问题】 【例1】（25-26七年级下·福建漳州·月考）我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小明同学在计算时发现一次项可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算时一次项为．仿照小明的方法，计算展开式中项的系数为______．（用含n的代数式表示） 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”（如右图），因此我们把这个图中的三角形叫作“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角解释了二项式的乘方规律，其两腰上都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．例如，此三角形中第六行的6个数1，5，，，5，1，恰好对应着展开式中的系数，则的展开式中的系数是（   ） A．7 B． C． D． 2．（2023·七年级下 湖北武汉）我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有详解九章算法，对数的运算进行了深入研究与总结，类比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题已知，为实数，且，，计算可得：，，，由此求得（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算：______． 4．（2026·七年级下 河北石家庄）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 【经典例题七 整式乘法混合运算】 【例1】（23-24七年级下·上海宝山·期末）已知并排放置的正方形和正方形如图，其中点在直线上，那么的面积和正方形的面积的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________． 1．（24-25七年级下·河北唐山·月考）有一块长为a宽为b的矩形绿地上修两条小路以方便行人，小路的宽（小路与边界交点形成的线段）为1，则以下四种方法中哪一种小路所占面积与其他三种不同？（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 3．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【拓展训练一 多项式乘法与化简求值问题】 【例1】（23-24七年级下·山东烟台·期中）若的结果中关于x的二次项的系数为，则a的值为（    ） A．3 B． C． D．53 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 1．（25-26七年级下·山东日照·期末）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·随堂练习）已知，那么代数式的值是________． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）按要求解题 (1)先化简再求值；，其中 (2)解方程： 【拓展训练二 多项式的拓展应用】 【例1】（25-26七年级下·四川乐山·期末）我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏扬州·月考）有个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加上得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论，其中正确的是________． ①第5项为③若则④当时，第k项的值为 1．（25-26七年级下·福建福州·期末）用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）将正方形纸片和正方形纸片按图放入周长为的长方形中，空白图形、，甲、乙、丙为阴影部分．设正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，且．已知下列选项的值，仍不能求出甲的周长的是（    ） A．乙的周长与丙的周长和 B．的周长与的周长和 C．乙的面积与丙的面积和 D．的值 3．（24-25七年级下·湖北襄阳·自主招生）已知，n为正整数，则___________． 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这个数分别为，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 如年月份的日历图，当时（如图），小明在其中画出两个的方框，通过计算，：发现． (1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明： (2)请同学们利用小明的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究． 当时，如图，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； 当时，如图，若在日历中用的方框框住位置上的个数，直接写出“”的值的规律； (3)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 1．（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东青岛·月考）若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若展开的结果中不含x的一次项，则a、b满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 5．（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则阴影部分的面积为（    ）平方米． A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）观察：，，，……．根据以上各式的规律，若，则的值是（  ） A． B．0 C．1 D．2 7．（25-26七年级下·山西大同·月考）太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·山东济宁·期末）在矩形内将两张边长分别为和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（  ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·内蒙古兴安·期中）若（a、b是整数），则m的值可能是（　　）． A．5或13 B． C． D．或 10．（23-24七年级下·重庆·期末）如果代数式（均为非0常数），（均为非0常数），且满足，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（    ）个． ①若，则； ②若为常数，，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式（k为正整数）不含一次项，则的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程（k、t均为常数）有相同的解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 11．（25-26七年级下·河南南阳·期末）小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 12．（25-26七年级下·广西崇左·月考）计算： (1)已知，则__________． (2)若，则__________． 13．（25-26七年级下·陕西西安·月考）定义一种新运算：．若，则的值为______； 14．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______． 15．（23-24七年级下·江西新余·月考）为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是________． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）证明：在a+b+c=0时，a3+b3+c3=3abc． 17．（25-26七年级下·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． 18．（23-24七年级下·山东青岛·月考）试说明对于任何正整数n，式子的值都能被3整除． 19．（24-25七年级下·全国·周测）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 20．（2023·七年级下 重庆渝中）阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $