精品解析：江西丰城市第九中学2025-2026学年九年级下学期第一次段考数学试卷

丰城九中2025-2026学年下学期初三数学阶段性检测 满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 3 2. 年安徽省全年粮食总产量达亿斤，连续年稳定在亿斤以上，其中夏粮产量亿斤．将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 不能确定 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 已知反比例函数的图象过点，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是边上的中线，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（ ） A. 直线是线段的垂直平分线 B. C. 是等边三角形 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：________． 8. 分解因式：______． 9. 若平行四边形的底和其对应的高的长分别是一元二次方程的两个根，则该平行四边形的面积为______． 10. 如图，是的直径，点A在的延长线上，是的切线，B为切点，连接，若，则的度数为________． 11. 如图，正五边形的边长为6，以顶点A为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是_________． 12. 如图，在中，．以的三边为边，在边同侧分别作三个等边三角形：、、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是矩形； ④当为钝角时，若，点到边的距离为1，则五边形的面积为． 上述结论中，正确结论的序号是______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算：． 14. 如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为．求证：． 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，其中C、D两点为格点． （1）在图①中，正方形； （2）在图②中，等腰三角形面积为； 16. 如图，一个不透明的袋子中装有三个小球，这三个小球上各标有一个数字，分别是，1，，这些小球除标有的数字不同外其他都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是负数的概率为______； （2）先从袋中随机摸出一个小球，将小球上面的数字记作a的值，放回搅匀后再从中随机摸出一个小球，将小球上面的数字记作b的值，请通过列表或画树状图的方法，求出点在第三象限的概率． 17. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信． 素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等； 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元； 素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴的垂线，垂足为点，直线与轴交于点，若的面积为5． （1）求和的值； （2）求点的坐标． 19. 半圆的直径，点在半圆上（不与点，重合），连接，，过点作射线，为射线上一点，点，在直线同侧，连接． （1）如图1，若，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若与半圆相切，，连接，求的长度． 20. 某市组织中学生无人机技能操作比赛，随机抽取部分比赛成绩（成绩为整数，用表示）作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 组别 A B C D E 成绩 （1）图中______； （2）求扇形统计图中A组所在的扇形的圆心角； （3）已知该市共有800名中学生参赛，比赛成绩80分以上（含80分）为“优秀”，根据样本数据估计该市获得“优秀”等级的参赛人数． 五、（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 一台笔记本电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示，，；使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，其示意图如图2所示．已知、、C三点在同一直线上，且，． （1）求散热架的高度； （2）垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了多少？ （参考数据：取，取，取，取） 22. 如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，为杯底，点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求杯体所在抛物线的解析式； （2）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，液面恰好到达点D处．如图2． （ⅰ）请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出与y轴的交点坐标； （ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度． 六、（本题1小题，共12分） 23. 结合图形，完成下列各题： （1）如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．求证：，； （2）如图，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点．若，求的长； （3）保持（2）中，的大小不变，扭动矩形，使得，如图所示．是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025-2026学年下学期初三数学阶段性检测 满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用“正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的规则即可求解. 【详解】解：∵ 所有正数都大于负数，和都是正数， ∴和都大于和； ∵ ∴ ； ∴四个实数中最小的是. 2. 年安徽省全年粮食总产量达亿斤，连续年稳定在亿斤以上，其中夏粮产量亿斤．将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是科学记数法的表示方法，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法． 先将带“亿”单位的数转化为普通数字形式，再根据科学记数法表现形式为，其中，为整数，确定和的值即可． 【详解】解：亿 ， 亿 ． 故选：． 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 不能确定 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先计算判别式的值，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式为， ∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 已知反比例函数的图象过点，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据反比例函数图象过已知点，求出k的值，再根据x轴上点的纵坐标为0，代入一次函数求出横坐标，即可得到交点坐标． 【详解】解：反比例函数的图象过点， 将点坐标代入得： 解得：， 一次函数解析式为 , 轴上的点纵坐标为0， 令，得 ， 解得：， 一次函数图象与x轴的交点坐标为． 5. 如图，在中，，是边上的中线，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正弦的定义以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，即可求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：是边上的中线，， ， 在中，， 在中，， 故， 故选C． 6. 如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（ ） A. 直线是线段的垂直平分线 B. C. 是等边三角形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三线合一即可判断A；利用等边对等角得，，则，即可判断B；证明且，即可证得是等边三角形；从而判断C；证明，则，，即可判断D选项． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴直线是线段的垂直平分线，故A正确； 如图所示，连接， ，， ， ， ， ，， ，故B正确， ， ， ， ， ， 是等边三角形．故C正确； 如图，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，故D错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】先算开立方，再算加法即可 ． 【详解】解：原式 ， 故答案为： ． 8. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 9. 若平行四边形的底和其对应的高的长分别是一元二次方程的两个根，则该平行四边形的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】设平行四边形的底和其对应的高的长分别为、，利用根与系数的关系即可求出两根之积，进而根据平行四边形的面积等于底与对应高的乘积求出面积即可． 【详解】解：设平行四边形的底和其对应的高的长分别为、， 平行四边形的底和其对应的高的长分别是一元二次方程的两个根， ， 平行四边形的面积． 10. 如图，是的直径，点A在的延长线上，是的切线，B为切点，连接，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由是的切线，则有，根据直角三角形两个锐角互余得出，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，正五边形的边长为6，以顶点A为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是_________． 【答案】1.8 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键． 先利用正多边形内角和定理求出的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可． 【详解】解：∵是正五边形， ∴， 设底面圆的半径为r，则 ， 解得， 故答案为：． 12. 如图，在中，．以的三边为边，在边同侧分别作三个等边三角形：、、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是矩形； ④当为钝角时，若，点到边的距离为1，则五边形的面积为． 上述结论中，正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用等边三角的性质和全等三角形的判定即可证明，即可判断①；同理可证，得到，即可证明四边形是平行四边形，即可判断②；求出，即可判断③；求出，，利用面积和即可判断④． 【详解】解：∵、是三个等边三角形． ∴， ∴， 即， ∴，故①正确； 同理可证，， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形；故②正确； 当时， ∵ ∴， ∴四边形不可能是矩形；故③错误； ∵，， ∴， 过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴五边形的面积为．故④正确． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，算术平方根，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据相关运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：原式 ． 14. 如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为．求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形， ， ，， ． ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，由菱形的性质可得，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，其中C、D两点为格点． （1）在图①中，正方形； （2）在图②中，等腰三角形面积为； 【答案】（1） 如图①，正方形即为所求： （2） 如图②，等腰三角形即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据格点特征和正方形的判定作图即可； （2）根据格点特征和等腰三角形的定义作图即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等腰三角形，且面积为． 16. 如图，一个不透明的袋子中装有三个小球，这三个小球上各标有一个数字，分别是，1，，这些小球除标有的数字不同外其他都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是负数的概率为______； （2）先从袋中随机摸出一个小球，将小球上面的数字记作a的值，放回搅匀后再从中随机摸出一个小球，将小球上面的数字记作b的值，请通过列表或画树状图的方法，求出点在第三象限的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求概率，即可． （2）先列表，得出点在第三象限的结果数，进而根据概率公式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出的这个小球上标有的数字是负数的结果有2种， 摸出的这个小球上标有的数字是负数的概率为 故答案为： 【小问2详解】 列表如下： 1 1 共有9种等可能的结果，其中点在第三象限的结果有：，，，，共4种， 点在第三象限的概率为 17. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信． 素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等； 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元； 素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元，结合题意列二元一次方程组求解即可； 任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个，结合题意，列不等式得到，设购买总费用为，结合一次函数图像的性质即可求解． 【详解】解：任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元， ∴， 解得，， ∴每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个， ∵购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍 ∴， 解得，， 设购买总费用为， ∴， ∵， ∴越小，的值越小， ∴当购买扎染布20个时，购买总费用的最低，此时，购买民族木雕个，总费用为元， ∴当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴的垂线，垂足为点，直线与轴交于点，若的面积为5． （1）求和的值； （2）求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据点C坐标及的面积，求出点A的坐标，分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题； （2）根据（1）中结果得到函数解析式，联立即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴，即， ∵， ∴，点的纵坐标， 又的面积为5， ， 解得， 点的坐标为， 将点代入，得，解得， 将点代入，得； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， 令，解得，， 经检验，是原方程的解， 当时，， 点的坐标为． 19. 半圆的直径，点在半圆上（不与点，重合），连接，，过点作射线，为射线上一点，点，在直线同侧，连接． （1）如图1，若，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若与半圆相切，，连接，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的判定可得，进而得出结论； （2）连接，通过论证是等边三角形，可得的长，进而在中求得的长，最后利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵与相切， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 20. 某市组织中学生无人机技能操作比赛，随机抽取部分比赛成绩（成绩为整数，用表示）作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 组别 A B C D E 成绩 （1）图中______； （2）求扇形统计图中A组所在的扇形的圆心角； （3）已知该市共有800名中学生参赛，比赛成绩80分以上（含80分）为“优秀”，根据样本数据估计该市获得“优秀”等级的参赛人数． 【答案】（1）12 （2） （3）448人 【解析】 【分析】（1）通过D组频数为20，所占比例为，求出样本总数，进而求出的值； （2）根据圆心角度数等于A组频数占样本总数的比例乘以进行计算即可； （3）先算出D组和E组频数占样本总数的比例之和，再计算该市获得“优秀”等级的参赛人数即可． 【小问1详解】 解：， ， 则； 【小问2详解】 解：， 则扇形统计图中A组所在的扇形的圆心角为； 【小问3详解】 解：人， 则估计获得“优秀”等级的人数为448人． 五、（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 一台笔记本电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示，，；使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，其示意图如图2所示．已知、、C三点在同一直线上，且，． （1）求散热架的高度； （2）垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了多少？ （参考数据：取，取，取，取） 【答案】（1）24 （2） 【解析】 【分析】（1）由，即可求出的长； （2）如图1，过B作交的延长线于H，由得到，求出，据此解答即可． 【小问1详解】 解：如图2，在中， ， ； 【小问2详解】 解：如图1，过B作交的延长线于H， ， ， ， ， 如图2，， 垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了． 22. 如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，为杯底，点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求杯体所在抛物线的解析式； （2）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转，液面恰好到达点D处．如图2． （ⅰ）请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出与y轴的交点坐标； （ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）坐标系如图： 与y轴的交点坐标为； （ⅱ）杯子内液体的最大深度为：； 【解析】 【分析】（1）根据点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为得到，，，再将点代入求解即可得到答案；（2）（ⅰ）过D作交于点E，过E作交于点M，求出点M，点E坐标得到l的解析式，结合平行求出的解析式即可得到答案；（ⅱ）在上任取一点F作交于H，交抛物线于G，设出点F的坐标，表示出点G的坐标，得到的解析式，结合函数性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为， ∴，，， 设杯体所在抛物线的解析式为：， ∴，，， 解得：，，， ∴杯体所在抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：坐标系如图所示，过D作交于点E，过E作交于点M， ∵点O是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为， ∴，，， ∵饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， 设的解析式为，将，代入得， ， 解得：， ∵， ∴， 设的解析式为：， 将点D代入得， ， 解得：， 的解析式为：， 当时， ， ∴与y轴的交点坐标为：； （ⅱ）在上任取一点F作交于H，交抛物线于G，过点G作于点N，如图2所示， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当最小时，最小， 设，则， ∴， ∵， ∴当时， ∴的最小值为， ∴的最小值为 即此时杯子内液体的最大深度为：． 六、（本题1小题，共12分） 23. 结合图形，完成下列各题： （1）如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．求证：，； （2）如图，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点．若，求的长； （3）保持（2）中，的大小不变，扭动矩形，使得，如图所示．是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：如图，延长交于点． 四边形是正方形， ，， ，，， ， ，， ，， ， ； （2） （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质，通过证明，得到；再通过三角形内角和定理结合角的等量代换，证明，从而证得． （2）先由折叠性质得垂直平分，再证明，利用相似比求出、的长度；然后在中，利用正切函数求出的长，最后用勾股定理算出，进而求得的长度． （3）分两种情况讨论：当时，过作于，延长交延长线于，先求的长，证明得、的长，证明得、的长，进而得的长，再证明得的长，最后计算；当时，证明，结合相似性质求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交于点． 矩形中，，，， ，，，， 在中，， 沿折叠得， 垂直平分，即，， ， ， ， ，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）得，，． 情况1：如图，当时，则， 过点作交延长线于，延长交延长线于． 四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， 在中，，， ， ， ，， ， ，即 ， ，， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ，即， ， ， ； 情况2：如图，当时， ， ， ， ， ， ， ； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $