2026届高考数学压轴题冲刺演练（三）导数

2026届高考压轴题冲刺演练（三） 导数 1．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若有3个零点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意得在上恒成立，则在上恒成立，然后构造函数，利用导数求出其最大值即可； （2）（i）根据题意将问题转化为有个不同的实数根，构造函数，利用导数求出其单调区间和极值即可得答案；（ii）将问题转化成证明，即证，再转换为证明当时，构造函数利用求得其最小值大于零即可. 【详解】（1），求导可得， 因为在上单调递增，所以当时，，即， 设，求导可得， 令，即，可得， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此的极大值为，即， 所以的取值范围是． （2）（i）令，可得， 因为有三个零点，所以，因此可得有个不同的实数根， 设，求导可得， 令，即，可得， 当时，，单调递增，的值域为， 当时，，单调递减，的值域为， 所以当且仅当时，有3个不同的实数根， 的取值范围是． （ii）证明：，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 且，， ，，， ，， 在上单调递增，, ，， 证明可以转化成证明，即证， ，化简可得， ， 设，可得， 证明可以转换为证明当时，即证， 设，则， 当时，， 在上单调递增，，， ，． 2．（2026·湖北黄石·一模）设函数为自然对数的底数. (1)讨论的单调性； (2)设，记，证明： ①；（注：） ②. 【答案】(1)当时， 在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）求出导函数，然后按照和分类讨论，由导函数的符号确定单调性； （2）①由（1）知，令，可得，结合对数运算性质及阶乘的定义，利用累加法即可证明； ②令，可得，结合对数运算性质，利用累加法即可证明. 【详解】（1）由，得， 易知，当且仅当，即时取等号， 故当时，，此时在上单调递增； 当时，令， 解得，易知， 当或时，，当时，， 故此时在和上单调递增， 在上单调递减. （2）由（1）知，当时，在上单调递增， 故当时，，即有. ①令，则有，即，即， 赋值代入，可得， 累加可得： ②令，则有， 即，化简得， 当时，由， 累加可得： ， 即. 即有，而当时， 故有. 3．（2026·河北邢台·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有三个零点，，，其中，函数的两个极值点分别为，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）（i）由题意可得有三个零点，求导，令，对函数求导，分，，三种情况，结合导数与单调性、最值的关系及零点的存在性定理讨论求解即可；（ii）由可得，即，根据极值与导数的关系令，可得，令，，求导，根据导数可得，进而计算可证. 【详解】（1）当时，，所以， 所以，又， 所以切线方程为，即； （2）（i）函数的定义域为，， 由，得，即， 由题意可得有三个零点，，，， 令，则， ①当时，，单调递增， 且当时，；当时，， 由零点存在定理可知存在正数，使得，令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上最多有2个零点，不符合题意； ②当时，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 若，则，所以， 所以在上单调递减，不可能有三个零点； 若，则，， 且当时，；当时，， 故由零点存在定理可知存在，，使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因为，所以，即. 又，当时，；当时，， 所以由零点存在定理可知存在三个零点，，， 所以有三个零点时，的取值范围是. （ii）证明：由，所以， 所以也是的零点，所以， 所以，所以，所以. 又的两个极值点分别为，， 所以，是，即的两个变号根， 所以直线与有两个不同的交点，其横坐标分别为，， 而，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， ，， 令，，则， 因为，所以，所以， 所以，，， 所以， 所以，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以. 4．（25-26高三下·辽宁·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)记函数的正零点为. （i）当时，证明：； （ii）当时，证明：. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）先求导，利用导数研究函数的单调性； （2）（i）时，求出函数的正零点，再研究的范围，通过放缩证明不等式； （ii）时，求出函数的正零点，构造新函数证明不等式. 【详解】（1）， 若，则， ，，单调递减； ，，单调递增； 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）证明：当时，由，得，所以， 两边同时取自然对数并化简，得，所以. 令， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即，所以， 则， 所以， 所以， 故. （ii）证明：当时，由，得，所以， 所以， 则. 令，则，易知在上单调递增， 则， 所以在上单调递增， 又，，即， 所以，则. 解法一： 由，得， 又，故曲线在处的切线方程为. 令， 则， 所以在上单调递增， 因为，所以， 即， 所以， 又，则，两式相减得， 整理得. 综上，. 解法二： 由， 得， 又， 所以， 所以，即， 即. 综上，. 5．（25-26高三下·安徽·月考）已知函数在时取得极值. (1)求，并讨论的单调性. (2)设是公比为的等比数列. （i）若，证明：. （ii）是否存在满足：，均为正整数且，使得成等差数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，在上单调递增，在上单调递减 (2)（i）证明见解析（ii）存在，2和3 【分析】（1）先求导，再解出，然后讨论的单调性即可. （2）（i）先写出的通项公式，再代入得到的表达式，再用错位相减法列出比较即可. （ii）根据等差中项性质列出等式，将用表示，代入等式得到关于的方程再根据，对取值讨论，判断是否存在符合条件的. 【详解】（1）由题意得的定义域为. 令，得，即. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由（1）可知，所以， 记，则， ， 所以. 因为，所以， 所以. （ii）若成等差数列，则， 即，整理得， 又因为，所以，所以，得. 要满足题意，只需考虑和. 当时，，所以，符合题意； 当时，，所以，符合题意. 下面说明，当时，不存在满足条件的： 令，则， 令，则当时，， 故在上单调递减，当时，， 即，所以在上单调递减. 所以时，， 因为，所以，即， 故当时，，由于， 故或，若，则，得，不符合题意； 若，则， 由于（因为），而（因为）， 结合的单调性，可知，无整数解， 综上，满足条件的的取值仅有2和3. 6．（2026·浙江金华·二模）已知函数，． (1)求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)极小值为 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值； （2）求导，分类讨论两根大小，结合导数的符号分析函数的单调性； （3）分析可得，令，，分类讨论的符号，结合恒（能）成立问题分析求解. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在单调递减， 所以的极小值为． （2）因为的定义域为，且， 令，解得或， 当，即时，则， 可知在上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或； 可知在上单调递增，在，上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或； 可知在上单调递增，在，上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减. （3）因为，即，可得， 令，， ①当时，若，则，不合题意； 若，方程满足， 且，可知方程有一正一负两个实根， 取其正根为，则，不合题意； 综上所述：当时，不存在实数a，使得恒成立； ②当时，不妨取，则， 记，则， 令，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即， 可知在单调递减，则， 即对，都存在，使得在恒成立， 综上所述：实数b的取值范围为． 7．（2026·浙江台州·二模）已知，函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)证明：当时，对任意，，都有； (3)若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数研究函数的极小值，即可得； （2）首先应用导数确定为增函数，再得到为增函数，利用单调性即可证明； （3）设，，从而得到能成立，利用导数及分析法求右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）由，得. 令，解得，， 当时，；当时，； 当时，. 所以在、上单调递增，在上单调递减， 因此，的极小值为； （2）当时，，其中时取等号， 所以为增函数， 对任意的，，不妨设，则， 又， 所以为增函数，得，即， 故； （3）由题意，不妨设，， 因为，所以， 整理得，， 令，，. ①当时，， 此时. ②当时，令，解得， 因此，在上单调递减，在上单调递增，故， 法一：因为， 又因为，得，即 所以， 记，， 则， 因为，所以， 即， 因此，当时，， 又， 综上，， 法二：求最小值的第二种解法. 令，因为，，所以， 下证：， 因为 ， 只需证：， 只需证：， 令，则， 因为， 所以，即恒成立， 因此，， 令，则，对于，， 所以，当且仅当时，. 所以a的取值范围是. 8．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)当时，若对任意的实数m，直线与曲线恰有一个公共点，求实数b的取值范围； (3)若．证明：当时，． 【答案】(1)1 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数求的单调性和最值； （2）原题意等价于方程仅有一个解，令，可知在R上为单调函数，且值域为R，分类讨论的符号，结合导数应用运算求解； （3）根据题意结合（1）中结论分析可知，分和两种情况，利用导数结合三角函数的有界性分析证明. 【详解】（1）当时，则，， 可知在单调递减，所以在上的最大值为. （2）当时，， 令，即，可得， 原题意等价于方程仅有一个解， 令，则， 因为对任意实数m，方程都仅有一个解， 可知在R上为单调函数，且值域为R， 令，则， 因为当趋近于时，趋近于，则恒成立， （i）当时，则，可知在R上单调递减，值域为R，满足题意； （ii）当时，当时，；当时，； 可知在单调递减，在单调递增，则， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在单调递增，在单调递减，不符合题意； （iii）当时，当时，；当时，； 可知在单调递增，在单调递减， 则，解得， 当时，在定义域内单调递减， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知值域为R，符合题意； 综上所述：实数b的取值范围为． （3）当时，， 若证，即证， 因为，，则， 由（1）可知：，即，则 可得， 若证，即证， （i）当时，则，可得， 且，则，可得，所以； （ii）当时，则，可得， 整理可得， 令，则， 因为，则， 可知在上单调递增，， 且，可得，所以； 综上所述：时，. 9．（2026·浙江杭州·二模）（1）已知，证明：； （2）设，若恒成立，求正整数的最大值； （3）求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）2（3）证明见解析 【分析】（1）记，，求导，根据导数即可证明； （2）由（1）结合特殊值可知，结合题意验证是否满足即可求解； （3）由（2）可得，记，求导，根据导数可证得，进而可得，计算即可得证. 【详解】（1）一方面，记，. 则，故在上单调递增，即. 另一方面，记，. 所以，故在上单调递增，即. 综上，，成立. （2）当时，由（1）知，故恒成立. 一方面，取，则； 另一方面，当时，记，则. 由知， 所以，故单调递增.进而. 综上，正整数的最大值为2. （3）当时，由（2）， 即. 则，① 下证，， ， 则， 故单调递增.进而，即. 所以结合①可得，即， 所以. 10．（2026·河南焦作·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，证明：，； (3)已知，证明：． 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题知定义域为，进而求导研究函数单调性即可求解函数极值； （2）构造函数，，利用导数研究函数的单调性得时，单调递增；时，单调递减，再结合，符号即可证明. （3）结合（1），令，，进而结合得，再累加求和即可证明不等式左侧部分；再结合（2）得，再累加求和即可证明不等式右侧部分. 【详解】（1）解：当时，，定义域为， ， 所以，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. （2）解：当时，， 令，， 所以， 令，，则， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在单调递减， 又函数在单调递减， 所以在单调递减， 因为，， 所以，存在，使得，即 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 因为，，， 所以存在，使得，即， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 因为，， 所以在恒成立，即， 所以，，，证毕. （3）证明：先证. 由（1）知，当时，在上单调递减， 故当时，，即 令，则，即 令，恒成立，所以在单调递减， 所以，即，故当时，， 令，则 所以，即 所以，， 即. 下证：. 由（2）知，，，即，， 令，则 所以，即 综上，，证毕. 11．（2026·福建泉州·一模）已知函数. (1)证明：有且只有一个极值点； (2)若恰有两个零点. （i）证明：； （ii）记的极值点为，若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）法一：，再设新函数再次求导，得到其单调性，再结合极限知识和零点存在性定理和极值的定义即可得到其唯一极值点；法二：同法一利用二次求导法，通过取值再结合零点存在性定理即可证明； （2）（i）法一：首先讨论的情况，再研究，代入隐零点得到方程组，消去，再设新函数，求导后得到其单调性，再结合零点存在性定理即可得到证明；法二：同法一消去，再设新函数，求导得其单调性，计算和即可证明； （ii）法一：利用，再设新函数，通过多次求导研究即可；法二：将代入即可得，再设新函数并求导，最后再对分三类讨论即可；法三：同法二得到，再设新函数并求导，最后对分两类讨论即可. 【详解】（1）解法一：函数的定义域， 令，因为， 所以在单调递增，即在单调递增. 又. 所以存在唯一的实数，使得，即. 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； 故为的极小值点，即有唯一的极值点； 解法二：同法1得到在单调递增. 由于 ， ， 所以存在唯一的实数，使得，即， 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； 故为的唯一极值点. （2）（i）解法一：由（1），得. ①当时，至多一个零点，不合题意，舍去； ②当，即时， 由消去得，， 令， 因为，所以为减函数， 又因为，所以的解集为. 又在单调递增，所以. 又. 此时有两个不同的零点，即. 解法二：同法1得到 . 此时 又，则， 由零点存在性定理，存在，使得. 综上，可得. （ii）解法一：由于，所以可化为. 令， 则 ， 设，则，则， 则，即，从而. 令，所以在单调递增， 所以，所以， 即， 所以，所以在单调递增. 所以，故. 解法二：将代入整理得 令， 当时，因为，所以， 所以，显然成立； 当时，， 令，则. 显然在单调递增，所以. ①当，则， 此时在单调递增， 所以，即. 所以在单调递增，所以， 欲使，只需，即. 即时，符合题意. ②当时，则， 又， 若，则， 又在连续， 则存在，使得，这与矛盾； 若，则显然不恒成立 综上，实数的取值范围为. 解法三：将代入整理得 令 ①当时，. 又， 若，则， 又在的图象是连续不断的， 故存在，使得，这与矛盾； 若，则显然不恒成立 所以时，不恒成立. ②当，因为， 令 又， 因为，所以. 所以 所以在单调递增， 所以. 综上，实数的取值范围为. 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在区间上的最大值与最小值； (2)讨论的零点个数； (3)若函数有三个不同的极值点，，，且满足，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为1 (2)当时，无零点，当或时，有1个零点，当时，有2个零点. (3) 【分析】（1）根据导数求出的单调性，再结合单调性求最值即可； （2）根据将其转化为，令，通过导函数研究图象性质，即可根据与图象的交点个数确定的零点个数； （3）根据分情况讨论，由解得，或，由题意，结合的图象 求出a的取值范围，分析得出，，据此将题中的转化为a的函数，再结合导数求解单调性即可求出a的范围． 【详解】（1）当时，，， 当时，，所以在上单调递增， 所以，． （2）令，得，即， 令，则的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数， ，令，得， 当时，，则，所以在上单调递增； 当时，，则，所以在上单调递减， 所以， 又当时，，当时，； 所以的大致图象如下所示： 数形结合得，当时，直线与的图象无交点，故无零点； 当或时，直线与的图象有1个公共点，故有1个零点； 当时，直线与的图象有2个交点，故有2个零点. （3）由题知， 则， 当时，，方程只有唯一解1，显然不合题意； 当时，由，可得，或， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以在处取得最大值，此时， 又当时，，当时，， 要使在定义域内有三个不同的极值点，需使的图象与直线有两个不同的交点，即得， 不妨设，则，所以，即， 所以， 所以 ， 令，则， 易知在上单调递增， 所以，又， 所以，即在上单调递增， 因为，则当时，恒有， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． 13．（2026·四川德阳·二模）已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点． (1)当时，求； (2)若 证明：（i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）将函数化简，再根据正弦函数的零点求解； （2）（i）根据的零点求出的表达式，最后根据等比数列的定义证明； （ii）由（i）的信息，借助分析法证明，构造函数，利用导数求出最小值，转化证即可. 【详解】（1）当时，， 令，则，解得， 因为为的从小到大的第（）个零点，所以； （2）（i）由，得，则，其中， ，所以， ，又， 因此，所以数列是等比数列； （ii）欲证，即证， ，且， 则只需证，又， 则只需证，即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，于是当时，成立； 当时，，，又，则， 于是，即， 则当时，，即成立； 当时，，，，成立， 所以当，则对一切，恒成立. 14．（2026·河北·模拟预测）已知函数，. (1)讨论函数的单调性. (2)当函数的极小值为0时. （i）若在上恒成立，求m的取值范围. （ii）若在上恒成立，证明：. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求函数的单调区间即讨论导函数在定义域内的正负问题； （2）先根据函数存在极小值为0，求出的值，再将恒成立问题转化成求函数的最值问题即可. 【详解】（1）函数的定义域为，. 当时，，则函数在上单调递增； 当时，令，解得，则函数在上单调递减， 令，解得，则函数在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由（1）知，当时，函数存在极小值，且极小值点为， 所以. 令（其中），则， 即.（*） 令，则. 当时，；当时，. 所以在处取得最小值，且，故方程（*）只有唯一解为，即. 所以. 因为，所以， 即，即. 令，， 则. 设，， 则. 易知在上单调递减，且，， 所以存在唯一零点，使得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又因为，， 所以在上恒成立. 所以在上单调递增. 所以对任意，. 所以m的取值范围是. （ii）由（i）知，，， 由, 得在上恒成立. 令，， 所以. 因为，所以要使在上恒成立， 则，解得. 当时，由（i）知在上恒成立. 又因为当时，，且，所以，所以. 所以，即在上单调递增，所以 当时，，而函数在上图象连接不断，则存在， 使得当时，，函数在上单调递减，则，不符合题意， 综上，. 15．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，试求出正整数的最小值，使存在唯一的极值点； (3)若在上有零点，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）通过求导分析的符号，结合不同的取值范围，判断的单调区间； （2）先通过代入最小的正整数，即，验证不满足“唯一极值点”，再代入，通过分析的单调性与零点唯一性，即可确定是满足条件的最小值； （3）将函数零点转化为直线方程，利用点到直线的距离公式结合导数放缩，把与函数最值关联，从而证明不等式. 【详解】（1）当时，函数，其定义域为，求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得， 当时，，即在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，， 设，， 1°当时，， 易知，且时，，时，， 则在上单调递增，在上单调递减，故1为的极大值点， 而， ， 则存在，使，即应为的另一极值点，故时不成立； 2°当时，，则， ① 当时，，恒成立， 所以在上单调递减， 又，，所以在内存在唯一零点， 即在内存在唯一极值点； ② 当时，，所以，则， 故在上单调递减，无极值； ③ 当时，，则， 故在上单调递减，无极值.. 故符合要求. 综上，正整数的最小值为2，使存在唯一的极值点. （3）在上有零点，所以， 即有实数根， 设在上的零点为，则， 则点为直线上一点， 所以表示点到原点的距离，显然，该距离不小于原点到直线的距离， 即，即， 不妨设，，则， 所以函数在上单调递减，则， 即，又，则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即. 【点睛】以导数为核心工具，综合解决函数单调性、极值点判断、零点转化与不等式证明等问题，将代数问题与几何意义结合，解题过程中要注意灵活应用分类讨论、试值验证、放缩法等技巧. 16．（2026·浙江宁波·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，，且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何性质求出斜率，进而求出切线方程； （2）（ⅰ）求导，利用导数讨论极值点及单调性，进而求解的取值范围； （ⅱ）利用函数单调性转化不等式，再通过构造函数，求导，利用导数讨论函数单调性，进而证明结论． 【详解】（1）时，，则， 求导得，则， 切线方程为，即． （2）（ⅰ）由于有两个极值点，， 故有两个变号零点，等价于方程有两个不同的解； 设，则，令，，则， 令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，且， ，即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得，． ， 欲证，只需证， 构造，，则， 令，则，当时，， 即在上单调递增，且， 在时恒成立， ， 当时，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，故， 设方程的两根为，，不妨， 则由得， 由韦达定理得， ， ，且是方程的两根，是的两根， 则， ， ，命题得证． 17．（2026·河南焦作·一模）已知函数． (1)证明：仅有一个极值点； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，进而求解即可； （2）求导，分、两种情况，结合极值点的定义求解即可； （3）转化任意的恒成立为恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而得到，设，可得，设，利用导数分析其单调性，进而求证即可. 【详解】（1）由，得， 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又，， 则存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则仅有一个极值点. （2）由，，得， 设，则， 当时，，则函数在上单调递减， 则最多只有1个根，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，时，， 要使有两个极值点，需使， 又，则得，即. 综上所述，的取值范围为. （3）由题意，对任意的恒成立， 即，设，则， 因为，由（2）知，函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 又，时，， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 即，所以， 设，则，即，， 所以，设， 则， 令，得， 由（1）知该方程当且仅当，即时等号成立，即， 则有唯一零点，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则. 18．（2026·河北邯郸·一模）已知函数． (1)若，证明：． (2)设有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由得出，构造函数，由导数得出，即可证明； （2）①由得出，构造函数，根据导数得出的值域即可求解的取值范围； ②由①得，，要证即证，构造函数，得出，进而得出，再构造函数，即可证明． 【详解】（1）因为，，所以． 令，则． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，则． （2）①由，可得． 令，则． 令，显然在上单调递增，且， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减，则． 当时，，且当时，． 因为，所以由有两个零点，可知的取值范围为． ②由①可知，， 要证，需证，即， 即． 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增，则，即， 则． 令，则， 则在上单调递减，则，从而． 19．（2026·广东梅州·一模）（1）求函数在区间上的值域； （2）设函数. ①求证：当时，有唯一零点； ②，分别是的两个不相等的极值点，求证：. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）因为要求闭区间上函数的值域，所以先对求导，利用导数判断函数在区间上的单调性，因为函数的最值出现在极值点或区间端点处，所以求出导数为0的点，再计算该点和区间端点的函数值，进而确定值域； （2）①：当时，先化简，对其求导，利用导数判断的单调性；结合单调性证明零点唯一；②：因为是的极值点，所以，先对求导，得到关于的等式；要证，可先对等式变形，构造关于的对称式，再利用极值点偏移的相关方法，如构造函数、换元法等进行证明. 【详解】（1）解：对函数求导，得. 由，得， 当，，在上单调递减； 当，，在上单调递增， 所以. 因为， 所以. 故在上的值域为. （2）证明：①当时，，， 则. 令，，则. 由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即， 因此在上单调递增. 而， 当时，；当时，； 所以在上有唯一零点. ②对函数求导，得，. 结合①，可得在上单调递减，在上单调递增，则 因为，；，， 所以要使得有两个不等的极值点，即有两个不等的零点， 则，即. 不妨设，则，， 即，. 要证，即证. 下证：. 令，， 则. 令，，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以在上单调递减， 则，即. 因为，所以， 即. 因为在上单调递增，且，， 所以，即证得. 20．（2026·江苏·一模）已知函数. (1)对任意，是的必要条件，求的最小值； (2)对任意，函数存在两个零点. （i）求的取值范围； （ii）对于（i）中给定的，证明：当取得最小值时，. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）由已知条件可得在上单调递增，即在恒成立，计算即可； （2）（i）由已知构造函数可得存在两个零点，利用导数证明单调性，进而只需，即，利用导数计算可得的取值范围；（ii）将同构为，将方程的两根转化的两根为，利用导数及数形结合推理可得. 【详解】（1）∵对任意，是的必要条件， ∴， 在上单调递增， 则，即在上恒成立， 令，， 在单调递减， . （2）（i）因为对有两个不等的实根， 所以有两个零点， 若是方程的一个根，则，所以， 令， 当，则，当，则， 所以在单调递减；单调递增， ， 要使有两个零点，只需， 即，令， 在(0,1)单调递增；单调递减， . (ii)令，则，，即， 构造方程，两根为， 令，其中的两根为 令则，令，则， 在单调递减；单调递增，作出大致图象如下： 令， 在单调递减；单调递增， 当时，，此时最小. 取最小值时，. 21．（2026·山东枣庄·二模）已知． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若有两个实数根，证明：； (3)若方程有实根，设的最大值为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出切线斜率即可求切线方程； （2）转化为方程有两个实数根，构造函数， 利用导数得出极值点，可知，要证不等式只需证，再构造函数利用函数的单调性得证； （3）分段讨论去绝对值，利用导数研究函数的单调性及极值，可得函数有最大值，即求出，再由，且即可得证. 【详解】（1）因为， 所以， 切线方程为：， 即. （2），即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，要证，即证， 因，在上单调递增， 故只需证，又，即证， 令，， 则， 当时，，所以， 所以在上单调递减，又，故，即， 得证. （3）有实根，即有实根，的最大值为， 令， 当时，， 在上单调递减，当时，，， 所以，使得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为； 当时，，， 令，则， 所以在上单调递减，， 即，在上单调递减； 综上，在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 因为在上单调递减，，， 所以，所以， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考压轴题冲刺演练（三） 导数 1．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若有3个零点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 2．（2026·湖北黄石·一模）设函数为自然对数的底数. (1)讨论的单调性； (2)设，记，证明： ①；（注：） ②. 3．（2026·河北邢台·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有三个零点，，，其中，函数的两个极值点分别为，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 4．（25-26高三下·辽宁·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)记函数的正零点为. （i）当时，证明：； （ii）当时，证明：. 5．（25-26高三下·安徽·月考）已知函数在时取得极值. (1)求，并讨论的单调性. (2)设是公比为的等比数列. （i）若，证明：. （ii）是否存在满足：，均为正整数且，使得成等差数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 6．（2026·浙江金华·二模）已知函数，． (1)求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围． 7．（2026·浙江台州·二模）已知，函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)证明：当时，对任意，，都有； (3)若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 8．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)当时，若对任意的实数m，直线与曲线恰有一个公共点，求实数b的取值范围； (3)若．证明：当时，． 9．（2026·浙江杭州·二模）（1）已知，证明：； （2）设，若恒成立，求正整数的最大值； （3）求证：. 10．（2026·河南焦作·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，证明：，； (3)已知，证明：． 11．（2026·福建泉州·一模）已知函数. (1)证明：有且只有一个极值点； (2)若恰有两个零点. （i）证明：； （ii）记的极值点为，若，求的取值范围. 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在区间上的最大值与最小值； (2)讨论的零点个数； (3)若函数有三个不同的极值点，，，且满足，求的取值范围． 13．（2026·四川德阳·二模）已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点． (1)当时，求； (2)若 证明：（i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 14．（2026·河北·模拟预测）已知函数，. (1)讨论函数的单调性. (2)当函数的极小值为0时. （i）若在上恒成立，求m的取值范围. （ii）若在上恒成立，证明：. 15．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，试求出正整数的最小值，使存在唯一的极值点； (3)若在上有零点，求证：. 16．（2026·浙江宁波·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，，且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求证：． 17．（2026·河南焦作·一模）已知函数． (1)证明：仅有一个极值点； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：． 18．（2026·河北邯郸·一模）已知函数． (1)若，证明：． (2)设有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：． 19．（2026·广东梅州·一模）（1）求函数在区间上的值域； （2）设函数. ①求证：当时，有唯一零点； ②，分别是的两个不相等的极值点，求证：. 20．（2026·江苏·一模）已知函数. (1)对任意，是的必要条件，求的最小值； (2)对任意，函数存在两个零点. （i）求的取值范围； （ii）对于（i）中给定的，证明：当取得最小值时，. 21．（2026·山东枣庄·二模）已知． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若有两个实数根，证明：； (3)若方程有实根，设的最大值为，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $