专题05 二次函数抛物线中线段、角度和面积问题-2026年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题05 二次函数抛物线中线段、角度和面积问题 第一部分 典例剖析 类型一 线段问题 【典例1】（2025•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）与正比例函数y＝kx的图象都经过点A（3，3），点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于点D． （1）若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段PC长度的最大值． （2）若该二次函数与x轴的一交点为B（m，0），且m＞4，求a的取值范围． 【分析】（1）①利用待定系数法即可求解； ②正比例函数表达式为y＝x，设OD＝t（0≤t≤3），则CD＝t，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令ax2+bx＝0，解得x1＝0，，又二次函数与x轴的一交点为B（m，0），m＞4，所以，即，则有1﹣3a＞﹣4a，然后解不等式即可． 【解答】解：（1）①∵A（3，3）为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； ②因为正比例函数y＝kx经过点A（3，3）， ∴3k＝3， ∴k＝1， ∴正比例函数表达式为y＝x， 设OD＝t（0≤t≤3），则CD＝t，PD， ∴PC＝PD﹣CD ， ∴当t时，线段PC的长度取得最大值； （2）∵二次函数y＝ax2+bx经过点A（3，3）， ∴9a+3b＝3，即b＝1﹣3a， 令ax2+bx＝0， 解得x1＝0，， ∵二次函数与x轴的一个交点为B（m，0），m＞4， ∴m， ∴， ∵a＜0， ∴b＞﹣4a， ∴1﹣3a＞﹣4a，a＞﹣1， ∴a的取值范围是﹣1＜a＜0． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 【典例2】（2025•海南）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（4，0）、B（﹣2，6）两点．点P（x0，y0）是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q． （1）若c＝﹣4． ①求抛物线的解析式； ②求线段PQ长度的最大值； ③若t≤x0≤t+1，求x0取何值时线段PQ的长度最大（可用含t的代数式表示x0）． （2）若c≠﹣4，t≤x0≤t+1，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【分析】（1）①利用待定系数法代入计算求解即可； ②设直线AB的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出．然后利用二次函数的性质求解即可； ③根据二次函数的性质结合图象求解即可； （2）根据题意重新确定二次函数的解析式为y＝ax2﹣（1+2a）x+4﹣8a，得出，然后即可求解． 【解答】解：（1）①∵c＝﹣4， ∴设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx﹣4， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），经过A（4，0）、B（﹣2，6）两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4； ②设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A、B代入， 得， 解得， ∴y＝﹣x+4， ∵点P（x0，y0）是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q， ∴P（x0，﹣x0+4），Q（x0，3x0﹣4）， ∴|PQ|＝﹣x0+4﹣（3x0﹣4）＝﹣（x0﹣1）2+9， 由题意得：﹣2≤x0≤4， ∴当x0＝1时，|PQ|取得最大值为9； ③∵|PQ|＝﹣（x0﹣1）2+9，﹣2≤x0≤4， ∴当t≥﹣2，t+1≤1时， 即﹣2≤t≤0时，PQ的最大长度在x0＝t+1处取得； 当t＜1，t+1＞1时， 即0＜t＜1时，PQ的最大长度在x0＝1处取得； 当t≥1，t+1≤4时， 即1≤t≤3时，PQ的最大长度在x0＝t处取得； 综上，x0＝t+1或x0＝1或x0＝t． （2）不发生变化，理由如下： ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（4，0）、B（﹣2，6）两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝ax2﹣（1+2a）x+4﹣8a， ∵点P（x0，y0）是线段AB上的动点， ∴y0＝﹣x0+4， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为Q[x0，（1+2a）x0+4﹣8a]， ∴|PQ|＝﹣x0+4﹣[（1+2a）x0+4﹣8a]＝﹣a（x0﹣1）2+9a， ∵|PQ|解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． 类型二 角度问题 【典例3】（2025•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1． （1）求二次函数关系式． （2）连结AC、BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． （3）在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线AQ，使∠BAQ＝2∠ACO，点M是线段AQ上的一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，连结BM，求BM+MN的最小值． 【分析】（1）根据对称关系可得点B坐标，进而得到交点式，化简即可； （2）分类讨论：点P在直线BC上方时，易得∠ACO＝∠ABP，此时利用相似或者三角函数求出OK长度，进而得到直线BK解析式，即可求解；当点P在BC下方时，可以作A关于y轴对称点L，则易得∠CBP＝∠BCL，BP∥CL，进而求解即可；也可以做点K关于直线BC的对称点G，求出点G坐标，进而求出直线BG解析式，联立求交点坐标即可； （3）在二次函数中，一般处理二倍角问题可以构造等腰三角形利用外角性质找小角的二倍，在OC上取点D，使AD＝CD，则∠ADO＝2∠ACO＝∠BAQ，先求出OD长度，进而作点B关于直线AQ对称点E，连接BE交AQ于点F，过E作EG⊥x轴于点G，易得BM+MN＝EM+MN≥EG，所以解Rt△BEG即可得解． 【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝1，且二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点， ∴B（3，0）， ∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3； （2）由y＝x2﹣2x﹣3可知C（0，﹣3）， ∴OB＝OC＝3，即∠OCB＝∠OBC＝45°， 第一种情况：当点P在直线BC上方时， 如图，记BP与y轴交于点K， 则∠OBP+∠CBP＝∠OBC＝45°， 又∵∠CBP+∠ACO＝45°， ∴∠OBP＝∠ACO， ∴tan∠OBP＝tan∠ACO， 即， ∴OKOB＝1， 由B（3，0），K（0，﹣1）可得直线BP解析式为yx﹣1， 联立， 解得（与B点重合）或， ∴P（，）； 第二种情况：当点P在直线BC下方时， 方法一：如图，作点A关于y轴对称点L，连接CL，则∠ACO＝∠LCO，L（1，0）， ∵∠CBP+∠ACO＝45°，∠LCO+∠BCL＝45°， ∴∠CBP＝∠BCL， ∴BP∥CL， 由C（0，﹣3），L（1，0）可得直线CL的解析式为y＝3x﹣3， ∴设直线BP：y＝3x+n， 将B（3，0）代入得n＝﹣9， ∴直线BP：y＝3x﹣9， 联立， 解得（与B点重合）或， ∴P（2，﹣3）； 方法二：作K关于直线BC对称点G，连接KG交BC于点H， 此时∠CBK＝∠CBP，满足∠CBP+∠ACO＝45°， ∵K（0，﹣1），C（0，﹣3）， ∴CK＝2， ∵∠BCO＝45°， ∴△CHK为等腰直角三角形， ∴H（1，﹣2） ∴G（2，﹣3） ∵点G（2，﹣3）也在抛物线上， ∴点P与点G重合，即P（2，﹣3）； （备注：此时如果没有发现点P和点G重合，也可以求出BG解析式，联立二次函数求交点P坐标）． 综上，点P的坐标为（，）或（2，﹣3）； （3）如图，在OC上取点D，使AD＝CD，则∠ADO＝2∠ACO， ∵∠BAQ＝2∠ACO， ∴∠BAQ＝∠ADO， 设OD＝m，则CD＝AD＝3﹣m， 在Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2， ∴1+m2＝（3﹣m）2， 解得m， ∴OD，AD， 作点B关于直线AQ对称点E，连接BE交AQ于点F，过E作EG⊥x轴于点G， 则BM＝EM，BF＝EF， ∴BM+MN＝EM+MN≥EG， 当且仅当E、M、G三点共线时，（BM+MN）min＝EG； ∵∠BAQ＝∠ADO， ∴sin∠BAQ＝sin∠ADO， 即， ∴BFAB， ∴BE＝2BF， ∵∠AGE＝∠AFE＝90°， ∴∠BEG＝∠BAF＝∠ADO， ∴cos∠BEG＝cos∠ADO， 即， ∴EG， ∴（BM+MN）min． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题、解直角三角形等内容，熟练掌握二次函数中二倍角及45°角的处理方式是解题的关键． 【典例4】（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围； （3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）求出D，E点的坐标，易得抛物线的顶点坐标在直线y＝﹣1上移动，根据抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，得到抛物线与直线AB有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果； （3）先求出C点坐标，进而求出直线PQ的解析式，联立抛物线与直线AB，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出M点坐标，同理求出N点坐标，作MH⊥CT，NF⊥CT根据TC平分∠MTN，得到tan∠NTF＝tan∠MTH，设T（1，t），根据正切的定义，列出比例式进行求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1， ∴， 解得， 则该抛物线解析式为：y＝x2﹣2x； （2）当k＝1时，则y＝x﹣1， ∴当x＝0，y＝﹣1，当x＝2时，y＝1， ∴D（0，﹣1），E（2，1）， ∵y＝（x﹣h）2﹣1， ∴顶点坐标在直线y＝﹣1上移动， ∵y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点， ∴联立， 整理，得x2﹣（2h+1）x+h2＝0， ∴当Δ＝（2h+1）2﹣4h2＝0， 即时，满足题意， 将开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE均有公共点， ∴当y＝（x﹣h）2﹣1过点E（2，1）时，（2﹣h）2﹣1＝1， 解得：， ∴当时，抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点； （3）存在， ∵y＝kx﹣k， ∴当y＝0时，x＝1， ∴C（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴点C在抛物线的对称轴上， ∵PQ过点C，且与直线AB垂直， ∴直线PQ的解析式为：，即：， 联立，整理，得x2﹣（k+2）x+k＝0， ∴xA+xB＝k+2，， ∵M为AB的中点， ∴M， 联立， 同理可得：N， 作MH⊥CT，NF⊥CT， ∵TC 平分∠MTN， ∴∠NTF＝∠MTH， ∴tan∠NTF＝tan∠MTH， ∴， 设T（1，t），则， 解得：， ∴抛物线的对称轴上存在，使得TC 总是平分∠MTN． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 类型二 面积问题 【典例5】（2025•资阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的表达式； （2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D（0，﹣1），连接BC，DP相交于点E，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标； 【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案； （2）解法1：设P（t，t2﹣2t﹣3），连接OP，利用图形的面积建立方程求解即可；解法2：连接CP，根据面积关系证得CP∥BD，求得直线CP的表达式，联立方程组求解即可； 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴设y＝a（x﹣1）2﹣4， 把C（0，﹣3）代入，得：﹣3＝a﹣4， 解得：a＝1， ∴抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3； （2）解法1：设P（t，t2﹣2t﹣3），连接OP，如图1， ∵S△CDE＝S△PBE， ∴S△CDE+S四边形BODE＝S△PBE+S四边形BODE， 即S△BCO＝S四边形BODP＝S△POB+S△POD， ∴3×33×（﹣t2+2t+3）1×t， 解得：t1＝0（舍去），t2， ∴P（，）； 解法2：如图2，连接CP， ∵S△CDE＝S△PBE， ∴S△CDE+S△BDE＝S△PBE+S△BDE， 即S△BCD＝S△BPD， ∴CP∥BD， 设直线BD的表达式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线BD的表达式为yx﹣1， 设直线CP的表达式为yx+c，把C（0，﹣3）代入得：c＝﹣3， ∴直线CP的表达式为yx﹣3， 联立得， 解得：（舍去），， ∴P（，）； （3）满足条件的点M、N存在． 理由如下： ①若点M，N分别在直线BC的两侧， 不妨令点M在直线BC上方，点N在直线BC下方，如图3， 可知∠MGH＝90°， 则∠MGN＝∠MGH+∠HGN＞90°，不符合题意． ②若点M，N在直线BC的下方， 不妨设点M在点H的下方，如图4， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，连接MH，GN，则△MGN是等腰直角三角形，∠HGN＝45°， ∴GN⊥y轴，MH⊥x轴， 设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），其中0＜m＜3， 则点H坐标为（m，m﹣3）， 根据正方形的性质得：点N的坐标为（，）， 将点N的坐标代入抛物线表达式y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）， 得（3）（1）， 即（m2﹣5m+6）（m2﹣5m﹣2）＝2（m2﹣m﹣6）， 化简得（m﹣2）（m﹣3）（m2﹣5m﹣2）＝2（m﹣3）（m+2）， ∵0＜m＜3， ∴（m﹣2）（m2﹣5m﹣2）＝2（m+2）， 整理得m2﹣7m+6＝0， 解得：m1＝1，m2＝6（舍去）， 此时，MH＝2，正方形边长为． ③若点M，N在直线BC的上方， 不妨设点M在点H上方，如图5， 设点M（m，m2﹣2m﹣3），其中m＜0或m＞3， 根据正方形性质，点N坐标为（，）， 将点N的坐标代入抛物线的表达式y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）， 同理可得：m1＝1（舍去），m2＝6， 此时，MH＝18，正方形的边长为9． 综上所述，正方形的边长为或9． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特点，多边形的面积，正方形性质等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【典例6】（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； 【解答】解：（1）将（2，﹣1）代入y＝x2+bx﹣得，﹣1＝4+2b﹣1， 解得b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1； （2）如图所示，面积比保持不变为，理由如下： 根据题意可得，∠M＝∠ODQ＝90°，∠Q＝∠Q， ∴△QOD∽△QPM， ∴， ∴， ∴， 则或 ∴这个面积比为； 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． 12．（2025•自贡）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，BD交于点G． （1）若BD⊥CE，BD＝1，CE，则四边形BCDE的面积为 　　 ； （2）若BD+CE，△ABC的最大面积为S．设BD＝x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值； 【分析】（1）分割法得到四边形BCDE的面积，即可得出结果； （2）根据三角形的中位线定理，证明△ADE∽△ABC，进而推出，进而得到当四边形BCDE的面积最大时，S最大，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则BM≤BG，DN≤DG，进而得到四边形BCDE的最大面积，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； 【解答】解：（1）∵BD⊥CE，BD＝1，CE， ∴四边形BCDE的面积＝S△BCE+S△DCE ， 故答案为：； （2）∵△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴， ∴， 当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大， 如图，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则BM≤BG，DN≤DG， ∵四边形BCDE的面积＝S△BCE+S△DCE CE•BD， ∴四边形BCDE的面积最大CE•BD， ∵，BD＝x， ∴， ∴， ∴当时，S最大为； 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查三角形的中位线定理，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 第二部分 专题提优训练 1．（2025•武汉）抛物线y3与直线y＝x交于A，B两点（A在B的左边）． （1）求A，B两点的坐标． （2）如图1，若P是直线AB下方抛物线上的点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，过点P作y轴的平行线交线段AB于点N，满足PM＝PN，求点P的横坐标． （3）如图2，经过原点O的直线CD交抛物线于C，D两点（点C在第二象限），连接AC，BD分别交x轴于E，F两点．若S△DOF，求直线CD的解析式． 【分析】（1）当x3时，求解方程，即可得到A、B点坐标； （2）设P（t，3），则M（﹣t，3），N（t，t），由PM＝PN，可得|2t|＝t3，即可求出P点横坐标为2或6﹣4（舍）； （3）设C（c，3），D（d，3），直线CD的解析式为y＝（cd）xcd﹣3，由题可知cd＝﹣12，同理直线AC的解析式为y＝（c）xc﹣3，直线BD的解析式为y＝（d）xd﹣3，分别求出E（，0），F（，0），则OF＝OE，再由S△DOF，可得c，d的关系，可求C点坐标，即可求直线CD的解析式． 【解答】解：（1）当x3时，解得x＝﹣2或x＝6， ∴A（﹣2，﹣2），B（6，6）； （2）设P（t，3），则M（﹣t，3），N（t，t）， ∴PM＝|2t|，PN＝t3， ∵PM＝PN， ∴|2t|＝t3， 解得t＝2或t＝6﹣4， ∴P点横坐标为2或6﹣4； （3）设C（c，3），D（d，3）， 直线CD的解析式为y＝（cd）xcd﹣3， ∵CD经过原点， ∴cd﹣3＝0， 解得cd＝﹣12， 同理直线AC的解析式为y＝（c）xc﹣3，直线BD的解析式为y＝（d）xd﹣3， ∴F（，0），E（，0）， ∵cd＝﹣12， ∴F（，0）， ∴OF＝OE， ∵S△DOF， ∴OF×|yd|OE×|yc|， ∴， 解得：c＝﹣4，d＝3， ∴C（﹣4，1）， ∴直线CD的解析式为yx． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键． 2．（2025•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为（3，﹣4）． （1）求b与c的值． （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解b，c； （2）先确定△OBC为等腰直角三角形，过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD＝BA＝4，连接AD与BC 交于点E，则D（5，4），通过三线合一得到BC⊥AD，ED＝EA，由三角形面积公式可得过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，然后求出直线PD解析式，再与抛物线解析式联立求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（3，﹣4）， ∴y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5， ∴b＝﹣6，c＝5； （2）存在，理由如下：对于抛物线y＝x2﹣6x+5， 当y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5， 当x＝0，y＝5， ∴OB＝OC＝5，AB＝5﹣1＝4， ∵∠COB＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， 过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD＝BA＝4， 连接AD与BC交于点E，则D（5，4）， ∴∠DBC＝90°﹣∠OBC＝45°＝∠OBC， ∴BC⊥AD，ED＝EA， 过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P， ∵，S△BCP， ∴S△BCA＝S△BCP， 设直线BC：y＝mx+n， 则， ∴， ∴直线BC：y＝﹣x+5， ∵BC∥PD， ∴设直线PD：y＝﹣x+q，代入D（5，4）得：﹣5+q＝4， 解得：q＝9， ∴直线PD：y＝﹣x+9，与抛物线解析联立得：， 整理得：x2﹣5x﹣4＝0， 解得：或， ∴点P的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（2025•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点． （1）求直线BC对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值． 【分析】（1）由解析式可知C（0，3），令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0．解得x＝﹣1，或x＝3．点B的坐标为（3，0），最后由待定系数法可求直线BC的表达式； （2）方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入y＝﹣x2+2x+3中，可得，求出此函数的最大值，即可判断；方法二：由方法一，得．当y1+2y2＝10时，可得方程﹣3m2﹣2m+9＝10，整理方程后用根的判别式考虑方程的解的问题； （3）作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′，作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′，则MM′∥NN′，当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4．点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4），点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3），点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0），点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）．从而可知NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|．故∠PNQ＝∠BN′H＝45°．证明△MDE∽△MNP，由面积比可推得，即MD＝ND．再证明△MM′D′∽△NN′D，由，即MM′＝NN′，由此用含m的式子表示线段长列方程求解即可． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，可得C的坐标为（0，3）． 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3． 故点B的坐标为（3，0）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b， 故解得， ∴直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3． （2）不存在实数m使得y1+2y2＝10，理由如下： 方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入二次函数y＝﹣x2+2x+3中， 可得，， ∴， 配方得． 故当时，y1+2y2的最大值为10． 故不存在实数m使得y1+2y2＝10； 方法二：由方法一得． 当y1+2y2＝10时，即﹣3m2﹣2m+9＝10，整理可得3m2+2m+1＝0． ∵Δ＝4﹣12＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根． ∴不存在实数m使得y1+2y2＝10； （3）或，理由如下： 如图1，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′， 作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′， 则MM′∥NN′， 当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4． ∴点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4）． ∵点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3）， ∴点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0）， 点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）． ∴NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|． ∴∠PNQ＝∠BN′H＝45°． ∴PN∥BC， ∴△MDE∽△MNP． ∴， ∴，即MD＝ND． ∵MM′∥NN′， ∴△MM′D∽△NN′D． ∴，即MM′＝NN′， ∵点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴点M′的坐标为（m，﹣m+3）． ∴，即m2﹣m﹣1＝0或﹣4m＝﹣2， 解得或或m（此时P与M重合，舍去）， 故或． 【点睛】本题考查了待定系数求函数解析式，二次函数的最值，根的判别式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数抛物线中线段、角度和面积问题 第一部分 典例剖析 类型一 线段问题 【典例1】（2025•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）与正比例函数y＝kx的图象都经过点A（3，3），点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于点D． （1）若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段PC长度的最大值． （2）若该二次函数与x轴的一交点为B（m，0），且m＞4，求a的取值范围． 【典例2】（2025•海南）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（4，0）、B（﹣2，6）两点．点P（x0，y0）是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q． （1）若c＝﹣4． ①求抛物线的解析式； ②求线段PQ长度的最大值； ③若t≤x0≤t+1，求x0取何值时线段PQ的长度最大（可用含t的代数式表示x0）． （2）若c≠﹣4，t≤x0≤t+1，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 类型二 角度问题 【典例3】（2025•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1． （1）求二次函数关系式． （2）连结AC、BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． （3）在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线AQ，使∠BAQ＝2∠ACO，点M是线段AQ上的一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，连结BM，求BM+MN的最小值． 【典例4】（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围； （3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二 面积问题 【典例5】（2025•资阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的表达式； （2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D（0，﹣1），连接BC，DP相交于点E，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标； 【典例6】（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣1经过点（2，﹣1）．点P在此抛物线上．其横坐标为m；连接PO并延长至点Q，使OQ＝2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． 12．（2025•自贡）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，BD交于点G． （1）若BD⊥CE，BD＝1，CE，则四边形BCDE的面积为 　　 ； （2）若BD+CE，△ABC的最大面积为S．设BD＝x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值； 第二部分 专题提优训练 1．（2025•武汉）抛物线y3与直线y＝x交于A，B两点（A在B的左边）． （1）求A，B两点的坐标． （2）如图1，若P是直线AB下方抛物线上的点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，过点P作y轴的平行线交线段AB于点N，满足PM＝PN，求点P的横坐标． （3）如图2，经过原点O的直线CD交抛物线于C，D两点（点C在第二象限），连接AC，BD分别交x轴于E，F两点．若S△DOF，求直线CD的解析式． 2．（2025•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为（3，﹣4）． （1）求b与c的值． （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点． （1）求直线BC对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $