2026届高考数学压轴题冲刺演练（二）数列

2026届高考压轴题冲刺演练（二） 数列 一、解答题 1．（25-26高三下·江西·月考）已知数列的前项和为，且长为，宽为的矩形的周长为. (1)求、； (2)求的通项公式； (3)已知数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得出，分别令、，可求得、的值； （2）当时，由可得，两式作差可得出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （3）当时，推导出，且（当且仅当时，等号成立），于是得出，再利用不等式的基本性质结合累加法可证得结论成立. 【详解】（1）由题意得. 当时，，得. 当时，，得. （2）当时，由可得， 两式作差得， 得，得， 又，所以是首项为，公比为的等比数列. 故，得. （3），所以. 令函数，得，所以在上是增函数. 当时，，得. 因为，所以， 所以. 令函数，得. 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 故，得，当且仅当时，等号成立， 令，得，得， 则 . 故. 2．（2026·安徽滁州·一模）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． (2)若是“组差数列，且为定值，证明：． (3)记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由可得，当时，可得，进而结合题设定义即可判断； （2）由题意可得，设，可得，进而得到，进而得到数列是等差数列，且公差为3，即可求出，再利用错位相减法求证即可； （3）令，由题意可得，即存在非负整数和整数，使得，此时，设这项中的最小值为，进而得到，进而求证即可. 【详解】（1）是“组差数列”，理由如下： 由，得， 当时，，则， 所以， 则数列是以2为公差的等差数列，且， 故是“组差数列”. （2）因为是“组差数列， 所以数列是以18为公差的等差数列， 则， 又为定值，所以可设，则， 所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 则， 设， 则， 两式相减得，， 所以，即. （3）因为为“组差数列”， 所以数列是以为公差的等差数列， 则， 令，则， 对于任意正整数n，均存在非负整数和整数，使得， 此时， 设这项中的最小值为， 因为，所以， 从而， 则， 令，由对任意的实数均成立，则. 3．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求的取值范围； (3)请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和，然后按奇偶分类并结合数列单调性求出范围. （3）令，计算证明，再利用累加法推理判断. 【详解】（1）数列中，， 当时，，而满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得，， 而， 因此， 当为偶数时，，数列单调递减，； 当为奇数时，，数列单调递增，， 所以的取值范围是. （3）令，， 当时， ， 又， 因此，即， ， 则，所以. 4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知数列，满足是公差为2的等差数列，是首项为4的等比数列，且． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)是否存在两个不同的正整数，，使得可以按某种顺序构成一个新的等差数列？如果存在，求出所有的，；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不存在符合条件的正整数，理由见解析 【分析】(1)设、，用首项、公差、公比表示，结合已知条件列方程求解参数，最终得到通项公式； (2)代入和化简，得到等差乘等比型数列，使用错位相减法计算前项和； (3)先分析、的单调性与符号，确定四个数的大小关系，结合等差数列“最大项+最小项=中间两项和”的核心性质列方程，验证是否存在符合条件的正整数. 【详解】（1）设，. 由题意，是公差为2的等差数列，因此； 是首项为4的等比数列，设公比为，因此. 由数列和差关系，可得： 代入已知条件、列方程： ，，代入，得； ，，代入，得. 联立方程解得，，因此： ，， 于是，. （2）已知，，因此： . 设数列的前项和为，则： (1)-(2)错位相减： ， 令： ， 两式相减： ， 故，因此： ， 于是，， 即. （3）对：，因此是单调递增的正项数列， 即对任意正整数成立； 对：，因此是单调递减数列， 且，时，即. 若四个数按某种顺序成等差数列，因此必有： ，即， ， 为正整数，且，因此是2的正整数次幂， 仅当时，，此时，解得. 验证该解：四个数为，，，， 按从小到大排列为，相邻项的差不相等，无法构成等差数列. 其余正整数均无法使方程成立，因此不存在符合条件的正整数. 5．（2025·广东广州·一模）已知数列的前n项和为，且满足，又知，． (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用已知递推式结合已知条件，代入计算求解； （2）利用已知递推式，运用错位相减法求出递推关系，再分奇、偶项分类讨论求解； （3）先求出的通项公式，再根据的性质，分奇、偶数讨论求解． 【详解】（1），，， ，解得，故； 同理，解得， ． （2）①， 时， ②， 式①减②得， ， 又符合上式， 数列的奇、偶项分别成等差数列， 当时，首项，公差， 则， 当时，首项，公差， 则， 综上，． （3）， i）当时， ， ii）当时，则， ， 综上，． 6．（2026·天津河北·一模）对于数列，如果存在一个正整数m，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期． (1)设数列满足，，，且数列是周期为3的周期数列，求常数的值； (2)设数列的前n项和为，且．若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，，，，数列的前n项和为，试问是否存在p，q，使对任意的，都有成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)是周期为2的周期数列，理由见解析 (3)存在，，． 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）先利用求得或，由得出，求出数列的通项公式即可判断出数列是否为周期数列； （3）先由数列满足，推出数列以及数列是周期为的周期数列，求出数列的前项，即可求出数列的前项和以及数列的前项和的取值范围，即可求出对应的、的取值范围. 【详解】（1）因为数列是周期为3的周期数列， 当，时，，， 因为，，解得，或， 经检验，时，，时，，，成立； 时，，时，，，不成立，舍去； 所以． （2）当时，，又，得； 当时，， 化简，得． 即，或． 由，有， 所以数列为公比为等比数列，即， 所以对任意都成立， 即当时，是周期为2的周期数列． （3）假设存在p、q，满足题设． 所以化简，得， 又，则． 所以是周期为3的周期数列，所以的前3项分别为2，3，． 则，， 当时，； 当时，，因为数列单调递减，所以， 当时，，； 综上所述：，为使恒成立，只要，， 所以，． 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）线性反馈移位寄存器是现代通信应用中的关键技术，利用它进行简单的逻辑运算和移位操作能生成伪随机序列，因而被广泛用于干扰码、加密和同步等场景．某线性反馈移位寄存器通过以下规则生成由0和1组成的序列： ①初始设置：前三位为； ②生成规则：从第4位开始，计算公式为其中是正整数． (1)求数列的前6项； (2)设，求的通项公式； (3)设，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用递推关系计算即可得； （2）可借助数列的周期分类讨论得到对应； （3）观察可得数列的周期，则可得数列前项中、的个数，再分、及讨论即可． 【详解】（1）由递推关系得，； （2）观察：，… 数列的周期，且 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 所以的通项公式为. （3）数列的前项：共有12个数字，有个数字， 数对的选法，分成3种情况： ①当时，有种情况，每一种情况， ②当时，有种情况，每一种情况， ③当时，有种情况，每一种情况， 所以. 8．（2025·福建厦门·三模）已知数列的前项和为，，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设， （i）求数列的前项和； （ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据已知递推关系得，结合等差数列的定义即可证； （2）（i）由（1）得，利用关系求得，根据已知及组合数性质、二项式定理得，若数列的前项和为，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求；（ii）根据已知得到，再由不等关系有，则，最后应用分组求和求解即可. 【详解】（1）由，，则， 所以，故是首项、公差均为1的等差数列； （2）（i）由（1）得， 当时，， 显然满足，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 若数列的前项和为， 则，， 所以， 所以； （ii）当时，，与矛盾，所以， 当时，，与矛盾，所以， 综上，此时， 所以，可得，即， 所以，则 . 9．（2026·河北衡水·模拟预测）设是正整数，有穷整数列：. 若存在正整数满足：，恒成立，则称为数列，数列的所有项之和记为. (1)数列：1，，3，，1是否为数列？是否为数列？请说明理由. (2)若，是数列，且，求的最小值. (3)若，是数列，且，将各项重新排列后能构成等差数列，求的最小值. 【答案】(1)不是数列，是数列，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）按照定义检验是否满足条件即可； （2）是数列则意味着相邻两项之和均为正，将两两分组并累加，除去首尾项的和即可得到中间部分的和的范围，进而得到的范围，最后构造一个能取到最小值的数列； （3）先根据性质和等差数列求和得到可能的最小值，然后验证哪些值是不可能达到的，最后构造一个满足条件的数列 【详解】（1）对于数列，取，有，不满足条件，故不是数列； 取，有，取，有， 均满足条件，故是数列. （2）是数列，则依定义有对都有，又，所以， 从而可得即， 同样考虑到可知，所以， 考虑数列，它满足且对都有， 其和为，因此的最小值为. （3）设排好的等差数列为，公差， 因为是数列，对都有， 所以①， 因为是中的最小项，所以②， 又因为是中的一项，所以存在整数使得即③， 同时根据等差数列前项和公式有④， 综合②③④可得整理得， 因为均为非负整数，所以得， 若,，此时，；若,，不等式恒成立， 此时；若,， 此时或，时，时， 接下来验证能否为或，由上述分析可知，若，则，，， 即等差数列为，根据性质有 即， 即， 同时根据①有，而中只有两个元素不超过，矛盾，因此不可能为； 对于，取为即可，显然满足条件， 综上所述，的最小值为. 【点睛】对于并无明确优化路径的最值问题，可以先分析判断出其可能的最值，再证明最值可以取到. 10．（2026·河北廊坊·一模）若数列满足对任意的，都有，则称数列为伪等比数列． (1)若数列为伪等比数列，，求的所有可能取值； (2)证明：对任意的，存在以及一个首项为1的伪等比数列，使得数列的前n项和； (3)若数列为伪等比数列，数列的前n项积，当时，证明：或，． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据定义，分情况讨论取值，求； （2）构造数列，计算前项和，证明存在满足条件的数列； （3）由前项积得，结合定义分析即可. 【详解】（1）由题意得，，则或；或或；或或或， 的所有可能取值为. （2）当时，，可取数列为，此时， 随后再依次在原数列的最后一项之后增加以下各组数据（每组三项）：， 则当时， ， 当时，也适合上式，故， 所以对任意的，总存在以及一个首项为1的伪等比数列为，使得数列的前n项和. （3）由集合中元素的互异性得， 由题意得从到后一项比前一项的值为或， 设出现了次，则出现了次，从而，其中， 则 ， 从而，即， 整理得，即， 是的整数倍，或， 得证. 11．（2026·广西崇左·一模）若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列. (1)已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，. （i）求，； （ii）求的前n项和. (2)已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）明确数列的递推公式，根据递推公式求数列的项； （ii）分为奇数和偶数讨论，分别求奇数项的和与偶数项的和即可. （2）先确定数列的通项公式，再利用错位相减法求和，即可证明所给不等式. 【详解】（1）（i）由为1阶跳跃等差数列，得， 则，，. （ii）当为偶数时，设（），前项包含个奇数项和个偶数项. 奇数项和， 偶数项和， 所以，则. 当n为奇数时，. 综上，. （2）因为数列为k阶跳跃等差数列，且，所以. 因为，， 所以，， ，， 当时，. 设（），则，则单调递增， 则，则， 所以的前（）项中不大于的项数为，则， 则. 设， 则， 则 ， 所以， 所以. 因为，所以. 12．（2026·广东汕头·一模）设各项为整数的等差数列，，…，的公差，首项．已知从中能抽取个项并按原顺序排成公比为q的等比数列，，…，，其中，． (1)若从等差数列1，3，5，…，中能抽取3个项并按原顺序排成等比数列，求的最小值； (2)求证：； (3)请举出一个满足的例子． 【答案】(1)； (2)证明过程见详解； (3) 如：首项为1，公差为1的等差数列. 【分析】（1）利用假设的方法，由已知条件，构造关于不等式，进而求出最小值； （2）将等比数列通项代入等差数列通项，再利用下标差性质寻找不等式，最后通过累加法得证； （3）选取首项为1，公差为1的等差数列，通过验证说明其正确性即可. 【详解】（1）设抽取的三个项为，，，三数成等比， 故，整理得： 由， 当取最小值时，，此时，故， 且可构成公比为的等比数列，满足条件，因此的最小值为. （2）证明：等差数列通项为，抽取的等比数列首项为， 故第项为，代入等差数列通项得： ， 由，得（因），且为整数，故. 对任意，两项下标差满足： ， 累加得： ， 因，故，得证. （3）取首项，公差的等差数列，， 即等差数列为；抽取下标为的项，得到项， 这是公比为的等比数列，满足所有条件，此时，符合要求. 13．（2026·江苏·二模）已知有限等比数列的项数为，公比．将的所有项按照某种顺序排成一列，得到数列，使得时，． (1)若，写出所有满足条件的； (2)是否存在，使得对任意，都成立？并说明理由； (3)从满足条件的所有数列中随机抽取一个，求抽到的为等比数列的概率． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】(1) 根据数列的定义，枚举时的所有全排列，逐一验证是否满足非递增的条件，筛选出符合要求的排列即可； (2) 假设存在，通过构造满足非递增的交替排列，验证该排列中任意连续三项均不满足等比中项性质，从而证明存在性； (3) 先归纳推导满足条件的的总数，再统计其中为等比数列的数量，最后根据古典概型公式计算概率. 【详解】（1）由，，得为严格递减的正项等比数列，即 根据题意，是的全排列，且需满足。 的全排列共种，逐一验证： 排列：，满足条件； 排列：​，满足条件； 排列：​，满足条件； 排列：​，但，不满足条件； 排列：​，不满足条件； 排列：​，满足条件； 当时，满足条件的有4个，分别为 ，，， （2）存在，使得对任意都成立． 理由如下： 当为偶数时，设为，① 因为， 即，所以①满足条件， 为奇数时，为偶数，， 所以为偶数时，存在，使得对任意都成立． 当为奇数时，设为，② 因为，所以②满足条件， 同理可验证②中，对任意都成立， 即为奇数时，存在，使得对任意都成立． 综上，存在，使得对任意都成立. （3）因为，所以． 由得，， 即． 记时，满足题意的的个数为． 当时，因为， 又，所以， 依次类推，的第1项至第项的排列确定，为， 所以当时，个数等于的重新排列个数，即个． 当时，满足条件的有1个：，即． 综上分析，， 所以， 所以. 由（1）可知，， 所以从第3项开始是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以． 由上述分析，仍为等比数列的只有两个： 和， 所以从所有中随机抽取一个，抽到为等比数列的概率 14．（2026·四川成都·二模）在数列中，，设的前n项和为．记表示不超过x的最大整数． (1)求； (2)是否存在常数A，，使得？若存在，求A和的值；若不存在，请说明理由； (3)求． 【答案】(1)，， (2)存在，， (3) 【分析】（1）由数列递推公式赋值求出，再根据取整函数的定义依次计算即得； （2）由（1）得结论，代入，求出，即得数列通项，验证即可； （3）先求导证明，利用其将数列的通项放缩，根据等比数列求和公式推得，结合可得，最后利用等差数列求和公式即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以，故； 又，故，，所以； 同理，故， 因，则,故, 所以，故. （2）假设存在常数A，使得， 则由（1）得，即. 因为，可得，解得（负值舍去）. 故.又，则得，即，故. 此时，. 所以存在，满足题意. （3）当时，，所以. 当时，因为，所以，故. 设函数，则. 所以在上单调递增，故，即. 所以. 则 ，因， 所以.故. 综上，当时，，故. 令，则当时， . 又因为满足，所以，. 15．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）设无穷数列的前项和为，若，，，则称数列为“型”数列． (1)若数列为“型”数列，且，求，，的值； (2)若数列为“型”数列，且，求数列的通项公式； (3)若“型”数列中可以存在无穷多项为0，求的取值集合． 【答案】(1)，，. (2) (3) 【分析】（1）由题知，再结合递推关系求解即可； （2）由题得，，进而分奇偶项分别求通项即可； （3）分当，当时且不是整数时，当时且是整数时三种情况，结合“型”数列讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为数列为“型”数列，且， 所以，， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 所以，，. （2）解：因为数列为“型”数列，且，故， 当时，，， 所以，即，， 当时，，即， 因为，所以， 所以，， 以此类推，对任意的恒成立， 所以，， 所以数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列， 奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 所以，当为偶数时，， 当为奇数时，， 综上，数列的通项公式为 （3）解：当时，，由（2）知，数列中没有0项， 当时，且不是整数时，，则，， 以此类推，恒成立，不满足题意； 当时，且是整数时，假设是数列中的第一个为0的项， 则当时，， 所以，即，为偶数 因为，， 为使数列中存在无穷多项为0，可令对所有成立， 下面验证此种情况满足题设条件， 当时， ， 所以，当时，数列中可以存在从开始的项都为0， 所以的取值集合为正整数集 16．（2026·河北邢台·一模）已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列的完美子列. (1)求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列； (2)将数列1，2，3，…，，，，…，的所有完美子列的个数记为求数列的通项公式； (3)证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 【答案】(1)；；；； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据完美子列的定义列出即可； （2）按首项分类，写出首项为时完美子列的个数，发现其满足等差数列，对该等差数列进行求和即可； （3）分，与进行讨论，逐类分析是否可能存在完美子列. 【详解】（1）该数列的所有完美子列如下：；；；. （2）数列的完美子列 按首项分类，有如下情况： 若首项为，则完美子列为：；；；；，共个完美子列； 若首项为，则完美子列为：；；；；，共个完美子列； 若首项为，则完美子列为：；；；，共4个完美子列； 若首项为，则完美子列为：；，共2个完美子列. 因此，. （3）设等比数列的公比为，易知， ①当时，若，则为非零常数列，即，取出3项后， 由于，即其中任意一项都不等于另外两项之和，因此此时不存在完美子列； 若，则为，易知其亦不存在完美子列； ②当时 ，假设存在完美子列. （i）若，当时，设的一个完美子列为， 则，且， 但事实上，所以上述等式不可能成立，此时不存在完美子列； 当时，此时中项的绝对值随的增大逐渐增大，同理不存在完美子列. （ii）若，由①知不需要讨论的子列中的项全为正数或全为负数的子列， 当的一个完美子列中的项为两正一负时，设该完美子列为， 其中，（点拨：当时，无论的首项是正是负， 数列中的项均为一正一负交替出现，所以不需要再讨论首项与0的大小关系） 此时应有，则，（提示：只有正数中的最大数与负数的和才有可能等于另一个正数）. 若，则， 若，则， 所以等式不可能成立； 同理两负一正的情况也不成立。所以不存在完美子列. 综上，若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 17．（2025·山东·三模）已知数列满足：①，是的前n项和；②对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，，…，；③，，…，与，，…，一起恰好组成数列． (1)求，的值． (2)（ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）对于数列，若，，证明：当时，． 【答案】(1)，； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1），再根据，则； （2）（i）分析得，再构造等比数列求得，最后降次作差即可； （ii）当时，累加得，最后利用错位相减法即可证明. 【详解】（1）令，显然， 由， . （2）（i）由按上述规则产生共个正整数， 而产生共个正整数则个正整数包含①， ②， 故， ， 当时， 又，. (ii)由， 当时，， 由， 当时， 令， ， ， ， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考压轴题冲刺演练（二） 数列 1．（25-26高三下·江西·月考）已知数列的前项和为，且长为，宽为的矩形的周长为. (1)求、； (2)求的通项公式； (3)已知数列的前项和为，证明：. 2．（2026·安徽滁州·一模）在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． (1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． (2)若是“组差数列，且为定值，证明：． (3)记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 3．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求的取值范围； (3)请比较与的大小，并说明理由． 4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知数列，满足是公差为2的等差数列，是首项为4的等比数列，且． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)是否存在两个不同的正整数，，使得可以按某种顺序构成一个新的等差数列？如果存在，求出所有的，；如果不存在，请说明理由． 5．（2025·广东广州·一模）已知数列的前n项和为，且满足，又知，． (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． 6．（2026·天津河北·一模）对于数列，如果存在一个正整数m，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期． (1)设数列满足，，，且数列是周期为3的周期数列，求常数的值； (2)设数列的前n项和为，且．若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，，，，数列的前n项和为，试问是否存在p，q，使对任意的，都有成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由． 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）线性反馈移位寄存器是现代通信应用中的关键技术，利用它进行简单的逻辑运算和移位操作能生成伪随机序列，因而被广泛用于干扰码、加密和同步等场景．某线性反馈移位寄存器通过以下规则生成由0和1组成的序列： ①初始设置：前三位为； ②生成规则：从第4位开始，计算公式为其中是正整数． (1)求数列的前6项； (2)设，求的通项公式； (3)设，求的值． 8．（2025·福建厦门·三模）已知数列的前项和为，，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设， （i）求数列的前项和； （ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式. 9．（2026·河北衡水·模拟预测）设是正整数，有穷整数列：. 若存在正整数满足：，恒成立，则称为数列，数列的所有项之和记为. (1)数列：1，，3，，1是否为数列？是否为数列？请说明理由. (2)若，是数列，且，求的最小值. (3)若，是数列，且，将各项重新排列后能构成等差数列，求的最小值. 10．（2026·河北廊坊·一模）若数列满足对任意的，都有，则称数列为伪等比数列． (1)若数列为伪等比数列，，求的所有可能取值； (2)证明：对任意的，存在以及一个首项为1的伪等比数列，使得数列的前n项和； (3)若数列为伪等比数列，数列的前n项积，当时，证明：或，． 11．（2026·广西崇左·一模）若存在正整数k，使得对任意正整数n，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列. (1)已知数列为1阶跳跃等差数列，且，，. （i）求，； （ii）求的前n项和. (2)已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选1项，记该项大于的概率为，证明：. 12．（2026·广东汕头·一模）设各项为整数的等差数列，，…，的公差，首项．已知从中能抽取个项并按原顺序排成公比为q的等比数列，，…，，其中，． (1)若从等差数列1，3，5，…，中能抽取3个项并按原顺序排成等比数列，求的最小值； (2)求证：； (3)请举出一个满足的例子． 13．（2026·江苏·二模）已知有限等比数列的项数为，公比．将的所有项按照某种顺序排成一列，得到数列，使得时，． (1)若，写出所有满足条件的； (2)是否存在，使得对任意，都成立？并说明理由； (3)从满足条件的所有数列中随机抽取一个，求抽到的为等比数列的概率． 14．（2026·四川成都·二模）在数列中，，设的前n项和为．记表示不超过x的最大整数． (1)求； (2)是否存在常数A，，使得？若存在，求A和的值；若不存在，请说明理由； (3)求． 15．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）设无穷数列的前项和为，若，，，则称数列为“型”数列． (1)若数列为“型”数列，且，求，，的值； (2)若数列为“型”数列，且，求数列的通项公式； (3)若“型”数列中可以存在无穷多项为0，求的取值集合． 16．（2026·河北邢台·一模）已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列的完美子列. (1)求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列； (2)将数列1，2，3，…，，，，…，的所有完美子列的个数记为求数列的通项公式； (3)证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 17．（2025·山东·三模）已知数列满足：①，是的前n项和；②对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，，…，；③，，…，与，，…，一起恰好组成数列． (1)求，的值． (2)（ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）对于数列，若，，证明：当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $