专题09 数列解答题综合（一）（等差、等比通项及数列求和）（10年汇编）（四大考点，31题）（全国通用）2017-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 高中数学数列解答题综合汇编，含四大考点31道高考真题，覆盖等差等比通项、求和及递推综合，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|31题|等差数列（2023全国乙卷）、等比数列（2024全国甲卷）、等差等比混考（天津卷）、递推及求和（2023全国甲卷）|梯度设问（基础到中档递进），天津卷混考特色必考，递推题作为压轴拉分，结合集合、新定义拓展|

专题09 数列解答题综合（一） （等差、等比通项及数列求和） （四大考点，31题） 考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律 考点01 等差数列及其前n项和 2023全国乙卷、2023新课标Ⅰ卷、2023新课标Ⅱ卷、2019北京卷、2019全国Ⅰ卷、2019上海卷、2018全国Ⅱ卷、2017北京卷 1. 题型固定为解答大题，位居高考数列解答题第一问高频考位，难度基础。 2. 核心考查等差数列通项公式求解、前n项和计算、数列最值分析、等差数列判定证明。 3. 常结合等比数列性质综合设问，部分题目结合集合元素、数列新定义拓展考查，侧重基础公式运算与简单推理。 考点02 等比数列及其前n项和 2024全国甲卷、2020山东卷、2019全国Ⅱ卷、2018全国Ⅲ卷、2017山东卷 1. 以解答题为主，多为两小问梯度设问，难度由基础到中档递进。 2. 核心考查正项等比数列通项求解、公比运算、前n项和公式应用，结合区间统计数列项数创新考法。 3. 常结合对数变形构造新数列，考查分组求和、裂项求和，侧重公式变形与综合运算能力。 考点03 等差等比混考 2026天津卷、2025天津卷、2024天津卷、2023天津卷、2019天津卷、2019浙江卷、2018浙江卷、2018天津卷、2017全国Ⅱ卷 1. 高考高频中档解答题型，为天津卷特色必考题型，全国卷高频考查，区分度适中。 2. 核心考查等差、等比数列联立求解通项，利用数列性质证明不等式、求解数列元素和与个数。 3. 多采用多小问梯度设问，结合新定义数列、集合元素融合考查，综合考查推理证明与运算能力。 考点04 数列递推及数列求和 2024全国甲卷、2023全国甲卷、2021新高考全国Ⅰ卷、2018全国Ⅰ卷、2018天津卷、2017全国Ⅲ卷、2017天津卷 1. 数列解答题核心重难点，多作为压轴小问考查，难度中档偏上。 2. 核心考查Sn与an递推关系转化、构造新等差/等比数列、分段数列求和、裂项求和、分组求和。 3. 常结合递推公式变形、数列奇偶项规律命题，搭配不等式证明，综合性强，是高考拉分关键考点。 考点01 等差数列及其前n项和 1. （2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 2. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 3. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 4. （2019·北京·高考真题）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 5. （2019·全国I卷·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 6. （2019·上海·高考真题）已知等差数列的公差，数列满足，集合. （1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素； （3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值. 7. （2018·全国II卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，．     （1）求的通项公式；     （2）求，并求的最小值． 8. （2017·北京·高考真题）设和是两个等差数列，记， 其中表示这个数中最大的数． （Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列． 9. （2017·北京·高考真题）已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求和：． 考点02 等比数列及其前n项和 1. （2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 2. （2020·山东·高考真题）已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 3. （2019·全国II卷·高考真题）已知是各项均为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 4. （2018·全国III卷·高考真题）等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 5. （2017·山东·高考真题）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. (I)求数列{an}通项公式； (II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和. 考点03 等差等比混考 1. （2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 2. （2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 3. （2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 4. （2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 5. （2019·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列.已知. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足其中. （i）求数列的通项公式； （ii）求. 6. （2019·浙江·高考真题）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对任意成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记 证明： 7. （2019·天津·高考真题） 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足求. 8. （2018·浙江·高考真题）已知等比数列的公比，且，是的等差中项．数列满足，数列的前n项和为． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列的通项公式． 9. （2018·天津·高考真题）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求Sn和Tn； （Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值． 10. （2017·全国II卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，求. 考点04 数列递推及数列求和 1. （2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2. （2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3. （2018·全国I卷·高考真题）已知数列满足，，设． （1）求； （2）判断数列是否为等比数列，并说明理由； （3）求的通项公式． 4. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 5. （2017·全国III卷·高考真题）设数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列 的前项和． 6. （2018·天津·高考真题）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 7. （2017·天津·高考真题）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0， . （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和. 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 数列解答题综合（一） （等差、等比通项及数列求和） （四大考点，31题） 考点分类 十年考情（2017-2026） 命题规律 考点01 等差数列及其前n项和 2023全国乙卷、2023新课标Ⅰ卷、2023新课标Ⅱ卷、2019北京卷、2019全国Ⅰ卷、2019上海卷、2018全国Ⅱ卷、2017北京卷 1. 题型固定为解答大题，位居高考数列解答题第一问高频考位，难度基础。 2. 核心考查等差数列通项公式求解、前n项和计算、数列最值分析、等差数列判定证明。 3. 常结合等比数列性质综合设问，部分题目结合集合元素、数列新定义拓展考查，侧重基础公式运算与简单推理。 考点02 等比数列及其前n项和 2024全国甲卷、2020山东卷、2019全国Ⅱ卷、2018全国Ⅲ卷、2017山东卷 1. 以解答题为主，多为两小问梯度设问，难度由基础到中档递进。 2. 核心考查正项等比数列通项求解、公比运算、前n项和公式应用，结合区间统计数列项数创新考法。 3. 常结合对数变形构造新数列，考查分组求和、裂项求和，侧重公式变形与综合运算能力。 考点03 等差等比混考 2026天津卷、2025天津卷、2024天津卷、2023天津卷、2019天津卷、2019浙江卷、2018浙江卷、2018天津卷、2017全国Ⅱ卷 1. 高考高频中档解答题型，为天津卷特色必考题型，全国卷高频考查，区分度适中。 2. 核心考查等差、等比数列联立求解通项，利用数列性质证明不等式、求解数列元素和与个数。 3. 多采用多小问梯度设问，结合新定义数列、集合元素融合考查，综合考查推理证明与运算能力。 考点04 数列递推及数列求和 2024全国甲卷、2023全国甲卷、2021新高考全国Ⅰ卷、2018全国Ⅰ卷、2018天津卷、2017全国Ⅲ卷、2017天津卷 1. 数列解答题核心重难点，多作为压轴小问考查，难度中档偏上。 2. 核心考查Sn与an递推关系转化、构造新等差/等比数列、分段数列求和、裂项求和、分组求和。 3. 常结合递推公式变形、数列奇偶项规律命题，搭配不等式证明，综合性强，是高考拉分关键考点。 考点01 等差数列及其前n项和 1. （2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 2. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 3. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明：方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时， ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）略 4. （2019·北京·高考真题）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式； (Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值. 【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 即，解得，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知, 所以； 当或者时，取到最小值. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 5. （2019·全国I卷·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果； （2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 根据题意有， 解答，所以， 所以等差数列的通项公式为； （2）由条件，得，即， 因为，所以，并且有，所以有， 由得，整理得， 因为，所以有，即， 解得， 所以的取值范围是： 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 6. （2019·上海·高考真题）已知等差数列的公差，数列满足，集合. （1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素； （3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值. 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合题意的集合；当时，对于，均无法得到符合题意的集合，从而通过讨论可知. 【详解】（1）， ，， ，，， 由周期性可知，以为周期进行循环 （2），， 恰好有两个元素 或 即或 或 （3）由恰好有个元素可知： 当时，，集合，符合题意； 当时，， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取，，符合条件    当时，， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取，，符合条件 当时，， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取时，，符合条件 当时，， 或 因为为公差的等差数列，故     又，故 当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件； 当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件； 当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或 若，即，不是整数， 若，即，不是整数， 故不符合条件； 综上： 【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到的取值，再根据集合的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题. 7. （2018·全国II卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，．     （1）求的通项公式；     （2）求，并求的最小值． 【答案】（1）；（2），最小值为–16． 【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果； （2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出. 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法 设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以． [方法二]：函数+待定系数法 设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以． （2）[方法1]：邻项变号法 由可得．当，即，解得，所以的最小值为， 所以的最小值为． [方法2]：函数法 由题意知，即， 所以的最小值为，所以的最小值为． 【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解； （2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值； 方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值． 8. （2017·北京·高考真题）设和是两个等差数列，记， 其中表示这个数中最大的数． （Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】试题分析：（Ⅰ）分别代入求，观察规律，再证明当时，，所以关于单调递减. 所以，从而得证；（Ⅱ）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明. 试题解析：（Ⅰ） ， . 当时，， 所以关于单调递减. 所以. 所以对任意，于是， 所以是等差数列. （Ⅱ）设数列和的公差分别为，则 . 所以 ①当时，取正整数，则当时，，因此. 此时，是等差数列. ②当时，对任意， 此时，是等差数列. ③当时， 当时，有. 所以 对任意正数，取正整数， 故当时，. 【名师点睛】近几年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对新的信息的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二问难度较大，适合选拔优秀学生. 9. （2017·北京·高考真题）已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求和：． 【答案】（1）an=2n−1.（2） 【详解】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d. 因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10. 解得d=2. 所以an=2n−1. （Ⅱ）设等比数列的公比为q. 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9. 解得q2=3. 所以. 从而. 【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.   考点02 等比数列及其前n项和 1. （2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 2. （2020·山东·高考真题）已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式. （2）方法一：通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和. 【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)， 所以，所以数列的通项公式为. （2）［方法一］：规律探索 由于，所以 对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有2个1； 对应的区间分别为，则，即有个2； 对应的区间分别为，则，即有个3； 对应的区间分别为，则，即有个4； 对应的区间分别为，则，即有个5； 对应的区间分别为，则，即有37个6． 所以． ［方法二］【最优解】： 由题意，，即，当时，． 当时，，则 ． ［方法三］： 由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，． 所以 ． 所以数列的前100项和． 【整体点评】（2）方法一：通过数列的前几项以及数列的规律可以得到的值，从而求出数列的前项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列的通项公式，从而求出数列的前项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版． 3. （2019·全国II卷·高考真题）已知是各项均为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果； (2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果． 【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，， 所以令数列的公比为，，， 所以，解得(舍去)或， 所以数列是首项为、公比为的等比数列，． (2)因为，所以，，， 所以数列是首项为、公差为的等差数列，． 【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题． 4. （2018·全国III卷·高考真题）等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 【答案】（1）或 . （2）. 【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m． 详解：（1）设的公比为，由题设得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，则．由得，此方程没有正整数解． 若，则．由得，解得． 综上，． 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题． 5. （2017·山东·高考真题）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. (I)求数列{an}通项公式； (II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和. 【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）. 【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和. 试题解析：（Ⅰ）设的公比为，由题意知：. 又， 解得：， 所以. （Ⅱ）由题意知：， 又 所以, 令, 则， 因此 , 又, 两式相减得 所以. 【考点】等比数列的通项,错位相减法求和. 【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 考点03 等差等比混考 1. （2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式； （2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 2. （2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii） 【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； （2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明； （ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解； 法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）略 （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 3. （2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)①证明见详解；② 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列； 2.根据等差数列求和分析可得. 4. （2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【答案】(1)，； (2)(Ⅰ)证明如下： 由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)，前项和为. 【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得. (2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，， 取，当时，，取，即可证得题中的不等式； (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)略 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益. 5. （2019·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列.已知. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足其中. （i）求数列的通项公式； （ii）求. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii） 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可； (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值. 【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 依题意得，解得， 故，. 所以，的通项公式为，的通项公式为. (Ⅱ)(i). 所以，数列的通项公式为. (ii) . 【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力. 6. （2019·浙江·高考真题）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对任意成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记 证明： 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】(1)首先求得数列的首项和公差确定数列的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列的通项公式； (2)结合(1)的结果对数列的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由题意可得：，解得：， 则数列的通项公式为 . 其前n项和. 则成等比数列，即： ， 据此有： ， 故. (2)结合(1)中的通项公式可得： ， 则. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7. （2019·天津·高考真题） 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足求. 【答案】（I），； （II） 【分析】（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式； （II）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果. 【详解】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 依题意，得，解得， 故，， 所以，的通项公式为，的通项公式为； （II） ， 记    ① 则   ② ②①得，， 所以 . 【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目. 8. （2018·浙江·高考真题）已知等比数列的公比，且，是的等差中项．数列满足，数列的前n项和为． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列的通项公式． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列前n项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求. 【详解】详解：（Ⅰ）由是的等差中项得， 所以， 解得. 由得， 因为，所以. （Ⅱ）设，数列前n项和为. 由解得. 由（Ⅰ）可知， 所以， 故，                        . 设， 所以， 因此， 又，所以. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 9. （2018·天津·高考真题）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求Sn和Tn； （Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值． 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4. 【分析】（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合题意可得等差数列的首项和公差为，则其前n项和. （II）由（I），知 据此可得 解得（舍），或.则n的值为4. 【详解】（I）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得． 因为，可得，故．所以，． 设等差数列的公差为．由，可得． 由，可得从而，故，所以，． （II）由（I），有 由, 可得， 整理得解得（舍），或．所以n的值为4． 点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力. 10. （2017·全国II卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，. （1）若，求的通项公式； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）5或. 【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，由已知条件求出，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出. 【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即. （1）∵，结合得， ∴. （2）∵，解得或3， 当时，，此时； 当时，，此时. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系. 考点04 数列递推及数列求和 1. （2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 2. （2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 3. （2018·全国I卷·高考真题）已知数列满足，，设． （1）求； （2）判断数列是否为等比数列，并说明理由； （3）求的通项公式． 【答案】（1），，；（2）是首项为，公比为的等比数列．理由见解析；（3）. 【分析】（1）根据，求得和，再利用，从而求得，，； （2）方法一：利用条件可以得到，从而可以得出，这样就可以得到数列是首项为，公比为的等比数列； （3）方法一：借助等比数列的通项公式求得，从而求得. 【详解】（1）由条件可得， 将代入得，，而，所以，． 将代入得，，所以，． 从而，，； （2）[方法1]：【通性通法】定义法 由以及可知，，， 所以，，又，所以为等比数列． [方法2]：等比中项法 由知，所以，． 由知，所以． 所以为等比数列． （3）[方法1]：【最优解】定义法 由（2）知，所以． [方法2]：累乘法 因为，累乘得：． 所以． 【整体点评】（2）方法一：利用定义证明数列为等比数列，是通性通法； 方法二：利用等差中项法判断数列为等比数列，也是常用方法； （3）方法一：根据（2）中结论利用等比数列的通项公式求解，是该题的最优解； 方法二：根据递推式特征利用累乘法求通项公式． 4. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． [方法三]：累加法 由题意知数列满足． 所以， ， 则． 所以，数列的通项公式． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路. (2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法； 方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择. 5. （2017·全国III卷·高考真题）设数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列 的前项和． 【答案】(1) ；(2). 【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式. （2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和. 【详解】（1）数列满足 时, ∴ ∴ 当时,,上式也成立 ∴ （2） ∴数列的前n项和 【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题. 6. （2018·天津·高考真题）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，； (Ⅱ)（i）. （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【详解】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得 （II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由 可得.因为，可得，故. 设等差数列的公差为d，由，可得 由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有， 故. （ii）略 7. （2017·天津·高考真题）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0， . （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和. 【答案】（Ⅰ）. .（Ⅱ）. 【详解】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，. 由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得. 所以，的通项公式为，的通项公式为. （Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有 ， ， 上述两式相减，得 . 得. 所以，数列的前项和为. 【考点】等差数列、等比数列、数列求和 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和. 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $