精品解析：2026年安徽省六安市裕安中学九年级模拟测试数学试题（二）

2026年裕安中学九年级模拟测试（二） 数学学科 试题卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 中国是世界上最早使用负数的国家、下列各数中，是负数的是（ ） A. B. 0 C. D. 5 2. 某学校篮球场旁供学生休息的石板凳如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 根据央视新闻发布的数据显示，截至月日时，总台年春晚在新媒体端直播收视次数达亿次，比去年同期提升．数据亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，连接正八边形的两条对角线， ，则（ ） A. B. C. D. 6. 将写有质数2，3，5的三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（ ） A. B. C. D. 8. 在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有；⑤方程有两个异号的实数根．其中正确的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 已知平行四边形中，，，，点E在边上，沿折叠得，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当落在边上时， C. 当落在边上时，的面积为 D. 的最小值为 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 计算：__________． 12. 比较大小：_________． 13. 如图，的面积为3，边AO在x轴上，点C在y轴上，点B、D在双曲线上，B、D两点的横坐标之比是1:3，则的面积是__________． 14. 已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推．根据以上材料，回答下列问题： （1）计算： __________（用含x，y的代数式表示）； （2）当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且），则的值为__________． 三、解答题（共90分） 15. 解方程： （1） （2） 16. 列一元一次方程解应用题：在一次劳动课上，有24名同学在甲处劳动，有18名同学在乙处劳动，现在从乙处调一部分人去支援甲处，使得在甲处的人数比在乙处人数的2倍多3人，应从乙处调往甲处多少人？ 17. 在如图所示的正方形网格图中，的顶点均在格点上，线段与线段关于点O成中心对称． （1）按要求画图． ①画出，使和关于点O成中心对称； ②画出关于直线a对称的． （2）与是否关于某条直线成轴对称？若是，请在图中画出这条直线． 18. 九年级（1）班学生计划利用无人机测量宿舍楼的高度．如图，此时无人机在离地面的距离为，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得宿舍楼BC顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和宿舍楼之间的距离为，点A，B，C，D，E都在同一平面上．求宿舍楼的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 19. 为响应“健康中国”战略，某校将课间延长至15分钟以鼓励学生参与体育活动．现从八年级随机抽取部分学生，统计其每日课间主动运动时间（单位：分钟），部分信息如下： 信息1：绘制如下表格： 等级 运动时间 频数 频率 低活跃 6 a 中等活跃 14 高活跃 b c 超高活跃 8 信息2：每日课间主动运动时间在中的具体数据为15，15，16，16，17，18，19，20． 根据以上信息，解答下列问题： （1）计算： ______， ______， ______； （2）求所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数； （3）若该校八年级共有600名学生，估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数． 20. 如图，在中，以为直径作，恰好为的切线．点为上方上的点，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 22. 如图，在矩形中，的平分线交于点P，过点D作交的延长线于点E，与的延长线交于点F，且 （1）如图1，当时，与的数量关系为__________ （2）如图2，连接，，与相交于点G，求证：． （3）如图3，当时，其他条件不变，若，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）该抛物线的对称轴为________． （2）已知，当时，y的取值范围是，求a，m的值． （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当时，y的取值范围是，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年裕安中学九年级模拟测试（二） 数学学科 试题卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 中国是世界上最早使用负数的国家、下列各数中，是负数的是（ ） A. B. 0 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得，四个数中只有是负数． 2. 某学校篮球场旁供学生休息的石板凳如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的定义和画法判定即可． 【详解】解：从左边看，可得左视图为： 3. 根据央视新闻发布的数据显示，截至月日时，总台年春晚在新媒体端直播收视次数达亿次，比去年同期提升．数据亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：亿， 亿． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 5. 如图，连接正八边形的两条对角线， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题以正多边形及其外接圆为载体，以正多边形的性质及其应用，解题的关键是掌握相关的知识．首先证明圆周长，然后求出所对的圆心角度数为，问题即可解决． 【详解】解：设正八边形的外接圆为； 正八边形的各边相等， 圆周长， 所对的圆心角度数为， 圆周角． 故选：C． 6. 将写有质数2，3，5的三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法列出所有可能的三位数，根据5的倍数的特征找出符合条件的结果，再利用概率公式计算概率即可． 【详解】∵将2，3，5三张卡片任意摆成一个三位数， ∴所有可能的三位数为，共6种等可能结果， ∵5的倍数的个位数字必须是5， ∴符合条件的结果为，共2种， ∴摆出的三位数是5的倍数的概率为． 7. 如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵点在上， ∴， 故选：D． 8. 在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】由点，点在一次函数图象上，则，解得，再根据一次函数的性质逐一判断即可 ． 【详解】解：∵点，点在一次函数图象上， ∴， 解得：， 、当时，则， 当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意； 、当时，则， 当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意； 、当时，则， ∵点在第一象限内， ∴，， ∴，故该选项判断正确，符合题意； 、同理可得该选项判断错误，不符合题意． 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有；⑤方程有两个异号的实数根．其中正确的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口，对称轴，与轴的交点即可判断①②，根据时的函数值小于，即可判断③，根据当时，有最大值即可判断④，根据方程的解，即为的交点的横坐标，画出一次函数图象，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴，根据函数图象可得， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵当时，， 又， ∴，即，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值 ∴对于任意实数，都有，即，故④正确； 对于方程的解，即为的交点的横坐标， 如图所示，方程有两个同号的实数根，故⑤错误． 10. 已知平行四边形中，，，，点E在边上，沿折叠得，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当落在边上时， C. 当落在边上时，的面积为 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质求出，，的度数，利用折叠的性质得到，； 对于A：计算，的长，确定的位置求解； 对于B：直接利用折叠性质判断角度； 对于C：确定的运动轨迹，推导出的形状求面积； 对于D：确定的轨迹是以B为圆心的圆，转化为求点D到圆上一点的最小距离问题，即． 【详解】解：A项：如图，当时，为B到的距离， 在平行四边形中，，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，即平行四边形中，以为底边的高为1， ∵沿折叠得， ∴， ∴，， 即点落在边上， ∴，A项错误； B项：由A项可知，当落在边上时，， ∴，B项错误； C项：∵沿折叠得，点E在上运动， ∴点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆上运动， 如图，作以点B为圆心，为半径的圆，与交点，连接，过点E作， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， 由A项可知，平行四边形中，以为底边的高为1， ∴， ∴，C项错误； D项：∵点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆上运动， 如图，当D，，B三点共线时，有最小值， 过点D作， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即的最小值为，D项正确． 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 计算：__________． 【答案】1 【解析】 【详解】解∶ ． 12. 比较大小：_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用乘方运算去掉根号，转化为整数比较，根据正数的乘方越大，原数越大即可判断． 【详解】解：， 将两数同时取次方，得， ． 13. 如图，的面积为3，边AO在x轴上，点C在y轴上，点B、D在双曲线上，B、D两点的横坐标之比是1:3，则的面积是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用▱AOBC的面积为3，得到△OBC的面积为，求得双曲线的解析式为，设B(a，)，D(3a，)，利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵▱AOBC的面积为3， ∴△OBC的面积为， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点B、D在双曲线上，且B、D两点的横坐标之比是1:3， ∴设B(a，)，D(3a，)， ∴△OBE和 △ODF的面积都为， 过点B、D分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义及三角形的面积，求得的值是解题的关键． 14. 已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推．根据以上材料，回答下列问题： （1）计算： __________（用含x，y的代数式表示）； （2）当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且），则的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）根据题意，求出和的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式，此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为， ∴； （2）解：由题意知，， ， ， ， ， （2）由题意知，原多项式 ， ∵n为大于3的正整数，该多项式是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且），原式展开后有5个潜在项， ∴要使其成为三项式，需有两个项的系数为0，故只有当或时，才能保证有两个项的系数恒为0， ∴或， 当，即时，要使原多项式为五次三项式， ∴，得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当，即时，要使原多项式为五次三项式， ∴得或， 或，得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 综上，． 三、解答题（共90分） 15. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）因式分解法求解即可． （2）根据分式方程的求解步骤求解即可． 【小问1详解】 解： ∴ 解得，． 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根． 16. 列一元一次方程解应用题：在一次劳动课上，有24名同学在甲处劳动，有18名同学在乙处劳动，现在从乙处调一部分人去支援甲处，使得在甲处的人数比在乙处人数的2倍多3人，应从乙处调往甲处多少人？ 【答案】应从乙处调往甲处5人 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．利用一元一次方程解应用题的关键是找相等关系，列出方程．设应从乙处调往甲处x人，根据甲处原有人数调来的人数(乙处原有人数调来的人数)，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设应从乙处调往甲处x人，根据题意得： ， 解得：， 答：应从乙处调往甲处5人． 17. 在如图所示的正方形网格图中，的顶点均在格点上，线段与线段关于点O成中心对称． （1）按要求画图． ①画出，使和关于点O成中心对称； ②画出关于直线a对称的． （2）与是否关于某条直线成轴对称？若是，请在图中画出这条直线． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）是，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了利用网格画中心对称和轴对称图形，根据成轴对称图形画出对称轴，解题的关键是掌握以上性质． （1）①根据中心对称的性质画图即可； ②根据轴对称的性质画图即可； （2）根据成轴对称图形的性质画出对称轴即可． 【小问1详解】 解：①即为所求； ②即为所求； 【小问2详解】 解：是，直线b即为所求． 18. 九年级（1）班学生计划利用无人机测量宿舍楼的高度．如图，此时无人机在离地面的距离为，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得宿舍楼BC顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和宿舍楼之间的距离为，点A，B，C，D，E都在同一平面上．求宿舍楼的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 【答案】32米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，，，，则，，过点作于，则四边形是矩形，，，，，可得 ，，计算求解，进而可求． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴， ∴， 如图，过点作于，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 宿舍楼的高度约为． 19. 为响应“健康中国”战略，某校将课间延长至15分钟以鼓励学生参与体育活动．现从八年级随机抽取部分学生，统计其每日课间主动运动时间（单位：分钟），部分信息如下： 信息1：绘制如下表格： 等级 运动时间 频数 频率 低活跃 6 a 中等活跃 14 高活跃 b c 超高活跃 8 信息2：每日课间主动运动时间在中的具体数据为15，15，16，16，17，18，19，20． 根据以上信息，解答下列问题： （1）计算： ______， ______， ______； （2）求所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数； （3）若该校八年级共有600名学生，估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数． 【答案】（1）；12； （2）17分钟 （3）510人 【解析】 【分析】（1）由“超高活跃”的频数和频率，根据抽取人数频数频率，先求得的抽取学生总人数，进而求得a、b、c的值； （2）根据求平均数公式解答； （3）根据总学生人数乘以达到中等活跃及以上的频率总和解答． 【小问1详解】 解：抽取学生总人数为（人）， 则， ， ； 【小问2详解】 解：（分钟）， 答：所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数为17分钟． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数有510人． 20. 如图，在中，以为直径作，恰好为的切线．点为上方上的点，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，则，进而根据半径相等可得，即可得证； （2）连接，则，根据，求得，则，进而利用勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∴是等腰直角三角形， ，即． 【小问2详解】 解：连接，则， 是的直径， ， ，即， ， ∴在中，． 21. 探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 【答案】（1）0；（2）3；（3）6，1；（4）2，3，1103 【解析】 【分析】（本题主要考查了铺地锦乘法算法、十进制与五进制的数的运算、进位规则等知识点，熟练掌握铺地锦的计算规则和不同进制下的进位方法是解题的关键． （1）利用“铺地锦”的方法计算即可； （2）根据铺地锦规则，列出关于的方程，求解并检验的取值合理性． （3）先确定第3条斜线包含的数字，求和得到；再根据的值和满十进一规则，计算 （4）在五进制下，先计算得到，计算并转换为五进制得到；再按五进制满五进一规则计算斜线和，最终得到乘积． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：如图， 解得； （3）解：如图， ∴， ， ； （4）解：如图， 格子中，；它们的乘积等于． 22. 如图，在矩形中，的平分线交于点P，过点D作交的延长线于点E，与的延长线交于点F，且 （1）如图1，当时，与的数量关系为__________ （2）如图2，连接，，与相交于点G，求证：． （3）如图3，当时，其他条件不变，若，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意和相似三角形判定定理可得，从而可得，求解即可； （2）根据角平分线性质和矩形性质，可知，从而得知，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，从而可证，得到，根据两角分别相等的两个三角形相似即可证得结论； （3）利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，得到，再利用线段关系，求出的长度． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴． 【小问2详解】 证明：是的平分线， ， ∵在和中， ， ， ∴， 在中，， ， ， 即， 四边形是矩形， ， 在和中 ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解： 在和中， ， ， ， ， ， ． 23. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）该抛物线的对称轴为________． （2）已知，当时，y的取值范围是，求a，m的值． （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当时，y的取值范围是，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线 （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴． （2）分别讨论的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下取最大值与最小值时，对应的的取值，进而求出，的值． （3）由于的取值范围是，取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分别讨论在对称轴的左右两侧即可． 【小问1详解】 解： 抛物线， 时，， 抛物线过点， 抛物线过点， 该抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ，即①． ， ． ，抛物线开口向上， 当时，函数值在上取得最小值． 即②． 联立①②，解得，． 抛物线的表达式为，即． ， 当时，随的增大而减小，当时取得最大值， 当时，随的增大而增大，当时取得最大值， 对称轴为， 与时的函数值相等． ， 当时的函数值大于当时的函数值，即时的函数值． 当时，函数值在上取得最大值3． 代入有，舍去负解，得． 【小问3详解】 解：存在，． 当时，的取值范围是，无法取到最大值与最小值， 关于的取值范围一定不包含对称轴， ①当时，在对称轴的左侧， 二次函数开口向上， 时，有最大值，时，有最小值， 由题意可知：，解得：， 故， ②当时，在对称轴的右侧， 二次函数开口向上， 时，有最小值，时，有最大值， 由题意可知：，此时无解， 故不符合题意， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $