8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台 的表面积和体积 学习目标: (1)了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式。 (2)理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系,并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 北京奥运会场馆图 情境导入 情境导入 北京奥运会结束后,国家对体育场馆都进行了改造,从专业比赛场馆逐 步成为公众观光、健身的综合性体育场馆,国家游泳中心也完成了上述 变身,新增了内部开放面积,并建成了大型的水上乐园.经营方出于多 种考虑,近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告,但出于长远考 虑,决定为水立方外墙订制特殊显示屏,届时“水立方”将重新焕发活 力,大放异彩.能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积? 求几何体的表面积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积 复习: 矩形面积公式: 三角形面积公式: 梯形面积公式: 长方体体积: 正方体体积: 探究新知 4 问题1:正方体和长方体的表面积与它的展开图之间的关系? 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 探究新知 5 棱柱 h 正棱柱的侧面展开图 探究:将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开,展开图是什么形状?怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积? 棱柱侧面展开图、表面积 表面积=侧面积+上下两个底面面积 侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积. 面积探究 6 正棱锥的侧面展开图 棱锥 侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积. 表面积=侧面积+底面积 棱锥侧面展开图、表面积 面积探究 侧面展开 h' h' 正棱台的侧面展开图 棱台 棱台侧面展开图、表面积 侧面展开图的面积就是棱台的侧面积. 表面积=侧面积+上底面积+下底面积 面积探究 棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形,棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形,棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。 这样,求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题。 归纳小结 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和. h' 归纳小结 10 例1 四面体P-ABC的各棱长均为a,求它的表面积 . B C A P 所以: 解:因为 是正三角形,其边长为a, 因此,四面体P-ABC 的表面积 棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积 棱:多面体中两个相邻面的公共边 典例训练 11 例2 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积、表面积. 解 如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O, 体对角线A1C=15,B1D=9, ∴a2+52=152,b2+52=92,∴a2=200,b2=56. ∵该直四棱柱的底面是菱形, ∴直四棱柱的侧面积S侧=4 8 5=160. 典例训练 反思感悟 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和. 典例训练 变式1 已知棱长均为5,底面为正方形的四棱锥S-ABCD如图所示,求它的侧面积、表面积. 解 ∵四棱锥S-ABCD的各棱长均为5, ∴各侧面都是全等的正三角形. 设E为AB的中点,连接SE,则SE⊥AB, 典例训练 正方体、长方体,以及正棱柱的体积公式可以统一为: V = Sh(S为底面面积,h为高) 一般棱柱的体积公式也是V = Sh,其中S为底面面积,h为高(即两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离。 h s 棱柱、棱锥、棱台的体积 柱体 体积探究 正棱椎的体积公式是 (其中S为底面面积,h为高) 它是同底同高的棱柱的体积的 棱锥的体积公式也是 h 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足 之间的距离。 锥体 A S B C 体积探究 由于棱台是由棱锥截成的,因此可以利用 两个锥体的体积差.得到棱台的体积公式(过程略). 根据台体的特征,如何求台体的体积? 棱台的高是指两底面之间的距离,即从上底面上任意一点向下底面作 垂线,这点与垂足之间的距离。 台体 体积探究 17 思考:柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗? S为底面面积,h为柱体高 S 、 分别为上、下底面面积,h 为台体高 S为底面面积,h为锥体高 上底扩大 上底缩小 体积探究 18 例1.如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥, 两部分的高都是0.5cm,公共面ABCD是边长为1cm的正方形,那么这个漏斗 的容积是多少立方米(精准到0.01m3)? 解:由题意知 所以这个漏斗的容积 棱柱、棱锥、棱台的体积 典例训练 例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,如图所示,则三棱锥B1-ABC的体积为 解析 设三棱锥B1-ABC的高为h, 棱柱、棱锥、棱台的体积 典例训练 (2) 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为_. 典例训练 反思感悟 求解正棱台的表面积和体积时,注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱). 常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中解决问题;二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题。 归纳小结 各面面积之和 展开图 棱柱、棱锥、棱台 柱体、锥体、台体的体积 棱锥 棱台 棱柱 棱柱、棱锥、 棱台的体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 课堂小结 23 ∴直四棱柱的底面积S底=AC BD=20. ∴直四棱柱的表面积S表=160+2 20=160+40. ∴AB2=2+2===64,∴AB=8. S表=S侧+S底=25+25=25(+1). ∴S侧=4S SAB=4 AB SE=2 5 =25, Lavf59.14.100 则 =S ABCh= 3=. A. B. C. D. 解析 由题意可知四棱锥A1-BB1D1D的底面是矩形,边长为1和, 四棱锥的高为A1C1=, 则四棱锥A1-BB1D1D的体积为V= 1 =. $