8.2 立体图形的直观图 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.2立体图形的直观图 学习目标： （1）掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。 （2）能用斜二测画法画出简单空间几何体的直观图。 （3）会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的直观图。 （4）能从实际空间模型出发理解空间图形直观图的画法。 复习回顾 简单几何体的分类： 多面体 旋转体 棱柱 棱锥 棱台 球体 圆柱 圆锥 圆台 简单几何体 ① 棱柱 圆柱 柱体 球体 锥体 台体 棱锥 圆锥 棱台 圆台 简单几何体 ② 1、由简单几何体拼接而成. 2、由简单几何体截去或挖去一部分而成 简单组合体 一、复习巩固 O (1)你为什么觉得它就是你认识的立体图形的？ (2)你知道它们是怎样画出来的吗？ 问题 观察下面几何体，它们分别是： 为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识. 新课导入 一、问题引入 新课导入 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. 要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形. 表示空间几何图形的平面图形，叫做空间图形的直观图 二、新知探究 新知探究 问题1 如下图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状? 眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状? 可能是矩形，也可能是平行四边形. 二、新知探究 一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关,而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关。 新知探究 追问1 大家还记得初中学过的投影分为哪几类吗？ 中心投影 平行投影 D C B A 斜投影 正投影 光由一点向外散形成的投影，叫做中心投影. 中心投影的投影线交于一点. 在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影. 平行投影的投影线是平行的. 二、新知探究 新知探究 若一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形. 利用平行投影，人们获得了画直观图的方法，这种方法叫做斜二测画法. 利用这种画法我们可以画出水平放置的平面图形的直观图. 接下来我们以画正方形的直观图为例，一起来看看用斜二测画法画直观图的具体步骤. 二、新知探究 新知探究 x' y' O' 斜二测画法画直观图的步骤: ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半． ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. A B C D A' B' D' ① 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. x y O 画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45º(或135º)，它们确定的平面表示水平面. C' 通过作图发现水平放置的正方形用斜二测画法画出的直观图是平行四边形. 二、新知探究 新知探究 平面图形的斜二测画法步骤及要点 （1）建两个坐标系，注意斜坐标系夹角为45°或135°； （3）水平线段等长，竖直线段减半； （2）与坐标轴平行或重合的线段保持平行或重合； “横不变，纵减半，平行、重合不改变” 不变的：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度 变化的：垂直关系，角的大小，其他线段的长度 二、新知探究 典例分析 例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. (1)在六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于O'，使∠x'Oy'=45°. 画法： 在利用斜二测画法画直观图的过程中,x轴和y轴起到了什么作用? 确定多边形顶点的位置 思考 如何建系比较好？ 三、典例探究 （2）以O' 为中心，在x' 轴上取A'D'=AD，在y' 轴上取M'N'= MN. 以点N为中心，画B'C' 平行于x' 轴，并且等于BC；再以M' 为中心，画E'F' 平行于x' 轴并且等于EF. （3）连接A'B',C'D',E'F',F'A'，并擦去辅助线x' 轴和y' 轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'. 典例分析 三、典例探究 学以致用 教材P109 y x O y x O y x O y x O A C B D A B C A B C D A B C D E y′ x′ O′ y′ x′ O′ y′ x′ O′ y′ x′ O′ A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ D′ A′ B′ C′ A′ B′ C′ D′ E′ 练习1：用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）.（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形. 三、典例探究 画平面图形的直观图的技巧 （1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点； （2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段. 先定点，再连线 三、方法小结 新知探究 斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画轴：画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=450，∠xOz=900，把xOy所在平面视为水平面，xOz平面和yOz平面都是竖直面； （3）画侧棱：过下底面的顶点分别作z轴的平行线段，长度与几何体中的相应线段长度一样； （2）画底面：在xoy平面上用斜二测画法作出几何体的下底面； （4）成图：连接侧棱的上端点，去掉辅助线和坐标系，并把遮挡的部分改为虚线。 先轴后底再侧棱，横竖不变纵折半，平行、重合不改变. 三、方法小结 新知探究 问题3 用斜二测画法画可以将一个多边形水平放置，如图所示，若是一个圆，我们将其水平放置有什么办法？ 生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图. 立体几何中，我们常用正等测画法画水平放置的圆 三、典例探究 1.画出如图所示水平放置的等腰梯形和正六边形的直观图. 四、巩固练习 2.如图所示为一个水平放置的矩形，在直角坐标系中，若点的坐标为，则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中， （1）顶点的坐标为________； （2）点到x轴的距离为______； （3）平行四边形的面积为_________. 四、巩固练习 3.(多选)如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ） A.是钝角三角形 B.的面积是的面积的倍 C.是等腰直角三角形 D.的周长是 四、巩固练习——直观图的还原及计算 变式3-1.如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（ ） A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 因为矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图,其中O′A′＝3 , O′C′＝1 , 则原图形为菱形. 四、巩固练习——直观图的还原及计算 变式3-2.若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图， 其中，则原四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 　因为A′C′∥O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′＝1，O′B′＝2， 所以由斜二测画法的直观图知B′C′＝1， 四、巩固练习——直观图的还原及计算 1.直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与轴，轴平行的直线或线段，且平行于轴的线段还原时长度不变，平行于轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.直观图与原图形面积之间的关系 四、方法小结——直观图的还原及计算 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 水平面 ′轴或轴 保持原长度不变 一半 五、课堂小结 探究1：我们可以把长方体看成底面沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？ 先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体. 六、新知探究 空间几何体的直观图 Q：那空间几何体的直观图如何画？ 新知探究 画空间几何体直观图与平面图形的直观图画法相比，只是多画了一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴（或在z轴上）的线段的平行性和长度都不变。 下面介绍几种常见简单几何体的直观图的画法。 六、新知探究 典例分析 画法： 3 1 例：已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图. 六、新知探究 1.5 1.5 B D C A' B' C' D' A 注意：被遮住的线必须用虚线 六、新知探究 新知探究 斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画轴：画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=450，∠xOz=900，把xOy所在平面视为水平面，xOz平面和yOz平面都是竖直面； （3）画侧棱：过下底面的顶点分别作z轴的平行线段，长度与几何体中的相应线段长度一样； （2）画底面：在xoy平面上用斜二测画法作出几何体的下底面； （4）成图：连接侧棱的上端点，去掉辅助线和坐标系，并把遮挡的部分改为虚线。 先轴后底再侧棱，横竖不变纵折半，平行、重合不改变. 六、新知探究 斜二测画法空间几何体的直观图 例1： 已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图. 解：(1)画轴. 图画出x轴，z轴使∠xOz=90°. (2)画下底面. 以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA=OB=1cm. 利用椭圆模板画椭圆，使其经过A、B两点. 这个椭圆就是圆柱的下底面. (3)画上底面. 在Oz上截取O'，使OO'=3cm. 过O'作平行于轴Ox的O'x'. 类似下底面的作法作出上底面. （4)成图. 连接AA',BB'，整理得到圆柱的直观图. 七、典例训练 新知探究 O 球 O 圆锥 对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线. 画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆. 同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性. 七、典例训练——方法小结 例2. 某简单组合体由上下两部分组成,它的下部是一个圆柱,上部是一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合. 画出这个组合体的直观图. 画法: ①画轴； ②画圆柱的下底面； ③画圆柱的上底面; ④画圆锥的顶点; ⑤成图. 画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图． 七、典例训练 例3：画一个底面边长为2cm，高为3cm的正三棱柱和正三棱锥的直观图. z y' x' O' (1) 画轴； (2)画底面； (3)画侧棱； (4)成图. y x y' x' O' 七、典例训练 学以致用 教材P111 例4： 用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图. x' y' O' z' A B C D E F A' B' C' D' E' F' 七、典例训练 课堂小结 2.空间几何体直观图斜二测画法步骤： 画轴——画底面——画侧棱——连线成图 口诀：横竖不变纵减半，平行性不变 1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤： 画轴取轴——取点——连线成图 口诀：横不变纵减半，平行性不变 斜二测画法 3.直观图的还原与计算 八、课堂总结 感谢您的观看与聆听 THANKS 34 又因为∠D′O′A′＝45°，所以O′D′＝， 在原图形中，OA∥BC，OC∥AB，高OD＝2，CD＝1， 所以OC＝＝3＝OA， 所以S直＝(A′C′＋O′B′)·B′C′＝＝S原 所以S原＝3. $