山东临沂市沂水县第一中学2025-2026学年高二下学期期中数学模拟试题（二）

高二下学期期中数学模拟试题（二）（时间：120分钟，分值：150分） 考试范围：导数、计数原理、随机变量及其分布 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 由数字1，2，3，4，5可以组成不同的三位数（各位上的数字可以重复）的个数为（ ） A. 120 B. 125 C. 243 D. 360 2. 自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818…，若用欧拉数的前5位数字2、1、7、8、2设置一个5位数的密码，则不同的密码有（ ）个. A. 120 B. 240 C. 60 D. 180 3. 函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 4. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.在的展开式中常数项是（ ） A. B. C. D. 6. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312 7. 现有两位游客来淄博旅游，他们分别从淄博海岱楼、淄博市博物馆、鲁山森林公园、红叶柿岩景区、蒲松龄故居、周村古商城、这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A＝“两位游客中至少有一人选择淄博海岱楼”，事件B＝“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)＝（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，其导函数为，则下列结论正确的是（ ） A. 直线是曲线切线 B. 有三个零点 C. D. 若在上有最大值，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知随机事件A，B，若，则_______. 13. 某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______． 14. 若，定义关于的函数，当取得最大值时，__________． 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分）一条生产电阻的生产线,生产正常时,生产的电阻阻值X(单位:Ω)服从正态分布N(1000,52). (1)生产正常时,从这条生产线生产的电阻中抽取2只,求这两只电阻的阻值在区间(995,1 000]和(1 005,1 010]内各一只的概率;(精确到0.001) (2)根据统计学的知识,从服从正态分布N(μ,σ2)的总体中抽取容量为n的样本,则这个样本的平均数服从正态分布Nμ,.某时刻,质检员从生产线上抽取5只电阻,测得阻值分别为 1 000,1 007,1 012,1 013,1 013(单位:Ω).你认为这时生产线生产正常吗?说明理由. (参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) 16.（15分）甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 17.（15分）设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求证：当时，有. 18.（17分）（1）求函数的极值. （2）求函数的极值点. 19．（17分）已知甲同学计划从某天开始的连续四天内，每天从座位充足的两间教室中选择一间用于自习.若其每天的选择均相互独立，且任意一天选择教室的概率为，任意连续两天选择相同教室的概率为. (1)求的取值范围； (2)若，记甲在该四天内连续选择相同教室自习的天数最大值为随机变量（若甲任意连续两天都不在相同教室自习，则），求的分布列和数学期望. 学科网（北京）股份有限公司 $ 沂水一中高二下学期期中数学模拟试题（二）参考答案与评分标准 选择填空答案 1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. D 8.B 9. ABD 10. BD 11. BD 12. 13. 14.24 详解 一、选择题： 1. 由数字1，2，3，4，5可以组成不同的三位数（各位上的数字可以重复）的个数为（ ） A. 120 B. 125 C. 243 D. 360 答案 B 解析 各位上的数字均有5种选择，则总个数为.故选B. 2. 自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818…，若用欧拉数的前5位数字2、1、7、8、2设置一个5位数的密码，则不同的密码有（ ）个. A. 120 B. 240 C. 60 D. 180 答案 C 解析 不同的密码有.故选C. 3. 函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 答案 A 解析 ，所以.故选A. 4. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 答案 B 解析 ,，的斜率为，∴， 2．故选B. 5.在的展开式中常数项是（ ） A. B. C. D. 答案 C 解析 由的展开式通项为， 令，解得，所以常数项为．故选C. 6. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312 答案A 解析 该同学通过测试的概率为，故选A． 7. 现有两位游客来淄博旅游，他们分别从淄博海岱楼、淄博市博物馆、鲁山森林公园、红叶柿岩景区、蒲松龄故居、周村古商城、这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A＝“两位游客中至少有一人选择淄博海岱楼”，事件B＝“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)＝（ ） A. B. C. D. 答案D 解析 所以选D. 8. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案B 解析 的定义域为，在上有解，即在上有解，其中，故，故实数的取值范围是.故选B 二、选择题： 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 答案ABD 解析 对于A，即，则，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，所以，故D正确，故选ABD. 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 答案BD 解析 令，得，令，得， 所以，故A错误. 对B，表示的各项系数之和， 令，则，故B正确. 对C，，所以，故C错误. 对D， ，令，则， 则，故D正确.故选BD 11. 已知函数，其导函数为，则下列结论正确的是（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在上有最大值，则的取值范围为 答案BD 解析 对于A，由，则，由直线，则其斜率为，令，即，解得，，可得切点坐标为，将代入，则，故A错误； 对于B，由当时，，当时，， 则在和单调递增，在单调递减，由，，结合三次函数图象， 有三个零点，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由B可知函数在取得极大值，由，则，解得，故D正确.故选BD. 三、填空题： 12. 已知随机事件A，B，若，则_______. 答案 解析 因为，故，而，故， 故，同理，故，故选B. 13. 某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______． 答案 解析：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占，在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，则小张决定采购该企业产品的概率；故答案为． 14. 若，定义关于的函数，当取得最大值时，__________． 答案 24 解析 因为，所以， 则． 当时，；当时，． 所以当取得最大值时，，此时，， ． 四、解答题： 15.（13分）一条生产电阻的生产线,生产正常时,生产的电阻阻值X(单位:Ω)服从正态分布N(1000,52). (1)生产正常时,从这条生产线生产的电阻中抽取2只,求这两只电阻的阻值在区间(995,1 000]和(1 005,1 010]内各一只的概率;(精确到0.001) (2)根据统计学的知识,从服从正态分布N(μ,σ2)的总体中抽取容量为n的样本,则这个样本的平均数服从正态分布Nμ,.某时刻,质检员从生产线上抽取5只电阻,测得阻值分别为 1 000,1 007,1 012,1 013,1 013(单位:Ω).你认为这时生产线生产正常吗?说明理由. (参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) 解：（1）电阻阻值X服从正态分布N(1 000,52),所以μ=1 000,σ=5. ………………1分 所以生产正常时,从这条生产线生产的电阻中抽取1只,则这只电阻阻值在(995,1 000] 和在(1 005,1 010]的概率分别为 P1=P(995<X≤1 000)=P(μ-σ≤X≤μ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.341 35, ………………3分 P2=P(1 005<X≤1 010)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ) =(P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ))≈0.135 9. ………………5分 故这两只电阻的阻值在区间(995,1 000]和(1 005,1 010]内各一只的概率 P=2P1P2=2×0.341 35×0.135 9=0.092 778 93≈0.093. ………………7分 (2)生产正常时,这5个样本的平均数服从正态分布N1 000,,即N(1000,()2), ……9分 这个正态分布的标准差为.…………10分 由题可得=1 009, ……………11分 而1 009>1 000+3,即>μ+3.………………12分 因为在一次实验中,小概率事件发生了,因此认为这时生产线生产不正常. ……………13分 16. （15分）甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将将这些零件混合放在一起，则合格率为88%. （1）设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取一个，若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； （3）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 解 （1）甲工厂试生产的件零件的合格率为80%，则合格零件为件； 乙工厂试生产的件零件的合格率为90%，则合格零件为件， 混合后，总零件为件，合格率为88%，则混合后合格零件为件， 依题意，，………………2分 化简得，即.……………3分 （2）设甲工厂试生产的零件有件，乙工厂试生产的零件有件，由（1）知， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”， 则，，，………………4分 所以所求概率.…………6分 （3）由（2）知，任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂的概率是， 依题意，的可能取值为0，1，2，3，且，………………8分 ，， ，，………………12分 所以的分布列为 0 1 2 3 ………………13分 的数学期望.………………14分 的方差.………………15分 17.（15分）设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求证：当时，有. 解（1）因为，所以，……………1分 由切线方程可得切线斜率为，因此，；……………2分 又， ……………3分 所以. ……………4分 （2）由（1），所以，其定义域为，……………5分，又，……………6分 所以当时，；当时，；………………7分 因此的单调递增区间为，单调递减区间为. ……………8分 （3）证明：令，………………9分 所以，………………10分 令，显然在上单调递增，………………11分 所以，即恒成立，………………12分 所以在上单调递增，………………13分 所以，………………14分 即，所以.………………15分 18.（17分）（1）求函数的极值. （2）求函数的极值点. 解 （1）， ………………1分 由得或；由得.………………2分 故在和单调递增，在上单调递减. ………………3分 所以在时取极大值，………………4分 在时取得极小值.………………5分 （2），………………6分 令，则． ①当时，对，有单调递增，无极值．………………7分 ②当时，的图象开口向下，且对称轴为直线， 又，则在时有一根，………………8分 若，则单调递增， 若，则单调递减．………………9分 所以的极大值点为．………………10分 ③当时，的图象开口向上，． i．当，即时，有，所以当时，有单调递增，无极值点．………………11分 ii．当，即时，在时，有两个根．………………12分 若时，则单调递增； 若时，则单调递减；………………13分 若，则单调递增．     有极大值点，极小值点．………………14分 综上，当时，单调递增，无极值点；………………15分 当时，的极大值点为，无极小值点；………………16分 当时，的极大值点为，极小值点为．…………17分 19．（17分）已知甲同学计划从某天开始的连续四天内，每天从座位充足的两间教室中选择一间用于自习.若其每天的选择均相互独立，且任意一天选择教室的概率为，任意连续两天选择相同教室的概率为. (1)求的取值范围； (2)若，记甲在该四天内连续选择相同教室自习的天数最大值为随机变量（若甲任意连续两天都不在相同教室自习，则），求的分布列和数学期望. 解析 （1）设事件为“甲在某天选择教室自习”，事件为“甲在某天选择教室自习”，则， ………………1分 依题意知，………………3分 ，………………4分 当时，的最小值为， 的取值范围为.………………5分 （2），解得，或（舍去），………7分 依题意，= ，………………8分 ①当这四天的选择依次为，或时， 则，………………10分 ②当这四天的选择依次为，或，或，或，或，或，或，或时， ，………………12分 ③当这四天的选择依次为，或，或，或时， ，………………14分 ④当这四天的选择依次为，或时， ，………………15分 的分布列为： 1 2 3 4 ………………16分 的数学期望.………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $