专题03直角三角形.垂直平分线.角平分线专项训练(13大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题01三角形内角和定理专项训练 题型01.三角形内角和定理证明 题型02.平分线与角平分线的内角和应用 题型03.三角形内角和定理应用 题型04.三角形折叠角度问题 题型05.三角形的外角定义与性质 题型06.多边形概念与辨析 题型07.多边形内角和综合 题型08.多边形外角和应用 题型09.多边形内角和外角和综合 题型10.平面镶嵌 题型11.多边形截角问题 题型12.飞镖模型 题型13.八字模型 题型14.角平分线模型 解答题6题 知识点01.三角形核心知识 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3. 重要推论 (1)直角三角形两锐角互余 直角三角形中，两个锐角之和 = 90° ∵在△ABC中.∠C=90 ∴∠A+∠B=90 (2)三角形的外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B ∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD>∠A,∠ACD>∠B 知识点02:多边形的定义与相关概念 1. 多边形定义 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 按边数分类：三角形（3 边）、四边形（4 边）、五边形（5 边）……n 边形（n≥3），三角形是最简单的多边形。 表示方法：用顶点字母依次表示，如五边形 ABCDE。 · 在平面内，线段 AB,BC,CD,DE,EA 首尾顺次相接，围成封闭图形，称为五边形 ABCDE。 · 任意一边所在直线（如直线 AB），图形所有顶点都在直线同侧，故为凸多边形。 · 从顶点 C 出发，可作对角线 CA,CB 2. 基本元素（n 边形） 元素 定义 数量 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） .对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条总条数：条 知识点03:多边形内角和定理 1. 公式 n 边形内角和 = (n-2) × 180°（n≥3，n 为整数）。 2. 推导思路（分割法） 从 n 边形一个顶点出发，可作n-3条对角线，将 n 边形分成n-2个三角形；n 边形内角和 = 这 (n-2) 个三角形内角和之和 = (n-2) × 180°。 3. 正 n 边形单个内角 单个内角度数 = ​。 知识点04:多边形外角和定理 1. 结论 任意凸 n 边形的外角和 = 360°（与边数 n 无关）。. 2. 推导依据 多边形每个顶点处，内角 + 相邻外角 = 180°（邻补角）；n 边形所有内角和 + 所有外角和 = n × 180°；故外角和 = n×180° - (n-2)×180° = 360°。 3. 正 n 边形单个外角 单个外角度数 = n​ . 知识点05.平面镶嵌 平面镶嵌：正三角形、正方形、正六边形可单独镶嵌；正多边形组合镶嵌需满足围绕一点的内角和为 360∘。 题型01.三角形内角和定理证明 1．某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（    ） A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作 C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作， 【答案】C 【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由，则，．由，得，故符合题意． B、由，则，．由，得，故符合题意． C、由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意． D、由，得，，则．由，得，，由，得，故符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的关键． 2．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（    ） 定理：三角形的内角和为． 已知：．   求证：． 证明：延长到点，过点作， ◎（两直线平行，内错角相等）， ___▲______（_____※______）． （平角定义）， （等量代换）． A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可． 【详解】证明：延长到点，过点作， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． （平角定义）， （等量代换）． ∴四个选项中只有B选项结论错误，符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 3．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 题型02.平分线与角平分线的内角和应用 4．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 5．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图所示，在中，，是的平分线，则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算． 根据求出，进而求出，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故答案为：． 7．如图，若，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 连接，然后利用三角形内角和定理和平行线性质求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明是解题的关键． 利用证明可得；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求出，即可判定；假设，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，即可判定；根据等腰三角形的判定求出是等腰三角形． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 故选项正确，不符合题意； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； 假设， ，， ， ， ，， ， ，， ， 恰好平分， ， ， （这与与交于点矛盾）， 假设不成立， 故C选项不正确，符合题意； 恰好平分， ， ∵ ∴， 故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 9．如图，中，为的高线，为的角平分线，与相交于点，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出的值，接着利用三角形的高线及角平分线求出，则可求. 【详解】∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴． 题型03.三角形内角和定理应用 10．在中，若，，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据三角形内角和求出的度数，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 11．如图，与相交于点，已知，，，则的度数为____． 【答案】/30度 【分析】利用全等三角形对应角相等得到，再根据和三角形内角和定理求出 ． 【详解】解：， ， ， ． 12．的三边长分别为a、b、c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的是_____． 【答案】①③④ 【分析】根据直角三角形的定义、三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，逐个判断各个条件即可． 【详解】解：①， ， 又三角形内角和为，即， ，可得， 因此是直角三角形； ②， 最大内角， 因此不是直角三角形； ③， ， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； ④， 设，，，其中， 则， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． 综上，能判断是直角三角形的是①③④． 13．如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据角平分线的意义求得，再利用三角形内角和定理求得，然后三角形外角的性质求得，根据角平分线的意义求得，再根据三角形外角的性质求得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵平分， ∴， 在中，是外角， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 题型04.三角形折叠角度问题 14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ACB沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠CDB′等于_______°． 【答案】70 【分析】根据对称性以及三角形的外角的性质求出∠CDB即可． 【详解】解：∵B，B′关于CD对称，∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠DCB=45°，∠CDB=∠CDB′， ∵∠CDB=∠A+∠ACD=25°+45°=70°， ∴∠CDB′=70°， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 15．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 16．如图，在中，，，点在上运动，点是上一定点．将沿所在直线折叠，点的对应点为点，当时，__________． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点在的下方；当点在的上方，分别画图解答即可． 【详解】解：当点在的下方，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的上方，如图，    ∵，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 17．如图，将三角形纸片沿折叠．当点A落在四边形的外部时，测量得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四边形内角和定理得到，利用折叠的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解： ． 故选： ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，四边形内角和定理和三角形内角和定理，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 题型05.三角形的外角定义与性质 18．如图，下列选项中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得：是的外角，，，均不是的外角． 19．如图，在中，，外角，则的度数为_____． 【答案】/43度 【分析】三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 20．如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 【答案】 【分析】延长交于点，如图所示，先由平行线性质得到，在中，由三角形内角和定理及外角性质列等式求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 在中，，，， ． 21．如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质．根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 题型06.多边形概念与辨析 22．如图，下列关于四边形的说法中不正确的是（   ） A．四边形是凸四边形 B．四边形有1条对角线 C．四边形有4个内角 D．是四边形的外角 【答案】B 【详解】解：A、四边形是凸四边形，原说法正确，不符合题意； B、四边形有2条对角线，原说法不正确，符合题意； C、四边形有4个内角，原说法正确，不符合题意； D、是四边形的外角，原说法正确，不符合题意 23．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 24．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据多边形、正多边形、对角线的定义，逐一判断说法正误即可． 【详解】解：①∵多边形是由至少3条线段首尾顺次围成的封闭图形， ∴三角形是边数最少的多边形，①正确； ②∵正多边形的定义是各边相等、各内角也相等的多边形，长方形四条边不都相等，不是正多边形， ∴②错误； ③∵根据多边形的性质，n边形有n条边、n个顶点、n个内角， ∴③正确. ④∵六边形边数，从一个顶点出发的对角线条数为，所有对角线总条数为， ∴④正确. 综上，正确的说法共有3个，故C正确． 题型07.多边形内角和综合 25．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边形的内角和为，进行求解即可. 【详解】解：. 26．一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据正多边形的内角公式进行求解即可． 【详解】解：令该正多边形为边形， 由正多边形内角公式得， 解得， 故该正多边形的边数为． 27．过某个多边形1个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则它的内角和是_________． 【答案】/度 【分析】根据过多边形一个顶点的所有对角线，将多边形分成个三角形，得出多边形的边数，再利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得，， 这个多边形的内角和为． 28．如果一个多边形的每个内角都是，那么其内角和为_________． 【答案】/1080度 【分析】首先求出每个外角是，根据多边形的外角和是求出多边形的边数，然后求出内角和． 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是， ∴它的每个外角为：， ∴多边形的边数是：， ∴其内角和为． 29．如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的外角，三角形的内角和定理，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵为正五边形的外角， ∴， ∴； 故选：C． 30．如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和反射定理． 设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为，先求出正八边形每个内角的度数，再由光的反射定理得、、和的数量关系，再利用多边形是五边形，求出与的度数和，再求出的度数，然后求出答案即可． 【详解】解：如图，设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为， 八边形是正八边形， ， 设，， 由光的反射定理可知：， ， 多边形是五边形， ， 即， 化简得：， ， ， 多边形是四边形，， ， 故选：A． 题型08.多边形外角和应用 31．正十边形的每一个外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形外角和定理与正多边形的性质，任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等，直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，正十边形的个外角大小相等， ∴正十边形的每一个外角的度数为． 32．一个十边形的外角和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是多边形的外角和，把握相关性质定理即可快速解决问题． 根据多边形的外角和都等于，即可得到正确选项． 【详解】解：∵边形的外角和都等于， ∴十边形的外角和等于， 故选：A． 33．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查多边形内角和公式，多边形外角和定理，正多边形的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键． 根据多边形内角和公式求出边数，再利用外角和定理求每个外角度数． 【详解】解：设正多边形的边数为，已知该多边形内角和为， 可得，解得，即该多边形为正边形， 由正多边形的外角和为， 可得每个外角的度数为． 故答案为：． 34．如图，五边形的一个内角是五边形的外角，则等于___________°． 【答案】288 【分析】首先根据邻补角的性质求出 的外角，然后利用多边形的外角和定理，用减去 的外角，即可得到 的度数． 【详解】解：∵， ∴ 的外角为， ∵ 五边形的外角和为 ， ∴． 35．如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：在五边形中，， ∴． 36．如图，有四条直线两两相交，则的值是（    ） A．360 B．450 C．540 D．630 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角和、对顶角相等、利用邻补角互补求角度，由图形可得，，再结合，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 题型09.多边形内角和外角和综合 37．已知正边形的每一个外角都是30°，则这个正边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．根据正多边形外角和为，结合每个外角为，求出边数n，再利用内角和公式计算即可． 【详解】解：这个正多边形的边数：， 所以这个正边形的内角和为：， 故选：D 38．若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是______． 【答案】4 【分析】设该多边形的边数为，根据“内角和与外角和之和是”列方程求解． 【详解】解：设该多边形的边数为， 根据题意得，． 解得． ∴该多边形的边数是4． 39．已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 【答案】8 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，掌握知识点是解题的关键． 利用多边形的外角和定理，每个外角为，外角和为，即可求出多边形的边数． 【详解】解：每个内角为，则每个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴多边形的边数为． 故答案为：8． 40．一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握好多边形内角和的计算方法是解题关键 利用九边形内角和公式求出剩余六个内角的和，再根据凸多边形每个内角小于的性质，分析哪个选项作为内角会导致剩余五个内角的和不小于． 【详解】解：九边形内角和为， ∵有三个内角之和为， ∴剩下六个角之和为， 设其中一个角为，则剩下五个角之和为， ∵凸多边形每个内角都小于， ∴， 解得，，只有选项A不满足． 故选：A． 题型10.平面镶嵌 41．如图是正六边形的瓷砖，其边长与下列正多边形瓷砖的边长都相等，则与正六边形瓷砖组合能够铺满地面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形镶嵌问题、多边形的内角和定理等知识点，熟练掌握图形镶嵌的特点是解题的关键．根据图形镶嵌的定义，镶嵌顶点的和为，正六边形的每个内角为，那么能与其构成镶嵌的正多边形，每个内角的角度能整除，找出即可得解． 【详解】解：∵正六边形的每个内角为，根据镶嵌的定义，镶嵌顶点的和为， ∴， ∵正三角形的每个内角为，能整除，所以符合题意； ∵正方形的每个内角为，不能整除，所以不符合题意； ∵正五边形的每个内角为，不能整除，所以不符合题意； ∵正八边形的每个内角为，不能整除，所以不符合题意； 故选． 42．如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是__________． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的内角与多边形内角和定理、平面镶嵌，先求出第三块正多边形木板的内角，再根据多边形内角和列方程解方程即可． 【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为， ∴第三块正多边形木板的内角为， 设第三块正多边形木板的边数为, 解得， 即第三块木板的边数应是， 故答案为： 43．若平铺地面的瓷砖每一个顶点处由块相同的正多边形组成，此时的正多边形只能是（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能． 【详解】解：A、正三角形的每个内角是个正三角形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； B、正四边形的每个内角是个正四边形满足同一顶点处的周角为，故本选项符合题意； C、正六边形的每个内角是个正六边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； D、正八边形的每个内角是个正八边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； 故选：B． 44．用四种边长相等的正多边形地砖铺地，每个顶点处每种正多边形各一块拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为，，，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案． 【详解】解：由题意知，这四种正多边形的四个内角之和为360度， 已知正多边形的边数为，，，， 那么这四个正多边形的内角和可表示为：， 两边都除以180得：，即： 两边都除以2得，． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形及其内角，解决本题的关键是知道这四种正多边形的四个内角之和为360度，据此进行整理分析得解． 题型11.多边形截角问题 45．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 46．一个多边形截去一个角后，所形成的另一个多边形的内角和是2160°，则原多边形的边数是______． 【答案】13或14或15 【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，根据题意得： （n﹣2）•180°=2160° 解得：n=14． ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原多边形的边数是13或14或15． 故答案为13或14或15． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况． 47．一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理及多边形截去一个角有三种情况，首先计算截取一个角后多边形的边数，然后分三种情况讨论，因为截取一个角可能会多出一个角，也可能角的个数不变，也可能少一个角，从而得出结果，解题的关键是掌握多边形的内角和及分类讨论思想． 【详解】解：设剪去一个角后的多边形边数为，根据题意得， ∴ 即得到的多边形是边形， 当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是边形； 当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况： 过多边形的一个顶点，则原来的是边形； 不过多边形的顶点，则原来的是边形， ∴原来多边形的边数可能是或或， 故选：． 48．一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形，分三种情况：剪线经过四边形相邻的两个顶点；剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点）；剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边． 【详解】解：分三种情况讨论： （Ⅰ）若剪线经过四边形相邻的两个顶点，剪去一个角后，剩余图形为三角形，有3个角； （Ⅱ）若剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点），剪去一个角后，剩余图形为四边形，有4个角； （Ⅲ）若剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边，剪去一个角后，剩余图形为五边形，有5个角． 综上所述，剩余角的个数为3或者4或者5． 故选：D 题型12.飞镖模型 49．如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：；；；，其中正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①利用直角三角形两锐角和为，结合角平分线定义，得，由三角形外角或内角和定理，推出．②由折叠性质得，故，，计算得，即．③在的基础上，利用同角的余角相等得，结合、，由证得．④延长交于，先由证得，再证得，最终得． 【详解】解：中，， ， 的角平分线、相交于点， ，， ， ， 故①正确； ∵沿着折叠与重合，交于点H， ∴，， ∴， ∴， 故②正确； ， ，， ， 在和中， ， 故③正确； 延长交于点，则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故④正确． 50．如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 51．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是_________． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；无法得出结论③；证明，可判断结论④；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论⑤． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ，， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 无法得出，故结论③错误； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，故结论④正确； 连接，， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故结论⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键． 52．【课本再现】 (1)已知：如图，点在的内部．求证：； 【联系拓展】 (2)在（1）中的情况下，若点在线段所在直线的下方，此时，，，之间有怎样的数量关系，给出结论并证明． 【答案】(1)见解析 (2)或，证明见解析 【分析】（1）连接并延长至点，利用三角形外角的性质可得，，再利用即可证明； （2）分当点在点右侧时和当点在点左侧时两种情况分别讨论，利用三角形外角的性质求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， ∴，， ∴； （2）解：如图，当点在点右侧时，设与交于点， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在点左侧时， 连接并延长至点， ∴，， ∴， ∴； 综上，或； 题型13.八字模型 53．（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：（1） 而， ； （2），， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 54．如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则________ ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 55．如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先证明，即可证明得到，即可判断①②；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③，无法得出，进而判断④． 【详解】解：在和中，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴，故②正确，符合题意； 设与的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 同理可得，而未知，则未知，故④不一定正确， 故选：B． 56．如图，直线平分，平分的外角，则与、的数量关系是___． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q，根据角平分线的定义证明，再用、表示出，最后由三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线与的延长线交于点N，与交于点M，与交于点Q， ∵平分，平分，平分， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 则与、的数量关系为． 故答案为：． 57．【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点为与的交点． ①若，则___________； ②若，则与之间的数量关系是___________； 【应用】 （2）如图2，在同一直线上，，交于点，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点，当为等腰三角形时，直接写出的度数为___________ 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）①求出，得；②根据，，得； （2）根据．，得，由，，得； （3）设，则，．，．当时，，解得．当时，，解得．即可得出结果． 【详解】（1）解：①在△中，，， ， ， 在△中，， ， 故答案为：； ②在△中，；在△中，， 且，， ． 故答案为：； （2）证明：，交于点， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：的度数为或；理由如下： 设，则由折叠的性质得， ，， ，， ， ， ， ， 分两种情况讨论： 当时， 依题意得：， 解得：， ； 当时， 依题意得：， 解得：， ； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，折叠的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键． 题型14.角平分线模型 58．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【答案】/100度 【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴ 59．如图，在中，点在上，且的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点，若，则度数是__________． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，则可证明，进而求出，根据三角形外角的性质可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵的平分线交于点，外角的平分线交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，且， ∴， 故答案为：． 60．如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，是角平分线，且，相交于点， ∴， ∴． 61．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 62．如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质和判定，证明平分是解题的关键． 首先在中根据三角形的内角和定理求出的度数，再构造角平分线向角两边的垂线进而得到即可证明平分，因此可以求出的度数，最后在中根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 如图，作于点H，作于点I，作于点J， ∵平分，交的平分线于点， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 63．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)200°；100° (2)．理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形内角和为 ，以及角平分线的性质是解题的关键． （1）在中，由的度数利用三角形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，接着利用四边形内角和求出的度数，结合角平分线求出的度数，最后在中求出的度数； （2）先根据四边形内角和得到四个内角和为，结合角平分线性质得到的度数，再分别在和中用内角和定理，联立推导与的数量关系． 【详解】（1）解：在中； ∵ 平分，平分； ∴； 在四边形中； ∵ 平分，平分； ∴； 在中． ∴． （2）解：．理由如下： ，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点， ． ，， ， ． 64．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 解答题 65．（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练利用平行线的性质及平角的定义是解决问题的关键． （1）过点A作直线l，使，作出辅助线，根据平行线的性质及平角的定义即可解答； （2）设三角形内角和为x， 由和内角和 等于，结合平角的定义即可解答． 【详解】证明：（1）如图，过点A作直线l，使． ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． （2）证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得 解得． 66．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 67．如图，在中，点是上一点，连接、，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理、外角和定理、角平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据三角形外角和定理得到，在中，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的性质得到、，进而求出，在中，利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：是的外角， ， 在中，， ， 的平分线与的平分线交于点， 、， ， 在中，， ． 68．如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据角的和差关系求出的度数即可得到答案； （2）由折叠的性质可得，再根据即可得到结论； （3）设沿直线剪开，则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且，再分三种情况：，和，根据角的和差关系讨论求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，设沿直线剪开， 则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且， 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 69．已知某个正多边形的一个外角等于与它相邻的内角的． (1)求这个外角的度数． (2)嘉嘉猜想这个正多边形的内角和超过，请判断嘉嘉的猜想是否正确并说明理由． 【答案】(1) (2)嘉嘉的猜想正确，理由见解析 【分析】本题主要考查多边形的内角和定理，外角和的性质，掌握内角和的计算，外角和的性质是解题的关键． （1）设与这个外角相邻的内角为，由此列式求解即可； （2）由（1）可得，这个正多边形的每个外角都相等，且都等于，则有这个正多边形的边数为，再根据多边形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：设与这个外角相邻的内角为，则这个外角为， 根据题意，得， 解得，， ， 这个外角的度数为． （2）解：正确，理由如下， 这个正多边形的每个外角都相等，且都等于， 正多边形的外角和为， 这个正多边形的边数为， 正多边形的内角和为， 嘉嘉的猜想正确． 70．已知一个多边形的内角和是外角和的倍． (1)求这个多边形的边数； (2)若这个多边形是正多边形，求该正多边形一个内角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式和外角和定理列出方程解答即可； （）用多边形内角和除以边数即可求解； 本题考查了多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， 答：这个多边形的边数为； （2）解：， 答：该正多边形一个内角的度数为． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03直角三角形.垂直平分线.角平分线专项训练 题型01.直角三角形的性质 题型02.直角三角形的判定 题型03.互逆命题与互逆定理 题型04.HL判定直角三角形全等 题型05.HL与全等综合应用 题型06.含30角的直角三角形 题型07.线段垂直平分线性质与判定 题型08.线段垂直平分线尺规作图 题型09.角平分线性质与判定 题型10.角平分线性质实际应用 题型11.直角三角形与折叠问题 题型12.直角三角形与动点问题 题型13.直角三角形与最值问题 解答题8题 知识点01:直角三角形 1.定义 直角三角形：有一个角是 ** 直角（90°）** 的三角形叫做直角三角形。 夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2.性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 边的性质（勾股定理） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 a² + b² = c²（a,b 为直角边，c 为斜边） 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 3.核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 边的判定（勾股逆定理） 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC 中，若a² + b² = c²，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点02:线段的垂直平分线 定义 经过线段的中点，并且与这条线段互相垂直的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点03:角平分线 定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 一句话对比记忆 垂直平分线：管 “点到两端点距离” 角平分线：管 “点到两边距离” 直角三角形：管 “直角、互余、勾股、斜边中线” 题型01.直角三角形的性质 1．在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．在中，，，则的度数等于________． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余，即可求得答案． 【详解】根据直角三角形两锐角互余，可得 ． 故答案为： 3．如图，中，，，，垂足为，平分，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质及角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．先求出，从而求出，然后根据角平分线的定义求出，再根据三角形的外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 4．在中，，是的高，将沿折叠，点C的对应点为E，当时，满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设中点为，当与重合时，此时由折叠的性质得，由等边三角形的定义得为等边三角形，由，在的左侧，①当在线段上（不与、重合），，即可求解；②当与重合时，由等腰三角形的性质；③在的延长线上时，由三角形的外角于内角的关系得，从而可得，即可求解． 【详解】解：设中点为， 如图，当与重合时， 此时 由折叠得， ， 为等边三角形， ， ， ， 在的左侧， ①如图，当在线段上（不与、重合）   ， 由折叠得， ， ， ， ， ， ②如图，当与重合时    此时， ； ③如图，在的延长线上时， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 综上所述：， ； 故选：B. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，三角形的外角与内角的关系，直角三角形的特征等，能根据的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 题型02.直角三角形的判定 5．一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形中，两个角的和为， ∴第三个角是， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：，直角． 6．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据条件结合三角形内角和计算各角度数，判断三角形是否存在角即可求解． 【详解】解：在中，． A、∵，∴，代入内角和得，即，是直角三角形，本选项不符合题意． B、∵，∴，是直角三角形，本选项不符合题意． C、∵，设，，，则，解得，，是直角三角形，本选项不符合题意． D、∵，设，则，∴，解得，最大角，不存在90°角，不是直角三角形，本选项符合题意． 7．下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角的关系和边的关系，选项A、B、C均能判定三角形为直角三角形，而选项D不满足勾股定理，不能判定， 【详解】解：A项：设，，，则，解得， ∴，故是直角三角形； B项：由，得， ∴a为斜边，边长为a的边所对的角为，故是直角三角形； C项：∵，且， ∴，，故是直角三角形； D项：设，，， ∵在三边中c边最长，若为直角三角形，则c为斜边， ∴，，， ∴不满足勾股定理，故不是直角三角形， ∴不能判定是直角三角形的是D， 故选：D． 8．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 题型03.互逆命题与互逆定理 9．命题“锐角小于”的逆命题是（   ） A．小于 的角是锐角 B．不是锐角的角不小于 C．不小于的角不是锐角 D．如果一个角是锐角，那么这个角小于 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度较小．交换命题的题设和结论即可写出该命题的逆命题． 【详解】解：命题“锐角小于”的逆命题是小于的角是锐角， 故选：A 10．下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．所有的命题都是定理 D．假命题的逆命题是假命题 【答案】A 【分析】根据命题的定义解答本题．熟练掌握命题与定理的知识是解决此类问题的关键． 【详解】解：A. 每个命题都有逆命题，说法正确； B. 每个定理不一定有逆定理，说法错误； C. 假命题不是定理，说法错误； D. 假命题的逆命题可能是真命题，说法错误； 故选A． 11．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】将原定理的题设与结论交换位置即可得到原定理的逆定理． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”中，题设为两直线平行，结论为同位角相等，故原定理的逆定理为“同位角相等，两直线平行”． 12．命题“正多边形的各边相等”的逆命题是：_________． 【答案】各边相等的多边形是正多边形 【分析】本题考查了互逆命题，逆命题是将原定理的条件和结论互换，原命题的条件是“正多边形”，结论是“各边相等”，因此逆命题是“各边相等的多边形是正多边形”． 【详解】解：命题“正多边形的各边相等”的逆命题是“如果多边形的各边相等，那么它是正多边形”， 故答案为：各边相等的多边形是正多边形． 13．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导． 【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明； 选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理； 选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理； 选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理； 选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理． 故选：D． 14．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 15．命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查的是命题与定理，根据等腰三角形的定义，等腰三角形只需两边相等，而等边三角形需三边相等，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： “等边三角形是等腰三角形”的逆命题是：“等腰三角形是等边三角形”，该逆命题是假命题， 故答案为：假． 题型04.HL判定直角三角形全等 16．如图，．可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 根据直角三角形全等的判定定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴在和中 ， 故选：A． 17．如图，已知，，则可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可知这两个三角形是直角三角形，再结合已知边 和公共边，利用斜边、直角边定理即可判定． 【详解】解：， 和 都是直角三角形． 在 和 中， ， ． 18．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 题型05.HL与全等综合应用 19．如图，已知，是的两条高线，，，则___________度． 【答案】40 【分析】由，是的两条高线，得，证明，得，则，． 【详解】解：∵，是的两条高线， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 20．如图，，，垂足分别为，，．若，则_____． 【答案】50 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，三角形的内角和定理，求出的度数，再根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：50． 21．如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，平行于地面．若，，则的长度为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键； 先证明，得出对应边长度，再结合的性质得出EG的长度． 【详解】解：由题可知：， ∴和是直角三角形 ∴在和中 ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：1 ． 22．如图，在中，分别是上的点，作，，垂足分别是．若，，下列结论：①；②；③；④时，，其中正确的是______ 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，四边形的内角和，证明，可得，即可判定①；由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得，得到，即可判定②；在和中，仅知，无法判定，即可判定③；证明，可得，进而得到，再根据四边形的内角和可得，即可判定④，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在和中，仅知， ∴无法判定，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 题型06.含30角的直角三角形 23．在中，，，， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可计算的长度． 【详解】∵ 在中，，，， ∴ 是的斜边，是角所对的直角边， ∴ ． 24．如图，在中，，，于点P，，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理分别求出、，再根据含30度角的直角三角形的性质得、，即可得解． 【详解】∵在中，，， ∴， ∴， ∵于点P， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 25．如图，在等腰三角形中，，于点D，于点E．若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，再利用含角的直角三角形的性质分别求出和的长度，最后通过求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵于点E， ∴在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 26．如图，在中，，平分，交边上的高于点F．已知，则的长度是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】先根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到，从而得出，再利用含30度角的直角三角形，得到，再证明是等边三角形，得到即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ， ∵平分， ， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 题型07.线段垂直平分线性质与判定 27．三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，使，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，灵活运用“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”这一性质是解题的关键．根据该性质得出满足的点是三边垂直平分线的交点． 【详解】三条高线的交点（垂心）：主要与高线相关； 三条角平分线的交点（内心）：是三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等； 三条中线的交点（重心）：是三角形的重心，将每条中线分为的两段； 三边垂直平分线的交点（外心）：是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等（即）， 要使，集贸市场应建在三边垂直平分线的交点处． 故选：． 28．如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定，到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 根据线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， 故选：A． 29．如图，，，直线为线段_____的垂直平分线． 【答案】/ 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得垂直平分，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴直线垂直平分，即直线为线段的垂直平分线； 故答案为． 30．如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，进而求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 31．如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【答案】5 【分析】设交点为，根据，易证垂直平分，得到，再根据即可求解． 【详解】解：设交点为， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴． 32．如图，在中，，平分，交边于点，是的垂直平分线，且点，分别在边，上，若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到、，结合角平分线定义推出，进而证明三角形全等得到；利用勾股定理求出的长度，确定的长度，最后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：如图，令交于点， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴． 题型08.线段垂直平分线尺规作图 33．如图所示的作图痕迹是（    ）． A．线段的垂直平分线 B．作一个角的平分线 C．过一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 【答案】C 【分析】根据作图可知，可得此图作的是过一点作已知直线的垂线． 【详解】解：依题意，此图作的是过一点作已知直线的垂线． 故选：C． 【点睛】本题考查了作垂线，掌握基本作图是解题的关键． 34．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】C 【分析】先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线， ， ∵，， 的周长为． 35．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接，若的周长为，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图的原理及等量代换的思想，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等这一性质是解题的关键． 先由作图步骤得出是的垂直平分线及，再利用垂直平分线的性质得到，将的周长转化为，最后通过等量代换求出的长度． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵以点为圆心，为半径画弧， ∴． ∴． ∵的周长为， ∴． ∴． ∵，且，， ∴． 故选：B． 题型09.角平分线性质与判定 36．如图，在中，，的平分线交于点D，于点E，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：，， ． ，的平分线交于点D，于点E， ． 37．如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角平分线的判定定理，过点D作于H，则，由角平分线的判定定理可得平分，则． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵中边上的高为3， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 38．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得平分，进而得到即可． 【详解】解：∵，， ∴平分， ∴； 故选：D． 39．如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为4． 40．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为E．若．则________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰直角三角形的性质。熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，以及等腰直角三角形的两个锐角为是解题的关键．先根据角平分线的性质，得出；再根据等腰直角三角形的性质，推出为等腰直角三角形，进而求出的长度． 【详解】解：是的角平分线，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又，， ， 在中，，， 是等腰直角三角形，， ， 在直角中，根据勾股定理： ． 故答案为：． 41．如图，是的两外角平分线的交点．有下列结论：①；②点到，的距离相等；③点到的三边所在直线的距离相等；④点在的平分线上．其中正确的个数是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 过点作于，作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答． 【详解】解：如图，过点作于，作于，作于， ∵点是的两外角平分线的交点，，，， ∴，， ∴， ，，， ∴点在的平分线上，故②③④正确， 只有点是的中点时，，故①错误， 综上所述，说法正确的是②③④，有个． 故答案为：． 42．如图，在中，，点为内，和平分线的交点．连接，过点作交于点，交于点边上有两点．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理与判定定理、等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的角平分线、等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 过点O分别作，垂足分别为P、M、N，由题意易得，则有，然后可得，根据全等三角形的性质可得，，进而可得，则有，，通过证明是等边三角形，则问题可求解． 【详解】解：过点O分别作，垂足分别为P、M、N，如图所示： ∵平分，平分， ∴， ∴点O在的角平分线上，即平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 题型10.角平分线性质实际应用 43．如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，    ∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 44．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 45．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处， 故选：D． 46．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 题型11.直角三角形与折叠问题 47．如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接将沿BD折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为______ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 过点D作于点F，先由勾股定理求出，设，则，由折叠性质得，进而得，再证明和全等得，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点D作于点F，如图所示： ， 在中，， 由勾股定理得：， 为直线上一个动点， 设，则， 由折叠性质得：， 是的平分线， 又于点F，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 即的长为 故答案为： 48．如图，把长方形沿折叠，得到，交于点F，平分，若，则长为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；由折叠的性质和等腰三角形的判定及性质得，由直角三角形的特征得 ，可得，即可求解． 【详解】解：在长方形中，， ，， ，， 由折叠得， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 解得； 故答案为：． 49．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，在同一直线上，已知， 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余；由折叠性质可得，，，根据折叠后点，，在同一直线上，，则有，最后通过直角三角形性质即可求解，理解折叠的性质，掌握角度的和差计算是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可得，，， ∵折叠后点，，在同一直线上，， ∴，， ∴， 故选：． 50．我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解答； (2) 【分析】（1）由翻折得，，则，所以是直角三角形； （2）由题意可知，，可得，根据翻折可得，，，，，，，则、、在同一直线上，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 由翻折可知，，，，， ，，， 则、、在同一直线上，， ∴在中，，则， 在中，， ∴在中，． 【点睛】此题重点考查长方形的性质、轴对称的性质、直角三角形的判定、勾股定理，化为最简二次根式等知识，证明、、在同一直线上，是解题的关键． 题型12.直角三角形与动点问题 51．如图，在中,为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 【答案】8或10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据全等三角形对应边相等的性质，分点E在上和在延长线上两种情况讨论． 由得到对应边，然后分两种情况：①当点E在延长线上与②点E在延长线上两种情况讨论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴．又， ∴． ∵， ∴． ∴当时，， 分两种情况： 情况一： 当点E在延长线上时，    ，    ． 情况二： 点E在延长线上时， ， ∴  ． 故答案为：或． 52．如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的一边垂直时，_______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，直角三角形两锐角互余，正确进行计算是解题关键，分当D点在线段上时，当点D点在线段延长线上讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：当D点在线段上且时， 由折叠可知：， ， ， ， ； 当D点在线段上且时， 由折叠的性质可得， ； 当D点在线段延长线上且时， 同理可得； 当D点在线段延长线上且时， ， ， ， ， 故答案为：或或． 53．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求_____． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当_____时，能使． 【答案】 5或11 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键． （1）先求出的长，再求出的长，最后根据勾股定理求解即可； （2）分点P在上和点P在的延长线上，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：当秒时，， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：； （2）①当点P在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使． 故答案为：5或11． 54．如图，在中，，点为的中点． (1)如图1，若，点为外一点，且，连接，过点作的垂线交于，交于点，交的延长线于点． ①猜想的度数，并证明你的猜想； ②连接（自己连），求证：． (2)如图2，若，点、分别是、上的动点，且，连接、，当最小时，求的度数． 【答案】(1)①猜想，证明见解析； ②证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）①在上截取，连接，可证，利用全等三角形的性质可得是等腰直角三角形，所以可知； ②根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证，根据可证是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，根据等腰三角形的性质可证结论成立； （2）作，使，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知，所以当点，，共线时，取得最小值，可证此时是等边三角形，根据等边三角形的性质可证，根据全等三角形对应角相等可以求出的度数． 【详解】（1）①解：猜想， 证明：如下图所示，在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ； ②证明：连接、， ，， ， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，作，使，连接，， ，点为的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当点，，共线时，如图②，取得最小值， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型13.直角三角形与最值问题 55．如图，在中，，，是边上的高，为边上一动点，为上一动点，若，则的最小值为________． 【答案】12 【分析】连接，根据等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质得出，当点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长，再利用垂线段最短和等面积法求最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长， 当时，的值最小， 此时，， ∴， ∴的最小值为12． 56．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 57．如图，在中，，，是边上的高，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．5 B．6 C．8 D．4.8 【答案】D 【分析】作于点E，交于点F，连接，根据等腰三角形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据平行线的性质得到，，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：作于点E，交于点F，连接， ∵在中，，，是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】此题重点考查轴对称--最短路线问题，正确地添加辅助线，转化求的长是解题的关键． 58．如图，在中，，，为直线上一点． (1)如图1，点在上，连接，若平分，且，求的长度； (2)如图2，点在点左侧，为延长线上一点，连接，为中点，连接，在直线左侧作，连接，，满足，．求证：； (3)如图3，点在上，满足，，为直线上一动点，连接，将沿直线翻折到，当最小时，在射线上取一点，在射线上取一点，满足，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图，过点D作于点H，证明出，是等腰直角三角形，求出，然后利用勾股定理求解； （2）如图，延长到点K，使，连接，延长，交于点G，证明出，得到，推出是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理得到，然后证明出，得到，然后等量代换求解即可； （3）如图，连接，利用勾股定理求出，由折叠得，，当点，在线段上时，取得最小值，即的值，作点D关于的对称点，连接，，证明出是等边三角形，求出，如图，在右边作，且使，连接，证明，得到，当点B，Q，R三点共线时，取得最小值，即的值，过点R作交的延长线于点T，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点H ∵，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∵平分，， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图，延长到点K，使，连接，延长，交于点G， ∵为中点 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ 由折叠得，， 由三角形三边关系得， ∴如图，当点，在线段上时，取得最小值，即的值，作点D关于的对称点，连接， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ 由轴对称得， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ 如图，在右边作，且使，连接， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴如图，当点B，Q，R三点共线时，取得最小值，即的值，过点R作交的延长线于点T ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴的最小值为． 解答题 59．如图，在和中，，，点B，E，C，F在同一条直线上，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，根据证明即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据全等三角形的性质得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）证明： 即 在和中 （2）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 60．如图，在平面直角坐标系中，点，． (1)作，求的长； (2)过点作交轴于点，求的面积； (3)如图在（）的条件下，点坐标为，满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用直角三角形的面积的不同表示方法列等积式即可求解； （2）设，利用勾股定理求出的坐标，进而面积可求； （3）取点，连接，过点作于点，通过论证，可得，则，进而利用，得到的值. 【详解】（1）解：∵，， ，， ； ∵， ∴， 即：， ； （2）解：如图，设， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ； （3）解：如图，取点，连接， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 在中， ， ， ∵ ， 在和中， ∵，， ， ， ∵，则， 在中，， ， 或． 61．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【答案】（1），理由见解析； （2）是直角三角形，理由见解析； （3），理由见解析 【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 62．如图，在中，． (1)请用尺规作图法，在边上求作一点，使得点到点，的距离相等． (2)在（1）所作图中连接，若，，是直角，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧分别交于、两点；作直线，直线与的交点即为点； （2）由作图得，由勾股定理得，从而可求出的周长． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， 直线是线段的垂直平分线， ，故点即为所求． （2）解：由（1）可知． ，，，， ∴由勾股定理得：， 的周长． 63．如图，在中，，点在边上，过点作于点，延长、相交于点．求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】由得，再由，可知，，然后由余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，进而得到即可证明结论． 【详解】证明：， ． ， ． ，． ． ， ． ， 点在线段的垂直平分线上． 64．如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，即可推出结论； （2）由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论． 【详解】（1）证明：为的角平分线，，， ，， ， ∴， ， ， 点、都在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：，理由如下： ，平分，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 65．如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线性质定理的逆定理得出答案； （2）先根据勾股定理求出，再根据可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴平分； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 66．在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点． 是的平分线，，， ． ，， ． （2）解：， ． ， ． ，，平分， ∴由（1）知，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03直角三角形.垂直平分线.角平分线专项训练 题型01.直角三角形的性质 题型02.直角三角形的判定 题型03.互逆命题与互逆定理 题型04.HL判定直角三角形全等 题型05.HL与全等综合应用 题型06.含30角的直角三角形 题型07.线段垂直平分线性质与判定 题型08.线段垂直平分线尺规作图 题型09.角平分线性质与判定 题型10.角平分线性质实际应用 题型11.直角三角形与折叠问题 题型12.直角三角形与动点问题 题型13.直角三角形与最值问题 解答题8题 知识点01:直角三角形 1.定义 直角三角形：有一个角是 ** 直角（90°）** 的三角形叫做直角三角形。 夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。 2.性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 边的性质（勾股定理） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 a² + b² = c²（a,b 为直角边，c 为斜边） 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 3.核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 边的判定（勾股逆定理） 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC 中，若a² + b² = c²，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点02:线段的垂直平分线 定义 经过线段的中点，并且与这条线段互相垂直的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点03:角平分线 定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 一句话对比记忆 垂直平分线：管 “点到两端点距离” 角平分线：管 “点到两边距离” 直角三角形：管 “直角、互余、勾股、斜边中线” 题型01.直角三角形的性质 1．在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，则的度数等于________． 3．如图，中，，，，垂足为，平分，则的度数为________． 4．在中，，是的高，将沿折叠，点C的对应点为E，当时，满足的条件是（　　） A． B． C． D． 题型02.直角三角形的判定 5．一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形． 6．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 7．下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 8．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 题型03.互逆命题与互逆定理 9．命题“锐角小于”的逆命题是（   ） A．小于 的角是锐角 B．不是锐角的角不小于 C．不小于的角不是锐角 D．如果一个角是锐角，那么这个角小于 10．下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．所有的命题都是定理 D．假命题的逆命题是假命题 11．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 12．命题“正多边形的各边相等”的逆命题是：_________． 13．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 14．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 15．命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题是_____命题（填“真”或“假”） 题型04.HL判定直角三角形全等 16．如图，．可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 17．如图，已知，，则可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 18．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 题型05.HL与全等综合应用 19．如图，已知，是的两条高线，，，则___________度． 20．如图，，，垂足分别为，，．若，则_____． 21．如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，平行于地面．若，，则的长度为_____． 22．如图，在中，分别是上的点，作，，垂足分别是．若，，下列结论：①；②；③；④时，，其中正确的是______ 题型06.含30角的直角三角形 23．在中，，，， 则（     ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，于点P，，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．如图，在等腰三角形中，，于点D，于点E．若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 26．如图，在中，，平分，交边上的高于点F．已知，则的长度是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 题型07.线段垂直平分线性质与判定 27．三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，使，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 28．如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 29．如图，，，直线为线段_____的垂直平分线． 30．如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 31．如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 32．如图，在中，，平分，交边于点，是的垂直平分线，且点，分别在边，上，若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 题型08.线段垂直平分线尺规作图 33．如图所示的作图痕迹是（    ）． A．线段的垂直平分线 B．作一个角的平分线 C．过一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 34．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．25 35．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接，以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接，若的周长为，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 题型09.角平分线性质与判定 36．如图，在中，，的平分线交于点D，于点E，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 39．如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 40．如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为E．若．则________________ ． 41．如图，是的两外角平分线的交点．有下列结论：①；②点到，的距离相等；③点到的三边所在直线的距离相等；④点在的平分线上．其中正确的个数是__________． 42．如图，在中，，点为内，和平分线的交点．连接，过点作交于点，交于点边上有两点．若，则的长为___________． 题型10.角平分线性质实际应用 43．如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 44．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 45．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（    ）    A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 46．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 题型11.直角三角形与折叠问题 47．如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接将沿BD折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为______ ． 48．如图，把长方形沿折叠，得到，交于点F，平分，若，则长为_______． 49．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，在同一直线上，已知， 的度数为（    ） A． B． C． D． 50．我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)已知，，求的长． 题型12.直角三角形与动点问题 51．如图，在中,为边上的高．点E从点B出发，在直线上以2的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F．当点E运动__________s时,． 52．如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的一边垂直时，_______． 53．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求_____． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当_____时，能使． 54．如图，在中，，点为的中点． (1)如图1，若，点为外一点，且，连接，过点作的垂线交于，交于点，交的延长线于点． ①猜想的度数，并证明你的猜想； ②连接（自己连），求证：． (2)如图2，若，点、分别是、上的动点，且，连接、，当最小时，求的度数． 题型13.直角三角形与最值问题 55．如图，在中，，，是边上的高，为边上一动点，为上一动点，若，则的最小值为________． 56．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 57．如图，在中，，，是边上的高，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．5 B．6 C．8 D．4.8 58．如图，在中，，，为直线上一点． (1)如图1，点在上，连接，若平分，且，求的长度； (2)如图2，点在点左侧，为延长线上一点，连接，为中点，连接，在直线左侧作，连接，，满足，．求证：； (3)如图3，点在上，满足，，为直线上一动点，连接，将沿直线翻折到，当最小时，在射线上取一点，在射线上取一点，满足，连接，，求的最小值． 解答题 59．如图，在和中，，，点B，E，C，F在同一条直线上，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 60．如图，在平面直角坐标系中，点，． (1)作，求的长； (2)过点作交轴于点，求的面积； (3)如图在（）的条件下，点坐标为，满足，求的值． 61．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 62．如图，在中，． (1)请用尺规作图法，在边上求作一点，使得点到点，的距离相等． (2)在（1）所作图中连接，若，，是直角，求的周长． 63．如图，在中，，点在边上，过点作于点，延长、相交于点．求证：点在线段的垂直平分线上． 64．如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 65．如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 66．在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $