第04讲 抛体运动 讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2025-2026学年高一下学期物理满分练曲线运动专题（新高考通用）

该高中物理《抛体运动》复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，以“运动的合成与分解”为核心，用表格对比平抛、类平抛、斜抛运动的规律，梳理速度偏转角与位移偏转角等重要推论，呈现斜面上的平抛、有约束条件的平抛等13类模型，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，如“斜面上的平抛问题”细分位移偏向角、速度偏向角等四类情景，配合典型例题与变式训练，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。解题策略强调“优先求时间t”“巧用偏角推论”等技巧，实验专题指导数据处理与误差分析，助力学生自主复习，也为教师实施精准化教学提供支持。

第04讲 抛体运动 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 11 题型归纳 12 题型01：平抛运动的规律 12 （一）平抛运动的条件及特点 12 （二）平抛运动的规律 12 （三）平抛运动规律的应用 16 （四）计算平抛运动抛出点坐标位置 24 题型02：平抛运动的两个推论 26 （一）速度偏转角与位移偏转角 26 （二）速度反向延长线的结论应用 30 题型03：平抛运动的图像问题 32 题型04：平抛运动的临界、极值问题 36 题型05：平抛运动中的追击相遇问题 45 题型06：斜面上的平抛问题 53 （一）顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角 53 （二）顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角 58 （三）对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角 61 （四）对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角 64 （五）斜面上的其他平抛运动 67 题型07：有约束条件的平抛运动模型 70 （一）对着竖直墙壁的平抛运动 70 （二） 半圆内的平抛问题 72 题型08：平抛的多解问题 80 题型09：平抛与圆周的临界问题 83 题型10：类平抛运动模型 85 题型11：斜抛模型 98 题型12：抛体运动中的功能与动量 107 题型13：实验：探究平抛运动的特点 111 巩固提升 125 抛体运动是高考物理必修2曲线运动核心考点，属于高频基础题，全国卷/新高考卷多以选择题（4-6分） 为主，偶尔结合动力学、能量出计算题小问（3-5分），极少单独出大题。 考查侧重平抛运动（核心），斜抛运动仅考定性分析或分解为平抛/竖直上抛，不考复杂计算；常结合运动的合成与分解、牛顿运动定律、几何关系，偶尔关联电场中的类平抛（选修3-1），难度以基础-中档为主，区分度低，是必拿分考点。 命题情境多为生活场景（如投篮、扔物体）、实验场景（如平抛实验数据处理），新高考更注重实际问题模型化，要求从情境中提取抛体运动核心条件。 一 核心目标 1. 掌握运动的合成与分解的等效性、独立性原理，能将抛体运动分解为水平匀速直线运动和竖直匀变速直线运动（平抛：自由落体；斜抛：竖直上抛/下抛）。 2. 熟记平抛、斜抛运动的速度、位移公式，能快速推导并灵活应用，明确公式中各物理量的物理意义（如平抛的初速度、下落高度h、水平位移x）。 二 能力目标 1. 能对实际情境建模，排除干扰条件，判断是否为抛体运动（关键：只受重力，初速度沿水平/斜向）。 2. 能结合几何关系（如位移偏角、速度偏角的关系）求解未知量，掌握平抛运动中“偏角推论”的应用。 3. 能处理抛体运动的临界问题（如刚好击中、刚好不越界），明确临界条件（如竖直位移/水平位移的极值）。 三 基础要求 1. 熟练计算匀变速直线运动（自由落体、竖直上抛）的速度、位移，为抛体分解计算铺垫。 2. 能区分速度分解和位移分解，避免将偏角公式混淆（如速度偏角正切值是位移偏角的2倍）。 知识点一：抛体运动 1.定义：以一定的速度将物体抛出，物体只受重力作用的运动． 2.平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动． 3.平抛运动的条件 ①具有水平初速度v0. ②只受重力作用． 两个条件缺一不可． 4.平抛运动的性质：平抛运动实质上是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动． 5.平抛运动的四个特点 理解 理想化 特点 物理上提出的平抛运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力 速度 平抛运动的速度大小和方向都不断改变，故它是变速运动 加速度 平抛运动的加速度为自由落体加速度，恒定不变，故它是匀变速曲线运动 速度 变化 做平抛运动的物体任意相等时间内速度变化量相等，均为Δv＝gΔt，方向竖直向下 知识点二：平抛运动规律 1.平抛运动的研究方法：研究曲线运动通常采用“化曲为直”的方法 2.研究平抛运动的一般思路： (1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动． (2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等．这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，使问题的解决过程得到简化． （一）平抛运动的速度 将物体以初速度v0水平抛出，由于物体只受重力作用，t时刻的速度为： 1．水平方向：vx＝v0. 2．竖直方向：vy＝gt. 3．合速度： 大小：v＝ 方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ （二）平抛运动的位移 将物体以初速度v0水平抛出，经时间t物体的位移为： 1．水平方向：x＝v0t. 2．竖直方向：y＝gt2. 3．合 位： 大小：s＝ 方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝ 平抛运动的规律 速度 位移 水平分运动 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t 竖直分运动 竖直速度vy＝gt 竖直位移y＝gt2 合运动 大小：v＝ 方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ 大小：s＝ 方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝ 图示 （三）两个重要推论 1．速度与位移两方向间的关系 (1)做平抛运动的物体，其末速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α. (2)推导：由上面分析可知：合速度与水平方向夹角的正切值：tan θ＝；合位移与水平方向夹角的正切值：tan α＝.所以速度偏向角与位移偏向角的正切值的比值为：tan θ∶tan α＝2∶1. 2.平抛物体速度反向延长线的特点 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． (2)推导：如图所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点，此时速度的反向延长线交OB于A点．则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝gt2·＝v0t.可见AB＝OB，所以A为OB的中点． 3.速度变化：平抛运动是匀变速曲线运动，故在相等的时间内，速度的变化量（Δv＝gΔt）相等，且必沿竖直方向，如图所示。任意两时刻的速度与速度的变化量Δv构成三角形，Δv沿竖直方向。 对规律的理解 (1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关． (2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关． (3)落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关． (4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图1所示． 图1 知识点三：斜面上的平抛运动问题 斜面或圆弧面约束型的平抛运动 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 　已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移tan θ＝＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 规律理解 （1）．在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移方向，然后进行分解并利用两分量与已知角关系求解． （2）．与斜面有关的平抛运动拓展 运动情形 题干信息 分析方法 斜面外开始，要求以最短位移打到斜面 位移方向 分解位移 x＝v0t y＝gt2 tan α＝＝ 斜面外开始，沿斜面方向落入斜面 速度方向 分解速度 vx＝v0 vy＝gt tan α＝＝ 斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下： 方法 内容 斜面 总结 分 解 速 度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，构建速度三角形 分 解 位 移 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，构建位移三角形 知识点四：类平抛运动模型 1.类平抛运动的受力特点: 物体所受的合外力为恒力,且与初速度的方向垂直。 2.类平抛运动的运动特点: 在初速度v0方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=。 3.类平抛运动的求解方法: (1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解。 知识点五：平抛运动临界问题 擦网 压线 既擦网又压线 由得： 由得： 由和得： 知识点六：平抛运动中的相遇问题 平抛与自由落体相遇 水平位移：l=vt 空中相遇： 平抛与平抛相遇 （1） 若等高（h1=h2），两球同时抛； （2） 若不等高（h1>h2）两球不同时抛，甲球先抛； （3） 位移关系：x1+x2=L （1） A球先抛； （2） tA>tB； （3）v0A<v0B （1） A、B两球同时抛； （2）tA=tB； （3）v0A>v0B 平抛与竖直上抛相遇 （1） L=v1t； （2） ； （3） 若在S2球上升时两球相遇，临界条件：，即：，解得：； （4） 若在S2球下降时两球相遇，临界条件：，即， 解得： 平抛与斜上抛相遇 （1）； （2）； （3）若在S2球上升时两球相遇，临界条件：，即：， 解得：； （4）若在S2球下降时两球相遇， 临界条件：， 即， 解得： 知识点七;斜抛运动 物体抛出的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)． ①水平方向：物体做匀速直线运动，初速度vx＝v0cos θ. ②竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy＝v0sin θ.如图所示． 1．受力特点：斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g. 2．运动特点：物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线． 3．速度变化特点：由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时间内速度的变化大小相等，方向均竖直向下，故相等的时间内速度的变化相同，即Δv＝gΔt. 4．斜抛运动的对称性 (1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间． (2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等． (3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称． 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 所有抛体运动的解题关键是将曲线运动分解为两个直线运动，利用“水平方向匀速、竖直方向匀变速”的独立性，分别计算两个方向的速度、位移，再通过平行四边形定则合成合速度、合位移。 通用解题技巧 1. 优先求时间t：抛体运动中，时间是连接水平和竖直方向的桥梁，平抛由竖直高度求t，斜抛由竖直方向的速度/位移求t，先求t能简化计算。 2. 巧用偏角推论：平抛中若已知位移偏角/速度偏角，直接用tan θ＝2tan α，无需分步计算，节省时间。 3. 临界问题抓条件：如“刚好击中目标”→ 某时刻水平位移=目标水平距离、竖直位移=目标竖直高度；“刚好不越界”→ 最大高度/水平射程等于临界值，将临界条件转化为方程求解。 4. 实际情境建模：忽略空气阻力（题目未提则默认），提取“初速度方向、下落高度、水平距离”核心量，排除无关描述（如物体质量、形状）。 5. 避免公式混淆：区分“位移公式”和“速度公式”，竖直方向注意正方向选择（建议平抛选向下为正，斜抛选向上为正），减少负号错误。 易错题规避 1. 误将速度偏角和位移偏角混淆，直接用位移偏角计算速度，牢记tan θ＝2tan α。 2. 平抛运动中，认为水平位移由初速度决定，忽略时间由竖直高度决定（初速度越大，水平位移越大的前提是高度相同）。 3. 斜抛运动中，计算总时间时忘记乘以2（只算上升时间，未算下落时间）。 4. 处理斜抛到不同高度的问题时，直接套用“落回同一水平面”的射程公式，需重新由竖直位移求时间。 题型01：平抛运动的规律 （一）平抛运动的条件及特点 【典型例题1】　关于平抛运动，下列说法正确的是(　　) A．因为平抛运动的轨迹是曲线，所以不可能是匀变速运动 B．平抛运动速度的大小与方向不断变化，因而相等时间内速度的变化量也是变化的，加速度也不断变化 C．平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的竖直下抛运动 D．平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动 答案D　做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g，故为匀变速曲线运动，A错误，D正确；相等时间内速度的变化量Δv＝gΔt是相同的，故B错误；平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，C错误． 【变式训练1-1-1】关于平抛运动，下列说法中不正确的是(　　) A．平抛运动的下落时间由下落高度决定 B．平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动不可能是匀变速运动 C．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小 D．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动 【变式训练1-1-2】某弹射管每次弹出的小球速度相等．在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球．忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的(　　) A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同 C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同 （二）平抛运动的规律 【典型例题1】如图所示，从地面上方某点，将一小球以5 m/s的初速度沿水平方向抛出，小球经过1 s落地．不计空气阻力，g取10 m/s2，则可求出(　　) A．小球抛出时离地面的高度是5 m B．小球从抛出点到落地点的水平位移大小是6 m C．小球落地时的速度大小是15 m/s D．小球落地时的速度方向与水平地面成30°角 答案　A 解析　由题意得小球抛出时离地面的高度为h＝g＝5 m，A正确；小球从抛出点到落地点的水平位移大小为x＝t＝5 m，B错误；小球落地时的速度大小为v＝＝5 m/s，C错误；设小球落地时的速度方向与水平地面夹角为θ，则tan θ＝＝2≠＝tan 30°，故θ不等于30°，D错误． 【典型例题2】(多选)a、b两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为va、vb，从抛出至碰到台上的时间分别为ta、tb，则(　　) A．va＞vb　　　　　　 B．va＜vb C．ta＞tb　　　　　　 D．ta＜tb 答案　AD 解析　由题图知＞ha，因为h＝g，所以＜，又因为x＝t，且＞，所以＞，选项A、D正确． ． 【变式训练1-2-1】为迎接2022年北京冬奥会，运动员都进行了刻苦的训练。某滑雪运动员在训练过程中，从倾角为37°的倾斜直雪道顶端以4.00m/s的速度水平飞出，落在雪道上，然后继续沿雪道下滑。若空气阻力忽略不计，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则他在空中运动的时间为（　　） A．0.4s B．0.6s C．0.8s D．1.0s 【变式训练1-2-2】如图所示，从一根空心光滑竖直钢管A上端边缘，沿直径方向向管内水平抛入一钢球，球与管壁多次相碰后落地（球与管壁相碰后，水平速度反向，竖直速度不变，不计空气阻力），若换一根等高但较粗的光滑竖直钢管B，用同样方法抛入此钢球，则钢球（　　） A．在A管中的运动时间长 B．在B管中的运动时间长 C．在两管中的运动时间一样长 D．在两管中的运动时间无法比较 【变式训练1-2-3】如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶 结果球落在小桶的前方．不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以(　　) A．增大抛出点高度，同时增大初速度 B．减小抛出点高度，同时减小初速度 C．保持抛出点高度不变，增大初速度 D．保持初速度不变，增大抛出点高度 【变式训练1-2-4】某人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时的速度为v2，不计空气阻力，能表示出速度矢量的变化过程的是(　　) 【变式训练1-2-5】如图所示，小球甲从A点水平抛出，小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时的速度大小相等，速度方向夹角为45°，已知A、C高度差为h，不计空气阻力，由以上条件可知B、A两点高度差为(　　) A.h B.h C．h D．2h 【变式训练1-2-6】如图所示，a、b两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，其平抛运动轨迹的交点为P，则以下说法正确的是(　　) A．a、b两球同时落地 B．a、b两球落地速度相等 C．a、b两球在P点相遇 D．无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇 【变式训练1-2-7】如图所示，M、N为水平地面上的两点，在M点上方高处有一个小球A以初速度v0水平抛出，同时，在N点正上方高h处有一个小球B由静止释放，不计空气阻力，结果小球A在与地面第一次碰撞后反弹上升过程中与小球B相碰，小球A与地面相碰前后，水平方向分速度相同，竖直方向分速度大小相等，方向相反，则B球由静止释放到与A球相碰所用的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2-8】一质点做平抛运动，先后经过空中的、两点，经过点时速度方向与水平方向的夹角为30°，经过点时速度方向与水平方向的夹角为60°，则（　　） A．到过程质点做非匀变速运动 B．连线与水平方向夹角为60° C．质点经过、两点时竖直速度之比为1：3 D．从抛出点到、两点的水平位移之比为1：2 【变式训练1-2-9】从O点以水平速度v抛出一小物体，经过M点时速度大小为v，N点为O到M之间轨迹上与直线OM距离最远的点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小物体经N点时的速度方向与OM不平行 B．小物体从O到N经历的时间为 C．O、N之间的距离为 D．曲线ON与MN关于过N点且与OM垂直的直线对称 【变式训练1-2-10】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。将一质量为m＝0.5kg的小球（可视为质点）从空中O点以速度v0＝3m/s水平抛出，经过轨迹上的P点时速度方向与水平方向夹角为53°，如图甲所示。现沿小球运动轨迹铺设一条光滑轨道，如图乙所示，让小球从O点由静止释放开始沿轨道下滑，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．小球下滑到P处时的速度大小为4m/s B．小球从O点下滑到P点的时间为0.4s C．O、P两点的水平距离为0.8m D．在P点处，小球对轨道的压力为N 【变式训练1-2-11】(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　) A．小球水平抛出时的初速度大小为 B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D．若小球初速度增大，则θ减小 （三）平抛运动规律的应用 【典型例题1】如图所示，在水平路面上一特技运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8m，水平距离为8m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为（g取10m/s2）（　　） A．0.5m/s B．2m/s C．10m/s D．20m/s 【答案】D 【详解】运动员驾驶摩托车做平抛运动，据位移公式可得 x=t， 代入数据解得 =20m/s 故选D。 【典型例题2】如图所示，为了模拟和体验运动会的射击项目，在地面B处的微型水火箭竖直向上发射的同时，小华同学用气枪水平射出塑料子弹，枪口A距离地面1.6m，A、B的水平距离为8m，微型水火箭刚发射的瞬间获得初速度5m/s，上升过程仅考虑重力，若微型水火箭在上升过程被击中，微型水火箭和子弹视为质点，忽略一切阻力，取，则子弹刚出枪口的速度是（　　） A．25m/s B．20m/s C．15m/s D．10m/s 【答案】A 【详解】A、B相遇，在竖直方向上 可得相遇的时间 在水平方向上解得 故选A。 【典型例题3】（多选）如图所示，某同学在“风洞”实验室做实验。关闭风机的情况下，该同学从距离地面H处以v0向右平抛小球，使其做平抛运动，小球落地点与抛出点的水平距离也是H。接下来打开风机，风机产生水平向左的风，风力恒定。该同学再次从同一位置以相同速度平抛同一小球，这次小球恰好落在抛出点的正下方。则下列说法中正确的是（   ）    A．小球初速度v0为 B．打开风机，小球从抛出到落地所需时间不变 C．打开风机，小球落地速度v为 D．打开风机，小球到达右侧最远点时，小球距离地面高度为 【答案】BC 【详解】A．关闭风机的情况下，小球做平抛运动，则，H = v0t 联立解得，故A错误； B．打开风机，小球在竖直方向做自由落体运动，则小球从抛出到落地所需时间不变，故B正确； C．打开风机后小球恰好落在抛出点的正下方，则在水平方向有－= 2ax，x = 0 则= 在竖直方向 故打开风机，小球落地速度v为，故C正确； D．打开风机后小球恰好落在抛出点的正下方，则在水平方向有 则当小球在水平方向的速度为零时，小球到达右侧最远点，有0 = ＋ 解得 在竖直方向有，故D错误。 故选BC。 【典型例题4】如图所示，排球场总长为，设球网高度为，运动员站在网前处正对球网跳起将球水平击出，不计空气阻力，取。 （1）若击球高度为，排球越过球网的最小速度为多少？ （2）在第（1）问条件下，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围。 （3）当击球点的高度低于何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1、2）排球被水平击出后，做平抛运动，作出如图1所示的示意图 若正好压在底线上，根据 球在空中飞行的时间为 由此得排球越界的临界击球速度值为， 若球恰好触网，根据 则球在球网上方运动的时间为 由此求得排球触网的临界击球速度 要使排球既不触网又不越界，水平击球速度v的取值范围为 （2）设击球点的高度为h，当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，此情况是球刚好擦网而过，落地时又恰压底线上（如图2所示） 则有 解得： 即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网。 【变式训练1-3-1】某天，小陈同学放学经过一座石拱桥，他在桥顶A处无意中把一颗小石子水平沿桥面向前踢出，他惊讶地发现小石子竟然几乎贴着桥面一直飞到桥的底端D处，但是又始终没有与桥面接触。他一下子来了兴趣，跑上跑下量出了桥顶高OA＝3.2m，桥顶到桥底的水平距离OD＝6.4m。这时小陈起一颗小石，在A处，试着水平抛出小石头，欲击中桥面上两块石板的接缝B处（B点的正下方B'是OD的中点），小陈目测小石头抛出点离A点高度为1.65m，下列说法正确的是（　　） A．石拱桥为圆弧形石拱桥 B．小陈踢出的小石头速度约为6.4m/s C．小陈抛出的小石头速度约为4.6m/s D．先后两颗小石子在空中的运动时间之比为2：1 【变式训练1-3-2】如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　） A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于 C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于 【变式训练1-3-3】如图所示，甲、乙两位同学同时在等高处抛出手中的篮球A、B，A以速度v0斜向上抛出，B竖直向上抛出，当A到达最高点时恰与B相遇。不计空气阻力，重力加速度为g，则（　　） A．B从抛出到最高点前相对于A水平向左做匀速运动 B．相遇时B的速度可能不为零 C．B从抛出到最高点的时间为 D．从抛出到相遇，B的速度变化量比A的大 【变式训练1-3-4】交通事故发生时，车辆发生碰撞，车上的部分物品会因惯性而被抛出，位于车上不同高度的物品落到地面上的位置是不同的，如图所示。已知抛出点在同一竖直线上的物品A、B，分别从距地面高h和H的位置水平抛落，不计空气阻力，A、B可视为质点，重力加速度为g。则（　　）    A．B抛出的初速度大于A抛出的初速度 B．A、B同时落地 C．从抛出到落地的过程中，A比B的速度变化快 D．若再测得A、B落地点间的距离，则可估算出碰撞瞬间汽车的行驶速度 【变式训练1-3-5】如图甲所示是网球发球机，某次室内训练时将发球机放在距地面一定的高度，然后向竖直墙面发射网球．假定网球均水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑空气阻力，则(　　) A．两次发射的初速度大小之比为3∶1 B．碰到墙面前在空中运动时间之比为1∶ C．下落高度之比为1∶ D．碰到墙面时速度大小之比为3∶1 【变式训练1-3-6】如图所示，一架战斗机沿水平方向匀速飞行，先后释放三颗炸弹，分别击中山坡上水平间距相等的A、B、C三点。已知击中A、B的时间间隔为t1，击中B、C的时间间隔为t2，释放炸弹的时间间隔分别为Δt1、Δt2。不计空气阻力，则（　　） A．t1＞t2 B．t1＝t2 C．Δt1＞Δt2 D．Δt1＝Δt2 【变式训练1-3-7】在俄乌战争中，俄罗斯大量使用了“卡﹣52武装直升机”。假设在某次执行任务时，“卡﹣52直升机”悬停在水平地面O点正上方320m处。悬停中直升机沿图中水平虚线方向，发射一枚无动力炸弹，炸弹离开飞机时的速度为30m/s，此后飞机水平转过90°，仍在悬停状态向正前方发射另一枚无动力炸弹，炸弹离开飞机时的速度为40m/s，g取10m/s2，不计空气阻力，则两枚炸弹落地点的距离为（　　） A．400m B．560m C．420m D．480m 【变式训练1-3-8】如图所示，窗子上、下沿间的高度H=1.6m，墙的厚度d=0.4m，某人在离墙壁距离L=1.4m、距窗子上沿h=0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g=10m/s2，则v的取值范围是（　　） A．v＞7m/s B．2.3m/s＜v＜7m/s C．3m/s＜v＜7m/s D．2.3m/s＜v＜3m/s 【变式训练1-3-9】如图所示，一阶梯每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球从台阶最高点边缘水平飞出，初速度大小为5 m/s，不计阻力，重力加速度取10 m/s2，则小球将打在台阶的（　　） A．第11级 B．第12级 C．第13级 D．第14级 【变式训练1-3-10】削面是西北人喜欢的面食之一，全凭刀削得名。如图所示，将一锅水烧开，将一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片儿，面片便水平飞向锅里，若面团到锅的上沿的竖直距离为0.45m，面团离锅上沿最近的水平距离为0.3m，锅的直径为0.6m。运动中忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s，要使削出的面片落人锅中，则面片的水平初速度可能是（　　） A．1.2m/s B．2.4m/s C．3.6m/s D．4.8m/s 【变式训练1-3-11】如图所示为一张标准的乒乓球台。甲、乙两同学都非常喜欢乒乓球运动，他们在没有球台的情况下，用两张课桌拼成了一个40cm×120cm的简易球台，甲同学在一端短边的正中央放上一只15cm高的瓶子（上端有红色瓶盖），要求乙同学在另一端短边的正中央上方、距台面20cm处将乒乓球水平击出，并提出要求：乒乓球直接打中瓶盖得一分；乒乓球经一次落台反弹后击中瓶盖得两分，每人有5次击球机会，比比谁得分更多。若在本游戏中不考虑瓶子的大小，乒乓球视为质点，乒乓球在台面反弹前后的速度大小相等，方向关于台面对称，g取10m/s2，不计空气阻力。若要能在游戏中得分，则乒乓球被水平击出的速度大小应该为（　　） A．12m/s B．4m/s C．3m/s D．2.4m/s 【变式训练1-3-12】小朋友玩水枪游戏时，若水从枪口沿水平方向射出时的速度大小为15m/s，水射出后落到水平地面上。已知枪口离地面的高度为0.8m，重力加速度g取，忽略空气阻力，则射出的水（    ） A．在空中的运动时间为0.16s B．水平射程为6m C．落地时的速度大小为19m/s D．落地时竖直方向的速度大小为4m/s 【变式训练1-3-13】将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g） 【变式训练1-3-14】体育课上，甲同学在距离地面高处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为；乙同学在离地处将排球垫起。取重力加速度。不计空气阻力。求： （1）排球被垫起前在空中运动的时间； （2）排球被垫起前瞬间的速度大小； （3）排球在被击出到被垫起的过程中运动的位移大小。 【变式训练1-3-15】如图所示，一个半径的圆形靶盘竖直放置，两点等高且相距，将质量为的飞镖从A点沿方向抛出，经落在靶心正下方的点处。不计空气阻力，重力加速度取。求： （1）飞镖从A点抛出时的速度大小； （2）飞镖落点与靶心的距离； （3）为了使飞镖能落在靶盘上，飞镖抛出的速度大小应满足什么条件？    【变式训练1-3-16】在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，可以视为平抛运动。摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。g取10m/s2.求： （1）摩托车飞跃壕沟的时间。 （2）摩托车的速度至少要多大才能越过这个壕沟？ （3）摩托车落地时的速度大小和方向。 【变式训练1-3-17】棒球运动是一项集智慧、勇敢、趣味与协作于一体的集体运动项目，深受青少年喜爱．如图所示，某次投手在A点将球水平抛向捕手，捕手预备在B点接球，击球员预备在C点击球．棒球可看作质点，空气阻力不计．已知：A点离地面1.8 m，C点离地面1.0 m，A、B两点的水平距离为20 m，球抛出后经0.5 s到达B点，g取10 m/s2.求： (1)棒球抛出后到达C点的时间； (2)棒球被抛出时的速度大小； (3)若击球员和捕手均未碰到球，棒球落地时的速度方向． 【变式训练1-3-18】刀削面是北方的一种特色传统面食，操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈（视为质点）刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度大小为g，求落入锅内的小面圈刚被削离时的速度大小的范围。 【变式训练1-3-19】溜井是指利用自重从上往下溜放矿石的巷道，如图所示为某溜井在竖直平面内的示意图。可视为质点的矿石从A点由静止开始沿倾角 =37°的斜面滑下，到达底端B点后进入水平面，然后从边缘C处抛出，落入井底。已知AB长4m，BC长1.2m，B、C、D在同一条水平线上。斜面与水平面平滑连接，矿石与斜面及水平面动摩擦因数均为0.5，不计空气阻力，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： （1）矿石在斜面上运动时的加速度大小； （2）矿石运动到C处的速度大小； （3）若主溜井足够深，侧面DE倾角β=60°，矿石从C处抛出后恰好与DE不相撞直接落入井底，CD宽度为多大？ 【变式训练1-3-20】沿直线运动的木块在水平地面以v1=12m/s的速度经过A点时，在其正上方h=20m高处的B点，有一个小球同时被水平抛出，其平抛速度v0与v1方向相同．若木块停止运动时，恰好被落下的小球击中，不计空气阻力，取g=10m/s2,求： （1）木块与地面间的动摩擦因数μ （2）小球平抛速度v0的大小 【变式训练1-3-21】如图所示，在距水平地面的光滑平台边缘O点，将质量可视为质点的物块，以的速度水平抛出，不计空气阻力，取重力加速度。 （1）求物块抛出点O到落地点A所用的时间； （2）求物块抛出点O到落地点A之间的水平距离； （3）求物块落到A点时的速度的大小和方向。 （四）计算平抛运动抛出点坐标位置 【典型例题1】在“研究平抛运动”实验中，某同学只记录了小球运动轨迹上的A、B、C三点的位置，取A点为坐标原点，则各点的位置坐标如图所示，g取10m/s2，则：    （1）小球从A点运动到B点所用时间为 s。 （2）平抛的初速度为 m/s。 （3）B点的速度为 m/s。（可用根号表示） （4）小球抛出点的位置坐标是（ cm， cm）。 【答案】 0.1 1 -10 -5 【详解】（1）根据得， 则小球从A点运动到B点所用时间为。 （2）根据（1）中可知，平抛运动的初速度 （3）B点竖直方向的分速度 则B点的速度 （4）小球运动到B点的时间 所以B点的水平位移为 竖直位移 所以小球抛出点的位置横坐标为，纵坐标为。即抛出点的坐标位置为。 【变式训练1-4-1】某同学用图甲装置及频闪照相的方法研究A、B两球的运动。用小锤轻击弹性金属片，A球向右水平飞出，同时B球被松开，竖直向下运动。图乙是小球A运动过程中用频闪相机拍下的四个连续的不同位置的照片，并取A点为坐标原点建立直角坐标系，已知背景方格纸每小格的边长为2.5cm，g取10m/s2。请完成下列填空。    （1）小球A在竖直方向做 运动，频闪照相相邻闪光的时间间隔为 。 （2）小球A水平抛出的初速度为 ，抛出点的坐标为 。（保留两位有效数字） 【变式训练1-4-2】某次泾县中学与郎溪中学的同学合作研究平抛运动的实验，他们都让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球平抛运动的轨迹。 （1）其中郎溪中学某同学用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长为L，记录下小球在平抛运动途中的几个位置，如甲图中的a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式为 （用L、g表示）。 （2）其中泾县中学某同学在竖直墙上记录了抛物线轨迹的一部分，并利用刻度尺进行了作图，如图乙所示。O点不是抛出点，x轴沿水平方向，由图中所给的数据可求出平抛物体的初速度 ，抛出点的坐标 ， （g取） 【变式训练1-4-3】某实验小组用频闪照相的方法研究平抛运动。该同学以水平方向为x轴，竖直方向为y轴，得到小球运动过程中O、a、b、c的坐标位置如图所示，不计空气阻力。根据图象中的数据可知（g=10m/s2，计算结果均保留2位有效数字）： （1）小球平抛的初速度为 m/s； （2）小球过b点的速度为 m/s； （3）小球抛出点的坐标为 。 【变式训练1-4-4】某同学在做平抛运动实验时得到了如图所示的物体运动轨迹，a、b、c三点的位置在运动轨迹上已标出（重力加速度），求： （1）坐标原点a是否为平抛运动的抛出点； （2）物体做到达b点的时间； （3）物体的抛出的初速度大小； （4）物体到达b点的速度的大小。    题型02：平抛运动的两个推论 （一）速度偏转角与位移偏转角 【典型例题1】如图所示，一个倾角为45°的斜面与一个圆弧对接，斜面的底端在圆心O的正下方。从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是（　　） A．小球初速度不同，则运动时间一定不同 B．小球落到斜面上时，其速度方向一定相同 C．小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直 D．小球落到圆弧面上时位置越高，末速度越大 【答案】B 【详解】A．平抛运动的时间由下落的高度决定。若小球落到斜面与圆弧面上时的下落高度相同，则小球平抛运动的时间相同，A错误； B．设斜面倾角为θ，小球落到斜面上时速度与水平方向夹角为α，则 故B正确； C．小球落到圆弧面上时，若落点速度方向与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线通过圆心，但由平抛运动规律知，速度的反向延长线应通过水平位移的中点，C错误； D．设小球的初速度为运动时间为t，则小球落到圆弧面上时速度大小为 当越大时落点位置越高，但t越小，v不一定大，D错误。 故选B。 【典型例题2】（多选）如图所示，挡板与竖直方向的夹角为，一小球（视为质点）从点正下方点以某一速度水平抛出，小球运动到点时恰好不和挡板碰撞（小球轨迹所在平面与挡板共面）。测得小球从点运动到点所用时间为，若不计空气阻力，重力加速度大小为，则以下判断中正确的是（    ）    A．小球运动到点时速度大小为 B．小球运动到点时速度大小为 C．、间的距离为 D．、间的距离为 【答案】AD 【解析】AB．到达点时， 小球运动到点时速度大小为，A正确，B错误； CD．由题意可知， 平抛初速度为 平抛的水平位移与竖直高度分别为， 、间的距离为 得，C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练2-1-1】如图所示，是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点。质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线方向。M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点。已知，，重力加速度g取，则下列说法正确的是（    ）    A．平抛的初速度为 B．质点在P点的速度大小为 C．质点在P点的速度方向与水平方向的夹角为 D．若平抛初速度加倍，则质点下落到与P点同一高度所用时间将减半 【变式训练2-1-2】如图，将一支飞镖在竖直墙壁的左侧O点以不同的速度水平抛出，A为O点在竖直墙壁上的投影点，每次抛出飞镖的同时，在A处由静止释放一个特制（飞镖能轻易射穿）的小球，且飞镖均能插在墙壁上，第一次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为，第二次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为，图中没有画出，不计空气阻力。（，）则（　　）    A．两次速度增量之比为 B．两次抛出的飞镖只有一次能击中小球 C．两次下落的高度之比为 D．两次平抛的初速度之比为 【变式训练2-1-3】某同学玩掷飞镖游戏，先后将两只飞镖a、b由同一位置水平投出，已知飞镖投出的初速度va < vb，不计空气阻力，则两只飞镖插在竖直靶上的状态（侧视图）可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式训练2-1-4】据报道，尹某在小区内不幸被楼上抛落的酒瓶砸伤左脚。办案民警分析监控可描绘出酒瓶落在尹某脚面时速度与水平地面所成角度，随后民警又测量出尹某所在位置与楼房的水平距离。假设酒瓶飞出窗口的速度是水平的，若已知每层楼房高度，不计空气阻力，当地重力加速度已知，则通过以上信息能估算出（　　） ①酒瓶落至尹某脚面时的速度 ②酒瓶从飞出至落地所用时间 ③酒瓶对脚面的平均作用力 ④酒瓶是从第几层楼房抛出的 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式训练2-1-5】如图，将一小球从足够长的斜面上的O点，以初速率沿与斜面垂直向上的方向抛出，第一次落到斜面上的P点（未画出），O、P两点间的距离用x表示，小球刚落到P点时的动能、速度方向与斜面的夹角、垂直斜面向下的分速度大小分别用、α、表示。不计一切阻力，若仅改变初速率，则能正确反映、tanα、x、随或变化的图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   【变式训练2-1-6】如图所示，从足够高的1、2两点水平抛出两个小球，之后两球在空中的P点相碰，测得从1、2两点抛出的小球在P点时速度方向与水平方向的夹角分别为53°、45°。已知1、2两点在同一竖直线上，P点到1、2两点的水平距离为d，，，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．从1、2两点抛出的小球在空中运动的时间相等 B．从1、2两点抛出的小球经过P点时的速度大小相等 C．从1、2两点抛出的小球初速度大小之比为 D．1、2两点的竖直高度差为 【变式训练2-1-7】如图为某景观水车模型，水从槽口水平流出，某时刻正好垂直落在与水平面成30°角的轮叶边缘上，轮叶在水流不断冲击下以角速度ω转动。已知槽口到水车轴所在的水平面距离为2R，水车轮轴到轮缘的距离为R。（忽略空气阻力，取重力加速度为g）。求： （1）水流从槽口到轮叶的运动时间； （2）水流打在轮叶上的速度大小； （3）轮缘上一个质量为m的钉子，随水车转动时需要的向心力大小。    （二）速度反向延长线的结论应用 一、单选题 【典型例题1】如图所示光滑直管倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口到地面的竖直高度为；在距地面高为处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口处进入管内，设小球弹出点到管口的水平距离为，弹出的初速度大小为，重力加速度取。关于和的值，下列选项正确的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意可知，弹出后小球做平抛运动，到管口时的速度方向沿直管方向，根据平抛运动特点，做平抛运动的物体任意时刻速度方向的反向延长线交此前水平位移于中点，如图所示 根据几何关系得 小球在竖直方向做自由落体运动，可得小球从到的运动时间为 水平方向匀速运动有 故选A。 【变式训练2-2-1】在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示．现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，则刺客与墙壁的距离为(已知tan 37°＝，tan 53°＝)(　　) A.d B．2d C.d D.d 【变式训练2-2-2】如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　) A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D．若小球初速度增大，则θ减小 【变式训练2-2-3】从同一点水平抛出三个小球分别撞在竖直墙壁上a点、b点、c点，则(　　) A．落在a点的小球水平速度最小 B．落在b点的小球竖直速度最小 C．落在c点的小球飞行时间最短 D．a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点 题型03：平抛运动的图像问题 【典型例题1】如图所示为在探究平抛运动的实验中，某实验小组测得了物体水平方向位移随时间变化的图像和竖直方向速度随时间变化的图像。对于物体在内的运动，下列说法正确的是（　　）      A．物体在水平方向上做匀加速直线运动 B．物体在竖直方向上下落的高度约为 C．物体在水平方向上的速度大小约为 D．物体在相等时间内的速度变化量不断增大 【答案】C 【详解】A C．由图像知，物体在水平方向的运动为匀速直线运动，速度大小约为，故A项错误，C项正确； B．由图像知，物体在竖直方向做匀加速直线运动，加速度大小约为，图像与t轴围成的面积表示位移，则下落高度约为，故B项错误； D ．物体运动过程中，加速度恒定，则相等时间内的速度变化量相同，故D项错误。故选C。 【典型例题2】如图，将一小球从足够长的斜面上的O点，以初速率沿与斜面垂直向上的方向抛出，第一次落到斜面上的P点（未画出），O、P两点间的距离用x表示，小球刚落到P点时的动能、速度方向与斜面的夹角、垂直斜面向下的分速度大小分别用、α、表示。不计一切阻力，若仅改变初速率，则能正确反映、tanα、x、随或变化的图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】ABD 【详解】A．将小球的运动沿斜面方向和垂直于斜面方向分解，可知小球刚落到P点垂直斜面向下的分速度大小故A正确； B．沿斜面方向的加速度和垂直于斜面的加速度分别为，设小球落到斜面的时间为t，在垂直于斜面方向有沿斜面方向的速度为则速度方向与斜面的夹角的正切值为 可知速度方向与斜面的夹角为定值，故B正确； C．O、P两点间的距离为则x与是正比例函数关系，故C错误； D．小球刚落到P点时的动能为则与是正比例函数关系，故D正确；故选ABD。 【变式训练3-1】在德国举行的跳台滑雪世界杯女子大跳台比赛中，中国选手刘奇获得第8名，这是我国跳台滑雪选手近十年来在世界杯赛事中取得的最好成绩．跳台斜坡与水平面的夹角为，滑雪运动员从斜坡的起点A点水平飞出，当初速度为时，运动员恰好落到斜面底端B点，做平抛运动的飞行时间为，如图所示．现运动员以不同的初速度v从该斜坡顶端向左水平飞出，下面分别画出了运动员做平抛运动的初速度v和飞行时间t关系的图像，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ随时间t变化的图像如图所示(g取10 m/s2)，则(　　) A．第1 s内物体下落的高度为15 m B．第1 s内物体下落的高度为10 m C．物体的初速度为5 m/s D．物体的初速度是10 m/s 【变式训练3-3】人们在探究平抛运动规律时，将平抛运动分解为沿水平方向的运动和沿竖直方向的运动．从抛出开始计时，图a(水平方向)和图b(竖直方向)分别为某一平抛运动两个分运动的速度与时间关系图象，由图象可知这个平抛运动在竖直方向的位移y0与在水平方向的位移x0的大小关系为(　　) 图a　　　　　　　图b A．y0＝x0 B．y0＝2x0 C．y0＝ D．y0＝ 【变式训练3-4】第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，北京成为奥运史上首个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市。跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一。如图，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡BC、停止区CD三部分组成；比赛中运动员从B运动到C可看成平抛运动。用E、P表示运动员在空中运动的机械能、重力的瞬时功率大小，用t表示运动员在空中的运动时间，下列图象中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型04：平抛运动的临界、极值问题 【解题指导】1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好达到某一方向． 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题． 1． 平抛运动的临界问题有两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好为某一方向． 2．解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题． 1．与平抛运动相关的临界情况 (1)有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点． (2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点． (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点． 2．分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹． 当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解． 【典型例题1】某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以20 m/s的速度沿水平方向反弹，球在墙面上反弹点距地面的高度在1.25 m至1.80 m之间，忽略空气阻力，g取10 m/s2，则球反弹后到第一次落地(　　) A．飞行的最短时间为0.6 s B．飞行的最长时间为1.1 s C．飞行的最远水平距离为10 m D．飞行的最大位移将超过12 m 答案　D 解析　球反弹后做平抛运动，根据h＝g，可得t＝，取＝1.25 m，可得＝0.5 s，取＝1.80 m，可得＝0.6 s，故A、B错误；球在水平方向做匀速直线运动，有＝·＝12 m，故C错误；球落地的最大位移＝＝ m＞12 m，故D正确． 【典型例题2】如图，在某次比赛中，排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD.已知网高为h，球场的长度为s，重力加速度为g，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为(　　) A．H＝2h B．H＝h C．v＝ D．v＝ 答案　D 解析　排球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，有x＝vt，则排球从初位置运动到网的位置与排球从初位置到落地的时间之比为∶＝∶s＝1∶2，排球在竖直方向上做自由落体运动，由H－h＝g，H＝g，＝＝，解得H＝h，故A、B错误；排球从被发出至落在B点的过程中有s＝vt，所以v＝＝＝，故C错误，D正确． 【典型例题3】无人机操作员练习使用无人机将模拟弹从楼顶右端上方投进如图所示楼房的窗户中，已知楼间距为l．窗户距楼顶高度为h，为更好地将模拟弹投进窗户，模拟弹以与水平方向较小角度进入窗户的效果更好，重力加速度为g．不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．无人机水平飞行速度越大越好 B．无人机应该斜向上飞行再投弹 C．无人机投弹的最佳位置是紧贴楼顶水平飞行 D．无人机投弹的最佳速度只能是 【答案】CD 【详解】A．由于两栋楼房的距离是固定的，模拟弹离开无人机后水平方向有 竖直方向有 则若无人机水平飞行速度过大，则有上述分析可知，其模拟弹运动时间将缩短，其竖直方向位移将变小，其将不会从窗户进入楼房，故A项错误； B．模拟弹进入窗户时，其与水平方向的夹角为，则有 若想模拟弹以与水平方向较小角度进入窗户，则应该减小竖直方向的速度，而若斜向上飞行后投弹，则初始时竖直方向就会做速度，则进入窗户时，设初始时模拟弹的速度方向与水平方向的夹角为α，模拟弹的数值方向速度为 其大于无人机开始时水平飞行的竖直方向速度，故无人机不应该斜向上飞行再投弹，而是水平方向飞行，故B项错误； CD．由上述分析可知，当无人机水平飞行投弹，此时水平方向有 竖直方向有， 则其夹角为 由此可知，若想角小，则其无人机投弹高度要小，即无人机应该紧贴楼顶飞行，则其最佳速度为 故CD正确； 故选CD。 【典型例题4】如图排球场，L=9m,球网高度为H=2m，运动员站在网前s=3m处，正对球网跳起将球水平击出，球大小不计，取重力加速度为g=10m/s. （1）若击球高度为h=2.5m,为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围; (2) 当击球点的高度h为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是出界？ 【答案】（1）3m/s＜v≤12m/s（2）2.13m 【详解】（1）当球刚好不触网时，根据h1−h＝gt12，解得：，则平抛运动的最小速度为：．当球刚好不越界时，根据h1＝gt22，解得： ，则平抛运动的最大速度为：，则水平击球的速度范围为3m/s＜v≤12m/s． （2）设击球点的高度为h．当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，情况是球刚好擦网而过，落地时又恰压底线上，则有：，其中x1=12m，x2=3m，h=2m，代入数据解得：h=2.13m，即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网． 【变式训练4-1】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　) A.＜v＜L1 B.＜v＜ C.＜v＜ D.＜v＜ 【变式训练4-2】在第19届杭州亚运会女子排球决赛中，中国女排以3∶0战胜日本女排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕。如图所示，排球场的宽为d，长为2d，球网高为，发球员在底线中点正上方的O点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的E点，，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（    ） A．O点距地面的高度为 B．排球做平抛运动的时间为 C．排球击出时的速度大小为 D．排球着地时的速度大小为 【变式训练4-3】如图甲所示，自动喂鱼投料机安装在鱼塘上方的水平平台上，投料口距水面的高度为1.25m。投料机开机运行时饵料通过机内小孔向下落入图乙所示的带挡板的银色转盘中，转盘在电动机的带动下转动将饵料甩出，从而实现自动投喂。某次投喂时调好电动机转速，饵料投送的距离在2m～17m的范围内，若忽略空气阻力的影响，取重力加速度，下列说法正确的是（        ）      A．饵料被水平甩出时的最大速度为17m/s B．饵料被水平甩出时的最小速度为1m/s C．增大投料机的安装高度同时减小电动机转速，饵料的最大投放距离一定增大 D．降低投料机的安装高度同时增大电动机转速，饵料的最大投放距离可以不变 【变式训练4-4】一带有发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为4h，不计空气的作用，不考虑乒乓球旋转，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速度在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到网右侧的台面上，则速度的范围是（　　）    A． B． C． D． 【变式训练4-5】小明家建造坯房时窗户开口竖直高度H=2.2m，已知墙壁的厚度。小明在离墙壁距离，距窗子上沿高处的点，将可视为质点的小物体以速度垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，取，则的取值范围约为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练4-6】恰好越过位于水平地面上高为h的竖直挡板，然后落在水平地面上的D点，碰前碰后的速度水平方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在D点，忽略空气阻力。挡板的高度h为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-7】利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏．如图所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好从纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角．若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是(　　) A．在P点将纸团以小于v的速度水平抛出 B．在P点将纸团以大于v的速度水平抛出 C．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出 D．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出 【变式训练4-8】某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为(　　) A．0 B．0.1 m C．0.2 m D．0.3 m 【变式训练4-9】如图所示，M、N是两块挡板，挡板M高h′＝10 m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面．从高h＝15 m的A点以速度v0水平抛出一小球(可视为质点)，A点与两挡板的水平距离分别为d1＝10 m，d2＝20 m．N板的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小可能是下列给出数据中的哪个(g取10 m/s2，空气阻力不计)(　　) A．8 m/s B．4 m/s C．15 m/s D．21 m/s 【变式训练4-10】一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球(可视为质点)以水平速度v从图示位置飞出，不计空气阻力，g取10 m/s2，欲打在第4级台阶上，则v的取值范围是(　　) A. m/s<v≤2 m/s B．2 m/s<v≤3.5 m/s C. m/s<v< m/s D．2 m/s<v< m/s 【变式训练4-11】如图所示，边长为a的正方体无盖盒子放置在水平地面上，O为直线B′A′延长线上的一点，且与A′的距离为a，将小球(可视为质点)从O点正上方距离2a处以某一速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g。为使小球能落在盒子内部，调整抛出方向，则小球抛出时的速度最大不超过(　　) A. B. C. D. 【变式训练4-12】如图所示，乒乓球的发球器安装在足够大的水平桌面上，可绕竖直转轴OO′转动，发球器O′A部分水平且与桌面之间的距离为h，O′A部分的长度也为h，重力加速度为g。打开开关后，发球器可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去，≤v0≤2。设发射出去的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球可视为质点，空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO′在90°的范围内来回缓慢地水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面碰撞区域的面积S是(　　) A.2πh2 B.3πh2 C.4πh2 D.8πh2 【变式训练4-13】如图，排球场地总长18m，网高2.25m，运动员在后场区底边（距中央网水平距离9米）正上方h高处跳起发球，假设排球被击出时的初速度是水平（且与底边垂直）方向的，可以认为排球是做平抛运动，。问：击球高度h满足什么条件时会出现无论球的水平初速度多大都会触网或越界？（    ）      A． B． C． D．不存在以上情况 【变式训练4-14】[多选]刀削面是很多人喜欢的面食之一，因其风味独特而驰名中外。刀削面全凭刀削，因此得名。如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片，面片便飞向锅中。若面团到锅上沿水平面的竖直距离为0.8 m，到锅最近的水平距离为0.5 m，锅的半径为0.5 m。要想使削出的面片落入锅中，则面片的水平速度可以是下列选项中的哪些(g取10 m/s2)(　　) A．1 m/s B．2 m/s C．3 m/s D．4 m/s 【变式训练4-15】如图所示，甲同学爬上山坡底端C点处的一棵树，从树上Q点正对着山坡水平抛出一个小石块，石块正好垂直打在山坡中点P。乙同学（身高不计）在山坡顶端的A点水平抛出一个小石块，石块也能落在P点。已知山坡长度，山坡与水平地面间夹角为，重力加速度为g，空气阻力不计，，，则（　　） A．甲同学抛出的小石块初速度大小为 B．甲同学抛出的小石块初速度大小为 C．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 D．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 【变式训练4-16】某天，小陈同学放学经过一座石拱桥，他在桥顶A处无意中把一颗小石子水平沿桥面向前踢出，他惊讶地发现小石子竟然几乎贴着桥面一直飞到桥的底端D处，但是又始终没有与桥面接触。他一下子来了兴趣，跑上跑下量出了桥顶高OA=3.2m，桥顶到桥底的水平距离OD=6.4m。这时小陈起一颗小石，在A处，试着水平抛出小石头，欲击中桥面上两块石板的接缝B处（B点的正下方B′是OD的中点），小陈目测小石头抛出点离A点高度为1.65m，下列说法正确的是（　　）    A．石拱桥为圆弧形石拱桥 B．小陈踢出的小石头速度约为6.4m/s C．小陈抛出的小石头速度约为4.6m/s D．先后两颗小石子在空中的运动时间之比为2:1 【变式训练4-17】在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示.P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒.高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h. (1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围. 【变式训练4-18】如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m．运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出．(取g＝10 m/s2，不计空气阻力) (1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度v0在什么范围内才能使球既不触网也不出界？ (2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度． 【变式训练4-19】将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于。为了观察到“水漂”，某同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，观察到在水面跳了三次，第四次已不能从水面跳起。石子每次与水面接触后水平方向的速度方向不变大小减为接触前的一半、竖直方向的速度方向反向大小减为接触前的四分之三。不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g，求： （1）第一次落至水面时竖直方向的速度大小； （2）抛出速度大小的范围。 题型05：平抛运动中的追击相遇问题 【典型例题1】如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇的过程中，下列说法正确的是（　　） A．相遇时间变为 B．相遇时间变为 C．相遇点的高度下降了 D．相遇点的位置在原来的左下方 【答案】C 【详解】AB．设第一次抛出时A球的速度为，B球的速度为，则A、B间的水平距离 第二次两球的速度为第一次的，但两球间的水平距离不变，则联立得 故AB错误； CD．两次相遇位置的高度差两次相遇A球水平位移 相遇位置在原来的正下方，故C正确，D错误。故选C。 【典型例题2】在同一水平直线上的两位置分别沿同水平方向抛出两小球A和B，两球相遇于空中的P点， 它们的运动轨迹如图所示。不计空气阻力，下列说法中正确的（　　） A．在抛出时，A 球的速度大小小于 B 球的速度大小 B．在抛出时，A 球的速度大小可能等于 B 球速度大小 C．抛出时，先抛出 A 球后抛出 B 球 D．抛出时，两球同时抛出 【答案】D 【详解】CD．A、B两球都做平抛运动，相遇时竖直位移h相同，由可知两球下落时间相同，即应同时抛出两球，故C错误D正确； AB．因两球同时抛出，水平方向上都做匀速直线运动，由于A的水平位移比B的水平位移大，由 知A的初速度比B的大，故AB错误。故选D。 【典型例题3】如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为和h，将两球水平抛出后，不计空气阻力，两球落地时的水平位移分别为s和。重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．A、B两球的初速度大小之比为1：4 B．A、B两球的运动时间之比为 C．两小球运动轨迹交点的水平位移为 D．两小球运动轨迹交点的离地高度 【答案】D 【详解】AB．小球做平抛运动，竖直方向有；，A球运动时间 B球运动时间所以由得结合两球落地时位移之比可知A、B两球的初速度之比，故AB错误； CD．两球相交时，水平方向位移相同，因此有，B球下落高度；A球下落的高度 ，各式联立得，两小球运动轨迹交点的高度两小球运动轨迹交点的水平位移，联立解得，C错误D正确。故选D。 【典型例题4】如图所示，从同一竖直线上不同高度处的两点，分别以速率v1、v2同向水平抛出两小球A、B，它们恰好在P点相遇。不计空气阻力，空间足够大，下列说法正确的是（　　） A．v1<v2 B．两球在P点一定具有相同的速率 C．若同时抛出，两球不可能在P点相遇 D．若同时抛出，落地前两球在竖直方向上的距离逐渐变大 【答案】AC 【详解】A．两球在竖直方向上做自由落体运动，到相遇点P时下降高度>，根据知飞行时间>，即两球不同时抛出，两球在水平方向上做匀速运动，有x=t，水平位移x相同，故初速度<，A正确； B．因球到达P点时的竖直分速度=gt因>，故>，又球在P点速率而水平分速度<，故不能确定两球在P点速度的大小关系，B错误； C．若同时抛出，因A球到达P点所需时间较长，故两球不可能在P点相遇，C正确； D．若同时抛出，两球在竖直方向上的相对初速度和相对加速度均为零，即在竖直方向上两球相对静止，故落地前两球在竖直方向上的距离等于初始距离，保持不变，D错误。故选AC。 【变式训练5-1】如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球S1以初速度v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球S2以初速度v竖直向上抛出。在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计地面阻力和空气阻力。则两球在这段过程中（　　） A．两球均做变加速运动 B．相遇时小球S1，的速度方向与水平方向夹角为30° C．相遇点在N点上方处 D．MN距离为2h 【变式训练5-2】在水平面上M点的正上方0.3m高度处，将A球以初速度水平向右抛出，在M点右侧地面上N点处，将B球以初速度斜向左上方45°角抛出，A球、B球水平距离为0.9m，不计空气阻力，以下说法正确的是（　　） A．若两球同时抛出，经过0.1s后相遇 B．若两球同时抛出，相遇时速度变化量相等 C．若两球同时抛出，相遇时水平位移相同 D．若两球分别抛出并未相遇，落地后不反弹，则两球在空中运动时间相等 【变式训练5-3】如图所示，在体育课上进行篮球训练时，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度h1比乙同学抛出点的高度h2大，不计空气阻力，篮球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．乙同学比甲同学先将篮球抛出 B．两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长 C．乙同学抛出的篮球初速度一定大 D．甲同学抛出的篮球在相遇前的水平位移一定小 【变式训练5-4】同一水平线上相距的两位置沿相同方向水平抛出两小球甲和乙，两球在空中相遇，运动轨迹如图所示。不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．甲球要先抛出才能相遇 B．甲、乙两球必须同时抛出才能相遇 C．从抛出到相遇过程中，甲球运动的时间更长 D．两球相遇时乙球加速度更大 【变式训练5-5】如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度同时水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则（　　）    A．A与B一定在空中相遇 B．A比B先落地 C．A的初速度比B的大 D．A和B的位移大小相等 【变式训练5-6】如图所示，小球A以某一速度水平向右抛出，同时，小球B斜向左上方以速度抛出，方向与竖直方向夹角θ=37°，两球抛出后在同一竖直面内运动，当小球B到达最高点时，小球A刚好与之相碰，相碰时，小球A的速度方向与水平方向的夹角为53°，不计空气阻力，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（　　） A．小球A抛出的初速度大小等于 B．小球A抛出的初速度大小等于 C．两球抛出点的高度差为 D．两球抛出点的高度差为 【变式训练5-7】如图所示，将甲、乙两个相同的小球分别以初速度、同时水平抛出，已知抛出点乙在甲的正上方且离水平面的高度是甲的4倍，落地点到拋出点的水平距离也是甲的4倍，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．乙的初速度是甲的倍 B．它们落地时的速度方向相同 C．乙从抛出到落地的运动时间是甲的4倍 D．甲落地前，乙一直在甲的正上方 【变式训练5-8】（多选）亲子游戏有益于家长与孩子之间的情感交流。如图，父亲与儿子站在水平地面玩抛球游戏，两人相向站立，各持一小球并将球水平抛出，下述抛球方式可能使两球在落地前相遇的有（　　） A．父亲先将球抛出 B．儿子先将球抛出 C．两人同时将球抛出 D．父亲下蹲适当高度后再与儿子同时将球抛出 【变式训练5-9】（多选）如图所示为一半球形的坑，坑边缘上M、N两点与圆心等高且在同一竖直面内。两位同学分别在M、N两点，同时将甲、乙两小球分别以、的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑壁上Q点，Q、是半球上的两个对称点（如图），已知，忽略空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．两球抛出的速率之比为 B．从N点水平抛出的小球，控制抛出速度的大小，小球有可能垂直砸到坑壁上 C．两球同时落在Q点与同时落在点，两次抛出两球的速率之和相等 D．若抛出时两球速度大小相等，且两球恰好相碰于坑壁上，则两球在空中运动时间最长 【变式训练5-10】如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h（l、h均为定值）。将A向B水平抛出的同时，B自由下落。A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则下列判断正确的是（　　） A．A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度 B．A、B在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰 C．A、B有可能运动到最高处相碰 D．A、B一定不能相碰 【变式训练5-11】如图，两个弹性球P、Q在距离水平地面一定高度处，若给P水平向右的初速度（），同时释放Q，（两球在同一竖直面内运动）两球与地面接触时间可忽略不计，与地面接触前后水平方向速度不变，竖直方向速度大小不变，方向相反。忽略空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．如果P、Q不在同一水平面，只要合适两球即可相碰 B．如果P、Q不在同一水平面，无论为何值两球均不能相碰 C．如果P、Q在同一水平面，无论为何值两球均可相碰 D．如果P、Q在同一水平面，只有取恰当值两球才可相碰 【变式训练5-12】某飞机在P点投下一枚炸弹并快速离开，同时被地面雷达S捕捉并发射炮弹，如图所示，炸弹从O点的正上方离地h高处的P点以v1的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度v2斜向左上方，与水平方向夹角为θ方向发射炮弹，炮弹和炸弹恰在O、S连线的中点正上方相遇。若不计空气阻力，则两物体抛出后至相遇过程（　　） A．炮弹发射角 B．两弹相遇时间 C．两弹速度对时间的变化率相同 D．两弹相遇点一定在距离地面高高度处 【变式训练5-13】如图，物体甲从高H处以速度平抛，同时乙从乙距甲水平方向s处由地面以初速度竖直上抛，不计空气阻力，则两物体在空中相遇的条件是（　　）    A．从抛出到相遇的时间为 B．若要在物体乙上升中遇甲，必须， C．若要在物体乙下降中遇甲，必须， D．若相遇点离地高度为，则 【变式训练5-14】如图所示，倾角为37°的斜面长l=1.9m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v03m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块，小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则（　　） A．小球在空中飞行的时间为0.3s B．小球抛出点到斜面P点的水平距离为1.2m C．小滑块沿斜面下滑的加速度为6m/s2 D．小球抛出点到斜面底端的竖直高度为1.7m 【变式训练5-15】如图所示，在距地面高为的A处以水平初速度投掷飞镖，与A点水平距离为的水平地面上的B点有一个气球，选择适当时机让气球以速度匀速上升，在升空过程中恰好被飞镖击中。飞镖在飞行过程中空气阻力不计，飞镖和气球均视为质点，重力加速度为g。 （1）求飞镖击中气球时，飞镖竖直方向的分速度大小； （2）求开始掷飞镖和放气球两个动作之间的时间间隔； （3）假设飞镖击穿气球后，水平方向分速度保持不变，竖直方向分速度减小为击穿前的二分之一，求飞镖的落地点与B点的水平距离x。    题型06：斜面上的平抛问题 （一）顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角 (1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如图) 处理方法：分解位移. x＝v0t y＝gt2 tan θ＝ 可求得t＝. (2)物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下(如图) 处理方法：分解速度 vx＝v0，vy＝gt tan θ＝ t＝. 【典型例题1】如图所示，在某次跳台滑雪比赛中，运动员以初速度从跳台顶端A水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B点，运动员运动到P点时离倾斜赛道最远，P点到赛道的垂直距离为PC，P点离赛道的竖直高度为PD，赛道的倾角为，重力加速度为g，空气阻力不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。则C、D两点间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对运动员在空中的运动沿平行斜面和垂直斜面方向分解可知，运动员从A运动到P点和从P点运动到B点所用时间相等，因此运动员沿平行斜面方向的分运动从A到C的时间与从C到B的时间相等，运动员沿平行斜面做加速度为的匀加速运动，设整个运动时间为t，则 由于从A到P的水平位移与从P到B的水平位移相等，因此 则 运动员做平抛运动有 ， 又 解得 则 故选A。 【典型例题2】可视为质点的运动员从P点以的速度水平飞出，若不计空气阻力，运动员在空中飞行3s后落在斜面上Q点。简化示意图如图所示，已知：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取。则运动员由P到Q的过程中（    ） A．水平初速度大小为30m/s B．水平初速度大小为20m/s C．P到Q的位移大小为45m D．P到Q的位移大小为60m 【答案】B 【详解】AB．运动员由P到Q的过程中，有 可得水平初速度大小为 故A错误，B正确； CD．运动员由P到Q的过程中，水平位移为 则P到Q的位移大小为 故CD错误。 故选B。 【典型例题3】如图所示，水平面上固定一个斜面，从斜面顶端向右平抛一只小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，飞行时间为t0。现用不同的初速度v从顶端向右平抛这只小球，以下能正确表示平抛的飞行时间t随v变化的关系是(　　) 【解析】选A　当小球落在斜面上时，有：tan θ＝＝＝，解得：t＝，与速度v成正比。当小球落在地面上，根据h＝g，解得：t＝，可知运动时间不变。所以t与v的关系图线先是过原点的一条倾斜直线，然后是平行于横轴的直线 【变式训练6-1-1】如图所示，物体在倾角为θ、足够长的斜面上做平抛运动，最终落在斜面上，从抛出到第一次落到斜面上的过程，下列说法正确的是（　　） A．物体在空中运动的时间与初速度成正比 B．落到斜面上时、速度方向与水平面的夹角随初速度的增大而增大 C．抛出点和落点之间的距离与初速度成正比 D．物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度成正比 【变式训练6-1-2】2022年北京冬奥会已经圆满举办，其中高台跳雪是冬奥会最具有观赏的比赛项目之一。如图为某运动员比赛时的示意图，跳雪运动员从水平雪道末端以一定的初速度沿水平方向向左飞出，不计空气阻力，则运动员从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．运动员飞行的时间与初速度平方成正比 B．运动员飞行的位移与初速度平方成正比 C．重力的冲量与初速度的平方成正比 D．重力做功的平均功率与初速度的平方成正比 【变式训练6-1-3】如图所示，在竖直平面中，有一根水平放置的，长度为L的不可伸长的轻绳，绳的一端固定在O点，另一端连有质量为m的小球。现从A点静止释放小球，当小球运动到O点正下方B点时，绳子突然断裂。B点位于斜面顶端，斜面足够长，倾角为θ，则下面的说法正确的是（　　） A．小球落至斜面所需的时间为2 B．小球落至斜面所需的时间为 C．小球落至斜面C点与B点的距离为4Ltanθ D．小球落至斜面C点与B点的距离为4L 【变式训练6-1-41】冬奥会上运动员滑雪的示意图如图所示。运动员（可视为质点）从A点由静止滑下，到达B点后水平飞出，落到斜面上的C点，不计一切摩擦和空气阻力。已知A、B两点的高度差为，段斜面与水平面之间的夹角为，重力加速度为，则下列说法中正确的是（    ）      A．运动员从A点由静止滑下后到达B点时的速度大小为 B．运动员从B点运动到C点所用的时间为 C．B、C两点之间的距离为 D．运动员在空中的运动速度方向与斜面平行时，与斜面之间的距离最大 【变式训练6-1-5】冬奥会跳台滑雪比赛在国家跳台滑雪中心“雪如意”举行，跳台滑雪主要分为四个阶段：助滑阶段、起跳阶段、飞行阶段和着陆阶段。某大跳台的着陆坡是倾角θ=37°的斜面。比赛中某质量m=80kg（包括器械装备）的运动员脚踏滑雪板沿着跳台助滑道下滑，在起跳点 O点以v0=20m/s的水平速度腾空飞出，身体在空中沿抛物线飞行落至着陆坡上的 M点后，沿坡面滑下并滑行到停止区，最终完成比赛，如图所示。已知B 点（图中未画出）是该运动员在空中飞行时离着陆坡面最远的点，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，以起跳点 O点所在的平面为0势能面，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员在B点时的速度变化率大小为10m/s2 B．B点距离着陆坡面的距离为9 m C．O、M间的距离为125m D．运动员从O 点到B 点的位移大小等于从B点到M点的位移大小 【变式训练6-1-6】如图所示，运动员踏着专用滑雪板（可视为质点）在助滑路上获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动非常惊险。已知一位运动员由斜坡顶端A点沿水平方向飞出的速度，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ取37°，斜坡可以看成一斜面。（不计空气阻力，g取，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求： （1）运动员在空中飞行的时间； （2）A、B间的距离； （3）运动员从A点飞出后，经多长时间离斜坡的距离最远，最远距离为多少？ （二）顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角 1.从斜面外恰好与斜面平行的方向落到斜面(如图)： 合速度与水平速度的夹角等于斜面倾角，常用速度关系tan θ＝＝. 2.从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 【典型例题1】如图所示，以速度从O点水平抛出的小球，抵达光滑固定的斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ做匀加速直线运动，已知斜面倾角为（，），不计空气阻力，取重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．O点到P点的竖直距离为0.45m B．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大 C．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地时间将变小 D．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地速度不变 【答案】AC 【详解】A．由题意可知，小球落到斜面上时速度偏转角为，则有 解得 又因为解得故A项正确； B．小球做平抛运动时的加速度为，小球在斜面上运动时 解得故B项错误； C．由于小球在斜面上的加速度，由之前分析可知为，则小球在斜面上运动时，在竖直方向的加速度为 由此可知，有斜面时，小球在竖直方向上的加速度小于重力加速度，所以撤去斜面后，小球的下落时间变小，故C项正确； D．根据机械能守恒得 撤去斜面，h不变，则落地的速率v不变，但是速度方向不同，故D项错误。 故选AC。 【典型例题2】如图所示，从a点以初速度v0=6m/s水平抛出一质量m=0.5kg的小球（视为质点），小球恰好从竖直放置的光滑圆弧轨道的b点沿切线进入圆弧轨道，经过最低点c，最后从d点飞出圆弧轨道。已知圆弧轨道半径R=l.2m，bc段圆弧所对的圆心角α=60°，O为圆心，Od为水平半径，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2。则下列分析错误的是（　　） A．a、b两点的高度差为5.4m B．小球在c点时对圆弧轨道的压力大小为70N C．小球在d点时对圆弧轨道的压力大小为55N D．小球从d点离开后还能上升的高度为4.8m 【答案】D 【详解】A．小球恰好从竖直放置的光滑圆弧轨道的b点沿切线进入圆弧轨道，则有 解得h＝5.4m故A正确，不符合题意； B．规定c点为零势能面根据能量守恒可得 在c点由牛顿第二定律 解得故B正确，不符合题意； C．由牛顿第二定律和机械能守恒定律 解得故C正确，不符合题意； D．由公式可得解得故D错误，符合题意。故选D。 【变式训练6-2-1】如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　) A. B. C. D. 【变式训练6-2-2】如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，AB为沿水平方向的直径.若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D点；而在C点以初速度v2沿BA方向平抛的小球也能击中D点.已知∠COD＝60°，则两小球初速度大小之比为(小球视为质点)(　　) A.1∶2 B.1∶3 C.∶2 D.∶3 【变式训练6-2-3】如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　) A. B. C. D. 【变式训练6-2-4】如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60 °，则C点到B点的距离为(　　) A. B. C. D．R （三）对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角 对着斜面平抛 垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下(如图) 处理方法：分解速度. vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 可求得t＝. 【典型例题1】如图所示，倾角为的斜面体固定在水平面上，小球在斜面底端正上方以速度向右水平抛出，同时，小球在斜面顶端以速度向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，，。则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小球A垂直打在斜面上，如图所示： 根据几何关系可得 对于小球B 联立得 = 故选D。 【典型例题2】如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，从斜面底端正上方某高度处的A点，第一个小球以水平速度抛出，经过时间t1恰好垂直打在斜面上；第二个小球由静止释放，经过时间t2落到斜面底端，不计空气阻力，则时间t1和时间t2的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】第一个小球恰好垂直打在斜面上，有 设第一个小球打在斜面上时水平位移为，竖直方向的位移为，有 则 A点与斜面底端高度差为 根据动力学公式， 时间和时间的比值为 故选D。 【变式训练6-3-1】如图所示，以10m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，则飞行时间t是（g取10m/s2）（　　） A． B．2 C． D． 【变式训练6-3-2】如图，有一倾角为，高为H的斜面，现将两个小球a、b分别以不同的水平速度抛出。小球a在斜面的底端正上方某点抛出，恰好垂直击打在斜面的中点，小球b从斜面顶端抛出，也落在斜面的中点。则）（　　）    A．小球a、b的下落时间之比 B．小球a、b的水平初速度之比 C．小球a、b的竖直位移之比 D．小球a离斜面底端的竖直高度为 【变式训练6-3-3】如图所示，水平地面上固定有倾角为45°，高为h的斜面。O点位于A点正上方且与B点等高。细绳一端固定于O点，另一端与质量为m的小球相连。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时细绳恰好拉断，之后做平抛运动并垂直击中斜面的中点（重力加速度为g），下列说法正确的是（　　） A．细绳的长度为 B．绳刚要拉断时张力为 C．小球做平抛运动的时间为 D．若球击中斜面反弹的速度大小为击中前的一半，则反弹后球能落到A点 【变式训练6-3-4】如图所示，从水平面上A点以倾角为α斜向上方抛出一小球，抛出时速度大小为。小球落到倾角为θ的斜面上C点时，速度方向正好与斜面垂直，B为小球运动的最高点，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球在B点的速度大小为 B．小球从A点运动到B点的时间为 C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为 D．小球从B点运动到C点的时间为 （四）对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 【典型例题1】如图所示，倾角为37°的斜面体固定放置在水平面上，斜面的高度为，点是A点正上方与点等高的点，让一小球（视为质点）从点水平向左抛出，落在斜面的点，已知、两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g，、，下列说法正确的是（　　） A．小球在点的速度为 B．小球从点到点的运动时间为 C．小球在点的速度大小为 D．小球在点的速度与水平方向夹角的正切值为2 【答案】A 【详解】AB．过点作的垂线与的交点为，设平抛运动的水平位移为，即、两点之间的距离为，如图所示 由几何关系可得 由平抛运动的规律可得 ， 解得 、、 A正确、B错误； CD．小球在点沿竖直方向的分速度为 小球在点的速度大小为 与水平方向夹角的正切值为 解得 ， CD错误。 故选A。 【典型例题2】如图所示，倾角为37°的斜面与水平面的交点为 B，斜面上的 C点处有一小孔，若一小球从B点的正上方A 点水平抛出，恰好通过小孔落到水平地面上的 D点（小球视为质点，小孔的直径略大于小球的直径，小球通过小孔时与小孔无碰撞）。已知A、C两点的连线正好与斜面垂直，小球从 A到C的运动时间为t，重力加速度为g， 下列说法正确的是（　　）    A．A、C两点间的高度差为gt2 B．小球在A点的速度为 C．A、C两点间的距离为 D．A、D两点间的高度差为 【答案】BD 【详解】如图    AB．根据平抛运动规律结合几何关系有 解得A、C两点间的高度差为，小球在A点的速度为故A错误，B正确； C．A、C两点间的距离为 故C错误； D．A、D两点间的高度差为 故D正确； 故选BD。 【变式训练6-4-1】如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度抛出一个小球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点（图中未画出），且AB距离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-4-2】如图所示，小球以速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是（重力加速度为g）（　　） A．小球在空中的运动时间为 B．小球的水平位移大小为 C．小球的竖直位移大小为 D．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解 【变式训练6-4-3】如图所示，一小球从某固定位置以一定初速度水平抛出，已知当抛出速度为v0时，小球落到一倾角为θ＝60°的斜面上，且球发生的位移最小，不计空气阻力，则(　　) A.小球从抛出到落到斜面的时间为 B.小球从抛出到落到斜面的时间为 C.小球的抛出点到斜面的距离为 D.小球的抛出点到斜面的距离为 （五）斜面上的其他平抛运动 【典型例题1】在Q点沿水平方向，对着一斜面抛出质量相等的a、b两个小球，小球的轨迹如图所示，忽略空气阻力，则两小球从抛出至落到斜面过程，下列说法正确的是（　　） A．a球的运动时间大于b球运动时间 B．a球的初速度小于b球初速度 C．a球动量的增加量小于b球动量的增加量 D．a球动能的增加量大于b球动能的增加量 【典型例题2】如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为v1时，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角为α2，则(　　) A．当v1＞v2时，α1＞α2 B．当v1＞v2时，α1＜α2 C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2 D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关 【变式训练6-5-1】如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个可视为质点的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　) A．1∶1 B．1∶3 C．16∶9 D．9∶16 【变式训练6-5-2】如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球(可视为质点)，落在斜面上某处，记为Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是(　　) A．夹角α将变大 B．夹角α与初速度大小无关 C．小球在空中的运动时间不变 D．PQ间距是原来间距的3倍 【变式训练6-5-3】如图所示，若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍落在斜面上，则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计)(　　) A.tan φ＝sin θ B.tan φ＝cos θ C.tan φ＝tan θ D.tan φ＝2tan θ 【变式训练6-5-4】如图所示，斜坡上有a、b、c三点，ab=bc，滑板运动员从a点正上方平台的O点以初速度v0水平飞出，不计空气阻力，他恰好落在b点；当初速度变为v时，他恰好落在c点，则（　　） A．v=2v0 B．v0<v<2v0 C．分别落在b、c点时两个速度方向是平行的 D．落在b点与落在c点时速度方向与斜坡的夹角相等 【变式训练6-5-5】（多选）A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高．从E点以一定的水平速度抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程（　　） A．球1和球2运动的时间之比为2：1 B．球1和球2动能增加量之比为1：2 C．球1和球2抛出时初速度之比为：1 D．球1和球2运动时的加速度之比为1：2 【变式训练6-5-6】（多选）如图所示，从倾角为的斜面顶端将两个完全相同的小球a和b以大小均为、方向不同的初速度抛出，小球均落在斜面上。其中小球a以水平方向抛出，小球b以垂直于斜面向上的方向抛出，忽略空气阻力。则（　　） A．两球从抛出至落到斜面上的过程中，重力做的功相同 B．两球从抛出至落到斜面上的过程中，重力的冲量相同 C．小球b运动至离斜面最远时的速度大小为 D．小球a离斜面最远的位置在小球b离斜面最远位置的正下方 【变式训练6-5-7】（多选）如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta小球恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点q处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是(　　) A．va＝vb B．va＝vb C．ta＝tb D．ta＝tb 【变式训练6-5-8】工人使用一块长的木板从平台上卸货，木板一端搭在平台上（与平台等高），另一端固定在地面，形成倾角的斜面。工人甲从木板底部推动质量的小车，使小车以的速度冲上木板。工人乙站在平台上，当小车在木板上运动到某处时，以的速度水平抛出货物，货物速度方向与木板平行时恰好落入到达斜面顶端的小车，两者速度立刻变为零。已知小车与木板间的摩擦力与压力大小之比为，g取，，，小车和货物均可视作质点，求： （1）货物抛出点距平台的高度； （2）货物的质量m。 题型07：有约束条件的平抛运动模型 （一）对着竖直墙壁的平抛运动 如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝。 【典型例题】如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为、，不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C，且AB=BC，则为（　　） A．2∶1 B． C． D． 【答案】B 【详解】不计空气阻力，小球在空中做平抛运动，由平抛运动规律 ， 联立得 所以 又因为 所以 故选B。 【变式训练7-1-1】如图所示，网球发球机在距离墙L处将网球以不同的水平速度射出打到竖直墙上。已知墙上的O点与网球出射点等高，A、B两点分别为两个击中点，，击中A点的网球水平射出时的速度为，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是（　　） A．击中B点的网球水平射出时的速度为 B．击中B点的网球水平射出时的速度为 C．要使原来击中A点的网球能击中B点，网球发球机应沿OP方向后退 D．要使原来击中B点的网球能击中A点，网球发球机应沿OP方向前进 【变式训练7-1-2】“飞镖”是一项深受人们喜爱的运动。镖靶如图所示，一同学练习投镖，若他每次都是将飞镖水平投出，飞镖在空中运动可视为平抛运动。某次飞镖打在了靶中心的正上方某处，该同学下次打靶时做出调整，可能让飞镖打在靶中心的是（　　） A. 保持飞镖出手点距地高度和出手速度不变，减小飞镖出手点到靶的水平距离 B. 保持飞镖出手点到靶的水平距离和出手速度不变，降低飞镖出手点距地高度 C. 保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，增大飞镖的出手速度 D. 保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，减小飞镖的出手速度 （二） 半圆内的平抛问题 利用位移关系 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R 从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 【典型例题1】如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（  ） A．运动时间 B．两次运动速度变化 C．在C点的速度方向可能与球面垂直 D． 【答案】D 【详解】A．根据 则运动时间 故A错误； B．根据 两次运动速度变化 故B错误； C．若在C点的速度方向与球面垂直，则速度方向所在直线经过圆心，速度方向反向延长线一定经过水平位移的中点，显然不符合，故C错误； D．速度偏转角分别为和，位移偏转角分别为和，水平位移分别为、，有 可得 如图 可知 所以 故D正确。 故选D。 【典型例题2】如图所示，一平台固定在竖直平面内，以平台右边缘O点为原点，沿平台右侧竖直向下为y轴正方向，沿水平向右为x轴正方向建立直角坐标系xOy。在该坐标系中，以坐标原点O为圆心，半径为R的四分之一圆弧轨道竖直固定在平台的右侧。质量为m的小球从坐标原点O以初速度v0（大小未知）沿x轴正方向平抛。重力加速度大小为g，不计空气阻力。小球从O点抛出后到落到圆弧轨道上的过程中，下列说法正确的是（　　） A．当初速度的大小为适当的值时，小球可能垂直落到圆弧轨道上 B．初速度越大，小球在空中运动的时间越长 C．初速度时，小球落到圆弧轨道上的动量最小 D．小球落到圆弧轨道上的最小动能为 【答案】D 【详解】A．若小球垂直打在圆轨道上，则速度方向的反向延长线应交于圆心；而于平抛运动的规律可知，速度方向的反向延长线应交于水平位移的中点，根据题意可知圆心和水平位移的中点不是同一位置，故A错误； B．小球做平抛运动，在竖直方向上物体做自由落体运动，有 解得 可知h越大，小球在空中运动时间越长，由图可知小球速度v0越小，下落的高度越高，飞行时间越长，故B错误； CD．设落地点与O点的连线与水平方向的夹角为θ，小球做平抛运动 Rcosθ=v0t 由动能定理得 解得 由数学知识得：当 即 Ek取最小值 根据 可知动能最小时动量最小，此时 联立以上可得 故C错误，D正确。 故选D。 【典型例题3】如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为圆弧bc，半径为R，O为圆心，若在O点以大小不同的初速度v0沿Oc方向水平抛出小球，小球落在坑内。空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．落在球面上的最小速度为 B．落在球面上的最小速度为 C．小球的运动时间与v0大小无关 D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上 【答案】BD 【详解】AB．小球做平抛运动 且 而落点的速度 整理得 显然当 时速度取得最小值，代入可得最小值为 B正确，A错误； C．越大，水平位移越大，竖直下落距离越小，运动时间越短，C错误； D．由于速度的反向延长线恰好过与抛出点等高的水平位移的中点处，若与圆弧垂直，恰好与半径一致，两者相矛盾，因此球都不可能垂直撞击在圆弧上，D正确。 故选BD。 【典型例题4】如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2向左平抛另一个小球并也能击中D点，已知∠COD=60°，且不计空气阻力，则（　　） A．两小球同时落到D点 B．两小球初速度大小之比为 C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等 D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为 【答案】BD 【详解】A．根据 可知，向左平抛的另一个小球竖直下降的高度小一些，其先落到D点，A错误； B．对A点抛出的小球有 ， 对C点抛出的小球有 ， 解得 B正确； C．A点抛出的小球落到D点时 C点抛出的小球落到D点时 可知，两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角不相等，C错误； D．A点抛出的小球落到D点时 C点抛出的小球落到D点时 结合上述，解得 D正确。 故选BD。 【变式训练7-2-1】如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R.一个小球从A点沿AB以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是(　　) A.v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长 B.即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同 C.若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环 D.无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环 【变式训练7-2-2】如图所示，是半圆弧的一条水平直径，是圆弧的圆心，是圆弧上一点，，在、两点分别以一定的初速度、水平抛出两个小球，结果都落在 C点，则两个球抛出的初速度、的大小之比为（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-2-3】如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为，则C点到B点的距离为（　　） A． B． C． D．R 【变式训练7-2-4】如图所示，光滑圆弧轨道AB末端切线水平，与光滑圆弧轨道BCD在B处连接且固定，圆弧轨道BCD的半径为r2，圆弧轨道AB的半径r1未知且可调节。一质量为m的小球，从A点（与O1等高）静止释放，经过B点落在圆弧轨道BCD上。忽略空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．小球经过B点时对轨道的压力与r1的大小无关 B．只要小球在空中运动时间相同，落在圆弧轨道BCD上时的动能就相同 C．适当调节r1的大小，小球可以垂直落在圆弧轨道BCD上 D．当时，小球在空中运动的时间最长 【变式训练7-2-5】如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为圆弧bc，半径为R，O为圆心，若在O点以大小不同的初速度v0沿Oc方向水平抛出小球，小球落在坑内。空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．落在球面上的最小速度为 B．落在球面上的最小速度为 C．小球的运动时间与v0大小无关 D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上 【变式训练7-2-6】（多选）如图所示，a，b两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，则（　　） A．一定是b球先落在斜面上 B．可能是a球先落在半圆轨道上 C．当时，一定是a球先落到半圆轨道上 D．当时，一定是b球先落在斜面上 题型08：平抛的多解问题 【典型例题1】如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（　　）    A．飞镖击中P点所需的时间为 B．圆盘的半径可能为 C．圆盘转动角速度的最小值为 D．P点随圆盘转动的线速度可能为 【答案】D 【详解】A．飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，飞镖击中P点所需的时间为 故A错误； B．飞镖击中P点时，P恰好在最下方，在竖直方向解得圆盘的半径故B错误； C．飞镖击中P点，则P点转过的角度满足θ=ωt=π+2kπ（k=0，1，2…）可得角速度为 则圆盘转动角速度的最小值为故C错误； D．P点随圆盘转动的线速度为当k=2时的速度为故D正确。 故选D。 【典型例题2】如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高，内径，现有一刚性小球（视为质点）从容器上端内边缘沿直径以的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞，则小球的初速度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据平抛运动的分析可知，竖直方向有 解得 而根据题意，水平方向有（） 解得 因此的可能值为、、、、、故选B。 【变式训练8-1】如图所示，竖直墙MN、PQ间距为l，竖直线OA到两边墙面等距。从离地高度一定的O点垂直墙面以初速度水平抛出一个小球，小球与墙上B点、C点各发生一次弹性碰撞后恰好落在地面上的A点。设B点距地面高度为，C点距地面高度为，所有摩擦和阻力均不计。下列说法正确的是（　　） A． B． C．仅将间距l加倍而仍在两墙中央O点平抛，小球不会落在A点 D．仅将初速度增为（n为正整数），小球可能落在N或Q点 【变式训练8-2】如图所示是某闯关游戏中的一个关卡。一绕过其圆心O的竖直轴顺时针匀速转动的圆形转盘浮在水面上，转盘表面始终保持水平，M为转盘边缘上一点。某时刻，一参赛者从水平跑道边缘P点以速度向右跳出，初速度方向平行于方向，且运动轨迹与此时刻在同一竖直平面内，随后参赛者正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者必定落水 B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定会落在之间 C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者仍可能落在M点 D．若跳出时刻不变，仅减小转盘的角速度，参赛者不可能落在M点 【变式训练8-3】如图竖直薄壁圆筒内壁光滑、半径为，上部侧面处开有小口，在小口的正下方处亦开有与大小相同的小口，小球从小口沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动，要使小球从口处飞出，小球进入口的速率可能是（　　）    A． B． C． D． 【变式训练8-4】(多选)如图所示，水平面上放置一个直径d＝1 m、高h＝1 m的无盖薄油桶，沿油桶底面直径AB距左桶壁s＝2 m处的正上方有一点P，P点的高度H＝3 m，从P点沿直径AB方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹和空气阻力，下列说法正确的是(取g＝10 m/s2，CD为桶顶平行AB的直径)(　　) A．小球的速度范围为 m/s<v< m/s时，小球击中油桶的内壁 B．小球的速度范围为 m/s<v< m/s时，小球击中油桶的下底 C．小球的速度范围为 m/s<v< m/s时，小球击中油桶外壁 D．若P点的高度变为1.8 m，则小球无论初速度多大，均不能直接落在桶底(桶边沿除外) 【变式训练8-5】如图所示，两平行竖直光滑挡板MN、PQ直立在水平地面上，它们之间的距离为L，它们的高度均为2L。将一小球（可视为质点）从M点以垂直于MN的初速度水平抛出，恰好落到Q点（小球未与挡板碰撞），重力加速度为g。 （1）求小球的初速度大小； （2）若改变小球水平抛出的初速度大小，小球与两挡板碰撞时，竖直速度保持不变，水平速度瞬间等大反向，要使小球落地时与两挡板的距离相等，求初速度大小应满足的条件（碰撞时间可忽略不计）。 题型09：平抛与圆周的临界问题 【典型例题】某水上娱乐项目可简化为如图所示的模型。摆绳上端固定在离水面高度为H的O点，人抓紧绳子另一端，在绳子伸直情况下从与O点等高处由静止开始下落，到达最低点时松手，做一段平抛运动后落入水中。当绳长为L（）时，平抛运动的水平位移为x，人可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．绳长L不同，平抛运动的水平位移x一定不同 B．当绳长时，平抛运动的水平位移有最大值，为 C．绳长L不同，人落水时的速度大小一定不同 D．绳长L不同，人落水时的速度方向一定不同 【答案】D 【详解】A．设人在O点正下方松手时的速度为v，由机械能守恒定律有 可得 松手后人做平抛运动，竖直方向有 水平方向有 可得 则当绳长取不同值时，平抛运动的水平位移x可能相同，故A错误； B．当，即时，平抛运动的水平位移有最大值，为H，故B错误； C．设人落水时的速度为，对全过程由机械能守恒定律有 可得 与绳长无关，故C错误； D．人做平抛运动，竖直方向有 设人落水时的速度方向与水平方向的夹角为，有 L与一一对应，绳长L不同，人落水时的速度方向一定不同，故D正确。 故选D。 【变式训练9-1】一质量为可视为质点的小球，系于长为的轻绳一端，绳的另一端固定在点，假定绳不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从点的正上方距离点的点以水平速度抛出，如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为 B．轻绳从释放到绷直所需时间为 C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为 D．当小球到达点正下方时，绳对质点的拉力为 【变式训练9-2】一不可伸长的轻绳上端悬挂于点，另一端系有质量为的小球，保持绳绷直将小球拉到绳与竖直方向夹角为的点由静止释放，运动到点的正下方时绳断开，小球做平抛运动，已知点离地高度为，绳长为，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．在绳断开前，小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．在绳断开前瞬间，小球处于失重状态 C．在绳断开前瞬间，小球所受绳子的拉力大小为 D．若夹角不变，当时，落点距起点的水平距离最远 题型10：类平抛运动模型 1．受力特点 物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直． 2．运动特点 在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝. 3．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动．两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性． (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解． 1.类平抛运动的特点 (1)有时物体的运动与平抛运动很相似，也是物体在某方向做匀速直线运动，在垂直匀速直线运动的方向上做初速度为零的匀加速直线运动。对这种像平抛又不是平抛的运动，通常称为类平抛运动。 (2)受力特点：物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。 (3)运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。 如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出(v0的方向与CD平行)，小球运动到B点的过程中做的就是类平抛运动。 2.类平抛运动与平抛运动的规律相类似，两者的区别 (1)运动平面不同：类平抛运动→任意平面；平抛运动→竖直面。 (2)初速度方向不同：类平抛运动→任意方向；平抛运动→水平方向。 (3)加速度不同：类平抛运动→a＝，与初速度方向垂直；平抛运动→重力加速度g，竖直向下。 【典型例题1】如图所示，将小球从倾角为θ＝30°的光滑斜面上A点以速度v0＝10m/s水平抛出（即v0∥CD），最后从B处离开斜面，已知AB间的高度h＝5m，g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度为m/s2 B．小球做平抛运动，运动轨迹为抛物线 C．小球到达B点时的速度大小为10m/s D．小球从A点运动到B点所用的时间为1s 【解答】解：小球做类平抛运动，根据牛顿第二定律得，小球沿斜面下滑的加速度为： agsinθ＝10×5m/s2＝5m/s2， 根据位移—时间关系可得： 代入数据解得：t＝2s 沿斜面方向的速度大小为：＝at＝5×2m/s＝10m/s 则到达B点时的速度大小vm/s＝10m/s，故C正确、ABD错误。 故选：C。 【典型例题2】如图所示，边长为1m的正方体空间图形ABCD﹣A1B1C1D1，其下表面在水平地面上，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内（包括边界）分别沿不同的水平方向抛出，落点都在A1B1C1D1平面范围内（包括边界）。不计空气阻力，g取10m/s2，则（　　） A．小球落在B1点时，初速度为，是抛出速度的最小值 B．小球落在C1点时，初速度为，是抛出速度的最大值 C．落在B1D1线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是1：2 D．落在B1D1线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是 【解答】解：AB.小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动， 有：Lgt2得出：t因为下落高度相同，所以平抛运动的时间相等，由几何关系可知，小球的落地点离越近，则小球在水平方向的位移越小，所以小球在 时，不是抛出的最小值，落在时水平位移最大，最大位移为正方形的对角线的长度，即为，t得为抛出速度的最大值，故AB错误； CD.由几何关系可得的中点离最近，或离最远，故初速度的最小值与最大值的比为1：，故D正确，C错误。 故选：D。 【典型例题3】如图所示，质量为0.1kg的小球放在光滑水平面上的P点，现给小球一个水平初速度v0，同时对小球施加一个垂直于初速度的水平恒力F，小球运动1s后到达Q点，测得P、Q间的距离为1m，P、Q连线与初速度的夹角为37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则初速度v0的大小和恒力F的大小分别为(　　) A．0.6m/s，0.12N B．0.6m/s，0.16N C．0.8m/s，0.12N D．0.8m/s，0.16N 答案　C 解析　小球做类平抛运动，运动的加速度,小球沿初速度方向的位移,沿拉力F方向的位移,根据几何关系有，.联立解得m/s，N.故C正确，ABD错误.故选C. 【典型例题4】如图所示是一儿童游戏机的简化示意图，光滑游戏面板倾斜放置，长度为8R的AB直管道固定在面板上，A位于斜面底端，AB与底边垂直，半径为R的四分之一圆弧轨道BC与AB相切于B点，C点为圆弧轨道最高点（切线水平），轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳。现缓慢下拉轻绳使弹簧压缩，后释放轻绳，弹珠经C点时，与圆弧轨道无作用力，并水平射出，最后落在斜面底边上的位置D（图中未画出）。假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠可视为质点。直管AB粗细不计。下列说法正确的是（　　） A．弹珠脱离弹簧的瞬间，其动能达到最大 B．弹珠脱离弹簧的瞬间，其机械能达到最大 C．A、D之间的距离为 D．A、D之间的距离为 【答案】BD 【详解】A．弹珠与弹簧接触向上运动过程，对弹珠分析可知，弹珠先向上做加速度减小的加速运动，后做加速度方向反向，大小减小的减速运动，可知，弹簧弹力与重力沿斜面的分力恰好抵消时，合力为0弹珠的动能达到最大，此时弹簧处于压缩状态，A错误； B．弹珠脱离弹簧之前，弹簧处于压缩，弹簧对弹珠做正功，因此弹珠脱离弹簧的瞬间，弹珠的机械能达到最大，B正确； CD．弹珠飞出后做类平抛运动，沿斜面方向有 可知弹珠落地D的时间为一定值，水平方向有 可知，弹珠飞出速度越小，距离A点越近，由于弹珠做圆周运动，若恰能越过C，则此时有 C错误，D正确。 故选BD。 【典型例题5】风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示，将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速度v0水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为恒定值F，F的方向始终与初速度v0的方向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度v0方向的夹角为θ。试求： (1)该小球运动到P点时的速度大小和“P点速度方向与初速度v0方向夹角的正切值”； (2)OP之间的距离。 【答案】(1) ，；(2) 【详解】（1）设小球运动到P点时的速度大小为v，OP之间的距离L。以O点为坐标原点、初速度v0方向为x轴正方向、风力F方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系，如图所示，有 沿v0方向 沿风力F方向 由题意知 小球运动到P点时的速度大小 解得 设P点的速度方向和x轴（初速度v0）的夹角为α，有 P点速度方向与初速度v0方向夹角的正切值 （2）OP之间的距离 解得 【变式训练10-1】如图所示的光滑斜面ABCD是边长为l的正方形，倾角为30°，一物块（视为质点）沿斜面左上方顶点A以平行于AB边的初速度v0水平射入，到达底边CD中点E，则(　　) A．初速度 B．初速度 C．物块由A点运动到E点所用的时间 D．物块由A点运动到E点所用的时间 【变式训练10-2】如图所示，， 两质点以相同的水平速度从坐标原点 沿 轴正方向抛出， 在竖直平面内运动，落地点为 ， 紧贴光滑的斜面运动，落地点为 ， 和 对应的 轴坐标分别为 和 ，不计空气阻力，下列说法中正确的是(　　) A． B． C． D．无法判断 【变式训练10-3】如图所示，质量相同 、 两质点从同一点 分别以相同的水平速度 沿 轴正方向抛出， 在竖直平面内运动，落地点为 ， 沿光滑斜面运动，落地点为 ， 和 在同一水平面上，不计空气阻力，则下面说法中正确的是(　　) A．、 运动的加速度大小相同 B．、 运动的时间相同 C．、 沿 轴方向的位移相同 D．、 落地时沿 方向速度相同 【变式训练10-4】如图所示，一物体在光滑水平面上在恒力F(图中未画出)的作用下做曲线运动，物体的初速度、末速度方向如图所示(图中两条虚线为水平面上的平行参考线)，下列说法正确的是(　　) A．物体运动轨迹是圆周 B．F的方向可以与v2成45° C．F的方向可以与v1垂直 D．F的方向可以与v2垂直 【变式训练10-5】某同学要探究类平抛运动的规律，设计了如图所示实验装置，他将一块足够大的平整方木板的一端放在水面地面上，另一端用支撑物垫起，形成一个倾角为的斜面。他先将一个小木块轻轻放在斜面上，放手后发现小木块会沿斜面向下运动；接着该同学将木块置于木板左上角，同时给小木块一个平行木板水平向右的初速度 ，为探究木块的运动轨迹，在木板上沿斜面向下和水平方向建立xOy直角坐标系。木块与木板表面间的动摩擦因数处处相同均为，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是(　　) A．小木块在斜面上的运动轨迹为一条抛物线，该同学实验方案可行 B．小木块获得初速度开始运动的瞬间，其加速度大小为 C．小木块沿y轴方向的分运动为匀加速直线运动 D．小木块最终沿与y轴平行的方向做匀加速直线运动，加速度大小 【变式训练10-6】将一物体由坐标原点O以初速度抛出，在恒力作用下轨迹如图所示，A为轨迹最高点，B为轨迹与水平x轴交点，假设物体到B点时速度为 ,与x轴夹角为α，与x轴夹角为β，已知OA水平距离x1小于AB水平距离x2则(　　) A．物体在B点的速度vB小于v0 B．物体从O到A时间大于从A到B时间 C．物体在O点所受合力方向指向第四象限 D．α可能等于β 【变式训练10-7】如图所示的光滑斜面长为L，宽为s，倾角为θ=30°，一小球（可视为质点）沿斜面右上方顶点A处水平射入，恰好从底端B点离开斜面，重力加速度为g．则下列说法正确的是（  ） A．小球运动的加速度为g B．小球由A运动到B所用的时间为 C．小球由A点水平射入时初速度v0的大小为 D．小球离开B点时速度的大小为 【变式训练10-8】如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力和恒定的浮力的作用，且。如果物体从点以水平初速度开始运动，最后落在点，间的竖直高度为，其中为重力加速度，则下列说法正确的是（　　）    A．从运动到的时间为 B．与之间的水平距离为 C．从运动到的轨迹不是抛物线 D．减小水平初速度，运动时间将变长 【变式训练10-9】在光滑的水平面上，一滑块的质量，在水平方向上恒定的外力的作用下运动，如图所示给出了滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q两点时速度大小均为。滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角，，则下列说法中正确的是（    ）    A．水平恒力F的方向与PQ连线成夹角 B．滑块从P点到Q点做匀速圆周运动 C．滑块从P点到Q点的过程中动能最小值为16J D．P、Q两点间距离为16m 【变式训练10-10】（多选）如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端．若同时释放，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3．若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′．下列关于时间的关系正确的是（　　） A．t1＞t3＞t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′ C．t1′＞t2′＞t3′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′ 【变式训练10-11】（多选）如图所示，一同学练习踢毽子，水平场地上有矩形标线EFGH，在标线GH处的竖直面内挂有挡网ABCD，挡网高1.5m，场地宽EH为4.8m，长EF＝6.4m。该同学从场地的E点将毽子踢出，毽子踢出时速度大小为10m/s，方向在过对角线EG的竖直面内，与EG成37°角斜向上，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。则毽子将（　　） A．在空中飞行1s后触网 B．越过网后再在空中飞行0.2s落地 C．击中水平地面上距E为9.6m的点 D．击中竖直挡网上距地面高为1.0m的点 【变式训练10-12】（多选）如图所示，A、B两质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B在光滑斜面上运动，落地点为。不计阻力，则在x轴方向上的远近关系是（　　） A．较远 B．较远 C．等远 D．B运动的时间 【变式训练10-13】（多选）如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是（　　） A．A、B的运动时间不相同 B．A、B沿x轴方向的位移不相同 C．A、B运动过程中的加速度大小不相同 D．A、B落地时速度大小不相同 【变式训练10-14】（多选）如图所示的坐标系，x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度大小为10m/s2 B．加速度与初速度的夹角为60° C．小球做类斜抛运动 D．当小球运动到x轴上的P点（图中未标出），则小球在P点的横坐标为 【变式训练10-15】（多选）如图所示的光滑固定斜面长为l＝1.6m、宽为b＝1.2m、倾角为θ＝30°，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点P沿水平方向射入，然后沿斜面下滑，最后恰好从底端右侧Q点离开斜面，已知重力加速度g＝10，不计空气阻力，则（　　） A．物块由P运动到Q所用的时间t＝0.8s B．物块由P运动到Q所用的时间t＝0.4s C．物块由P点水平射入时初速度的大小m/s D．物块由P点水平射入时初速度的大小m/s 【变式训练10-16】（多选）如图所示，在倾角为的足够大的光滑斜面上，将小球a、b同时沿水平方向以相同的速率相对抛出.已知初始时a、b在同一水平面上，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．抛出后的一段时间内，a的运动轨迹是直线 B．抛出后的一段时间内，b的运动轨迹是抛物线 C．无论速率为多少，a、b一定能相遇 D．无论速率为多少，a、b不可能相遇 【变式训练10-17】（多选）在光滑的水平地面上有一木块（可视为质点），在水平恒力F作用下，由静止开始经过2s时间速度达到10m/s，2s末把外力水平旋转，大小保持不变，再经过2s到达某一点，则(　　) A．4s末木块的速度大小为20m/s B．4s末木块的速度大小为10m/s C．4s末木块距出发点的距离为10m D．4s末木块距出发点的距离为10m 【变式训练10-18】（多选）质量为m的物体以速度v0在足够大的光滑水平面上运动，从零时刻起，对该物体施加一水平恒力F，在t时刻，物体的速度减小到最小值，此后速度又不断增大.则下列说法正确的是(　　) A．水平恒力F大小为 B．在t=0时刻，水平恒力与初速度间的夹角为127° C．在2t时刻，物体速度大小为为 D．若零时刻起，水平恒力方向不变，大小变为2F，则在t时刻，物体的速度大小仍为v0 【变式训练10-19】（多选）如图所示，是倾角为的光滑斜面，已知，、均与垂直．在斜面上的点，将甲球以速度沿方向入射的同时，在斜面上的点将乙球由静止释放，则以下判断正确的是(　　) A．甲、乙两球不可能在斜面上相遇 B．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，总是在同一水平线上 C．甲、乙两球一定在斜面上相遇 D．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，在相同时间内速度的改变总是相同 【变式训练10-20】类比法是物理学习中经常用到的一种方法。我们可以尝试用类比法分析以下情景（如图1），质量为m的某滑雪运动员以一定初速度v0由O点水平（即v0//CD）滑到一倾斜平台上，平台与水平面成θ角，运动员最终在E点落地。已知O点距水平面的高度为h，试分析：忽略滑板与平台间的摩擦，忽略空气阻力，重力加速度为g，运动员在平台上的加速度a的大小是 ，沿初速度方向做 运动。    【变式训练10-21】在光滑的水平面内，建立一平面直角坐标系，一质量m=1kg的小物块以速度v0=10m/s沿x轴正方向运动，经过原点O时开始受一沿y轴正方向的恒力F=5N作用，直线OA与x轴成37°角，如图所示.(sin37°=0.6，cos37°=0.8) (1)如果小物块的运动轨迹与直线OA相交于P点，则求物块从O点到P点所经历的时间以及P点的位置坐标. (2)求小物块经过P点时的速度大小vp以及速度方向与x轴的夹角α (用tanα表示). 【变式训练10-22】如图所示，有一倾角为的光滑斜面，斜面长 为 ，一小球从斜面顶端以的速度沿水平方向抛出，求： (1) 小球沿斜面滑到底端时水平位移 ； (2) 小球到达斜面底端时的速度大小．（ 取） (3) 若在斜面上沿 、 两点所在的直线凿一光滑的凹槽，则小球由静止沿凹槽从 运动到 所用的时间 【变式训练10-23】如图所示，将质量为 的小球从倾角为 的光滑斜面上 点以速度 水平抛出（即 ），小球运动到 点，已知 点的高度为 ，求： (1) 小球到达 点时的速度大小； (2) 小球到达 点的时间． 【变式训练10-24】如图所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求： (1)飞机受到的升力大小； (2)在高度h处飞机的速度大小。 【变式训练10-25】直角坐标系处于竖直平面内，将一质量的小球从坐标原点O处抛出，抛出的初速度大小为，方向与y轴正向成角，抛出小球的同时施加一与y轴正向成角，大小的恒定作用力，已知F和与坐标系处于同平面内，如图所示，不计空气阻力，g取.求： (1)小球受到的合力大小和方向； (2)小球第一次经过y轴所用时间. 题型11：斜抛模型 1、 斜抛运动 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t① vx＝v0x＝v0cos θ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③ vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④ 5.方法与技巧 (1)斜抛运动中的极值 在最高点，vy＝0，由④式得到t＝⑤ 将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥ 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0， 由③式得总时间t总＝⑦ 将⑦式代入①式得物体的射程xm＝ 当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大． 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大． (2)逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题． 【典型例题1】如图所示，将一篮球从地面上方的B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上的A点.若抛射点B水平向左移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，不计空气阻力，则下列方法可行的是（    ）    A．减小抛射角，同时增大抛射速度的大小 B．减小抛射角，同时减小抛射速度的大小 C．增大抛射角，同时减小抛射速度的大小 D．增大抛射角，同时增大抛射速度的大小 【答案】C 【解析】由于篮球始终垂直击中A点，可应用逆向思维，把篮球的运动看作从A开始的平抛运动。当B点水平向左移动一小段距离时，A点抛出的篮球仍落在B点，则竖直高度不变，水平位移减小，球到B点的时间 故时间t不变，竖直分速度 即竖直分速度不变，水平方向满足 由于x减小，可知减小，合速度 即合速度变小，与水平方向的夹角 可知变大。可知若要符合题意仍使抛出的篮球垂直击中A点，应减小抛射速度v0，同时增大抛射角θ。 故选C。 【典型例题2】如图所示，某同学在距离篮筐一定距离的地方起跳投篮，篮球在A点出手时与水平方向成60°角，速度大小为v0，在C点入框时速度与水平方向成角。现将篮球简化成质点，忽略空气阻力，取重力加速度为g，则下列分析正确的是（　　） A．篮球在空中飞行过程中，单位时间内的速度变化量大小改变 B．AC两点的高度差大小为 C．篮球在最高点时重力势能的大小是动能大小的2倍 D．篮球在C点时候的速度大小为v0 【答案】B 【解析】A．篮球在空中飞行过程中，仅受重力作用，做匀变速曲线运动，故单位时间内的速度变化量大小不变，A错误； B．A点竖直方向上和水平方向上的分速度分别为， C点竖直方向上分速度为竖直方向上可视为竖直上爬运动，根据运动学关系可得AC两点的高度差大小为，B正确； C．未确定重力势能的零势能面，故篮球在最高点时重力势能的大小与动能大小的无法比较，C错误； D．篮球在C点时候的速度大小为，D错误。故选B。 7.如图所示，从地面上同一位置抛出两小球 、，分别落在地面上的 、 点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则(　　) A． 的加速度比 的大 B． 的飞行时间比 的长 C． 在最高点的速度比 在最高点的大 D． 在落地时的速度比 在落地时的大 【答案】CD 【解析】A．两球加速度都是重力加速度 ，A 错误； B．飞行时间 ， 相同则 相同，B 错误； C．水平位移 ，在 相同情况下， 越大说明 越大，C正确； D．落地速度 ，两球落地时竖直速度 相同，可见 越大，落地速度 越大，D 正确． 故选CD． 【典型例题3】掷铅球是一个需要力量和灵活性的运动，今年的学校运动会，高三（5）班学生周红要参加掷铅球比赛，傍晚来到运动场训练，热身后（不计空气阻力，重力加速度取10m/s2，） （1）她在第一次投掷中把铅球水平推出，高度为h=1.5m，速度为v0=8m/s，则铅球被推出的水平距离是多少米？ （2）第一次投掷后体育老师给了建议，让她投掷时出手点高一点，斜向上推出铅球。于是，第二次她从离地高为H=1.65m处推出铅球，出手点刚好在边界线上方，速度方向与水平方向成53°，如图所示，此次推出铅球时铅球的速度大小仍为8m/s，则这次投掷的成绩为多少米？    【答案】（1）；（2）7.2m 【详解】（1）由平抛运动知识 解得铅球被推出的水平距离为 （2）被推出的铅球在竖直方向做竖直上抛运动，则有 解得 ，（舍去） 铅球在水平方向做匀速直线运动，则这次投掷的成绩为 【典型例题4】滑雪运动越来越受到青少年们的青睐。滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳台、着陆坡、停止区组成，其场地可以简化为如图甲所示的模型；图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，A为助滑道的最高点，D为助滑道的最低点，B为跳台起跳点，起跳区DB为倾角的斜面，着陆坡道为倾角的斜面。在某次训练中，运动员从A点由静止开始下滑，到起跳点B沿斜面向上飞出，最后落在着陆坡道上的C点。A、B、C、D在同一竖直平面内，已知A、B点间的高度差，不计一切阻力和摩擦，取重力加速度的大小。求： （1）运动员完成空中动作的时间t； （2）运动员到达C点的速度大小。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设运动员及装备总质量为m，由动能定理得设运动员从B到C的时间为t，将运动分解到垂直斜坡方向和沿着斜坡方向，在垂直斜坡方向上； 且落到斜坡上时代入数据解得 （2）在沿着陆坡道方向上；；代入数据解得 【变式训练11-1】如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为，成绩为，假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为，运动员可视为质点，不计空气阻力，则有(　　) A． B． C． D． 【变式训练11-2】小明参加学校举行的定点投篮比赛，他投出的第一球正好沿水平方向从篮筐的上边缘飞过，打板后进入篮筐得分，他投出的第二球又正好“空心”进筐得分．设小明两次投篮时球的出手点相同，出手时的初速度分别为、 初速度的水平分量分别为、，则下列关系一定正确的是(　　) A． B． C． D． 【变式训练11-3】两名同学在篮球场进行投篮练习，投篮过程如图所示，篮球抛出点距离篮筐初始位置的水平距离为、竖直高度为。同学甲在点原地静止不动，将篮球以速度与水平成角的方向斜向上抛出，篮球投入篮筐；同学乙以的速度运球至点，将篮球相对同学乙自身竖直向上抛出，也将篮球投入篮筐。篮球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取，，。下列说法正确的是（　　） A．同学甲将篮球抛出时的速度大小为 B．同学乙将篮球抛出时竖直向上的分速度为 C．同学甲抛出的篮球最大高度较高 D．甲、乙同学抛出的篮球在空中运动的时间相等 【变式训练11-4】在某校秋季运动会，该运动会在全体同学和老师的共同努力下获得了圆满成功。其中高三某班张明同学参加了三级跳远，并获得了高三年级组本项目的冠军，设张明同学在空中过程只受重力和沿跳远方向恒定的水平风力作用，地面水平、无杂物、无障碍，每次和地面的作用时间不计，假设人着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，每一次起跳的速度方向和第一次相同，则张明同学从A点开始起跳到D点的整过程中均在竖直平面内运动，下列说法正确的是（　　）    A．每次从最高点下落过程都是平抛运动 B．每次起跳到着地水平位移 C．从起跳到着地三段过程中水平方向速度变化量相等 D．三段过程最高点的速度相同 【变式训练11-5】某篮球爱好者进行二分球投篮训练时，某一次篮球的运动轨迹如图所示，A是篮球的抛出点，是篮球运动轨迹的最高点，是篮球的入框点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为，在点速度大小为，与水平方向的夹角为，重力加速度大小为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．篮球经过B点时的速度为0 B．从A点到C点，篮球的速度变化量大小是 C．篮球从A点抛出时的速度为 D．B、C两点的高度差为 【变式训练11-6】（多选）“跳一跳”小游戏需要操控者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边等高平台上。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，其最高点离平台的高度为h，水平速度为v。若质量为m的棋子在运动过程中可视为质点，只受重力作用，重力加速度为g，则（　　）    A．棋子从抛出点落到旁边平台上所需时间 B．棋子从最高点落到旁边平台的过程中，棋子的水平位移大小 C．棋子在最高点的速度为零 D．若速度v变大，则棋子跳到旁边平台上所用的时间不变 【变式训练11-7】（多选）如图所示，在水平地面上 M 点的正上方某一高度处，将 球以初速度 水平向右抛出，同时在 M 点右方地面上 N 点处，将 球以初速度 斜向左上方抛出，两球恰在 M、N 连线的中点正上方相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中 (　　) A．初速度大小关系为 B．速度变化量相等 C．水平位移大小相等 D．都不是匀变速运动 【变式训练11-8】（多选）车手要驾驶一辆汽车飞越宽度为 的河流．在河岸左侧建起如图所示高为 、倾角为 的斜坡，车手驾车从左侧冲上斜坡并从顶端飞出，接着无碰撞地落在右侧高为 、倾角为 的斜坡上，顺利完成了飞越．已知 ，当地重力加速度为 ，汽车可看作质点，忽略车在空中运动时所受的空气阻力．根据题设条件可以确定(　　) A．汽车在左侧斜坡上加速的时间 B．汽车离开左侧斜坡时的动能 C．汽车在空中飞行的最大高度 D．两斜坡的倾角满足 【变式训练11-9】某旋转喷灌机进行农田喷灌的示意图如图所示，喷口出水速度的方向可调节。该喷灌机的最大功率为，喷灌机所做功的转化为水的动能，喷口的横截面积，水的密度，重力加速度，，喷口距离地面的高度，忽略空气阻力，不考虑供水水压对水速的影响。求： （1）喷灌机的最大喷水速度v； （2）喷口出水速度方向与水平面夹角时，该喷灌机的最大喷灌面积。（保留三位有效数字） 【变式训练11-10】如图甲所示，篮球是一项学生热爱的运动项目，在一次比赛中，某同学以斜向上的速度将篮球抛出，篮球与篮板撞击后落入篮筐，可得到此次篮球运动轨迹的简易图如图乙所示。若此次运动中；篮球的初速度与竖直方向夹角θ=53°，大小为v1=5m/s，篮球抛出后恰好垂直打在篮筐上方后被反向弹回并且从篮筐正中央落下。已知撞击点与篮筐竖直距离h=0.2m，篮球与篮板撞击时间为。篮筐中心与篮板的水平距离为L=0.6m，篮球质量为m=0.6kg，重力加速度为g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，不计空气阻力，篮球运动过程中可以看成质点。求： （1）篮球抛出瞬间，同学对篮球所做的功W的大小； （2）篮球与篮板撞击前瞬间的速度v2的大小和撞击后瞬间的速度v3的大小； （3）篮球与篮板撞击瞬间，篮球所受水平方向平均撞击力F的大小。 【变式训练11-11】在仰角 的雪坡上举行跳台滑雪比赛（如图所示），运动员从高处滑下，能在 点借助于器材与水平方向成 角的速度 跳起，最后落在坡上 点。假如 的大小不变，那么以怎样的 角起跳能使 最远？最远距离为多少？ 题型12：抛体运动中的功能与动量 【典型例题1】如图所示，竖直面内有一以O为圆心的圆形区域，直径AB与水平方向的夹角 =30°。一小球自A点由静止释放，从圆周上的C点以速率v0穿出圆形区域。现将几个质量为m的小球自A点，先后以不为零的不同水平速度平行该竖直面射入圆形区域。忽略空气阻力，重力加速度大小为g。求： (1)该圆形区域的半径； (2)为使小球穿过圆形区域动能增量最大，该小球进入圆形区域时的速度大小； (3)为使小球穿过圆形区域前后的动量变化量大小为mv0，该小球进入圆形区域时的速度大小。 【答案】(1) ；(2)；(3) 【详解】(1)小球从圆周上的C点以速率穿出圆形区域，故AC沿竖直方向 由几何关系可知 由运动学公式可知 解得 (2)只有重力做功，故由圆形区域最低点（图中D点）穿出的小球重力做功最多，动能增量最大，由运动学公式可得 解得 (3)只受重力作用，且平抛运动的运动时间只与高度有关，故穿过圆形区域前后的动量变化量大小为的小球，必然从与C点等高的B点穿出，由运动学公式可得 解得 【典型例题2】质量为m的物块从某一高度以动能E水平抛出，落地时动能为3E.不计空气阻力，重力加速度为g.则物块(　　) A．抛出点的高度为 B．落地点到抛出点的水平距离为 C．落地时重力的功率为g D．整个下落过程中动量变化量的大小为2 【答案】　D 【解析】　由动能定理得 mgh＝3E－E＝2E，故抛出点的高度为h＝，故A错误；由E＝m，水平方向x＝t，竖直方向h＝g，解得落地点到抛出点的水平距离为x＝，故B错误；落地时速度的竖直分量＝＝2，故落地时重力的功率为P＝mg＝2g，故C错误；整个下落过程中动量变化量的大小为Δp＝mΔ＝m·2＝2，故D正确． 【变式训练12-1】我国正在攻关的超高速风洞，是研制新一代飞行器的摇篮，它可以复现40到100公里高空、时速最高达10公里/秒，相当于约30倍声速的飞行条件。现有一小球从风洞中的点M竖直向上抛出，小球受到大小恒定的水平风力，其运动轨迹大致如图所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点动能为，在O点动能为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球所受重力和风力大小之比为 B．小球落到N点时的动能为 C．小球在上升和下降过程中机械能变化量之比为 D．小球从M点运动到N点过程中的最小动能为 【变式训练12-2】如图所示，网球运动员发球时，将质量为m的网球（可将其视为质点）从空中某点以初速度水平抛出，网球经过M点时，速度方向与竖直方向夹角为；网球经过N点时，速度方向与竖直方向夹角为。不计空气阻力，网球在从M点运动到N点的过程，动量变化大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练12-3】小明在进行定点投篮，以篮球运动所在的竖直平面内建立坐标系xOy，将一质量为m的篮球由A点投出，其运动轨迹经过A、B、C、D，C为篮球运动的最高点，如图所示。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，篮球可视为质点。下列说法正确的是（    ） A．C点坐标为（0，L） B．篮球由B到C和由C到D的过程中，动能的变化量相同 C．篮球在C点时，重力的瞬时功率为 D．篮球由A到B和由C到D的过程中，动量的变化量大小相等，方向相反 【变式训练12-4】如图所示，空间有一底面处于水平地面上的长方体框架长为，且，从顶点沿不同方向平抛完全相同的小球（可视为质点），重力加速度为。求： （1）从线段上射出的小球中的最小初速度； （2）分别击中点和点的小球的初动能之比； （3）所有运动轨迹与线段相交的小球在交点处的速度偏转角（可用三角函数表示）。    【变式训练12-5】如图所示，竖直面内有一正方形区域，其边和边水平。一小球自点由静止释放，从点以速率穿出区域。现将等若干个小球自点，先后以不同的水平速度平行该竖直面抛入区域，小球从边上除两点以外的各处穿出边。忽略空气阻力，重力加速度的大小为。 （1）求该正方形区域的边长； （2）小球是所有穿过正方形区域过程中动量变化量为的小球中，穿出时速度最大的小球，求其进入正方形区域时速度的大小； （3）小球穿过正方形区域的过程中，它们的动能变化量之比为，求小球穿出正方形区域时速度的大小。 题型13：实验：探究平抛运动的特点 【典型例题1】我国对儿童玩具枪的弹丸的射出速度有严格要求。实验小组研究某款玩具枪是否符合规定。小组同学使玩具枪从点射出弹丸，将弹丸离开枪口后的运动看作平抛运动，用照相机拍出弹丸的运动轨迹如图所示。、、是小球平抛轨迹上三个不同时刻对应的位置，是水平线，是竖直线，、、的延长线与交点的间距分别为和。已知照片与实际大小的比例为，测得照片中，，、、三点在水平方向的间距，。 （1）照片中的　　。 （2）若取重力加速度大小，则弹丸从枪口射出的初速度大小为 　　。 （3）为了减小实验误差，请提出一条合理的建议：　　。 【解析】（1）以抛出点为原点，初速度方向为轴方向，竖直方向为方向，建立直角坐标系；设点与轨迹点的连线的延长线与线的交点点在上的投影点）与点间距为，则： ； 可得， 即该投影点在轴是匀速下降， 由于从到、到的水平分位移之比为： 故时间， 则， 又， 解得：； （2）已知照片与实际大小的比例为，根据可得，投影点在轴是匀速下降的速度 投影点在轴方向匀速运动，在轴方向匀速运动，则有： 联立解得：； （3）为了减小实验误差，可以小球平抛轨迹上三个不同时刻对应的位置、、点间距离可以适当大一些。 故答案为：（1）2.0；（2）；（3）、、点间距离可以适当大一些。 【典型例题2】在“研究平抛运动”实验中， （1）如图1所示，当小球飞出后，与横挡条相撞（图2为小球与挡条挤压复写纸的侧面图），通过挤压，复写纸会在白纸上留下一个痕迹，在描绘平抛运动轨迹时，坐标原点应选小球在斜槽末端点时的 　　。 ．球的底端 ．球心 ．球的上端 （2）在此实验中，下列说法错误的是 　　。 ．斜槽轨道必须光滑 ．记录的点应适当多一些 ．用光滑曲线把所有的点连接起来 ．轴的方向根据重垂线来确定 （3）同学通过正确的实验步骤及操作，在坐标纸上描出了小球水平抛出后的运动轨迹。部分运动轨迹如图3所示。图中水平方向与竖直方向每小格的长度均为，、和是轨迹图线上的3个点，和、和之间的水平距离相等。重力加速度为。可求出小球从运动到所用的时间为 　　，小球抛出时的水平速度为 　　。 【解析】（1）由图2可知，小球通过挤压复写纸在白纸上留下的痕迹点是小球球心在白纸上的投影点，而坐标原点与其他痕迹点理论上都应在一条抛物线上，所以坐标原点应选小球在斜槽未端点时的球心，故错误，正确； 故选：。 （2）实验要求小球每次从斜槽未端抛出时的速度相同，所以每次应从斜槽上同一位置由静止释放小球，但斜槽是否光滑对上述要求无影响，即斜槽不必光滑，故错误； 为了使描绘出的曲线能够尽可能接近小球真实的运动轨迹，记录的点应适当多一些，并且要用平滑曲线把所有的点连接起来，故正确； 轴的方向必须为竖直向下，所以需要根据重垂线来确定，故正确； 本题选错误的，故选：。 （3）由题意可知小球从运动到所用的时间和从运动到所用的时间相等，设为，根据运动学规律有 △ 解得：， 小球抛出时的水平速度为 。 故答案为：（1）；（2）；（3）；。 【典型例题3】在“研究平抛物体的运动”实验中： （1）实验中用到的器材有木板、小球、斜槽、铅笔、图钉、坐标纸，必要的器材是 　　 ．秒表．天平．重垂线．弹簧测力计 （2）若以为坐标原点建立坐标系如下图示，某同学记录了轨迹上的、、三点，各点的坐标如图，则到运动的时间　　，物体运动的初速度大小为 　　，点速度方向与水平方向夹角的正切值为 　　，小球经过点时速度大小为 　　。 【解析】（1）．实验可以用△，求时间，不需要秒表，故错误； ．实验无需知道物体的质量也不需要测量重力，不需要天平和弹簧测力计，故错误； ．实验需要用重垂线校准木板是否竖直，故正确。 故选：。 （2）由△ 可得到运动的时间 由 可得物体运动的初速度大小为 小球经过点时竖直速度大小为 代入数据解得 点速度方向与水平方向夹角的正切值为 小球经过点时速度大小为 代入数据解得 故答案为：（1）（2）0.1；1.5；；。 【典型例题4】某学习小组用图所示装置研究平抛运动在竖直方向的运动规律。实验操作是：使完全相同的小球、处于同一高度，用小锤轻击弹性金属片，使球水平飞出，同时球被松开。 （1）小组同学们观察到的现象是：小球、　　（填“同时”或“不同时” 落地。多次改变图中实验装置的离地高度后，重复上述操作，均有相同的实验现象，同学们根据这些现象大胆猜想：平抛运动在竖直方向的分运动为 　　。 （2）为进一步验证猜想，该小组同学利用频闪相机得到了小球做平抛运动时的频闪照片如图，已知相机的闪光频率为，结合比例尺测得小球在图中、、三个位置时球心在竖直方向的间距分别为、，则可得到竖直方向的加速度　　，经验证，此值与当地重力加速度在实验误差内接近相等，即可证明实验猜想。 【解析】（1）两小球竖直方向只受重力作用，初速度为零，同时从同一高度落下，观察到的应该是两小球同时落地，即平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动； （2）根据平抛运动规律可得： 竖直方向△， 又， 解得：。 故答案为：（1）同时；自由落体运动；（2）。 【变式训练13-1】在“研究平抛运动”的实验中，可以描绘出小球平抛运动的轨迹，实验的简要步骤如下： ．让小球多次由静止从斜槽上的 　　（选填“同一”或“不同” 位置滚下，记下小球碰到铅笔笔尖的一系列位置。 ．按图1安装好器材，注意调整斜槽末端沿 　　方向，记下平抛初位置点和过点的竖直线。 ．取下白纸，以为原点，以竖直线为轴建立坐标系，用平滑曲线画出平抛运动物体的轨迹。 ．完成上述步骤，将正确的答案填在横线上。 ．上述实验步骤、、的合理顺序是 　　。 ．某同学在做平抛运动实验时得到了如图2中的运动轨迹，、、点的位置在运动轨迹上已标出。则：小球平抛的初速度为 　　。，计算结果保留一位有效数字） 【变式训练13-2】在《研究平抛物体的运动》实验中： （1）实验所需要的测量工具是 　　； （2）下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上：　　。 ．通过调节使斜槽的末端保持水平 ．每次释放小球的位置必须不同 ．每次必须由静止释放小球，且斜槽轨道必须光滑 要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些 （3）小球做平抛运动的坐标原点位置是（设小球半径为　　。 斜槽口末端点 槽口点正上方处 槽口点正前方处 槽口点正上方处 （4）为了准确地测出平抛轨迹上某点的坐标，需要注意的是 　　。 选距原点近一些的点 应正确标出平抛小球的球心在木板上的水平投影点 用重垂线准确地确定纵轴 选距原点远一些的点 【变式训练13-3】（1）利用如图1所示的实验装置研究平抛运动，需要注意两点： ①斜槽末端一定要调整为 　　状态； ②让小球多次从斜槽上 　　由静止滚下。 （2）某同学在实验过程中得到了部分运动轨迹，然后在轨迹上以竖直向下为轴正方向、水平向右为轴正方向建立直角坐标系，如图2所示，其中、、三点坐标分别为、、，重力加速度取，则该同学在实验过程中小球做平抛运动的初速度为 　　（结果保留2位有效数字）。 【变式训练13-4】用如图甲所示装置研究平抛运动。实验操作如下： 将白纸和复写纸固定在竖直的背板上； 将钢球由斜槽上某一位置处静止释放，落在可上下调节的水平挡板上；（挡板靠近背板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上留下印迹）； 上下调节挡板，重复步骤，在白纸上记录钢球所经过的多个位置； 以斜槽水平末端处钢球球心在白纸上的投影点为坐标原点，过点画出竖直的轴和水平的轴；取下坐标纸，　　，就得到钢球做平抛运动的轨迹。 （1）请将操作补充完整。 （2）实验中，必须满足的条件有 　　。（填正确答案标号） ．斜槽轨道末端水平 ．斜槽轨道光滑 ．挡板高度等间距变化 ．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球 （3）通过实验，记录了钢球在运动途中的三个位置，如图乙所示，则该钢球在点速度的大小为 　　，钢球抛出点位置的坐标为 　　。（取 【变式训练13-5】某次实验中用频闪照相技术拍下的两小球运动的频闪照片如图所示，拍摄时，光源的频闪频率为，球从点水平抛出的同时，球从与点等高的点开始无初速度下落，背景小方格为相同的正方形，重力加速度取，不计空气阻力。 （1）比较、两小球的运动轨迹能确定平抛运动在竖直方向的运动是 　　（填标号）。 自由落体运动匀速直线运动 （2）照相机拍摄相邻两张照片的时间间隔为　　，并结合照片可知背景小方格的边长为 　　。 【变式训练13-6】在“研究小球做平抛运动”的实验中： （1）如图甲所示的实验中，观察到、两球同时落地，说明 　　；如图乙所示的实验：将两个光滑斜轨道固定在同一竖直面内，滑道末端水平，把两个质量相等的小钢球，从斜面的相同高度由静止同时释放，观察到球1落到水平板上并击中球2，这说明 　　； （2）该同学用频闪照相机拍摄到如图所示的小球平抛运动的照片，小方格的边长，看小球在平抛运动中的几个位置如图丙中的、、、所示，则照相机每隔 　　曝光一次，小球平抛初速度为　　，到达点时的瞬时速度大小为　　，最后一空的计算结果保留两位有效数字）。 【变式训练13-7】物理老师给学生布置的周末家庭作业是：利用家中可利用的物品，探究物体做平抛运动的规律。李明同学在父亲的帮助下找到了一段弯曲的薄壁金属管、刻度尺、白纸、复写纸、小矩形薄木板、矩形餐桌、直径略小于金属管内径的钢珠等，并按如图1所示进行安装和操作： ①将木板固定在竖直墙壁上，在木板上铺上白纸和复写纸，并固定； ②将金属管固定在餐桌上，金属管所在平面与餐桌的边垂直； ③将餐桌的边和木板紧靠在一起，让钢珠从金属管顶端由静止滚下，通过撞击复写纸，在白纸上记录钢球的落点； ④将餐桌向远离墙面（且垂直于墙面）的方向移动，再让钢珠从金属管顶端由静止滚下，通过撞击复写纸，在白纸上记录钢球的第二个落点； ⑤重复④操作，在白纸上记录钢球的若干落点。 （1）为了正确完成实验，以下做法必要的是 　　 ．李明把钢珠轻轻地放在餐桌桌面上检查桌面是否水平 ．测量小球质量 ．要求金属管内部绝对光滑 （2）通过几次重复试验，挑选了一张理想的有4个连续落点痕迹的白纸，如图2所示。测量的距离依次为、、，重力加速度，钢珠离开桌面时的速度为 　　，钢珠刚要打到点时的竖直方向速度分量大小为 　　。（计算结果均保留两位有效数字） 【变式训练13-8】图甲是“研究平抛运动”的实验装置。 （1）做实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球平抛运动的轨迹。下列操作正确的是 　　； 实验前要检查竖板否竖直 小球运动时不应与竖板上的白纸相接触 调节斜槽末端水平时，可以用眼睛仔细观察斜槽末端是否与铅锤线垂直来确定 （2）在实验中用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长，若小球在平抛运动中的几个位置如图乙中的、、、所示，取重力加速度大小，则小球平抛运动的初速度大小为 　　，小球从抛出到运动至点所用的时间为 　　。 【变式训练13-9】在“探究平抛运动的特点”实验中： （1）下面的做法可以减小实验误差的有 　　。 ．使用密度大、体积大的球 ．尽量减小钢球与斜槽间的摩擦 ．保持斜槽末端的切线水平 ．实验时让小球每次都从同一高度由静止开始滚下 （2）如图乙所示为小球做平抛运动的一部分位置图，图中背景方格的实际边长为，如果取，那么：点 　　（选填“是”或“不是” 平抛运动初位置。小球从到的时间和从到的时间分别为和，　　（选填“”、“ ”或“” 。 （3）小球做平抛运动的水平初速度大小是 　　；在点时速度大小是 　　（结果保留到小数点后一位）。 【变式训练13-10】几组同学进疗了“探究平抛运动的特点”实验，具体如下（部分步骤省略） （1）如图1所示，用小锤打击弹性金属片，球沿水平方向抛出，同时球由静止自由下落，可观察到两小球同时落地；多次实验，结论不变。根据实验，　　（选填“能”或“不能” 判断出球在水平方向做匀速直线运动。 （2）如图2所示，利用装置做“探究平抛运动水平方向运动的特点”实验时，首先通过描点法画出钢球做平抛运动的轨迹，下列说法中正确的是 　　。（填正确答案的相应序号） ．每次释放钢球的位置可以不同 ．挡板每次必须等距离移动 ．重垂线、刻度尺是本实验必需的器材 ．正确操作下，斜槽粗糙对实验结果无影响 【变式训练13-11】（1）某实验小组利用图1实验装置进行实验，描绘出平抛运动的轨迹曲线，并研究平抛运动的规律，下列各项设计目的和对应措施合理的是 　　。 ．要保证小球的运动轨迹平行且靠近木板（方格纸），演示仪的木板必须竖直固定放置 ．要体现运动规律的普适性，每次小球释放的初始位置可以任意选择 ．要体现实验的科学和严谨，用折线连接各点，描出小球运动的完整轨迹 ．要保证轴方向竖直，在方格纸上沿重垂线方向绘制轴正方向 ．要保证时间的测量尽量准确，可以采用秒表或光电计时器计时 （2）某同学在做“研究平抛运动”的实验中，忘记记录小球做平抛运动的起点位置，通过规范的操作，描绘的平抛运动部分轨迹如图2所示，取轨迹上的任一点作为坐标原点，可知　　（填“是”或“不是” 平抛运动的起点。若重力加速度取，小球平抛运动的初速度　　（保留3位有效数字）。 【变式训练13-12】在做“研究平抛运动”的实验时，让小球多次沿同一斜槽轨道滑下，通过描点法画小球做平抛运动的轨迹。 （1）为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上 　　。 通过调节使斜槽的末端保持水平 每次释放小球的位置必须相同 每次必须由静止释放小球 记录小球位置用的铅笔每次必须严格地等距离下降 小球运动时不应与木板上的白纸相接触 将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线 （2）在做该实验中某同学只记录了物体运动的轨迹上的、、三点并以点为坐标原点建立了直角坐标系，得到如图所示的图象。试根据图象求出物体平抛运动的初速度大小为 　　；物体运动到点时的速度大小为 　　。 【变式训练13-13】某同学利用如图甲所示的装置做研究平抛运动的实验时，让小球多次沿同一斜槽滑下，通过描点法得到小球做平抛运动的轨迹。 （1）实验前，反复调节实验装置，直到斜槽末端切线水平，其目的是 　　。 （2）实验时每次都让小球从 　　释放，以保证小球的平抛初速度相同； （3）该同学通过多次描点，得到了小球做平抛运动的轨迹曲线，并以水平方向为轴，竖直方向为轴，得到部分轨迹如图乙所示．则小球平抛的初速度大小　　，小球在点的竖直方向速度大小　　（重力加速度取，计算结果保留两位有效数字）。 【变式训练13-14】某实验小组的同学利用如图甲所示的实验装置“研究平抛物体运动”，通过描点画出平抛小球的运动轨迹。 （1）以下实验过程的一些做法，其中合理的有 　　。 ．安装斜槽轨道，使其末端保持水平 ．每次小球释放的初始位置可以任意选择 ．每次小球应从同一高度由静止释放 ．为描出小球的运动轨迹，描绘的点可以用折线连接 （2）实验得到平抛小球的运动轨迹，在轨迹上取一些点，以平抛起点为坐标原点，测量它们的水平坐标和竖直坐标，如图所示的图像能说明平抛小球的运动轨迹为抛物线的是 　　。 （3）某同学在做平抛运动实验时得到了如图乙所示的运动轨迹，、、三点的位置在运动轨迹上已标出，取，则： ①小球做平抛运动的初速度大小为 　　； ②小球抛出点的位置坐标为：　　，　　。 【变式训练13-15】如图甲所示为某实验小组“探究平抛运动”的实验装置。 （1）进行该实验时，需要用到下列哪些器材 　　； 打点计时器 弹簧测力计 重垂线 （2）研究平抛运动，下列说法正确的是 　　； 使用密度大、体积小的小球 必须测出平抛小球的质量 将木板校准到竖直方向，并使木板平面与小球下落的竖直平面平行 尽量减小小球与斜槽之间的摩擦 （3）某同学在白纸上记录了小球的运动轨迹，若小球在平抛运动途中的几个位置如图乙中的、、所示，测出、、的长度，则小球平抛的初速度的计算式为　　（用测出的长度、、和当地重力加速度表示）； （4）下列操作可能引起实验误差的是 　　。 安装斜槽时，斜槽末端切线方向不水平 确定竖直方向时，没有用重垂线 斜槽不是绝对光滑的，有一定摩擦 每次从轨道同一位置释放小球 【变式训练13-16】如图所示，是一同学将一小球从桌面水平弹出时另一同学用频闪相机拍出照片的一部分，借助刻度尺，他根据桌子的实际高度和照片中的高度，结合照片中测量的数据，进行计算，发现、两个位置对应的实际高度差，、两个位置对应的实际高度差，任何两个相邻的位置对应的实际水平距离都是，则相机的闪光频率为 　　，小球从桌面边缘抛出时的速度为 　　，桌面右边缘到点的水平距离是 　　，桌子的高度是 　　。（重力加速度取 【变式训练13-17】某同学利用如图甲所示装置做“研究平抛运动”的实验，利用坐标纸确定小球运动过程中的点迹，然后将点迹连成平滑的曲线。但是在描绘过程中，轨迹的一部分在坐标纸上受损，剩余部分如图乙所示．图乙中水平方向与竖直方向每小格的长度均代表，、和是轨迹图线上的3个点，和、和之间的水平距离相等．完成下列填空：（重力加速度取 （1）设、和的横坐标分别为、和，纵坐标分别为、和．从图乙中可读出　　，　　，　　；（保留两位小数） （2）若已知抛出后小球在水平方向上做匀速运动．利用（1）中读取的数据，求出小球从运动到所用的时间为 　　，小球抛出后的水平速度为 　　。 1、 单项选择题 1．如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球S1以初速度v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球S2以初速度v竖直向上抛出。在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计地面阻力和空气阻力。则两球在这段过程中（　　） A．两球均做变加速运动 B．相遇时小球S1，的速度方向与水平方向夹角为30° C．相遇点在N点上方处 D．MN距离为2h 2．如图所示，abcd是倾角为θ的光滑斜面，已知ab∥dc，ad、bc均与ab垂直。在斜面上的a点，将甲球以速度v0沿ab方向入射的同时，在斜面上的b点将乙球由静止释放，则以下判断正确的是(     ) A．甲、乙两球不可能在斜面上相遇 B．甲、乙两球一定在斜面上相遇 C．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，总是在同一水平线上 D．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，在相同时间内速度的改变可能不相同 3．在与水平面成θ＝30°角的山坡下向坡上抛掷质量为0.2 kg的石块，石块的初速度为 v0＝10 m/s，且与水平方向成角60°，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．石块在坡上飞行的距离为5m B．石块落到坡上时的速度大小为m/s C．石块落到坡上时的重力功率为10m/s D．石块飞行过程中距地面的最大高度为10m 4．乒乓球发球机是一个很好的辅助练习者练球的工具．如甲图所示，是乒乓球发球机的实物图，乙图是简化示意图．设乒乓球桌面ABCD的AB边长为L1，BC边长为L2，球网JK位于桌面的正中间，网高为h；发球机简化为EF，其中E点固定在AB边的中点，F点为乒乓球发射点，EF始终保持竖直，高度为H（可调）．乒乓球看成质点，每次均从F点水平发射，发射方向可以在水平面内任意调整，不计空气阻力和周围环境对乒乓球运动的影响，若球擦网而过时不计球和网之间的相互作用，不考虑乒乓球的旋转，则下列说法正确的是（　　） A．要让乒乓球能越过球网，最小发射速率一定为 B．若乒乓球的发射速率超过，则乒乓球一定会落在边界CD之外 C．只要H大于h，就一定能设置合适的发球速率，使球落在JKCD区域 D．调整H和h的高度，若球以垂直于AB边的方向发射能够擦网而过后直接落到CD边上，则适当调整发射方向后，只要是落在CD边界上的球一定是擦网而过的 5．如图所示，是长方形对角线的交点，是底边的中点，、、处的三个小球分别沿图示方向做平抛运动，下列表述不正确的是（　　） A．若、、处三球同时抛出，三球不可能在落地前相遇 B．要、处两球在空中相遇，则球必须先抛出 C．若、处两球能在地面相遇，则、在空中运动的时间之比为 D．若、处两球在点相遇，则一定满足 6．如图所示，将a、b两小球以大小为m/s的初速度分别从A、B两点相差1s先后水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g取10m/s2，则抛出点A、B间的水平距离是（　　） A．m B．100m C．200m D．m 7．如图所示，在体育课上进行篮球训练时，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度h1比乙同学抛出点的高度大，不计空气阻力，篮球可看成质点，则下列说法不正确的是（　　） A．甲同学比乙同学先将篮球抛出 B．两篮球相遇前，乙同学抛出的篮球在空中运动的时间短 C．若甲、乙同学抛球速度变为原来的2倍，则相遇点一定在P点正上方 D．若甲同学抛球时与乙同学高度相同，且同时抛出，落地前不一定能相遇 8．乒乓球训练中，某台发球机从水平桌面上同一点沿竖直平面发射出方向不同的A、B两球，两球落到桌面上同一位置，运动轨迹如图所示。不计空气阻力，两球均可视为质点，下列说法正确的是（    ） A．两球运动过程中，A球加速度大于B球加速度 B．两球飞行时间相等 C．两球运动至最高点时，两球速度相等 D．两球如果要在落回桌面时相遇，必须先发出A球 9．如图所示，MN为排球网，运动员从M点左上方的P点将排球水平击出，P、M两点的竖直高度差为h，水平距离为4h，重力加速度为g，排球可视为质点，不计空气阻力，为使排球能越过球网落到对方场地，运动员击出排球的最小速度为（　　）    A． B． C． D． 10．排球比赛中，某次运动员将飞来的排球从a点水平击出，球击中b点；另一次将飞来的排球从a点的正下方c点斜向上击出，也击中b点，且b点与c点等高。第二次排球运动的最高点d与a点等高，且两轨迹交点恰好为排球网上端点e。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．两个过程中，排球运动到b点的速度大小可能相等 B．b点与c点到球网平面的水平距离之比为3:2 C．a、c两点高度差与e、c两点高度差之比为4:3 D．运动员两次击球对排球所做的功可能相等 11．研究乒乓球发球问题，设球台长2L，网高h，如图乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力（设重力加速度为g），从A点将球水平发出，刚好过网，在B点接到球，则下列说法正确的是（　　） A．网高 B．发球时的水平初速度 C．球落到球台上时的速度 D．球从A→B所用的时间 12．如图所示，射击枪水平放置，射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线上，枪口与目标靶之间的距离，子弹射出的水平速度，子弹从枪口射出的瞬间目标靶由静止开始释放，不计空气阻力，重力加速度取，下列有关说法正确的是（　　） A．子弹从枪口射出到击中目标靶经历的时间 B．目标靶由静止开始释放到被子弹击中，下落的距离 C．若子弹从枪口射出的水平速度，一定击不中目标靶 D．若子弹从枪口射出的瞬间目标靶以某速度竖直下抛，子弹可能击中目标靶中心 13．如图所示，在光滑的水平面内建立xOy坐标，质量为m的小球以某一速度从O点出发后，受到一平行于y轴方向的恒力作用，恰好通过A点，已知小球通过A点的速度大小为v0，方向沿x轴正方向，且OA连线与Ox轴的夹角为30°，则（　　）    A．恒力的方向一定沿y轴正方向 B．恒力在这一过程中所做的功为 C．恒力在这一过程中的冲量大小为 D．小球从O点出发时的动能为 14．如图，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　）    A． B． C． D． 15.图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是（　　） A. B. C. D. 16.如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　） A. 将击中P点，t大于 B. 将击中P点，t等于 C. 将击中P点上方，t大于 D. 将击中P点下方，t等于 17.如图，水平桌面上乒乓球沿直线匀速运动，一同学在桌边用吹管欲将球吹进桌面上的球门，垂直。在B处对准C吹气，未成功，下列情形可能成功的是（　　） A. 仅增大吹气力度 B. 将球门沿直线向B靠近 C 将吹管向A平移适当距离，垂直方向吹气 D. 将吹管绕B点顺时针转动，正对着A吹气 2、 多项选择题 1．如图所示，水平地面上有相距为18m的M、N两点，在M点的正上方处有一小球A以速度水平抛出，同时在N点正上方h（，且高度h可以调节）处将小球B以=10m/s的速度竖直向上抛出。若小球A与地面碰撞时水平速度不变，竖直速度以等大速度反弹，B与地面碰撞后不反弹，重力加速度g取10。以下说法正确的是（　　）    A．小球A在第一次落地时可以与小球B相遇 B．要想小球A在第二次落地时与小球B相遇，应满足 C．要想小球A在第二次落地时与小球B相遇，h应满足 D．若，调节的大小，则A刚好与地面第三次碰撞时与B相遇 2．如图所示，质量相等的两个小球（小球可视为质点）A、B水平间距x0=6.0m，竖直高度差为h0，小球A、B到竖直虚线MN的距离相等。若将两球同时从图示位置抛出，小球A水平向左抛出，速度大小v0=3m/s，小球B斜向右上方抛出，初速度v1与水平方向夹角，经历一定时间，小球A、B在虚线MN上的某一位置P相遇，已知重力加速度g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，则下列分析正确的是（　　） A．位置P在O点下方1m处 B．位置P在O点上方1m处 C．小球B抛出的初速度大小v1=4m/s D．竖直高度差h0=4.0m 3．某实验室模拟物流分拣装置，让物块在表面粗糙的水平传送带上随传送带传输时，经过一段风洞区域，使物块恰好被分拣到传送带一侧的平台上。已知传送带的宽度（物块位于传送带中间位置），传送带的速度，物块到达风洞区域前与传送带共速。物块的质量，物块在风洞区域受到恒定的作用力，物块与传送带之间的动摩擦因数为，风洞区域的长度为。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块的尺寸远小于传送带的宽度，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．物块进入风洞区域后的加速度为 B．物块落到平台上时的速度约为1.7m/s C．物块与传送带间的摩擦生热为0.49J D．若增大传送带的速度，物块将不能落入平台 4．2020年2月，在国际单板滑雪U型场地赛中，我国运动员蔡雪桐勇夺冠军。如图，滑道边缘线PQ的倾角为θ，运动员以速度v0从PQ上的O点沿PQ的竖直切面滑出滑道，滑出时速度方向与PQ的夹角为α，腾空后从PQ上的A点进入滑道。已知 =90°，重力加速度为g，运动员可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．O、A两点间的距离为 B．运动员腾空中离PQ的最大距离为 C．若仅减小夹角，则运动员腾空时间可能保持不变 D．若仅增大v0的大小，则运动员再滑入轨道的速度方向不变 5．水平地面上有一足够长且足够宽的固定斜面，倾角为37°，小明站在斜面底端向斜面上投掷可视作质点的小石块。若石块出手时的初速度方向与水平方向成45°，出手高度为站立点正上方1.8m，重力加速度。下列说法正确的是（    ） A．若石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直，石块在斜面上的落点恰好与出手点等高，则石块出手时的初速度为 B．若石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直，石块在斜面上的落点恰好与出手点等高，则石块出手时的初速度为 C．若石块的初速度大小一定，当石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直时，石块飞行时间最短 D．若投出石块的最大初速度为8m/s，则石块在斜面上与出手点等高的所有落点所组成的线段长度不会超过12m 6．如图所示，a、b两点在同一竖直线上，现同时分别在a、b两点抛出两个小球甲、乙，甲球的速度大小为，方向水平向右，乙球的速度大小为，方向与水平方向的夹角为60°斜向右上方，两球在c点（未画出）相碰。已知碰前瞬间乙球速度方向水平，则下列判断正确的是（　　） A．a、c两点竖直方向的距离大于b、c两点竖直方向的距离 B．甲，乙两球相碰前瞬间甲球的速率与乙球速率相等 C．甲、乙两球自抛出至相碰前瞬间速度变化相等 D．甲、乙两球抛出时的速度大小与之比为1：2 7．课间同学们在玩键子。两位同学在同一竖直线上把相同的键子1和2用力抛出，如图所示，两键子均恰好垂直打在竖直墙面上，若不计空气阻力且把键子看成质点。下列说法正确的是（　　） A．建子1在空中运动的时间一定比键子2短 B．抛出瞬间毽子2所受重力的功率一定比键子1大 C．抛出时人对键子2所做的功一定比键子1大 D．若要使两键子在上升过程中相撞，必须先抛出毽子1，后抛出键子2 8.如图所示为某喷灌机喷头正在进行农田喷灌，喷头出水速度的大小和方向可以调节，已知图示出水速度与水平方向夹角，假设喷头贴近农作物表面，忽略空气阻力，下列哪种调整方式会使水喷得更远（　　） A. 减小出水速度 B. 增大出水速度 C. 适当减小角 D. 适当增大角 9.图（a）为某科技兴趣小组制作的重力投石机示意图。支架固定在水平地面上，轻杆AB可绕支架顶部水平轴OO＇在竖直面内自由转动。A端凹槽内装有一石子，B端固定一配重。某次打靶时，将杆沿逆时针方向转至与竖直方向成θ角后由静止释放，杆在配重重力作用下转到竖直位置时石子被水平抛出。石子投向正前方竖直放置的靶，打到靶心上方的“6”环处，如图（b）所示。若要打中靶心的“10”环处，可能实现的途径有（　　） A. 仅增大石子的质量 B. 仅增大配重的质量 C. 仅增大投石机到靶的距离 D. 仅增大θ角 10.飞镖运动是一种可全民参与的运动。若每次飞镖都是水平投掷，飞镖在空中的运动可视为平抛运动。如图，某次将飞镖水平投出后正中靶心，下列正确的是（　　） A．若飞镖质量较大，则空中飞行的时间会变短 B．若出手位置变高，为了正中靶心，应当减小投掷速度 C．飞镖对准靶心投掷，投出时靶也做自由落体，则镖正中靶心 D．飞镖对准靶心投掷，投出时靶也做自由落体，则镖命中靶心上方位置 11.一个半径为R＝0.75m的半圆柱体放在水平地面上，截面图如图所示。一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出（小球可视为质点），到达C点时速度方向恰好沿圆弧切线方向。已知O为半圆弧的圆心，OC与水平方向夹角为53°，取g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．小球从B点运动到C点所用的时间为0.3s B．小球从B点运动到C点所用的时间为0.5s C．小球做平抛运动的初速度大小为4m/s D．小球做平抛运动的初速度大小为6m/s 12.如图所示，小球以v0＝10m/s的瞬时速度从水平地面斜向右上方抛出，速度方向与水平方向的夹角是53°，不计空气阻力，下列说法正确的是（取g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）（　　） A．小球到达最高点时的瞬时速度为零 B．小球离地面的最大高度是3.2m C．小球在空中的运动时间是0.8s D．保持小球速度大小不变，改变速度方向，小球的水平分位移（射程）的最大值是10m 13.如图所示，竖直平面内半径为R的圆盘绕中轴О顺时针匀速转动，当圆盘上的A点转至最高点时，紧贴A点以水平速度v（g为重力加速度）抛出一个可视为质点的小球，当A点转至水平位置时，小球刚好落到过О点的水平面，则圆盘的角速度可能为（　　） A． B．π C． D．2π 14.如图所示，在斜面上一定先后以初速度v0和2v0水平抛出A、B两个小球，则从抛出至第一次着地，两小球的水平位移之比可能为（　　） A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．2：5 15.如图所示，将两小球A、B从直角三角形斜面（足够长）的顶端分别向左、向右水平抛出，两小球分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为α，β，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．将A球先后以v0A与2v0A的速度向左水平抛出，A球两次落在斜面上的时间之比为1：2 B．将A球先后以v0A与2v0A的速度向左水平抛出，A球两次落在斜面上的速度方向不同 C．将A、B两小球分别以v0的速度水平向左、向右抛出，两小球落在斜面上的时间之比为tanβ：tanα D．将A、B两小球分别以v0的速度水平向左、向右抛出，两小球落在斜面上的下落高度之比为tan2α：tan2β 16.排球比赛中运动员从某一高度将排球击出，击出排球瞬间开始计时，排球在空中飞行的速率v随时间t的变化关系如图所示，图中相关坐标值均为已知，若t2时刻排球恰好落到对方的场地上，排球可视为质点，运动过程中受到的阻力不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．击球点到落地点间的水平距离为v0t2 B．击球点到落地点间的水平距离为v1t2 C．排球运动过程中离地的最大高度为 D．排球运动过程中离地的最大高度为 17.2022年9月18日上午，随着岳阳队摘得湖南省第十四届省运会田径项目U12团体赛金牌，为期4天的省运会田径比赛所有运动项目圆满结束。我市田径运动仍然保持着强劲的发展势头，来自临湘市二中的谈仁哲在U18男子铅球项目中，以17.96米的成绩打破赛会记录，在铅球比赛中，若某运动员以初速度v0＝12m/s将质量为m＝7kg的铅球推出，初速度与水平方向成42°角，推出点所在位置离水平地面1.8m高，重力加速度取10m/s2，已知sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，忽略空气阻力的影响，从铅球推出到落地过程中，下列说法中正确的是（　　） A．铅球在空中运动时间约为1.6s B．铅球上升时间与下降时间相等 C．铅球到达最高点时速度为8.88m/s D．铅球落地的速度大小为m/s 18.如图所示，足球球门宽为L，一个球员在球门线中点正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P点），球员顶球点O距地面的高度为h。足球做平抛运动（足球可看成质点，忽略空气阻力），重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．足球位移的大小为 B．足球位移的大小为 C．足球刚落到P点的速度大小为 D．足球刚落到P点的速度大小为 19.如图所示，为冬奥会单板滑雪大跳台项目简化模型。运动员以水平初速度v0从P点冲上半径为R的六分之一光滑圆弧跳台，离开跳台经最高点M后落在倾角为θ的斜坡上，落点距Q点的距离为L，若忽略一切阻力并将其看成质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．运动员在最高点M的速度为0 B．最高点M距水平面PQ的竖直距离为 C．运动员离开圆弧跳台后在空中运动的时间 D．运动员落在斜面时的速度大小为 20.水平地面上有一足够长且足够宽的固定斜面，倾角为37°，小明站在斜面底端向斜面上投掷可视作质点的小石块。若石块出手时的初速度方向与水平方向成45°，出手高度为站立点正上方1.8m，重力加速度g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．若石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直，石块在斜面上的落点恰好与出手点等高，则石块出手时的初速度为2m/s B．若石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直，石块在斜面上的落点恰好与出手点等高，则石块出手时的初速度为2m/s C．若石块的初速度大小一定，当石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂直时，石块飞行时间最短 D．若投出石块的最大初速度为8m/s，则石块在斜面上与出手点等高的所有落点所组成的线段长度不会超过12m 21.若物体被抛出时的速度不沿水平方向，而是向斜上方或向斜下方（这种情况常称为斜抛），则它的受力情况与平抛运动完全相同。如图甲所示，球状烟花中有一部分是做斜上抛运动，其中一火药做斜抛运动的轨迹如图乙所示，图乙中初速度v0和初速度与水平方向的夹角θ均为已知量，重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．该火药的射高为 B．该火药的射高为 C．若斜抛运动的初速度v0大小不变，抛射角θ改变，则该火药射程的最大值为 D．若斜抛运动的初速度v0大小不变，抛射角θ改变，则该火药射程的最大值为 三．计算题 1.“打水漂”是很多同学体验过的游戏，小石片被水平抛出，碰到水面时并不会直接沉入水中、而是擦着水面滑行一小段距离再次弹起飞行，跳跃数次后沉入水中，俗称“打水漂”。如图所示，某同学在岸边离水面高度h0＝0.8m处，将一质量m＝20g的小石片以初速度v0＝16m/s水平抛出。若小石片第1次在水面上滑行时受到水平阻力的大小为1.2N，接触水面0.1s后弹起，弹起时竖直方向的速度是刚接触水面时竖直速度的。取重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。求： （1）小石片第1次离开水面后到再次碰到水面前，在空中运动的水平距离； （2）第1次与水面接触过程中，水面对小石片的作用力大小。 2.如图所示，在水平地面上固定一倾角θ＝53°、表面光滑的斜面体，物体A以v0＝8m/s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出。当A上滑到最高点时恰好被物体B击中，A、B均可看作质点，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度大小g＝10m/s2，求： （1）物体B被抛出时的初速度vOB； （2）物体A、B间初始位置的高度差H。 3.目前，乒乓球运动员都使用发球机来练球。现建立如下简化模型，如图所示，水平乒乓球球台离地高度H＝0.75m，总长L＝3.2m，置于居中位置的球网高h＝0.15m，发球机装在左侧球台的左边缘中点，发球过程简化为：球从C点出发后（C点与球台等高），通过半径R＝0.2m的圆弧管道，在最高点D点水平且平行于球台中轴线发出（定义该速度为发球速度），D点在球台上方且与球台左边缘的水平距离l＝0.1m。可视为质点的乒乓球质量m＝0.003kg，运动中所受空气阻力不计，与球台的碰撞视为弹性碰撞，即碰撞后速度大小不变，碰后方向与碰前方向关于竖直线对称。发球规则为：乒乓球必须在左侧球台碰撞一次（仅限一次），跨网后能与右侧球台碰撞即视为发球成功。 （1）若发球速度为v＝5m/s，求乒乓球对D点轨道压力的大小和方向； （2）求发球机成功发球的速度范围； （3）现定义有效回球时间：球第一次碰撞右侧球台后至再次碰撞球台的时间间隔为有效回球时间，若第一次碰撞右侧球台后不再第二次碰撞球台，球第一次碰撞右侧球台后至球运动到球台平面以下离球台竖直高度差为0.25m前的时间间隔为有效回球时间。则以（2）问中的最小速度和最大速度发球的有效回球时间各为多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 抛体运动 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 11 题型归纳 12 题型01：平抛运动的规律 12 （一）平抛运动的条件及特点 12 （二）平抛运动的规律 12 （三）平抛运动规律的应用 19 （四）计算平抛运动抛出点坐标位置 34 题型02：平抛运动的两个推论 37 （一）速度偏转角与位移偏转角 37 （二）速度反向延长线的结论应用 45 题型03：平抛运动的图像问题 48 题型04：平抛运动的临界、极值问题 52 题型05：平抛运动中的追击相遇问题 67 题型06：斜面上的平抛问题 78 （一）顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角 78 （二）顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角 86 （三）对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角 90 （四）对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角 95 （五）斜面上的其他平抛运动 99 题型07：有约束条件的平抛运动模型 106 （一）对着竖直墙壁的平抛运动 106 （二） 半圆内的平抛问题 108 题型08：平抛的多解问题 118 题型09：平抛与圆周的临界问题 123 题型10：类平抛运动模型 126 题型11：斜抛模型 147 题型12：抛体运动中的功能与动量 160 题型13：实验：探究平抛运动的特点 167 巩固提升 192 抛体运动是高考物理必修2曲线运动核心考点，属于高频基础题，全国卷/新高考卷多以选择题（4-6分） 为主，偶尔结合动力学、能量出计算题小问（3-5分），极少单独出大题。 考查侧重平抛运动（核心），斜抛运动仅考定性分析或分解为平抛/竖直上抛，不考复杂计算；常结合运动的合成与分解、牛顿运动定律、几何关系，偶尔关联电场中的类平抛（选修3-1），难度以基础-中档为主，区分度低，是必拿分考点。 命题情境多为生活场景（如投篮、扔物体）、实验场景（如平抛实验数据处理），新高考更注重实际问题模型化，要求从情境中提取抛体运动核心条件。 一 核心目标 1. 掌握运动的合成与分解的等效性、独立性原理，能将抛体运动分解为水平匀速直线运动和竖直匀变速直线运动（平抛：自由落体；斜抛：竖直上抛/下抛）。 2. 熟记平抛、斜抛运动的速度、位移公式，能快速推导并灵活应用，明确公式中各物理量的物理意义（如平抛的初速度、下落高度h、水平位移x）。 二 能力目标 1. 能对实际情境建模，排除干扰条件，判断是否为抛体运动（关键：只受重力，初速度沿水平/斜向）。 2. 能结合几何关系（如位移偏角、速度偏角的关系）求解未知量，掌握平抛运动中“偏角推论”的应用。 3. 能处理抛体运动的临界问题（如刚好击中、刚好不越界），明确临界条件（如竖直位移/水平位移的极值）。 三 基础要求 1. 熟练计算匀变速直线运动（自由落体、竖直上抛）的速度、位移，为抛体分解计算铺垫。 2. 能区分速度分解和位移分解，避免将偏角公式混淆（如速度偏角正切值是位移偏角的2倍）。 知识点一：抛体运动 1.定义：以一定的速度将物体抛出，物体只受重力作用的运动． 2.平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动． 3.平抛运动的条件 ①具有水平初速度v0. ②只受重力作用． 两个条件缺一不可． 4.平抛运动的性质：平抛运动实质上是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动． 5.平抛运动的四个特点 理解 理想化 特点 物理上提出的平抛运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力 速度 平抛运动的速度大小和方向都不断改变，故它是变速运动 加速度 平抛运动的加速度为自由落体加速度，恒定不变，故它是匀变速曲线运动 速度 变化 做平抛运动的物体任意相等时间内速度变化量相等，均为Δv＝gΔt，方向竖直向下 知识点二：平抛运动规律 1.平抛运动的研究方法：研究曲线运动通常采用“化曲为直”的方法 2.研究平抛运动的一般思路： (1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动． (2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等．这种处理问题的方法可以变曲线运动为直线运动，变复杂运动为简单运动，使问题的解决过程得到简化． （一）平抛运动的速度 将物体以初速度v0水平抛出，由于物体只受重力作用，t时刻的速度为： 1．水平方向：vx＝v0. 2．竖直方向：vy＝gt. 3．合速度： 大小：v＝ 方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ （二）平抛运动的位移 将物体以初速度v0水平抛出，经时间t物体的位移为： 1．水平方向：x＝v0t. 2．竖直方向：y＝gt2. 3．合 位： 大小：s＝ 方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝ 平抛运动的规律 速度 位移 水平分运动 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t 竖直分运动 竖直速度vy＝gt 竖直位移y＝gt2 合运动 大小：v＝ 方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ 大小：s＝ 方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝ 图示 （三）两个重要推论 1．速度与位移两方向间的关系 (1)做平抛运动的物体，其末速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α. (2)推导：由上面分析可知：合速度与水平方向夹角的正切值：tan θ＝；合位移与水平方向夹角的正切值：tan α＝.所以速度偏向角与位移偏向角的正切值的比值为：tan θ∶tan α＝2∶1. 2.平抛物体速度反向延长线的特点 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． (2)推导：如图所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点，此时速度的反向延长线交OB于A点．则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝gt2·＝v0t.可见AB＝OB，所以A为OB的中点． 3.速度变化：平抛运动是匀变速曲线运动，故在相等的时间内，速度的变化量（Δv＝gΔt）相等，且必沿竖直方向，如图所示。任意两时刻的速度与速度的变化量Δv构成三角形，Δv沿竖直方向。 对规律的理解 (1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关． (2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关． (3)落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关． (4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图1所示． 图1 知识点三：斜面上的平抛运动问题 斜面或圆弧面约束型的平抛运动 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 　已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移tan θ＝＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 规律理解 （1）．在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移方向，然后进行分解并利用两分量与已知角关系求解． （2）．与斜面有关的平抛运动拓展 运动情形 题干信息 分析方法 斜面外开始，要求以最短位移打到斜面 位移方向 分解位移 x＝v0t y＝gt2 tan α＝＝ 斜面外开始，沿斜面方向落入斜面 速度方向 分解速度 vx＝v0 vy＝gt tan α＝＝ 斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下： 方法 内容 斜面 总结 分 解 速 度 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 分解速度，构建速度三角形 分 解 位 移 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：s＝ 分解位移，构建位移三角形 知识点四：类平抛运动模型 1.类平抛运动的受力特点: 物体所受的合外力为恒力,且与初速度的方向垂直。 2.类平抛运动的运动特点: 在初速度v0方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=。 3.类平抛运动的求解方法: (1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向列方程求解。 知识点五：平抛运动临界问题 擦网 压线 既擦网又压线 由得： 由得： 由和得： 知识点六：平抛运动中的相遇问题 平抛与自由落体相遇 水平位移：l=vt 空中相遇： 平抛与平抛相遇 （1） 若等高（h1=h2），两球同时抛； （2） 若不等高（h1>h2）两球不同时抛，甲球先抛； （3） 位移关系：x1+x2=L （1） A球先抛； （2） tA>tB； （3）v0A<v0B （1） A、B两球同时抛； （2）tA=tB； （3）v0A>v0B 平抛与竖直上抛相遇 （1） L=v1t； （2） ； （3） 若在S2球上升时两球相遇，临界条件：，即：，解得：； （4） 若在S2球下降时两球相遇，临界条件：，即， 解得： 平抛与斜上抛相遇 （1）； （2）； （3）若在S2球上升时两球相遇，临界条件：，即：， 解得：； （4）若在S2球下降时两球相遇， 临界条件：， 即， 解得： 知识点七;斜抛运动 物体抛出的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)． ①水平方向：物体做匀速直线运动，初速度vx＝v0cos θ. ②竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy＝v0sin θ.如图所示． 1．受力特点：斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g. 2．运动特点：物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线． 3．速度变化特点：由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时间内速度的变化大小相等，方向均竖直向下，故相等的时间内速度的变化相同，即Δv＝gΔt. 4．斜抛运动的对称性 (1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间． (2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等． (3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称． 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 所有抛体运动的解题关键是将曲线运动分解为两个直线运动，利用“水平方向匀速、竖直方向匀变速”的独立性，分别计算两个方向的速度、位移，再通过平行四边形定则合成合速度、合位移。 通用解题技巧 1. 优先求时间t：抛体运动中，时间是连接水平和竖直方向的桥梁，平抛由竖直高度求t，斜抛由竖直方向的速度/位移求t，先求t能简化计算。 2. 巧用偏角推论：平抛中若已知位移偏角/速度偏角，直接用tan θ＝2tan α，无需分步计算，节省时间。 3. 临界问题抓条件：如“刚好击中目标”→ 某时刻水平位移=目标水平距离、竖直位移=目标竖直高度；“刚好不越界”→ 最大高度/水平射程等于临界值，将临界条件转化为方程求解。 4. 实际情境建模：忽略空气阻力（题目未提则默认），提取“初速度方向、下落高度、水平距离”核心量，排除无关描述（如物体质量、形状）。 5. 避免公式混淆：区分“位移公式”和“速度公式”，竖直方向注意正方向选择（建议平抛选向下为正，斜抛选向上为正），减少负号错误。 易错题规避 1. 误将速度偏角和位移偏角混淆，直接用位移偏角计算速度，牢记tan θ＝2tan α。 2. 平抛运动中，认为水平位移由初速度决定，忽略时间由竖直高度决定（初速度越大，水平位移越大的前提是高度相同）。 3. 斜抛运动中，计算总时间时忘记乘以2（只算上升时间，未算下落时间）。 4. 处理斜抛到不同高度的问题时，直接套用“落回同一水平面”的射程公式，需重新由竖直位移求时间。 题型01：平抛运动的规律 （一）平抛运动的条件及特点 【典型例题1】　关于平抛运动，下列说法正确的是(　　) A．因为平抛运动的轨迹是曲线，所以不可能是匀变速运动 B．平抛运动速度的大小与方向不断变化，因而相等时间内速度的变化量也是变化的，加速度也不断变化 C．平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的竖直下抛运动 D．平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动 答案D　做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g，故为匀变速曲线运动，A错误，D正确；相等时间内速度的变化量Δv＝gΔt是相同的，故B错误；平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，C错误． 【变式训练1-1-1】关于平抛运动，下列说法中不正确的是(　　) A．平抛运动的下落时间由下落高度决定 B．平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动不可能是匀变速运动 C．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小 D．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动 答案　B 解析　平抛运动的下落时间由下落的高度决定，A正确；平抛运动的轨迹是曲线，它的速度方向沿轨迹的切线方向，方向不断改变，所以平抛运动是变速运动，由于其加速度为g，保持不变，所以平抛运动是匀变速曲线运动，B错误；平抛运动的速度方向和加速度方向的夹角θ满足tan θ＝＝，因为t一直增大，所以tan θ变小，θ变小，C正确；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，D正确． 【变式训练1-1-2】某弹射管每次弹出的小球速度相等．在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球．忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的(　　) A．时刻相同，地点相同 B．时刻相同，地点不同 C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同 B　[弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，且弹出小球的初速度相同，所以小球在水平方向运动的时间不等，因小球在水平方向做匀速运动，所以水平位移不相等，因此落点不相同，故选项B正确． （二）平抛运动的规律 【典型例题1】如图所示，从地面上方某点，将一小球以5 m/s的初速度沿水平方向抛出，小球经过1 s落地．不计空气阻力，g取10 m/s2，则可求出(　　) A．小球抛出时离地面的高度是5 m B．小球从抛出点到落地点的水平位移大小是6 m C．小球落地时的速度大小是15 m/s D．小球落地时的速度方向与水平地面成30°角 答案　A 解析　由题意得小球抛出时离地面的高度为h＝g＝5 m，A正确；小球从抛出点到落地点的水平位移大小为x＝t＝5 m，B错误；小球落地时的速度大小为v＝＝5 m/s，C错误；设小球落地时的速度方向与水平地面夹角为θ，则tan θ＝＝2≠＝tan 30°，故θ不等于30°，D错误． 【典型例题2】(多选)a、b两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为va、vb，从抛出至碰到台上的时间分别为ta、tb，则(　　) A．va＞vb　　　　　　 B．va＜vb C．ta＞tb　　　　　　 D．ta＜tb 答案　AD 解析　由题图知＞ha，因为h＝g，所以＜，又因为x＝t，且＞，所以＞，选项A、D正确． ． 【变式训练1-2-1】为迎接2022年北京冬奥会，运动员都进行了刻苦的训练。某滑雪运动员在训练过程中，从倾角为37°的倾斜直雪道顶端以4.00m/s的速度水平飞出，落在雪道上，然后继续沿雪道下滑。若空气阻力忽略不计，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则他在空中运动的时间为（　　） A．0.4s B．0.6s C．0.8s D．1.0s 【解答】解：根据斜面上平抛运动特点 可得t＝0.6s，故B正确，ACD错误。 故选：B。 【变式训练1-2-2】如图所示，从一根空心光滑竖直钢管A上端边缘，沿直径方向向管内水平抛入一钢球，球与管壁多次相碰后落地（球与管壁相碰后，水平速度反向，竖直速度不变，不计空气阻力），若换一根等高但较粗的光滑竖直钢管B，用同样方法抛入此钢球，则钢球（　　） A．在A管中的运动时间长 B．在B管中的运动时间长 C．在两管中的运动时间一样长 D．在两管中的运动时间无法比较 【答案】C 【详解】由于钢球水平抛入，所以可看成竖直方向做自由落体与水平方向做匀速直线运动，根据题意：两钢管等高，由自由落体公式，可知球在两根管内的运动时间相等。故C正确，ABD错误； 故选C。 【变式训练1-2-3】如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶 结果球落在小桶的前方．不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以(　　) A．增大抛出点高度，同时增大初速度 B．减小抛出点高度，同时减小初速度 C．保持抛出点高度不变，增大初速度 D．保持初速度不变，增大抛出点高度 答案　B 解析　设小球平抛运动的初速度为，抛出点离桶的高度为h，水平位移为x，根据，可得平抛运动的时间为：t＝，则水平位移为：x＝t＝.增大抛，出点高度，同时增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，故A错误．减小抛出点高度，同时减小初速度，则水平位移x减小，可能会抛进小桶中，故B正确．保持抛出点高度不变，增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，故C错误．保持初速度不变，增大抛出点高度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，D错误． 【变式训练1-2-4】某人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时的速度为v2，不计空气阻力，能表示出速度矢量的变化过程的是(　　) 答案　C 解析　小球做平抛运动，加速度恒为g，则速度的变化量Δv＝gΔt恒定，方向始终为竖直向下，故选C. 【变式训练1-2-5】如图所示，小球甲从A点水平抛出，小球乙从B点自由释放，两小球先后经过C点时的速度大小相等，速度方向夹角为45°，已知A、C高度差为h，不计空气阻力，由以上条件可知B、A两点高度差为(　　) A.h B.h C．h D．2h 答案　C 解析　小球甲做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，从A到C，由可得，甲运动的时间为＝，竖直分速度＝g＝，据运动的合成与分解可知，甲在C点的速度＝＝2＝，乙球做自由落体运动，下落高度h′＝＝2h，A、B两点高度差为2h－h＝h，故C正确，A、B、D错误． 【变式训练1-2-6】如图所示，a、b两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，其平抛运动轨迹的交点为P，则以下说法正确的是(　　) A．a、b两球同时落地 B．a、b两球落地速度相等 C．a、b两球在P点相遇 D．无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇 答案　D 解析　a、b两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出，竖直分运动为自由落体运动，故落地前任意时刻两球高度不同，不可能相遇，b球的高度较小，根据t＝可知b球一定先落地，A、C错误，D正确；由于两球的初速度大小未知，则无法比较两球落地的速度大小，B错误． 【变式训练1-2-7】如图所示，M、N为水平地面上的两点，在M点上方高处有一个小球A以初速度v0水平抛出，同时，在N点正上方高h处有一个小球B由静止释放，不计空气阻力，结果小球A在与地面第一次碰撞后反弹上升过程中与小球B相碰，小球A与地面相碰前后，水平方向分速度相同，竖直方向分速度大小相等，方向相反，则B球由静止释放到与A球相碰所用的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A球下落时有 解得 则A球落地速度为 设A球反弹后运动时间为，则 解得 B球由静止释放到与A球相碰所用的时间为 故A正确，BCD错误。 故选A。 【变式训练1-2-8】一质点做平抛运动，先后经过空中的、两点，经过点时速度方向与水平方向的夹角为30°，经过点时速度方向与水平方向的夹角为60°，则（　　） A．到过程质点做非匀变速运动 B．连线与水平方向夹角为60° C．质点经过、两点时竖直速度之比为1：3 D．从抛出点到、两点的水平位移之比为1：2 【答案】C 【详解】A．平抛运动过程只受重力作用，加速度不变，所以P→Q，是匀加速曲线运动，故A错误； B．由图可知PQ连线与水平方向夹角介于之间，故B错误； C．由平抛运动水平方向做匀速直线运动，则 所以 故C正确； D．平抛运动竖直方向做匀变速直线运动，运动到P、Q两点的时间关系为 由时间关系得水平位移关系为 故D错误。 故选C。 【变式训练1-2-9】从O点以水平速度v抛出一小物体，经过M点时速度大小为v，N点为O到M之间轨迹上与直线OM距离最远的点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小物体经N点时的速度方向与OM不平行 B．小物体从O到N经历的时间为 C．O、N之间的距离为 D．曲线ON与MN关于过N点且与OM垂直的直线对称 【答案】B 【详解】A．小物体运动过程中与OM的距离最远，即沿与OM垂直方向的分速度为零，所以此时的速度方向与OM平行，选项A错误； B．经过M点时的速度与水平方向的夹角为45°，设OM与水平方向的夹角为α，由几何关系可知 所以经N点时的速度竖直分量 故从O到N的时间为 选项B正确； C．ON之间的水平位移 竖直位移 O、N之间的距离为 选项C错误； D．初速度为v，末速度为v，所以曲线ON与MN不对称，选项D错误； 故选B。 【变式训练1-2-10】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。将一质量为m＝0.5kg的小球（可视为质点）从空中O点以速度v0＝3m/s水平抛出，经过轨迹上的P点时速度方向与水平方向夹角为53°，如图甲所示。现沿小球运动轨迹铺设一条光滑轨道，如图乙所示，让小球从O点由静止释放开始沿轨道下滑，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2，则（　　） A．小球下滑到P处时的速度大小为4m/s B．小球从O点下滑到P点的时间为0.4s C．O、P两点的水平距离为0.8m D．在P点处，小球对轨道的压力为N 【解答】解：AC、根据平抛运动的规律可知： ＝tan53°＝3m/s＝4m/s 在竖直方向上： 根据几何关系可得： 联立解得：y＝0.8m；x＝1.2m；t＝0.4s； 即op间的水平距离为1.2m，竖直距离为0.8m， 小球沿光滑轨道下滑到P点，根据动能定理可得： 解得：v＝4m/s，故A正确，C错误； B、若OP轨道为光滑倾斜轨道，由匀加速直线运动的规律可得： 解得：t'，由于轨道为圆形轨道，所以所以小球从O点下滑到P点的时间大于0.4s，故B错误； D、在P点对小球进行受力分析，如图所示： 当小球平抛时： 当小球滑到P点时，根据牛顿第二定律可得： 解得在P点处，小球对轨道的压力为： ，故D正确。 故选：D 【变式训练1-2-11】(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　) A．小球水平抛出时的初速度大小为 B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D．若小球初速度增大，则θ减小 答案　AD 解析　由tan θ＝可得小球平抛的初速度大小＝，A正确；设小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，由tan α＝＝＝＝tan θ可知，α≠，B错误；小球做平抛运动的时间t＝，与小球初速度无关，C错误；由tan θ＝可知，越大，θ越小，D正确． （三）平抛运动规律的应用 【典型例题1】如图所示，在水平路面上一特技运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8m，水平距离为8m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为（g取10m/s2）（　　） A．0.5m/s B．2m/s C．10m/s D．20m/s 【答案】D 【详解】运动员驾驶摩托车做平抛运动，据位移公式可得 x=t， 代入数据解得 =20m/s 故选D。 【典型例题2】如图所示，为了模拟和体验运动会的射击项目，在地面B处的微型水火箭竖直向上发射的同时，小华同学用气枪水平射出塑料子弹，枪口A距离地面1.6m，A、B的水平距离为8m，微型水火箭刚发射的瞬间获得初速度5m/s，上升过程仅考虑重力，若微型水火箭在上升过程被击中，微型水火箭和子弹视为质点，忽略一切阻力，取，则子弹刚出枪口的速度是（　　） A．25m/s B．20m/s C．15m/s D．10m/s 【答案】A 【详解】A、B相遇，在竖直方向上 可得相遇的时间 在水平方向上解得 故选A。 【典型例题3】（多选）如图所示，某同学在“风洞”实验室做实验。关闭风机的情况下，该同学从距离地面H处以v0向右平抛小球，使其做平抛运动，小球落地点与抛出点的水平距离也是H。接下来打开风机，风机产生水平向左的风，风力恒定。该同学再次从同一位置以相同速度平抛同一小球，这次小球恰好落在抛出点的正下方。则下列说法中正确的是（   ）    A．小球初速度v0为 B．打开风机，小球从抛出到落地所需时间不变 C．打开风机，小球落地速度v为 D．打开风机，小球到达右侧最远点时，小球距离地面高度为 【答案】BC 【详解】A．关闭风机的情况下，小球做平抛运动，则，H = v0t 联立解得，故A错误； B．打开风机，小球在竖直方向做自由落体运动，则小球从抛出到落地所需时间不变，故B正确； C．打开风机后小球恰好落在抛出点的正下方，则在水平方向有－= 2ax，x = 0 则= 在竖直方向 故打开风机，小球落地速度v为，故C正确； D．打开风机后小球恰好落在抛出点的正下方，则在水平方向有 则当小球在水平方向的速度为零时，小球到达右侧最远点，有0 = ＋ 解得 在竖直方向有，故D错误。 故选BC。 【典型例题4】如图所示，排球场总长为，设球网高度为，运动员站在网前处正对球网跳起将球水平击出，不计空气阻力，取。 （1）若击球高度为，排球越过球网的最小速度为多少？ （2）在第（1）问条件下，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围。 （3）当击球点的高度低于何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1、2）排球被水平击出后，做平抛运动，作出如图1所示的示意图 若正好压在底线上，根据 球在空中飞行的时间为 由此得排球越界的临界击球速度值为， 若球恰好触网，根据 则球在球网上方运动的时间为 由此求得排球触网的临界击球速度 要使排球既不触网又不越界，水平击球速度v的取值范围为 （2）设击球点的高度为h，当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，此情况是球刚好擦网而过，落地时又恰压底线上（如图2所示） 则有 解得： 即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网。 【变式训练1-3-1】某天，小陈同学放学经过一座石拱桥，他在桥顶A处无意中把一颗小石子水平沿桥面向前踢出，他惊讶地发现小石子竟然几乎贴着桥面一直飞到桥的底端D处，但是又始终没有与桥面接触。他一下子来了兴趣，跑上跑下量出了桥顶高OA＝3.2m，桥顶到桥底的水平距离OD＝6.4m。这时小陈起一颗小石，在A处，试着水平抛出小石头，欲击中桥面上两块石板的接缝B处（B点的正下方B'是OD的中点），小陈目测小石头抛出点离A点高度为1.65m，下列说法正确的是（　　） A．石拱桥为圆弧形石拱桥 B．小陈踢出的小石头速度约为6.4m/s C．小陈抛出的小石头速度约为4.6m/s D．先后两颗小石子在空中的运动时间之比为2：1 【解答】解：A、石头做平抛运动，石子几乎贴着桥面一直飞到桥的底端D处，且始终没有与桥面接触，则石拱桥为抛物线形石拱桥，故A错误； B、石头做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，水平方向：OD＝ 竖直方向：OA代入数据联立解得：＝0.8s ＝8m/s 故B错误； C、小陈踢出的石子经过B点时，水平方向的位移为总位移的，则时间为总时间的，A和B竖直方向的距离为gOA3.2m＝0.8m 小陈抛出的小石头做平抛运动，水平方向的位移为：OD＝ 竖直方向位移为：h+ 代入数据解得：＝0.7s m/s≈4.6m/s 故C正确； D、先后两颗小石子在空中的运动时间之比为：：＝0.8：0.7＝8：7 故D错误。 故选：C。 【变式训练1-3-2】如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　） A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于 C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于 【答案】B 【详解】由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据 可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有 故选B。 【变式训练1-3-3】如图所示，甲、乙两位同学同时在等高处抛出手中的篮球A、B，A以速度v0斜向上抛出，B竖直向上抛出，当A到达最高点时恰与B相遇。不计空气阻力，重力加速度为g，则（　　） A．B从抛出到最高点前相对于A水平向左做匀速运动 B．相遇时B的速度可能不为零 C．B从抛出到最高点的时间为 D．从抛出到相遇，B的速度变化量比A的大 【答案】A 【详解】A．依题意，两篮球能在空中相遇，可知B篮球的初速度与A篮球初速度的竖直分速度相等，设A篮球的初速度与水平面夹角为，即 A篮球的斜抛运动分解为水平方向的匀速直线和竖直方向的竖直上抛，可知两篮球在竖直方向上相对静止，则B从抛出到最高点前相对于A水平向左做匀速运动。故A正确； B．相遇时A到达最高点，竖直分速度为零，则B的速度为零。故B错误； C．B从抛出到最高点的时间为 故C错误； D．根据 易知从抛出到相遇，B的速度变化量和A的一样大。故D错误。 故选A。 【变式训练1-3-4】交通事故发生时，车辆发生碰撞，车上的部分物品会因惯性而被抛出，位于车上不同高度的物品落到地面上的位置是不同的，如图所示。已知抛出点在同一竖直线上的物品A、B，分别从距地面高h和H的位置水平抛落，不计空气阻力，A、B可视为质点，重力加速度为g。则（　　）    A．B抛出的初速度大于A抛出的初速度 B．A、B同时落地 C．从抛出到落地的过程中，A比B的速度变化快 D．若再测得A、B落地点间的距离，则可估算出碰撞瞬间汽车的行驶速度 【答案】D 【详解】AB．由平抛运动规律可知竖直方向做自由落体运动，即 可知平抛运动的时间与竖直高度有关，由于，即A先落地。又有发生碰撞时，物品做平抛运动，平抛初速度即汽车碰撞瞬间的行驶速度，故A、B抛出的初速度相等，故AB错误； C．由于平抛运动是匀变速曲线运动，则两者速度量满足，所以两者速度变化快慢相同，故C错误； D．若再测得A、B落地点间的距离，则可估算出碰撞瞬间汽车的行驶速度，设A、B落地时相距为L，汽车碰撞瞬间的行驶速度v，则有水平方向上 竖直方式上 两者落地点间距离 代入相关物理量可得， 解得汽车的行驶速度 所以由上式可知若再测得A、B落地点间的距离，则可估算出碰撞瞬间汽车的行驶速度，故D正确。 故选D。 【变式训练1-3-5】如图甲所示是网球发球机，某次室内训练时将发球机放在距地面一定的高度，然后向竖直墙面发射网球．假定网球均水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑空气阻力，则(　　) A．两次发射的初速度大小之比为3∶1 B．碰到墙面前在空中运动时间之比为1∶ C．下落高度之比为1∶ D．碰到墙面时速度大小之比为3∶1 答案　B 解析　网球做平抛运动，设网球碰到墙面时速度与水平方向的夹角为θ，由平抛运动的规律可得tan θ＝＝① x＝t② 由①②得：tan θ＝，则＝，＝，故B正确；＝＝，故A错误；＝＝，故C错误；碰到墙面时速度为v＝，故＝·＝，故D错误． 【变式训练1-3-6】如图所示，一架战斗机沿水平方向匀速飞行，先后释放三颗炸弹，分别击中山坡上水平间距相等的A、B、C三点。已知击中A、B的时间间隔为t1，击中B、C的时间间隔为t2，释放炸弹的时间间隔分别为Δt1、Δt2。不计空气阻力，则（　　） A．t1＞t2 B．t1＝t2 C．Δt1＞Δt2 D．Δt1＝Δt2 【解答】解：设释放第一颗炸弹的时刻为，击中山坡上A点的时刻为，释放第二颗炸弹的时刻为，击中山坡上B点的时刻为，释放第三颗炸弹的时刻为，击中山坡上C点的时刻为，由于炸弹在空中下落过程，战斗机一直处于炸弹的正上方，根据水平方向上的运动特点可得： ＝（﹣）＝ ＝（﹣）＝ 由于＝ 可得：＝ 设三颗炸弹在空中下落的高度分别为、、；因为平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动，则三颗炸弹在空中的下落时间分别为： 则有 由图可知下落高度关系为：略小于，比小得多；由此可知Δ＜Δ，故B正确，ACD错误； 故选：B。 【变式训练1-3-7】在俄乌战争中，俄罗斯大量使用了“卡﹣52武装直升机”。假设在某次执行任务时，“卡﹣52直升机”悬停在水平地面O点正上方320m处。悬停中直升机沿图中水平虚线方向，发射一枚无动力炸弹，炸弹离开飞机时的速度为30m/s，此后飞机水平转过90°，仍在悬停状态向正前方发射另一枚无动力炸弹，炸弹离开飞机时的速度为40m/s，g取10m/s2，不计空气阻力，则两枚炸弹落地点的距离为（　　） A．400m B．560m C．420m D．480m 【解答】解：炸弹离开飞机后做平抛运动，竖直方向有h，则炸弹下落时间ts＝8s 第一枚炸弹在水平方向距O点位移＝t＝30×8m＝240m 第二枚炸弹在水平方向距O点位移＝t＝40×8m＝320m 两个位移夹角90°，根据勾股定理求出两个落地点间的距离为xm＝400m，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式训练1-3-8】如图所示，窗子上、下沿间的高度H=1.6m，墙的厚度d=0.4m，某人在离墙壁距离L=1.4m、距窗子上沿h=0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g=10m/s2，则v的取值范围是（　　） A．v＞7m/s B．2.3m/s＜v＜7m/s C．3m/s＜v＜7m/s D．2.3m/s＜v＜3m/s 【答案】C 【详解】小物件做平抛运动，当从窗台上沿通过时，根据运动学公式有 ， 代入数据解得 当从窗台下沿通过时，根据运动学公式有 ， 代入数据解得 则v的取值范围是3m/s＜v＜7m/s。 故选C。 【变式训练1-3-9】如图所示，一阶梯每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球从台阶最高点边缘水平飞出，初速度大小为5 m/s，不计阻力，重力加速度取10 m/s2，则小球将打在台阶的（　　） A．第11级 B．第12级 C．第13级 D．第14级 【答案】C 【详解】设小球落在第n个台阶上，由平抛运动规律可得 解得 则小球将打在台阶的第13级。故选C。 【变式训练1-3-10】削面是西北人喜欢的面食之一，全凭刀削得名。如图所示，将一锅水烧开，将一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片儿，面片便水平飞向锅里，若面团到锅的上沿的竖直距离为0.45m，面团离锅上沿最近的水平距离为0.3m，锅的直径为0.6m。运动中忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s，要使削出的面片落人锅中，则面片的水平初速度可能是（　　） A．1.2m/s B．2.4m/s C．3.6m/s D．4.8m/s 【答案】AB 【详解】依题意，知面片做平抛运动，根据 得 要使削出的面片落入锅中，则面片平抛运动的水平位移需要满足 根据 知，面片初速度的范围为 故选AB。 【变式训练1-3-11】如图所示为一张标准的乒乓球台。甲、乙两同学都非常喜欢乒乓球运动，他们在没有球台的情况下，用两张课桌拼成了一个40cm×120cm的简易球台，甲同学在一端短边的正中央放上一只15cm高的瓶子（上端有红色瓶盖），要求乙同学在另一端短边的正中央上方、距台面20cm处将乒乓球水平击出，并提出要求：乒乓球直接打中瓶盖得一分；乒乓球经一次落台反弹后击中瓶盖得两分，每人有5次击球机会，比比谁得分更多。若在本游戏中不考虑瓶子的大小，乒乓球视为质点，乒乓球在台面反弹前后的速度大小相等，方向关于台面对称，g取10m/s2，不计空气阻力。若要能在游戏中得分，则乒乓球被水平击出的速度大小应该为（　　） A．12m/s B．4m/s C．3m/s D．2.4m/s 【答案】ABD 【详解】若乒乓球直接打中瓶盖，设乒乓球运动时间为t1，由题意可得    ①    ② 联立①②解得    ③ 若乒乓球经一次落台反弹后击中瓶盖，从发球到反弹所经过的时间为    ④ 乒乓球反弹位置距离发球位置的水平距离为    ⑤ 由题意可知反弹后乒乓球的竖直分速度大小为    ⑥ 乒乓球从反弹到击中瓶盖所经历的时间为    ⑦ 在竖直方向上有    ⑧ 联立④~⑧式解得 或   ⑨ 综上所述，ABD正确，C错误。 故选ABD。 【变式训练1-3-12】小朋友玩水枪游戏时，若水从枪口沿水平方向射出时的速度大小为15m/s，水射出后落到水平地面上。已知枪口离地面的高度为0.8m，重力加速度g取，忽略空气阻力，则射出的水（    ） A．在空中的运动时间为0.16s B．水平射程为6m C．落地时的速度大小为19m/s D．落地时竖直方向的速度大小为4m/s 【答案】BD 【详解】A．由可得水在空中的运动时间为 故A错误； B．水平射程 故B正确； D．落地时竖直方向速度大小为 故D正确； C．落地时的速度大小为 故C错误。 故选BD。 【变式训练1-3-13】将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g） 【答案】 【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有 可得落到水面上时的竖直速度 由题意可知 即 石子抛出速度的最小值为。 【变式训练1-3-14】体育课上，甲同学在距离地面高处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为；乙同学在离地处将排球垫起。取重力加速度。不计空气阻力。求： （1）排球被垫起前在空中运动的时间； （2）排球被垫起前瞬间的速度大小； （3）排球在被击出到被垫起的过程中运动的位移大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）排球被垫起前在空中运动的竖直距离是 由 排球被垫起前在空中运动的时间是 （2）排球被垫起前的竖直分速度是 合速度 （3）排球被垫起前在空中运动的水平位移是 合位移是 【变式训练1-3-15】如图所示，一个半径的圆形靶盘竖直放置，两点等高且相距，将质量为的飞镖从A点沿方向抛出，经落在靶心正下方的点处。不计空气阻力，重力加速度取。求： （1）飞镖从A点抛出时的速度大小； （2）飞镖落点与靶心的距离； （3）为了使飞镖能落在靶盘上，飞镖抛出的速度大小应满足什么条件？    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）飞镖从A点抛出时的速度大小 （2）镖下降的高度 （3）根据， 由 联立解得 【变式训练1-3-16】在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，可以视为平抛运动。摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。g取10m/s2.求： （1）摩托车飞跃壕沟的时间。 （2）摩托车的速度至少要多大才能越过这个壕沟？ （3）摩托车落地时的速度大小和方向。 【答案】（1）；（2）；（3）16.1m/s，方向与水平方向夹角正切为 【详解】（1）摩托车飞跃壕沟的时间 （2）摩托车越过这个壕沟的最小速度 （3）摩托车落地时的竖直速度 速度大小 方向与水平方向夹角为 【变式训练1-3-17】棒球运动是一项集智慧、勇敢、趣味与协作于一体的集体运动项目，深受青少年喜爱．如图所示，某次投手在A点将球水平抛向捕手，捕手预备在B点接球，击球员预备在C点击球．棒球可看作质点，空气阻力不计．已知：A点离地面1.8 m，C点离地面1.0 m，A、B两点的水平距离为20 m，球抛出后经0.5 s到达B点，g取10 m/s2.求： (1)棒球抛出后到达C点的时间； (2)棒球被抛出时的速度大小； (3)若击球员和捕手均未碰到球，棒球落地时的速度方向． 答案　(1)0.4 s　(2)40 m/s　(3)速度方向与水平方向的夹角正切值tan θ＝ 解析　(1)从A到C竖直高度为＝1.8 m－1 m＝0.8 m 根据＝g 解得到达C点的时间t＝0.4 s. (2)从A到B，水平方向，根据＝ 解得＝40 m/s. (3)棒球从A到落地，竖直方向有2gh＝， 解得＝6 m/s 则棒球落地时的速度方向与水平方向的夹角正切值tan θ＝＝. 【变式训练1-3-18】刀削面是北方的一种特色传统面食，操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈（视为质点）刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度大小为g，求落入锅内的小面圈刚被削离时的速度大小的范围。 【答案】 【详解】根据得 水平位移的范围 根据得初速度的范围为 【变式训练1-3-19】溜井是指利用自重从上往下溜放矿石的巷道，如图所示为某溜井在竖直平面内的示意图。可视为质点的矿石从A点由静止开始沿倾角 =37°的斜面滑下，到达底端B点后进入水平面，然后从边缘C处抛出，落入井底。已知AB长4m，BC长1.2m，B、C、D在同一条水平线上。斜面与水平面平滑连接，矿石与斜面及水平面动摩擦因数均为0.5，不计空气阻力，g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： （1）矿石在斜面上运动时的加速度大小； （2）矿石运动到C处的速度大小； （3）若主溜井足够深，侧面DE倾角β=60°，矿石从C处抛出后恰好与DE不相撞直接落入井底，CD宽度为多大？ 【答案】（1）2m/s2；（2）2m/s；（3）m 【详解】（1）根据牛顿第二定律，矿石在斜面上运动时有 代入数据解得 （2）矿石在AB面上运动时，有 在BC面上运动时，有 又 联立代入数据解得 （3）矿石从C处抛出，平抛轨迹与DE相切时，有 t时间内，水平位移 根据平抛知识可知CD宽度 联立代入数据解得 【变式训练1-3-20】沿直线运动的木块在水平地面以v1=12m/s的速度经过A点时，在其正上方h=20m高处的B点，有一个小球同时被水平抛出，其平抛速度v0与v1方向相同．若木块停止运动时，恰好被落下的小球击中，不计空气阻力，取g=10m/s2,求： （1）木块与地面间的动摩擦因数μ （2）小球平抛速度v0的大小 【答案】（1）μ=0.6；（2）6m/s。 【详解】（1）设木块运动时间为t，则对小球下落高度 解得s 对木块有m，， 木块与地面间的动摩擦因数μ=0.6 （2）小球水平位移 小球平抛速度的大小 【变式训练1-3-21】如图所示，在距水平地面的光滑平台边缘O点，将质量可视为质点的物块，以的速度水平抛出，不计空气阻力，取重力加速度。 （1）求物块抛出点O到落地点A所用的时间； （2）求物块抛出点O到落地点A之间的水平距离； （3）求物块落到A点时的速度的大小和方向。 【答案】（1）；（2）；（3），方向与水平面夹角为斜向下 【详解】（1）设物块由点所用时间为，由平抛知识得 代数解得 （2）设物块做平抛运动的水平距离为x，由平抛知识得 （3）物块落到A点时速度大小v，由几何知识得 速度与水平夹角满足 则 速度方向与水平面夹角为斜向下 （四）计算平抛运动抛出点坐标位置 【典型例题1】在“研究平抛运动”实验中，某同学只记录了小球运动轨迹上的A、B、C三点的位置，取A点为坐标原点，则各点的位置坐标如图所示，g取10m/s2，则：    （1）小球从A点运动到B点所用时间为 s。 （2）平抛的初速度为 m/s。 （3）B点的速度为 m/s。（可用根号表示） （4）小球抛出点的位置坐标是（ cm， cm）。 【答案】 0.1 1 -10 -5 【详解】（1）根据得， 则小球从A点运动到B点所用时间为。 （2）根据（1）中可知，平抛运动的初速度 （3）B点竖直方向的分速度 则B点的速度 （4）小球运动到B点的时间 所以B点的水平位移为 竖直位移 所以小球抛出点的位置横坐标为，纵坐标为。即抛出点的坐标位置为。 【变式训练1-4-1】某同学用图甲装置及频闪照相的方法研究A、B两球的运动。用小锤轻击弹性金属片，A球向右水平飞出，同时B球被松开，竖直向下运动。图乙是小球A运动过程中用频闪相机拍下的四个连续的不同位置的照片，并取A点为坐标原点建立直角坐标系，已知背景方格纸每小格的边长为2.5cm，g取10m/s2。请完成下列填空。    （1）小球A在竖直方向做 运动，频闪照相相邻闪光的时间间隔为 。 （2）小球A水平抛出的初速度为 ，抛出点的坐标为 。（保留两位有效数字） 【答案】 自由落体 0.05s 1.5m/s （-3.8cm，-0.31cm） 【详解】（1）由题图甲知，小球A在竖直方向初速度为零，且只受重力作用，所以小球A在竖直方向做自由落体运动；由 可得频闪照相相邻闪光的时间间隔 （2）[3]由=Δt 得小球A水平抛出的初速度=1.5m/s [4]小球在B点时竖直方向的速度为 由=gt 得t=0.075s 所以抛出点的横坐标为 纵坐标为，即抛出点坐标为（-3.8cm，-0.31cm）。 【变式训练1-4-2】某次泾县中学与郎溪中学的同学合作研究平抛运动的实验，他们都让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球平抛运动的轨迹。 （1）其中郎溪中学某同学用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长为L，记录下小球在平抛运动途中的几个位置，如甲图中的a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式为 （用L、g表示）。 （2）其中泾县中学某同学在竖直墙上记录了抛物线轨迹的一部分，并利用刻度尺进行了作图，如图乙所示。O点不是抛出点，x轴沿水平方向，由图中所给的数据可求出平抛物体的初速度 ，抛出点的坐标 ， （g取） 【答案】 4 -0.80 -0.20 【详解】(1)[1]由图可知，各点间 水平位移均相等，为 这几个点是等时间间隔点。在竖直方向上，相邻两点间的位移差 由匀变速直线运动的推论 可得 在水平方向上 计算得出 (2)[2][3]根据， 则平抛运动的初速度 A点在竖直方向上的分速度 平抛运动到A的时间 此时在水平方向上的位移 在竖直方向上的位移 所以抛出点的横纵坐标分别为， 【变式训练1-4-3】某实验小组用频闪照相的方法研究平抛运动。该同学以水平方向为x轴，竖直方向为y轴，得到小球运动过程中O、a、b、c的坐标位置如图所示，不计空气阻力。根据图象中的数据可知（g=10m/s2，计算结果均保留2位有效数字）： （1）小球平抛的初速度为 m/s； （2）小球过b点的速度为 m/s； （3）小球抛出点的坐标为 。 【答案】 2.0 3.2 （－10cm，－1.25cm） 【详解】（1）[1]由图可知a、b、c三点相邻两点间水平距离相同，则相邻两点间的时间间隔相同，均设为T，根据运动学规律有 解得 所以小球平抛的初速度为 （2）[2]小球在b点的竖直分速度为 小球过b点的速度为 （3）[3]小球从抛出点到b点所经历的时间为 小球抛出点的横坐标为 纵坐标为，即小球抛出点的坐标为（－10cm，－1.25cm）。 【变式训练1-4-4】某同学在做平抛运动实验时得到了如图所示的物体运动轨迹，a、b、c三点的位置在运动轨迹上已标出（重力加速度），求： （1）坐标原点a是否为平抛运动的抛出点； （2）物体做到达b点的时间； （3）物体的抛出的初速度大小； （4）物体到达b点的速度的大小。    【答案】（1）是；（2）0.2s；（3）1.5m/s；（3）2.5m/s 【详解】（1）由图可知，，符合自由落体的规律，所以a是抛出点 ； （2）根据，得 （3）物体的抛出的初速度大小   （4）物体到达b点的竖直速度   物体到达b点的速度 题型02：平抛运动的两个推论 （一）速度偏转角与位移偏转角 【典型例题1】如图所示，一个倾角为45°的斜面与一个圆弧对接，斜面的底端在圆心O的正下方。从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是（　　） A．小球初速度不同，则运动时间一定不同 B．小球落到斜面上时，其速度方向一定相同 C．小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直 D．小球落到圆弧面上时位置越高，末速度越大 【答案】B 【详解】A．平抛运动的时间由下落的高度决定。若小球落到斜面与圆弧面上时的下落高度相同，则小球平抛运动的时间相同，A错误； B．设斜面倾角为θ，小球落到斜面上时速度与水平方向夹角为α，则 故B正确； C．小球落到圆弧面上时，若落点速度方向与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线通过圆心，但由平抛运动规律知，速度的反向延长线应通过水平位移的中点，C错误； D．设小球的初速度为运动时间为t，则小球落到圆弧面上时速度大小为 当越大时落点位置越高，但t越小，v不一定大，D错误。 故选B。 【典型例题2】（多选）如图所示，挡板与竖直方向的夹角为，一小球（视为质点）从点正下方点以某一速度水平抛出，小球运动到点时恰好不和挡板碰撞（小球轨迹所在平面与挡板共面）。测得小球从点运动到点所用时间为，若不计空气阻力，重力加速度大小为，则以下判断中正确的是（    ）    A．小球运动到点时速度大小为 B．小球运动到点时速度大小为 C．、间的距离为 D．、间的距离为 【答案】AD 【解析】AB．到达点时， 小球运动到点时速度大小为，A正确，B错误； CD．由题意可知， 平抛初速度为 平抛的水平位移与竖直高度分别为， 、间的距离为 得，C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练2-1-1】如图所示，是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点。质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线方向。M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点。已知，，重力加速度g取，则下列说法正确的是（    ）    A．平抛的初速度为 B．质点在P点的速度大小为 C．质点在P点的速度方向与水平方向的夹角为 D．若平抛初速度加倍，则质点下落到与P点同一高度所用时间将减半 【答案】A 【详解】A．根据平抛运动的推论可知Q是OM的中点，则有 竖直方向做自由落体运动，则有 可得 水平方向做匀速直线运动，则有 解得，故A正确； B．质点在P点的竖直速度为 所以质点在P点的速度为，故B错误； C．因为，所以质点在P点的速度方向与水平方向的夹角为，故C错误； D．平抛运动时间仅与高度有关，与水平初速度无关，下降相同高度所用时间也相同，故D错误。 故选A。 【变式训练2-1-2】如图，将一支飞镖在竖直墙壁的左侧O点以不同的速度水平抛出，A为O点在竖直墙壁上的投影点，每次抛出飞镖的同时，在A处由静止释放一个特制（飞镖能轻易射穿）的小球，且飞镖均能插在墙壁上，第一次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为，第二次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为，图中没有画出，不计空气阻力。（，）则（　　）    A．两次速度增量之比为 B．两次抛出的飞镖只有一次能击中小球 C．两次下落的高度之比为 D．两次平抛的初速度之比为 【答案】D 【详解】设O点与A点水平距离为x，飞镖飞出后做平抛运动，则水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动； AD．第一次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为，则 且 第二次插在墙壁时，飞镖与墙壁的夹角为，则 且 则两次平抛的初速度之比为 两次速度增量之比为，故A错误，D正确； B．平抛运动的竖直方向上为自由落体运动，则释放的小球和飞镖下落的位移相同，故两次都能击中小球，故B错误； C．两次下落的高度之比为，故C错误。 故选D。 【变式训练2-1-3】某同学玩掷飞镖游戏，先后将两只飞镖a、b由同一位置水平投出，已知飞镖投出的初速度va < vb，不计空气阻力，则两只飞镖插在竖直靶上的状态（侧视图）可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】两只飞镖由同一位置水平投出，即两只飞镖的水平位移x相同，则运动时间分别为 由于 < ，所以 > ；其竖直位移分别为 则 > ，即飞镖b插在竖直靶上的位置较高。飞镖的速度方向与水平方向夹角的正切值分别为 由于 < ，所以tana > tanb，即飞镖a插在竖直靶上时飞镖的速度方向与水平方向夹角较大。 故选A。 【变式训练2-1-4】据报道，尹某在小区内不幸被楼上抛落的酒瓶砸伤左脚。办案民警分析监控可描绘出酒瓶落在尹某脚面时速度与水平地面所成角度，随后民警又测量出尹某所在位置与楼房的水平距离。假设酒瓶飞出窗口的速度是水平的，若已知每层楼房高度，不计空气阻力，当地重力加速度已知，则通过以上信息能估算出（　　） ①酒瓶落至尹某脚面时的速度 ②酒瓶从飞出至落地所用时间 ③酒瓶对脚面的平均作用力 ④酒瓶是从第几层楼房抛出的 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【详解】根据题意可知，速度与水平方向的夹角已知，则 位移与水平方向的夹角 则位移与水平方向的夹角正切值已知，又因为尹某所在位置与楼房的水平距离已知，则竖直方向的下落高度可以求出，楼层高度已知，则可以计算出酒瓶是从第几层楼房抛出的。落地时间 又根据 ， 落地时竖直方向速度为 故可以求出酒瓶从飞出至落地所用时间以及酒瓶落至尹某脚面时的速度。酒瓶质量以及落到脚上的缓冲时间未知，故无法求出对脚的平均作用力。 故选B。 【变式训练2-1-5】如图，将一小球从足够长的斜面上的O点，以初速率沿与斜面垂直向上的方向抛出，第一次落到斜面上的P点（未画出），O、P两点间的距离用x表示，小球刚落到P点时的动能、速度方向与斜面的夹角、垂直斜面向下的分速度大小分别用、α、表示。不计一切阻力，若仅改变初速率，则能正确反映、tanα、x、随或变化的图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】ABD 【详解】A．将小球的运动沿斜面方向和垂直于斜面方向分解，可知小球刚落到P点垂直斜面向下的分速度大小 故A正确； B．沿斜面方向的加速度和垂直于斜面的加速度分别为， 设小球落到斜面的时间为t，在垂直于斜面方向有 沿斜面方向的速度为 则速度方向与斜面的夹角的正切值为 可知速度方向与斜面的夹角为定值，故B正确； C．O、P两点间的距离为 则x与是正比例函数关系，故C错误； D．小球刚落到P点时的动能为则与是正比例函数关系，故D正确；故选ABD。 【变式训练2-1-6】如图所示，从足够高的1、2两点水平抛出两个小球，之后两球在空中的P点相碰，测得从1、2两点抛出的小球在P点时速度方向与水平方向的夹角分别为53°、45°。已知1、2两点在同一竖直线上，P点到1、2两点的水平距离为d，，，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．从1、2两点抛出的小球在空中运动的时间相等 B．从1、2两点抛出的小球经过P点时的速度大小相等 C．从1、2两点抛出的小球初速度大小之比为 D．1、2两点的竖直高度差为 【答案】CD 【详解】A．平抛运动在竖直方向上有，因为，可知，A项错误； BC．设从1、2两点抛出的球的初速度大小分别为、，球经过P点时的速度大小分别为、，根据水平方向做匀速直线运动有 由题意可知 则 又因为 则，B项错误，C项正确； D．由平抛运动的推论，速度的反向延长线交于水平位移的中点，则 解得 则1、2两点的竖直高度差 D项正确。 故选CD。 【变式训练2-1-7】如图为某景观水车模型，水从槽口水平流出，某时刻正好垂直落在与水平面成30°角的轮叶边缘上，轮叶在水流不断冲击下以角速度ω转动。已知槽口到水车轴所在的水平面距离为2R，水车轮轴到轮缘的距离为R。（忽略空气阻力，取重力加速度为g）。求： （1）水流从槽口到轮叶的运动时间； （2）水流打在轮叶上的速度大小； （3）轮缘上一个质量为m的钉子，随水车转动时需要的向心力大小。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由 可得水流从槽口到轮叶的运动时间 （2）由几何关系 可得水流打在轮叶上的速度大小 （3）轮缘上一个质量为m的钉子，随水车转动时需要的向心力大小 （二）速度反向延长线的结论应用 一、单选题 【典型例题1】如图所示光滑直管倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口到地面的竖直高度为；在距地面高为处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口处进入管内，设小球弹出点到管口的水平距离为，弹出的初速度大小为，重力加速度取。关于和的值，下列选项正确的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意可知，弹出后小球做平抛运动，到管口时的速度方向沿直管方向，根据平抛运动特点，做平抛运动的物体任意时刻速度方向的反向延长线交此前水平位移于中点，如图所示 根据几何关系得 小球在竖直方向做自由落体运动，可得小球从到的运动时间为 水平方向匀速运动有 故选A。 【变式训练2-2-1】在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示．现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，则刺客与墙壁的距离为(已知tan 37°＝，tan 53°＝)(　　) A.d B．2d C.d D.d 答案　C 解析　由平抛运动的推论知，把两飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x， －＝d . 解得x＝d. 【变式训练2-2-2】如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　) A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D．若小球初速度增大，则θ减小 【解析】①通过对落地点的速度分解，分析A、D两个选项． ②通过该过程中位移的分解，分析B、C两个选项． D　[如图所示，小球竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度为v0＝，选项A错误；平抛运动的时间t＝，由高度决定，与初速度无关，选项C错误；位移方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝＝，tan θ＝＝，则tan θ＝2tan α，但α≠，选项B错误；由于tan θ＝，若小球的初速度增大，则θ减小，选项D正确． 【变式训练2-2-3】从同一点水平抛出三个小球分别撞在竖直墙壁上a点、b点、c点，则(　　) A．落在a点的小球水平速度最小 B．落在b点的小球竖直速度最小 C．落在c点的小球飞行时间最短 D．a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点 D　根据h＝gt2得，t＝，则知落在c点的小球飞行时间最长．由x＝v0t得：v0＝，x相等，落在a点的小球飞行时间最短，则落在a点的小球水平速度最大．小球竖直速度vy＝gt，知落在a点的小球竖直速度最小，故ABC错误；根据推论：平抛运动的速度反向延长线交水平位移的中点，则知a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点，D正确． 题型03：平抛运动的图像问题 【典型例题1】如图所示为在探究平抛运动的实验中，某实验小组测得了物体水平方向位移随时间变化的图像和竖直方向速度随时间变化的图像。对于物体在内的运动，下列说法正确的是（　　）      A．物体在水平方向上做匀加速直线运动 B．物体在竖直方向上下落的高度约为 C．物体在水平方向上的速度大小约为 D．物体在相等时间内的速度变化量不断增大 【答案】C 【详解】A C．由图像知，物体在水平方向的运动为匀速直线运动，速度大小约为，故A项错误，C项正确； B．由图像知，物体在竖直方向做匀加速直线运动，加速度大小约为，图像与t轴围成的面积表示位移，则下落高度约为，故B项错误； D ．物体运动过程中，加速度恒定，则相等时间内的速度变化量相同，故D项错误。故选C。 【典型例题2】如图，将一小球从足够长的斜面上的O点，以初速率沿与斜面垂直向上的方向抛出，第一次落到斜面上的P点（未画出），O、P两点间的距离用x表示，小球刚落到P点时的动能、速度方向与斜面的夹角、垂直斜面向下的分速度大小分别用、α、表示。不计一切阻力，若仅改变初速率，则能正确反映、tanα、x、随或变化的图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】ABD 【详解】A．将小球的运动沿斜面方向和垂直于斜面方向分解，可知小球刚落到P点垂直斜面向下的分速度大小故A正确； B．沿斜面方向的加速度和垂直于斜面的加速度分别为，设小球落到斜面的时间为t，在垂直于斜面方向有沿斜面方向的速度为则速度方向与斜面的夹角的正切值为 可知速度方向与斜面的夹角为定值，故B正确； C．O、P两点间的距离为则x与是正比例函数关系，故C错误； D．小球刚落到P点时的动能为则与是正比例函数关系，故D正确；故选ABD。 【变式训练3-1】在德国举行的跳台滑雪世界杯女子大跳台比赛中，中国选手刘奇获得第8名，这是我国跳台滑雪选手近十年来在世界杯赛事中取得的最好成绩．跳台斜坡与水平面的夹角为，滑雪运动员从斜坡的起点A点水平飞出，当初速度为时，运动员恰好落到斜面底端B点，做平抛运动的飞行时间为，如图所示．现运动员以不同的初速度v从该斜坡顶端向左水平飞出，下面分别画出了运动员做平抛运动的初速度v和飞行时间t关系的图像，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，则运动员水平飞出后落在平面上，其运动时间均相等，不会随v变化；若，则运动员落在斜面上．设运动员运动时间为t，则其水平位移竖直位移；解得 故选A。 【变式训练3-2】某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ随时间t变化的图像如图所示(g取10 m/s2)，则(　　) A．第1 s内物体下落的高度为15 m B．第1 s内物体下落的高度为10 m C．物体的初速度为5 m/s D．物体的初速度是10 m/s 答案　D 解析　根据tan θ＝＝t，对应题图可得＝1，解得＝10 m/s，D正确，C错误；第1 s内物体下落的高度h＝g＝×10×m＝5 m，A、B错误． 【变式训练3-3】人们在探究平抛运动规律时，将平抛运动分解为沿水平方向的运动和沿竖直方向的运动．从抛出开始计时，图a(水平方向)和图b(竖直方向)分别为某一平抛运动两个分运动的速度与时间关系图象，由图象可知这个平抛运动在竖直方向的位移y0与在水平方向的位移x0的大小关系为(　　) 图a　　　　　　　图b A．y0＝x0 B．y0＝2x0 C．y0＝ D．y0＝ C　平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，在t0时间内水平位移x0＝v0t0，竖直位移y0＝v0t0 ，则y0＝x0；选项C正确． 【变式训练3-4】第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，北京成为奥运史上首个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市。跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一。如图，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡BC、停止区CD三部分组成；比赛中运动员从B运动到C可看成平抛运动。用E、P表示运动员在空中运动的机械能、重力的瞬时功率大小，用t表示运动员在空中的运动时间，下列图象中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．运动员从B运动到C，只有重力做功，运动过程中运动的机械能守恒，即机械能不随着时间而变化，A错误，B正确； CD．运动员从B运动到C平抛运动，则重力的瞬时功率，D错误，C正确。故选BC。 题型04：平抛运动的临界、极值问题 【解题指导】1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好达到某一方向． 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题． 1． 平抛运动的临界问题有两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好为某一方向． 2．解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题． 1．与平抛运动相关的临界情况 (1)有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点． (2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点． (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点． 2．分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹． 当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解． 【典型例题1】某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以20 m/s的速度沿水平方向反弹，球在墙面上反弹点距地面的高度在1.25 m至1.80 m之间，忽略空气阻力，g取10 m/s2，则球反弹后到第一次落地(　　) A．飞行的最短时间为0.6 s B．飞行的最长时间为1.1 s C．飞行的最远水平距离为10 m D．飞行的最大位移将超过12 m 答案　D 解析　球反弹后做平抛运动，根据h＝g，可得t＝，取＝1.25 m，可得＝0.5 s，取＝1.80 m，可得＝0.6 s，故A、B错误；球在水平方向做匀速直线运动，有＝·＝12 m，故C错误；球落地的最大位移＝＝ m＞12 m，故D正确． 【典型例题2】如图，在某次比赛中，排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD.已知网高为h，球场的长度为s，重力加速度为g，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为(　　) A．H＝2h B．H＝h C．v＝ D．v＝ 答案　D 解析　排球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，有x＝vt，则排球从初位置运动到网的位置与排球从初位置到落地的时间之比为∶＝∶s＝1∶2，排球在竖直方向上做自由落体运动，由H－h＝g，H＝g，＝＝，解得H＝h，故A、B错误；排球从被发出至落在B点的过程中有s＝vt，所以v＝＝＝，故C错误，D正确． 【典型例题3】无人机操作员练习使用无人机将模拟弹从楼顶右端上方投进如图所示楼房的窗户中，已知楼间距为l．窗户距楼顶高度为h，为更好地将模拟弹投进窗户，模拟弹以与水平方向较小角度进入窗户的效果更好，重力加速度为g．不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．无人机水平飞行速度越大越好 B．无人机应该斜向上飞行再投弹 C．无人机投弹的最佳位置是紧贴楼顶水平飞行 D．无人机投弹的最佳速度只能是 【答案】CD 【详解】A．由于两栋楼房的距离是固定的，模拟弹离开无人机后水平方向有 竖直方向有 则若无人机水平飞行速度过大，则有上述分析可知，其模拟弹运动时间将缩短，其竖直方向位移将变小，其将不会从窗户进入楼房，故A项错误； B．模拟弹进入窗户时，其与水平方向的夹角为，则有 若想模拟弹以与水平方向较小角度进入窗户，则应该减小竖直方向的速度，而若斜向上飞行后投弹，则初始时竖直方向就会做速度，则进入窗户时，设初始时模拟弹的速度方向与水平方向的夹角为α，模拟弹的数值方向速度为 其大于无人机开始时水平飞行的竖直方向速度，故无人机不应该斜向上飞行再投弹，而是水平方向飞行，故B项错误； CD．由上述分析可知，当无人机水平飞行投弹，此时水平方向有 竖直方向有， 则其夹角为 由此可知，若想角小，则其无人机投弹高度要小，即无人机应该紧贴楼顶飞行，则其最佳速度为 故CD正确； 故选CD。 【典型例题4】如图排球场，L=9m,球网高度为H=2m，运动员站在网前s=3m处，正对球网跳起将球水平击出，球大小不计，取重力加速度为g=10m/s. （1）若击球高度为h=2.5m,为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围; (2) 当击球点的高度h为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是出界？ 【答案】（1）3m/s＜v≤12m/s（2）2.13m 【详解】（1）当球刚好不触网时，根据h1−h＝gt12，解得：，则平抛运动的最小速度为：．当球刚好不越界时，根据h1＝gt22，解得： ，则平抛运动的最大速度为：，则水平击球的速度范围为3m/s＜v≤12m/s． （2）设击球点的高度为h．当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，情况是球刚好擦网而过，落地时又恰压底线上，则有：，其中x1=12m，x2=3m，h=2m，代入数据解得：h=2.13m，即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网． 【变式训练4-1】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　) A.＜v＜L1 B.＜v＜ C.＜v＜ D.＜v＜ 答案　D 解析　当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有：3h－h＝ g ①＝②联立①②两式，得＝当速度v最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有＝③3h＝ g④联立③④两式，得＝,所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为＜v＜，选项D正确． 【变式训练4-2】在第19届杭州亚运会女子排球决赛中，中国女排以3∶0战胜日本女排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕。如图所示，排球场的宽为d，长为2d，球网高为，发球员在底线中点正上方的O点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的E点，，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（    ） A．O点距地面的高度为 B．排球做平抛运动的时间为 C．排球击出时的速度大小为 D．排球着地时的速度大小为 【答案】C 【详解】AB．排球做平抛运动的轨迹在地面上的投影为，如图所示 显然 所以排球在左、右场地运动的时间之比为1∶2，设排球做平抛运动的时间为3t，有 ， 解得， 故AB错误； C．排球击出时的速度大小 故C正确； D．排球着地时的速度大小 故D错误。 故选C。 【变式训练4-3】如图甲所示，自动喂鱼投料机安装在鱼塘上方的水平平台上，投料口距水面的高度为1.25m。投料机开机运行时饵料通过机内小孔向下落入图乙所示的带挡板的银色转盘中，转盘在电动机的带动下转动将饵料甩出，从而实现自动投喂。某次投喂时调好电动机转速，饵料投送的距离在2m～17m的范围内，若忽略空气阻力的影响，取重力加速度，下列说法正确的是（        ）      A．饵料被水平甩出时的最大速度为17m/s B．饵料被水平甩出时的最小速度为1m/s C．增大投料机的安装高度同时减小电动机转速，饵料的最大投放距离一定增大 D．降低投料机的安装高度同时增大电动机转速，饵料的最大投放距离可以不变 【答案】D 【详解】A B．饵料被水平甩出后做平抛运动，竖直方向有得水平方向有又解得可得饵料被水平甩出时的最大径向速度为34m/s，最小径向速度为4m/s，A、B错误； C．增大投料机的安装高度同时减小电动机转速，t增大、v减小，可知饵料的最大投放距离可能增大，可能减小，也可能不变，C错误； D．降低投料机的安装高度同时增大电动机转速，v增大、t减小，可知饵料的最大投放距离可能增大，可能减小，也可能不变，D正确。故选D。 【变式训练4-4】一带有发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为4h，不计空气的作用，不考虑乒乓球旋转，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速度在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到网右侧的台面上，则速度的范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当速度最小时，球沿中线刚好过网，根据平抛运动规律有，解得 当速度最大时，球斜向右端台面的对角线发射，根据平抛运动规律有， 解得综上所述可知，使乒乓球落到网右侧的台面上的球的速度范围应为 故选D。 【变式训练4-5】小明家建造坯房时窗户开口竖直高度H=2.2m，已知墙壁的厚度。小明在离墙壁距离，距窗子上沿高处的点，将可视为质点的小物体以速度垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，取，则的取值范围约为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时最大。此时有；代入解得；恰好擦着窗口下沿左侧时速度最小，则有；解得； 故的取值范围是故选D。 【变式训练4-6】恰好越过位于水平地面上高为h的竖直挡板，然后落在水平地面上的D点，碰前碰后的速度水平方向不变，竖直方向等大反向。球2恰好越过挡板也落在D点，忽略空气阻力。挡板的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．设1、2球的初速度分别为、，从抛出到落到D点运动的时间分别为、则对两球在水平方向有 依题意所以 又因两球飞过竖直挡板前的水平位移相同，而速度的水平分量的关系为 故它们飞过挡板前的运动时间满足 设球1从第一次落地到飞至挡板顶端所用的时间为t，则上述关系可写为 球1第一次落地时速度的竖直分量为 到达挡板顶端时速度的竖直分量为 两者满足 联立方程并代入数据可得 故选B。 【变式训练4-7】利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏．如图所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好从纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角．若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是(　　) A．在P点将纸团以小于v的速度水平抛出 B．在P点将纸团以大于v的速度水平抛出 C．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出 D．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出 答案　C 解析　在P点将纸团以小于v的速度水平抛出，纸团下降到纸篓上边沿这段时间内，水平位移变小，纸团不能进入纸篓中，故A错误；在P点将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团下降到篓底的时间内，水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B错误；要使纸团进入纸篓且直接击中篓底正中间，分析临界状态可知，最可能的入篓点为左侧纸篓上边沿．若在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出，根据x＝v知，纸团水平位移可以减小且不会与纸篓的左边沿相撞，纸团有可能击中篓底正中间，故C正确；同理可得D错误． 【变式训练4-8】某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为(　　) A．0 B．0.1 m C．0.2 m D．0.3 m 答案　C 解析　小球从最高点到右端出口，机械能守恒，有mg(H－h)＝m，从右端出口飞出后，小球做平抛运动，有x＝vt，h＝g，联立解得x＝2，根据数学知识可知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确． 【变式训练4-9】如图所示，M、N是两块挡板，挡板M高h′＝10 m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面．从高h＝15 m的A点以速度v0水平抛出一小球(可视为质点)，A点与两挡板的水平距离分别为d1＝10 m，d2＝20 m．N板的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小可能是下列给出数据中的哪个(g取10 m/s2，空气阻力不计)(　　) A．8 m/s B．4 m/s C．15 m/s D．21 m/s 答案　C 解析　要让小球落到挡板M的右边区域，下落的高度为Δh＝h－h′＝5 m，由t＝得t＝1 s，由＝t，＝t，得的范围为10 m/s＜＜20 m/s，故C正确，A、B、D错误． 【变式训练4-10】一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球(可视为质点)以水平速度v从图示位置飞出，不计空气阻力，g取10 m/s2，欲打在第4级台阶上，则v的取值范围是(　　) A. m/s<v≤2 m/s B．2 m/s<v≤3.5 m/s C. m/s<v< m/s D．2 m/s<v< m/s 答案　A 解析　若恰好打在第3级台阶的边缘，则有：3h＝g,3l＝，解得＝ m/s，若恰好打在第4级台阶的边缘，则有4h＝g,4l＝，解得＝2 m/s，所以打在第4级台阶上应满足的条件： m/s<v≤2 m/s，A正确． 【变式训练4-11】如图所示，边长为a的正方体无盖盒子放置在水平地面上，O为直线B′A′延长线上的一点，且与A′的距离为a，将小球(可视为质点)从O点正上方距离2a处以某一速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g。为使小球能落在盒子内部，调整抛出方向，则小球抛出时的速度最大不超过(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　当小球恰好从C点落入盒子时水平速度最大，此时小球的水平位移为x＝OC′＝＝a，竖直位移为a，根据平抛运动的规律得a＝t，a＝g，联立解得＝，故选A. 【变式训练4-12】如图所示，乒乓球的发球器安装在足够大的水平桌面上，可绕竖直转轴OO′转动，发球器O′A部分水平且与桌面之间的距离为h，O′A部分的长度也为h，重力加速度为g。打开开关后，发球器可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去，≤v0≤2。设发射出去的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球可视为质点，空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO′在90°的范围内来回缓慢地水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面碰撞区域的面积S是(　　) A.2πh2 B.3πh2 C.4πh2 D.8πh2 答案　C 解析　设乒乓球做平抛运动的时间为t，则t＝，当速度最大时，水平位移具有最大值＝t＝2×＝4h，当速度最小时，水平位移具有最小值＝t＝×＝2h，其中、为的最大值和最小值，又因为发球器O′A部分长度也为h，故乒乓球的落点距竖直转轴距离的范围为3h≤x≤5h，乒乓球第一次与桌面碰撞区域是一个圆心角为90°的宽度为2h的环形带状区域，其面积为S＝×π[(5h)2－(3h)2]＝4πh2，故选C. 【变式训练4-13】如图，排球场地总长18m，网高2.25m，运动员在后场区底边（距中央网水平距离9米）正上方h高处跳起发球，假设排球被击出时的初速度是水平（且与底边垂直）方向的，可以认为排球是做平抛运动，。问：击球高度h满足什么条件时会出现无论球的水平初速度多大都会触网或越界？（    ）      A． B． C． D．不存在以上情况 【答案】A 【详解】排球做平抛运动，设击球高度为时，排球刚好从球网上过去，落地时又刚好压到界限。设从抛出运动到球网正上方的时间为，抛出到落地时间为，由平抛规律有；；；联立得如果击球高度球的初速度过大就会越界； 如果高度球的初速度过小就会触网。所以击球高度h满足时会出现无论球的水平初速度多大都会触网或越界。故选A。 【变式训练4-14】[多选]刀削面是很多人喜欢的面食之一，因其风味独特而驰名中外。刀削面全凭刀削，因此得名。如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片，面片便飞向锅中。若面团到锅上沿水平面的竖直距离为0.8 m，到锅最近的水平距离为0.5 m，锅的半径为0.5 m。要想使削出的面片落入锅中，则面片的水平速度可以是下列选项中的哪些(g取10 m/s2)(　　) A．1 m/s B．2 m/s C．3 m/s D．4 m/s 【解析】选BC　由h＝g知，面片在空中的运动时间t＝＝0.4 s，而水平位移x＝t，故面片的初速度＝，将＝0.5 m，＝1.5 m代入得面片的最小初速度＝＝1.25 m/s，最大初速度＝＝3.75 m/s，即1.25 m/s≤≤3.75 m/s，选项B、C正确。 【变式训练4-15】如图所示，甲同学爬上山坡底端C点处的一棵树，从树上Q点正对着山坡水平抛出一个小石块，石块正好垂直打在山坡中点P。乙同学（身高不计）在山坡顶端的A点水平抛出一个小石块，石块也能落在P点。已知山坡长度，山坡与水平地面间夹角为，重力加速度为g，空气阻力不计，，，则（　　） A．甲同学抛出的小石块初速度大小为 B．甲同学抛出的小石块初速度大小为 C．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 D．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 【答案】AD 【详解】设甲抛出小石子的初速度为，Q点相对于P点的竖直高度为H，则 甲抛出的小石块落在P点时竖直方向的速度 甲抛出小石块的水平位移 联立可得 对乙同学 解得 甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 选项BC错误，AD正确。 故选AD。 【变式训练4-16】某天，小陈同学放学经过一座石拱桥，他在桥顶A处无意中把一颗小石子水平沿桥面向前踢出，他惊讶地发现小石子竟然几乎贴着桥面一直飞到桥的底端D处，但是又始终没有与桥面接触。他一下子来了兴趣，跑上跑下量出了桥顶高OA=3.2m，桥顶到桥底的水平距离OD=6.4m。这时小陈起一颗小石，在A处，试着水平抛出小石头，欲击中桥面上两块石板的接缝B处（B点的正下方B′是OD的中点），小陈目测小石头抛出点离A点高度为1.65m，下列说法正确的是（　　）    A．石拱桥为圆弧形石拱桥 B．小陈踢出的小石头速度约为6.4m/s C．小陈抛出的小石头速度约为4.6m/s D．先后两颗小石子在空中的运动时间之比为2:1 【答案】C 【详解】A．石头做平抛运动，石子几乎贴着桥面一直飞到桥的底端D处，且始终没有与桥面接触，则石拱桥为抛物线形石拱桥，故A错误； B．石头做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，水平方向，有 竖直方向，有代入数据联立解得，故B错误； C．小陈踢出的石子经过B点时，水平方向的位移为总位移的，则时间为总时间的，A和B竖直方向的距离为小陈抛出的小石头做平抛运动，水平方向的位移为 竖直方向位移为代入数据解得，故C正确； 先后两颗小石子在空中的运动时间之比为故D错误。故选C。 【变式训练4-17】在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示.P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒.高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h. (1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围. 答案　(1)　(2)≤v≤L 解析　(1)打在AB中点的微粒，则 h＝g 解得t＝. (2)设打在B点的微粒初速度为，则 ＝，2h＝g 解得＝ 同理，设打在A点的微粒初速度为，则 ＝L 所以微粒初速度范围为≤v≤L. 【变式训练4-18】如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m．运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出．(取g＝10 m/s2，不计空气阻力) (1)设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度v0在什么范围内才能使球既不触网也不出界？ (2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度． 答案　(1)3 m/s<≤12 m/s (2) m 解析　(1)如图甲所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平抛运动的规律，由x＝t和h＝g可得，当排球恰好触网时有 ＝3 m，＝① ＝2.5 m－2 m＝0.5 m，＝g② 由①②可得＝3 m/s. 当排球恰不出界时有 ＝3 m＋9 m＝12 m，＝③ ＝2.5 m，＝g④ 由③④可得＝12 m/s. 所以排球既不触网也不出界的速度范围是3 m/s<≤12 m/s. (2)如图乙所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹．设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有 ＝3 m，＝′⑤ ′＝h－2 m，′＝g⑥ ＝3 m＋9 m＝12 m，＝v0t2′⑦ ′＝h＝g⑧ 联式⑤⑥⑦⑧式可得，高度h＝ m. 【变式训练4-19】将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于。为了观察到“水漂”，某同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，观察到在水面跳了三次，第四次已不能从水面跳起。石子每次与水面接触后水平方向的速度方向不变大小减为接触前的一半、竖直方向的速度方向反向大小减为接触前的四分之三。不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g，求： （1）第一次落至水面时竖直方向的速度大小； （2）抛出速度大小的范围。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）第一次接触水面时竖直方向有 可得第一次落到水面上时的竖直速度 （2）设抛出速度大小为，由题意可知第三次落到水面时水平方向速度为，竖直方向速度为 则 第四次落到水面时水平方向速度为，竖直方向速度为 则 解得石子抛出速度范围为 题型05：平抛运动中的追击相遇问题 【典型例题1】如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇的过程中，下列说法正确的是（　　） A．相遇时间变为 B．相遇时间变为 C．相遇点的高度下降了 D．相遇点的位置在原来的左下方 【答案】C 【详解】AB．设第一次抛出时A球的速度为，B球的速度为，则A、B间的水平距离 第二次两球的速度为第一次的，但两球间的水平距离不变，则联立得 故AB错误； CD．两次相遇位置的高度差两次相遇A球水平位移 相遇位置在原来的正下方，故C正确，D错误。故选C。 【典型例题2】在同一水平直线上的两位置分别沿同水平方向抛出两小球A和B，两球相遇于空中的P点， 它们的运动轨迹如图所示。不计空气阻力，下列说法中正确的（　　） A．在抛出时，A 球的速度大小小于 B 球的速度大小 B．在抛出时，A 球的速度大小可能等于 B 球速度大小 C．抛出时，先抛出 A 球后抛出 B 球 D．抛出时，两球同时抛出 【答案】D 【详解】CD．A、B两球都做平抛运动，相遇时竖直位移h相同，由可知两球下落时间相同，即应同时抛出两球，故C错误D正确； AB．因两球同时抛出，水平方向上都做匀速直线运动，由于A的水平位移比B的水平位移大，由 知A的初速度比B的大，故AB错误。故选D。 【典型例题3】如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为和h，将两球水平抛出后，不计空气阻力，两球落地时的水平位移分别为s和。重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．A、B两球的初速度大小之比为1：4 B．A、B两球的运动时间之比为 C．两小球运动轨迹交点的水平位移为 D．两小球运动轨迹交点的离地高度 【答案】D 【详解】AB．小球做平抛运动，竖直方向有；，A球运动时间 B球运动时间所以由得结合两球落地时位移之比可知A、B两球的初速度之比，故AB错误； CD．两球相交时，水平方向位移相同，因此有，B球下落高度；A球下落的高度 ，各式联立得，两小球运动轨迹交点的高度两小球运动轨迹交点的水平位移，联立解得，C错误D正确。故选D。 【典型例题4】如图所示，从同一竖直线上不同高度处的两点，分别以速率v1、v2同向水平抛出两小球A、B，它们恰好在P点相遇。不计空气阻力，空间足够大，下列说法正确的是（　　） A．v1<v2 B．两球在P点一定具有相同的速率 C．若同时抛出，两球不可能在P点相遇 D．若同时抛出，落地前两球在竖直方向上的距离逐渐变大 【答案】AC 【详解】A．两球在竖直方向上做自由落体运动，到相遇点P时下降高度>，根据知飞行时间>，即两球不同时抛出，两球在水平方向上做匀速运动，有x=t，水平位移x相同，故初速度<，A正确； B．因球到达P点时的竖直分速度=gt因>，故>，又球在P点速率而水平分速度<，故不能确定两球在P点速度的大小关系，B错误； C．若同时抛出，因A球到达P点所需时间较长，故两球不可能在P点相遇，C正确； D．若同时抛出，两球在竖直方向上的相对初速度和相对加速度均为零，即在竖直方向上两球相对静止，故落地前两球在竖直方向上的距离等于初始距离，保持不变，D错误。故选AC。 【变式训练5-1】如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球S1以初速度v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球S2以初速度v竖直向上抛出。在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计地面阻力和空气阻力。则两球在这段过程中（　　） A．两球均做变加速运动 B．相遇时小球S1，的速度方向与水平方向夹角为30° C．相遇点在N点上方处 D．MN距离为2h 【答案】C 【详解】A．由于两个球都只受到重力的作用，加速度都是重力加速度，加速度恒定，做的都是匀变速运动，而非变加速运动，故A错误。 B．两球运动时间为相遇时小球竖直分速度为因此夹角为45°，故B错误。 C．小球竖直位移小球竖直位移，联立解得故C正确。 D．根据平抛运动推论，小球位移与水平夹角的正切值为速度偏转角正切值的一半，所以水平位移为h，故D错误。故选C。 【变式训练5-2】在水平面上M点的正上方0.3m高度处，将A球以初速度水平向右抛出，在M点右侧地面上N点处，将B球以初速度斜向左上方45°角抛出，A球、B球水平距离为0.9m，不计空气阻力，以下说法正确的是（　　） A．若两球同时抛出，经过0.1s后相遇 B．若两球同时抛出，相遇时速度变化量相等 C．若两球同时抛出，相遇时水平位移相同 D．若两球分别抛出并未相遇，落地后不反弹，则两球在空中运动时间相等 【答案】B 【详解】AC．两球同时抛出，相遇时水平方向有（v1+v2cos45°）t=0.9m解得 而竖直方向则两球恰能相遇；因为 v1t≠v2cos45°t即相遇时水平位移不相同，故AC错误； B．抛出后，水平方向上两球做匀速直线运动，竖直方向上做匀变速运动，速度的变化量为△v=gt，从抛出到相遇，两球运动的时间t相同，所以相遇时速度变化量相等，故B正确； D．在竖直方向上，两球做匀变速运动，对于A球有h=gt12解得对于B球有 解得则两球在空中运动时间不相等，故D错误。故选B。 【变式训练5-3】如图所示，在体育课上进行篮球训练时，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度h1比乙同学抛出点的高度h2大，不计空气阻力，篮球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．乙同学比甲同学先将篮球抛出 B．两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长 C．乙同学抛出的篮球初速度一定大 D．甲同学抛出的篮球在相遇前的水平位移一定小 【答案】B 【详解】A．篮球抛出后做平抛运动，竖直方向由可知由于，要使两球在P点相遇，则乙同学比甲同学后将篮球抛出，故A错误； B．篮球抛出后做平抛运动，竖直方向由可知在相遇前，甲同学抛出的篮球下落的高度更大，所以两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长，故B正确； C．由图可知，乙同学抛出的篮球在相遇时的水平位移更小，所用时间也更小，则不能确定乙同学抛出的篮球初速度是否更大，故C错误； D．由图可知，甲同学抛出的篮球在相遇前的水平位移更大，且水平位移取决于下落的高度与水平初速度的大小，故D错误。故选B。 【变式训练5-4】同一水平线上相距的两位置沿相同方向水平抛出两小球甲和乙，两球在空中相遇，运动轨迹如图所示。不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．甲球要先抛出才能相遇 B．甲、乙两球必须同时抛出才能相遇 C．从抛出到相遇过程中，甲球运动的时间更长 D．两球相遇时乙球加速度更大 【答案】B 【详解】ABC．由于相遇时甲、乙做平抛运动的竖直位移h相同，由可以判断两球下落时间相同，即应同时抛出两球，AC错误B正确； D．两球都做平抛运动，加速度都为g，D错误。故选B。 【变式训练5-5】如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度同时水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则（　　）    A．A与B一定在空中相遇 B．A比B先落地 C．A的初速度比B的大 D．A和B的位移大小相等 【答案】D 【详解】A．两球均做自由落体运动，同时抛出的高度不同，则在空中不可能相遇，A错误； B．根据得可知，B比A先落地，B错误； C．根据，A球水平位移小，运动时间长，则A的初速度比B的小，C错误； D．两球位移大小均为，D正确。故选D。 【变式训练5-6】如图所示，小球A以某一速度水平向右抛出，同时，小球B斜向左上方以速度抛出，方向与竖直方向夹角θ=37°，两球抛出后在同一竖直面内运动，当小球B到达最高点时，小球A刚好与之相碰，相碰时，小球A的速度方向与水平方向的夹角为53°，不计空气阻力，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（　　） A．小球A抛出的初速度大小等于 B．小球A抛出的初速度大小等于 C．两球抛出点的高度差为 D．两球抛出点的高度差为 【答案】C 【详解】AB．小球B上升到最高点时，有解得相碰时，对小球A，有， 解得故AB错误； CD．由题意可得，在竖直方向有解得故C正确，D错误。故选C。 【变式训练5-7】如图所示，将甲、乙两个相同的小球分别以初速度、同时水平抛出，已知抛出点乙在甲的正上方且离水平面的高度是甲的4倍，落地点到拋出点的水平距离也是甲的4倍，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．乙的初速度是甲的倍 B．它们落地时的速度方向相同 C．乙从抛出到落地的运动时间是甲的4倍 D．甲落地前，乙一直在甲的正上方 【答案】B 【详解】AC．竖直方向，根据，可得 结合题意可知乙运动的时间是甲的2倍，即 水平方向 结合题意可知乙的初速度是甲的2倍，即，故AC错误； B．落地时甲竖直方向的速度 落地时乙竖直方向的速度 设速度与竖直方向的夹角为，则，代入数据可知它们落地时的速度方向相同，故B正确。 D．由可知，相等时间内，水平方向乙的位移较大，可知甲落地前，乙不可能在甲的正上方，故D错误。 故选B。 【变式训练5-8】（多选）亲子游戏有益于家长与孩子之间的情感交流。如图，父亲与儿子站在水平地面玩抛球游戏，两人相向站立，各持一小球并将球水平抛出，下述抛球方式可能使两球在落地前相遇的有（　　） A．父亲先将球抛出 B．儿子先将球抛出 C．两人同时将球抛出 D．父亲下蹲适当高度后再与儿子同时将球抛出 【答案】AD 【详解】ABC．要想使两球在落地前相遇，则父亲扔出的球的竖直位移较大，则根据 可知，时间超长，即父亲先将球抛出，故A正确，BC错误； D．若父亲下蹲适当高度与儿子高度相同，再与儿子同时将球抛出，则两球在相同时间内下落相同的高度，则也能相遇，故D正确。 故选AD。 【变式训练5-9】（多选）如图所示为一半球形的坑，坑边缘上M、N两点与圆心等高且在同一竖直面内。两位同学分别在M、N两点，同时将甲、乙两小球分别以、的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑壁上Q点，Q、是半球上的两个对称点（如图），已知，忽略空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．两球抛出的速率之比为 B．从N点水平抛出的小球，控制抛出速度的大小，小球有可能垂直砸到坑壁上 C．两球同时落在Q点与同时落在点，两次抛出两球的速率之和相等 D．若抛出时两球速度大小相等，且两球恰好相碰于坑壁上，则两球在空中运动时间最长 【答案】ACD 【详解】A．由于两球抛出的高度相等，则运动时间相等 由几何关系可知 所以两球抛出的速率之比为，A正确； B．若仅从N点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球垂直坑壁落入坑中的A点，则由平抛运动速度的反向延长线OA过水平位移的中点可知，而O点不可能是水平位移的中点，故小球不可能垂直坑壁落入坑中，B错误； C．要使两小球落在坑中的同一点，必须满足与之和与时间的乘积等于半球形坑的直径，即 Q、是半球上的两个对称点，它们距离水平面的竖直高度相同，故t相同，所以两球抛出的速率之和相等，C正确； D．由可知，小球下落的竖直高度越大，在空中运动时间越长，故小球打在半球形的坑的最低点（O点正下方的坑壁）时，其在空中运动时间最长。若两小球都砸到这一点，则有 故两小球抛出时速度大小相等，D正确。 故选ACD。 【变式训练5-10】如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h（l、h均为定值）。将A向B水平抛出的同时，B自由下落。A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则下列判断正确的是（　　） A．A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度 B．A、B在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰 C．A、B有可能运动到最高处相碰 D．A、B一定不能相碰 【答案】AC 【详解】BD．根据题意可知，两小球A、B位于同一高度，A做平抛运动，B做自由落体运动，由于A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，两球始终在同一高度，水平间距逐渐缩小，则两小球一定能相碰，故BD错误； A．假设两小球落地时恰好相碰，则有；解得可知，若小球A的抛出速度大于，则A、B在第一次落地前相碰，若小球A的抛出速度小于，则A、B在第一次落地后相碰，故A正确； C．假设两小球运动到最高处相碰，则有；解得即当小球A以速度抛出时，两小球运动到最高处相碰，故C正确。故选AC。 【变式训练5-11】如图，两个弹性球P、Q在距离水平地面一定高度处，若给P水平向右的初速度（），同时释放Q，（两球在同一竖直面内运动）两球与地面接触时间可忽略不计，与地面接触前后水平方向速度不变，竖直方向速度大小不变，方向相反。忽略空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．如果P、Q不在同一水平面，只要合适两球即可相碰 B．如果P、Q不在同一水平面，无论为何值两球均不能相碰 C．如果P、Q在同一水平面，无论为何值两球均可相碰 D．如果P、Q在同一水平面，只有取恰当值两球才可相碰 【答案】AC 【详解】两球同时释放，若两球不自同一水平面释放，两球竖直方向做自由落体运动，与地面接触后做竖直上抛运动。因此两球会同时出现在同一水平面内，只要合适两球即可相碰；两球在同一水平面释放，以其中一个球为参考系，另外一个球在竖直方向静止，水平匀速，无论为何值，两球一定相碰，故选AC。 【变式训练5-12】某飞机在P点投下一枚炸弹并快速离开，同时被地面雷达S捕捉并发射炮弹，如图所示，炸弹从O点的正上方离地h高处的P点以v1的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度v2斜向左上方，与水平方向夹角为θ方向发射炮弹，炮弹和炸弹恰在O、S连线的中点正上方相遇。若不计空气阻力，则两物体抛出后至相遇过程（　　） A．炮弹发射角 B．两弹相遇时间 C．两弹速度对时间的变化率相同 D．两弹相遇点一定在距离地面高高度处 【答案】AC 【详解】A．炮弹和炸弹恰在O、S连线的中点正上方相遇，所以水平方向位移等大，则水平速度等大，即则故A正确； B．炮弹和炸弹竖直方向位移大小分别为则两弹相遇时间故B错误； C．两弹速度对时间的变化率是重力加速度，相同，故C正确； D．两弹相遇点距离地面高度为可得因为不知道炮弹的初速度与角度，故无法确定两弹相遇点距离地面的高度，故D错误。故选AC。 【变式训练5-13】如图，物体甲从高H处以速度平抛，同时乙从乙距甲水平方向s处由地面以初速度竖直上抛，不计空气阻力，则两物体在空中相遇的条件是（　　）    A．从抛出到相遇的时间为 B．若要在物体乙上升中遇甲，必须， C．若要在物体乙下降中遇甲，必须， D．若相遇点离地高度为，则 【答案】ABD 【详解】A．由题意可知，若两物体在空中能够相遇，则在竖直方向应满足 代入数据解得故A正确； BC．由于物体甲、乙的加速度相同，可知甲、乙相对匀速，相遇时间为或，则有若要在物体乙上升中遇甲，则有 解得若要在物体乙下降中遇甲，则有解得故B正确，C错误； D．若相遇点离地高度为，则有又联立解得故D正确。故选ABD。 【变式训练5-14】如图所示，倾角为37°的斜面长l=1.9m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v03m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块，小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则（　　） A．小球在空中飞行的时间为0.3s B．小球抛出点到斜面P点的水平距离为1.2m C．小滑块沿斜面下滑的加速度为6m/s2 D．小球抛出点到斜面底端的竖直高度为1.7m 【答案】BD 【详解】A．球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块，则解得小球在空中飞行的时间t=0.4s选项A错误； B．由得小球抛出点到斜面P点的水平距离x=1.2m选项B正确； C．根据几何关系可得斜面顶端A点到P点的距离又得a=5m/s2选项C错误； D．小球抛出点到斜面底端的竖直高度=1.7m选项D正确。故选BD。 【变式训练5-15】如图所示，在距地面高为的A处以水平初速度投掷飞镖，与A点水平距离为的水平地面上的B点有一个气球，选择适当时机让气球以速度匀速上升，在升空过程中恰好被飞镖击中。飞镖在飞行过程中空气阻力不计，飞镖和气球均视为质点，重力加速度为g。 （1）求飞镖击中气球时，飞镖竖直方向的分速度大小； （2）求开始掷飞镖和放气球两个动作之间的时间间隔； （3）假设飞镖击穿气球后，水平方向分速度保持不变，竖直方向分速度减小为击穿前的二分之一，求飞镖的落地点与B点的水平距离x。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）从飞镖飞出到击中气球过程中，对飞镖来说 飞镖击中气球时，飞镖竖直方向的分速度大小 （2）飞镖的竖直位移 气球上升的位移 气球上升的时间 两个动作之间的时间间隔为 （3）竖直方向上速度变为 根据运动学公式 解得，飞镖的落地点与B点的水平距离 题型06：斜面上的平抛问题 （一）顺着斜面平抛斜面倾斜角是“位移”偏向角 (1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如图) 处理方法：分解位移. x＝v0t y＝gt2 tan θ＝ 可求得t＝. (2)物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下(如图) 处理方法：分解速度 vx＝v0，vy＝gt tan θ＝ t＝. 【典型例题1】如图所示，在某次跳台滑雪比赛中，运动员以初速度从跳台顶端A水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B点，运动员运动到P点时离倾斜赛道最远，P点到赛道的垂直距离为PC，P点离赛道的竖直高度为PD，赛道的倾角为，重力加速度为g，空气阻力不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。则C、D两点间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对运动员在空中的运动沿平行斜面和垂直斜面方向分解可知，运动员从A运动到P点和从P点运动到B点所用时间相等，因此运动员沿平行斜面方向的分运动从A到C的时间与从C到B的时间相等，运动员沿平行斜面做加速度为的匀加速运动，设整个运动时间为t，则 由于从A到P的水平位移与从P到B的水平位移相等，因此 则 运动员做平抛运动有 ， 又 解得 则 故选A。 【典型例题2】可视为质点的运动员从P点以的速度水平飞出，若不计空气阻力，运动员在空中飞行3s后落在斜面上Q点。简化示意图如图所示，已知：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取。则运动员由P到Q的过程中（    ） A．水平初速度大小为30m/s B．水平初速度大小为20m/s C．P到Q的位移大小为45m D．P到Q的位移大小为60m 【答案】B 【详解】AB．运动员由P到Q的过程中，有 可得水平初速度大小为 故A错误，B正确； CD．运动员由P到Q的过程中，水平位移为 则P到Q的位移大小为 故CD错误。 故选B。 【典型例题3】如图所示，水平面上固定一个斜面，从斜面顶端向右平抛一只小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，飞行时间为t0。现用不同的初速度v从顶端向右平抛这只小球，以下能正确表示平抛的飞行时间t随v变化的关系是(　　) 【解析】选A　当小球落在斜面上时，有：tan θ＝＝＝，解得：t＝，与速度v成正比。当小球落在地面上，根据h＝g，解得：t＝，可知运动时间不变。所以t与v的关系图线先是过原点的一条倾斜直线，然后是平行于横轴的直线 【变式训练6-1-1】如图所示，物体在倾角为θ、足够长的斜面上做平抛运动，最终落在斜面上，从抛出到第一次落到斜面上的过程，下列说法正确的是（　　） A．物体在空中运动的时间与初速度成正比 B．落到斜面上时、速度方向与水平面的夹角随初速度的增大而增大 C．抛出点和落点之间的距离与初速度成正比 D．物体在空中运动过程中，离斜面的最远距离与初速度成正比 【解答】解：A、物体在倾角为θ、足够长的斜面上做平抛运动，最终落在斜面上，则位移与水平面之间的夹角为θ，这个合位移可以分解为竖直方向的位移y以及水平方向的位移x，设初速度为，则有tanθ，解得t，由于θ值以及g值一定，所以物体在空中运动的时间与初速度成正比，故A正确； B、落到斜面上时，设速度方向与水平面的夹角为α，tanα，把t值代入得，tanα＝2tanθ，由于θ值一定，α也一定，与初速度无关，故B错误； C、抛出点和落点之间的距离即合位移大小，设为l，l，把t值代入得l，抛出点和落点之间的距离与初速度的平方成正比错误，而不是和初速度成正比，故C错误； D、可以把初速度和重力加速度分解来求解物体在空中运动过程中离斜面的最远距离，分解为垂直于斜面的速度和沿着斜面的速度，其中＝sinθ，重力加速度分解为垂直斜面的加速度和沿着斜面的加速度，其中＝gcosθ，在垂直斜面方向上速度减为0距离斜面最远，设最远距离为d，d，物体在空中运动过程中离斜面的最远距离与初速度平方成正比，故D错误。 故选：A。 ，故A正确，B、C、D错误。 【变式训练6-1-2】2022年北京冬奥会已经圆满举办，其中高台跳雪是冬奥会最具有观赏的比赛项目之一。如图为某运动员比赛时的示意图，跳雪运动员从水平雪道末端以一定的初速度沿水平方向向左飞出，不计空气阻力，则运动员从飞出至落到雪坡（可视为斜面）上的整个过程中，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．运动员飞行的时间与初速度平方成正比 B．运动员飞行的位移与初速度平方成正比 C．重力的冲量与初速度的平方成正比 D．重力做功的平均功率与初速度的平方成正比 【答案】B 【详解】A．由平抛运动的规律有 整理后有 A错误； B．令运动员飞行的位移为s，有 整理后有 B正确； C．重力的冲量 C错误； D．重力做功的平均功率 D错误。 故选B。 【变式训练6-1-3】如图所示，在竖直平面中，有一根水平放置的，长度为L的不可伸长的轻绳，绳的一端固定在O点，另一端连有质量为m的小球。现从A点静止释放小球，当小球运动到O点正下方B点时，绳子突然断裂。B点位于斜面顶端，斜面足够长，倾角为θ，则下面的说法正确的是（　　） A．小球落至斜面所需的时间为2 B．小球落至斜面所需的时间为 C．小球落至斜面C点与B点的距离为4Ltanθ D．小球落至斜面C点与B点的距离为4L 【解答】解：AB．小球AB过程，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律有，，解得；小球BC过程做平抛运动，根据平抛运动规律有，解得，所以从A点静止释放小时下落时间应包括AB过程所用时间，所以小球落至斜面所需的时间大于t，故AB错误； CD．小球BC过程做平抛运动，有，小球落至斜面C点与B点的距离为，故C错误，D正确。 故选：D。 【变式训练6-1-41】冬奥会上运动员滑雪的示意图如图所示。运动员（可视为质点）从A点由静止滑下，到达B点后水平飞出，落到斜面上的C点，不计一切摩擦和空气阻力。已知A、B两点的高度差为，段斜面与水平面之间的夹角为，重力加速度为，则下列说法中正确的是（    ）      A．运动员从A点由静止滑下后到达B点时的速度大小为 B．运动员从B点运动到C点所用的时间为 C．B、C两点之间的距离为 D．运动员在空中的运动速度方向与斜面平行时，与斜面之间的距离最大 【答案】BD 【详解】A．运动员从高为的A点由静止滑下，到达点后水平飞出，根据动能定理，可得 解得选项A错误； BC．设点与点之间的距离为，运动员在空中做平抛运动，有 联立解得 选项B正确、C错误； D．把运动员在空中的运动分解成沿斜面向下的初速度为、加速度大小为的匀加速直线运动，和垂直斜面向上的初速度为、加速度大小为的匀减速直线运动，当垂直斜面的分速度减到0时，即，即速度方向与斜面平行时运动员离斜面最远，选项D正确。 故选BD。 【变式训练6-1-5】冬奥会跳台滑雪比赛在国家跳台滑雪中心“雪如意”举行，跳台滑雪主要分为四个阶段：助滑阶段、起跳阶段、飞行阶段和着陆阶段。某大跳台的着陆坡是倾角θ=37°的斜面。比赛中某质量m=80kg（包括器械装备）的运动员脚踏滑雪板沿着跳台助滑道下滑，在起跳点 O点以v0=20m/s的水平速度腾空飞出，身体在空中沿抛物线飞行落至着陆坡上的 M点后，沿坡面滑下并滑行到停止区，最终完成比赛，如图所示。已知B 点（图中未画出）是该运动员在空中飞行时离着陆坡面最远的点，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，以起跳点 O点所在的平面为0势能面，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员在B点时的速度变化率大小为10m/s2 B．B点距离着陆坡面的距离为9 m C．O、M间的距离为125m D．运动员从O 点到B 点的位移大小等于从B点到M点的位移大小 【答案】AB 【详解】A．由题意可知，运动员在B点的速度变化率为 故A正确； B．将运动员的速度和加速度分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，垂直于斜面方向有 运动员从O点到B点的时间 B点到着陆坡的距离 故B正确； C．运动员从O点到M点的飞行时间 O、M间的水平距离 O、M间的距离 故C错误， D．从O点到B点和从B点到M点的时间相同，水平位移相同，竖直位移不相同，合位移不相同，故D错误。故选AB。 【变式训练6-1-6】如图所示，运动员踏着专用滑雪板（可视为质点）在助滑路上获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动非常惊险。已知一位运动员由斜坡顶端A点沿水平方向飞出的速度，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ取37°，斜坡可以看成一斜面。（不计空气阻力，g取，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求： （1）运动员在空中飞行的时间； （2）A、B间的距离； （3）运动员从A点飞出后，经多长时间离斜坡的距离最远，最远距离为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）运动员由A点到B点做平抛运动，水平方向的位移 竖直方向的位移 由平抛运动规律 联立以上三式得运动员在空中飞行的时间 （2）由题意知 联立（1）中的公式，解得A、B间的距离 （3）如图所示，当运动员的速度与斜坡平行时，运动员离斜坡的距离最远，设所用时间为，则 联立解得， 离斜坡的最远距离 代入数据可得 （二）顺着斜面（圆弧）平抛斜面倾斜角是“速度”偏向角 1.从斜面外恰好与斜面平行的方向落到斜面(如图)： 合速度与水平速度的夹角等于斜面倾角，常用速度关系tan θ＝＝. 2.从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 【典型例题1】如图所示，以速度从O点水平抛出的小球，抵达光滑固定的斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ做匀加速直线运动，已知斜面倾角为（，），不计空气阻力，取重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．O点到P点的竖直距离为0.45m B．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大 C．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地时间将变小 D．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地速度不变 【答案】AC 【详解】A．由题意可知，小球落到斜面上时速度偏转角为，则有 解得 又因为解得故A项正确； B．小球做平抛运动时的加速度为，小球在斜面上运动时 解得故B项错误； C．由于小球在斜面上的加速度，由之前分析可知为，则小球在斜面上运动时，在竖直方向的加速度为 由此可知，有斜面时，小球在竖直方向上的加速度小于重力加速度，所以撤去斜面后，小球的下落时间变小，故C项正确； D．根据机械能守恒得 撤去斜面，h不变，则落地的速率v不变，但是速度方向不同，故D项错误。 故选AC。 【典型例题2】如图所示，从a点以初速度v0=6m/s水平抛出一质量m=0.5kg的小球（视为质点），小球恰好从竖直放置的光滑圆弧轨道的b点沿切线进入圆弧轨道，经过最低点c，最后从d点飞出圆弧轨道。已知圆弧轨道半径R=l.2m，bc段圆弧所对的圆心角α=60°，O为圆心，Od为水平半径，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2。则下列分析错误的是（　　） A．a、b两点的高度差为5.4m B．小球在c点时对圆弧轨道的压力大小为70N C．小球在d点时对圆弧轨道的压力大小为55N D．小球从d点离开后还能上升的高度为4.8m 【答案】D 【详解】A．小球恰好从竖直放置的光滑圆弧轨道的b点沿切线进入圆弧轨道，则有 解得h＝5.4m故A正确，不符合题意； B．规定c点为零势能面根据能量守恒可得 在c点由牛顿第二定律 解得故B正确，不符合题意； C．由牛顿第二定律和机械能守恒定律 解得故C正确，不符合题意； D．由公式可得解得故D错误，符合题意。故选D。 【变式训练6-2-1】如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，由tan θ＝＝，可得竖直方向的位移y＝R，而＝2gy，tan 30°＝，联立解得＝，选项A正确． 【变式训练6-2-2】如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，AB为沿水平方向的直径.若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D点；而在C点以初速度v2沿BA方向平抛的小球也能击中D点.已知∠COD＝60°，则两小球初速度大小之比为(小球视为质点)(　　) A.1∶2 B.1∶3 C.∶2 D.∶3 答案　D 解析　小球从A点平抛击中D点：R＝，R＝g；小球从C点平抛击中D点：Rsin 60°＝，R(1－cos 60°)＝g，联立解得＝，D正确，A、B、C错误. ，故A、B两个小球运动时间之比为∶＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，选项D正确，A、B、C错误． 【变式训练6-2-3】如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，对在B点时的速度进行分解，小球运动的时间t＝＝，则A、B间的水平距离x＝t＝，故A正确，B、C、D错误． 【变式训练6-2-4】如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60 °，则C点到B点的距离为(　　) A. B. C. D．R 答案　A 解析　由题意知小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有＝tan 60°，小球从C到D，水平方向有Rsin 60°＝t，竖直方向上有y＝t，解得y＝R，故C点到B点的距离为s＝y－R(1－cos 60°)＝，故选A. （三）对着斜面平抛“垂直”打在斜面上斜面倾斜角为“速度”偏向角的余角 对着斜面平抛 垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下(如图) 处理方法：分解速度. vx＝v0 vy＝gt tan θ＝＝ 可求得t＝. 【典型例题1】如图所示，倾角为的斜面体固定在水平面上，小球在斜面底端正上方以速度向右水平抛出，同时，小球在斜面顶端以速度向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，，。则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小球A垂直打在斜面上，如图所示： 根据几何关系可得 对于小球B 联立得 = 故选D。 【典型例题2】如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，从斜面底端正上方某高度处的A点，第一个小球以水平速度抛出，经过时间t1恰好垂直打在斜面上；第二个小球由静止释放，经过时间t2落到斜面底端，不计空气阻力，则时间t1和时间t2的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】第一个小球恰好垂直打在斜面上，有 设第一个小球打在斜面上时水平位移为，竖直方向的位移为，有 则 A点与斜面底端高度差为 根据动力学公式， 时间和时间的比值为 故选D。 【变式训练6-3-1】如图所示，以10m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，则飞行时间t是（g取10m/s2）（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：物体做平抛运动，当垂直地撞在倾角为30°的斜面上时，把物体的速度分解如图所示， 由图可知，此时物体的竖直方向上的速度的大小为 由＝gt可得，运动的时间为： 。故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式训练6-3-2】如图，有一倾角为，高为H的斜面，现将两个小球a、b分别以不同的水平速度抛出。小球a在斜面的底端正上方某点抛出，恰好垂直击打在斜面的中点，小球b从斜面顶端抛出，也落在斜面的中点。则）（　　）    A．小球a、b的下落时间之比 B．小球a、b的水平初速度之比 C．小球a、b的竖直位移之比 D．小球a离斜面底端的竖直高度为 【答案】B 【详解】A．由题意可知，两球抛出后都做平抛运动，对小球a，恰好垂直击打在斜面的中点，由平抛运动的规律特点，可得如图所示，设小球a下落的高度为h，由几何关系可知    则有小球a下落的时间 对小球b下落的高度为 可得 解得，A错误；      B．小球a、b在水平方向的位移大小相等，则有 可得，B正确； C．小球a、b的竖直位移之比，C错误； D．小球a离斜面底端的竖直高度为，D错误。 故选B。 【变式训练6-3-3】如图所示，水平地面上固定有倾角为45°，高为h的斜面。O点位于A点正上方且与B点等高。细绳一端固定于O点，另一端与质量为m的小球相连。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时细绳恰好拉断，之后做平抛运动并垂直击中斜面的中点（重力加速度为g），下列说法正确的是（　　） A．细绳的长度为 B．绳刚要拉断时张力为 C．小球做平抛运动的时间为 D．若球击中斜面反弹的速度大小为击中前的一半，则反弹后球能落到A点 【答案】D 【详解】AC．小球做平抛运动并垂直击中斜面的中点，有 解得 小球做平抛运动的竖直位移为 所以细绳的长度为 A和C均错误； B．在圆周运动的最低点，有 解得，绳刚要拉断时张力为 B错误； D．球击中斜面时的速度为 反弹的速度大小为 设反弹后能击中A点，则水平方向位移为，有 解得 竖直位移为 所以反弹后球恰好能落到A点，D正确。 故选D。 【变式训练6-3-4】如图所示，从水平面上A点以倾角为α斜向上方抛出一小球，抛出时速度大小为。小球落到倾角为θ的斜面上C点时，速度方向正好与斜面垂直，B为小球运动的最高点，已知重力加速度为g，则（　　） A．小球在B点的速度大小为 B．小球从A点运动到B点的时间为 C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为 D．小球从B点运动到C点的时间为 【答案】C 【详解】A．小球在B点的速度大小为 故A错误； B．小球在A点时竖直方向上速度大小为 则小球从A点运动到B点的时间为 故B错误； C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度为 故C正确； D．小球从B点运动到C点的时间为 故D错误。 故选C。 （四）对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上斜面倾斜角为“位移”偏向角的余角 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 【典型例题1】如图所示，倾角为37°的斜面体固定放置在水平面上，斜面的高度为，点是A点正上方与点等高的点，让一小球（视为质点）从点水平向左抛出，落在斜面的点，已知、两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g，、，下列说法正确的是（　　） A．小球在点的速度为 B．小球从点到点的运动时间为 C．小球在点的速度大小为 D．小球在点的速度与水平方向夹角的正切值为2 【答案】A 【详解】AB．过点作的垂线与的交点为，设平抛运动的水平位移为，即、两点之间的距离为，如图所示 由几何关系可得 由平抛运动的规律可得 ， 解得 、、 A正确、B错误； CD．小球在点沿竖直方向的分速度为 小球在点的速度大小为 与水平方向夹角的正切值为 解得 ， CD错误。 故选A。 【典型例题2】如图所示，倾角为37°的斜面与水平面的交点为 B，斜面上的 C点处有一小孔，若一小球从B点的正上方A 点水平抛出，恰好通过小孔落到水平地面上的 D点（小球视为质点，小孔的直径略大于小球的直径，小球通过小孔时与小孔无碰撞）。已知A、C两点的连线正好与斜面垂直，小球从 A到C的运动时间为t，重力加速度为g， 下列说法正确的是（　　）    A．A、C两点间的高度差为gt2 B．小球在A点的速度为 C．A、C两点间的距离为 D．A、D两点间的高度差为 【答案】BD 【详解】如图    AB．根据平抛运动规律结合几何关系有 解得A、C两点间的高度差为，小球在A点的速度为故A错误，B正确； C．A、C两点间的距离为 故C错误； D．A、D两点间的高度差为 故D正确； 故选BD。 【变式训练6-4-1】如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度抛出一个小球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点（图中未画出），且AB距离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若小球击中斜面B点，且AB距离恰好取最小值，则AB垂直斜面，此时有 可得 【变式训练6-4-2】如图所示，小球以速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是（重力加速度为g）（　　） A．小球在空中的运动时间为 B．小球的水平位移大小为 C．小球的竖直位移大小为 D．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解 【解答】解：A．如图所示，过抛出点作斜面的垂线与斜面交于B点，由几何关系可知，当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则水平方向有x＝t，竖直方向有，根据几何关系有，联立解得，故A错误； B．水平位移x＝vt，结合A分析可知，小球的水平位移大小为，故B正确； C．由A中分析，由可知，竖直位移的大小为，故C错误； D．根据几何关系可知，总位移的大小为，解得，故D错误。 故选：B。 【变式训练6-4-3】如图所示，一小球从某固定位置以一定初速度水平抛出，已知当抛出速度为v0时，小球落到一倾角为θ＝60°的斜面上，且球发生的位移最小，不计空气阻力，则(　　) A.小球从抛出到落到斜面的时间为 B.小球从抛出到落到斜面的时间为 C.小球的抛出点到斜面的距离为 D.小球的抛出点到斜面的距离为 【答案】　BC 【解析】　球平抛的位移最小，则抛出点和落点的连线与斜面垂直，分解位移，如图所示。 设平抛时间为t，结合几何关系知，tan θ＝，x＝t，y＝g，解得t＝，故选项A错误，B正确；s＝＝＝，选项C正确，D错误。 （五）斜面上的其他平抛运动 【典型例题1】在Q点沿水平方向，对着一斜面抛出质量相等的a、b两个小球，小球的轨迹如图所示，忽略空气阻力，则两小球从抛出至落到斜面过程，下列说法正确的是（　　） A．a球的运动时间大于b球运动时间 B．a球的初速度小于b球初速度 C．a球动量的增加量小于b球动量的增加量 D．a球动能的增加量大于b球动能的增加量 【答案】C 【详解】A．根据 解得 根据图形可知，a球竖直分位移小于b球竖直分位移，则a球的运动时间小于b球运动时间，A错误； B．根据 结合上述解得 根据图形可知，a球竖直分位移小于b球竖直分位移，a球水平分位移小于b球水平分位移，则a球的初速度大于b球初速度，B错误； C．根据动量定理有 根据上述，a球的运动时间小于b球运动时间，则a球动量的增加量小于b球动量的增加量，C正确； D．根据动能定理有 由于a球竖直分位移小于b球竖直分位移，则a球动能的增加量小于b球动能的增加量，D错误。 故选C。 【典型例题2】如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为v1时，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球落在斜面上时速度方向与斜面的夹角为α2，则(　　) A．当v1＞v2时，α1＞α2 B．当v1＞v2时，α1＜α2 C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2 D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关 【解析】选C 小球从斜面上某点抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面的倾角θ，即tan θ＝＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值＝＝tan θ，故可得tan θ＝2tan θ。只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向的夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是α，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与、的关系无关，C选项正确。 【变式训练6-5-1】如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个可视为质点的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　) A．1∶1 B．1∶3 C．16∶9 D．9∶16 答案　D 解析　根据平抛运动的规律可知，x＝t，y＝，tan θ＝，则运动时间t＝ 【变式训练6-5-2】如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球(可视为质点)，落在斜面上某处，记为Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是(　　) A．夹角α将变大 B．夹角α与初速度大小无关 C．小球在空中的运动时间不变 D．PQ间距是原来间距的3倍 答案　B 解析　根据tan θ＝＝，解得t＝，初速度变为原来的2倍，则小球在空中的运动时间变为原来的2倍，C错误；根据x＝t＝知，初速度变为原来的2倍，则水平位移变为原来的4倍，且PQ＝，故PQ间距变为原来间距的4倍，D错误；末速度与水平方向夹角的正切值tan β＝＝＝2tan θ，可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，因为位移与水平方向夹角不变，则末速度与水平方向夹角不变，由几何关系可知α不变，与初速度大小无关，A错误，B正确． 【变式训练6-5-3】如图所示，若物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后仍落在斜面上，则物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计)(　　) A.tan φ＝sin θ B.tan φ＝cos θ C.tan φ＝tan θ D.tan φ＝2tan θ 答案　D 解析　物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，选项D正确. 【变式训练6-5-4】如图所示，斜坡上有a、b、c三点，ab=bc，滑板运动员从a点正上方平台的O点以初速度v0水平飞出，不计空气阻力，他恰好落在b点；当初速度变为v时，他恰好落在c点，则（　　） A．v=2v0 B．v0<v<2v0 C．分别落在b、c点时两个速度方向是平行的 D．落在b点与落在c点时速度方向与斜坡的夹角相等 【答案】B 【详解】AB．假设Oa高度为h，斜坡倾角为θ，ab=bc=L，运动员以初速度v0做平抛运动，则有 ， 可得 同理，运动员以初速度v做平抛运动，有 ， 可得 则速度之比 因为 所以 <v<2 A错误，B正确； C．在平抛运动中，令速度与水平方向夹角为，则有 可知末速度的反向延长线过水平位移的中点，则有 ， 可知 αb>αc 则落在b、c点时两个速度方向是不平行，C错误； D．结合上述，根据几何关系可知，落在斜坡上时速度方向与斜坡的夹角等于速度偏转角（αb、αc）与斜坡倾角之差，所以落在b点比落在c点时速度方向与斜坡的夹角大，D错误。 故选B。 【变式训练6-5-5】（多选）A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高．从E点以一定的水平速度抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程（　　） A．球1和球2运动的时间之比为2：1 B．球1和球2动能增加量之比为1：2 C．球1和球2抛出时初速度之比为：1 D．球1和球2运动时的加速度之比为1：2 【解答】解：A、因为AC＝2AB，则EC的高度差是EB高度差的2倍，根据得，t，解得运动的时间比为1：．故A错误； B、根据动能定理得，mgh＝△Ek，知球1和球2动能增加量之比为1：2．故B正确； C、DAC在水平方向上的位移是DB在水平方向位移的2倍，结合x＝t，解得初速度之比为2：1．故C正确； D、平抛运动的加速度为g，两球的加速度相同。故D错误。 故选：BC。 【变式训练6-5-6】（多选）如图所示，从倾角为的斜面顶端将两个完全相同的小球a和b以大小均为、方向不同的初速度抛出，小球均落在斜面上。其中小球a以水平方向抛出，小球b以垂直于斜面向上的方向抛出，忽略空气阻力。则（　　） A．两球从抛出至落到斜面上的过程中，重力做的功相同 B．两球从抛出至落到斜面上的过程中，重力的冲量相同 C．小球b运动至离斜面最远时的速度大小为 D．小球a离斜面最远的位置在小球b离斜面最远位置的正下方 【答案】ACD 【详解】A．对小球a分析，当其落回斜面上时有 解得 则 对小球b分析，将重力加速度分解为沿斜面和垂直斜面，则垂直斜面方向先沿方向减速至零，再反向加到时即再次回到斜面上，则时间为 又小球b沿斜面方向做初速度为零的匀加速直线运动，则这段时间有 则此时小球b下落的高度为 则可知 根据重力做功 两球从抛出至落到斜面上的过程中，重力做的功相同，故A正确； B．由选项A可知，两小球运动的时间不相同，故两球从抛出至落到斜面上的过程中，重力的冲量不相同，故B错误； C．当小球b垂直斜面方向的速度减速为零时，此时只有平行斜面向下的速度，时间为 则此时的速度为 故C正确； D．当小球a的速度平行于斜面时，小球a离斜面最远，则有 解得 则水平位移为 竖直方向的位移为 对小球b分析，可知离开斜面最远时所用的时间为，将小球b运动分成水平向右的匀速直线运动和竖直向上的竖直上抛运动，则有水平方向的位移为 竖直方向的位移为 可知 ， 故小球a离斜面最远的位置在小球b离斜面最远位置的正下方，故D正确。 故选ACD。 【变式训练6-5-7】（多选）如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta小球恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点q处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是(　　) A．va＝vb B．va＝vb C．ta＝tb D．ta＝tb 【解析】选BD 做平抛运动的小球的运动时间由竖直方向的高度决定，即t＝，从a处抛出的小球下落的高度是从b处抛出的小球的2倍，有＝，选项C错误，D正确；水平方向的距离由下落的高度和初速度共同决定，即x＝，由题意得从a处抛出的小球的水平位移是从b处抛出的小球的2倍，可知＝ 【变式训练6-5-8】工人使用一块长的木板从平台上卸货，木板一端搭在平台上（与平台等高），另一端固定在地面，形成倾角的斜面。工人甲从木板底部推动质量的小车，使小车以的速度冲上木板。工人乙站在平台上，当小车在木板上运动到某处时，以的速度水平抛出货物，货物速度方向与木板平行时恰好落入到达斜面顶端的小车，两者速度立刻变为零。已知小车与木板间的摩擦力与压力大小之比为，g取，，，小车和货物均可视作质点，求： （1）货物抛出点距平台的高度； （2）货物的质量m。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由于货物落入小车时速度方向沿着斜面方向，故 根据竖直方向做自由落体运动，故 解得 （2）以沿斜面向下为正方向，小车沿斜面向上运动，则有 根据运动学公式可得 解得 货物沿斜面方向的速度为 货物和小车碰撞瞬间沿斜面方向动量守恒： 解得 题型07：有约束条件的平抛运动模型 （一）对着竖直墙壁的平抛运动 如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝。 【典型例题】如图所示，某同学从O点对准前方的一块竖直放置的挡板将小球水平抛出，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别为、，不计空气阻力，小球打在挡板上的位置分别是B、C，且AB=BC，则为（　　） A．2∶1 B． C． D． 【答案】B 【详解】不计空气阻力，小球在空中做平抛运动，由平抛运动规律 ， 联立得 所以 又因为 所以 故选B。 【变式训练7-1-1】如图所示，网球发球机在距离墙L处将网球以不同的水平速度射出打到竖直墙上。已知墙上的O点与网球出射点等高，A、B两点分别为两个击中点，，击中A点的网球水平射出时的速度为，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是（　　） A．击中B点的网球水平射出时的速度为 B．击中B点的网球水平射出时的速度为 C．要使原来击中A点的网球能击中B点，网球发球机应沿OP方向后退 D．要使原来击中B点的网球能击中A点，网球发球机应沿OP方向前进 【答案】D 【详解】AB．网球在竖直方向上做自由落体运动 因，所以 又 得击中点的网球水平射出时的速度为 AB错误； C．要使原来击中A点的网球能击中B点，运动时间变长为原来的倍，所以水平距离也应变为倍，即网球发球机应向后退，C错误； D．要使原来击中B点的网球能击中A点，运动时间变短为原来的倍，所以水平距离也应变为倍，即网球发球机应向前进，故D正确。 故选D。 【变式训练7-1-2】“飞镖”是一项深受人们喜爱的运动。镖靶如图所示，一同学练习投镖，若他每次都是将飞镖水平投出，飞镖在空中运动可视为平抛运动。某次飞镖打在了靶中心的正上方某处，该同学下次打靶时做出调整，可能让飞镖打在靶中心的是（　　） A. 保持飞镖出手点距地高度和出手速度不变，减小飞镖出手点到靶的水平距离 B. 保持飞镖出手点到靶的水平距离和出手速度不变，降低飞镖出手点距地高度 C. 保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，增大飞镖的出手速度 D. 保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，减小飞镖的出手速度 【答案】BD 【解析】A．保持飞镖出手点距地高度和出手速度不变，减小飞镖出手点到靶的水平距离，则运动到靶的时间变短，竖直位移更短，落点在靶中心的正上方，A错误； B．保持飞镖出手点到靶的水平距离和出手速度不变，则运动到靶的时间不变，竖直位移不变，由于降低飞镖出手点距地高度，落点可能在靶中心，故B正确 C．保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，增大飞镖的出手速度，则运动到靶的时间变短，竖直位移更短，落点在靶中心的正上方，故C错误； D．保持飞镖出手点距地高度和到靶的水平距离不变，减小飞镖的出手速度，则运动到靶的时间变长，竖直位移变长，落点可能在靶中心，故D正确； 故选BD （二） 半圆内的平抛问题 利用位移关系 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R 从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 【典型例题1】如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（  ） A．运动时间 B．两次运动速度变化 C．在C点的速度方向可能与球面垂直 D． 【答案】D 【详解】A．根据 则运动时间 故A错误； B．根据 两次运动速度变化 故B错误； C．若在C点的速度方向与球面垂直，则速度方向所在直线经过圆心，速度方向反向延长线一定经过水平位移的中点，显然不符合，故C错误； D．速度偏转角分别为和，位移偏转角分别为和，水平位移分别为、，有 可得 如图 可知 所以 故D正确。 故选D。 【典型例题2】如图所示，一平台固定在竖直平面内，以平台右边缘O点为原点，沿平台右侧竖直向下为y轴正方向，沿水平向右为x轴正方向建立直角坐标系xOy。在该坐标系中，以坐标原点O为圆心，半径为R的四分之一圆弧轨道竖直固定在平台的右侧。质量为m的小球从坐标原点O以初速度v0（大小未知）沿x轴正方向平抛。重力加速度大小为g，不计空气阻力。小球从O点抛出后到落到圆弧轨道上的过程中，下列说法正确的是（　　） A．当初速度的大小为适当的值时，小球可能垂直落到圆弧轨道上 B．初速度越大，小球在空中运动的时间越长 C．初速度时，小球落到圆弧轨道上的动量最小 D．小球落到圆弧轨道上的最小动能为 【答案】D 【详解】A．若小球垂直打在圆轨道上，则速度方向的反向延长线应交于圆心；而于平抛运动的规律可知，速度方向的反向延长线应交于水平位移的中点，根据题意可知圆心和水平位移的中点不是同一位置，故A错误； B．小球做平抛运动，在竖直方向上物体做自由落体运动，有 解得 可知h越大，小球在空中运动时间越长，由图可知小球速度v0越小，下落的高度越高，飞行时间越长，故B错误； CD．设落地点与O点的连线与水平方向的夹角为θ，小球做平抛运动 Rcosθ=v0t 由动能定理得 解得 由数学知识得：当 即 Ek取最小值 根据 可知动能最小时动量最小，此时 联立以上可得 故C错误，D正确。 故选D。 【典型例题3】如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为圆弧bc，半径为R，O为圆心，若在O点以大小不同的初速度v0沿Oc方向水平抛出小球，小球落在坑内。空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．落在球面上的最小速度为 B．落在球面上的最小速度为 C．小球的运动时间与v0大小无关 D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上 【答案】BD 【详解】AB．小球做平抛运动 且 而落点的速度 整理得 显然当 时速度取得最小值，代入可得最小值为 B正确，A错误； C．越大，水平位移越大，竖直下落距离越小，运动时间越短，C错误； D．由于速度的反向延长线恰好过与抛出点等高的水平位移的中点处，若与圆弧垂直，恰好与半径一致，两者相矛盾，因此球都不可能垂直撞击在圆弧上，D正确。 故选BD。 【典型例题4】如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2向左平抛另一个小球并也能击中D点，已知∠COD=60°，且不计空气阻力，则（　　） A．两小球同时落到D点 B．两小球初速度大小之比为 C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等 D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为 【答案】BD 【详解】A．根据 可知，向左平抛的另一个小球竖直下降的高度小一些，其先落到D点，A错误； B．对A点抛出的小球有 ， 对C点抛出的小球有 ， 解得 B正确； C．A点抛出的小球落到D点时 C点抛出的小球落到D点时 可知，两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角不相等，C错误； D．A点抛出的小球落到D点时 C点抛出的小球落到D点时 结合上述，解得 D正确。 故选BD。 【变式训练7-2-1】如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R.一个小球从A点沿AB以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是(　　) A.v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长 B.即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同 C.若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环 D.无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环 答案　D 解析　小球落在环上的最低点C时所用时间最长，所以选项A错误；由平抛运动规律可知，小球的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，v0取值不同，小球落到环上时的位移与水平方向的夹角不同，则速度方向和水平方向之间的夹角不相同，选项B错误；小球做平抛运动的末速度方向斜向右下方，不可能垂直撞击半圆环左半部分，要使小球垂直撞击半圆环右半部分，设小球落点与圆心O的连线与水平方向夹角为θ(0<θ<)，如图所示，根据平抛运动规律可得，t＝R(1＋cos θ)，Rsin θ＝gt2，tan θ＝，联立解得cos θ＝1，则垂直撞击到半圆环是不可能的，故选项D正确，C错误. 【变式训练7-2-2】如图所示，是半圆弧的一条水平直径，是圆弧的圆心，是圆弧上一点，，在、两点分别以一定的初速度、水平抛出两个小球，结果都落在 C点，则两个球抛出的初速度、的大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两球下落的高度相同，根据；知，下落的时间相同，设圆弧的半径为R，根据几何关系可得 则A点抛出的球平抛运动的水平位移 从O点抛出的球做平抛运动的水平位移为 根据知 故选B。 【变式训练7-2-3】如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为，则C点到B点的距离为（　　） A． B． C． D．R 【答案】A 【详解】由题意知得：小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有 小球从C到D，水平方向有 竖直方向上有 解得 故C点到B点的距离为 故选A。 【变式训练7-2-4】如图所示，光滑圆弧轨道AB末端切线水平，与光滑圆弧轨道BCD在B处连接且固定，圆弧轨道BCD的半径为r2，圆弧轨道AB的半径r1未知且可调节。一质量为m的小球，从A点（与O1等高）静止释放，经过B点落在圆弧轨道BCD上。忽略空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．小球经过B点时对轨道的压力与r1的大小无关 B．只要小球在空中运动时间相同，落在圆弧轨道BCD上时的动能就相同 C．适当调节r1的大小，小球可以垂直落在圆弧轨道BCD上 D．当时，小球在空中运动的时间最长 【答案】AD 【详解】A．小球从A点静止释放到B点，根据机械能守恒有 根据牛顿第二定律有 联立解得，轨道对小球的支持力为 则小球经过B点时对轨道的压力与r1的大小无关，故A正确； B．小球经过B点落在圆弧轨道BCD上，小球在空中运动时间相同，则小球下落高度h相同，则小球落在圆弧BC、CD上的等高处，则根据平抛规律可知，水平位移不同，离开B点的初速度不同，则根据动能定理有 可知落在圆弧轨道BCD上时的动能不相同，故B错误； C．若小球垂直落在圆弧轨道BCD上，则其速度的反向延长线必然经过圆弧的圆心O点。根据平抛运动规律有，速度的反向延长线经过水平位移的中点，但O点不为水平位移的中点，则小球不可能垂直落在圆弧轨道BCD上，故C错误； D．若小球在空中运动的时间最长，即此时小球落在C点，则根据平抛规律有 根据动能定理有 联立解得 故D正确。 故选AD。 【变式训练7-2-5】如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为圆弧bc，半径为R，O为圆心，若在O点以大小不同的初速度v0沿Oc方向水平抛出小球，小球落在坑内。空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．落在球面上的最小速度为 B．落在球面上的最小速度为 C．小球的运动时间与v0大小无关 D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上 【答案】BD 【详解】AB．小球做平抛运动 且 而落点的速度 整理得 显然当 时速度取得最小值，代入可得最小值为 B正确，A错误； C．越大，水平位移越大，竖直下落距离越小，运动时间越短，C错误； D．由于速度的反向延长线恰好过与抛出点等高的水平位移的中点处，若与圆弧垂直，恰好与半径一致，两者相矛盾，因此球都不可能垂直撞击在圆弧上，D正确。 故选BD。 【变式训练7-2-6】（多选）如图所示，a，b两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，则（　　） A．一定是b球先落在斜面上 B．可能是a球先落在半圆轨道上 C．当时，一定是a球先落到半圆轨道上 D．当时，一定是b球先落在斜面上 【答案】BC 【详解】AB．将圆轨道和斜面轨道重合在一起，如图所示 交点为，初速度合适，小球可做平抛运动落在点，则运动的时间相等，即同时落在半圆轨道和斜面上。若初速度不适中，由图可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在圆轨道上，故A错误，B正确； CD．斜面底边长是其竖直高度的2倍，由几何关系可知，斜面与水平面之间的夹角 由图中几何关系可知， 当小球落在点时， 联立得 所以当时，一定是a球先落到半圆轨道上，当时，一定是b球先落在斜面上，故C正确，D错误。 故BC正确。 题型08：平抛的多解问题 【典型例题1】如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则（　　）    A．飞镖击中P点所需的时间为 B．圆盘的半径可能为 C．圆盘转动角速度的最小值为 D．P点随圆盘转动的线速度可能为 【答案】D 【详解】A．飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，飞镖击中P点所需的时间为 故A错误； B．飞镖击中P点时，P恰好在最下方，在竖直方向解得圆盘的半径故B错误； C．飞镖击中P点，则P点转过的角度满足θ=ωt=π+2kπ（k=0，1，2…）可得角速度为 则圆盘转动角速度的最小值为故C错误； D．P点随圆盘转动的线速度为当k=2时的速度为故D正确。 故选D。 【典型例题2】如图所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高，内径，现有一刚性小球（视为质点）从容器上端内边缘沿直径以的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加速度，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞，则小球的初速度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据平抛运动的分析可知，竖直方向有 解得 而根据题意，水平方向有（） 解得 因此的可能值为、、、、、故选B。 【变式训练8-1】如图所示，竖直墙MN、PQ间距为l，竖直线OA到两边墙面等距。从离地高度一定的O点垂直墙面以初速度水平抛出一个小球，小球与墙上B点、C点各发生一次弹性碰撞后恰好落在地面上的A点。设B点距地面高度为，C点距地面高度为，所有摩擦和阻力均不计。下列说法正确的是（　　） A． B． C．仅将间距l加倍而仍在两墙中央O点平抛，小球不会落在A点 D．仅将初速度增为（n为正整数），小球可能落在N或Q点 【答案】B 【详解】AB．由于竖直线OA到两边墙面距离均为，小球与墙面发生弹性碰撞，无能量损失，小球在运动过程中，竖直方向为自由落体，水平方向匀速运动，运动到B、C及A水平方向的路程之比为1：3：4，所用时间之比为1：3：4，O到B、C、A的竖直距离分别为、、，由匀变速运动规律得 故 故A错误，B正确； C．由于OA间高度不变，小球落到地面时间不变，仅将间距加倍而仍在两墙中央O点平抛，小球将与前面碰撞一次后落在A点，故C错误； D．仅将初速度增为（为正整数），小球从抛出到落地在水平方向通过路程为 根据对称性，小球一定落在A点，故D错误。 故选B。 【变式训练8-2】如图所示是某闯关游戏中的一个关卡。一绕过其圆心O的竖直轴顺时针匀速转动的圆形转盘浮在水面上，转盘表面始终保持水平，M为转盘边缘上一点。某时刻，一参赛者从水平跑道边缘P点以速度向右跳出，初速度方向平行于方向，且运动轨迹与此时刻在同一竖直平面内，随后参赛者正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者必定落水 B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定会落在之间 C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者仍可能落在M点 D．若跳出时刻不变，仅减小转盘的角速度，参赛者不可能落在M点 【答案】C 【详解】AB．参赛者正好落在M点，则M点可能出现在图示的两个位置。 参赛者在空中所做运动为平抛运动，竖直高度不变，参赛者在空中运动时间不变；仅增大，参赛者的水平位移增大，可能落水，可能在台面上；仅减小，参赛者的水平位移减小，可能落水，可能在台面上，故AB错误； CD．仅增大转盘的角速度，或仅减小转盘的角速度，参赛者的水平位移不变，只要满足M仍在原位置，参赛者就仍可能落在M点，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练8-3】如图竖直薄壁圆筒内壁光滑、半径为，上部侧面处开有小口，在小口的正下方处亦开有与大小相同的小口，小球从小口沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动，要使小球从口处飞出，小球进入口的速率可能是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球在竖直方向做自由落体运动，所以小球在桶内的运动时间为在水平方向，以圆周运动的规律来研究，得到  所以当时，取得最小值，为。故选B。 【变式训练8-4】(多选)如图所示，水平面上放置一个直径d＝1 m、高h＝1 m的无盖薄油桶，沿油桶底面直径AB距左桶壁s＝2 m处的正上方有一点P，P点的高度H＝3 m，从P点沿直径AB方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹和空气阻力，下列说法正确的是(取g＝10 m/s2，CD为桶顶平行AB的直径)(　　) A．小球的速度范围为 m/s<v< m/s时，小球击中油桶的内壁 B．小球的速度范围为 m/s<v< m/s时，小球击中油桶的下底 C．小球的速度范围为 m/s<v< m/s时，小球击中油桶外壁 D．若P点的高度变为1.8 m，则小球无论初速度多大，均不能直接落在桶底(桶边沿除外) 答案　ACD 解析　当小球落在A点时，有H＝gt2，s＝t，联立解得＝s＝ m/s，同理可知，当小球落在D点时，＝s＝ m/s，当小球落在B点时，＝(s＋d)＝ m/s，当小球落在C点时，＝(s＋d) ＝ m/s，选项A、C正确，B错误；若P点的高度变为，轨迹同时过D点和B点，则此时初速度v′＝s＝(s＋d)，解得＝1.8 m，在此高度上，小球无论初速度多大，都不能直接落在桶底(桶边沿除外)，选项D正确． 【变式训练8-5】如图所示，两平行竖直光滑挡板MN、PQ直立在水平地面上，它们之间的距离为L，它们的高度均为2L。将一小球（可视为质点）从M点以垂直于MN的初速度水平抛出，恰好落到Q点（小球未与挡板碰撞），重力加速度为g。 （1）求小球的初速度大小； （2）若改变小球水平抛出的初速度大小，小球与两挡板碰撞时，竖直速度保持不变，水平速度瞬间等大反向，要使小球落地时与两挡板的距离相等，求初速度大小应满足的条件（碰撞时间可忽略不计）。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）小球做平抛运动 ， 解得 （2）若小球与挡板碰撞n次后落到地面 解得 题型09：平抛与圆周的临界问题 【典型例题】某水上娱乐项目可简化为如图所示的模型。摆绳上端固定在离水面高度为H的O点，人抓紧绳子另一端，在绳子伸直情况下从与O点等高处由静止开始下落，到达最低点时松手，做一段平抛运动后落入水中。当绳长为L（）时，平抛运动的水平位移为x，人可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．绳长L不同，平抛运动的水平位移x一定不同 B．当绳长时，平抛运动的水平位移有最大值，为 C．绳长L不同，人落水时的速度大小一定不同 D．绳长L不同，人落水时的速度方向一定不同 【答案】D 【详解】A．设人在O点正下方松手时的速度为v，由机械能守恒定律有 可得 松手后人做平抛运动，竖直方向有 水平方向有 可得 则当绳长取不同值时，平抛运动的水平位移x可能相同，故A错误； B．当，即时，平抛运动的水平位移有最大值，为H，故B错误； C．设人落水时的速度为，对全过程由机械能守恒定律有 可得 与绳长无关，故C错误； D．人做平抛运动，竖直方向有 设人落水时的速度方向与水平方向的夹角为，有 L与一一对应，绳长L不同，人落水时的速度方向一定不同，故D正确。 故选D。 【变式训练9-1】一质量为可视为质点的小球，系于长为的轻绳一端，绳的另一端固定在点，假定绳不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从点的正上方距离点的点以水平速度抛出，如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为 B．轻绳从释放到绷直所需时间为 C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为 D．当小球到达点正下方时，绳对质点的拉力为 【答案】D 【详解】AB．小球水平抛出后，在绳子绷直之前做平抛运动，有 解得 故AB错误； C．绳子绷直时，水平方向的速度突变为零，只剩下竖直方向的速度，故速度 故C错误； D．小球在绳子绷直后运动到的正下方，机械能守恒，有 又在最低点，根据受力关系 解得 故D正确。 故选D。 【变式训练9-2】一不可伸长的轻绳上端悬挂于点，另一端系有质量为的小球，保持绳绷直将小球拉到绳与竖直方向夹角为的点由静止释放，运动到点的正下方时绳断开，小球做平抛运动，已知点离地高度为，绳长为，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．在绳断开前，小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．在绳断开前瞬间，小球处于失重状态 C．在绳断开前瞬间，小球所受绳子的拉力大小为 D．若夹角不变，当时，落点距起点的水平距离最远 【答案】CD 【详解】A．在绳断开前，小球在竖直平面内做圆周运动，小球只受重力和绳的拉力作用，故A错误； B．在绳断开前瞬间，小球加速度方向竖直向上，处于超重状态，故B错误； C．在绳断开前瞬间，设小球受绳子拉力为，根据牛顿第二定律可得 质量为的小球由静止开始，运动到点正下方过程中机械能守恒，则有 联立解得 故C正确； D．绳断开后，小球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则有 在竖直方向上做自由落体运动，则有 联立解得 根据基本不等式可知，当 即时，落点距起点的水平距离最远，故D正确。 故选CD。 题型10：类平抛运动模型 1．受力特点 物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直． 2．运动特点 在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝. 3．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动．两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性． (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解． 1.类平抛运动的特点 (1)有时物体的运动与平抛运动很相似，也是物体在某方向做匀速直线运动，在垂直匀速直线运动的方向上做初速度为零的匀加速直线运动。对这种像平抛又不是平抛的运动，通常称为类平抛运动。 (2)受力特点：物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。 (3)运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。 如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出(v0的方向与CD平行)，小球运动到B点的过程中做的就是类平抛运动。 2.类平抛运动与平抛运动的规律相类似，两者的区别 (1)运动平面不同：类平抛运动→任意平面；平抛运动→竖直面。 (2)初速度方向不同：类平抛运动→任意方向；平抛运动→水平方向。 (3)加速度不同：类平抛运动→a＝，与初速度方向垂直；平抛运动→重力加速度g，竖直向下。 【典型例题1】如图所示，将小球从倾角为θ＝30°的光滑斜面上A点以速度v0＝10m/s水平抛出（即v0∥CD），最后从B处离开斜面，已知AB间的高度h＝5m，g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度为m/s2 B．小球做平抛运动，运动轨迹为抛物线 C．小球到达B点时的速度大小为10m/s D．小球从A点运动到B点所用的时间为1s 【解答】解：小球做类平抛运动，根据牛顿第二定律得，小球沿斜面下滑的加速度为： agsinθ＝10×5m/s2＝5m/s2， 根据位移—时间关系可得： 代入数据解得：t＝2s 沿斜面方向的速度大小为：＝at＝5×2m/s＝10m/s 则到达B点时的速度大小vm/s＝10m/s，故C正确、ABD错误。 故选：C。 【典型例题2】如图所示，边长为1m的正方体空间图形ABCD﹣A1B1C1D1，其下表面在水平地面上，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内（包括边界）分别沿不同的水平方向抛出，落点都在A1B1C1D1平面范围内（包括边界）。不计空气阻力，g取10m/s2，则（　　） A．小球落在B1点时，初速度为，是抛出速度的最小值 B．小球落在C1点时，初速度为，是抛出速度的最大值 C．落在B1D1线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是1：2 D．落在B1D1线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是 【解答】解：AB.小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动， 有：Lgt2得出：t因为下落高度相同，所以平抛运动的时间相等，由几何关系可知，小球的落地点离越近，则小球在水平方向的位移越小，所以小球在 时，不是抛出的最小值，落在时水平位移最大，最大位移为正方形的对角线的长度，即为，t得为抛出速度的最大值，故AB错误； CD.由几何关系可得的中点离最近，或离最远，故初速度的最小值与最大值的比为1：，故D正确，C错误。 故选：D。 【典型例题3】如图所示，质量为0.1kg的小球放在光滑水平面上的P点，现给小球一个水平初速度v0，同时对小球施加一个垂直于初速度的水平恒力F，小球运动1s后到达Q点，测得P、Q间的距离为1m，P、Q连线与初速度的夹角为37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则初速度v0的大小和恒力F的大小分别为(　　) A．0.6m/s，0.12N B．0.6m/s，0.16N C．0.8m/s，0.12N D．0.8m/s，0.16N 答案　C 解析　小球做类平抛运动，运动的加速度,小球沿初速度方向的位移,沿拉力F方向的位移,根据几何关系有，.联立解得m/s，N.故C正确，ABD错误.故选C. 【典型例题4】如图所示是一儿童游戏机的简化示意图，光滑游戏面板倾斜放置，长度为8R的AB直管道固定在面板上，A位于斜面底端，AB与底边垂直，半径为R的四分之一圆弧轨道BC与AB相切于B点，C点为圆弧轨道最高点（切线水平），轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳。现缓慢下拉轻绳使弹簧压缩，后释放轻绳，弹珠经C点时，与圆弧轨道无作用力，并水平射出，最后落在斜面底边上的位置D（图中未画出）。假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠可视为质点。直管AB粗细不计。下列说法正确的是（　　） A．弹珠脱离弹簧的瞬间，其动能达到最大 B．弹珠脱离弹簧的瞬间，其机械能达到最大 C．A、D之间的距离为 D．A、D之间的距离为 【答案】BD 【详解】A．弹珠与弹簧接触向上运动过程，对弹珠分析可知，弹珠先向上做加速度减小的加速运动，后做加速度方向反向，大小减小的减速运动，可知，弹簧弹力与重力沿斜面的分力恰好抵消时，合力为0弹珠的动能达到最大，此时弹簧处于压缩状态，A错误； B．弹珠脱离弹簧之前，弹簧处于压缩，弹簧对弹珠做正功，因此弹珠脱离弹簧的瞬间，弹珠的机械能达到最大，B正确； CD．弹珠飞出后做类平抛运动，沿斜面方向有 可知弹珠落地D的时间为一定值，水平方向有 可知，弹珠飞出速度越小，距离A点越近，由于弹珠做圆周运动，若恰能越过C，则此时有 C错误，D正确。 故选BD。 【典型例题5】风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示，将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速度v0水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为恒定值F，F的方向始终与初速度v0的方向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度v0方向的夹角为θ。试求： (1)该小球运动到P点时的速度大小和“P点速度方向与初速度v0方向夹角的正切值”； (2)OP之间的距离。 【答案】(1) ，；(2) 【详解】（1）设小球运动到P点时的速度大小为v，OP之间的距离L。以O点为坐标原点、初速度v0方向为x轴正方向、风力F方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系，如图所示，有 沿v0方向 沿风力F方向 由题意知 小球运动到P点时的速度大小 解得 设P点的速度方向和x轴（初速度v0）的夹角为α，有 P点速度方向与初速度v0方向夹角的正切值 （2）OP之间的距离 解得 【变式训练10-1】如图所示的光滑斜面ABCD是边长为l的正方形，倾角为30°，一物块（视为质点）沿斜面左上方顶点A以平行于AB边的初速度v0水平射入，到达底边CD中点E，则(　　) A．初速度 B．初速度 C．物块由A点运动到E点所用的时间 D．物块由A点运动到E点所用的时间 答案　B 解析　物块做类平抛运动，沿斜面方向的加速度为,沿斜面方向的位移为l，则,则,所以初速度为.故选B. 【变式训练10-2】如图所示，， 两质点以相同的水平速度从坐标原点 沿 轴正方向抛出， 在竖直平面内运动，落地点为 ， 紧贴光滑的斜面运动，落地点为 ， 和 对应的 轴坐标分别为 和 ，不计空气阻力，下列说法中正确的是(　　) A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【解析】 由于 A 在竖直平面内运动，且初速度方向水平，仅受重力作用，所以 A做平抛运动，设 A 的水平初速度为 ，斜面的高度为 h，A从抛出到落在 点经历的时间为 。选取坐标系 ，如图甲，根据平抛运动的规律可得： ， A质点落地的条件为 解得 由于 B在斜面上运动，其受力情况如图乙所示， 与 的合力 F 一定沿斜面向下。垂直斜面看，物体的受力情况及初始速度如图丙所示，B 质点受到的合外力也是恒力，大小为 ，B 质点也做加速度不变的曲线运动。 B 质点的初速度为 ，加速度为 （θ 为斜面的倾角）。设 B 从抛出到落在 点经历的时间为 ，选取坐标系 ，则 B质点的运动方程为 ， B质点落地的补充方程为 解得 比较可知 正确选项为C． 【变式训练10-3】如图所示，质量相同 、 两质点从同一点 分别以相同的水平速度 沿 轴正方向抛出， 在竖直平面内运动，落地点为 ， 沿光滑斜面运动，落地点为 ， 和 在同一水平面上，不计空气阻力，则下面说法中正确的是(　　) A．、 运动的加速度大小相同 B．、 运动的时间相同 C．、 沿 轴方向的位移相同 D．、 落地时沿 方向速度相同 【答案】D 【解析】A．A、B 运动过程中的加速度大小分别是 和 ，故 A 错误； B．A 质点做平抛运动，根据平抛规律得 A 运动时间为：，B 质点视为在光滑斜面上的类平抛运动，其加速度为 gsinθ，B 运动时间为：，故 B 错误； CD．A、B 沿 x 轴方向都做水平速度相等的匀速直线运动，A 、 B 落地时沿 x 方向速度相同，由于运动时间不等，所以沿 x 轴方向的位移大小不同，故 C 错误，D 正确。 A 质点做平抛运动，B 质点视为在光滑斜面上的类平抛运动，其加速度为gsinθ ，根据平抛规律与A 运动对比求解时间和位移及沿 x 方向速度。 故选 D 【变式训练10-4】如图所示，一物体在光滑水平面上在恒力F(图中未画出)的作用下做曲线运动，物体的初速度、末速度方向如图所示(图中两条虚线为水平面上的平行参考线)，下列说法正确的是(　　) A．物体运动轨迹是圆周 B．F的方向可以与v2成45° C．F的方向可以与v1垂直 D．F的方向可以与v2垂直 答案　B 解析　A.物体在恒力作用下不可能做圆周运动，故A错误；B.由物体初速度、末速度方向可得初速度、末速度v2相互垂直，因为在恒力F作用下方向上的速度减小末速度为，所以恒力F可分解为两个分力，一个在反方向的分力，一个在正方向的分力，因此恒力F的方向必然在反方向正方向之间且不包括方向方向。如果F的方向与v2成45°向下，那么恒力F的方向在反方向正方向之间，所以B选项正确；C.如果F的方向与垂直，也就是恒力F的方向与同向，那么物体的运动应该是类平抛运动，方向上的速度大小不变，而该题中方向上的速度大小发生了改变，且不可能出现与垂直的速度，所以C错误；D.如果恒力F的与v2垂直，也就是恒力F的与在同一直线上，那么物体做直线运动而不是曲线运动，故D错误；故选B. 【变式训练10-5】某同学要探究类平抛运动的规律，设计了如图所示实验装置，他将一块足够大的平整方木板的一端放在水面地面上，另一端用支撑物垫起，形成一个倾角为的斜面。他先将一个小木块轻轻放在斜面上，放手后发现小木块会沿斜面向下运动；接着该同学将木块置于木板左上角，同时给小木块一个平行木板水平向右的初速度 ，为探究木块的运动轨迹，在木板上沿斜面向下和水平方向建立xOy直角坐标系。木块与木板表面间的动摩擦因数处处相同均为，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是(　　) A．小木块在斜面上的运动轨迹为一条抛物线，该同学实验方案可行 B．小木块获得初速度开始运动的瞬间，其加速度大小为 C．小木块沿y轴方向的分运动为匀加速直线运动 D．小木块最终沿与y轴平行的方向做匀加速直线运动，加速度大小 答案　D 解析　ABD．小木块获得初速度开始运动的瞬间，受重力、支持力、滑动摩擦力，滑动摩擦力的方向与方向反向，把重力分解为垂直斜面向下和沿斜面向下的两个力，则根据牛顿第二定律有,解得小木块获得初速度开始运动的瞬间的加速度大小为,此后木块在y方向做加速运动，x方向做减速运动，当x方向速度减为零时，x方向不再运动，最终木块在y方向做匀加速直线运动，其加速度大小为所以木块不是做类平抛运动，故AB错误，D正确；C．滑动摩擦力的方向从最初与方向反向，逐渐变为沿y轴负方向，则小木块沿y轴方向的分运动为先做加速度减小的加速直线运动，后做匀加速直线运动，故C错误. 故选D. 【变式训练10-6】将一物体由坐标原点O以初速度抛出，在恒力作用下轨迹如图所示，A为轨迹最高点，B为轨迹与水平x轴交点，假设物体到B点时速度为 ,与x轴夹角为α，与x轴夹角为β，已知OA水平距离x1小于AB水平距离x2则(　　) A．物体在B点的速度vB小于v0 B．物体从O到A时间大于从A到B时间 C．物体在O点所受合力方向指向第四象限 D．α可能等于β 答案　C 解析　A．已知OA水平距离x1小于AB水平距离x2，且物体从O到A时间等于从A到B时间，那么物体在AB上的平均速度大于在OA上的，所以由匀变速运动规律可以知道物体做匀加速运动，加速度方向向右，所以物体在B点的速度，所以A错误; B．物体在恒力作用下运动，故可将物体运动分解为水平和竖直方向上的匀变速运动; 又有A为轨迹最高点，所以A点的竖直速度为0；O点和B点的竖直高度一致，由匀变速运动规律可以知道：物体从O到A时间等于从A到B时间，故B错误; C．由图可以知道恒力在竖直方向上的分量方向向下，由A可以知道恒力在水平方向上的分量方向向右，所以恒力方向指向第四象限，则物体在O点所受合力方向指向第四象限，所以C正确;D．由B可以知道物体在竖直方向上做匀变速运动，在O点和在B点时竖直方向上的分速度大小相等，方向相反；由A可以知道物体在O点和在B点时水平方向上的分速度方向相同，且，所以α大于β，故D错误; 【变式训练10-7】如图所示的光滑斜面长为L，宽为s，倾角为θ=30°，一小球（可视为质点）沿斜面右上方顶点A处水平射入，恰好从底端B点离开斜面，重力加速度为g．则下列说法正确的是（  ） A．小球运动的加速度为g B．小球由A运动到B所用的时间为 C．小球由A点水平射入时初速度v0的大小为 D．小球离开B点时速度的大小为 【答案】D 【详解】依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小恒定，则物体做匀变速曲线运动，再根据牛顿第二定律得，物体的加速度为：，故A错误；根据L= at2，有：，选项B错误；在B点的平行斜面方向的分速度为： ；根据s=v0t，有：；故物块离开B点时速度的大小：，故C错误；D正确；故选D． 【变式训练10-8】如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力和恒定的浮力的作用，且。如果物体从点以水平初速度开始运动，最后落在点，间的竖直高度为，其中为重力加速度，则下列说法正确的是（　　）    A．从运动到的时间为 B．与之间的水平距离为 C．从运动到的轨迹不是抛物线 D．减小水平初速度，运动时间将变长 【答案】B 【详解】ACD．根据题意可知，物体水平方向不受力，以做匀速直线运动，竖直方向上，由牛顿第二定律有 解得 竖直方向做匀加速直线运动，可知，物体做类平抛运动，则从运动到的轨迹是抛物线，竖直方向上有 解得，可知，飞行时间与初速度大小无关，故ACD错误； B．根据题意，结合上述分析，由可得，物体运动到点时，竖直速度为 设与之间的水平距离为，由平抛运动规律有 解得，故B正确。 故选B。 【变式训练10-9】在光滑的水平面上，一滑块的质量，在水平方向上恒定的外力的作用下运动，如图所示给出了滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q两点时速度大小均为。滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角，，则下列说法中正确的是（    ）    A．水平恒力F的方向与PQ连线成夹角 B．滑块从P点到Q点做匀速圆周运动 C．滑块从P点到Q点的过程中动能最小值为16J D．P、Q两点间距离为16m 【答案】C 【详解】B．由于物体运动过程中受到恒力的作用，故运动轨迹应该为抛物线，B错误； A．因为PQ两点的速度大小相等，所以外力的方向垂直于PQ的连线，A错误； C．垂直外力方向的分速度为速度的最小值，由速度分解可知， 可得 最小动能为，C正确； D．PQ之间的距离为，D错误。 故选C。 【变式训练10-10】（多选）如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端．若同时释放，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3．若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′．下列关于时间的关系正确的是（　　） A．t1＞t3＞t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′ C．t1′＞t2′＞t3′ D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′ 【解答】解：第一种情况：b球做自由落体运动，a、c做匀加速运动。设斜面的高度为h，则 对a球：， 对b球：h 对c球： 由数学知识得：＞＞。 第二种情况：a、c两个球都做类平抛运动，沿斜面向下方向都做初速度为零的匀加速直线运动，a的加速度为gsin30°，c的加速度为gsin45°，b球做平抛运动，则有 对a球： 对b球：h 对c球： 比较可知，=′、=′、=′．故AB正确。 故选：AB。 【变式训练10-11】（多选）如图所示，一同学练习踢毽子，水平场地上有矩形标线EFGH，在标线GH处的竖直面内挂有挡网ABCD，挡网高1.5m，场地宽EH为4.8m，长EF＝6.4m。该同学从场地的E点将毽子踢出，毽子踢出时速度大小为10m/s，方向在过对角线EG的竖直面内，与EG成37°角斜向上，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。则毽子将（　　） A．在空中飞行1s后触网 B．越过网后再在空中飞行0.2s落地 C．击中水平地面上距E为9.6m的点 D．击中竖直挡网上距地面高为1.0m的点 【解答】解：毽子做斜抛运动，将毽子的初速度分解到竖直方向和沿EG方向，竖直分速度＝10m/s×sin37°＝6m/s EG方向的分速度＝10m/s×cos37°＝8m/s 由几何关系知，毽子的水平位移为 所以毽子运动到挡网处所用时间为s＝1s 此时毽子离地面高度为6×1m10×12m＝1m＜1.5m 故毽子在飞行1s后击中挡网，故AD正确，BC错误。 故选：AD。 【变式训练10-12】（多选）如图所示，A、B两质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B在光滑斜面上运动，落地点为。不计阻力，则在x轴方向上的远近关系是（　　） A．较远 B．较远 C．等远 D．B运动的时间 【答案】BD 【详解】根据题意可知，质点A做平抛运动，根据平抛运动规律 ， 得A运动的时间 质点B视为在光滑斜面上的类平抛运动，其加速度为 沿着斜面的位移和水平方向分别有 ，B运动的时间 A、B沿x轴方向都做水平速度相等的匀速直线运动，由于运动时间不等，所以沿x轴方向的位移大小不同，根据可知 即P2较远。 故选BD。 【变式训练10-13】（多选）如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是（　　） A．A、B的运动时间不相同 B．A、B沿x轴方向的位移不相同 C．A、B运动过程中的加速度大小不相同 D．A、B落地时速度大小不相同 【答案】ABC 【详解】AC．对于A，根据得=运动的加速度为重力加速度g。对于B，设斜面坡角为θ，在沿斜面向下方向上有  ； ；解得可知A、B的运动时间不相同，加速度大小不相同，故AC正确； B．在x轴方向上，有x=t知B沿x轴的位移大于A沿x轴的位移，故B正确； D．根据动能定理，因为只有重力做功，且重力做功和初动能相等，则末动能相等，所以A、B落地时的速度大小相等，故 D错误。故选ABC。 【变式训练10-14】（多选）如图所示的坐标系，x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度大小为10m/s2 B．加速度与初速度的夹角为60° C．小球做类斜抛运动 D．当小球运动到x轴上的P点（图中未标出），则小球在P点的横坐标为 【答案】AD 【详解】A．由题意可知，风力与重力的夹角为120°，由于 即风力与重力大小相等，根据矢量合成规律，可知合力与重力等大，则小球的加速度大小为10m/s2，故A正确； B．由几何关系可知，合力与初速度方向垂直，即加速度方向与初速度的夹角为90°，故B错误； C．根据上述可知，加速度a与初速度方向垂直，则小球做类平抛运动，故C错误； D．设P点的横坐标为x，把x分别沿着和垂直分解，则有 ， 由类平抛运动的规律可得 ， 解得 ， 故D正确。 故选AD。 【变式训练10-15】（多选）如图所示的光滑固定斜面长为l＝1.6m、宽为b＝1.2m、倾角为θ＝30°，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点P沿水平方向射入，然后沿斜面下滑，最后恰好从底端右侧Q点离开斜面，已知重力加速度g＝10，不计空气阻力，则（　　） A．物块由P运动到Q所用的时间t＝0.8s B．物块由P运动到Q所用的时间t＝0.4s C．物块由P点水平射入时初速度的大小m/s D．物块由P点水平射入时初速度的大小m/s 【答案】AD 【详解】物块在斜面上做类平抛运动，沿斜面长的方向做匀加速运动 沿斜面宽的方向做匀速运动 根据牛顿第二定律有， 代入数据联立解得， 故选AD。 【变式训练10-16】（多选）如图所示，在倾角为的足够大的光滑斜面上，将小球a、b同时沿水平方向以相同的速率相对抛出.已知初始时a、b在同一水平面上，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．抛出后的一段时间内，a的运动轨迹是直线 B．抛出后的一段时间内，b的运动轨迹是抛物线 C．无论速率为多少，a、b一定能相遇 D．无论速率为多少，a、b不可能相遇 答案　BC 解析　AB．由于小球在斜面上均受到沿着斜面向下的重力的分力，未相遇前，a、b在斜面上做类平抛运动，运动轨迹为抛物线，选项A错误，B正确；CD．由于两小球沿平行斜面向下的加速度相同，运动情形相同，故两小球无论速率为多少总能相遇，选项C正确，D错误.故选BC. 【变式训练10-17】（多选）在光滑的水平地面上有一木块（可视为质点），在水平恒力F作用下，由静止开始经过2s时间速度达到10m/s，2s末把外力水平旋转，大小保持不变，再经过2s到达某一点，则(　　) A．4s末木块的速度大小为20m/s B．4s末木块的速度大小为10m/s C．4s末木块距出发点的距离为10m D．4s末木块距出发点的距离为10m 答案　BD 解析　AB．由题意可知，加速度为,因为2s末把外力水平旋转，大小保持不变，则木块加速度大小不变，方向与2s末速度方向垂直，则2s末到4s末木块做类平抛运动，则2s末到4s末木块沿外力方向的速度大小为,所以4s末木块的速度大小为,故A错误，B正确；CD．由分析知，4s末木块距出发点沿着原来外力的方向位移为,沿垂直于原来外力的方向位移为 ,所以4s末木块距出发点的位移大小为.故C错误，D正确.故选BD. 【变式训练10-18】（多选）质量为m的物体以速度v0在足够大的光滑水平面上运动，从零时刻起，对该物体施加一水平恒力F，在t时刻，物体的速度减小到最小值，此后速度又不断增大.则下列说法正确的是(　　) A．水平恒力F大小为 B．在t=0时刻，水平恒力与初速度间的夹角为127° C．在2t时刻，物体速度大小为为 D．若零时刻起，水平恒力方向不变，大小变为2F，则在t时刻，物体的速度大小仍为v0 答案　AD 解析　A．因为物体的最小速度不等于零，所以力F与v0方向是不共线的，根据曲线运动的规律，此最小速度应该是初速度v0在垂直于F方向的分量，初速度的另一个与力F方向相反的分量大小应为,即物体在沿着力F相反的方向的分运动是匀减速运动，经时间t减到零，由运动学公式可知,根据牛顿第二定律可知，水平恒力F大小为.故A正确；B．将初速度分解为与F共线和与F垂直，有由几何知识知，力F与初速度间的夹角为143°故B错误；C．由速度公式可知，在2t时刻，物体沿力F方向的速度大小为,在2t时刻，物体速度大小为.故C错误；D．若零时刻起，水平恒力方向不变，大小变为2F，由牛顿第二定律可知，物体的加速度变为2a，由速度公式可知，在t时刻，物体沿力F方向的速度大小为,在2t时刻，物体速度大小为,故D正确.故选AD. 【变式训练10-19】（多选）如图所示，是倾角为的光滑斜面，已知，、均与垂直．在斜面上的点，将甲球以速度沿方向入射的同时，在斜面上的点将乙球由静止释放，则以下判断正确的是(　　) A．甲、乙两球不可能在斜面上相遇 B．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，总是在同一水平线上 C．甲、乙两球一定在斜面上相遇 D．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，在相同时间内速度的改变总是相同 【答案】BD 【解析】ABC．甲做类平抛运动，乙做初速度为零的匀加速直线运动，与类平抛运动沿斜面向下方向上的运动规律相同，可知甲乙两球在斜面上运动的过程中，相同时间内沿斜面向下的位移相同，即总是在同一水平线上，若斜面足够长，两球一定会在斜面上相遇，但是斜面不是足够长，所以两球不一定在斜面上相遇，故A错误，B正确，C错误； D．因为甲乙两球的加速度相同，则相同时间内速度的变化量相同．故D正确． 故选BD． 【变式训练10-20】类比法是物理学习中经常用到的一种方法。我们可以尝试用类比法分析以下情景（如图1），质量为m的某滑雪运动员以一定初速度v0由O点水平（即v0//CD）滑到一倾斜平台上，平台与水平面成θ角，运动员最终在E点落地。已知O点距水平面的高度为h，试分析：忽略滑板与平台间的摩擦，忽略空气阻力，重力加速度为g，运动员在平台上的加速度a的大小是 ，沿初速度方向做 运动。    【答案】 gsinθ 匀速直线 【详解】[1]根据题意，对运动员受力分析，如图所示    垂直斜面方向上，由平衡条件有 沿斜面方向上，由牛顿第二定律有 解得，方向沿斜面向下。 [2]根据题意，由力的等效性可知，运动员等效只受沿斜面向下的力，大小为，运动员沿斜面水平方向以滑出，即力的方向与方向垂直，则在方向做匀速直线运动。 【变式训练10-21】在光滑的水平面内，建立一平面直角坐标系，一质量m=1kg的小物块以速度v0=10m/s沿x轴正方向运动，经过原点O时开始受一沿y轴正方向的恒力F=5N作用，直线OA与x轴成37°角，如图所示.(sin37°=0.6，cos37°=0.8) (1)如果小物块的运动轨迹与直线OA相交于P点，则求物块从O点到P点所经历的时间以及P点的位置坐标. (2)求小物块经过P点时的速度大小vp以及速度方向与x轴的夹角α (用tanα表示). 答案　(1)3s （30m，22.5m）；(2)；tanα=1.5 解析　(1)物体做类平抛运动 a= x=t   y=a         联立可得t=3s，x=30m，y=22.5m 即P点的位置坐标为（30m，22.5m） (2)物体在P点时 =at=15m/s   m/s 【变式训练10-22】如图所示，有一倾角为的光滑斜面，斜面长 为 ，一小球从斜面顶端以的速度沿水平方向抛出，求： (1) 小球沿斜面滑到底端时水平位移 ； (2) 小球到达斜面底端时的速度大小．（ 取） (3) 若在斜面上沿 、 两点所在的直线凿一光滑的凹槽，则小球由静止沿凹槽从 运动到 所用的时间 【答案】(1)； 【解析】小球沿斜面方向的加速度 ； 根据得， ； 则水平位移； (2)； 【解析】小球达到底端时沿斜面方向的分速度 ； 则． (3)． 【解析】小球沿斜槽的加速度 ； 斜槽的长度 ； 根据代入数据 得． 【变式训练10-23】如图所示，将质量为 的小球从倾角为 的光滑斜面上 点以速度 水平抛出（即 ），小球运动到 点，已知 点的高度为 ，求： (1) 小球到达 点时的速度大小； (2) 小球到达 点的时间． 【答案】(1) 【解析】设小球从 A 点到 B 点历时为 t，则由运动学公式及牛顿第二定律得： ，① ，② ，③ ．④ 由 ①②③④ 得：，． (2) 【解析】由（1）得 【变式训练10-24】如图所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求： (1)飞机受到的升力大小； (2)在高度h处飞机的速度大小。 【解析】(1)飞机水平速度不变：l＝t， 竖直方向加速度恒定：h＝ 消去t解得a＝ 由牛顿第二定律：F＝mg＋ma＝mg(1+)。 (2)在高度h处，飞机竖直方向的速度＝at＝ 则速度大小：v＝ ＝ 【变式训练10-25】直角坐标系处于竖直平面内，将一质量的小球从坐标原点O处抛出，抛出的初速度大小为，方向与y轴正向成角，抛出小球的同时施加一与y轴正向成角，大小的恒定作用力，已知F和与坐标系处于同平面内，如图所示，不计空气阻力，g取.求： (1)小球受到的合力大小和方向； (2)小球第一次经过y轴所用时间. 答案　(1)10N，方向：与y轴正方向夹角为，斜向左上方；(2) 解析　(1)小球受重力和拉力F，将F分解到x轴和y轴上 在x轴方向的合力 方向：沿x轴负向 y轴方向的合力 方向：沿y轴正方向 则小球所受合力大小为 方向与y轴正方向夹角为a，则 由角度的正切值可知，，斜向左上方 (2)为恒力且与垂直，故小球做类平抛运动,设历时t第一次经过y轴，坐标为y 加速度为,方向与y轴正向成角 则方向的位移 方向的位移为 解得 题型11：斜抛模型 1、 斜抛运动 处理方法 水平竖直正交分解 化曲为直 最高点一分为二变平抛运动 逆向处理 将初速度和重力加速度 沿斜面和垂直斜面分解 基本规律 水平速度： 竖直速度： 最高点： 最高点：速度水平 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t① vx＝v0x＝v0cos θ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③ vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④ 5.方法与技巧 (1)斜抛运动中的极值 在最高点，vy＝0，由④式得到t＝⑤ 将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥ 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0， 由③式得总时间t总＝⑦ 将⑦式代入①式得物体的射程xm＝ 当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大． 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大． (2)逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题． 【典型例题1】如图所示，将一篮球从地面上方的B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上的A点.若抛射点B水平向左移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，不计空气阻力，则下列方法可行的是（    ）    A．减小抛射角，同时增大抛射速度的大小 B．减小抛射角，同时减小抛射速度的大小 C．增大抛射角，同时减小抛射速度的大小 D．增大抛射角，同时增大抛射速度的大小 【答案】C 【解析】由于篮球始终垂直击中A点，可应用逆向思维，把篮球的运动看作从A开始的平抛运动。当B点水平向左移动一小段距离时，A点抛出的篮球仍落在B点，则竖直高度不变，水平位移减小，球到B点的时间 故时间t不变，竖直分速度 即竖直分速度不变，水平方向满足 由于x减小，可知减小，合速度 即合速度变小，与水平方向的夹角 可知变大。可知若要符合题意仍使抛出的篮球垂直击中A点，应减小抛射速度v0，同时增大抛射角θ。 故选C。 【典型例题2】如图所示，某同学在距离篮筐一定距离的地方起跳投篮，篮球在A点出手时与水平方向成60°角，速度大小为v0，在C点入框时速度与水平方向成角。现将篮球简化成质点，忽略空气阻力，取重力加速度为g，则下列分析正确的是（　　） A．篮球在空中飞行过程中，单位时间内的速度变化量大小改变 B．AC两点的高度差大小为 C．篮球在最高点时重力势能的大小是动能大小的2倍 D．篮球在C点时候的速度大小为v0 【答案】B 【解析】A．篮球在空中飞行过程中，仅受重力作用，做匀变速曲线运动，故单位时间内的速度变化量大小不变，A错误； B．A点竖直方向上和水平方向上的分速度分别为， C点竖直方向上分速度为竖直方向上可视为竖直上爬运动，根据运动学关系可得AC两点的高度差大小为，B正确； C．未确定重力势能的零势能面，故篮球在最高点时重力势能的大小与动能大小的无法比较，C错误； D．篮球在C点时候的速度大小为，D错误。故选B。 7.如图所示，从地面上同一位置抛出两小球 、，分别落在地面上的 、 点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则(　　) A． 的加速度比 的大 B． 的飞行时间比 的长 C． 在最高点的速度比 在最高点的大 D． 在落地时的速度比 在落地时的大 【答案】CD 【解析】A．两球加速度都是重力加速度 ，A 错误； B．飞行时间 ， 相同则 相同，B 错误； C．水平位移 ，在 相同情况下， 越大说明 越大，C正确； D．落地速度 ，两球落地时竖直速度 相同，可见 越大，落地速度 越大，D 正确． 故选CD． 【典型例题3】掷铅球是一个需要力量和灵活性的运动，今年的学校运动会，高三（5）班学生周红要参加掷铅球比赛，傍晚来到运动场训练，热身后（不计空气阻力，重力加速度取10m/s2，） （1）她在第一次投掷中把铅球水平推出，高度为h=1.5m，速度为v0=8m/s，则铅球被推出的水平距离是多少米？ （2）第一次投掷后体育老师给了建议，让她投掷时出手点高一点，斜向上推出铅球。于是，第二次她从离地高为H=1.65m处推出铅球，出手点刚好在边界线上方，速度方向与水平方向成53°，如图所示，此次推出铅球时铅球的速度大小仍为8m/s，则这次投掷的成绩为多少米？    【答案】（1）；（2）7.2m 【详解】（1）由平抛运动知识 解得铅球被推出的水平距离为 （2）被推出的铅球在竖直方向做竖直上抛运动，则有 解得 ，（舍去） 铅球在水平方向做匀速直线运动，则这次投掷的成绩为 【典型例题4】滑雪运动越来越受到青少年们的青睐。滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳台、着陆坡、停止区组成，其场地可以简化为如图甲所示的模型；图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，A为助滑道的最高点，D为助滑道的最低点，B为跳台起跳点，起跳区DB为倾角的斜面，着陆坡道为倾角的斜面。在某次训练中，运动员从A点由静止开始下滑，到起跳点B沿斜面向上飞出，最后落在着陆坡道上的C点。A、B、C、D在同一竖直平面内，已知A、B点间的高度差，不计一切阻力和摩擦，取重力加速度的大小。求： （1）运动员完成空中动作的时间t； （2）运动员到达C点的速度大小。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设运动员及装备总质量为m，由动能定理得设运动员从B到C的时间为t，将运动分解到垂直斜坡方向和沿着斜坡方向，在垂直斜坡方向上； 且落到斜坡上时代入数据解得 （2）在沿着陆坡道方向上；；代入数据解得 【变式训练11-1】如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为，成绩为，假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为，运动员可视为质点，不计空气阻力，则有(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性知平抛运动的水平位移为，则有： ；得： 运动员通过最高点时的速度为： 则有：，故B正确，ACD错误． 故选B． 【变式训练11-2】小明参加学校举行的定点投篮比赛，他投出的第一球正好沿水平方向从篮筐的上边缘飞过，打板后进入篮筐得分，他投出的第二球又正好“空心”进筐得分．设小明两次投篮时球的出手点相同，出手时的初速度分别为、 初速度的水平分量分别为、，则下列关系一定正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】两次投篮时球的出手点相同，第一球正好沿水平方向从篮筐的上边缘飞过，投出的第二球正好“空心”进筐，故第一球在轨迹的最高点，而第二球应该经过了最高点之后，由竖直方向的运动特点知，第一球从出手到篮筐的运动时间要小于第二球，如果将球看作质点，球的水平位移相同，由，故时间长的速度小，故有；从竖直方向看，第二球上升高度大，故，无法判断、的大小关系，故C正确，A、B、D错误． 故选C． 【变式训练11-3】两名同学在篮球场进行投篮练习，投篮过程如图所示，篮球抛出点距离篮筐初始位置的水平距离为、竖直高度为。同学甲在点原地静止不动，将篮球以速度与水平成角的方向斜向上抛出，篮球投入篮筐；同学乙以的速度运球至点，将篮球相对同学乙自身竖直向上抛出，也将篮球投入篮筐。篮球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取，，。下列说法正确的是（　　） A．同学甲将篮球抛出时的速度大小为 B．同学乙将篮球抛出时竖直向上的分速度为 C．同学甲抛出的篮球最大高度较高 D．甲、乙同学抛出的篮球在空中运动的时间相等 【答案】C 【详解】A．同学甲抛出的篮球在空中做斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，则 解得 选项A错误； D．同学乙将篮球投入篮筐所用时间为 可知甲、乙两同学投出的篮球在空中运动的时间不相等，选项D错误； B．设同学乙抛出球时竖直方向的分速度为，则 解得 选项B错误； C．同学甲投出的篮球在竖直方向的分速度为 根据 可知同学甲投出的篮球最大高度较高，选项C正确。 故选C。 【变式训练11-4】在某校秋季运动会，该运动会在全体同学和老师的共同努力下获得了圆满成功。其中高三某班张明同学参加了三级跳远，并获得了高三年级组本项目的冠军，设张明同学在空中过程只受重力和沿跳远方向恒定的水平风力作用，地面水平、无杂物、无障碍，每次和地面的作用时间不计，假设人着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，每一次起跳的速度方向和第一次相同，则张明同学从A点开始起跳到D点的整过程中均在竖直平面内运动，下列说法正确的是（　　）    A．每次从最高点下落过程都是平抛运动 B．每次起跳到着地水平位移 C．从起跳到着地三段过程中水平方向速度变化量相等 D．三段过程最高点的速度相同 【答案】C 【详解】A．平抛运动只受重力作用，而题目中说明了还受到恒定的水平风力作用，所以每次从最高点下落过程都不是平抛运动，故A错误； BD．由题意可知，人着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，每一次起跳的速度方向和第一次相同，根据 可知每次起跳高度相同，由 可知每次起跳在空中的时间相同，而水平方向每次起跳都是匀加速直线运动，第一次的位移为 第一次到达最高点时， 第二次位移为 第二次到达最高点时 可知两次位移之比不是1：3，最高点速度也不相同，故BD错误； C．从起跳到着地三段过程在空中时间相同，根据，可知从起跳到着地三段过程中水平方向速度变化量相等，故C正确。 故选C。 【变式训练11-5】某篮球爱好者进行二分球投篮训练时，某一次篮球的运动轨迹如图所示，A是篮球的抛出点，是篮球运动轨迹的最高点，是篮球的入框点。已知篮球在A点的速度与水平方向的夹角为，在点速度大小为，与水平方向的夹角为，重力加速度大小为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．篮球经过B点时的速度为0 B．从A点到C点，篮球的速度变化量大小是 C．篮球从A点抛出时的速度为 D．B、C两点的高度差为 【答案】C 【详解】A．篮球做斜抛运动，到达最高点时竖直分速度为零，但水平分速度不为零，所以最高点的速度不为零，故A错误； BC．由C点速度可知篮球在水平方向的速度为 在竖直方向速度 方向竖直向下；根据平抛运动规律可知篮球在A点速度为 A点竖直方向速度为 方向竖直向上；从A点到C点，篮球的速度变化量大小是，故B错误，C正确； D．B、C两点的高度差为 故D错误。 故选C。 【变式训练11-6】（多选）“跳一跳”小游戏需要操控者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边等高平台上。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，其最高点离平台的高度为h，水平速度为v。若质量为m的棋子在运动过程中可视为质点，只受重力作用，重力加速度为g，则（　　）    A．棋子从抛出点落到旁边平台上所需时间 B．棋子从最高点落到旁边平台的过程中，棋子的水平位移大小 C．棋子在最高点的速度为零 D．若速度v变大，则棋子跳到旁边平台上所用的时间不变 【答案】ABD 【详解】A．从最高点到平台的过程可以看作是平抛运动，根据 得，从抛出点到平台过程为 ，故A正确； B．棋子从最高点落到平台的过程中，棋子的水平位移大小，故B正确； C．最高点的竖直速度为零，但是速度为水平速度和竖直速度的合成，水平方向做匀速直线运动，所以最高点的速度不为零，故C错误； D．从最高点到平台过程为平抛运动，运动的时间由高度决定，与最高点的速度无关，故D正确； 故选ABD。 【变式训练11-7】（多选）如图所示，在水平地面上 M 点的正上方某一高度处，将 球以初速度 水平向右抛出，同时在 M 点右方地面上 N 点处，将 球以初速度 斜向左上方抛出，两球恰在 M、N 连线的中点正上方相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中 (　　) A．初速度大小关系为 B．速度变化量相等 C．水平位移大小相等 D．都不是匀变速运动 【答案】BC 【解析】由题意可知，两球的水平位移相等，C正确； 由于只受重力的作用，故都是匀变速运动，且相同时间内速度变化量相等，B正确，D错误； 又由 可得A错误． 故选BC． 【变式训练11-8】（多选）车手要驾驶一辆汽车飞越宽度为 的河流．在河岸左侧建起如图所示高为 、倾角为 的斜坡，车手驾车从左侧冲上斜坡并从顶端飞出，接着无碰撞地落在右侧高为 、倾角为 的斜坡上，顺利完成了飞越．已知 ，当地重力加速度为 ，汽车可看作质点，忽略车在空中运动时所受的空气阻力．根据题设条件可以确定(　　) A．汽车在左侧斜坡上加速的时间 B．汽车离开左侧斜坡时的动能 C．汽车在空中飞行的最大高度 D．两斜坡的倾角满足 【答案】CD 【解析】设汽车从左侧斜坡飞出时的速度大小为 ，飞出后，汽车水平方向以 做匀速直线运动，竖直方向以 为初速度做竖直上抛运动，则汽车从飞出到最高点的过程中，竖直方向有 ，汽车无碰撞地落在右侧斜坡上，说明车落在斜坡上时速度方向与斜坡平行，故汽车落在斜坡上时的速度大小为 ，对汽车从最高点到右侧斜坡的过程，竖直方向有 ，联立以上三式，解得 ，选项 C 正确；因为 ，汽车落在右侧斜坡上时，竖直方向的分速度 大于从左侧斜坡 飞出时竖直方向的分速度 ，但水平方向分速度大小相同，故 ，所以 ，选项 D 正确；因汽车的质量未知，故汽车离开左侧斜坡时的动能无法求解，选项 B 错误；因汽车在左侧斜坡运动过程的初速度及加速度均未知，故运动时间无法求解，选项 A 错误． 故选CD． 【变式训练11-9】某旋转喷灌机进行农田喷灌的示意图如图所示，喷口出水速度的方向可调节。该喷灌机的最大功率为，喷灌机所做功的转化为水的动能，喷口的横截面积，水的密度，重力加速度，，喷口距离地面的高度，忽略空气阻力，不考虑供水水压对水速的影响。求： （1）喷灌机的最大喷水速度v； （2）喷口出水速度方向与水平面夹角时，该喷灌机的最大喷灌面积。（保留三位有效数字） 【答案】（1）10m/s；（2）285m2 【详解】（1）设在∆t时间内从喷口处喷出水的质量为∆m，则 由能量关系 解得v=10m/s （2）喷口出水速度方向与水平面夹角时，则 该喷灌机的最大喷灌面积 解得 =285 【变式训练11-10】如图甲所示，篮球是一项学生热爱的运动项目，在一次比赛中，某同学以斜向上的速度将篮球抛出，篮球与篮板撞击后落入篮筐，可得到此次篮球运动轨迹的简易图如图乙所示。若此次运动中；篮球的初速度与竖直方向夹角θ=53°，大小为v1=5m/s，篮球抛出后恰好垂直打在篮筐上方后被反向弹回并且从篮筐正中央落下。已知撞击点与篮筐竖直距离h=0.2m，篮球与篮板撞击时间为。篮筐中心与篮板的水平距离为L=0.6m，篮球质量为m=0.6kg，重力加速度为g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，不计空气阻力，篮球运动过程中可以看成质点。求： （1）篮球抛出瞬间，同学对篮球所做的功W的大小； （2）篮球与篮板撞击前瞬间的速度v2的大小和撞击后瞬间的速度v3的大小； （3）篮球与篮板撞击瞬间，篮球所受水平方向平均撞击力F的大小。 【答案】（1）7.5J；（2），；（3）420N 【详解】（1）设篮球抛出瞬间，同学对篮球所作的功为W由动能定理 解得 W=7.5J （2）篮球与篮板撞击前瞬间的速度等于篮球抛出时水平方向的分速度，所以 解得 篮球与篮板撞击后瞬间速度也是水平，碰后篮球做平抛运动，故 ， 解得 （3）取v2的运动方向为正方向，篮球与篮板撞击瞬间，对篮球，由动量定理得 解得 F=420N 【变式训练11-11】在仰角 的雪坡上举行跳台滑雪比赛（如图所示），运动员从高处滑下，能在 点借助于器材与水平方向成 角的速度 跳起，最后落在坡上 点。假如 的大小不变，那么以怎样的 角起跳能使 最远？最远距离为多少？ 【答案】30°； 【解析】解析一： 以 点为原点，设经过时间t 落到 A 点，建立水平和竖直方向的 x-y 坐标 从以上方程组中消去 t 和 y，可得 式中 、a、g 等都是定值，不难看出当 ， 时 有极大值 此时 OA 有极大值 解析二： 将运动员的运动看成与水平方向成 θ 角的匀速直线运动和一个自由落体运动的合运动（如图所示），在 中用正弦定理 用第二个等式消去 t，同样可以得到求极大值以后的结果是一样的。 题型12：抛体运动中的功能与动量 【典型例题1】如图所示，竖直面内有一以O为圆心的圆形区域，直径AB与水平方向的夹角 =30°。一小球自A点由静止释放，从圆周上的C点以速率v0穿出圆形区域。现将几个质量为m的小球自A点，先后以不为零的不同水平速度平行该竖直面射入圆形区域。忽略空气阻力，重力加速度大小为g。求： (1)该圆形区域的半径； (2)为使小球穿过圆形区域动能增量最大，该小球进入圆形区域时的速度大小； (3)为使小球穿过圆形区域前后的动量变化量大小为mv0，该小球进入圆形区域时的速度大小。 【答案】(1) ；(2)；(3) 【详解】(1)小球从圆周上的C点以速率穿出圆形区域，故AC沿竖直方向 由几何关系可知 由运动学公式可知 解得 (2)只有重力做功，故由圆形区域最低点（图中D点）穿出的小球重力做功最多，动能增量最大，由运动学公式可得 解得 (3)只受重力作用，且平抛运动的运动时间只与高度有关，故穿过圆形区域前后的动量变化量大小为的小球，必然从与C点等高的B点穿出，由运动学公式可得 解得 【典型例题2】质量为m的物块从某一高度以动能E水平抛出，落地时动能为3E.不计空气阻力，重力加速度为g.则物块(　　) A．抛出点的高度为 B．落地点到抛出点的水平距离为 C．落地时重力的功率为g D．整个下落过程中动量变化量的大小为2 【答案】　D 【解析】　由动能定理得 mgh＝3E－E＝2E，故抛出点的高度为h＝，故A错误；由E＝m，水平方向x＝t，竖直方向h＝g，解得落地点到抛出点的水平距离为x＝，故B错误；落地时速度的竖直分量＝＝2，故落地时重力的功率为P＝mg＝2g，故C错误；整个下落过程中动量变化量的大小为Δp＝mΔ＝m·2＝2，故D正确． 【变式训练12-1】我国正在攻关的超高速风洞，是研制新一代飞行器的摇篮，它可以复现40到100公里高空、时速最高达10公里/秒，相当于约30倍声速的飞行条件。现有一小球从风洞中的点M竖直向上抛出，小球受到大小恒定的水平风力，其运动轨迹大致如图所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点动能为，在O点动能为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球所受重力和风力大小之比为 B．小球落到N点时的动能为 C．小球在上升和下降过程中机械能变化量之比为 D．小球从M点运动到N点过程中的最小动能为 【答案】BD 【详解】A．根据题意，设风力大小为F，小球的质量为m，小球的初速度为，MO的水平距离为，竖直距离为h，竖直方向上有 则有 从M到O过程中，由动能定理有 可得 又有 水平方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 由于运动时间相等，则 则有 解得 故A错误； B．根据题意可知，小球在水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，由对称性可知，小球从和从的运动时间相等，设ON的水平距离为，则有 小球由过程中，由动能定理有 解得 故B正确； C．由功能关系可知，小球机械能的变化量等于风力做功，则小球在上升和下降过程中机械能变化量之比为 故C错误； D．根据题意可知，小球在重力和风力的合力场中做类斜抛运动，当小球速度方向与合力方向垂直时动能最小，根据前面分析可知合力与竖直方向的夹角的正切值为 根据速度的合成与分解可得小球从M点运动到N点过程中的最小速度为 则最小动能为 故D正确。 故选BD。 【变式训练12-2】如图所示，网球运动员发球时，将质量为m的网球（可将其视为质点）从空中某点以初速度水平抛出，网球经过M点时，速度方向与竖直方向夹角为；网球经过N点时，速度方向与竖直方向夹角为。不计空气阻力，网球在从M点运动到N点的过程，动量变化大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据平抛运动规律可知，网球在M点时竖直分速度为 在N点的竖直分速度为 则网球从M点到N点的时间为 在从M点运动到N点的过程，由动量定理求得网球动量变化大小为 故选D。 【变式训练12-3】小明在进行定点投篮，以篮球运动所在的竖直平面内建立坐标系xOy，将一质量为m的篮球由A点投出，其运动轨迹经过A、B、C、D，C为篮球运动的最高点，如图所示。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，篮球可视为质点。下列说法正确的是（    ） A．C点坐标为（0，L） B．篮球由B到C和由C到D的过程中，动能的变化量相同 C．篮球在C点时，重力的瞬时功率为 D．篮球由A到B和由C到D的过程中，动量的变化量大小相等，方向相反 【答案】A 【详解】A. 依题意，篮球抛出后做斜抛运动，利用逆向思维，可知篮球从C点做平抛运动到A点，设C点的坐标为，从C点到B点用时为t，由乙图可知 ，， 联立可得 故A正确； B. 篮球由B到C过程中，重力做负功，动能减小；由C到D的过程中，重力做正功动能增大，变化量绝对值相等，但一正一负，故B错误； C. 篮球在C点是轨迹的最高点，其竖直方向的速度分量为0，因此篮球在C点时，重力的瞬时功率为零，故C错误； D. 由乙图可知篮球从A到B和由C到D过程水平方向发生的位移相等，则所用时间相等，根据动量定理可得 所以动量变化量相同，故D错误。 故选A。 【变式训练12-4】如图所示，空间有一底面处于水平地面上的长方体框架长为，且，从顶点沿不同方向平抛完全相同的小球（可视为质点），重力加速度为。求： （1）从线段上射出的小球中的最小初速度； （2）分别击中点和点的小球的初动能之比； （3）所有运动轨迹与线段相交的小球在交点处的速度偏转角（可用三角函数表示）。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）从线段上射出的小球中，从射出的小球初速度最小，此时 解得 （2）对击中的小球，有 其动能 击中的小球的初动能与击中的小球的初动能相同，即 联立解得二者动能比为 （3）由题意得，当运动轨迹与线段相交时，所有小球的位移偏转角相同，其正切值 故速度偏转角的正切 即速度偏转角为 【变式训练12-5】如图所示，竖直面内有一正方形区域，其边和边水平。一小球自点由静止释放，从点以速率穿出区域。现将等若干个小球自点，先后以不同的水平速度平行该竖直面抛入区域，小球从边上除两点以外的各处穿出边。忽略空气阻力，重力加速度的大小为。 （1）求该正方形区域的边长； （2）小球是所有穿过正方形区域过程中动量变化量为的小球中，穿出时速度最大的小球，求其进入正方形区域时速度的大小； （3）小球穿过正方形区域的过程中，它们的动能变化量之比为，求小球穿出正方形区域时速度的大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）静止释放的小球从点以速率穿出正方形区域，因沿竖直方向，由几何关系可知 解得 （2）由题意水平抛出的穿出时速度最大的小球，应由点穿出，由运动学公式及几何关系 解得 （3）由题意水平抛出的小球应由边的中点穿出，由运动学公式及几何关系得 解得 题型13：实验：探究平抛运动的特点 【典型例题1】我国对儿童玩具枪的弹丸的射出速度有严格要求。实验小组研究某款玩具枪是否符合规定。小组同学使玩具枪从点射出弹丸，将弹丸离开枪口后的运动看作平抛运动，用照相机拍出弹丸的运动轨迹如图所示。、、是小球平抛轨迹上三个不同时刻对应的位置，是水平线，是竖直线，、、的延长线与交点的间距分别为和。已知照片与实际大小的比例为，测得照片中，，、、三点在水平方向的间距，。 （1）照片中的　　。 （2）若取重力加速度大小，则弹丸从枪口射出的初速度大小为 　　。 （3）为了减小实验误差，请提出一条合理的建议：　　。 【解析】（1）以抛出点为原点，初速度方向为轴方向，竖直方向为方向，建立直角坐标系；设点与轨迹点的连线的延长线与线的交点点在上的投影点）与点间距为，则： ； 可得， 即该投影点在轴是匀速下降， 由于从到、到的水平分位移之比为： 故时间， 则， 又， 解得：； （2）已知照片与实际大小的比例为，根据可得，投影点在轴是匀速下降的速度 投影点在轴方向匀速运动，在轴方向匀速运动，则有： 联立解得：； （3）为了减小实验误差，可以小球平抛轨迹上三个不同时刻对应的位置、、点间距离可以适当大一些。 故答案为：（1）2.0；（2）；（3）、、点间距离可以适当大一些。 【典型例题2】在“研究平抛运动”实验中， （1）如图1所示，当小球飞出后，与横挡条相撞（图2为小球与挡条挤压复写纸的侧面图），通过挤压，复写纸会在白纸上留下一个痕迹，在描绘平抛运动轨迹时，坐标原点应选小球在斜槽末端点时的 　　。 ．球的底端 ．球心 ．球的上端 （2）在此实验中，下列说法错误的是 　　。 ．斜槽轨道必须光滑 ．记录的点应适当多一些 ．用光滑曲线把所有的点连接起来 ．轴的方向根据重垂线来确定 （3）同学通过正确的实验步骤及操作，在坐标纸上描出了小球水平抛出后的运动轨迹。部分运动轨迹如图3所示。图中水平方向与竖直方向每小格的长度均为，、和是轨迹图线上的3个点，和、和之间的水平距离相等。重力加速度为。可求出小球从运动到所用的时间为 　　，小球抛出时的水平速度为 　　。 【解析】（1）由图2可知，小球通过挤压复写纸在白纸上留下的痕迹点是小球球心在白纸上的投影点，而坐标原点与其他痕迹点理论上都应在一条抛物线上，所以坐标原点应选小球在斜槽未端点时的球心，故错误，正确； 故选：。 （2）实验要求小球每次从斜槽未端抛出时的速度相同，所以每次应从斜槽上同一位置由静止释放小球，但斜槽是否光滑对上述要求无影响，即斜槽不必光滑，故错误； 为了使描绘出的曲线能够尽可能接近小球真实的运动轨迹，记录的点应适当多一些，并且要用平滑曲线把所有的点连接起来，故正确； 轴的方向必须为竖直向下，所以需要根据重垂线来确定，故正确； 本题选错误的，故选：。 （3）由题意可知小球从运动到所用的时间和从运动到所用的时间相等，设为，根据运动学规律有 △ 解得：， 小球抛出时的水平速度为 。 故答案为：（1）；（2）；（3）；。 【典型例题3】在“研究平抛物体的运动”实验中： （1）实验中用到的器材有木板、小球、斜槽、铅笔、图钉、坐标纸，必要的器材是 　　 ．秒表．天平．重垂线．弹簧测力计 （2）若以为坐标原点建立坐标系如下图示，某同学记录了轨迹上的、、三点，各点的坐标如图，则到运动的时间　　，物体运动的初速度大小为 　　，点速度方向与水平方向夹角的正切值为 　　，小球经过点时速度大小为 　　。 【解析】（1）．实验可以用△，求时间，不需要秒表，故错误； ．实验无需知道物体的质量也不需要测量重力，不需要天平和弹簧测力计，故错误； ．实验需要用重垂线校准木板是否竖直，故正确。 故选：。 （2）由△ 可得到运动的时间 由 可得物体运动的初速度大小为 小球经过点时竖直速度大小为 代入数据解得 点速度方向与水平方向夹角的正切值为 小球经过点时速度大小为 代入数据解得 故答案为：（1）（2）0.1；1.5；；。 【典型例题4】某学习小组用图所示装置研究平抛运动在竖直方向的运动规律。实验操作是：使完全相同的小球、处于同一高度，用小锤轻击弹性金属片，使球水平飞出，同时球被松开。 （1）小组同学们观察到的现象是：小球、　　（填“同时”或“不同时” 落地。多次改变图中实验装置的离地高度后，重复上述操作，均有相同的实验现象，同学们根据这些现象大胆猜想：平抛运动在竖直方向的分运动为 　　。 （2）为进一步验证猜想，该小组同学利用频闪相机得到了小球做平抛运动时的频闪照片如图，已知相机的闪光频率为，结合比例尺测得小球在图中、、三个位置时球心在竖直方向的间距分别为、，则可得到竖直方向的加速度　　，经验证，此值与当地重力加速度在实验误差内接近相等，即可证明实验猜想。 【解析】（1）两小球竖直方向只受重力作用，初速度为零，同时从同一高度落下，观察到的应该是两小球同时落地，即平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动； （2）根据平抛运动规律可得： 竖直方向△， 又， 解得：。 故答案为：（1）同时；自由落体运动；（2）。 【变式训练13-1】在“研究平抛运动”的实验中，可以描绘出小球平抛运动的轨迹，实验的简要步骤如下： ．让小球多次由静止从斜槽上的 　　（选填“同一”或“不同” 位置滚下，记下小球碰到铅笔笔尖的一系列位置。 ．按图1安装好器材，注意调整斜槽末端沿 　　方向，记下平抛初位置点和过点的竖直线。 ．取下白纸，以为原点，以竖直线为轴建立坐标系，用平滑曲线画出平抛运动物体的轨迹。 ．完成上述步骤，将正确的答案填在横线上。 ．上述实验步骤、、的合理顺序是 　　。 ．某同学在做平抛运动实验时得到了如图2中的运动轨迹，、、点的位置在运动轨迹上已标出。则：小球平抛的初速度为 　　。，计算结果保留一位有效数字） 【解析】、为控制小球做平抛运动的初速度一定，需要让小球多次由静止从斜槽上的同一位置滚下； 、为确保小球初速度沿水平方向，安装器材时应调整斜槽末端沿水平方向； 、实验步骤应该先按要求安装好器材，然后进行实验操作并记录数据，最后作实验数据的处理，所以应该按的顺序； 、小球做平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 竖直方向由纸带实验推论公式 可得相邻两个点之间的时间间隔 所以初速度满足； 故答案为：同一，水平，BAC，2 【变式训练13-2】在《研究平抛物体的运动》实验中： （1）实验所需要的测量工具是 　　； （2）下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上：　　。 ．通过调节使斜槽的末端保持水平 ．每次释放小球的位置必须不同 ．每次必须由静止释放小球，且斜槽轨道必须光滑 要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些 （3）小球做平抛运动的坐标原点位置是（设小球半径为　　。 斜槽口末端点 槽口点正上方处 槽口点正前方处 槽口点正上方处 （4）为了准确地测出平抛轨迹上某点的坐标，需要注意的是 　　。 选距原点近一些的点 应正确标出平抛小球的球心在木板上的水平投影点 用重垂线准确地确定纵轴 选距原点远一些的点 【解析】（1）实验中所需要的测量工具是刻度尺； （2）、为了保证小球的初速度方向沿水平方向，斜槽末端需保持水平，故正确； 、为了保证每次小球的初速度相等，让小球每次动斜槽的同一位置由静止释放，斜槽轨道不需要光滑，故错误； 、要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些，故正确； 故选：。 （3）小球做平抛运动的坐标原点位置是在小球球心，即在槽口点正上方处；故正确，错误； 故选：。 （4）要准确地测出平抛轨迹上某点的坐标，需要准确地标出坐标原点和纵轴，还需要选择稍微远一些的点，这样测量的相对误差较小，故正确，错误； 故选：。 故答案为：（1）刻度尺；（2）；（3）；（4）。 【变式训练13-3】（1）利用如图1所示的实验装置研究平抛运动，需要注意两点： ①斜槽末端一定要调整为 　　状态； ②让小球多次从斜槽上 　　由静止滚下。 （2）某同学在实验过程中得到了部分运动轨迹，然后在轨迹上以竖直向下为轴正方向、水平向右为轴正方向建立直角坐标系，如图2所示，其中、、三点坐标分别为、、，重力加速度取，则该同学在实验过程中小球做平抛运动的初速度为 　　（结果保留2位有效数字）。 【解析】（1）①实验要求将斜槽轨道的末端调成水平，保证小球做平抛运动； ②只有让小球多次从同一位置上静止滚下，才能保证小球多次做平抛运动的初速度相等，轨迹相同； （2）在竖直方向上有： △， 则 水平方向有： 故答案为：（1）①水平；②同一位置；（2）2.0。 【变式训练13-4】用如图甲所示装置研究平抛运动。实验操作如下： 将白纸和复写纸固定在竖直的背板上； 将钢球由斜槽上某一位置处静止释放，落在可上下调节的水平挡板上；（挡板靠近背板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上留下印迹）； 上下调节挡板，重复步骤，在白纸上记录钢球所经过的多个位置； 以斜槽水平末端处钢球球心在白纸上的投影点为坐标原点，过点画出竖直的轴和水平的轴；取下坐标纸，　　，就得到钢球做平抛运动的轨迹。 （1）请将操作补充完整。 （2）实验中，必须满足的条件有 　　。（填正确答案标号） ．斜槽轨道末端水平 ．斜槽轨道光滑 ．挡板高度等间距变化 ．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球 （3）通过实验，记录了钢球在运动途中的三个位置，如图乙所示，则该钢球在点速度的大小为 　　，钢球抛出点位置的坐标为 　　。（取 【解析】（1）以斜槽水平末端处钢球球心在白纸上的投影点为坐标原点，过点画出竖直的轴和水平的轴；取下坐标纸，用平滑的曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹。 （2）．斜槽轨道不一定需要光滑，但末端一定要水平，才能保证钢球是平抛运动，故正确，错误； ．挡板只要能记录下小球下落在不同高度的不同位置即可，不需要等间距变化，故错误； ．为了保证小球做平抛运动的初速度相等，小球每次应从斜槽的同一位置由静止释放，故正确； 故选：。 （3）小球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，由△ 可得 平抛运动的初速度 点竖直方向上的分速度 则点竖直方向上的分速度 钢球在点速度的大小为 小球运动从抛出到点的时间 从抛出到点的水平位移 竖直位移 代入数据解得： 设小球抛出点的位置坐标为，，则 将点坐标值 代入数据解得： 即钢球抛出点位置的坐标为。 故答案为：（1）用平滑的曲线把这些印迹连接起来；（2）；（3）；。 【变式训练13-5】某次实验中用频闪照相技术拍下的两小球运动的频闪照片如图所示，拍摄时，光源的频闪频率为，球从点水平抛出的同时，球从与点等高的点开始无初速度下落，背景小方格为相同的正方形，重力加速度取，不计空气阻力。 （1）比较、两小球的运动轨迹能确定平抛运动在竖直方向的运动是 　　（填标号）。 自由落体运动匀速直线运动 （2）照相机拍摄相邻两张照片的时间间隔为　　，并结合照片可知背景小方格的边长为 　　。 【解析】（1）因为相邻两照片间的时间间隔相等，竖直方向上的运动规律与球运动规律相同，知竖直方向上做自由落体运动．故正确，错误． 故选：。 （2）照相机拍摄相邻两张照片的时间间隔为，根据△所以，则小方格的边长为 故答案为：（1） （2）0.1，0.05 【变式训练13-6】在“研究小球做平抛运动”的实验中： （1）如图甲所示的实验中，观察到、两球同时落地，说明 　　；如图乙所示的实验：将两个光滑斜轨道固定在同一竖直面内，滑道末端水平，把两个质量相等的小钢球，从斜面的相同高度由静止同时释放，观察到球1落到水平板上并击中球2，这说明 　　； （2）该同学用频闪照相机拍摄到如图所示的小球平抛运动的照片，小方格的边长，看小球在平抛运动中的几个位置如图丙中的、、、所示，则照相机每隔 　　曝光一次，小球平抛初速度为　　，到达点时的瞬时速度大小为　　，最后一空的计算结果保留两位有效数字）。 【解析】（1）用小锤打击弹性金属片，球就水平飞出，同时球被松开，做自由落体运动，两球同时落到地面，则说明平抛运动竖直方向是自由落体运动； 因为观察到的现象是球1落到水平木板上击中球2，可知球1在水平方向上的运动规律与球2相同，即平抛运动在水平方向上做匀速直线运动； （2）在竖直方向上，根据匀变速直线运动的规律可得△ 得 由公式，可得小球初速度为 点竖直方向的速度 所以点的速度 代入数据解得： 故答案为：（1）平抛运动竖直方向是自由落体运动，平抛运动在水平方向上做匀速直线运动；（2），，8.8 【变式训练13-7】物理老师给学生布置的周末家庭作业是：利用家中可利用的物品，探究物体做平抛运动的规律。李明同学在父亲的帮助下找到了一段弯曲的薄壁金属管、刻度尺、白纸、复写纸、小矩形薄木板、矩形餐桌、直径略小于金属管内径的钢珠等，并按如图1所示进行安装和操作： ①将木板固定在竖直墙壁上，在木板上铺上白纸和复写纸，并固定； ②将金属管固定在餐桌上，金属管所在平面与餐桌的边垂直； ③将餐桌的边和木板紧靠在一起，让钢珠从金属管顶端由静止滚下，通过撞击复写纸，在白纸上记录钢球的落点； ④将餐桌向远离墙面（且垂直于墙面）的方向移动，再让钢珠从金属管顶端由静止滚下，通过撞击复写纸，在白纸上记录钢球的第二个落点； ⑤重复④操作，在白纸上记录钢球的若干落点。 （1）为了正确完成实验，以下做法必要的是 　　 ．李明把钢珠轻轻地放在餐桌桌面上检查桌面是否水平 ．测量小球质量 ．要求金属管内部绝对光滑 （2）通过几次重复试验，挑选了一张理想的有4个连续落点痕迹的白纸，如图2所示。测量的距离依次为、、，重力加速度，钢珠离开桌面时的速度为 　　，钢珠刚要打到点时的竖直方向速度分量大小为 　　。（计算结果均保留两位有效数字） 【解析】（1）．要保证每次钢珠都做平抛运动，则桌面必须水平，故正确； ．根据钢珠的运动作出运动轨迹，不需要测钢珠的质量，故错误； ．只要钢珠离开桌面后做平抛运动，对金属管否光滑没有要求，故错误。 故选：。 （2）由竖直方向上是自由落体运动，则 解得点迹间的时间间隔为 则钢珠离开桌面时的速度为 钢珠刚要打到点时的竖直方向速度分量大小为 故答案为：（1）；（2）2.0；2.0 【变式训练13-8】图甲是“研究平抛运动”的实验装置。 （1）做实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球平抛运动的轨迹。下列操作正确的是 　　； 实验前要检查竖板否竖直 小球运动时不应与竖板上的白纸相接触 调节斜槽末端水平时，可以用眼睛仔细观察斜槽末端是否与铅锤线垂直来确定 （2）在实验中用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长，若小球在平抛运动中的几个位置如图乙中的、、、所示，取重力加速度大小，则小球平抛运动的初速度大小为 　　，小球从抛出到运动至点所用的时间为 　　。 【解析】（1）、实验要检查竖板是否竖直，故正确； 、小球运动时不应与竖板上的白纸相接触，以防止小球改变运动轨迹，故正确； 、实验前要检查斜槽末端是否水平的方法是将小球放在斜槽末端，看小球是否滚动确定是否水平，故错误； 故选：。 （2）根据竖直方向上的运动特点可得： △ 可得： 初速度为： 点的竖直速度为 则小球从抛出到点所用的时间为 故答案为：（1）；（2）1.0；0.075 【变式训练13-9】在“探究平抛运动的特点”实验中： （1）下面的做法可以减小实验误差的有 　　。 ．使用密度大、体积大的球 ．尽量减小钢球与斜槽间的摩擦 ．保持斜槽末端的切线水平 ．实验时让小球每次都从同一高度由静止开始滚下 （2）如图乙所示为小球做平抛运动的一部分位置图，图中背景方格的实际边长为，如果取，那么：点 　　（选填“是”或“不是” 平抛运动初位置。小球从到的时间和从到的时间分别为和，　　（选填“”、“ ”或“” 。 （3）小球做平抛运动的水平初速度大小是 　　；在点时速度大小是 　　（结果保留到小数点后一位）。 【解析】1）．为了减少空气阻力对实验的影响，应用质量大，体积小的物体，即密度大的物体，故错误； ．无论斜槽是否光滑，只要让小球每次都从同一高度由静止开始滚下，保证使小球水平抛出时具有相同的初速度即可，故错误，正确； ．斜槽末端的切线保持水平，是为了保证小球抛出时做平抛运动，从而减小误差，故正确； 故选：； （2）小球做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，由图乙可知，小球从到和从到的水平位移相等，根据 可知，小球从到的时间和从到的时间 假设是抛出点，设小球从到的时间和从到的时间均为，竖直方向上，根据 可得， 则应有 由图乙可知，实际上 则假设不成立，即点不是抛出点。 （3）竖直方向上，根据逐差法有△ 水平方向上有 又有 解得， 小球运动到点，竖直分速度为 小球运动到点的速度为 故答案为：（1）；（2）不是；；（3）0.6；1.0 【变式训练13-10】几组同学进疗了“探究平抛运动的特点”实验，具体如下（部分步骤省略） （1）如图1所示，用小锤打击弹性金属片，球沿水平方向抛出，同时球由静止自由下落，可观察到两小球同时落地；多次实验，结论不变。根据实验，　　（选填“能”或“不能” 判断出球在水平方向做匀速直线运动。 （2）如图2所示，利用装置做“探究平抛运动水平方向运动的特点”实验时，首先通过描点法画出钢球做平抛运动的轨迹，下列说法中正确的是 　　。（填正确答案的相应序号） ．每次释放钢球的位置可以不同 ．挡板每次必须等距离移动 ．重垂线、刻度尺是本实验必需的器材 ．正确操作下，斜槽粗糙对实验结果无影响 【解析】（1）图1中没有平抛运动在水平方向的运动参照，不能判断出球在水平方向的运动类型； （2）、为了保证小球的运动轨迹相同，则每次释放小球的位置必须相同，故错误； 、倾斜挡板每次不一定等距离移动，故错误； 、重垂线、刻度尺是本实验必要的器材，故正确； 、正确操作下，斜槽粗糙对实验结果无影响，因为只需小球到达斜槽底端时速度相等即可，故正确； 故选：。 故答案为：（1）不能；（2） 【变式训练13-11】（1）某实验小组利用图1实验装置进行实验，描绘出平抛运动的轨迹曲线，并研究平抛运动的规律，下列各项设计目的和对应措施合理的是 　　。 ．要保证小球的运动轨迹平行且靠近木板（方格纸），演示仪的木板必须竖直固定放置 ．要体现运动规律的普适性，每次小球释放的初始位置可以任意选择 ．要体现实验的科学和严谨，用折线连接各点，描出小球运动的完整轨迹 ．要保证轴方向竖直，在方格纸上沿重垂线方向绘制轴正方向 ．要保证时间的测量尽量准确，可以采用秒表或光电计时器计时 （2）某同学在做“研究平抛运动”的实验中，忘记记录小球做平抛运动的起点位置，通过规范的操作，描绘的平抛运动部分轨迹如图2所示，取轨迹上的任一点作为坐标原点，可知　　（填“是”或“不是” 平抛运动的起点。若重力加速度取，小球平抛运动的初速度　　（保留3位有效数字）。 【解析】（1）．要保证小球的运动轨迹平行且靠近木板（方格纸），演示仪的木板必须竖直固定放置，故正确； ．为保证小球的运动轨迹相同，每次小球释放的初始位置必须相同，故错误； ．要体现实验的科学和严谨，用平滑的曲线连接各点，描出小球运动的完整轨迹，故错误； ．要保证轴方向竖直，在方格纸上沿重垂线方向绘制轴正方向，故正确； ．该实验不用秒表或光电计时器计时，故错误。 故选：。 （2）相邻两点间水平位移相等，则时间相等，竖直方向的位移之比，不是，则可知不是平抛运动的起点。 竖直方向：△ 则， 小球平抛运动的初速度 。 故答案为：（1）；（2）不是；0.500。 【变式训练13-12】在做“研究平抛运动”的实验时，让小球多次沿同一斜槽轨道滑下，通过描点法画小球做平抛运动的轨迹。 （1）为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上 　　。 通过调节使斜槽的末端保持水平 每次释放小球的位置必须相同 每次必须由静止释放小球 记录小球位置用的铅笔每次必须严格地等距离下降 小球运动时不应与木板上的白纸相接触 将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线 （2）在做该实验中某同学只记录了物体运动的轨迹上的、、三点并以点为坐标原点建立了直角坐标系，得到如图所示的图象。试根据图象求出物体平抛运动的初速度大小为 　　；物体运动到点时的速度大小为 　　。 【解析】（1）．通过调节使斜槽末端保持水平，是为了保证小球做平抛运动，故正确； ．因为要画同一运动的轨迹，必须每次释放小球的位置相同，且由静止释放，以保证获得相同的初速度，故正确； ．记录小球经过不同高度的位置时，每次不必严格地等距离下降，故错误； ．实验要求小球滚下时不能碰到木板上的白纸，避免因摩擦而使运动轨迹改变，故正确； ．将球的位置记录在纸上后，取下纸，最后轨迹应连成平滑的曲线，故错误。 故答案为：。 （2）由题图可知， ， △， 由平抛运动水平方向做匀速直线运动，故水平初速度为 ， 竖直方向做自由落体，并且由图可知，、段时间相同，故 △， 联立解得：，， 竖直方向由平均速度公式 ， 由合速度与分速度关系 。 故答案为：（1）；（2）2.0；。 【变式训练13-13】某同学利用如图甲所示的装置做研究平抛运动的实验时，让小球多次沿同一斜槽滑下，通过描点法得到小球做平抛运动的轨迹。 （1）实验前，反复调节实验装置，直到斜槽末端切线水平，其目的是 　　。 （2）实验时每次都让小球从 　　释放，以保证小球的平抛初速度相同； （3）该同学通过多次描点，得到了小球做平抛运动的轨迹曲线，并以水平方向为轴，竖直方向为轴，得到部分轨迹如图乙所示．则小球平抛的初速度大小　　，小球在点的竖直方向速度大小　　（重力加速度取，计算结果保留两位有效数字）。 【解析】（1）斜槽末端切线水平是为了保证小球具有水平的初速度，从而使小球做的是平抛运动． （2）实验时每次都让小球从同一位置静止释放，以保证小球的平抛初速度相同． （3）小球在竖直方向做自由落体运动，则，且，代入数据解得；又小球在点时的竖直方向的速度，代入数据解得． 故答案为：（1）使小球抛出时的速度水平；（2）同一位置静止；（3）1.0；2.5 【变式训练13-14】某实验小组的同学利用如图甲所示的实验装置“研究平抛物体运动”，通过描点画出平抛小球的运动轨迹。 （1）以下实验过程的一些做法，其中合理的有 　　。 ．安装斜槽轨道，使其末端保持水平 ．每次小球释放的初始位置可以任意选择 ．每次小球应从同一高度由静止释放 ．为描出小球的运动轨迹，描绘的点可以用折线连接 （2）实验得到平抛小球的运动轨迹，在轨迹上取一些点，以平抛起点为坐标原点，测量它们的水平坐标和竖直坐标，如图所示的图像能说明平抛小球的运动轨迹为抛物线的是 　　。 （3）某同学在做平抛运动实验时得到了如图乙所示的运动轨迹，、、三点的位置在运动轨迹上已标出，取，则： ①小球做平抛运动的初速度大小为 　　； ②小球抛出点的位置坐标为：　　，　　。 【解析】（1）、为了使小球从斜槽末端抛出时速度沿水平方向，斜槽末端应保持水平，故正确； 、为了使小球每次从斜槽末端抛出时的速度大小相等，每次小球应从同一高度由静止释放，故错误，正确； 、为描出小球的运动轨迹，描绘的点应用平滑曲线连接，故错误； 故选：。 （2）根据数学知识可知，若图线为顶点在原点的抛物线，则图像应为过原点的倾斜直线，故正确，错误； 故选：。 （3）①由题图乙可知，、、三点中相邻两点的时间间隔相等，设为，根据运动学公式可得： 解得： 小球做平抛运动的初速度大小为： 小球运动到点时的竖直分速度大小为 小球从抛出点运动到点所用的时间为 故抛出点的横坐标为 抛出点的纵坐标为 故答案为：（1）；（2）；（3）2；； 【变式训练13-15】如图甲所示为某实验小组“探究平抛运动”的实验装置。 （1）进行该实验时，需要用到下列哪些器材 　　； 打点计时器 弹簧测力计 重垂线 （2）研究平抛运动，下列说法正确的是 　　； 使用密度大、体积小的小球 必须测出平抛小球的质量 将木板校准到竖直方向，并使木板平面与小球下落的竖直平面平行 尽量减小小球与斜槽之间的摩擦 （3）某同学在白纸上记录了小球的运动轨迹，若小球在平抛运动途中的几个位置如图乙中的、、所示，测出、、的长度，则小球平抛的初速度的计算式为　　（用测出的长度、、和当地重力加速度表示）； （4）下列操作可能引起实验误差的是 　　。 安装斜槽时，斜槽末端切线方向不水平 确定竖直方向时，没有用重垂线 斜槽不是绝对光滑的，有一定摩擦 每次从轨道同一位置释放小球 【解析】（1）该实验需要使用重垂线确定竖直方向，弹簧测力计和打点计时器不需要使用，故错误，正确；故选：。 （2）研究平抛运动，一是尽量减小小球运动中空气阻力的影响，二是准确地描绘出小球的运动轨迹， 使用密度大、体积小的小球，可以减小空气阻力的影响，故正确； 平抛小球的质量对研究平抛运动无影响，故错误； 将木板校准到竖直方向，并使木板平面与小球下落的竖直平面平行，可以准确地描绘出小球的运动轨迹，故正确； 小球与斜槽之间的摩擦对研究平抛运动无影响，故错误； 故选：。 （3）由平抛运$