期中专题复习学案（四）复数-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中专题复习学案（四） 复数 【例1】在复平面内复数，其所对应的点分别为为坐标原点，是虚数单位. (1)求； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要先计算和，再求它们差的模； （2）设出实根，代入方程，根据复数相等的条件求解. 【详解】（1） （2）设是二次方程的一个实根，将 代入方程得： 由复数相等的意义得：，解得： 所以当时，原方程有一实根 【例2】已知复数，且为纯虚数（其中是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； (3)若复数在复平面内对应的点为，为坐标原点，求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用共轭复数，及复数的乘法运算，结合纯虚数概念，即可求参数的值； （2）利用复平面内每一象限点的特征，即可求实数的取值范围； （3）利用复数与向量一一对应，可求把投影向量. 【详解】（1）由已知得, ∴, 依题意得 ，解得： ; （2）∵ 依题意得，解得： ∴的取值范围是; （3）由已知得 ∴， ∴量在上的投影向量坐标为. 【例3】已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； (3)复数满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）运用纯虚数概念，构造方程计算即可； （2）先化简复数，再根据模长公式计算即可 （3）运用复数模长几何意义计算. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又为纯虚数，所以，解得； （2）， 所以 （3）因为，即，所以对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆 表示对应的点到点的距离 又因为圆心到的距离为， 所以最小值为 【例4】已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列不等式求解即可； （2）利用实系数方程的根性质可得也是关于的实系数方程的一个复数根，结合韦达定理即可求得的值，从而得所求； （3）设复数，结合复数模长公式可得的值，由二次函数的性质从而求得的最小值. 【详解】（1）若是纯虚数，则，解得； （2）是关于的实系数方程的一个复数根， 则也是关于的实系数方程的一个复数根， 所以，即， 故； （3）若，则， 设复数，则 因为，所以，则，解得， 所以，当时等号成立， 所以的最小值为. 【例5】已知复数，，其中． (1)若，且为纯虚数，求复数； (2)若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义来确定复数； （2）先设出的表达式，再根据为实数得出相关等式，最后结合的取值范围求出实部的取值范围． 【详解】（1）已知，则． 根据复数乘法法则展开可得： ， 因为为纯虚数，根据纯虚数的定义，可得． 解得．所以． （2）设（，且）． 则． 可得：． 所以． 因为为实数，所以虚部为，即． 因为，可得，即． 此时． 又因为，即，可得． 【例6】瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”． (1)若复数，求：； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定公式，结合复数的乘方及除法运算求解. （2）利用欧拉公式求出的坐标，进而求出夹角的余弦. 【详解】（1）依题意，，， ，因此， 所以． （2），则， 于是，， 所以. 【例7】在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由已知写出点、、的坐标，写出向量，，即可求； （2）由已知可得复数对应的点到点和点距离相等，可知复数对应的点在AB的垂直平分线上，即的实部为3，再计算到的距离，由复数对应的点到原点的距离等于该值，即可解出. 【详解】（1）由已知可得，，，，所以，， 所以； （2）因为，，，所以， 所以复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， . 所以， 所以，解得， 所以或. 【例8】在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 【答案】(1). (2) 【分析】（1）求出的值即可得答案； （2）由题意可得，再利用诱导公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时， ， 故； （2） ， 故. 课堂巩固 1. 设复数（为虚数单位），则的模等于（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先计算，再根据模长公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 2. 设i为虚数单位，复数z满足，则为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知化简可得，，然后根据共轭复数求出，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：B. 3. （多选题）下列四个命题中，假命题为（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数，满足，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的相关概念，即可判断A、B项；取特殊值，即可判断C、D项. 【详解】对于A项，根据共轭复数的概念，实数共轭为自身，可知A项正确； 对于B项，设，则. 因为，所以，所以，故B项正确； 对于C项，取，则，故C项错误； 对于D项，取，，则，故D项错误. 故选：CD. 4. （多选题）下列命题中正确的命题是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数，满足，则 D 若复数，满足，则 【答案】C 【解析】 【分析】设复数，根据复数的运算，验证即可判断A,B；设复数，根据已知等式结合复数运算，即可判断C,D. 【详解】对于A，设复数，则， 所以恒成立，则，故A不正确； 对于B，设复数，则，若，则， 所以，则，故或，则复数是纯虚数或实数，故B不正确； 对于C，设复数，若，即， 所以，整理得， 所以，故C正确； 对于D，设复数， 若，则，整理得， 而可得，所以D不正确. 故选：C. 5. 复数与复数在复平面上对应点分别是A，B，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数运算法则可得两点的坐标，再根据两角和的正切公式即可算出. 【详解】根据复数与对应的点的坐标为，如下图所示： 易知； 则. 故答案为：1 6．判别下列各式在复平面所表示的图形． (1) (2) (3) 【答案】(1)表示以原点为圆心，半径为1的圆周． (2)表示以为圆心，半径为和的两个圆之间的圆环，包括半径为的圆周但不包括半径为的圆周. (3)动点到和的距离相等，表示线段的垂直平分线． 【分析】（1）设，，结合模的定义列方程，根据方程的几何意义求解即可. （2）设，，求，列不等式，结合不等式的几何意义求解即可. （3）设，，由条件结合模的定义列方程，结合两点距离公式确定轨迹即可. 【详解】（1）设，，所以，则，即， 所以在复平面表示以原点为圆心，半径为1的圆周． （2）设，，则，所以， 则，即， 所以在复平面表示以为圆心，半径为和的两个圆之间的圆环，包括半径为的圆周但不包括半径为的圆周. （3）设，，则，， 所以，， 则，即， 所以在复平面表示动点到和的距离相等，表示线段的垂直平分线． 课后作业 1、 单选题 1．已知复数满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设复数，代入方程并分离实部、虚部，根据复数为零的条件列方程组求解，再利用复数模长公式计算. 【详解】设，则， 计算可得， 所以，计算可得， 所以. 2．若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据虚数单位的周期性和复数的除法可得. 【详解】因为，所以， 所以. 3．已知复数，满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由复数的几何意义，模长即为对应向量模长，即可求解. 【详解】在复平面中，设，分别与向量，对应， 由题意可得，， 因为， 即， 解得，即． 二、多选题 4. 下列说法中，正确有（ ） A. 复数满足； B. “为钝角”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的充要条件； C. 已知复数“的虚部相等”是“”的必要条件 D. 在复数范围内，若是关于的实系数方程的一根，则该方程的另一根是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据复数乘法与模长的计算公式可证明是正确的；对于B：复数在复平面内对应的点在第二象限的充要条件为第二象限角；对于C：根据复数相等的概念判断；对于D：复数范围内，关于的实系数方程的两虚数根一定是互为共轭复数. 【详解】对于A：设， 则， 则； ， 所以，故A正确； 对于B：复数在复平面内对应的点在第二象限的充要条件，即为第二象限角，故B错误； 对于C：的充要条件是实部相等且虚部相等，故 “的虚部相等”是“”的必要条件，故C正确； 对于D：复数范围内，关于的实系数方程的两虚数根一定是互为共轭复数，故另一个为，故D错误； 故选：AC 5. 已知复数z满足，则（ ） A. B. z满足方程 C. D. z在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】AB 【解析】 【分析】运用复数除法化简可得，分别运用复数模公式、运算公式及复数几何意义即可判断各个选项. 【详解】因为， 所以， 对于A项，，故A项正确； 对于B项，将代入得：，故B项正确； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，，所以在复平面内对应的点为，故D项错误. 故选：AB. 6. 已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若是纯虚数，则实数 D. 若，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特值法可判断A；设，所以，求出可判断B；由纯虚数概念求解可判断C；由得在复平面内对应的点的轨迹是单位圆，利用圆的性质可判断D． 【详解】对于A，当时，，所以A错误； 对于B，设，因为，所以，于是，所以B正确； 对于C，是纯虚数，则即，故C错误； 对于D，由，得在复平面内对应的点的轨迹是单位圆，所以，所以D正确． 故选：BD． 7. 欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用欧拉公式及特殊角的三角函数值即可求解； 对于B，利用欧拉公式及复数的模公式，结合同角三角形的平方关系即可求解； 对于C，利用欧拉公式及诱导公式即可求解； 对于D，利用欧拉公式及复数的几何意义即可求解. 【详解】对于A，由，得，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，由，得，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 8. 若虚数是关于x的实系数方程的一个根，则的值等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知也是实系数方程的一个复数根，利用根与系数的关系求出m、n的值. 【详解】因为虚数是关于x的实系数方程的一个根， 所以也是实系数方程的一个虚数根， 由根与系数的关系得，即； ， 所以. 故答案为：. 9. 已知复数，且，则（i是虚数单位）的最大值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用复数的几何意义求解. 【详解】因为，复数表示圆心在原点的单位圆， 如图所示： 表示单位圆上的点到点的距离， 由图知：当时，取得最大值3， 故答案为：3 10. 已知，复数，，且，若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据得，再利用配方法可得答案. 【详解】复数，所以， 所以， 因为，所以当时，. 故答案为：. 11. 已知复数z满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可. 【详解】表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值， 减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 12. 已知复数满足，且为纯虚数． （1）求； （2）若，，求实数，的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念可得，再由模长可得，即可确定与； （2）法一：代入，根据复数相等解方程即可；法二：根据复数方程的解列方程即可. 【小问1详解】 为纯虚数，， 且，，， ； 【小问2详解】 法一：把代入：， ， 化简得：， 即， 解得：，. 法二：的一根为，则另一根为：， 则， 解得：，. 13. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. (1)求的值： (2)复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意得，则，由为纯虚数可得； （2），根据其在复平面对应的点在第一象限可得，进而可得. 【详解】（1）由题意可知，， 故， 由题意，得. （2）由（1）可得， ， 由题意可得得，故实数的取值范围为. 14. 已知复数（i为虚数单位）和是关于x的方程两根， （1）求p和； （2）若对应复平面内的点A，且是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求点B对应的复数． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理计算即可； （2）数形结合，利用复数的几何意义计算即可. 【小问1详解】 由题意可得 【小问2详解】 由上知，设，结合图形可得，， 即，故点B对应有两个或， 故或. 15．O为坐标原点，，均大于0，复数，在复平面内对应的点分别为A，B，对应的向量分别为，，若把向量绕点O按逆时针方向旋转角（若，按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数就是积. (1)若对应复数，绕点O按逆时针方向旋转得到，求对应的复数； (2)若复数对应的点为C，是等边三角形； （ⅰ）求； （ⅱ）若的顶点均在正方形边上，点E，F，G的坐标依次为，，，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据新定义运算即可； （2）（i）取，代入运算即可；（ii）画出图形，引入参数，得到，说明即可得解. 【详解】（1）由题意得， 所以对应的复数为； （2）（i）因为是等边三角形，所以不妨设①， 所以； ①， 所以； 所以； （ii）如图所示，的顶点不可能是正方形的顶点，否则与是等边三角形矛盾， 不妨设， 所以， 由图可知， 等号成立当且仅当，即当且仅当， 所以面积为，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为. 【备用题】 1．设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，利用几何图形求解该圆上点到原点距离的范围即为的取值范围； （2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，利用几何图形求解即可. 【详解】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，如图所示. （1）解法代表满足已知圆及圆内点到原点的距离，因此距离最大值为圆心到原点的距离5加半径1，最小值为圆心到原点的距离5减半径1，即. 解法2：由不等式，得，即，解得. （2）（2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，所以点到点的距离为，所以，即最大值为6. 2．已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，可求出； （2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）分方程的两根为实数根与虚数根两种情况求解即可. 【详解】（1）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； （2） ， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得， 解得， 即实数的取值范围为. （3）若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或. 3．已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)求实数m的值； (2)设复数，求； (3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用复数的乘法法则化简复数，根据该复数为纯虚数可求得的值； （2）利用复数的除法法则化简复数，利用复数的模长公式可求得的模； （3）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于实数a的不等式组，即可解得实数a的取值范围． 【详解】（1）因为，则， 所以，又为纯虚数， 所以，解得； （2）， 所以； （3）因为， 所以， 因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则， 解得，所以实数a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中专题复习学案（四） 复数 【例1】在复平面内复数，其所对应的点分别为为坐标原点，是虚数单位. (1)求； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根. 【例2】已知复数，且为纯虚数（其中是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； (3)若复数在复平面内对应的点为，为坐标原点，求向量在向量上的投影向量的坐标. 【例3】已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； (3)复数满足，求的最小值. 【例4】已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 【例5】已知复数，，其中． (1)若，且为纯虚数，求复数； (2)若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围． 【例6】瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”． (1)若复数，求：； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求． 【例7】在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 【例8】在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 课堂巩固 1. 设复数（为虚数单位），则的模等于（ ） A. B. 5 C. D. 10 2. 设i为虚数单位，复数z满足，则为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 3. （多选题）下列四个命题中，假命题为（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数，满足，则 4. （多选题）下列命题中正确的命题是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数，满足，则 D 若复数，满足，则 5. 复数与复数在复平面上对应点分别是A，B，则____________． 6．判别下列各式在复平面所表示的图形． (1) (2) (3) 课后作业 1、 单选题 1．已知复数满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．若复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．已知复数，满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 4. 下列说法中，正确有（ ） A. 复数满足； B. “为钝角”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的充要条件； C. 已知复数“的虚部相等”是“”的必要条件 D. 在复数范围内，若是关于的实系数方程的一根，则该方程的另一根是 5. 已知复数z满足，则（ ） A. B. z满足方程 C. D. z在复平面内对应的点位于第二象限 6. 已知是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若是纯虚数，则实数 D. 若，则的最大值为 7. 欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 三、填空题 8. 若虚数是关于x的实系数方程的一个根，则的值等于______. 9. 已知复数，且，则（i是虚数单位）的最大值是______． 10. 已知，复数，，且，若，则的最小值为__________. 11. 已知复数z满足，则的取值范围为______． 四、解答题 12. 已知复数满足，且为纯虚数． （1）求； （2）若，，求实数，的值． 13. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. (1)求的值： (2)复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 14. 已知复数（i为虚数单位）和是关于x的方程两根， （1）求p和； （2）若对应复平面内的点A，且是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求点B对应的复数． 15．O为坐标原点，，均大于0，复数，在复平面内对应的点分别为A，B，对应的向量分别为，，若把向量绕点O按逆时针方向旋转角（若，按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数就是积. (1)若对应复数，绕点O按逆时针方向旋转得到，求对应的复数； (2)若复数对应的点为C，是等边三角形； （ⅰ）求； （ⅱ）若的顶点均在正方形边上，点E，F，G的坐标依次为，，，求面积的最小值. 【备用题】 1．设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 2．已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 3．已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)求实数m的值； (2)设复数，求； (3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $