期中专题复习学案（一）平面向量选填题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年期中高分突破专题复习学案（一）解析版 平面向量选填题 考点一、平面向量的概念 【典例1】（1） 对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ） A. 若满足，且与同向，则 B. C. 若，则存在唯一的实数，使 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的定义判断选项A，向量减法的三角形法则选项B、D，用向量数量积公式判断C. 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A不正确； 对于B，根据向量加法运算公式可知，当向量与不共线时，两边之和大于第三边，即，当与同向时，等号成立，故B正确； 对于C，若，，不存在实数，使，故C不正确； 对于D，当向量与不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即，故D不正确. 故选：B. 【针对性训练1】给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 【分析】由，可得且向量与同向，可判定A错误；相等向量的起点和终点不一定相同，可判定B错误；根据向量的共线定理，可得判定C正确；根据可能在同一条直线上，可判定D错误. 【详解】对于A中，由，可得且向量与同向， 所以的必要不充分条件是且，所以A错误； 对于B中，若，则它们的起点和终点不一定均相同，所以B错误； 对于C中，若存在实数，使得，根据向量的共线定理，可得，所以C正确； 对于D中，若是平面内的四点，且，则可能在同一条直线上，不一定构成平行四边形，所以D错误. 故选：C. 考点二、平面向量的线性运算 【典例2】 （1）如图，在边长为4的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则=（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分别用基底，表示出，利用向量运算进行求解. 【详解】因为点E为中线BD的三等分点，点F为BC的中点， 所以,, 所以 因为是边长为4的等边三角形，为中线， 所以，， 所以， 所以. 故选：A. （2）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，以为基底表示后可得，求出后结合可求的范围. 【详解】设，则， 故， 又，因不共线， 所以，故，所以， 因为，故， 故选：C. （3）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则动点的轨迹经过的内心 B．若O为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若为的垂心，，则 D．若为锐角的外心，且，则 【分析】根据三角形中中线的向量表示可判断A；根据向量的线性运算得到可判断B；根据，计算可判断C；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断D. 【详解】对于A选项，设中点为，如图， 则，， 所以P点轨迹经过三角形的重心，故A不正确； 对于B选项，， 可得 ，即，所以点为的重心,故B正确； 对于C选项，因为，，又因为为的垂心， 所以，所以，故正确； 对于D选项，因为且， 所以，整理得：，即， 设为中点，则，所以三点共线，如图， 又因为，所以垂直平分，故，正确. 故选：BCD 【针对性训练2】 （1）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为　　 A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 设，将用、表示出来，即可找到和的关系，从而求出的值． 【详解】解：设，， 所以 ， 又， 所以． 故选：． 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来，属中档题． （2）（多选题）已知点P是所在平面内一点，且, ，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点P是边BC的中点 B．若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则 C．若，则 D．若点P在BC边的中线上，且，则点P是的重心 【分析】利用平面向量基本定理逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，P为边BC的中点等价于， 即，，故A错误； 对于B，如图1，点P是边BC上靠近B点的三等分点， 则， 即，，即，故B正确； 对于C，若，则，且， 如图2，设，即，则点在边上， 点为的中点，所以，即C错误； 对于D，若，所以，且， 如图3，设，即，则点在上， 又因为P在BC边的中线上，则即为中线，从而点P为的重心，故D正确. 故选：BD． 考点三、平面向量的基本定理及坐标表示 【典例3】（1） 已知向量，均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可设，，利用向量的坐标运算结合辅助角公式运算求解. 【详解】因为向量，均为单位向量，且，可设， 又因为，设， 则， 可得 ， 因为，则， 当且仅当，即时，的最大值为4. 故选：D. （2）如图扇形所在圆的圆心角大小为，是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由可得出关于的表达式，结合正弦型函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设扇形的半径为，则、， 设点， 因为， 所以，，所以，， 所以，， 其中为锐角，且， 因为，则， 当且时，取得最大值. 故选：C. 【针对性训练3】 （1）如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示，结合二次函数知识，即可求得答案. 【详解】由于， 如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系， 连接由于，则≌, 而，故，则， 则， 设，则，， 故， 当时，有最小值， 故选：B． （2）（多选题）已知是边长为2的等边三角形，分别是上的两点，且，与交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量的模长为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题设条件建立直角坐标系，写出相关点坐标，求出相关向量坐标，利用向量坐标的加减法和数乘积运算，依次检验A,B,C项，利用投影向量的模的定义表达式检验D项即得. 【详解】 由题意可知：为中点，则， 以为原点，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，， 设 由，可得， 即是中点，，故选项正确； ，故选项错误； 又因为则，故选项错误； 易知在方向上的投影向量的模长为，故选项D正确． 故选：BD. 考点四、平面向量的数量积 【典例4】（1）（多选题）已知，为非零向量，且满足，，则（ ） A. ，夹角的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A中，设，的夹角为，由题意求出的取值范围，即可得出夹角的范围；选项B中，由的取值范围，列不等式求出的取值范围；选项C中，由取值范围，求出的取值范围；选项D中，由的取值范围，直接求出的范围． 【详解】设，的夹角为，由，，得， 所以，解得，当且仅当，即时取“”， 所以，所以夹角的取值范围是，A正确； 由，得，等价于， 解得，所以的取值范围是,，选项B正确； 因为，，，所以,， 即的取值范围是,，C错误； ， 由,，得,，所以,，D正确． 故选：ABD． （2）（多选题）已知平面向量满足，则下列说法正确的为（    ） A． B．最小值为 C．最大值为 D． 【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得及，再逐项求解判断. 【详解】由，得，解得， 对于A，，， 又是非零向量，因此，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，由，得， 则，即， 当且仅当同向共线时取等号，解，得，故C错误； 对于D，由，得， 则，，而， 因此，故D正确. 故选：ABD （3）已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D．－1 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律，结合恒成立求解即可. 【详解】由单位向量，且向量的夹角为，得， 由，得， 即，依题意，对任意的，恒成立， 而，当且仅当时取等号， 因此，整理得，所以. 故选：C 【针对性训练4】 （1）（多选题）已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（ ） A. 一定存在实数，使得成立 B. 若，那么一定有 C. 若，那么 D. 若，那么，，一定相互平行 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】只有当，不是共线向量时，一定存在实数，使得成立，因此选项A不正确； 由，因此选项B正确； 由， ， 所以选项C正确； 当时，显然成立，但是，，不一定互相平行， 故选：BC （2）（多选题）设平面向量，，均为非零向量，且，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【分析】根据数量积的运算律判断A、C、D，利用特殊值判断B. 【详解】对于A：因为，所以， 又，即，即，所以，即，故A错误； 对于B：令，，满足题意， 但是，，显然不成立，故B错误； 对于C：若，又，所以， 所以，故C正确； 对于D：由A知，由可以得到， 若，即，则，所以，则， 所以由，可以得到，故D正确. 故选：CD 课堂巩固 1. 设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线， 根据向量的加减法法则可知和不共线，和不共线， 和不共线，故A，B，C中向量能作为平面的基底， ，故和共线，不能作为平面的基底，D错误， 故选：D 2. 在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知可推得，.然后根据，即可得出答案. 【详解】 因为D为BC的中点，所以. 又因为，，所以. 所以，. 故选：A. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积的坐标表示及充分条件必要条件的定义即可求解. 【详解】因为， ， 所以由，解得， 所以，所以“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可. 【详解】由题意知， 因为，所以，，. 故选：B. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ） A. B. 是直角三角形 C. 以OA，OB为邻边的平行四边形的顶点的坐标为 D. 与垂直的单位向量的坐标为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A；求出向量，以及的模，根据勾股定理逆定理可判断B；根据向量加法的平行四边形法则可判断C；根据向量垂直的坐标表示求出与垂直的单位向量可判断D. 【详解】对于A，由依题意得，所以，故A正确； 对于B，由题意得，， 则，， 所以结合A选项得，所以，即为直角三角形，故B正确； 对于C，结合B选项得，则顶点的坐标为，故C错误； 对于D，结合B选项得，设与垂直的单位向量为， 则，解得或， 故与垂直的单位向量的坐标为或，故D正确． 故选：ABD． 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是______（坐标表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算直接得出答案. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以在上的投影向量的坐标为：， 故答案为：. 7. 已知，为非零不共线向量，向量与共线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线可知，据此即可得解. 【详解】因为向量与共线，且，为非零不共线向量， 所以， 故，解得， 故答案为： 课后作业 1、 单选题 1. 设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积意义，向量的夹角公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由， 又， 所以当且仅当时，成立． 充分性：由，得或，则不一定成立，所以充分性不成立； 必要性：由，得，则，所以必要性成立． 所以“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 2. 已知两个非零向量，夹角为，且，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合数量积的运算律可推得.进而根据数量积的运算律求出，，即可得出答案. 【详解】由已知可得，即， 所以，. 所以，， ， 所以，. 故选：B. 3. 中，点为上的点，且，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选定基向量，根据向量的加减法，用基底表示出向量，结合条件即可求得，可得答案. 【详解】由题意可得 , 又，故， 故， 故选:B 4. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的概念求解. 【详解】∵，∴， 则在上的投影向量为， 故选：A． 5. 已知平面向量，，均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积运算法则和性质求解即可. 【详解】平面向量，，均为单位向量，所以，又 所以，平方得，则. 故选：A. 6. 在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（ ） A. -15 B. -12 C. -6 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算将用，表示，再由向量数量积运算可得结果. 【详解】 ，， ，, , 又, ，又，，， 故选：B. 7. 如图，设，是平面内相交成角（）的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量在坐标系中的坐标，已知在该坐标系下，向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标分解向量，，再利用向量数量积的运算性质，即可求得的值. 【详解】由题意可得向量，， 因为，所以， 所以. 故选：A. 8. 已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合，即可求解. 【详解】因为正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，所以正六边形的内切圆的半径为，外接圆的半径， 又由 ， 因为，即，可得， 所以的取值范围是. 故选：D 二、多选题 9. 如图，是正六边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A、B不正确，结合向量的数量积的定义域运算，可判定C正确，结合向量的投影的定义与运算，可判定D正确. 【详解】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得： 对于A中，由，所以A不正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，设正六边形的边长为，可得，，所以，所以C正确； 对于D中，如图所示，连接，可得， 可得，所以在向量上的投影向量为，所以D正确. 故选：CD. 10. 已知向量，，，λ∈R，μ∈R，则（ ） A. 若λ＝1，则在方向上的投影向量为 B. 与共线的单位向量为 C. 若，则 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，然后根据投影向量的计算公式即可求出在方向上的投影向量，判断出A的正误；由题可知所求单位向量为，从而判断B的正误，根据得出，由坐标相等即可判断C；可求出，然后配方即可判断D的正误． 详解】对于A．λ＝1时，，，，， ∴在方向上的投影向量为：，A正确； 对于B．与共线的单位向量为：或，B错误； 对于C．，∴， ∴，解得，∴，C错误； D．∵， ∴， ∴的最小值为：，D正确． 故选：AD． 11. 如图，在中，，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的运算求得，从而得，由基本不等式得，由此判断可得答案． 【详解】由于是上的两个三等分点，则． 由图形可得， 因为，所以， 整理得，即， 结合基本不等式得， 当且仅当时，等号成立． 所以的最小值为. 故选：BD． 三、填空题 12. 已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算可得答案. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 13. 已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出图形，把用表示，最后转化为含有，的代数式，再结合及基本不等式求得的最小值． 【详解】解：如图， ，，且， ， ． 由题意可得，，， ， ，则， （当且仅当时等号成立）， 的最小值为． 故答案为：． 14. 在锐角中，，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，根据题意得到，设，由，求得，且，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】解：以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，且， 即，即，可得， 设，因为为锐角三角形，所以，所以， 过点作，且若，可得，即， 即点在线段上（不包含端点），即， 又由， 所以， 即的取值范围为. 故答案为：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重点中学期中专题复习学案（一） 平面向量选填题 考点一、平面向量的概念 【典例1】对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ） A. 若满足，且与同向，则 B. C. 若，则存在唯一的实数，使 D. 【针对性训练1】给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 考点二、平面向量的线性运算 【典例2】 （1）如图，在边长为4的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则=（ ） A. B. C. D. 3 （2）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. （3）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则动点的轨迹经过的内心 B．若O为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若为的垂心，，则 D．若为锐角的外心，且，则 【针对性训练2】 （1）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为　　 A. B. C. 1 D. 4 （2）（多选题）已知点P是所在平面内一点，且, ，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点P是边BC的中点 B．若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则 C．若，则 D．若点P在BC边的中线上，且，则点P是的重心 考点三、平面向量的基本定理及坐标表示 【典例3】（1） 已知向量，均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 （2）如图扇形所在圆的圆心角大小为，是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ） A B. C. D. 【针对性训练3】 （1）如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 （2）（多选题）已知是边长为2的等边三角形，分别是上的两点，且，与交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量的模长为 考点四、平面向量的数量积 【典例4】（1）（多选题）已知，为非零向量，且满足，，则（ ） A. ，夹角的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 取值范围是 D. 的取值范围是 （2）（多选题）已知平面向量满足，则下列说法正确的为（    ） A． B．最小值为 C．最大值为 D． （3）已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D．－1 【针对性训练4】 （1）（多选题）已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（ ） A. 一定存在实数，使得成立 B. 若，那么一定有 C. 若，那么 D. 若，那么，，一定相互平行 （2）（多选题）设平面向量，，均为非零向量，且，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 课堂巩固 1. 设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，，则（ ） A. B. 是直角三角形 C. 以OA，OB为邻边的平行四边形的顶点的坐标为 D. 与垂直的单位向量的坐标为或 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是______（坐标表示）. 7. 已知，为非零不共线向量，向量与共线，则________． 课后作业 1、 单选题 1. 设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知两个非零向量，夹角为，且，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 3. 中，点为上的点，且，若 ，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，，均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（ ） A. -15 B. -12 C. -6 D. 0 7. 如图，设，是平面内相交成角（）的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量在坐标系中的坐标，已知在该坐标系下，向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，是正六边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 已知向量，，，λ∈R，μ∈R，则（ ） A. 若λ＝1，则在方向上的投影向量为 B. 与共线的单位向量为 C. 若，则 D. 的最小值为 11. 如图，在中，，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为___________. 13. 已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为___________． 14. 在锐角中，，，则的取值范围为________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $