21.3.1 矩形的性质、矩形的判定 讲义-2025-2026学年人教版八年级数学下册

矩形的性质、矩形的判定讲义 矩形的性质、矩形的判定讲义 考点目录 矩形的性质 矩形的判定 考点一 矩形的性质 【知识点解析】 一、解题原理 已知为矩形，兼具平行四边形所有性质和矩形特有性质，依托“对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分”+“四个角都是直角、对角线相等”推导边、角、对角线的数量与位置关系。 二、解题思路：定形→分层用性质 1. 明确矩形，标注顶点顺序，确认其平行四边形基底属性； 1. 按需选性质： · 基础边/角/对角线平分→用平行四边形通用性质； · 求直角/证垂直、求等长对角线→用矩形特有性质（四角为直角、对角线相等）。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作，分别交、于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质可得是的垂直平分线，即得，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 例3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，三角形的中位线定理，得到，即可得出结果. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴. 例4．（25-26八年级下·天津·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．则矩形对角线的长等于_________． 【答案】6 【分析】由矩形的性质得出，再证明为等边三角形，得出，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形对角线的长等于6． 例5．（24-25八年级下·新疆伊犁·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴，y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的E处，若点，点，则点D的坐标是___________．    【答案】 【分析】根据题意，由勾股定理可以得到，进而的长度，设，则，由勾股定理列出a的方程求得a的值，便可求得D点坐标． 【详解】解：∵点，点， ∴，， 设，则， 由题意可得，，由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 例6．（25-26八年级下·湖南·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，分别过点，作，的平行线相交于点．若，则点到的距离是____________． 【答案】9 【分析】连接交于，由平行四边形的判定得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，，由矩形的性质得，，再由三角形中位线定理得，，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于， 分别过点C、D作、的平行线相交于点E， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是矩形， ∴，， ，是的中位线， ，， ，， ， 点E到的距离为：． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，长方形纸片中，，折叠纸片使边落在对角线上，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先根据矩形的特点可得的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵是翻折而成， ∴，，是直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴． 变式2．（2026·陕西西安·一模）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质． 由矩形的性质、平行线的性质和角平分线的定义得到，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 点为的中点， ． 变式3．（25-26八年级下·山西吕梁·月考）已知，矩形的对角线交于点O，，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，再证为等边三角形，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∵， ∴为等边三角形， ， ， 在中，． 变式4．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 变式5．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，四边形是一张长方形纸片，，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点，此时测得，则__________ 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换，全等三角形的性质，正确求得是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得 ∴ ， ∵ 四边形 是矩形 ∴ ，， ∴ 在 中， ∴ 由勾股定理得 ． ∴． 变式6．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，矩形的对角线，相交于点O，， ，若，则__________． 【答案】124 【分析】先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，求得的度数，再判定四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． 考点二 矩形的判定 【知识点解析】 一、解题原理 判定分两类核心路径，要么先证平行四边形，再证矩形特有特征（直角/对角线相等），要么直接由四边形证三个直角，本质是验证是否满足“平行四边形+直角/等对角线”或“四边形+三角为直角”的判定条件。 二、解题思路：析条件→选判定路径→证结论 1. 梳理题干边（平行/相等）、角（直角）、对角线（相等/平分）条件； 1. 选最优判定路径（优先选条件匹配、证明最简的）： · 路径1（首选）：先证平行四边形，再证一个角是直角/对角线相等； · 路径2：直接证四边形的三个内角为直角； 1. 按选定路径逐步证明，最终判定为矩形。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·江西南昌·月考）如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，易知四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形 为矩形； (2)若，，请你利用上述结论求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)36 【分析】本题考查了中位线，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合中位线的性质，得出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形为平行四边形，然后证明结合一个内角是90度的平行四边形是矩形，即可作答． （2）由（1）得得出，得出四边形的面积，又因为四边形的面积等于的面积，故的面积． 【详解】（1）解：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴ ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴四边形 为矩形； （2）解：由（1）得， 四边形为矩形, ∴， ∵， ∴ ∴四边形的面积， ∵四边形的面积等于的面积， ∴的面积． 例2．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，D是的中点，，， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定即可证明； （2）根据矩形的性质和三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵D是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，在中，，为边上的高，过点A作，过点D作，与交于点E，与交于点F，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形可得，再利用等腰三角形的性质可得，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质求出，在中，由勾股定理可以求得的长度，由矩形的性质求得的长度，再梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵在中，，为边上的高， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形． （2）解：在中，， ， ∴， 由（1）知四边形是矩形， ∴， ∴四边形的面积为． 例4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到，再由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积． 变式2．（2026·云南·一模）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理结合完全平方公式公式变形得出，进而求得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， （2）解：四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 变式3．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，在的同侧作正、正和正． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当 ______时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得，同理，得，则，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）求出，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：、、都是正三角形， ，，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：当时， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 变式4．（24-25八年级下·广西北海·期中）在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，则四边形是平行四边形，再由，可推四边形是矩形； （2）由，，，根据勾股定理可求得，则，再利用角平分线证明，根据等角对等边求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 于点，点在上， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为5． 2 学科网（北京）股份有限公司 $矩形的性质、矩形的判定讲义 矩形的性质、矩形的判定讲义 考点目录 矩形的性质 矩形的判定 考点一 矩形的性质 【知识点解析】 一、解题原理 已知为矩形，兼具平行四边形所有性质和矩形特有性质，依托“对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分”+“四个角都是直角、对角线相等”推导边、角、对角线的数量与位置关系。 二、解题思路：定形→分层用性质 1. 明确矩形，标注顶点顺序，确认其平行四边形基底属性； 1. 按需选性质： · 基础边/角/对角线平分→用平行四边形通用性质； · 求直角/证垂直、求等长对角线→用矩形特有性质（四角为直角、对角线相等）。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作，分别交、于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D．5 例3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 例4．（25-26八年级下·天津·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．则矩形对角线的长等于_________． 例5．（24-25八年级下·新疆伊犁·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴，y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的E处，若点，点，则点D的坐标是___________．    例6．（25-26八年级下·湖南·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，分别过点，作，的平行线相交于点．若，则点到的距离是____________． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，长方形纸片中，，折叠纸片使边落在对角线上，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 变式2．（2026·陕西西安·一模）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·山西吕梁·月考）已知，矩形的对角线交于点O，，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 变式4．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 变式5．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，四边形是一张长方形纸片，，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点，此时测得，则__________ 变式6．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，矩形的对角线，相交于点O，， ，若，则__________． 考点二 矩形的判定 【知识点解析】 一、解题原理 判定分两类核心路径，要么先证平行四边形，再证矩形特有特征（直角/对角线相等），要么直接由四边形证三个直角，本质是验证是否满足“平行四边形+直角/等对角线”或“四边形+三角为直角”的判定条件。 二、解题思路：析条件→选判定路径→证结论 1. 梳理题干边（平行/相等）、角（直角）、对角线（相等/平分）条件； 1. 选最优判定路径（优先选条件匹配、证明最简的）： · 路径1（首选）：先证平行四边形，再证一个角是直角/对角线相等； · 路径2：直接证四边形的三个内角为直角； 1. 按选定路径逐步证明，最终判定为矩形。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·江西南昌·月考）如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，易知四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形 为矩形； (2)若，，请你利用上述结论求的面积． 例2．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，D是的中点，，， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 例3．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，在中，，为边上的高，过点A作，过点D作，与交于点E，与交于点F，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)求四边形的面积． 例4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 变式2．（2026·云南·一模）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 变式3．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，在的同侧作正、正和正． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当 ______时，四边形是矩形． 变式4．（24-25八年级下·广西北海·期中）在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $