精品解析：上海市浦东新区2021-2022学年九年级下学期数学 练习题

浦东新区2022学年度第二学期初三年级练习题 数学学科 注意：除第一、二大题外，其余各题都必须写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的． 1. 下列实数中，有理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整数和分数统称为有理数，即可解答． 【详解】解：A、是有理数，故A符合题意； B、是无理数，故B不符合题意； C、是无理数，故C不符合题意； D、是无理数，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了实数，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键． 2. 下列代数式中，不是单项式的是（　　） A. a2 B. 2a C. D. a+2 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式的定义判定即可． 【详解】A.a2表示a与a的乘积，a2是单项式，故A不符合题意； B.2a表示2与a的乘积，2a是单项式，故B不符合题意； C.表示与a的乘积，是单项式，故C不符合题意 D.a+2表示a与2的和，a+2不是单项式，它是单项式a与单项式2的和，所以a+2是多项式，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查单项式的定义，解题的关键是熟记单项式的定义：数或字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 3. 如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键． 4. 为了制定切合本校学生的体能训练标准，某校从九年级随机抽取30名男生进行引体向上测试，每人测试一次，记录有效引体向上次数如表所示，那么这30名男生此次测试中引体向上次数的众数和中位数分别是（　　） 次数 6 7 8 9 10 11 人数 3 10 9 5 2 1 A. 7，7 B. 7，8 C. 8，7 D. 8，8 【答案】B 【解析】 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵7出现了10次，出现的次数最多， ∴这30名男生此次测试中引体向上次数的众数是7； ∵共有30名男生，中位数是低15、16个数的平均数， ∴中位数为； 故选：B． 【点睛】本题考查了众数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就可能会出错． 5. 已知在中，点D、E分别是的中点，设，，那么向量用向量、表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用三角形法则求解即可求得，又由在中，D、E分别是边的中点，可得是的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，D、E分别是边的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用． 6. 如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键 连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【详解】解：连接交于，如图， 在中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 二、填空题： 7. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】运用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】 8. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 已知，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】把代入，即可求解． 【详解】解：． 10. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题可通过两边平方，将原无理方程转化为一元一次方程求解，再检验得到原方程的解. 【详解】解：对两边平方，得， 整理得，解得， 检验：当时，，满足二次根式被开方数非负的要求， 因此是原方程的解. 11. 最新人口普查数据显示上海的常住人数约为24870000人，将24870000用科学记数法表示是：_______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n， 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：． 故答案是：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握一般形式为 ，其中， 是正整数，解题的关键是确定 和 的值． 12. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的根判别式，一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式，即可求m值． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴ 解得， 故答案为：9． 13. 已知反比例函数的图像经过点，那么k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，直接把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 不透明的布袋里有3个红球、2个黄球、4个白球，它们除颜色外其他都相同．从布袋里任意摸出一个球恰好是黄球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解任意摸出黄球的概率． 【详解】解：∵不透明布袋中有3个红球、2个黄球、4个白球，所有球除颜色外其他都相同， ∴袋中球的总个数为， ∴从布袋中任意摸出一个球恰好是黄球的概率是． 15. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】用除以单个中心角的度数即可得到正多边形的边数． 【详解】解：根据正多边形中心角与边数的关系，得： 该正多边形的边数为：． 16. 为了解全校500名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制作成如图所示的频率分布直方图（每小组包括最小值，不包括最大值），那么这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有______人． 【答案】130 【解析】 【分析】根据总数乘以体重小于80千克且不小于70千克的频率求解即可． 【详解】解：． 17. 如图，已知在中，，，点在边上，且，．那么边的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出sin∠ADC，将AC及已知sin∠ADC的值代入，求出AD的长，再利用勾股定理求出DC的长，由BD+DC即可求出BC的长． 【详解】解：∵在Rt△ADC中，∠C=90°， ∴sin∠ADC=， ∵sin∠ADC=，AC=4， ∴AD=5， ∴在Rt△ADC中，根据勾股定理得：， ∵BD=AC， ∴BD=4， ∴BC=BD+DC=4+3=7． 故答案为：7 【点睛】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握定义及定理是解本题的关键． 18. 如图，已知在中，，将绕着点旋转，点恰好落在边上的点（不与点重合）处，点落在点处，如果，联结，那么的值为 ___ ． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，根据将绕着点旋转，点恰好落在边上的点，可得，又，即可得是等边三角形，，从而是等边三角形，，即可得． 【详解】解：如图： 将绕着点旋转，点恰好落在边上的点， ，，， ， ∵， ， ， 是等边三角形，， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定和解直角三角形，解题的关键是掌握旋转的性质，得到，是等边三角形． 三、解答题： 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】原式分别计算分数指数幂、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 20. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 表示在数轴上如图：     【解析】 【详解】先解出每个不等式的解集，再把解集表示在数轴，即可得到不等式组的解集． 【解答】解： ， 由 ① 得：， 由 ② 得：， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握不等式组解集是每个不等式解集的公共部分． 21. 如图，已知中，弦，点P是弦上一点，，． （1）求的长； （2）过点P作弦与弦垂直，求证：． 【答案】（1）5 （2） 证明：过点作于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点作于，根据垂径定理得到，根据 ，得到的长，根据勾股定理即可得出的长； （2）根据角平分线的性质先证明，再证明，结合垂径定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点作于， 则， ∵ ，， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定及性质，掌握垂径定理及全等三角形的判定是解题的关键． 22. 在一次蜡烛燃烧试验中，甲蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题： （1）求甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式（不写定义域）； （2）现将一根乙蜡烛与甲蜡烛做完全燃烧比较试验，已知乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米，乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧20分钟，求乙蜡烛的高度． 【答案】（1） （2）乙蜡烛的高度是35厘米 【解析】 【分析】（1）由图象可知，当时，，当时，，即，在y与x之间的函数图象上，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出乙蜡烛燃烧的速度和时间即可求出结论． 【小问1详解】 解：由图象可知，当时，，当时，， 即，在y与x之间的函数图象上， 设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为， 把，代入得， ， 解得， ∴甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵甲蜡烛总高度为40厘米，2小时完全燃烧， ∴因此甲的燃烧速度为：（厘米/小时）， 根据题意： 乙的燃烧速度为（厘米/小时）， ∵20分钟小时， ∴乙总燃烧时间为（小时）， 乙完全燃烧，：（厘米）， 因此乙蜡烛的高度为35厘米． 23. 如图，已知正方形，以为边在正方形外作等边，过点作与边、分别交于点、点，点在线段上，且． （1）求证：； （2）连接、，分别交、于点、，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质及正方形的性质证出，证明，由全等三角形的性质得出，由平行四边形的判定可证出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论； （2）证明四边形为菱形，由菱形的性质得出，证明，由相似三角形的性质可得出结论． 【小问1详解】 是等边三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； 【小问2详解】 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）已知点在轴上，且在点的右侧，连接、，如果，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如果点在线段上，，求的长度． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）用待定系数法可得抛物线的表达式为； （）在中，令得，，设，可得，可解得； （）过作于，由，，得，故，设，则，，根据，即得，解得，从而可得． 【小问1详解】 解：将，代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 在中，令得或， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 过作于，如图： 由，得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴， ∴， 即的长度为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，三角形面积，锐角三角函数，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确添加作辅助线和熟练掌握知识点的应用． 25. 如图，在四边形中，，，，点为对角线的中点，射线交边于点． （1）求证：； （2）如果，求的余弦值； （3）当是等腰三角形时，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）的余弦值为 （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，可证得四边形是菱形，进而可得，即可证得结论； （2）延长、交于点，可证得，再由，可得，可求得：，，再运用勾股定理求得，根据三角函数定义即可求得答案； （3）由于，故，分两种情况：当时，利用勾股定理建立方程求解即可；当时，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点作，交于点，如图1， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：延长、交于点，如图2， 点为对角线的中点， ， ， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∴， ，， ， ，， ， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由（1）知：， ∴， 【小问3详解】 解：由（2）知：，， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， 是等腰三角形， 或， 当时，， ， 在中，， 在中，， ∴，解得：； 当时，，， 在中，， 在中，， ∴，解得：； 综上所述，当是等腰三角形时，线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦东新区2022学年度第二学期初三年级练习题 数学学科 注意：除第一、二大题外，其余各题都必须写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的． 1. 下列实数中，有理数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列代数式中，不是单项式的是（　　） A. a2 B. 2a C. D. a+2 3. 如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 4. 为了制定切合本校学生的体能训练标准，某校从九年级随机抽取30名男生进行引体向上测试，每人测试一次，记录有效引体向上次数如表所示，那么这30名男生此次测试中引体向上次数的众数和中位数分别是（　　） 次数 6 7 8 9 10 11 人数 3 10 9 5 2 1 A. 7，7 B. 7，8 C. 8，7 D. 8，8 5. 已知在中，点D、E分别是的中点，设，，那么向量用向量、表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 7. 计算：______． 8. 分解因式：_______． 9. 已知，那么______． 10. 方程的解是_____． 11. 最新人口普查数据显示上海的常住人数约为24870000人，将24870000用科学记数法表示是：_______． 12. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值为______． 13. 已知反比例函数的图像经过点，那么k的值为______． 14. 不透明的布袋里有3个红球、2个黄球、4个白球，它们除颜色外其他都相同．从布袋里任意摸出一个球恰好是黄球的概率是______． 15. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 16. 为了解全校500名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制作成如图所示的频率分布直方图（每小组包括最小值，不包括最大值），那么这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有______人． 17. 如图，已知在中，，，点在边上，且，．那么边的长为______． 18. 如图，已知在中，，将绕着点旋转，点恰好落在边上的点（不与点重合）处，点落在点处，如果，联结，那么的值为 ___ ． 三、解答题： 19. 计算：． 20. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 21. 如图，已知中，弦，点P是弦上一点，，． （1）求的长； （2）过点P作弦与弦垂直，求证：． 22. 在一次蜡烛燃烧试验中，甲蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题： （1）求甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式（不写定义域）； （2）现将一根乙蜡烛与甲蜡烛做完全燃烧比较试验，已知乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米，乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧20分钟，求乙蜡烛的高度． 23. 如图，已知正方形，以为边在正方形外作等边，过点作与边、分别交于点、点，点在线段上，且． （1）求证：； （2）连接、，分别交、于点、，求证：． 24. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）已知点在轴上，且在点的右侧，连接、，如果，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如果点在线段上，，求的长度． 25. 如图，在四边形中，，，，点为对角线的中点，射线交边于点． （1）求证：； （2）如果，求的余弦值； （3）当是等腰三角形时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $