专题02 矩形、菱形、正方形（期中复习讲义，6重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题02 矩形、菱形、正方形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 性质与判定辨析 题型02 判定证明 题型03 矩形/菱形/正方形 计算 题型04 动点问题 题型05 折叠问题 题型06 正方形中的全等与线段关系 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 矩形 1. 熟记矩形的性质与判定定理，能灵活运用 2. 会利用矩形对角线相等、四个角为直角求边长、角度、对角线长度 3. 能证明一个四边形是矩形 1. 期中高频考点，选择、填空、解答题均有涉及。 2. 常与平行四边形、勾股定理综合考查，侧重性质应用 菱形 1. 熟练掌握菱形的性质、判定及面积公式 2. 能运用性质求边长、对角线长度、面积 3. 能根据条件判定四边形为菱形 1. 常与矩形、平行四边形结合考查，解答题中高频出现 2. 菱形面积计算是重点，偶尔结合折叠、对称问题考查 正方形 1. 掌握正方形的性质与判定，能区分矩形、菱形与正方形的异同 2. 能运用正方形性质解决计算、证明问题 3. 能综合运用平行四边形、矩形、菱形知识判定正方形 1. 期中中档题、压轴题常见 2. 侧重综合应用，常与全等三角形、勾股定理、折叠问题结合 知识点01 矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 性质： 1.四个角都是直角； 2.对角线相等且互相平分； 3.既是轴对称图形（有2条对称轴），也是中心对称图形。 判定： 1.平行四边形 + 一个角是直角； 2.平行四边形 + 对角线相等； 3.三个角是直角的四边形。 面积：面积 = 长×宽（S=ab，a、b为矩形的长和宽）。 知识点02 菱形 定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质： 1.四条边都相等； 2.对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角； 3.既是轴对称图形（有2条对称轴），也是中心对称图形。 判定： 1.平行四边形 + 一组邻边相等； 2.平行四边形 + 对角线互相垂直； 3.四条边都相等的四边形。 面积：面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半（S=ah = ×AC×BD，a为底，h为高，AC、BD为对角线）。 知识点03 正方形 定义：既是矩形又是菱形的平行四边形（即有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形）叫做正方形。 性质： 1.四条边相等，四个角都是直角； 2.对角线相等、垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角； 3.既是轴对称图形（有4条对称轴），也是中心对称图形。 判定： 1.矩形 + 一组邻边相等； 2.菱形 + 一个直角； 3.对角线相等且垂直的平行四边形。 题型一 性质与判定辨析 【典例1-1】（22-23八年级下·上海长宁·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．平行四边形的对边相等； B．正方形的对角线与一条边的夹角为45度； C．矩形的对角一定互补； D．菱形是轴对称图形，对称轴是它的对角线． 【典例1-2】（24-25八年级下·上海·期中）下列命题中是真命题的是（   ） A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【典例1-3】（24-25八年级下·上海·期中）菱形的对角线、相交于，下列条件能判断菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）下列命题中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形； C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形． 【变式1-2】（24-25八年级下·上海黄浦·期末）已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级下·上海杨浦·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的菱形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是正方形 题型二 判定证明 【典例2-1】（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在平行四边形中，E、F分别是边和的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)作，与的延长线交于点G．求证：四边形是矩形． 【典例2-2】（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知是的中线，M是的中点，过A点作，的延长线与相交于点E，与相交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是矩形． 【典例2-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【变式2-1】（22-23八年级下·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 【变式2-2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 【变式2-3】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 题型三 矩形/菱形/正方形 计算 【典例3-1】（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，垂足为E，且，，则________ ． 【典例3-2】（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是___________． 【典例3-3】（25-26八年级下·上海闵行·月考）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 【变式3-1】（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【变式3-2】（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为___________． 【变式3-3】（24-25八年级下·上海闵行·期末）如图，四边形是正方形，，，那么的度数为______． 题型四 动点问题 【典例4-1】（24-25八年级下·上海·期末）已知如图，直角梯形中，，，，，点P在上移动，则当取最小值时，中边上的高为___________ ． 【典例4-2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，，平分交于点，为线段上一动点，动点，分别在边，上，且，连接，．则的最小值是_____． 【变式4-1】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【变式4-2】（24-25八年级下·上海浦东新·月考）正方形的边长是，点在边上，且，P是正方形边上的一个动点，连接，当时，的长是______． 【变式4-3】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，，点P为斜边上一动点，过点P作，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值为_______． 题型五 折叠问题 【典例5-1】（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【典例5-2】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，矩形，，，点F在边上，沿直线翻折，点B落在点E处，当点E恰好在的角平分线上，则______． 【典例5-3】（24-25八年级下·上海·期末）如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 _______ ． 【变式5-1】（24-25八年级下·上海·期中）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是________． 【变式5-2】（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．将边沿着过点O的一条直线翻折，点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接，如果点E落在线段上，那么的面积为________． 【变式5-3】（24-25八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，分别为边上的点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着翻折得到四边形．如果点在内部，那么的取值范围为___________． 题型六 正方形中的全等与线段关系 【典例6-1】（25-26八年级下·上海闵行·月考）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【典例6-2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，平分，点、分别为边和射线上的点（与，不重合），且，连接交于点． (1)若，求． (2)若为等腰三角形，求的长． (3)过点A作交于，取中点为，中点为，若四边形为梯形，直接写出的长． 【典例6-3】（24-25八年级下·上海青浦·期末）在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，联结． (1)如图，当时，求证：； (2)如图，当时，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 【变式6-1】（24-25八年级下·上海虹口·期末）【模型构建】 如图①，已知，如果，那么．我们把这种图形叫做“一线三直角”． 【初步探究】 我们发现，如果和不是直角，但都相等，且，结论也依然成立．请在下面两题中，选择一题进行解答． （1）如图②，已知，且，求证：． （2）如图③，已知，且，求证：． 【探究应用】 如图，在正方形中，已知，点、、分别在边、、上，且．设，求关于的函数解析式，并写出定义域． 【拓展探究】 如图，在正方形中，已知，点、、分别在边、、上，且．分别是线段的中点，联结，如果是等边三角形，求的长． 【变式6-2】（24-25八年级下·上海普陀·期末）小普在综合与实践课上，参加了以“神奇的正方形”为主题的数学活动，通过“折、转、探”等方式研究有关正方形折纸的有趣结论． (1)折一折：如图-1，小普将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，联结．那么___________度；如果，那么的长度等于___________； (2)转一转：小普将图-1中的绕点旋转，使它的两边分别交直线于点． ①如图-2，当点、在边、上，联结．如果，求的面积； ②探一探：联结，射线、分别交对角线所在直线于点、，且点在正方形内部．正方形的边长，联结．如果是等腰三角形，请直接写出线段的长度___________．（用含有字母的代数式表示） 【变式6-3】（24-25八年级下·上海·期中）如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（23-24八年级下·上海普陀·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形； B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形； C．三条边相等的四边形是菱形； D．三个内角相等的四边形是矩形． 2．（22-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在矩形中，对角线交于点，点E在边上，连接，如果，，那么的度数为__________．    3．（24-25八年级下·上海·期末）如图，正方形中，点E、F分别在边、上，，，如果，那么的周长是_________． 4．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在矩形中，，点在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处．如果，那么的长为______． 2．（24-25八年级下·上海闵行·月考）在矩形中，，对角线、交于，为的中点，将绕点顺时针旋转，使点恰好落在点处，点落在点，那么 ______． 3．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，则的长为________． 4．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 5．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知平行四边形，E是边的中点，点F在边上，连接并延长交的延长线于点G，连接、． (1)如果，求证：四边形是矩形； (2)如果F是边的中点，且，求证：四边形是菱形． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级下·上海·月考）如图，已知在梯形中，，，，平分，交边于点．如果是直角三角形，那么的长为_____． 2．（25-26八年级下·上海·月考）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形组成，用七巧板可以拼出2600多种图形．如图，图中的正方形就是由七巧板无缝隙、无重叠地拼接而成（简称密铺）．如果设编号为④的三角形的面积为1． (1)直接写出四边形的周长与面积； (2)小明说：他可以用编号分别为③，④，⑤，⑥，⑦的五块板密铺出一个新的正方形，试求这个密铺出的新正方形的边长与面积，并画出密铺之后新正方形的示意图． 3．（25-26八年级下·上海·月考）同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： ①两个直角三角形的直角边（结果用表示）： ______，______，______． ②小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； ______，______，______． (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出三角形的边． 4．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中，，将矩形绕着点B逆时针旋转后得到矩形，点C恰好落在边上，点C的对应点是点E，点D的对应点是点F，点A的对应点是点G． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，延长交边于点H，设，用m的代数式表示线段的长； (3)连结，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出此时的长． 5．（22-23八年级下·上海·月考）如图，等边的边长是2，点P是边上的任意一点（不与点B点C重合），连接，将翻折，使顶点A与P重合，折痕分别交边于G、H，折痕交于． (1)当时，求证： (2)设，，求y关于x的函数关系式及定义域． (3)如图2在直线上找点D（点D在外），满足，连接，过点P作交直线于E，连接． ①求证：四边形是菱形， ②当四边形与重叠部分面积是时，求的值， 6．（22-23八年级上·上海普陀·期中）（探索发现）如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接． (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程； (2)如图①如果正方形的边长为4，求三角形的周长； (3)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02矩形、菱形、正方形（期中复习讲义） 内容导航 明。期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记。必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01性质与判定辨析 题型02判定证明 题型03矩形/菱形/正方形计算 题型04动点问题 题型05折叠问题 题型06正方形中的全等与线段关系 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 矩形 1.熟记矩形的性质与判定定理，能灵活运用 1.期中高频考点，选择、填空 2.会利用矩形对角线相等、四个角为直角求边长、角度、 解答题均有涉及。 对角线长度 2.常与平行四边形、勾股定理综 3.能证明一个四边形是矩形 合考查，侧重性质应用 菱形 1.熟练掌握菱形的性质、判定及面积公式 1.常与矩形、平行四边形结合考 2.能运用性质求边长、对角线长度、面积 查，解答题中高频出现 3.能根据条件判定四边形为菱形 2.菱形面积计算是重点，偶尔结 合折叠、对称问题考查 正方形 1.掌握正方形的性质与判定， 能区分矩形、菱形与正方形 1.期中中档题、 压轴题常见 的异同 2.侧重综合应用，常与全等三角 2.能运用正方形性质解决计算、证明问题 形、勾股定理、折叠问题结合 3.能综合运用平行四边形、矩形、菱形知识判定正方形 记·必备知识 同知识点01矩形 1/73 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 性质： 1.四个角都是直角； 2.对角线相等且互相平分； 3.既是轴对称图形（有2条对称轴），也是中心对称图形。 判定 1.平行四边形+一个角是直角； 2.平行四边形+对角线相等； 3.三个角是直角的四边形。 面积：面积=长×宽(S=ab,a、b为矩形的长和宽)。 局知识点2菱形 定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质： 1.四条边都相等； 2.对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角； 3既是轴对称图形（有2条对称轴），也是中心对称图形。 判定 1.平行四边形+一组邻边相等 2.平行四边形+对角线互相垂直； 3.四条边都相等的四边形。 面积：面积=底×高=对角线乘积的一半(S=ah=×AC×BD,a为底，h为高，AC、BD为对角线)。 局知识点03正方形 定义：既是矩形又是菱形的平行四边形（即有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形）叫做正方 形。 性质： 1四条边相等，四个角都是直角； 2.对角线相等、垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角； 3.既是轴对称图形（有4条对称轴），也是中心对称图形。 2/73 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 判定： 1.矩形+一组邻边相等； 2菱形+一个直角： 3.对角线相等且垂直的平行四边形。 破·重难题型 它题型一 性质与判定辨析 【典例1-1】(22-23八年级下·上海长宁期中)下列命题中，假命题是() A.平行四边形的对边相等； B.正方形的对角线与一条边的夹角为45度； C.矩形的对角一定互补： D.菱形是轴对称图形，对称轴是它的对角线. 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，逐个进行判断即可. 【详解】解：菱形是轴对称图形，对称轴是它的对角线所在直线，故D为假命题，符合题意： 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，解题的关键是熟 记各个性质的内容。 【典例1-2】(24-25八年级下·上海·期中)下列命题中是真命题的是() A.对角线相等的矩形是正方形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、 矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键， 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可得出答案。 【详解】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意： D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，符合题意 3/73 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 【典例1-3】(24-25八年级下·上海期中)菱形ABCD的对角线AC、BD相交于0，下列条件能判断菱形 ABCD是正方形的是() A.∠DA0+∠AD0=90 B.∠DAC=∠ACD C.LDAC=∠BAC D.∠DAB=∠ABC 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形，有一个角是直角的菱 形是正方形，据此结合菱形的性质逐一判断即可. 【详解】解：A、DA0+∠AD0=90°，则∠A0D=90°，此时并不能证明菱形ABCD是正方形，不符合题意； B、∠DAC=LACD,可得AD=CD,此时并不能证明菱形ABCD是正方形，不符合题意； C、∠DAC=LBAC,本身是菱形具有的性质，此时并不能证明菱形ABCD是正方形，不符合题意； D、∠DAB=∠ABC,由菱形的性质可得AD∥BC,则LDAB+LABC=180°，则LDAB=∠ABC=90°，能 证明菱形ABCD是正方形，符合题意： 故选：D B 【变式1-1】(24-25八年级下.上海徐汇·期末)下列命题中，不正确的是() A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B.对角线相等的平行四边形是矩形： C.对角线相等的矩形是正方形 D.对角线相等的菱形是正方形. 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，掌握知识点是解题的关键， 根据特殊四边形的判定方法逐一分析选项的正误， 【详解】解：A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，平行四边形的对角线互相平分，若对角线还互相 垂直，则符合菱形的判定定理，故A正确. 4/73 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.对角线相等的平行四边形是矩形.平行四边形的对角线相等时，四个角均为直角，符合矩形的定义， 故B正确 C.对角线相等的矩形是正方形.矩形的对角线本身相等，但正方形还需满足邻边相等或对角线垂直.仅 对角线相等无法直接判定为正方形，故C错误. D.对角线相等的菱形是正方形.菱形的对角线互相垂直，若再满足相等，则符合正方形的对角线特性（相 等且垂直)，故D正确 故选C. 【变式1-2】(24-25八年级下·上海黄浦·期末)已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, AC⊥BD,∠ABO=∠CB0,再添加一个条件使四边形ABCD是菱形，添加条件不正确的是() A.AB=AD B.AB∥CD C.OB=OD D.AD=CD 【答案】D 【分析】本题考查了证明四边形是菱形、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，证明 △AOB≌△COB(ASA),得出OA=OC,从而可得BD垂直平分AC,由线段垂直平分线的性质可得AB=BC, AD=CD,再结合各选项逐项分析即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键 【详解】解：如图： B :AC⊥BD, ∠A0B=∠C0B=90°， 在AOB和△COB中， ∠AOB=∠COB=90° OB=OB ∠ABO=∠CBO :△AOB≌△COB(ASA), .0A=0C, BD垂直平分AC, .AB=BC,AD=CD, 5/73 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A、:AB=AD, .AB=BC=CD AD, :四边形ABCD是菱形，故不符合题意； B、:AB∥CD, ∴∠AB0=LCD0=∠CB0, .BC=CD, .AB=BC=CD=AD, :四边形ABCD是菱形，故不符合题意； C、:0B=0D,0A=0C, :.四边形ABCD为平行四边形， :AC⊥BD, :四边形ABCD是菱形，故不符合题意； D、添加AD=CD不能说明四边形ABCD是菱形，故符合题意； 故选：D. 【变式1-3】(23-24八年级下·上海杨浦·期末)下列命题中，正确的是() A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的菱形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【分析】此题考查了矩形、菱形、正方形的判定，利用特殊四边形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意； B.对角线相等的菱形是正方形，故选项错误，不符合题意： C.对角线相等的平行四边形是矩形，故选项正确，符合题意： D.对角线垂直相等的平行四边形是正方形，故选项错误，不符合题意。 故选：C. 题型二判定证明 【典例2-1】(23-24八年级下·上海虹口期末)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD的 中点，连接AE、CF,CA平分∠FCE. 6/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G (1)求证：四边形AECF是菱形： (2)作∠GBC=∠CAE,BG与DC的延长线交于点G.求证：四边形ABGC是矩形. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AD=BC, ∴.LFAC=LECA; :E、F分别是边BC和AD的中点， :CE=I BC,AF=1AD, 1 2 :AF =CE, 又：AF I CE, .四边形AECF是平行四边形 :CA平分LFCE, ∴.LECA=LFCA, .∠FCA=LFAC, ∴AF=CF, :平行四边形AECF是菱形： (2)证明：由(1)可得四边形AECF是菱形， .AE CE, ∴.∠ECA=∠CAE, :∠GBC=∠CAE, .∠GBC=LECA, AC∥BG; :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,即AB∥CG, :.四边形ABGC是平行四边形； 7/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :E为BC的中点，AE=CE, :BE =CE AE, ∠EAB=∠EBA, :∠EAB+∠EBA+∠CAE+∠ECA=180°， 2∠EAB+2∠CAE=180°， .LEAB+∠CAE=90°， 六∠BAC=90°， 、.平行四边形ABGC是矩形. 【典例2-2】(24-25八年级下·上海奉贤.期中)如图，已知AD是ABC的中线，M是AD的中点，过A点作 AE∥BC,CM的延长线与AE相交于点E,与AB相交于点F. B D (1)求证：四边形AEBD是平行四边形： (2)如果∠BAD=∠CAD,求证：四边形AEBD是矩形. 【详解】(1)证明：：M是AD的中点， :AM =DM, :AE∥BC, ∠AEM=LDCM, 又：∠AME=∠DMC, △AEM≌△DCM(ASA, :AE=CD, 又：AD是ABC的中线， :AE CD =BD, 又：AE∥BD, 四边形AEBD是平行四边形； (2)证明：如图所示，连接DE交AB于H, 8/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由(1)可得AE=DC, 又：AE∥CD, .四边形ACDE是平行四边形， .AC∥DE, ∠ADE=∠DAC, :∠BAD=∠CAD, ∠HAD=∠HDA, :AH =DH, :四边形ADBE是平行四边形， .AB=2AH,DE =2DH, :AB=DE, :四边形ADBE是矩形 D 【典例2-3】(25-26八年级上·上海浦东新期末)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上， DF⊥AB,垂足为F,且DF=CD,点E为线段AD的中点，过点F作FG∥CE交射线AD于G,连接CG (1)求证：∠CEG=∠FEG; (2)求证：四边形CEFG是菱形 (3)当AC=BC时，求证：四边形CEFG是正方形 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，DF⊥AB, ∠DFA=90°， 在Rt△ACD与Rt△AFD中， 9/73 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DF=CD AD=AD' :RtAACD≌RtAAFD(HL, ∠CAD=∠FAD,AC=AF, 在△ACG与△AFG中， AC=AF ∠CAD=∠FAD, AG=AG .△ACG≌△AFG(SAS, ∴.CG=FG,LCGA=∠FGA, 在△CEG和aFEG中， CG=FG ∠CGA=∠FGA, EG=EG △CEG≌△FEG(SAS), ∴CE=EF,LCEG=LFEG; (2)证明：：FG∥CE, ∠FGA=∠CEG, 由(1)知：∠CGA=∠FGA, ∴.LCGE=LCEG, .CE=CG, 由(1)知：CE=EF,CG=FG, ∴.CE=EF=FG=CG, .四边形CEFG是菱形. (3)证明：AC=BC,∠ACB=90°， ·∠CAB=∠B=(180°-90）=45°， 由(1)知，∠CAD=∠FAD, ∴∠CAD=∠FAD=22.5°， :E为AD的中点，∠ACB=90°， 10/73