专题02 圆锥曲线全章26大题型（期中复习专项训练）高二数学下学期沪教版

专题02 圆锥曲线（期中复习专项训练） 一．根据圆的几何属性求圆的标准方程 二．由圆的一般式方程求圆的几何属性 三．由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数（重点） 四．由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数 五．求椭圆的焦点和焦距 六．椭圆上的点与焦点的距离 七．求椭圆的离心率（考点） 八．直线与椭圆的位置关系及公共点个数 九．由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数 十．椭圆的定点及定值问题 十一．抛物线的焦点与准线 十二．求抛物线的准线方程 十三．求抛物线的焦点和焦准距 十四．由抛物线的焦点或焦准距求解抛物线方程或参数 十五．求双曲线的渐近线方程（重点） 十六．由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数（重点） 十七．求双曲线的离心率 十八．曲线与方程 十九．求抛物线的准线方程 二十．直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 二十一．抛物线的弦及弦长 二十二．抛物线的焦点弦及焦半径 二十三．直线与圆锥曲线的综合（难点） 二十四．圆锥曲线的综合（重点） 二十五．圆与圆锥曲线的综合（难点） 二十六．轨迹方程（考点） 题型一．根据圆的几何属性求圆的标准方程（共3小题） 1．（24-25高二下•上海期中）以为圆心且过点的圆的标准方程是 　 　 ． 【分析】由题意求出该圆的半径，代入标准方程，可得该圆的方程． 【解答】解：圆心的圆过点， 所以圆的半径为， 代入圆的标准方程可得． 故答案为：． 2．（24-25高二下•上海金山期中）已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的一般式方程． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）先求的垂直平分线方程为，联立直线方程求得，利用两点距求出半径，即可求解圆的标准方程；（2）设圆心到直线的距离为，由几何法求弦长公式可得，易知直线的斜率不存在时符合题意，若斜率存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式建立方程，解之即可求解． 【解答】解：（1），的中点为，的垂直平分线方程为，即， 将联立可得，即圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 所以圆的标准方程为； （2）设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故， 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以，解得， 则直线的方程为． 故直线的方程为或． 3．（24-25高二下•上海宝山区期中）如图是用3个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于2，圆、圆均与圆外切． （1）求圆心与圆心的坐标； （2）已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值． 【答案】（1）、； （2）． 【分析】（1）设圆心，其中，根据圆与圆的位置关系可得出，可求出的值，即可得出点的坐标，同理可得出点的坐标； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用几何法求出直线截三个圆所得的弦长，可得出关于的方程，解出的值，即可求出的值． 【解答】解：（1）由题意点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于2，圆、圆均与圆外切， 可得圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为2，则，解得， 即点，同理可得点． （2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为2，所以，直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，． 题型二．由圆的一般式方程求圆的几何属性（共3小题） 4．（24-25高二下•上海杨浦期中）圆的圆心坐标为　 　 ． 【答案】． 【分析】将圆心的一般方程转化为标准方程，可得圆心坐标． 【解答】解：将圆转化为， 可得圆的圆心坐标为． 故答案为：． 5．（24-25高二下•上海徐汇期中）圆的圆心是　 　 ． 【答案】． 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，可得圆心坐标． 【解答】解：将圆整理可得， 可得圆的圆心坐标为． 故答案为：． 6．（24-25高二下•上海宝山期中）圆的半径是　 　． 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径． 【解答】解：圆即， 故圆心为，半径为． 故答案为． 题型三．由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数（共4小题） 7．（24-25高二下•上海期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是________ ． 【答案】． 【分析】画出图象，数形结合，求出直线与半圆恰好相切时的值，再求出临界值，即可得解． 【解答】解：已知曲线与直线有两个相异的交点， 又，则，且， 所以表示以为圆心，2为半径的圆在及直线右侧部分， 直线是与平行的直线， 当直线与曲线相切时，则（正值舍去）， 当直线过点时，，结合图形分析得的取值范围是． 故答案为：． 8．（24-25高二下•上海徐汇期中）直线与圆在第一象限有交点，则的范围是________ ． 【答案】，，． 【分析】由题意求出直线恒过的定点的坐标，再求出圆与，轴的正半轴的交点，可得直线与圆在第一象限有交点的的范围． 【解答】解：将直线整理可得， 可得直线恒过定点， 因为圆与，轴的正坐标轴交点分别为，， 所以直线与圆在第一象限有交点时直线的斜率或， 解得或， 即的范围为，，． 故答案为：，，． 9．（24-25高二下•上海宝山期中）已知直线与圆有且仅有一个公共点，则 　________ ． 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求解． 【解答】解：因为直线与圆有且仅有一个公共点， 所以圆心到直线的距离， 解得． 故答案为：． 10．（24-25高二下•上海期中）已知圆，点，且直线经过点． （1）若与相切，求的方程； （2）若的倾斜角为，求被圆截得的弦长． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据题意，分析可得在圆上，由圆切线的性质分析可得答案； （2）写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可求出弦长． 【解答】解：（1）根据题意，圆， 点，有，点在圆上， ， 故切线的斜率， 此时直线的方程为，即， 故直线的方程为； （2）根据题意，若的倾斜角为，则其斜率， 则其方程为，即， 圆心到直线的距离， 故直线被圆截得的弦长为． 题型四．由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数（共4小题） 11．（24-25高二下•上海徐汇期中）“”是“方程表示椭圆”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】 【分析】利用椭圆的标准方程，求解的范围，然后判断充要条件即可． 【解答】解：方程表示椭圆，可得，解得，，， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：． 12．（24-25高二下•上海嘉定期中）“”是“方程表示椭圆”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】先确定方程表示椭圆时的范围，然后检验充分性及必要性即可判断． 【解答】解：当时，，，此时方程 不一定表示椭圆，例如时，方程表示圆， 若方程表示椭圆，则，且，解得，且， 所以是方程表示椭圆”必要不充分条件． 故选：． 13．（24-25高二下•上海静安期中）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________ ． 【答案】． 【分析】根据椭圆的标准方程的形式列出不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：若方程表示焦点在轴上的椭圆， 则， 解得， 即的取值范围是． 故答案为：． 14．（24-25高二下•上海静安期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是　________ ． 【答案】． 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的方程特征求解． 【解答】解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以． 故答案为． 题型五．求椭圆的焦点和焦距（共2小题） 15．（24-25高二下•上海嘉定期中）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则　________ ． 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程计算可得其焦点坐标，即可得抛物线的焦点坐标，分析可得，解可得的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆的方程为， 其中，其右焦点坐标为， 则抛物线的焦点为， 则， 则， 故答案为：4． 16．（24-25高二下•上海长宁期中）与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆方程是 　________ ． 【答案】． 【分析】求解焦距，结合短轴长，综合求解椭圆方程即可． 【解答】解：与椭圆有相同焦点，可知所求椭圆的半焦距为：， 短轴长为，可得，所以，所求椭圆方程为：． 故答案为：． 题型六．椭圆上的点与焦点的距离（共1小题） 17．（24-25高二下•上海宝山期中）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是________ ． 【答案】5． 【分析】根据椭圆方程得到，再根据椭圆的定义计算可得． 【解答】解：椭圆， 则，解得， 设点到另一个焦点的距离为， 椭圆上一点到一个焦点的距离等于3， 则，解得，即点到另一个焦点的距离是5． 故答案为：5． 题型七．求椭圆的离心率（共5小题） 18．（24-25高二下•上海杨浦期中）某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳的中心是的一个焦点，若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为，最小值为，太阳半径为，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】设椭圆的焦距为，长轴长为，根据题意得到，，计算可得离心率． 【解答】解：设椭圆的焦距为，长轴长为，则由已知可得，， 两式相加可得，两式相减可得， 则， 所以椭圆的离心率． 故选：． 19．（24-25高二下•上海金山期中）已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】设，整理可得，根据题意结合二次函数分析可得，进而可求离心率． 【解答】解：由题意可设：， 则 ， 令，，则， 注意到，则， 可知的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，可知在，内的最小值为， 则， 整理得，解得，不合题意； 当，即时，可知在，内的最小值为（1），符合题意； 综上所述：． 可得椭圆的离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围是． 故选：． 20．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若△的周长为10，则的离心率为________ ． 【答案】． 【分析】根据已知条件求得和，进而求解结论． 【解答】解：，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，△的周长为10， 故，，解得． 故离心率． 故答案为：． 21．（24-25高二下•上海宝山期中）设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率________ ． 【答案】． 【分析】由题意得出，等式两边同时除以，可得出关于的方程，结合可求出的值． 【解答】解：因为椭圆的焦距为，且，即， 得，即，因为，解得． 故答案为：． 22．（24-25高二下•上海期中）已知椭圆，为的上顶点，、是上不同于点的两点． （1）求椭圆的离心率； （2）若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点．若△有一个内角为，求点的坐标； （3）作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为2，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）存在，． 【分析】（1）根据离心率公式直接求解； （2）设，，分或两种情况讨论求解即可； （3）假设存在定点满足题意，先讨论的斜率存在时，设的方程为，，，，，首先与椭圆方程联立并结合直线与直线的斜率之和为2得，其次求得直线的方程为并于直线的方程联立求得点，再次根据得当时，为定值，最后说明直线的斜率存在也满足即可． 当直线斜率不存在时，设，，，， 则，，此时，满足题意． 所以存在定点，使得为定值且定值为． 【解答】解：（1）由题意，，所以离心率； （2）如图， 由题意，，，，所以直线的方程为：， 设，，显然有或两种情况， ①当时，直线的倾斜角为，其与轴的交点为，则， 因为， 由，得：，解得（舍去）或， 故点的坐标是； ②当时，此时，则， 因为， 由，得：， 解得（舍去）或， 故点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或． （3）假设存在定点满足题意， 如图， 当的斜率存在时，设直线的方程为，，，，， 由得， 由题意，△，即①， ， ， 所以，代入①，得：， 所以或，即存在直线使得直线与直线的斜率之和为2 直线的方程为，直线的方程为， 由，得：，即， 所以， 所以当时，为定值， 当直线斜率不存在时，设，，，， 则，，此时，满足题意， 所以存在定点，使得为定值且定值为． 题型八．直线与椭圆的位置关系及公共点个数（共3小题） 23．（24-25高二下•上海宝山期中）已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在4个点使得△为直角三角形，则实数的取值范围是________ ． 【答案】． 【分析】利用椭圆的对称性，结合条件，将问题转化成以原点为圆心，半径为的圆与椭圆没有交点，即可求解． 【解答】解：如果，根据椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 如果，根据椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 又因为椭圆上只存在4个点使得三角形为直角三角形，那么椭圆上不存在点，使， 那么以原点为圆心，半径为的圆与椭圆没有交点，因此， 解得，又因为，因此． 故答案为：． 24．（24-25高二下•上海杨浦期中）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线的方程为．过原点作直线的平行线与椭圆交于、两点． （1）求证：直线与椭圆有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标； （2）记（1）中的公共点为，求证：、、、四个点在同一圆上，并求圆的一般方程． 【答案】（1）证明过程见解析，公共点坐标为； （2）证明过程见解析，圆的方程为． 【分析】（1）将直线方程与椭圆方程联立，进而即可求解； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，求出，两点的坐标，设出圆的方程，、、的坐标代入，求出圆的方程，再进行验证即可． 【解答】解：（1）证明：联立，消去并整理得， 解得， 则椭圆与直线有且仅有一个公共点； （2）证明：易知直线的方程为， 联立， 解得， 即，， 因为，， 设圆的方程为， 将、、的坐标代入圆的方程中， 此时， 解得， 此时圆方程为， 将点代入圆的方程中， 此时， 所以点也在此圆上． 故、、、四个点在同一圆上． 25．（24-25高二下•上海普陀期中）已知，椭圆，点是该椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同的，两点． （1）当且的斜率为1时，求； （2）当时，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得对于任意的直线、△都不是直角三角形．若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3），理由见解析． 【分析】（1）由题意，利用与椭圆联立得，两点坐标，再求的值，即可求解； （2）设出直线方程，与椭圆联立得韦达定理，由，代入，，，得到关于的式子，即可求解； （3）设直线的方程为，联立方程组得到，，结合不成立，得出方程无解，进而求得实数的取值范围． 【解答】解：（1）由椭圆，可得，，则，所以， 当时，直线， 联立方程组，解得，，则． （2）当斜率为0时，由，，可得， 当斜率不存在时，由，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，整理得， 设，，，，则△， 且， 由， 则 ， 令，可得且，则， 综上可得，的取值范围为． （3）设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，，，，则△， 且， 设， 因为，， 所以 ， 要使得△都不是直角三角形，只需不成立， 即方程无解，即无解， 所以，解得， 又因为，所以实数的取值范围为． 题型九．由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数（共3小题） 26．（24-25高二下•上海浦东新区期中）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为________ ． 【答案】，，． 【分析】结合椭圆的性质求解即可． 【解答】解：因为恒过定点， 又对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点， 则， 即， 又， 则实数的取值范围为，，． 故答案为：，，． 27．（24-25高二下•上海闵行期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，△的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程； （3）直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点，和，．若，分别是线段和的中点，求△面积的最大值． 【分析】（1）根据△的边上中线为得，再联立即可求解； （2）设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆方程得，，再由，即，最后代入即可求解； （3）设直线的方程为，则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点，的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值． 【解答】解：（1）由题意，因为，，△为直角三角形，所以． 又，所以，所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）知，，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，，，，， 联立，消去得，， 所以△，即． 且， 因为，所以， 所以，，，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或． （3）由题意，， 设直线的方程为，，，，， 则直线的方程为，，，，， 联立消去得， 所以， 所以，， 所以， 同理联立，消去得， 所以， 所以，， 所以， 即的中点． 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以△的面积最大值为． 28．（24-25高二下•上海宝山期中）已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于、两点． （1）若直线，试求的面积； （2）若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）如果，原点到直线的距离为，求的取值范围． 【答案】（1）． （2）0． （3）． 【分析】（1）根据题意可得，，则，解得，进而可得点到直线的距离，联立直线与椭圆的方程，设，，，，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，进而可得． （2）设直线的方程为，，，，，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，再计算直线、的斜率之和是否为定值． （3）设直线的方程为，，，，，联立椭圆的方程，由判别式可得△，结合韦达定理可得，，由于，则，化简得，进而可得，再计算原点到直线的距离，进而可得答案． 【解答】解：（1）因为椭圆， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以点到直线的距离， 联立，得， 设，，，， 所以，， 所以， 所以． （2）设直线的方程为，，，，， 联立，得， 所以，， 所以 ． （3）设直线的方程为，，，，， 联立，得， △， ，， 因为， 所以，，，， 因为， 所以， 所以，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 若，则不成立， 所以， 代入，可得， 化简得恒成立， 原点到直线的距离， ， 所以， 所以， 所以的取值范围为． 题型十．椭圆的定点及定值问题（共3小题） 29．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，离心率为，点，，是椭圆上不同的三个点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为，且，求证：直线过定点． （3）若，求△的面积． 【答案】（1）； （2）证明：设，，， 当直线斜率不存在时， 设直线方程为， 联立， 解得， 此时， 解得； 当斜率存在时， 设方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则 ， 解得， 所以直线方程为， 此时直线过点， 综上所述，直线过定点； （3）． 【分析】（1）设椭圆方程为，由椭圆上顶点为得出，再根据离心率为，即可求解； （2）分类讨论，当直线斜率不存在时，设直线方程为，联立方程组，结合得出直线过定点横坐标为；当斜率存在时，设方程为，联立方程组，由韦达定理及已知得出，代入直线方程即可证明； （3）设，，，，，，分类讨论，当直线的斜率不存在时得出面积表达式，当直线斜率存在，设直线方程为，由表示出点坐标，代入椭圆方程得，再根据椭圆弦长公式和点到直线距离公式即可计算面积． 【解答】解：（1）因为椭圆的焦点在轴上， 设椭圆方程为， 因为椭圆的上顶点为，离心率为， 所以， 解得，， 则椭圆的方程为； （2）证明：设，，， 当直线斜率不存在时， 设直线方程为， 联立， 解得， 此时， 解得； 当斜率存在时， 设方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则 ， 解得， 所以直线方程为， 此时直线过点， 综上所述，直线过定点； （3）设，，，，，， ①当直线斜率不存在， 此时点，关于轴对称， 又点，，是椭圆上不同的三个点， 所以点必在长轴顶点处， 设，，，且， 因为， 所以， 解得， 将代入中， 解得， 此时， 点到的距离为， 则； ②当直线斜率存在， 由（2）知，， 所以，． 因为， 所以， 可得， 因为点在椭圆上， 所以， 整理得， 代入韦达定理得， 此时， 点到直线的距离 ， 所以 ． 综上所述，△的面积为． 30．（24-25高二下•上海黄浦期中）已知椭圆，依次连接椭圆的四个顶点构成的四边形面积为． （1）若，求椭圆的标准方程； （2）当时，设直线与椭圆交于、两点，设的中点为，为坐标原点，直线、的斜率分别为、，求证：为定值； （3）在第（2）小题的前提下，设点为椭圆的右焦点，，若与的交点、均不与点重合，直线、、的斜率分别为、、，若，求△的周长． 【答案】（1）； （2）证明过程见解析； （3）8． 【分析】（1）直接利用四边形面积可知，由即可求出值，即可求得椭圆方程； （2）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理计算斜率计算求出定值； （3）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理及可求出直线方程，得出直线恒过定点，即可求出△的周长． 【解答】解：（1）因为椭圆四个顶点构成的四边形面积为， 所以， 因为， 所以， 则椭圆的标准方程为； （2）证明：设直线的方程为，，，，，的中点为， 联立，消去并整理可得， 此时△， 解得， 由韦达定理得，， 因为直线、的斜率分别为、， 所以 ； （3）设直线的方程为，，，，， 此时，， 所以， 则 ， 当时，椭圆的方程为， 联立可得， 此时△， 解得， 由韦达定理得到，， 此时 ， 所以或， 此时均满足△， 若， 此时直线的方程为， 则直线恒过， 若， 此时直线的方程为， 则直线恒过，不符合题意， 所以直线的方程为， 因为点为椭圆的左焦点． 所以△的周长为． 31．（24-25高二下•上海杨浦区期中）已知椭圆过点，且右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于、两点，交轴于点．若，，求证：为定值． 【答案】（1）． （2）证明见解答． 【分析】（1）结合已知求解方程即可． （2）设、、的坐标分别为，，，，，根据知，，结合二次函数的根问题判断求解． 【解答】解：（1）根据题意，，因此，椭圆为． （2）证明：设、、的坐标分别为，，，，． 根据，，， 所以， 所以，， 又点在椭圆上， 则， 整理得， 由，同理可得， 由于、不重合，即，故、是二次方程的两根，所以，为定值． 题型十一．抛物线的焦点与准线（共3小题） 32．（24-25高二下•上海期中）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为________ ． 【答案】8． 【分析】求得抛物线的焦点的坐标和准线方程，设直线的方程为，，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，可得，由，可将上式中的换为，可得，再由基本不等式可得所求最小值． 【解答】解：由题意可设直线的方程为，， 联立， 消可得：， 设，，，， 则可得， 由抛物线的定义可得， 由，可将上式中的换为， 可得， 则，当且仅当时，等号成立． 故答案为：8． 33．（24-25高二下•上海浦东新区期中）抛物线的焦点坐标为________ ． 【分析】确定抛物线的焦点位置，根据方程即可求得焦点坐标． 【解答】解：抛物线的焦点在轴上，且 抛物线的焦点坐标为 故答案为： 34．（24-25高二下•上海金山期中）若抛物线上一点，到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则　　． 【答案】． 【分析】由题意列出方程，求出． 【解答】解：由题知：， 故由焦半径公式得：． 故答案为：． 题型十二．求抛物线的准线方程（共3小题） 35．（24-25高二下•上海普陀期中）已知抛物线，则其准线方程为 ________ ． 【答案】． 【分析】利用抛物线的标准方程，求解准线方程即可． 【解答】解：抛物线，则其准线方程为． 故答案为：． 36．（24-25高二下•上海长宁期中）抛物线的准线方程是，则实数的值为________ ． 【答案】． 【分析】对比抛物线准线方程即可列方程求解参数． 【解答】解：由抛物线的准线方程是， 可得：，解得． 故答案为：． 37．（24-25高二下•上海静安期中）如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在时，拱顶离水面，水面宽．那么当水面下降后． （1）水面的宽为多少？ （2）求此时横截面中水面中心到抛物线上的点距离的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，由题意可设抛物线的方程为，其中，结合题意可得：在抛物线上，然后代入抛物线方程求解即可； （2）由题意可得：，设抛物线上的点为，则，然后结合二次函数最值的求法求解即可． 【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可设抛物线的方程为，其中， 又结合题意可得：在抛物线上， 则， 即， 即抛物线的方程为， 设，其中， 则， 即， 即水面的宽为； （2）由题意可得：， 设抛物线上的点为， 则， 当时取等号， 即此时横截面中水面中心到抛物线上的点距离的最小值为． 题型十三．求抛物线的焦点和焦准距（共1小题） 38．（24-25高二下•上海期中）抛物线的焦点坐标是________ ． 【答案】． 【分析】由抛物线的标准方程可得出该抛物线的焦点坐标． 【解答】解：易知该抛物线是焦点在轴的负半轴上，且， 所以， 则抛物线的焦点坐标为． 故答案为：． 题型十四．由抛物线的焦点或焦准距求解抛物线方程或参数（共1小题） 39．（24-25高二下•上海黄浦期中）设抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则该抛物线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意确定出抛物线开口向下，且，代入抛物线的标准方程即可． 【解答】解：因为抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，准线方程为， 所以抛物线开口向下，且， 则抛物线的方程是， 故选：． 题型十五．求双曲线的渐近线方程（共8小题） 40．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知的两条渐近线与直线围成三角形区域，那么，表示该区域的不等式组是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出渐近线方程，然后列出不等式组即可． 【解答】解：的两条渐近线与直线围成三角形区域，如图： 该区域的不等式组是． 故选：． 41．（24-25高二下•上海期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且过点，则双曲线的渐近线方程为________ ． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解． 【解答】解：双曲线过点， 则，解得， 又， 故双曲线的渐近线方程为． 故答案为：． 42．（24-25高二下•上海嘉定期中）以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为________ ． 【答案】． 【分析】由已知可得右焦点坐标，渐近线方程，由点到直线的距离公式求得圆的半径，根据圆的标准方程即可求解． 【解答】解：因为双曲线方程为， 所以其右焦点为，渐近线方程为，即， 因为焦点到直线的距离为， 所以所求圆的方程为． 故答案为：． 43．（24-25高二下•上海普陀期中）双曲线的渐近线方程为 ________ ． 【答案】． 【分析】根据双曲线方程直接代入渐近线方程计算可得结果． 【解答】解：由题可得双曲线方程为：； 所以，， 故渐近线方程为． 故答案为：． 44．（24-25高二下•上海杨浦期中）双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为________ ． 【答案】． 【分析】求解渐近线方程，然后求解两条渐近线的夹角的余弦函数值． 【解答】解：双曲线的两条渐近线， 两条渐近线的夹角的正切值为：， 两条渐近线的夹角的余弦值为． 故答案为：． 45．（24-25高二下•上海宝山期中）已知双曲线，则其渐近线方程为________ ． 【答案】． 【分析】直接利用双曲线的标准方程，求解渐近线方程即可． 【解答】解：双曲线，则其渐近线方程为：． 故答案为：． 46．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知双曲线，其渐近线方程为________ ． 【答案】． 【分析】由已知双曲线方程求得与的值，则答案可求． 【解答】解：由双曲线， 得，，可得，， 其渐近线方程为． 故答案为：． 47．（24-25高二下•上海浦东新区期中）双曲线的渐近线方程为________ ． 【答案】． 【分析】由双曲线的标准方程求得与的值，则答案可求． 【解答】解：由双曲线，得，， 即，， 双曲线的渐近线方程为． 故答案为：． 题型十六．由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数（共5小题） 48．（24-25高二下•上海金山期中）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为________ ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据已知条件，求出渐近线方程，再结合条件，即可求解． 【解答】解：双曲线， 则双曲线的渐近线方程为， 直线过定点， 因为点在双曲线开口之内， 所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，即该直线与双曲线的渐近线平行， 故． 故答案为：（答案不唯一）． 49．（24-25高二下•上海静安期中）若直线是双曲线的一条渐近线，则________ ． 【答案】2． 【分析】先根据双曲线方程判断焦点位置，写出其渐近线方程，比较即得． 【解答】解：因双曲线的焦点在轴上，且， 故其渐近线方程为：， 又直线是双曲线的一条渐近线， 所以． 故答案为：2． 50．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则　________ ． 【答案】． 【分析】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案． 【解答】解：因为双曲线为，所以它的渐近线方程为， 因为有一条渐近线方程为，所以． 故答案为：． 51．（24-25高二下•上海黄浦期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 　________ ． 【答案】3． 【分析】由题意可得出渐近线的斜率，据此列方程求解即可． 【解答】解：双曲线的实半轴长为1，虚半轴长为， 若双曲线的一条渐近线与直线平行， 则，解得：． 故答案为：3． 52．（24-25高二下•上海徐汇期中）双曲线的一条渐近线方程为，则________ ． 【答案】． 【分析】根据方程得到以及渐近线方程，则有，可解出． 【解答】解：由已知，，令，得， 因为一条渐近线方程为，所以，解得． 故答案为：． 题型十七．求双曲线的离心率（共4小题） 53．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为________ ． 【答案】． 【分析】由直线垂直与斜率的关系可得渐近线的斜率，再由双曲线离心率公式计算即可． 【解答】解：因为直线的斜率为， 所以与直线垂直的渐近线的斜率为3， 因为双曲线，所以， 所以． 故答案为：． 54．（24-25高二下•上海嘉定期中）双曲线的离心率为________ ． 【答案】． 【分析】利用双曲线方程求解，，推出，然后求解离心率即可． 【解答】解：双曲线，可得，，则， 所以． 故答案为：． 55．（24-25高二下•上海杨浦期中）直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，与双曲线的两条渐近线分别交于、两点、、、从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是________ ． 【答案】，． 【分析】分别设出、、、的坐标，联立直线方程与双曲线方程，直线方程与渐近线方程，利用根与系数的关系结合，且，，成等差数列列式求解． 【解答】解：设，，，，，，，， 直线， 联立，得， ，， 联立，得， ，， 由，得，得，则， 即，可得； 由，，成等差数列，得，则， 即，可得，即， ，求得． 双曲线离心率的范围为，． 故答案为：，． 56．（24-25高二下•上海宝山期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，是上一点，，且，，成等差数列，则的离心率为________ ． 【分析】据双曲线的定义和已知条件得出与的关系，再结合等差数列的性质列出等式，最后根据双曲线的性质求出离心率． 【解答】解：因为点在双曲线上，所以，即， 因为，所以，则在△中，为点的纵坐标的绝对值， 将代入双曲线方程，可得，即，那么， 已知，，成等差数列，可得， 又因为，，所以，将代入中， 可得，得到，即， 因为，可得，根据双曲线的离心率公式，可得． 故答案为：2． 题型十八．曲线与方程（共4小题） 57．（24-25高二下•上海嘉定期中）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】作出曲线的图形，即可根据相切求解斜率，结合图形即可求解． 【解答】解：当时，，此时曲线为开口向右的抛物线， 由于曲线关于轴对称，因此可作出曲线图象如下： 直线恒过定点， 当直线与相切时，则， 故△，解得或， 结合图形可知此时，故， 同理直线与相切时，， 故当与直线没有公共点，则或， 即的取值范围是，，． 故选：． 58．（24-25高二下•上海普陀期中）在平面上，若曲线具有如下性质：存在点，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（　　） ①所有椭圆都是“自相关曲线”． ②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】 【分析】由新定义求解曲线上任一点到定点距离的取值范围，当任意，都有时，曲线满足定义，结合椭圆与双曲线的性质判断． 【解答】解：对于①，不妨设椭圆方程为，， 则椭圆上一点到距离为 ， 当时，对称轴，可得，， 总存在使得，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确， 对于②，对于给定的双曲线和点，显然存在最小值， 而横坐标趋近于无穷大时，趋近于无穷大，，， 故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”，故②错误． 故选：． 59．（24-25高二下•上海杨浦期中）如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（　　） A．开口向上的抛物线的方程为 B．四叶图上的点到点的距离的最大值为 C．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2 D．四叶图的面积小于32 【答案】 【分析】由题意可得，可求得逆时针旋转的抛物线方程，联立两个抛物线方程，即可判断选项； 联立直线和抛物线方程，即可得到交点坐标，结合函数求最值，即可求得弦长的最大值，判断选项； 利用图像的对称性即可判断选项． 【解答】解：由逆时针旋转所得的曲线为，正确； 由题知，， 逆时针旋转，，后所得的三条曲线为，，， 联立，解得或， 根据对称性可知，到点的距离即是最大，且为，正确； 如图，设直线与第一象限叶子分别交于，， 由，解得或（舍去）， 由，解得或（舍去）， 即，，， 则弦长， 由图知，直线经过点时取最大值8， 经过点时，取最小值0，即在第一象限部分满足， 不妨设，则，且， 代入得，， 所以当时，最大，且为，错． 如图， 由图像可知，四叶图的面积小于由各曲线交点围成的正方形面积的一半， 即四叶图的面积小于，正确． 故选：． 60．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知曲线的对称中心为，如果对于曲线上的任意一点，都存在上另外的两点、，使得△的垂心为，则称为“自垂曲线”．现有如下两个命题： ①任意双曲线都是“自垂曲线”； ②任意椭圆都是“自垂曲线”． 则下列判断正确的是（　　） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】 【分析】设出椭圆、双曲线方程及点，，的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得． 【解答】解：椭圆是“自垂曲线”．设椭圆方程为，令，， 则设，，，由是△ 的重心， 知，直线过点， 当时，若，直线与椭圆有两个交点，，符合题意， 若，直线与椭圆有两个交点，，符合题意，则当， 即时，存在两点，，使得△ 的重心为原点，同理，当，即时， 存在两点，，使得△ 的重心为原点，当时，， 两式相减得， 直线的斜率，方程为， 即，由， 消去并整理得：，， 即直线与椭圆交于两点，且是△的重心，即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，， 使得为△的重心，综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，，使得为△重心，②为真命题； 双曲线不是“自垂曲线”．由对称性，不妨令双曲线方程为， 令，则设，，，假设是△ 的重心， 则，直线过点，当时， 直线或直线与双曲线都不相交， 因此，，两式相减得， 直线的斜率，方程为， 即，由， 消去并整理得：，， 即直线与双曲线不相交，所以不存在双曲线， 其上点及某两点，，为△ 的重心，①是假命题． 故选：． 题型十九．求抛物线的准线方程（共2小题） 61．（24-25高二下•上海静安期中）抛物线的准线方程为________ ． 【分析】直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可． 【解答】解：的准线方程为：． 故答案为：． 62．（24-25高二下•上海浦东新期中）抛物线的准线方程为________ ． 【分析】由抛物线的准线为，即可求得抛物线的准线方程． 【解答】解：由抛物线的准线为， 可得抛物线的准线方程为． 故答案为：． 题型二十．直线与抛物线的位置关系及公共点的个数（共4小题） 63．（24-25高二下•上海徐汇期中）栱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且△与△的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为 　　 ． 【答案】． 【分析】先建立平面直角坐标系，再设直线方程并联立，得到点坐标关系，结合三角形面积公式，将面积之比转化为高之比，最后求解直线斜率可得结论 【解答】解：建系如图： 设抛物线方程为，则焦点， 设直线方程为，，，，， 联立，得， 所以，． 因为，所以， 所以，， 所以， 所以， 所以，解得，又，所以， 因为直线与直线的夹角与直线的倾斜角互余，且， 所以直线与直线的夹角的正切值为． 故答案为：． 64．（24-25高二下•上海徐汇期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有 ________ 条． 【答案】2． 【分析】设出直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理以及的取值范围进行求解即可． 【解答】解：易知抛物线的焦点，， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 因为、的横坐标之和为5， 所以， 即， 所以， 当时，直线不存在；当时，直线有1条；当时，直线有2条， 则直线最多有2条． 故答案为：2． 65．（24-25高二下•上海杨浦区期中）如图，已知抛物线的焦点为，、是抛物线上关于轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 ________ ． 【答案】． 【分析】设点的坐标，表示出点的坐标及向量，的坐标，由，转化为，再转化为一元二次方程求解即可． 【解答】解：依题意有抛物线的焦点，设，，因为、关于轴对称，则，， 所以，， 因为若，则，即， 因为点在抛物线上，所以，代入上式得， 解得或（舍去）． 故答案为：． 66．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知抛物线，定点． （1）过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求； （2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程． 【答案】（1）； （2）或或． 【分析】（1）根据两点求解直线方程，联立直线与抛物线方程，即可根据焦点弦公式求解， （2）根据直线是否有斜率，即可根据方程的根即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得，直线的方程为，即， 联立解方程组，可得， 设，，，，则， ； （2）当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，得， 当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点， 当时，则△，解得，直线方程为． 题型二十一．抛物线的弦及弦长（共4小题） 67．（24-25高二下•上海上海期中）已知，是抛物线上一点，则的最小值为________ ． 【答案】． 【分析】根据已知条件将问题转化为抛物线上的动点，到直线 和轴的距离之和的最小值，作出图形，利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解． 【解答】解：由题可知，过抛物线上的动点，作直线的垂线交直线于， 过点，作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点．由得， 所以，如图所示： 则，动点，到轴的距离为， 则 ，当且仅当、、三点共线时，有最小值，即，为点 到直线的距离）．所以到直线的距离为， 所以，． 故答案为：． 68．（24-25高二下•上海上海期中）如图，已知△是圆锥的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的取值范围是________ ． 【答案】，． 【分析】根据题意可知垂直截面抛物线面，四边形为正方形，从而可得，再建系求出截面抛物线的方程，从而利用函数思想，即可求解． 【解答】解：如图，连接，， 则根据题意可知，又垂直截面抛物线面， 所以也垂直截面抛物线面，四边形为正方形， 所以， 设，则，， 所以， 设抛物线截面与底面圆的交点分别为，， 则， 又，， 以所在直线为轴，过且垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，如下图所示： 设截面抛物线的方程为，，则，在抛物线上， 所以，所以截面抛物线的方程为，， 设，，，则， 所以，又，， 所以，， 所以，． 故答案为：，． 69．（24-25高二下•上海浦东新区期中）已知抛物线，的准线方程为． （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据抛物线的几何性质，直接求解； （2）设直线为，，，，，再根据设而不求法，根与系数的关系，抛物线的焦半径公式，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可得，所以， 所以抛物线的标准方程为； （2）因为，且直线过焦点， 所以设直线为，，，，， 联立，可得， 所以，， 又，所以， 所以， 所以． 70．（24-25高二下•上海杨浦区期中）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，问卡车的限高为多少米？ 【答案】2.29米． 【分析】设出抛物线方程，利用已知条件求解抛物线方程，然后求解卡车的限高． 【解答】解：建立如图所示的坐标系，抛物线开口向下， 设抛物线的方程为，依题意抛物线过点， 则，所以抛物线的方程为，车的截面为矩形， 设，则，所以米， 即限高为2.29米． 题型二十二．抛物线的焦点弦及焦半径（共4小题） 71．（24-25高二下•上海宝山期中）已知为抛物线的焦点，点，在抛物线上，则（　　） A．8 B．9 C．7 D．6 【答案】 【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可． 【解答】解：已知为抛物线的焦点，点，在抛物线上， 则， 即， 则． 故选：． 72．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为________ ． 【答案】． 【分析】过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得，结合图形可知，当、、三点共线时，即当时，取最小值，即可得解． 【解答】解：作出示意图如下： 过点作，垂足为点， 易知抛物线的焦点为，准线为， 所以，则， 结合图形可知，当，，三点共线时，即当时，取最小值， 且最小值为． 故答案为：． 73．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知抛物线与一条过焦点的直线相交于，两点，若弦的中点的纵坐标为，则 ________ ． 【答案】． 【分析】首先把抛物线方程化成标准方程，得到，再利用焦点弦长公式，即可求得． 【解答】解：已知抛物线与一条过焦点的直线相交于，两点，若弦的中点的纵坐标为， 又可化为， 所以， 根据题意得； 所以由抛物线过焦点的弦长公式可知：． 故答案为：． 74．（24-25高二下•上海金山期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则 ________ ． 【答案】8或． 【分析】根据题意建立方程，即可求解． 【解答】解：根据题意可设，其中， 又，，， 解得或， 所以为8或． 故答案为：8或． 题型二十三．直线与圆锥曲线的综合（共6小题） 75．（24-25高二下•上海宝山期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点到双曲线：的渐近线的距离为1． （1）求抛物线的方程； （2）若不经过原点的直线与抛物线交于、两点，且，求证：直线过定点． 【分析】（1）求出抛物线焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式计算得，从而可得抛物线方程； （2）设直线方程为，与抛物线方程联立，由可得：，结合韦达定理可得的值，从而可得直线过定点． 【解答】解：（1）抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为：，即， 则，解得， 故抛物线的方程为：； （2）由题意可知直线不能与轴平行，故方程可设为， 与抛物线方程联立，，消去得：， 设，，， 则，， 由可得：， 即， 即， 即， 又，解得：， 所以直线的方程为， 所以直线过定点． 76．（24-25高二下•上海宝山期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、． （1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； （2）已知，，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若△是等腰三角形，求点的坐标； （3）已知，，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于、两点（均不同于，是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线、、的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）． （2）点的坐标为，，． （3）存在定直线，使得动直线与的交点满足直线、、的斜率总是成等差数列． 【分析】（1）由题意可得：，即可得出． （2）椭圆的方程为：，．点是椭圆上一点，且位于轴的上方．分类讨论： 若，可得．若，设，由，，，，联立解得，，可得坐标．若，设，根据对称性可得坐标． （3）椭圆的方程为，，把代入椭圆方程可得，，解得，可得坐标．设直线的方程为：，，，设，，，，联立，化为，假设存在定直线，使得动直线与的交点满足直线、、的斜率总是成等差数列，，利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意可得：， （2），，椭圆的方程为：，． 点是椭圆上一点，且位于轴的上方， 若，则． 若，设，则，，，，联立解得，，，． 若，设，根据对称性可得，． 综上可得点的坐标为，，． （3），，椭圆的方程为，，， 把代入椭圆方程可得，，解得，． 设直线的方程为：，，，设，，，， 联立，化为， △， ，， 假设存在定直线，使得动直线与的交点满足直线、、的斜率总是成等差数列， 则， ，，， 代入化为：， 而， ，解得． 因此存在定直线，使得动直线与的交点满足直线、、的斜率总是成等差数列． 77．（24-25高二下•上海长宁期中）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，交抛物线于，两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在时，为定值． 【分析】（1）求出，结合短轴长求出，从而求出，写出椭圆方程； （2）先考虑直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求，直线斜率不为0时，设出，与抛物线联立，根据焦点弦公式求出，再把直线与椭圆联立，由弦长公式得到，从而得到，列出方程，求出的值及定值． 【解答】解：（1）抛物线的焦点坐标为，故， 且，解得：， 从而， 所以椭圆的方程为； （2）当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求， 故直线的斜率不为0，设方程为，且， 联立与，可得， 设，，，，故，， 则， 故， 联立与，可得：， 设，，，， 则， 则， 所以， 令，解得：， 此时为定值． 78．（24-25高二下•上海普陀期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设过点且斜率为的直线与曲线交于、两点，求△的面积； （3）过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）128． 【分析】（1）先判断曲线的类型，再确定其解析式； （2）根据抛物线的焦点弦公式求弦长，点到直线的距离求高，可求出三角形的面积； （3）根据焦点弦公式分别求弦长和，再结合基本不等式和换元法求的最小值． 【解答】解：（1）由题意：曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等， 所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线，所以， 所以曲线的方程为：； （2）直线方程为：，代入， 整理得：， 由韦达定理得：， 所以， 又点到直线的距离为：， 所以． （3）如图：设直线，代入抛物线得：， 整理得：， 由韦达定理：， 所以， 用代替，可得， 所以， 设，则，当且仅当时取“”， 则． 79．（24-25高二下•上海长宁期中）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点． （1）若点的横坐标为2，求的长； （2）设的上、下顶点分别为、，记△的面积为，△的面积为，若，求的取值范围． （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在满足条件． 【分析】（1）由题意，设出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程中再结合公式进行求解即可； （2）设出点的坐标，结合三角形面积公式以及题目所给信息，列出等式再进行求解即可； （3）设出，两点的坐标，根据对称性得到点的坐标，利用向量的运算以及题目所给信息求出，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及点在直线上，即可求出满足条件的点坐标． 【解答】解：（1）因为点的横坐标为2， 不妨设， 因为点在椭圆上， 所以， 解得， 易知， 所以； （2）不妨设，， 此时， 因为， 所以， 即， 又， 所以， 解得， 则， 故的范围为，； （3）不妨设，，，，， 由对称性可得、关于轴对称， 所以，， 又，， 此时， 所以， 同理得， 因为， 所以， 解得或（无解）， 不妨设直线， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 解得， 此时， 又， 解得， 此时． 故存在轴上方的点，使得成立． 80．（2025秋•宝山期中）如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点，为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点． （1）求与的方程； （2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标； （3）设直线，的斜率分别为，，直线与相交于点，，直线与相交于点，，，，求证：且存在常数使得． 【答案】（1）；（2）． （3）证明见解答． 【分析】（1）设，的方程分别为与，将点坐标代入的方程中可求出，利用椭圆的定义可求出的值，从而可得，进而可得与的方程； （2）分点在第四象限和第一象限两种情况讨论求出点的坐标即可； （3）利用两点的斜率公式及点在上即可证明，设的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示出，，化简为常数，即可求得结论． 【解答】解：（1）设，的方程分别为与， 由，得， 故，的坐标分别为，， 所以，故，， 故与的方程分别为与． （2）当点在第四象限时，直线，的倾斜角都为钝角，不适合题意； 当在第一象限时，由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， 可知，故， 设点坐标为，可知且，解得， 故点的坐标为． （3）证明：设直线，的斜率分别为，， 点，，的坐标分别为，，，，，， 则，， 设的方程为，代入，可得， 故， 所以， 同理可得，又， 故，故，即， 所以存在，使得． 题型二十四．圆锥曲线的综合（共4小题） 81．（24-25高二下•上海宝山区期中）若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出与的和与差，变形求得积． 【解答】解：若椭圆和双曲线有相同的焦点和， 而是这两条曲线的一个交点，设为半焦距， 不妨设点是两曲线在第一象限内的交点， 由椭圆和双曲线的定义， 可得，解得， 则． 故选：． 82．（24-25高二下•上海金山期中）已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为________ ． 【答案】． 【分析】双曲线的顶点为，可得椭圆的焦半径为，由长轴定义及椭圆的标准方程即可求解． 【解答】解：易知双曲线的顶点为， 所以椭圆的焦点在轴上， 设所求椭圆的方程为， 因为该椭圆长轴长为4， 所以， 解得， 因为该椭圆以双曲线的顶点为焦点， 所以， 此时， 则所求椭圆的标准方程为． 故答案为：． 83．（24-25高二下•上海徐汇期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，△是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是________ ． 【答案】． 【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，，从而得到，结合的范围可得结果． 【解答】解：设椭圆的方程为，双曲线的方程为， 设椭圆与双曲线的半焦距为，，， 由题意可得，，， 即，，且，， 可得，，解得． 由椭圆的定义可得，，即有； 由双曲线的定义可得，，则双曲线的离心率； 则； 由，可得，即有， 可得， 即有的取值范围为． 故答案为：． 84．（24-25高二下•上海静安期中）已知有相同焦点、的椭圆和双曲线交于点，，椭圆和双曲线的离心率分别是、，那么________ ．（点为坐标原点）． 【分析】由题设中的条件，设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得，，的等式，整理即可得到结论． 【解答】解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，不妨令在双曲线的右支上，，，，可得，， ，① ，② 由 由椭圆的定义 又，， 故 ①②得， 可得 可得 故答案为：5． 题型二十五．圆与圆锥曲线的综合（共6小题） 85．（24-25高二下•上海期中）已知椭圆，过左焦点作直线与圆相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为________ ． 【分析】由题意利用直线与圆相切可得，再由余弦定理计算得出，利用椭圆定义即可得出离心率． 【解答】解：椭圆，左焦点， 设椭圆右焦点为，连接，，如下图所示： 由圆可知圆心，半径； 显然，，过左焦点作直线与圆相切于点，可知， 因此可得，可得，； 即可得，； 在△中，由余弦定理可得 ， 解得， 又，即， 因此离心率． 故答案为：． 86．（24-25高二下•上海期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为________ ． 【答案】． 【分析】设线段的中点为，连接，求出、，利用勾股定理可得出关于、、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值． 【解答】解：椭圆的左焦点为，右焦点为，线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切， 设线段的中点为，连接，如图， 显然， 为的中点，是△的中位线，则， 由椭圆的定义知， 又，， 在直角三角形中，由勾股定理得：，即， 又，可得，故有， 由此可求得离心率． 故答案为：． 87．（24-25高二下•上海嘉定期中）若圆心为的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的标准方程为________ ． 【答案】． 【分析】根据点到直线的距离等于半径即可求解圆的半径得解． 【解答】解：设圆的方程为， 的渐近线方程为， 圆心为的圆与双曲线的渐近线相切， 故，解得， 故圆的方程为． 故答案为：． 88．（24-25高二下•上海徐汇期中）动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过点________ ． 【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题． 【解答】解：抛物线的焦点， 准线方程为， 故圆心到直线的距离即半径等于圆心到焦点的距离， 所以在圆上． 故答案为：． 89．（24-25高二下•上海杨浦区期中）斜率为1的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则等于________ ． 【分析】求得抛物线的焦点，直线的方程，运用直线和圆相切的条件：，解方程可得所求值． 【解答】解：斜率为1的直线过抛物线的焦点，， 设直线的方程为， 若与圆相切，可得， 解得或18． 故答案为：2或18． 90．（24-25高二下•上海黄浦期中）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求道路的曲线方程； （2）现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置（即确定点的坐标）并写出最短距离． 【答案】（1）段：；段：． （2）距离的最小为，相应的点坐标为． 【分析】（1）根据双曲线的定义，可得线路所在的曲线是以点为左、右焦点的双曲线右支上的一段，进而求得双曲线的标准方程；然后根据圆的定义得到线路所在的曲线为以为圆心、为半径的圆，求出该圆的方程，进而可得本题答案； （2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值并比较大小，即可得到的最小值以及相应的点的坐标． 【解答】解：（1）根据题意，线路所在的曲线是以点为左、右焦点， 实轴等于8的双曲线右支上的一段，可得，，， 因为道路起点到东西方向主干道的距离为， 所以线路所在的曲线方程为，即， 根据线路段上的任意一点到的距离都相等， 可知线路所在的曲线为以为圆心、为半径的圆，其方程为， 综上所述，道路曲线的段方程为：， 段方程为：． （2）设，，结合，可得， ①当点在线路上，由（1）可知，所以， 结合二次函数的性质，可知：当时，有最小值等于； ②当点在线路上，由（1）知，则， 结合，可知：当时，有最小值， 因为，所以的最小值为，此时，则，即点的坐标为． 综上所述，点到点距离的最小值为，相应的点坐标为． 题型二十六．轨迹方程（共5小题） 91．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知，，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据斜率公式，建立方程，可得答案． 【解答】解：设，由题意可得， 整理可得， 即动点的轨迹方程为． 故选：． 92．（24-25高二下•上海期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是________ ． 【答案】． 【分析】分直线，位于直线的同侧还是两侧分类讨论，确定直线的轨迹，则面积可求得 【解答】解：①，位于直线的异侧，如图所示，和是半径为的圆上的两段弧， 其中，，，， 是或的切线，，到直线的距离之差绝对值为， 所以或的切线均符合题意． ②，位于直线的同侧，如左图所示，，边长为， 是与正方形的边平行的直线， ，到的距离之差的绝对值为， 所以正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意， 因此不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示， ． 故答案为：． 93．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知点，，动点满足．则动点的轨迹方程________ ． 【答案】． 【分析】根据题意，设点，由得方程，化简整理即可． 【解答】解：设，由得， 化简可得动点的轨迹方程为：． 故答案为：． 94．（24-25高二下•上海杨浦期中）在平面直角坐标系中，为原点，为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为________ ． 【答案】． 【分析】根据相关点法，即可求解． 【解答】解：设的中点为，则， 又在曲线上， 所以， 所以可得线段的中点轨迹方程为． 故答案为：． 95．（24-25高二下•上海长宁期中）已知点和，动点满足，则点的轨迹方程是________ ． 【答案】． 【分析】根据双曲线的定义，即可求解． 【解答】解：因为点和，又动点满足， 所以的轨迹为以，为焦点，实轴长为4的双曲线的右支， 所以，，所以，，所以， 所以点的轨迹方程是． 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线（期中复习专项训练） 一．根据圆的几何属性求圆的标准方程 二．由圆的一般式方程求圆的几何属性 三．由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数（重点） 四．由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数 五．求椭圆的焦点和焦距 六．椭圆上的点与焦点的距离 七．求椭圆的离心率（考点） 八．直线与椭圆的位置关系及公共点个数 九．由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数 十．椭圆的定点及定值问题 十一．抛物线的焦点与准线 十二．求抛物线的准线方程 十三．求抛物线的焦点和焦准距 十四．由抛物线的焦点或焦准距求解抛物线方程或参数 十五．求双曲线的渐近线方程（重点） 十六．由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数（重点） 十七．求双曲线的离心率 十八．曲线与方程 十九．求抛物线的准线方程 二十．直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 二十一．抛物线的弦及弦长 二十二．抛物线的焦点弦及焦半径 二十三．直线与圆锥曲线的综合（难点） 二十四．圆锥曲线的综合（重点） 二十五．圆与圆锥曲线的综合（难点） 二十六．轨迹方程（考点） 题型一．根据圆的几何属性求圆的标准方程（共3小题） 1．（24-25高二下•上海期中）以为圆心且过点的圆的标准方程是 　 　 ． 2．（24-25高二下•上海金山期中）已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的一般式方程． 3．（24-25高二下•上海宝山区期中）如图是用3个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于2，圆、圆均与圆外切． （1）求圆心与圆心的坐标； （2）已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值． 题型二．由圆的一般式方程求圆的几何属性（共3小题） 4．（24-25高二下•上海杨浦期中）圆的圆心坐标为　 　 ． 5．（24-25高二下•上海徐汇期中）圆的圆心是　 　 ． 6．（24-25高二下•上海宝山期中）圆的半径是　 　． 题型三．由直线与圆的位置关系求解直线与圆的方程或参数（共4小题） 7．（24-25高二下•上海期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是________ ． 8．（24-25高二下•上海徐汇期中）直线与圆在第一象限有交点，则的范围是________ ． 9．（24-25高二下•上海宝山期中）已知直线与圆有且仅有一个公共点，则 　________ ． 10．（24-25高二下•上海期中）已知圆，点，且直线经过点． （1）若与相切，求的方程； （2）若的倾斜角为，求被圆截得的弦长． 题型四．由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数（共4小题） 11．（24-25高二下•上海徐汇期中）“”是“方程表示椭圆”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 12．（24-25高二下•上海嘉定期中）“”是“方程表示椭圆”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（24-25高二下•上海静安期中）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________ ． 14．（24-25高二下•上海静安期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是　________ ． 题型五．求椭圆的焦点和焦距（共2小题） 15．（24-25高二下•上海嘉定期中）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则　________ ． 16．（24-25高二下•上海长宁期中）与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆方程是 　________ ． 题型六．椭圆上的点与焦点的距离（共1小题） 17．（24-25高二下•上海宝山期中）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是________ ． 题型七．求椭圆的离心率（共5小题） 18．（24-25高二下•上海杨浦期中）某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳的中心是的一个焦点，若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为，最小值为，太阳半径为，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 19．（24-25高二下•上海金山期中）已知是椭圆上的动点，若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 20．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若△的周长为10，则的离心率为________ ． 21．（24-25高二下•上海宝山期中）设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率________ ． 22．（24-25高二下•上海期中）已知椭圆，为的上顶点，、是上不同于点的两点． （1）求椭圆的离心率； （2）若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点．若△有一个内角为，求点的坐标； （3）作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为2，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型八．直线与椭圆的位置关系及公共点个数（共3小题） 23．（24-25高二下•上海宝山期中）已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在4个点使得△为直角三角形，则实数的取值范围是________ ． 24．（24-25高二下•上海杨浦期中）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线的方程为．过原点作直线的平行线与椭圆交于、两点． （1）求证：直线与椭圆有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标； （2）记（1）中的公共点为，求证：、、、四个点在同一圆上，并求圆的一般方程． 25．（24-25高二下•上海普陀期中）已知，椭圆，点是该椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同的，两点． （1）当且的斜率为1时，求； （2）当时，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得对于任意的直线、△都不是直角三角形．若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由． 题型九．由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数（共3小题） 26．（24-25高二下•上海浦东新区期中）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为________ ． 27．（24-25高二下•上海闵行期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，△的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程； （3）直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点，和，．若，分别是线段和的中点，求△面积的最大值． 28．（24-25高二下•上海宝山期中）已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于、两点． （1）若直线，试求的面积； （2）若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）如果，原点到直线的距离为，求的取值范围． 题型十．椭圆的定点及定值问题（共3小题） 29．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，离心率为，点，，是椭圆上不同的三个点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为，且，求证：直线过定点． （3）若，求△的面积． 30．（24-25高二下•上海黄浦期中）已知椭圆，依次连接椭圆的四个顶点构成的四边形面积为． （1）若，求椭圆的标准方程； （2）当时，设直线与椭圆交于、两点，设的中点为，为坐标原点，直线、的斜率分别为、，求证：为定值； （3）在第（2）小题的前提下，设点为椭圆的右焦点，，若与的交点、均不与点重合，直线、、的斜率分别为、、，若，求△的周长． 31．（24-25高二下•上海杨浦区期中）已知椭圆过点，且右焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于、两点，交轴于点．若，，求证：为定值． 题型十一．抛物线的焦点与准线（共3小题） 32．（24-25高二下•上海期中）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为________ ． 33．（24-25高二下•上海浦东新区期中）抛物线的焦点坐标为________ ． 题型十二．求抛物线的准线方程（共3小题） 35．（24-25高二下•上海普陀期中）已知抛物线，则其准线方程为 ________ ． 36．（24-25高二下•上海长宁期中）抛物线的准线方程是，则实数的值为________ ． 37．（24-25高二下•上海静安期中）如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在时，拱顶离水面，水面宽．那么当水面下降后． （1）水面的宽为多少？ （2）求此时横截面中水面中心到抛物线上的点距离的最小值． 题型十三．求抛物线的焦点和焦准距（共1小题） 38．（24-25高二下•上海期中）抛物线的焦点坐标是________ ． 题型十四．由抛物线的焦点或焦准距求解抛物线方程或参数（共1小题） 39．（24-25高二下•上海黄浦期中）设抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则该抛物线的方程为（　　） A． B． C． D． 题型十五．求双曲线的渐近线方程（共8小题） 40．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知的两条渐近线与直线围成三角形区域，那么，表示该区域的不等式组是（　　） A． B． C． D． 41．（24-25高二下•上海期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且过点，则双曲线的渐近线方程为________ ． 42．（24-25高二下•上海嘉定期中）以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为________ ． 43．（24-25高二下•上海普陀期中）双曲线的渐近线方程为 ________ ． 44．（24-25高二下•上海杨浦期中）双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为________ ． 45．（24-25高二下•上海宝山期中）已知双曲线，则其渐近线方程为________ ． 46．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知双曲线，其渐近线方程为________ ． 47．（24-25高二下•上海浦东新区期中）双曲线的渐近线方程为________ ． 题型十六．由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数（共5小题） 48．（24-25高二下•上海金山期中）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为________ ． 49．（24-25高二下•上海静安期中）若直线是双曲线的一条渐近线，则________ ． 50．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则　________ ． 51．（24-25高二下•上海黄浦期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 　________ ． 52．（24-25高二下•上海徐汇期中）双曲线的一条渐近线方程为，则________ ． 题型十七．求双曲线的离心率（共4小题） 53．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为________ ． 54．（24-25高二下•上海嘉定期中）双曲线的离心率为________ ． 55．（24-25高二下•上海杨浦期中）直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，与双曲线的两条渐近线分别交于、两点、、、从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是________ ． 56．（24-25高二下•上海宝山期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，是上一点，，且，，成等差数列，则的离心率为________ ． 题型十八．曲线与方程（共4小题） 57．（24-25高二下•上海嘉定期中）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 58．（24-25高二下•上海普陀期中）在平面上，若曲线具有如下性质：存在点，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（　　） ①所有椭圆都是“自相关曲线”． ②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 59．（24-25高二下•上海杨浦期中）如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（　　） A．开口向上的抛物线的方程为 B．四叶图上的点到点的距离的最大值为 C．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2 D．四叶图的面积小于32 60．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知曲线的对称中心为，如果对于曲线上的任意一点，都存在上另外的两点、，使得△的垂心为，则称为“自垂曲线”．现有如下两个命题： ①任意双曲线都是“自垂曲线”； ②任意椭圆都是“自垂曲线”． 则下列判断正确的是（　　） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题 题型十九．求抛物线的准线方程（共2小题） 61．（24-25高二下•上海静安期中）抛物线的准线方程为________ ． 62．（24-25高二下•上海浦东新期中）抛物线的准线方程为________ ． 题型二十．直线与抛物线的位置关系及公共点的个数（共4小题） 63．（24-25高二下•上海徐汇期中）栱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且△与△的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为 　　 ． 64．（24-25高二下•上海徐汇期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有 ________ 条． 65．（24-25高二下•上海杨浦区期中）如图，已知抛物线的焦点为，、是抛物线上关于轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为 ________ ． 66．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知抛物线，定点． （1）过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求； （2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程． 题型二十一．抛物线的弦及弦长（共4小题） 67．（24-25高二下•上海上海期中）已知，是抛物线上一点，则的最小值为________ ． 68．（24-25高二下•上海上海期中）如图，已知△是圆锥的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的取值范围是________ ． 69．（24-25高二下•上海浦东新区期中）已知抛物线，的准线方程为． （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值． 70．（24-25高二下•上海杨浦区期中）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，问卡车的限高为多少米？ 题型二十二．抛物线的焦点弦及焦半径（共4小题） 71．（24-25高二下•上海宝山期中）已知为抛物线的焦点，点，在抛物线上，则（　　） A．8 B．9 C．7 D．6 72．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为________ ． 73．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知抛物线与一条过焦点的直线相交于，两点，若弦的中点的纵坐标为，则 ________ ． 74．（24-25高二下•上海金山期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则 ________ ． 题型二十三．直线与圆锥曲线的综合（共6小题） 75．（24-25高二下•上海宝山期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点到双曲线：的渐近线的距离为1． （1）求抛物线的方程； （2）若不经过原点的直线与抛物线交于、两点，且，求证：直线过定点． 76．（24-25高二下•上海宝山期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、． （1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； （2）已知，，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若△是等腰三角形，求点的坐标； （3）已知，，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于、两点（均不同于，是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线、、的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由． 77．（24-25高二下•上海长宁期中）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，交抛物线于，两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，说明理由． 78．（24-25高二下•上海普陀期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设过点且斜率为的直线与曲线交于、两点，求△的面积； （3）过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 79．（24-25高二下•上海长宁期中）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点． （1）若点的横坐标为2，求的长； （2）设的上、下顶点分别为、，记△的面积为，△的面积为，若，求的取值范围． （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 80．（2025秋•宝山期中）如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点，为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点． （1）求与的方程； （2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标； （3）设直线，的斜率分别为，，直线与相交于点，，直线与相交于点，，，，求证：且存在常数使得． 题型二十四．圆锥曲线的综合（共4小题） 81．（24-25高二下•上海宝山区期中）若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（　　） A． B． C． D． 82．（24-25高二下•上海金山期中）已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为________ ． 83．（24-25高二下•上海徐汇期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，△是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是________ ． 84．（24-25高二下•上海静安期中）已知有相同焦点、的椭圆和双曲线交于点，，椭圆和双曲线的离心率分别是、，那么________ ．（点为坐标原点）． 题型二十五．圆与圆锥曲线的综合（共6小题） 85．（24-25高二下•上海期中）已知椭圆，过左焦点作直线与圆相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为________ ． 86．（24-25高二下•上海期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为________ ． 87．（24-25高二下•上海嘉定期中）若圆心为的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的标准方程为________ ． 88．（24-25高二下•上海徐汇期中）动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过点________ ． 89．（24-25高二下•上海杨浦区期中）斜率为1的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则等于________ ． 90．（24-25高二下•上海黄浦期中）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求道路的曲线方程； （2）现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置（即确定点的坐标）并写出最短距离． 题型二十六．轨迹方程（共5小题） 91．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知，，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 92．（24-25高二下•上海期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是________ ． 93．（24-25高二下•上海浦东新期中）已知点，，动点满足．则动点的轨迹方程________ ． 94．（24-25高二下•上海杨浦期中）在平面直角坐标系中，为原点，为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为________ ． 95．（24-25高二下•上海长宁期中）已知点和，动点满足，则点的轨迹方程是________ ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $