8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 第八章 立体几何初步 新课导入 在日常生活中，我们经常会遇到类似下面的产品包装问题：包装品能装多少东西？产品的包装需用多少材料做成？ 这些问题都与数学中的表面积和体积知识相关. 新课导入 问题1 在初中已经学过长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的样子吗？ 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 新知探究 问题2 如何计算棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和． 棱台 棱柱 棱锥 S表=2S底+S侧 S表=S底+S侧 S表=S上底+S下底+S侧 新知应用 例1 如图示，四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积. A C B S 新知应用 例2 已知正四棱台(上、下底面是正方形，上底面的中心在下底面的射影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积. 《三维设计》P51例1 O1O＝12.连接OE，O1E1，E1E，则OE＝6，O1E1＝3. 过点E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3， HE＝OE－OH＝6－3＝3. 在Rt△E1HE中，E1E2＝32×17，所以E1E＝3 ， 所以S侧＝4× ×（B1C1＋BC）×E1E ＝108 . 新知探究 问题3 还记得初中学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？ V正方体=a3 或V长方体=Sh (S,h分别表示长方体的底面积和高) (a为正方体的棱长) V长方体=abc (a,b,c分别为长方体长、宽、高) 新知探究 问题4 取一摞书整齐放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？ 把推移前整齐叠放的一摞书看成一个直棱柱，推移后变成一个斜四棱柱，所占空间不变，意味着体积没有改变. 新知讲授 一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h.那么这个棱柱的体积: 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离. 重要的是找高 V棱柱=Sh         【结论1】 新知探究 问题5 如何计算棱锥的体积？ 回顾初中学的一个结论： 如果一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，高也相等，那么，圆柱的体积是圆锥体积的3倍. 类比上述圆柱与圆锥的体积关系 棱柱与棱锥间这种关系也成立. 新知探究 　 如图所示，如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱锥的体积是棱柱的体积的 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. 一般地，如果棱锥的底面积是S，高是h，那么该棱锥的体积: 【结论2】 新知应用 例3 已知正六棱锥的底面面积为6，侧棱长为，求这个棱锥的体积. 《三维设计》P51例2 新知探究 问题6 棱台的体积又该怎样计算呢？ O O’ (S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高) 新知探究 问题6 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 几何体 棱柱 棱台 棱锥 直 观 图 体 积 上底面扩大到与下底面全等 上底面缩小为一个点 S′=S S′=0 新知应用 题型三 简单组合体的表面积和体积 例4 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？ 《三维设计》P52例3 新知应用 A 例5 (1)如图所示，已知正三棱柱 的所有棱长均为1，则三棱锥 的体积为( ) A. B. C. D. 题型一 利用等体积转换法求体积 <m></m> (2)设三棱柱的体积为1，则四棱 锥的体积为 . 新知应用 题型二 利用割补法求体积 例6 如图，在直角梯形中，， ，沿中位线折起，使得为直角， 连接 ，则所得几何体的体积为 . ， ， 体积为 . ， ， 几何体的体积为 . 题型二 利用割补法求体积 新知应用 例7 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-ABD，求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积. 《三维设计》P52训练3 课堂小结 各面面积之和 展开图 棱柱、棱锥、棱台 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱锥 棱台 棱柱 棱柱、棱锥、 棱台的体积 数学思想： 化归思想 EVCapture4.1.8软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $