专题01 平面直角坐标系中的直线全章11大题型（期中复习专项训练）高二数学下学期沪教版

专题01 平面直角坐标系中的直线（期中复习专项训练） 一．直线的斜率 二．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 三．平面中直线的方向向量和法向量 四．直线的一般式方程与直线的性质（重点） 五．直线的一般式方程与直线的平行关系 六．直线的一般式方程与直线的垂直关系（重点） 七．恒过定点的直线（重点） 八．与直线关于点、直线对称的直线方程 九．点到直线的距离公式 十．两条平行直线间的距离（重点） 十一．两直线的夹角与到角问题 题型一．直线的斜率（共5小题） 1．（24-25高二下•上海宝山期中）直线过点和，则的斜率为　 　 ． 2．（24-25高二下•上海浦东新区期中）经过点、的直线的斜率为 　　 ． 3．（24-25高二下•上海嘉定期中）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为　　． 4．（24-25高二下•上海杨浦区期中）直线的斜率为 　　 ． 5．（24-25高二下•上海静安期中）在线段上运动，已知，，则的取值范围是 　 　． 题型二．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 6．（24-25高二下•上海期中）已知直线，，若，则_____． 7．（24-25高二下•上海期中）经过点且与直线平行的直线方程是_____． 8．（24-25高二下•上海期中）已知直线与直线． （1）当为何值时，与相交； （2）当为何值时，与平行，并求与的距离． 9．（24-25高二下•上海徐汇期中）已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程． 题型三．平面中直线的方向向量和法向量（共4小题） 10．（24-25高二下•上海长宁期中）经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（　　） A．3 B． C．2 D． 11．（24-25高二下•上海徐汇期中）若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 12．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知向量为直线的一个法向量，则的值为_______． 13．（24-25高二下•上海徐汇期中）直线的一个法向量可以是_______． 题型四．直线的一般式方程与直线的性质（共7小题） 14．（24-25高二下•上海杨浦区期中）若直线经过第一、二、四象限，则（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 15．（24-25高二下•上海普陀期中）如果，且，那么直线不通过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为_______． 17．（24-25高二下•上海期中）直线经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数的取值范围是_______． 18．（24-25高二下•上海静安期中）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线．已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 _______． 19．（24-25高二下•上海浦东新区期中）已知在△中，，，点是此三角形的重心． （1）求边所在直线的一般式方程； （2）若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程． 20．（24-25高二下•上海静安期中）已知中，，． （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程． 题型五．直线的一般式方程与直线的平行关系（共4小题） 21．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知直线，直线，则“”是“”的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 22．（24-25高二下•上海宝山期中）若直线与直线平行，则_______． 23．（24-25高二下•上海宝山区期中）已知直线，，若，则实数_______． 24．（24-25高二下•上海金山期中）已知常数，设直线，直线． （1）若，求的值． （2）若与平行，求与的距离． 题型六．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共7小题） 25．（24-25高二下•上海宝山期中）“”是“直线与垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 26．（24-25高二下•上海期中）若直线与直线垂直，则_______． 27．（24-25高二下•上海普陀期中）过点，与直线垂直的直线方程为_______． 28．（24-25高二下•上海徐汇期中）已知直线，，若，则实数_______． 29．（24-25高二下•上海黄浦期中）若直线与互相垂直，则实数_______． 30．（24-25高二下•上海宝山期中）已知点，直线． （1）求经过点且与直线平行的直线的方程； （2）求经过点且与直线垂直的直线的方程． 31．（24-25高二下•上海长宁期中）已知△的三个顶点为，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程． 题型七．恒过定点的直线（共7小题） 32．（24-25高二下•上海静安期中）直线必过定点（　　） A． B． C． D．， 33．（24-25高二下•上海长宁期中）过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 34．（24-25高二下•上海徐汇期中）设直线过定点，则点的坐标为_______． 35．（24-25高二下•上海金山期中）不论取何值时，直线恒过第_______象限． 36．（24-25高二下•上海期中）已知实数，，成等差数列，则直线必过定点_______． 37．（24-25高二下•上海普陀期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点．则的最大值是_______． 38．（24-25高二下•上海上海期中）已知方程． （1）求该方程表示直线的条件； （2）当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； （3）直线是否过定点，若存在直线过的定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 题型八．与直线关于点、直线对称的直线方程（共5小题） 39．（24-25高二下•上海宝山区期中）在等腰直角△中，，点是边上异于端点的一点，光线以点出发经、边反射后又回到点，若光线经过△的重心，则△的面积等于（　　） A． B．4 C．5 D． 40．（24-25高二下•上海普陀期中）直线关于点对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 41．（24-25高二下•上海金山期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 42．（24-25高二下•上海浦东新期中）上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营．上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为；（2）若军营所在区域为；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为 　　 ． 43．（24-25高二下•上海上海期中）若点和点关于直线对称，则 　_______． 题型九．点到直线的距离公式（共3小题） 44．（24-25高二下•上海宝山期中）点到直线的距离为_______． 45．（24-25高二下•上海普陀期中）已知，． （1）求线段垂直平分线的方程； （2）若直线过，且、到直线距离相等，求方程． 46．（24-25高二下•上海杨浦区期中）已知△三个顶点坐标分别为、、． （1）求△的面积； （2）求边上的中线与边上的高的交点坐标． 题型十．两条平行直线间的距离（共9小题） 47．（24-25高二下•上海普陀期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为_______． 48．（24-25高二下•上海浦东新区期中）直线与直线的距离为_______． 49．（24-25高二下•上海宝山期中）直线和直线间的距离是 ． 50．（24-25高二下•上海杨浦区期中）已知直线与直线平行，其中，则直线与之间的距离等于_______． 51．（24-25高二下•上海长宁期中）已知平行直线，，则与的距离是　_______． 52．（24-25高二下•上海静安期中）直线过点，与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 _______． 53．（24-25高二下•上海普陀期中）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是_______． 54．（24-25高二下•上海嘉定期中）两条平行直线与之间的距离为_______． 55．（24-25高二下•上海黄浦期中）已知直线． （1）若直线在轴上的截距为，求实数的值； （2）直线与直线平行，求与之间的距离． 题型十一．两直线的夹角与到角问题（共5小题） 56．（24-25高二下•上海期中）已知直线经过点，与直线的夹角为．则直线的方程_______． 57．（24-25高二下•上海浦东新区期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为_______． 58．（24-25高二下•上海静安期中）两直线与的夹角为_______．（结果用反三角表示） 59．（24-25高二下•上海期中）直线与直线夹角的大小为_______． 60．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系中的直线（期中复习专项训练） 一．直线的斜率 二．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 三．平面中直线的方向向量和法向量 四．直线的一般式方程与直线的性质（重点） 五．直线的一般式方程与直线的平行关系 六．直线的一般式方程与直线的垂直关系（重点） 七．恒过定点的直线（重点） 八．与直线关于点、直线对称的直线方程 九．点到直线的距离公式 十．两条平行直线间的距离（重点） 十一．两直线的夹角与到角问题 题型一．直线的斜率（共5小题） 1．（24-25高二下•上海宝山期中）直线过点和，则的斜率为　 　 ． 【答案】． 【分析】根据斜率的计算公式求解即可． 【解答】解：直线过点和， 则． 故答案为：． 2．（24-25高二下•上海浦东新区期中）经过点、的直线的斜率为 　　 ． 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解． 【解答】解：点、， 则直线的斜率为． 故答案为：． 3．（24-25高二下•上海嘉定期中）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为　　． 【分析】直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可． 【解答】解：直线的倾斜角为，则该直线的斜率：． 故答案为 4．（24-25高二下•上海杨浦区期中）直线的斜率为 　　 ． 【答案】． 【分析】根据直线方程直接求解即可． 【解答】解：由题可得直线方程为： 所以直线的斜率． 故答案为：． 5．（24-25高二下•上海静安期中）在线段上运动，已知，，则的取值范围是 　 　． 【答案】，． 【分析】画出图形，求出的斜率，即可得到的取值范围． 【解答】解：如图：表示线段上的点与连线的斜率， ，， 则的取值范围是，． 故答案为：，． 题型二．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系（共4小题） 6．（24-25高二下•上海期中）已知直线，，若，则_____． 【答案】． 【分析】由两条直线平行的充要条件列方程，求解即可． 【解答】解：直线，， 若，可得且， 解得． 故答案为：． 7．（24-25高二下•上海期中）经过点且与直线平行的直线方程是_____． 【答案】． 【分析】设出直线方程为，代入，求出，求出直线方程． 【解答】解：设直线为， 再将代入得，解得， 故直线方程为． 故答案为：． 8．（24-25高二下•上海期中）已知直线与直线． （1）当为何值时，与相交； （2）当为何值时，与平行，并求与的距离． 【答案】（1）且； （2）；． 【分析】（1）当时与相交，即可求出的值； （2）根据一般式下两直线平行的条件得到方程（不等式）组，求出的值，再由距离公式计算可得． 【解答】解：（1）由题意可得当直线与相交，则，解得且． （2）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离． 9．（24-25高二下•上海徐汇期中）已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程． 【答案】或． 【分析】求出平行线之间的距离，结合，设直线与直线的夹角为，求出直线的倾斜角为或，然后得到直线方程．就是用、之间的距离及与夹角的关系求解． 【解答】解：由题意，直线、之间的距离为， 且直线被平行直线、所截得的线段的长为5， 设直线与直线的夹角为，则，故． 由直线的倾斜角为，知直线的倾斜角为或， 又由直线过点， 故直线的方程为：或． 题型三．平面中直线的方向向量和法向量（共4小题） 10．（24-25高二下•上海长宁期中）经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】 【分析】利用斜率公式和由方向向量的坐标，可得直线的斜率，即可得的值． 【解答】解：因为， 可得直线的斜率为， 再由直线的方向向量为，可得直线的斜率， 所以． 故选：． 11．（24-25高二下•上海徐汇期中）若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 【答案】． 【分析】由题意可得直线的其中一个方向向量的坐标，进而可得直线的斜率，再求出直线的倾斜角的大小． 【解答】解：因为直线的一个法向量为， 可得直线的其中一个方向向量为， 所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，，， 可得，所以． 故答案为：． 12．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知向量为直线的一个法向量，则的值为_______． 【答案】976． 【分析】求得直线的斜率，进而求解结论． 【解答】解：因为向量为直线的一个法向量， 且直线的斜率为：， 所以，解得． 故答案为：976． 13．（24-25高二下•上海徐汇期中）直线的一个法向量可以是_______． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】利用直线的法向量的意义即可得出． 【解答】解：直线的斜率， 故直线的一个法向量可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 题型四．直线的一般式方程与直线的性质（共7小题） 14．（24-25高二下•上海杨浦区期中）若直线经过第一、二、四象限，则（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】 【分析】直接利用直线经过的象限求出结果． 【解答】解：若直线，整理得，由于该直线经过第一、二、四象限， 所以，故． 故选：． 15．（24-25高二下•上海普陀期中）如果，且，那么直线不通过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】先把化为，再由，得到，，数形结合即可获取答案 【解答】解：直线可化为， 又， ，， 直线过一、二、四象限，不过第三象限． 故选：． 16．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为_______． 【答案】或． 【分析】由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，用含有的式子表示出、，运用基本不等式算出的最小值，进而求得满足条件的直线方程． 【解答】解：根据直线与轴、轴分别交于点、，可知直线的斜率存在， 设直线的方程为：，可得，， 所以，， 可得， 当且仅当时，即时，取等号， 此时直线的方程为或，即或． 故答案为：或． 17．（24-25高二下•上海期中）直线经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数的取值范围是_______． 【答案】，，． 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解． 【解答】解：直线的斜率，， 直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或． 故答案为：，，． 18．（24-25高二下•上海静安期中）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线．已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为 _______． 【答案】． 【分析】根据题意，将点、坐标代入的外接圆方程，由此求出圆心与点的坐标，然后算出的重心的坐标，由确定的直线求出的欧拉线方程． 【解答】解：根据题意，圆经过、，所以，解得， 可得圆方程为，即，圆心为，半径． 将代入圆的方程，得，解得或1． ①当时，的坐标为，可得的重心为，，即，， 结合的外心为，可得欧拉线就是直线，方程为； ②当时，的坐标为，可得的重心为，，即，， 同理可得的欧拉线方程为． 综上所述，的欧拉线方程为． 故答案为：． 19．（24-25高二下•上海浦东新区期中）已知在△中，，，点是此三角形的重心． （1）求边所在直线的一般式方程； （2）若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程． 【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）根据三角形的重心坐标公式算出点的坐标，然后根据直线方程的两点式求出直线的方程，再化为一般式方程即可； （2）按照直线是否经过原点进行讨论，分别求得满足条件的直线的方程，即可得到本题的答案． 【解答】解：（1）设，根据点是△的重心，可得，解得． 所以的坐标为，直线的方程为，即． （2）直线经过点且在轴、轴上的截距相等， ①当直线经过原点时，直线方程为，在轴、轴上的截距都为0，符合题意． ②当直线不经过原点时，直线的斜率，所以直线方程为，即． 综上所述，直线的斜截式方程是或． 20．（24-25高二下•上海静安期中）已知中，，． （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式，结合直线两点式方程进行求解即可． 【解答】解：（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 因此边所在直线的方程为． 题型五．直线的一般式方程与直线的平行关系（共4小题） 21．（24-25高二下•上海杨浦期中）已知直线，直线，则“”是“”的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】 【分析】结合直线平行条件求出，然后检验充分必要性即可． 【解答】解：若直线，直线平行，则，即或， 当时，，直线平行， 若时，，直线平行， 故或， 则“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 22．（24-25高二下•上海宝山期中）若直线与直线平行，则_______． 【答案】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求解，注意检验即可得解． 【解答】解：因为，，， 所以， 所以或． 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意． 故答案为：． 23．（24-25高二下•上海宝山区期中）已知直线，，若，则实数_______． 【答案】． 【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可． 【解答】解：因为直线，，且， 所以，解得或， 当时，直线，重合，故舍去， 故． 故答案为：． 24．（24-25高二下•上海金山期中）已知常数，设直线，直线． （1）若，求的值． （2）若与平行，求与的距离． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据直线垂直的性质即可求解； （2）根据直线平行的性质求得，进而求解结论． 【解答】解：（1）由题意知的法向量为，的法向量为， 若，则； （2）若与平行，则，或， 经检验， 则直线，直线， 则与的距离为． 题型六．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共7小题） 25．（24-25高二下•上海宝山期中）“”是“直线与垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】 【分析】根据充分、必要条件以及两直线间的位置关系等知识确定正确答案． 【解答】解：当时，直线可化为，斜率为1， 直线可化为，即，斜率为， 因为，所以两直线垂直， 所以由“”可以推出“直线与垂直”， 若“直线与垂直”，则恒成立， 并不需要参与其中， 所以由“直线与垂直”推不出“”， 所以“”是“直线与垂直”的充分不必要条件． 故选：． 26．（24-25高二下•上海期中）若直线与直线垂直，则_______． 【答案】． 【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解． 【解答】解：直线的斜率为， 若，则，，不垂直，不符合题意； 若，则，，不垂直，不符合题意； 若，则的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：． 27．（24-25高二下•上海普陀期中）过点，与直线垂直的直线方程为_______． 【分析】设过点，与直线垂直的直线方程为．把代入，能求出结果． 【解答】解：设过点，与直线垂直的直线方程为： ， 把代入，得：， 解得， 过点，与直线垂直的直线方程为． 故答案为：． 28．（24-25高二下•上海徐汇期中）已知直线，，若，则实数_______． 【答案】0或． 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解． 【解答】解：直线，，， ，解得或． 故答案为：0或． 29．（24-25高二下•上海黄浦期中）若直线与互相垂直，则实数_______． 【答案】． 【分析】由题意，利用两条直线垂直的性质，计算求得的值． 【解答】解：直线与互相垂直， 它们的斜率之积等于，即，求得， 故答案为：． 30．（24-25高二下•上海宝山期中）已知点，直线． （1）求经过点且与直线平行的直线的方程； （2）求经过点且与直线垂直的直线的方程． 【分析】（1）根据平行设出直线方程，代入点，求出答案； （2）根据垂直设出直线方程，代入点，求出答案． 【解答】解：（1）设经过点且与直线平行的直线方程为， 将代入得，解得， 故经过点且与直线平行的直线方程为； （2）设经过点且与直线垂直的直线方程为， 将代入得，解得， 故经过点且与直线垂直的直线方程为． 31．（24-25高二下•上海长宁期中）已知△的三个顶点为，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程． 【分析】（1）根据、两点的坐标求出直线的斜率，利用垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式写出直线的方程； （2）根据、两点的坐标求出中点，再由、两点坐标求出直线斜率，利用点斜式写出直线的方程． 【解答】解：由题，如图 （1）△的三个顶点为，，， 直线的斜率为， ，， 直线的方程为， 化为一般式为：； （2），， 的中点为，又， 直线的斜率为， 直线的点斜式方程为， 化为一般式为：． 题型七．恒过定点的直线（共7小题） 32．（24-25高二下•上海静安期中）直线必过定点（　　） A． B． C． D．， 【答案】 【分析】将直线方程整理，可得关于，的方程组，求出恒过的定点的坐标． 【解答】解：将直线整理可得， 令，解得，， 即直线恒过定点． 故选：． 33．（24-25高二下•上海长宁期中）过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】 【分析】由题意可得，，且两直线始终垂直，可得．由基本不等式可得的最大值． 【解答】解：由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点的直线与过定点的直线始终垂直，又是两条直线的交点， 有， ． 故（当且仅当时取“” ． 故选：． 34．（24-25高二下•上海徐汇期中）设直线过定点，则点的坐标为_______． 【答案】． 【分析】将直线转化为，令，即可求解． 【解答】解：直线，即， 令，解得，， 故点的坐标为． 故答案为：． 35．（24-25高二下•上海金山期中）不论取何值时，直线恒过第_______象限． 【答案】四． 【分析】化简直线方程为，列方程组，进而求解即可． 【解答】解：直线可化为， 由，得， 所以直线恒过定点， 因为在第四象限， 故直线恒过第四象限． 故答案为：四． 36．（24-25高二下•上海期中）已知实数，，成等差数列，则直线必过定点_______． 【答案】． 【分析】由，，成等差数列，可得，即，故直线可得． 【解答】解：，，成等差数列， ，， 直线必过点． 故答案为：． 37．（24-25高二下•上海普陀期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点．则的最大值是_______． 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值． 【解答】解：由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过定点， 注意到动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点， 则有，． 故（当且仅当时取“” 故答案为：5 38．（24-25高二下•上海上海期中）已知方程． （1）求该方程表示直线的条件； （2）当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； （3）直线是否过定点，若存在直线过的定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【答案】（1）且； （2），直线方程是； （3）直线不经过定点，理由见解析． 【分析】（1）根据形如的方程表示直线的条件，列式算出的取值范围，可得答案； （2）若直线的斜率不存在，它的一般形式是，．由此列式算出的值，进而得到直线的方程； （3）将直线方程整理得到，发现不存在、的值使三个括号内的式子都为0，故该直线不经过定点． 【解答】解：（1）方程表示直线，则与不都为0， 而与的公共解为，故，即该方程表示直线的条件是且； （2）若方程表示的直线斜率不存在，则的系数为0且的系数不是0， 由，解得，此时直线的方程为，即； （3）将方程整理， 得， 因为直线、与两两相交，有三个交点， 所以不存在、的值，使成立，故该直线不经过定点． 题型八．与直线关于点、直线对称的直线方程（共5小题） 39．（24-25高二下•上海宝山区期中）在等腰直角△中，，点是边上异于端点的一点，光线以点出发经、边反射后又回到点，若光线经过△的重心，则△的面积等于（　　） A． B．4 C．5 D． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，设点的坐标，可得关于直线的对称点的坐标，和关于轴的对称点的坐标，由，，，四点共线可得直线的方程，由于过三角形的重心，代入可得关于的方程，解得的坐标，即可求得的长和直线方程，进而求得面积． 【解答】解：由题意等腰直角△中，，点是边上异于端点的一点，光线以点出发经、边反射后又回到点，光线经过△的重心， 可建立直角坐标系， 可得，，故直线的方程为， 则三角形的重心为，即， 设，其中，则点关于直线的对称点， 满足，解得，即， 易得关于轴的对称点，由光的反射原理可知，，，四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故，，，直线的方程为， 联立，解得，即点的坐标为， 则三角形的面积． 故选：． 40．（24-25高二下•上海普陀期中）直线关于点对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】直线关于点对称后的直线与原直线平行，对称中心到两直线，的距离相等，列方程求解． 【解答】解法一： 因为直线关于点对称的直线斜率不变， 故设对称后的直线方程为， 又点到两直线距离相等． 化简得： 即 或 方程为 （舍 或， 直线关于点对称的直线方程是； 故选． 解法二：直线上任选两点，比如，， 所以点，关于点对称的点，在所求直线上． 与的中点为点 点 同理可得 由两点式得直线方程为： 故选：． 41．（24-25高二下•上海金山期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】根据题意，运用轴对称的性质求出点关于直线的对称点的坐标，然后求出的长，即可得到“将军饮马”的最短总路程． 【解答】解：设关于直线的对称点的坐标为， 则为“将军饮马”的最短总路程，如图所示： 由，解得，故， 可得，即“将军饮马”的最短总路程等于5． 故选：． 42．（24-25高二下•上海浦东新期中）上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营．上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为；（2）若军营所在区域为；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为 　　 ． 【答案】． 【分析】设点关于直线的对称点为，由对称性，解得，作出可行域，结合图形，即可解得答案． 【解答】解：（1）若军营所在区域为， 圆：的圆心为原点，半径为1，作图1如下： 设将军饮马点为，到达营区点为，设为关于直线的对称点， 因为，所以线段的中点为，则， 又， 联立解得：，即． 所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短， 即点到圆上的点的最短距离，即为． （2）军营所在区域为， 对于，在，时为，令，得，令，则， 图形为连接点和的线段，根据对称性得到的图形为图2中所示的菱形，容易知道：为这个菱形的内部（包括边界）， 由图2可知，最短路径为线段，连接交直线于点， 则饮马最佳点为点，所以点到区域最短距离， 即“将军饮马”最短总路程为， 综上：两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程相差值为． 故答案为：． 43．（24-25高二下•上海上海期中）若点和点关于直线对称，则 　_______． 【分析】根据题意，直线是线段的垂直平分线，由此建立关于、的方程组，解出、的值，可得答案． 【解答】解：因为、关于直线对称， 所以直线是线段的垂直平分线， 由，得，， 结合、，可得，解得． 因为的中点在直线上，所以，解得． 所以． 故答案为：． 题型九．点到直线的距离公式（共3小题） 44．（24-25高二下•上海宝山期中）点到直线的距离为_______． 【分析】由点到直线的距离公式直接求出答案． 【解答】解：点到直线的距离． 故答案为：． 45．（24-25高二下•上海普陀期中）已知，． （1）求线段垂直平分线的方程； （2）若直线过，且、到直线距离相等，求方程． 【答案】（1）．（2）或． 【分析】（1）由题意，利用两直线垂直的性质，用点斜式求出线段垂直平分线的方程． （2）由题意，直线和线段平行或经过线段的中点，再利用点斜式、两点式求出直线的方程． 【解答】解：（1），，故线段的中点为，直线的斜率为， 故线段垂直平分线的方程为，即． （2）由于直线过，且、到直线距离相等， 故有直线和线段平行或经过线段的中点为． 当直线和线段平行时，方程为，即． 当直线经过线段的中点为时，方程为，即． 46．（24-25高二下•上海杨浦区期中）已知△三个顶点坐标分别为、、． （1）求△的面积； （2）求边上的中线与边上的高的交点坐标． 【答案】（1）5； （2）． 【分析】（1）利用三角形的面积公式求△的面积． （2）求出的中点坐标，即可求边上的中线；求出高的斜率，即可求出边上的高所在的直线方程，再联立方程组求解即可． 【解答】解：（1），，， ， ， △的面积； （2）的中点坐标为， 边上的中线方程为； ， 边上的高所在的直线方程，即， 联立两直线方程，可解得，，即边上的中线与边上的高的交点坐标为． 题型十．两条平行直线间的距离（共9小题） 47．（24-25高二下•上海普陀期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为_______． 【分析】利用平行线间的距离公式求解即可． 【解答】解：直线，即， 故，解得或． 故答案为：或． 48．（24-25高二下•上海浦东新区期中）直线与直线的距离为_______． 【答案】． 【分析】结合平行直线间的距离公式，即可求解． 【解答】解：直线，即，直线， 两直线平行，二者的距离为． 故答案为：． 49．（24-25高二下•上海宝山期中）直线和直线间的距离是 ． 【分析】利用平行线间的距离公式可求得答案． 【解答】解：直线和直线的斜率相等，截距不相等，两条直线平行， 由平行线之间的距离公式可得． 故答案为：． 50．（24-25高二下•上海杨浦区期中）已知直线与直线平行，其中，则直线与之间的距离等于_______． 【分析】由两条直线平行的条件解得的值，进而求出直线，的方程，由平行线间的距离公式，可得这两条直线的距离． 【解答】解：由直线与直线平行，则，， 当时，直线与直线重合，不合题意， 当时，直线与直线平行， 所以直线与之间的距离． 故答案为：． 51．（24-25高二下•上海长宁期中）已知平行直线，，则与的距离是　_______． 【答案】． 【分析】结合平行直线间的距离公式，即可求解． 【解答】解：直线，即，， 则与的距离是． 故答案为：． 52．（24-25高二下•上海静安期中）直线过点，与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 _______． 【答案】． 【分析】由直线过的点的坐标，可得直线的斜率，由题意可得的值，再由两条平行线间的距离点到直线的距离，由点到直线的距离公式可得答案． 【解答】解：因为直线过点，，可得， 又因为直线与直线平行，所以， 可得， 即直线为， 所以平行线间的距离等于点，到直线的距离， 所以． 故答案为：． 53．（24-25高二下•上海普陀期中）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是_______． 【答案】． 【分析】由题意，利用两条直线直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，计算求得结果． 【解答】解：直线与直线平行， ，求得， 故这两条平行直线即直线与直线， 则这两条直线间的距离是， 故答案为：． 54．（24-25高二下•上海嘉定期中）两条平行直线与之间的距离为_______． 【答案】1． 【分析】根据已知条件，结合两条平行线直线间的距离公式，即可求解． 【解答】解：直线与平行， 两条平行直线的距离． 故答案为：1． 55．（24-25高二下•上海黄浦期中）已知直线． （1）若直线在轴上的截距为，求实数的值； （2）直线与直线平行，求与之间的距离． 【答案】（1）．（2）． 【分析】（1）由题意，根据直线在轴上的截距的定义，求得的值． （2）由题意，利用两直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，计算求得结果． 【解答】解：（1）直线，令，求得，则． （2）直线与直线平行，则，得， 当时，直线，即满足条件 此时直线与之间的距离为． 题型十一．两直线的夹角与到角问题（共5小题） 56．（24-25高二下•上海期中）已知直线经过点，与直线的夹角为．则直线的方程_______． 【答案】或． 【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，利用反三角函数的性质算出，然后分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式求出直线的方程． 【解答】解：根据题意，直线斜率， 设直线的倾斜角为，根据直线的斜率为负数，可知， 由，解得，或（舍去）， 设两直线夹角为，则，且， 可得，． ①当的斜率不存在，则，此时，可得，符合题意； ②当的斜率存在，设的斜率为，则，解得， 所以直线，即． 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或． 57．（24-25高二下•上海浦东新区期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为_______． 【答案】0． 【分析】求解两条直线的倾斜角，然后求解的值． 【解答】解：直线的倾斜角为，直线与直线的夹角为， 可知直线的倾斜角为0或，显然直线的倾斜角不为0，所以直线为， 所以． 故答案为：0． 58．（24-25高二下•上海静安期中）两直线与的夹角为_______．（结果用反三角表示） 【答案】． 【分析】利用夹角公式，求解即可． 【解答】解：直线与的斜率分别为1，； 两直线与的夹角为， 所以， 可得． 故答案为：． 59．（24-25高二下•上海期中）直线与直线夹角的大小为_______． 【答案】 【分析】由两条直线的方程可得两条直线的斜率，由夹角公式求出就觉得正切值，进而求出夹角的大小． 【解答】解：直线与直线的斜率分别为：，， 设两条直线的夹角，则， 所以夹角的大小为， 故答案为： 60．（24-25高二下•上海嘉定期中）已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程． 【答案】或． 【分析】先求出的倾斜角，根据两直线的夹角，求得的倾斜角，结合直线过点，可求得直线的方程． 【解答】解：由于直线的斜率为，故它的倾斜角为， 由于直线和直线的夹角为，故直线的倾斜角为或， 故直线的斜率不存在或斜率为． 再根据直线经过点，得直线的方程为或， 即或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $