专题19 定弦定角模型 讲义 2025--2026学年中考数学二轮压轴题几何模型

专题19 定弦定角模型 在众多隐圆模型中，定弦定角模型属于最重要、最常考的一种，定弦定角模型由圆的性质与圆周角定理推导得出，是处理动态角度定值、轨迹圆及最值问题的标志性几何模型。它能精准锁定动点轨迹，将分散的角度条件转化为圆的几何关系，中考常以几何压轴、动态轨迹、角度定值与最值探究题型出现，题目兼具综合性与探究性，逻辑严谨、规律深刻，是几何转化思想与分类讨论思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析隐圆中的定弦定角模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 常考的定弦定角模型总共有三种： 模型一、定边对直角 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 模型二、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆． 模型三、弦同侧有两等角（四点共圆）模型 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆 例题分析 【例1】．如图，等边三角形内接于，点是弧上的一个动点（不与点A、B重合）连接，过点A作，垂足为，连接，若的半径为，则长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、圆周角定理、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，确定点E的运动轨迹是解题的关键． 由可得推出，推出点E在以为直径的圆上运动，可得的最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动， 设的中点为， ∴当C、E、共线时的最小，最小值为， ∵是等边三角形， ∴经过点O，，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选B． 【例2】．如图，半圆的直径，点在半圆上，，点在上，于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形，定弦定角求点圆最值，通过直角找到点Q的运动轨迹是解题关键． 根据，可知点Q在以为直径的圆上，再利用点圆最值求出的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上，记该圆圆心为D， 如图，当点Q在上时最小，连接， ∵为直径， ∴， ∴，， ∴，即半径为3， ∴， ∴， 故答案为：． 【例3】．如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”，根据比例关系构造出相似三角形，找到点的运动轨迹是解题关键．在上方，以为边，构造与相似的三角形，利用相似三角形的性质可以得出，所构造相似三角形中的点A的对应点为定点，从而确定点P的运动轨迹为圆弧，根据点圆最值的确定方法，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，在上方，以为边，构造． ∴，，． ∴，． ∴点在以为直径的上运动，点为中点． ∴． 连接，与的交点即为取得最小值时，点的位置． ∴． ∴此时，即的最小值为3． 故答案为： 3． 课堂随练 【练1】如图，点、，直线与轴、轴分别交于点，点是平面内一动点，且，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】首先判断点的运动轨迹，因为度数不变，对边长度不变，所以点在的外接圆圆周上运动，从而确定点到的最大距离，过点M作交于点F，交于点H，过点B作于点G，求出的长，最后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点、， ， ， ，， 要使面积的最大值，只需点到距离最大， 如图，作的外接圆圆P， 因为度数不变，对边长度不变， 所以点在圆周上运动， 过点M作交于点F，交于点H，过点B作于点G， 根据点圆最值，点到距离最大值为的长度， 点、， ，， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴，， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴, 面积的最大值是. 故答案为:． 【点睛】本题考查了“定弦定角”隐形圆模型，等边三角形的性质，圆周角定理，线圆最值，垂径定理，找到点的运动轨迹及到的距离最大时的线段是解题的关键． 【练2】如图，已知正方形，边长为4，正方形内有一动点，．连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先得出动点在的外接圆中的劣弧上，过圆心作，交延长线于点，连接，设的优弧上有一点，连接，再解直角三角形求出的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：∵正方形，边长为4， ∴， ∵正方形内有一动点，， ∴如图，动点在的外接圆中的劣弧上， 过圆心作，交延长线于点，连接， 设的优弧上有一点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系可知，（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、三角形的三边关系、正方形的性质等知识，正确得出动点的运动轨迹是解题关键． 【练3】如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ．    【答案】2 【分析】连接．首先证明，由此推出点在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，此时的值最小． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ， 点在以为圆心，为半径的上运动， 连接交于，此时的值最小．此时与交点为． 所对圆周角为， ， 过点作，垂足为，      是等腰三角形， ∴，， ∴， ， ，， ， ， 故答案为：2．   【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题． 【练4】如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】 【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得． 【详解】如图，设AD的中点为点E，则 由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上 由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值， 连接BD AB为半圆O的直径 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键． 巩固提高 1．如图，四边形为的内接四边形，且． (1)求的度数． (2)若的半径为5． ①如图2，连结，求的长． ②如图3，连结，若平分，求的最大值． (3)如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系． 2．在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题． (1)问题情境：如图，在中，，，则的外接圆的半径为________； (2)操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹） (3)迁移应用：已知，在中，，，，求的取值范围． 3．【问题提出】 （1）如图①，在中，，点是外接圆的圆心，则面积的最大值是______________； 【问题解决】 （2）如图②所示，道路的一侧有一块闲置地，当地政府为提高辖区生态环境水平，改善居民生活质量，现规划建设一个五边形的公园，根据设计要求：，，为公园内的两条步行直道，为的中点．设计师还需在上选取一点，经过点修建一条步行直道，在四边形面积最大的前提下，平分五边形的面积．请问：是否存在满足设计要求的点和点？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．（点在同一平面内，直道的宽度均忽略不计，结果保留根号） 4．已知：如图点A、B为定点． 求作：优弧AB上点C使得等于定长保留作图痕迹，并将你的构图思维用简要文字加以说明 5．阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 6．问题提出 （1）如图①，的直径，点P是上的一动点，则面积的最大值是_______； 问题探究 （2）如图②，在中，，则的最大值是________； 问题解决 （3）2025年2月7日在哈尔滨举办了亚冬会．举办期间有各种冰雪项目的比赛，还能体验到哈尔滨独特的冰雪文化和浓厚的节日氛围．赛前，组委会准备开发一块如图③所示的平行四边形观赏台，，在对角线上的点处安装一个摄像装置，以便用于实时直播赛事情况，根据设计要求，米，且．在满足以上所有条件的同时，是否存在平行四边形的面积和同时取得最大值？若存在，请求出它们的最大值，若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 7．已知四边形是的内接四边形，对角线与相交于点E． (1)如图①，，过圆心O作，垂足为H．当是的直径时，求证：； (2)如图②，，过圆心O作，垂足为H．当不是的直径时，请你判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，F为上一点，若，，则E到距离的最大值是 ． 8．如图1，是的直径，点在的延长线上，，，是上半部分的一个动点，连接，．    (1)当________时，的最大面积为________； (2)如图2，延长交于点，连接，且．求证：是的切线． 9．【学习心得】 小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则． (1)【初步运用】如图，在四边形中，，，求的度数； (2)【方法迁移】如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (3)【问题拓展】 ①如图，已知矩形，，，为上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图，在中，，是边上的高，且，，求的长． 10．【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 (1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______°，______°． (2)如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）____________． 【问题解决】 (3)如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 (4)如图4，在边长为的等边三角形中，点E、F分别是边、上的动点，连接、，交于点P，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______． 11．在等边中，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转120°，得到，连接． (1)如图1，当三点共线时，连接，若，求的长； (2)如图2，取的中点，连接，猜想线段与的关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，请直接写出的值． 第 2 页 共 44 页 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 【巩固提高】参考答案 1．(1) (2)①，②的最大值为10 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的性质和30°角的直角三角形的性质，根据60°角构造等边三角形从而将线段进行转化是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）①利用圆周角定理，求出，再利用特殊角求解即可； ②利用60°角构造等边三角形， 将转化为相等的线段长，再利用定弦定角，找到这条相等线段的最大值即可； （3）延长，，构造直角三角形，利用60°，30°角，找到线段之间的联系即可． 【详解】（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接，，作于点E， 则，， ∴， ∴， ∴， 由垂径定理，得， ∴； ②连接，延长至点F，使得，则， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， 由①，得， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上， ∴当为所在圆直径时，的长最大， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴，即为最大值， ∴的最大值为10； （3）解：如图，延长，，交于点G， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴． 2．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理及等边三角形的性质可得答案； （2）作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求； （3）作的外接圆，利用特殊直角三角形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：连接、，    ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径为． 故答案为：； （2）解：如图中，点P为所求． ∵点在的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴过点E， ∵， ∴， （3）解：如图，作的外接圆，    ∵，， 当时，为最长弦，即直径， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，是等边三角形， ∴， ∵， ∴的取值范围为：． 【点睛】此题考查的是圆的综合题目，涉及圆的性质、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题关键． 3．；存在， 【分析】（1）过点C作于点D，过点O作于点E，连接，则，根据三角形面积公式即可得解． （2）作的外接圆，外接圆，连接，，由于M为的中点，则，；连接，，过点Ａ作于点Ｐ，过点C作于点Q，则在中，，在中，，可得到；取的中点为S，连接，当E、S、M三点共线时，直线平分五边形的面积，直线交于点F，且，过点D作交的延长线于点H，先证，得到，，再由，得，再根据，得到，即可得解． 【详解】解：（1）如图，过点C作于点D，过点O作于点E，连接， 则，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ． （2）存在，如图，作的外接圆，外接圆，连接，， 由于M为的中点，则，， 连接，，过点Ａ作于点Ｐ，过点C作于点Q， 则在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 此时与均为正三角形，四边形为菱形，则过点M的直线必定平分菱形的面积．如图，取的中点为S，连接，当E、S、M三点共线时，直线平分五边形的面积，直线交于点F，且，过点D作交的延长线于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即的长度为． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形外接圆、等边三角形的性质以及三角形的面积计算公式的运用，解决问题的关键是掌握三角形外接圆的性质． 4．见解析 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，定弦定角模型，等腰三角形的性质，垂径定理等知识点，求出点E的位置是解题的关键． 先确定点以A为圆心d为半径的圆，求出到点A距离为的点E的轨迹，然后根据等腰三角形的性质得出为定角，并根据等腰三角形的性质推出，判定点E在以点D为圆心为半径的圆上，由两圆交点确定出点E的位置，即可得出点C的位置． 【详解】解：如图，作的垂直平分线OD交弧于点D，以点D为圆心为半径作交于点F，以点A为圆心d为半径作，与交于点E，连接并延长交于点根据轴对称的性质，同理在另一侧得到点点C和即为所求． 由于，构造，在等腰中， 由于，，则，， 由于为定角，则也为定角，点E的轨迹为以点D为圆心，为半径的圆． 因点E又在以点A为圆心d为半径的圆上． 故两圆交点即为点E，连接并延长，即可找到点 5．（1）①28；②见解析；（2）4；（3） 【分析】（1）①根据圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得； ②先求出，从而可得点在以（定弦）为直径的上，然后连接交于点，此时最小，根据圆的性质可得，利用勾股定理求出的长，根据线段长的最小值等于即可得； （2）连接，先利用矩形的性质、勾股定理可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点在线段上时，的值最小，最小值为，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，则点的运动路径是在以为直径的圆的上，再利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，，最后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：（1）①∵，， ∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上， ∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且， ∴， 故答案为：28． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． ∵的直径， ∴， 在中，， ∴线段长的最小值为． （2）如图3，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∵点与点关于直线的对称， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小，最小值为， 故答案为：4． （3）如图4，连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在点的运动过程中，始终有， 又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动， ∴点的运动路径是在以为直径的圆的上， 如图4，取的中点，连接， ∴，， ∴点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，较难的是题（3），正确找出点的运动路径是解题关键． 6．（1）9；（2）；（3）存在平行四边形的面积和同时取得最大值，当取得最大值12时，平行四边形的面积最大值为． 【分析】（1）利用底一定，高最大时三角形的面积最大解答即可； （2）延长至，使，连接，由，可证明是等边三角形，进而得是个定值，由是定值，可得在的外接圆上，进而可得当是直径时，最大，在中，用三角函数求解即可； （3）延长交于，延长至，使，连接，方法同（2），确定点在的外接圆上运动，点在的外接圆上运动，当是圆的直径时最大，平行四边形的面积最大． 【详解】（1）解：当点为的中点时，，此时取最大值为3， 面积的最大值为； 故答案为：9； （2）解：延长至，使，连接，     ， ， ， 是等边三角形， 是个定值， 是定值， 在的外接圆上， ， 当是直径时，最大，即， 当是直径时，， 中，， 即， 故答案为：； （3）延长交于，延长至，使，连接， 中， ，，， ，，， ，米， ，米， ，米， ， 米是定值， 点在的外接圆上运动，点在的外接圆上运动， 是圆的直径时最大，此时， 如图所示： ， 此时点与的外心重合， 是边长为6米的等边三角形，的面积最大，米， 作于， 米，， ， ， ， 即存在平行四边形的面积和同时取得最大值，当取得最大值12时，平行四边形的面积最大值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，定边对定角，三角函数等知识，将两条线段和最大转化为一条线段是解决问题的关键，难度较大，属于中考压轴题． 7．(1)证明过程见详解； (2)；理由见详解； (3) 【分析】（1）根据垂径定理可知是的中点，故是的中位线，即，再根据垂径定理说明即可； （2）做直径并连接，根据中位线定理证明，再根据圆周角定理证明，从而证明即可； （3）通过圆周角定理得出，，从而得出，得到点在以为弦的上运动，且，再通过计算得到点到的距离的最大值即可． 【详解】（1）证明： 在中，， ， ， 是的中位线， ， 为的直径，， ， ， ； （2）解：，理由如下∶ 作直径，连接， 在中，， ， ， 是的中位线， ， ， ， 是的直径， ， ，， ， 连接， ， ， ， ， ； （3）解：，由（2）可得， ， ， ， ， ，， ， ， 点在以为弦的上运动，且， ， 当过圆心时，到距离取得最大值， 即点在的位置时，，， ， ， ，， 点到的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，圆的基本性质，最值问题、解直角三角形等，掌握圆的基本性质、正确作出辅助线是解题的关键． 8．(1)，4 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式得到，根据题意确定时，最大，计算即可；； （2）连接，证明四边形为平行四边形，得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据圆周角定理得到∠，根据切线的判断定理证明结论． 【详解】（1）∵， ∴，． 在中，设边上的高为， ∵， ∴当最大时，取得最大值． 当时，最大， 此时，． ∴的最大面积为4．    （2）证明：如图，连接，．    ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，即， ∴是的切线． 【点睛】考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质，解题关键是抓住经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线求解． 9．(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）如图所示，取中点E，连接，，则，即可得到A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，则； （2）先作等边三角形，再以O为圆心，的长为半径画弧与直线l的交点即为所求； （3）①如图所示，在上截取一点F使得，连接，以为直径作圆O，过点F作交于E，过点O作交于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交，于K、Q，则当时满足题意，据此求解即可；②如图所示，作的外接圆，过圆心O作于E，于F，连接，，，则四边形是矩形，分别求出、即可得到答案． 【详解】（1）如图所示，取中点E，连接，， ∵，E为的中点， ∴， ∴A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心， ∴； （2）如图所示，、即为所求； （3）①如图所示，在上截取一点F使得，连接，以为直径作圆O，过点F作交于E，过点O作交于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交，于K、Q，则四边形为正方形 ∵四边形是矩形， ∴， ∴B在圆O上，， ∴， ∵OH⊥EF， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ②如图所示，作的外接圆，过圆心O作于E，于F，连接，，，则四边形是矩形 ∵， ∴， 在直角中， ∴， ∵OE⊥BC， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，矩形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 10．(1)， (2)或 (3)见详解 (4) 【分析】（1）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案； （2）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案； （3）根据圆内接四边形对角互补可得对角为，根据圆心角等于圆周角两倍即可得到圆心角为画出圆心角即可得到圆心与半径再画圆弧即可得到答案； （4）根据题意易得，即可得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：，； （2）解：当点P在优弧上点为，在劣弧上的点为， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 综上所述：弦所对的圆周角的度数为或； （3）解：∵， ∴AB所在直线的下方点M，存在， 即A、B、P、M四点共圆， 作垂直平分线交于点N， 以点N为圆心为半径画下圆弧交垂直平分线于一点即为圆心O点， 以O为圆心为半径画圆弧； 如图所示，满足条件的点C所组成的图形为以O为圆心、OA为半径的． （4）解：由题意可， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的路径是以为弦的圆弧， ∴弦所对圆周角为，圆心角为，半径为， ∴点P运动的路径长是：． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了辅助圆的知识、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半、一条弦所对的圆周角相等或互补、圆内接四边形对角互补、尺规作图——作垂线等内容，解题的关键是根据题意找到定角，确定动点轨迹． 11．(1)； (2)AF⊥DF，； (3) 【分析】（1）根据∠BDE=120°，BD=DE以及等边三角形的性质得到AD=CD=1，∠ADE=30°，求出AE=AD=1，过点E作EM⊥CA，交延长线于M，根据三角函数求出AM，ME，根据勾股定理求出CE； （2）延长DF至点K，使FK=DF，连接EK、KC，过点D作DP∥BC，交AB于点P，根据平行四边形的性质可得∠EDA=∠KCA，证明△APD是等边三角形，进而证明△ABD≌△AKD，即可证明△AKD是等边三角形，进而根据三线合一以及含30°角的直角三角形的性质，可得∠FAD=∠KAD=30°，AF⊥DF，利用锐角三角函数得到AF、DF的关系； （3）过点D作DM⊥BE于点M，过点D作DN⊥AB，连接MF，交AC于H，过点D作DN⊥AB，交BE于R，过R作RQ⊥BD于Q，先证明∠EMF=45°，结合中位线定理可得∠EBC=45°，进而可得∠NBD=45°，设AN=DF=1，分别根据勾股定理求得AF、ND、BD、MB，进而根据CD+AB=CD+AC=CD+CD+AD=2CD+2DF求得CD+AB，即可求得结果． 【详解】（1）解：∵∠BDE=120°，BD=DE， ∴∠ABD=∠AED=30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，BC=AB=AC=2， ∴∠ADB=90°， ∴AD=CD=1，∠ADE=30°， ∴AE=AD=1， 过点E作EM⊥CA，交延长线于M， ∵∠MAE=∠BAC=60°， ∴AM=，ME=， ∴CM=AC+AM=， ∴； （2）如图，延长DF至点K，使FK=DF，连接EK、KC，过点D作DP∥BC，交AB于点P， ∵点F是CE的中点， ∴FE=FC， 又FK=DF， ∴四边形CDFK是平行四边形， ∴ED= КС，ED∥KC， ∴∠EDA=∠КСА， ∵将BD绕点D顺时针旋转120°得到DE， ∴BD=DE，∠BDE=120°， ∴BD=KC， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∵PD∥BC， ∴∠APD=∠АВС=60°，∠CBD=∠PDB， ∴△APD是等边三角形， ∴AD=AP， ∵AB=AC， ∴CD=PB， 设∠CBD=，则∠PDB=， ∴∠ABD= ∠APD-∠PDB=60°-，∠ADB= 60°+， ∠ADE=∠ BDE-∠ADB= 120°- (60°+)= 60° –， ∵ED∥KC， ∴∠ẠCK=∠ADE= 60 °–， ∴△ ABD≌△ACK， ∴AK=AD，∠ KАC= ∠DAB= 60°， ∴△ AKD是等边三角形， ∵DF= FK， ∴∠FAD=∠KAD=30°，AF⊥DF， ∴； （3）如图，过点D作DM⊥BE于点M，连接MF，交AC于H，过点D作DN⊥AB，交BE于R，过R作RQ⊥BD于Q， ∴∠GMD= ∠GFD= 90°， ∴G，M，D，F四点共圆， ∴∠FGD=∠FMD， 由(2) 知AF⊥DF，∠ FAD= 30°， ∴∠ADF= 60° ， ∵FG=FD， ∴∠FDG=∠FGD=45°，∠FGD=∠FMD=45°， ∵将BD绕点D顺时针旋转120°得到DE， ∴BD=DE，∠BDE= 120°， ∴МВ=МЕ=ВЕ， ∵ F是EC的中点， ∴MF是△EBC的中位线， ∴ MF∥BC， ∴∠EBC=∠EMF=45°， ∵∠ABC=60°， ∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°， ∵∠NBD=∠ABE+∠EBD=45°， ∴△NBD是等腰直角三角形， ∴ND=NB， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAF=∠BAD+∠DAF=90°， ∵∠AFD=90°，DN⊥AB， ∴四边形ANDF是矩形， ∴ND= AF， AN= DF， 设AN=DF=1， 在Rt△ADF中，AD=2DF=2， ∴AF=， ∴AB=AN+NB=AN+ND=AN+AF=1+， ∴DC=AC-AD=AB- AD=1+-2=-1， 在Rt△NBD中，ND=NB=AF=， ∴BD=， 在Rt△MBD中，MB=， ∴BE=2BM =， ∴CD+AB=CD+AC=CD+CD+AD=2CD+2DF=2(-1+1)=2， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，四点共圆，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，掌握旋转的性质，等边三角形的性质与判定是解题的关键． 第 2 页 共 44 页 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 定弦定角模型 在众多隐圆模型中，定弦定角模型属于最重要、最常考的一种，定弦定角模型由圆的性质与圆周角定理推导得出，是处理动态角度定值、轨迹圆及最值问题的标志性几何模型。它能精准锁定动点轨迹，将分散的角度条件转化为圆的几何关系，中考常以几何压轴、动态轨迹、角度定值与最值探究题型出现，题目兼具综合性与探究性，逻辑严谨、规律深刻，是几何转化思想与分类讨论思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析隐圆中的定弦定角模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 常考的定弦定角模型总共有三种： 模型一、定边对直角 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 模型二、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆． 模型三、弦同侧有两等角（四点共圆）模型 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆 例题分析 【例1】．如图，等边三角形内接于，点是弧上的一个动点（不与点A、B重合）连接，过点A作，垂足为，连接，若的半径为，则长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例2】．如图，半圆的直径，点在半圆上，，点在上，于点，则的最小值为 ． 【例3】．如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为 ． 课堂随练 【练1】如图，点、，直线与轴、轴分别交于点，点是平面内一动点，且，则面积的最大值是 ． 【练2】如图，已知正方形，边长为4，正方形内有一动点，．连接，则线段的最小值为 ． 【练3】如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ．    【练4】如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 巩固提高 1．如图，四边形为的内接四边形，且． (1)求的度数． (2)若的半径为5． ①如图2，连结，求的长． ②如图3，连结，若平分，求的最大值． (3)如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系． 2．在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题． (1)问题情境：如图，在中，，，则的外接圆的半径为________； (2)操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹） (3)迁移应用：已知，在中，，，，求的取值范围． 3．【问题提出】 （1）如图①，在中，，点是外接圆的圆心，则面积的最大值是______________； 【问题解决】 （2）如图②所示，道路的一侧有一块闲置地，当地政府为提高辖区生态环境水平，改善居民生活质量，现规划建设一个五边形的公园，根据设计要求：，，为公园内的两条步行直道，为的中点．设计师还需在上选取一点，经过点修建一条步行直道，在四边形面积最大的前提下，平分五边形的面积．请问：是否存在满足设计要求的点和点？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．（点在同一平面内，直道的宽度均忽略不计，结果保留根号） 4．已知：如图点A、B为定点． 求作：优弧AB上点C使得等于定长保留作图痕迹，并将你的构图思维用简要文字加以说明 5．阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 6．问题提出 （1）如图①，的直径，点P是上的一动点，则面积的最大值是_______； 问题探究 （2）如图②，在中，，则的最大值是________； 问题解决 （3）2025年2月7日在哈尔滨举办了亚冬会．举办期间有各种冰雪项目的比赛，还能体验到哈尔滨独特的冰雪文化和浓厚的节日氛围．赛前，组委会准备开发一块如图③所示的平行四边形观赏台，，在对角线上的点处安装一个摄像装置，以便用于实时直播赛事情况，根据设计要求，米，且．在满足以上所有条件的同时，是否存在平行四边形的面积和同时取得最大值？若存在，请求出它们的最大值，若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 7．已知四边形是的内接四边形，对角线与相交于点E． (1)如图①，，过圆心O作，垂足为H．当是的直径时，求证：； (2)如图②，，过圆心O作，垂足为H．当不是的直径时，请你判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，F为上一点，若，，则E到距离的最大值是 ． 8．如图1，是的直径，点在的延长线上，，，是上半部分的一个动点，连接，．    (1)当________时，的最大面积为________； (2)如图2，延长交于点，连接，且．求证：是的切线． 9．【学习心得】 小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则． (1)【初步运用】如图，在四边形中，，，求的度数； (2)【方法迁移】如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (3)【问题拓展】 ①如图，已知矩形，，，为上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图，在中，，是边上的高，且，，求的长． 10．【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 (1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______°，______°． (2)如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）____________． 【问题解决】 (3)如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 (4)如图4，在边长为的等边三角形中，点E、F分别是边、上的动点，连接、，交于点P，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______． 11．在等边中，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转120°，得到，连接． (1)如图1，当三点共线时，连接，若，求的长； (2)如图2，取的中点，连接，猜想线段与的关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，请直接写出的值． 第 2 页 共 44 页 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $