2026年中考数学压轴题几何模型 专题17 奔驰模型

专题17 奔驰模型 奔驰模型（又称“等边三角形内一点模型”）因为像奔驰车标，所以叫奔驰模型，由 等边三角形与旋转全等变换推导而来，是处理等边三角形内动点线段关系的经典几何模型， 可快速转化分散线段、推导角度与线段最值问题，中考常以几何综合、线段和差、最值探究 题型出现，题目结构对称、思路巧妙，兼具逻辑性与技巧性，是几何旋转构造思想的典型代 表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层 剖析奔驰模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 模型解密 一、模型条件 等边三角形ABC内部任意一点P,连接PA、PB、PC。 二、核心方法 利用旋转全等（通常旋转60o),将分散的三条线段PA、PB、PC转化到同一条折线 或同一个三角形中。 三、重要结论 旋转后必出现等边三角形，可实现线段转移。 可推导PA、PB、PC三者之间的数量关系与不等式关系。 若满足PA+PB=PC2等特殊条件，可求出∠APB,∠BPC,∠CPA的度数。 四、常见考法 求线段长度、角度大小、线段和的最值、证明线段关系、判断三角形形状等。 五、解题口诀 等边内部有一点，线段分散想旋转，六十度旋出等边，三边关系立可见。 第1页共11页 B 【结论】如图，等边△ABC,PA=3,PB=4,PC-5, 则①∠APB=150°， ②SAAc=1AB2=255+36 4 B B 。 关键：旋转可以让线段动起来 ①【证明】以AP为边向左侧作等边△APD,连接BD, ,'△ABC,△ADP为等边三角形 ∴.∠DAB=60°-∠BAP,∠PAC=60°-∠BAP ∴.∠DAB=∠PAC 可得△DAB≌△PAC ∴.DB=PC=5 .'DP2 +BP2 =DB2, ∴.∠DPB=90°，∠APB=150 ②过B作BQ⊥AP于Q, .∠APB=150° .∠BPQ=30°，BP=4,BQ=2 .'.PQ=VBP2-BQ2=23 .AB2=AQ2+BQ2=25+12V3 :9A8:=258超 4 第2页共11页 各种旋法： A 5 D 5 4 B B B 3 D D B B 4 a2 a 第3页共11页 例题分析 【例1】如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ,若 PA=2,PB=4,PC=2√5，则四边形APBQ的面积为() A.2V5 B.35 C.45 D.55 【例2】如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3,PB=4,PC=5,将△ABP绕点B 顺时针旋转得到△CBQ,连接P2,则以下结论中不正确是() A.∠PBQ=60° B.LAPB=150°C.SAPc=6 D.SAaPo=83 【例3】如图，在等边三角形ABC中，点P是△ABC内一点，PA=3,PB=5,PC=4,则 ∠CPA的度数为() B A.160 B.155° C.150° D.145° 课堂随练 第4页共11页 【练1】如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA=2,OB=1,OC=√3，则△AOB与 △BOC的面积之和为() B A.3 B. c.33 D.√3 2 4 【练2】如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ, 连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为() A.24+9V3 B.48+9V3 C.24+18W3 D.48+18W3 【练3】如图，0是正△ABC内一点，0A=3,OB=4,0C=5,将线段B0以点B为旋转中心逆时 针旋转60°得到线段B0',有下列结论： ①△B0'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到： ②点0与0的距离为4；③∠A0B=150°； ④S四边形A0s0=6+3V5;⑤SA40c+SA40B=6+V3 其中正确的结论是( B A.①②③⑤ B.①②③④ C.①②③④⑤ D.①②③ 第5页共11页 巩固提高 1.如图，等边三角形ABC内一点P到三角形三个顶点的距离PA=3,PB=4,PC=5,则∠APB 的大小是() A.150° B.120° C.100° D.以上都不对 2.如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA=√6，PB=√2，PC=2√2，则∠APB的 度数为一· 3.如图，点P到等边三角形ABC各顶点的距离分别是PA=2,PB=1.5,PC=2.5.若将线 段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ.则∠APB的度数是度， B 4.如图，等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP、BP、CP,若AP=6,BP=8, CP=10. 第6页共11页 (1)则线段AP、BP、CP构成的三角形是三角形（填“钝角、直角、锐角”）； (2)将△BPA绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的△BPA,并由此求出∠BPA的度数： (3)求三角形ABC的面积. 5.(1)如图1，在等边三角形ABC内有一点P,且PA=V5,PB=√2，PC=1,冰墩墩 同学作了如图2的辅助线，将△BPC绕点B按逆时针方向旋转60°、如图2所示，连接PP', 请你按照冰墩墩的方法求出∠BPC的度数. (2)如图3，在正方形ABCD内有一点P,且AP=√5，BP=√2，PC=1,类比第(1) 题的方法. ①求∠BPC的度数； ②ABPC与△BPA的面积之和. (3)如图3，在(2)的基础上请求出正方形ABCD的面积. A B B 图1 图2 图3 6.如图，点P是等边三角形△ABC外一点，PA=2√2，PB=1,PC=3,将△PBC绕点B逆 时针旋转60°后得到aDBA, 第7页共11页 y B D (1)求证：△PDA是直角三角形； (2)求△APB的面积. 7.如图，点D是等边△ABC内一点，AD=3,BD=3,CD=3N2,△ACE是由△ABD绕 点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是() E D A.40 B.45 C.105 D.55 8.如图，等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP= 10.则S△4Bp+S△BrC=24+1N3_, 9.如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1,PB=PD=√2，则∠APB的度数为 105° 第8页共11页 10.如图，点P是正方形ABCD内一点，若PA=√5，PB=√2，PC=1,则∠BPC=135° D 11.己知P是等边△ABC内一点，若PA=3,PB=5,PC=4,则△ABC的面积= 36+25√3 12.如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ, 连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为24+9√3_一， B 13.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3,PB=4,PC=5,以BC为边在△ABC 外作△BQC≌△BPA,连接PQ,则以下结论中正确有一（填序号） ①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB=150°④∠APC=120° 第9页共11页 14.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A 逆时针旋转后，得到△PAB, (1)求点P与点P'之间的距离： (2)求∠APB的度数. 15.下面是一道例题及其解答过程，请补充完整. (1)如图1，在等边三角形ABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的 度数 解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP'B,连接PP',则△APP'为等边三 角形。 .PP'=PA=3,PB=4,P'B=PC=5, ∴.P'P2+PB2=P'B2 .△BPP'为 三角形 .∠APB的度数为」 (2)类比延伸 第10页共11页 专题17 奔驰模型 奔驰模型（又称“等边三角形内一点模型”）因为像奔驰车标 ，所以叫奔驰模型，由等边三角形与旋转全等变换推导而来，是处理等边三角形内动点线段关系的经典几何模型，可快速转化分散线段、推导角度与线段最值问题，中考常以几何综合、线段和差、最值探究题型出现，题目结构对称、思路巧妙，兼具逻辑性与技巧性，是几何旋转构造思想的典型代表。 本专题从模型讲解、例题分析、课堂随练、巩固提高四个部分展开，循序渐进，层层剖析奔驰模型的重难点，内容详实丰富，供大家学习使用，欢迎下载。 模型讲解 一、模型条件 等边三角形 ABC 内部任意一点 P ，连接PA 、PB 、PC 。 2、 核心方法 利用旋转全等（通常旋转 60 ∘），将分散的三条线段PA 、PB 、PC 转化到同一条折线或同一个三角形中。 3、 重要结论 旋转后必出现等边三角形，可实现线段转移。 可推导PA 、PB 、PC 三者之间的数量关系与不等式关系。 若满足 等特殊条件，可求出的度数。 4、 常见考法 求线段长度、角度大小、线段和的最值、证明线段关系、判断三角形形状等。 5、 解题口诀 等边内部有一点，线段分散想旋转，六十度旋出等边，三边关系立可见。 【结论】如图 ,等边△ABC，PA=3，PB=4，PC=5， 则①∠APB=150º， ②S△ABC＝AB2＝ 关键：旋转可以让线段动起来 ①【证明】以AP为边向左侧作等边△APD，连接BD, ∵△ABC,△ADP为等边三角形 ∴∠DAB＝60°-∠BAP,∠PAC＝60°-∠BAP ∴∠DAB＝∠PAC 可得△DAB≌△PAC ∴DB＝PC＝5 ∵DP²＋BP²＝DB²， ∴∠DPB＝90°，∠APB＝150° ②过B作BQ⊥AP于Q, ∵∠APB＝150° ∴∠BPQ＝30°，BP＝4，BQ＝2 ∴PQ＝＝2 ∴AB²＝AQ²＋BQ²＝25＋12 ∴AB²＝ 各种旋法： 核心结论：S=a2 例题分析 【例1】如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接PQ．由题意△PQA是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题． 【详解】解：如图，连接PQ． ∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ， ∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°， ∴△PAQ是等边三角形， ∴PQ＝PA＝2， ∵PB＝4， ∴， ∴∠PQB＝90°， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【例2】如图，P是等边三角形内的一点，且，将绕点B顺时针旋转得到，连接，则以下结论中不正确是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断A、D；依据△BPQ是等边三角形，即可得到∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，进而得出∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，即可判断C、B选项． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置， ∴△BQC≌△BPA， ∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， ∴△BPQ是等边三角形，△BPQ的面积=，故A正确，D错误； ∴PQ=BP=4， ∵，， ∴， ∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，△PQC的面积=×3×4=6，故C正确， ∵△BPQ是等边三角形， ∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°， ∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，故B正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，解题关键是综合运用定理进行推理． 【例3】如图，在等边三角形ABC中，点P是内一点，，，，则的度数为（    ） A．160° B．155° C．150° D．145° 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得∠PAE=60°，AP=AE=3，CP=BE=4，∠AEB=∠APC，可证△PAE是等边三角形，可得PE=AE=3，∠AEP=60°，由勾股定理的逆定理可求∠PEB=90°，即可求解． 【详解】解：如图，将△ACP绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE，连接PE， ∴△ACP≌△ABE，∠PAE=60°， ∴AP=AE=3，CP=BE=4，∠AEB=∠APC， ∴△PAE是等边三角形， ∴PE=AE=3，∠AEP=60°， ∵=25，+=9+16=25， ∴=+， ∴∠PEB=90°， ∴∠AEB=150°=∠APC， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，熟练利用勾股定理逆定理得出是解题关键． 课堂随练 【练1】如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（　　） A． B． C． D． 解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD， ∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2， ∴△BOD是等边三角形， ∴OD＝OB＝1， ∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4， ∴OD2+OC2＝CD2， ∴∠DOC＝90°， ∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝， 故选：C． 【练2】如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为（　　） A．24+9 B．48+9 C．24+18 D．48+18 解：连接PQ，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ， ∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∴△APQ为等边三角形， ∴PQ＝AP＝6， ∵∠PAQ﹣∠PAB＝∠CAB﹣∠PAB， ∴∠CAP＝∠BAQ， 在△APC和△AQB中 ， ∴△APC≌△AQB（SAS）， ∴CP＝BQ＝10， 在△BPQ中，∵PQ＝6，BP＝8，BQ＝10， 而62+82＝102， ∴PQ2+PB2＝BQ2， ∴△BPQ为直角三角形，∠BPQ＝90°， ∴四边形APBQ的面积＝S△BPQ+S△APQ ＝×6×8+×62 ＝24+9． 故选：A． 【练3】如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO以点B为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO´，有下列结论∶ ①△BO´A 可以由△BOC绕点B 逆时针旋转 60°得到; ②点 O与O´的距离为 4; ③∠AOB=150°; ④ ＝6＋3; ⑤＋ ＝6＋ 其中正确的结论是（ ) A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 解：如图，连接 OO´. ①由奔驰模型推导过程可知∠OBO´=60°，△BOC≌△BO´A，∠②AOB=150°，△BOO´为等边三角形，所以 OO´=OB=4，故①②③正确. ＝ ＋＝×3×4 ＋×42=6+4,故④错误. 如图，将△AOB绕点 A 逆时针旋转 60°，使得 AB与AC 重合，点 O旋转至点O". 易知△AOO〞是边长为 3 的等边三角形，△COO〞是直角三角形， 则 ＋＝＝＋ ＝×3×4 ＋×32=6+ ，故⑤正确.综上所述，正确的结论为①②③⑤.故选 A. 巩固提高 1．如图，等边三角形ABC内一点P到三角形三个顶点的距离PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的大小是（    ） A．150° B．120° C．100° D．以上都不对 【答案】A 【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA， 如图②，连接EP， ∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠BPE=60°， 在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4， ∴AE2=PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°， ∴∠APB=90°+60°=150°． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理． 2．如图，点是等边三角形内的一点，且，，，则的度数为______． 【答案】##150度 【分析】将绕点逆时针旋转后得到的，由旋转的性质可得，，可得为等边三角形，由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转后得到的． ≌， ，， 为等边三角形， ，， ，， ， 为直角三角形， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理的逆定理，利用旋转的性质和勾股定理的逆定理得到为直角三角形是解题的关键． 3．如图，点P到等边三角形ABC各顶点的距离分别是PA＝2，PB＝1.5，PC＝2.5．若将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．则∠APB的度数是______度． 【答案】150 【分析】连接PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得AP＝PQ＝2，∠PAQ＝60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP＝2，接着证明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝2.5，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，于是得到结论． 【详解】连接PQ，如图， ∵△ABC为等边三角形，AP=2，PB=1.5，PC=2.5， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ， ∴AP＝AQ＝2，∠PAQ＝60°， ∴△APQ为等边三角形，∠APQ＝60°， ∴PQ＝AP＝2， ∵∠CAP＋∠BAP＝60°，∠BAP＋∠BAQ＝60°， ∴∠CAP＝∠BAQ， 在△APC和△AQB中， ∴△APC≌△AQB（SAS）， ∴PC＝QB＝2.5， ∵在△BPQ中，，，， 而， ∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°， ∴∠APB＝90°＋60°＝150°． 故答案为：150． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；还考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理以及等边三角形的知识．证明△BPQ是直角三角形是解答本题的关键． 4．如图，等边三角形内有一点P，分别连接、、，若，，． (1)则线段、、构成的三角形是______三角形（填“钝角、直角、锐角”）； (2)将绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的，并由此求出的度数； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)直角； (2)； (3)． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）由旋转的性质可得，，，证明是等边三角形，，进而可得的度数； （3）将绕点B顺时针旋转60°得到，根据是等边三角形，是直角三角形，求出＝，同理，将绕点C顺时针旋转60°得到，将绕点A顺时针旋转60°得到，可得＝，＝，求出的面积，进而根据得出答案． （1） 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴线段、、构成的三角形是直角三角形， 故答案为：直角； （2） 解：如图，将绕点B顺时针旋转60°得到，点与点C重合， 由旋转的性质可得，，， ∴是等边三角形， ∴，， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴； （3） 解：如图，将绕点B顺时针旋转60°得到，点与点C重合， 由（2）可得是等边三角形，是直角三角形，，， 过点P作PH⊥，则BH＝， ∴PH＝， ∴， ∴＝， 将绕点C顺时针旋转60°得到， 同理可得，是以PC＝10为边的等边三角形，是以6、8、10为边的直角三角形，＝， 将绕点A顺时针旋转60°得到， 同理可得，是以AP＝6为边的等边三角形，是以6、8、10为边的直角三角形，＝， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理的应用等知识，通过旋转构造出等边三角形和直角三角形是解答本题的关键． 5．（1）如图，在等边三角形内有一点，且，，，冰墩墩同学作了如图的辅助线，将绕点按逆时针方向旋转、如图所示，连接，请你按照冰墩墩的方法求出的度数． （2）如图，在正方形内有一点，且，，，类比第（1）题的方法． 求的度数； 与的面积之和． （3）如图，在（2）的基础上请求出正方形的面积． 【答案】（1）150°；（2）①135°；②；（3）5 【分析】（1）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接，可得△是等边三角形，而△又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以，而； （2）①求出，根据勾股定理的逆定理求出，推出； ②由（1）知，，，，，即可求出答案． （3）过点作，交的延长线于点，求出，，关键勾股定理即可求出，即可求出答案． 【详解】解：（1）是等边三角形， ， 将绕点顺时针旋转得出， ，，，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ，则△是 直角三角形； ； （2）①如图，将绕点逆时针旋转得到， 与（1）类似：可得：，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ； ②由①知，，，，， ， 与的面积之和为 ； （3）由（2）知，，， 过点作，交的延长线于点； ， ， ； 在中，由勾股定理，得； 正方形的面积为5． 【点睛】本题主要考查勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，解题的关键是正确作辅助线并能根据性质进行证明． 6．如图，点是等边三角形外一点，，，．将绕点逆时针旋转60°后得到． (1)求证：是直角三角形； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转后所得的图形与原图形大小相等，可得BD、AD的长和，可证明是等边三角形，得到，利用勾股定理得出即可证明； （2）通过求解，作AP边上的高BH，则 ，根据即可求出． (1) 由题意得：，， 是等边三角形 ， 是直角三角形； (2) 是等边三角形 是直角三角形， 作．则 【点睛】本题考查了三角形和旋转，熟练运用旋转的性质特殊三角形的性质是解题的关键． 7．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（　　） A．40° B．45° C．105° D．55° 解：连接DE， 由旋转可知，△ACE≌△ABD， ∴AE＝AD＝3，CE＝BD＝3，CD＝， ∠BAD＝∠CAE， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BAD+∠DAC＝60°， ∴∠CAE+∠DAC＝60°，即∠DAE＝60°， ∴△DAE是等边三角形， ∴DE＝AD＝3， ∵32+32＝（3）2， ∴DE2+CE2＝CD2， ∴△DEC是直角三角形，且∠DEC＝90°， ∴DE＝CE，∠EDC＝45°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝105°， 故选：C． 8．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝　24+16　． 解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′， 根据旋转的性质可知， 旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′， ∴△BPP′为等边三角形， ∴BP′＝BP＝8＝PP'； 由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10， 在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6， 由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形， ∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'P+S△AP'P＝BP2+×PP'×AP＝24+16 故答案为：24+16 9．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA＝1，PB＝PD＝，则∠APB的度数为　105°　． 解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接EP， ∴△APB≌△AED， ∴AE＝AP＝1，PB＝DE＝，∠PAE＝90°，∠AED＝∠APB， ∴PE＝AE＝，∠AEP＝∠APE＝45°， ∴DE＝DP＝PE＝， ∴△DEP是等边三角形， ∴∠DEP＝60°， ∴∠AED＝105°＝∠APB， 故答案为：105°． 10.如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，PC＝1，则∠BPC＝　135°　． 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°，BA＝BC， 把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△BCE，连接PE，如图， ∴BP＝BE＝，CE＝AP＝，∠PBE＝90°， ∴△PBE为等腰直角三角形， ∴∠BPE＝45°，PE＝PB＝×＝2， 在△PCE中，∵PC＝1，PE＝2，CE＝， ∴PC2+PE2＝CE2， ∴△PCE为直角三角形，∠CPE＝90°， ∴∠BPC＝∠BPE+∠CPE＝45°+90°＝135°． 故答案为：135°． 11．已知P是等边△ABC内一点，若PA＝3，PB＝5，PC＝4，则△ABC的面积＝　　． 解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， 把△APC绕点A顺时针旋转60°可得到△ABD，如图， ∴AD＝AP＝3，BD＝PC＝4，∠DAP＝60°，∠ADB＝∠APC， ∴△ADP为等边三角形， ∴DP＝AP＝3，∠ADP＝60°， 在△BDP中，∵DP＝3，DB＝4，BP＝5， 而32+42＝52， ∴DP2+DB2＝BP2， ∴△BDP为直角三角形，∠BDP＝90°， ∴∠ADB＝∠ADP+∠BDP＝60°+90°＝150°， ∴∠APC＝150°； 作BE⊥AD于E，如图 ∵∠ADB＝150°， ∴∠BDE＝30°， 在Rt△BDE中，BE＝BD＝2，DE＝BE＝2， ∴AE＝AD+DE＝3+2， 在Rt△ABE中，AB＝＝＝， ∴S△ABC＝×（）2＝， 故答案为：． 12．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为　24+9　． 解：连接PQ，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ， ∴AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°， ∴△APQ为等边三角形， ∴PQ＝AP＝6， ∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°， ∴∠CAP＝∠BAQ， 在△APC和△ABQ中， ， ∴△APC≌△ABQ， ∴PC＝QB＝10， 在△BPQ中，∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102， 而64+36＝100， ∴PB2+PQ2＝BQ2， ∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°， ∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ＝×6×8+×62＝24+9． 故答案为24+9． 13．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有　 　（填序号） ①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120° 解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°， ∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC， ∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPQ是等边三角形， 所以①正确；②PQ＝PB＝4，PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+QC2＝PC2， ∴∠PQC＝90°，∴△PCQ是直角三角形，所以②正确； ③∵△BPQ是等边三角形，∴∠PQB＝∠BPQ＝60°， ∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，所以③正确； ④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC， ∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以④错误． 所以正确的有①②③． 14．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB． （1）求点P与点P′之间的距离； （2）求∠APB的度数． 解：（1）连接PP′，由题意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP， ∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，所以∠PAP′＝60度．故△APP′为等边三角形，所以PP′＝AP＝AP′＝6； （2）利用勾股定理的逆定理可知： PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90° 可求∠APB＝90°+60°＝150°． 15．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整． （1）如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形． ∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5， ∴P′P2+PB2＝P′B2． ∴△BPP′为　 　三角形． ∴∠APB的度数为　 　． （2）类比延伸 如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由． 解：（1）如图1，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形． ∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，∴P′P2+PB2＝P′B2． ∴△BPP′为直角三角形．∴∠APB的度数为90°+60°＝150°．故答案为：直角；150°； （2）2PA2+PD2＝PB2．理由如下： 如图2，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，连接PP′． 则P′B＝PD，P′A＝PA，∠PAP′＝90°， ∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′2＝PA2+P′A2＝2PA2，∠PP′A＝45°， ∵∠APD＝135°，∴∠AP′B＝∠APD＝135°，∴∠PP′B＝135°﹣45°＝90°， 在Rt△PP′B中，由勾股定理得，PP′2+P′B2＝PB2，∴2PA2+PD2＝PB2． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $