专题03 一次函数与反比例函数10大常考题型（题型专练）（河北专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03一次函数与反比例函数常考题型 内●容●导●航 第部分题型破译微观解剖，精细教学 行典例明引领 写方法透视 自变式演练 题型01动点问题的函数图象 题型02求反比例函数的解析式 题型03反比例函数的性质 题型04反比例函数的实际应用问题 题型05反比例函数比例系数的应用 题型06一次函数与几何的综合 题型07一次函数图象和性质的应用 题型08一次函数临界点问题 题型09一次函数的实际应用问题 题型10反比例函数与一次函数的综合 第二部分题型训练整合应用，模拟实战 题●型●破●译 ◆题型01动点问题的函数图象、 ◆典例引领◆ 【典例01】(2025河北保定.一模)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6,点D在AC上， AD=2,点P为AB上一动点.连接PC,PD,设PA=x,PC+PD=y,图2是点P从点A运动到点B的 过程中y与x之间的函数图象，K为最低点，甲、乙、丙三名同学分别对点M,N,K进行了如下研究： N B 图1 图2 甲：点M的纵坐标为6： 乙：点N的纵坐标为6+2√13； 1/87 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 丙：点K的纵坐标为210 则下列判断正确的为() A.甲错，乙、丙都对 B.甲、丙都错，乙对 C.甲、乙、丙都对 D.甲、乙、丙都错 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何的综合、点的坐标和对称的性质.根据点P要点A到点B之 间，可知：当点M在A点位置时，y=PC+PD=8是点M的纵坐标；当点M在B点位置时， y=PC+PD=6+2V3是点N的纵坐标；作点D关于AB的对称点E,连接CE,AE,此时对应的 y=PC+PD的值最小，是点K的纵坐标，利用勾股定理求出CE的长即为y=PC+PD的值， 【详解】解：当点M在A点位置时， PC=AC=6,PD=AD=2, y=PC+PD=6+2=8, ·点M的纵坐标为6+2=8， 故甲错； 当点M在B点位置时，如下图所示， PC=BC=6, 在Rt△BCD中，BC=6,CD=AC-AD=6-2=4, PD=VBC2+CD2=V6+42=2√13， .y=PC+PD=6+213, ·点N的纵坐标为6+23， 故乙对； B 如下图所示， 作点D关于AB的对称点E,连接CE,AE, 2/87 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 则AE=AD=2,∠EAC=2×45°=90°， :CE=√AE2+AC2=V62+22=2V10, ·点K的纵坐标为210， 故丙对. 综上所述，甲错，乙、丙对， 故选：A. 【典例02】(2025河北邯郸·三模)如图①，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,P,Q两点同时从 O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为0-A-D-0,点Q的运动 路线为0-C-B-O,设运动的时间为x秒，P,Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图② 所示.有以下四个结论：①AC=2√5Cm;②AD=2cm;③当点P在A-D段上运动，点Q在C-B段上运 动时，y随x增大而增大；④当点P在A-D段上运动且P,Q两点间的距离最短时，P,Q两点的运动路程 之和为23+2)厘米.其中正确结论有()个 以厘米 D 25 3 12345x/秒 ① ② A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】当点P运动到点D,点Q运动到点B,结合图象，可得此时y=BD=2cm,当点P在AD上时，Q 在BC上，P2距离最短时，P9连线过O点且垂直于BC,此时，P、Q两点运动路程之和S=2(OC+CQ), 求出CQ的长，即可得出答案。 本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形以及菱形的基本性质，掌握以上性质是解题的关键. 【详解】解：由图分析可得： 3/87 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当点P从O-A运动时，点Q从0-C运动时，y不断增大，③正确； 当点P运动到点A,点Q运动到点C时，由图象知此时y=PQ=2V3Cm, AC=23cm,故①正确； :四边形ABCD为菱形， :AC L BD,OA OC AC =3cm, 当点P运动到点D,点Q运动到点B,结合图象，可得此时y=BD=2cm, 0B=0D三BDN 在Rt△AD0中，AD=V0D2+0A2=V1+3=2cm, :AD=AB=BC=DC=2cm,故②正确； 当点P在AD上时，Q在BC上，PQ距离最短时，PQ连线过O点且垂直于BC, “当点P在A-D段上运动，点Q在C-B段上运动时，y随x增大先变小后增大，故③错误； PQ连线过O点且垂直于BC时，P、Q两点运动路程之和S=2(OC+CQ), 力 CO-OCxc0s Z4CB=0Cxx33 22cm, 5=2×5+引-25+3列m,放@错误 所以正确结论有2个 故选：B 《包方法透视 考向 将几何图形中的点、线运动与函数图象结合，要求判断运动过程中变量（如面积、距离）的变化趋 解读 势，选对对应图象。 方法 采用趋势判断与分段计算相结合的策略：先分析动点在不同运动阶段的轨迹，判断每段函数增减性、 技能 形状（直线或曲线）及关键转折点，排除明显不符选项；若涉及面积、距离，直接求解析式再比对 图象。 4/87 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ◆变式演练◆ 【变式01】(2025河北唐山二模)如图1，点P为等边三角形ABC的AC边上一点（不与点C重合），过点 P作PQ⊥BC于点Q,设BQ=x,S△Pc=y,y与x的函数关系图象如图2所示，下列结论正确的是() 93 8 O a 0 图1 图2 A.a=2 B.等边三角形ABC的边长为3 C.当x=2时，BP的长最小 D.y与x的函数关系为：y=V5(3-x)2 【答案】B 【分析】本题主要查了等边三角形的性质，函数图象的动点问题，解直角三角形等，根据题意求出α的值 是解题的关键， 观察图象得：当x=a时，S△Pec=y= 9y5,此时点P与点A重合，可得此时点O是BC的中点，从而得到 8 B0=CO=a,再根据ScX√3ax0=5a2-9N3,可判断A,B:在 202 8 利用锐角三角函数可得PQ=V3(3-x),在Rt△PBQ中，利用勾股定理可得BP2=x2+3(3-x),可判断C: 再由y=S.Poc= (3-x2,可判断D. 2 【详解】解：观察图象得：当=a时，Sc==95 ,此时点P与点A重合， 8 :PQ⊥BC,三角形ABC是等边三角形， 此时点Q是BC的中点， .AC=BC=2a,BO=CO=a, 此时Pg=2a)-a2=3a, 时w分aa9。-g. 8 解得：口=（负值舍去），故A迹项错误 角形ABC的边长为2X)3,故B选 在Rt△PCQ中，∠C=60°，CQ=3-x, 5/87 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PQ=CQ×tanC=V5(3-x), P80中，BP2=B02+P0=X+33-=4-18x+27=4x9 :当x=?时，BP取得最小值，BP的长最小，故C选项错误： 4 Sc)P0xC0=3-x，故D选项错误 故选：B 【变式02】(2025河北保定·二模)如图1，四边形ABCD为菱形，动点P,Q同时从A点出发，点P以每秒 1个单位长度沿线段AD向终点D运动；点Q沿线段A-B-C-D向终点D运动，当点P运动至终点时，另 一点Q也恰好到达终点.设运动时间为x秒，△APQ的面积为y个平方单位，图2为y关于x的函数关系图 象.下面四个结论中：①点Q的运动速度为每秒3个单位长度；②菱形ABCD的边长为6；③当x=1时， y=2.5;④曲线FG段的函数解析式为y= 5 15 x2+ x,结论正确的是() 2 0 B 2 图1 图2 A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①④ 【答案】A 【分析】根据当点P运动至终点时，另一点Q也恰好到达终点可知点Q的速度是点P速度的3倍，进而可 判断②正确；由图象可知，2秒后点Q到达点B,进而求出菱形的边长，可判断①正确；当点Q到达点C 时，△APQ的面积最大，求出x=1的面积可判断③正确；当点Q运动到CD的中点时，作QE1AD交AD的 AB BH &线于此时xE1535AP5,D03.证明p0OE求出OE=),△APO的面积为 当Q在CD上运动时， 则4P=x0E=QDsm∠Q0E-名18-3刘，根据三角形面积公式即可泉仙y号4PQE=吾x+克，可 6 2 判断④正确. 【详解】解：：动点P,Q同时从A点出发，同时到达点D, 点Q的速度是点P速度的3倍， 6/87 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :点P以每秒1个单位长度的速度运动， :点Q的运动速度为每秒3个单位长度，故①正确； 由图象可知，2秒后点Q到达点B, :AB=2×3=6,，即菱形ABCD的边长为6，故②正确： 作BH1AD于点H,由图象可知，点Q到达点B时，即x=2时，△APQ的面积为5，此时AP=2, AP.BH=5, ÷2X28H=5, 1 BH=5, 作QT⊥AD于点T,则QT∥BH, .△ABH△AQT, A0 OT AB BH 当x=1时，AQ=3, 37 65 解得QT- 1 1 y=24P-07=2x1 5=25 故③正确： 当点Q运动到点D时，x=18÷3=6, 当点Q运动到CD的中点时，作QE⊥AD交AD的延长线于E,此时x=15÷3=5,AP=5,DQ=3, :AB∥CD, .∠A=∠CDE, :∠AHB=∠DEQ, △ABHADOE, 7/87 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB BH DO OE' 65 30E ..OE= 2 △AP巴的面积为，x5x5.2的 1 24 当Q在CD上运动时， :AB∥CD, .∠A=∠QDE sinA=sin∠QDE=BH_5 AB6 则4P-xQE=Q0sm∠00E-18-3, S14P.0E=2×x×218-3=-5x2+15 .y= 6 4 即曲线FG段的函数解析式为y=-x+5x,故④正确。 4 2 故选A. 【点晴】本题考查了菱形的性质，从函数图象获取信息，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，数形 结合是解答本题的关键， 【变式03】(2025河北邯郸.一模)如图1，OA是⊙O的半径，点M是OA的中点，点N在⊙O上从点A开 始沿逆时针方向运动一周回到点A,运动停止，设运动过程中AN的长为x,MN的长为y,图2是y随x变 化的关系图象，则a的值为() 4 图1 图2 A.2 B.5 C.7 D.3 【答案】C 【分析】本题考查弧长公式应用、直角三角形性质及勾股定理，解题关键是利用图象信息确定半径，通过 弧长公式求圆心角，借助直角三角形性质求线段长，进而用勾股定理得出最大值， 8/87 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 先由图象中N与A重合时MN的长度及M是OA中点确定圆半径；再根据弧长公式求出x=二π时对应的圆 3 心角；接着构造直角三角形，利用其性质求出相关线段长；最后用勾股定理算出MN最大值即☑的值. 【详解】解：结合题图可知，当点N与点A重合时，MN的长y=OM,由图象知此时y=1, :点M是OA的中点， .0A=20M=2,即圆0的半径r=2, 当aw的张x元时，设∠AON= 将1：，=2代入可得： nr×2_4元 180 解得：n=120,即此时∠A0N=120°， 过点N作NG⊥A0,交AO的延长线于点G, G5 :∠A0N=120°， ∴.∠N0G=180°-120°=60°， .∠0NG=30°， 在Rt NOG中，ON=0A=2, 0G=10N=1, NG=VOW2-0G2=V22-12=3, 2OM=)OA=1,则GM=G0+0M 在RtaMNG中，根据勾股定理MN=VNG2+GM2, 己知NG=5,GM=2,则MW=V(5)2+22=√3+4=√7， 由图象可知MN的最大值为a, a=√万， 9/87 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 题型02求反比例函数的解析式、 ◆典例领◆ 【典例01】(2025·河北邯郸·二模)淇淇家购买了k度电，若使用天数y与每天平均用电度数x满足反比例 函数关系，它的图象如图所示，则k= /天 20L 010 度 【答案】200 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用.由题意得到反比例函数解析式为y=，,将点10,20)代入即可 求解 【详解】解：由题意得，反比例函数的解析式为y= :它的图象经过点(10,20)， k 20= 101 ∴.k=200. 故答案为：200 【奥刚】(2025河北沧州核拟预测)已知反比例函数y=兰k<0,当1≤x≤3时，y的最小值为-4，则 k的值为 【答案】-4 【分析】根据k<0,得到反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大，结合1≤x≤3时，y的最小值为 -4,此时反比例函数经过点1，-4)，解答即可. 本题考查了反比例函数的增减性，待定系数法求k,熟练掌握性质和待定系数法是解题的关键。 【详解】解：根据题意，得k<0, 故反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大， 由1≤x≤3时，y的最小值为-4， 故x=1时，y的最小值为-4， 10/87 专题03 一次函数与反比例函数常考题型 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 动点问题的函数图象 题型02 求反比例函数的解析式 题型03 反比例函数的性质 题型04 反比例函数的实际应用问题 题型05 反比例函数比例系数的应用 题型06 一次函数与几何的综合 题型07 一次函数图象和性质的应用 题型08 一次函数临界点问题 题型09 一次函数的实际应用问题 题型10 反比例函数与一次函数的综合 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 动点问题的函数图象 典例引领 【典例01】（2025·河北保定·一模）如图，在中，，，点在上，，点为上一动点．连接，．设，，图是点从点运动到点的过程中与之间的函数图象，为最低点．甲、乙、丙三名同学分别对点，，进行了如下研究： 甲：点的纵坐标为； 乙：点的纵坐标为； 丙：点的纵坐标为． 则下列判断正确的为（    ） A．甲错，乙、丙都对 B．甲、丙都错，乙对 C．甲、乙、丙都对 D．甲、乙、丙都错 【典例02】（2025·河北邯郸·三模）如图①，菱形的对角线与相交于点O，P，Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图②所示．有以下四个结论：①；②；③当点P在段上运动，点Q在段上运动时，y随x增大而增大；④当点P在段上运动且P，Q两点间的距离最短时，P，Q两点的运动路程之和为厘米．其中正确结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 方法透视 考向解读 将几何图形中的点、线运动与函数图象结合，要求判断运动过程中变量（如面积、距离）的变化趋势，选对对应图象。 方法技能 采用趋势判断与分段计算相结合的策略：先分析动点在不同运动阶段的轨迹，判断每段函数增减性、形状（直线或曲线）及关键转折点，排除明显不符选项；若涉及面积、距离，直接求解析式再比对图象。 变式演练 【变式01】（2025·河北唐山·二模）如图1，点P为等边三角形的边上一点（不与点C重合），过点P作于点Q，设，，y与x的函数关系图象如图2所示，下列结论正确的是（    ） A． B．等边三角形的边长为3 C．当时，的长最小 D．y与x的函数关系为： 【变式02】（2025·河北保定·二模）如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①点的运动速度为每秒3个单位长度；②菱形的边长为6；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【变式03】（2025·河北邯郸·一模）如图1，是的半径，点是的中点，点在上从点开始沿逆时针方向运动一周回到点，运动停止，设运动过程中的长为，的长为，图2是随变化的关系图象，则的值为（   ） A．2 B． C． D．3 题型02 求反比例函数的解析式 典例引领 【典例01】（2025·河北邯郸·二模）淇淇家购买了k度电，若使用天数y与每天平均用电度数x满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则______． 【典例02】（2025·河北沧州·模拟预测）已知反比例函数，当时，y的最小值为，则k的值为__________． 方法透视 考向解读 已知反比例函数图象上一个点，用待定系数法求解析式；或结合面积、几何条件间接求k值，选填与解答均有涉及。 方法技能 反比例函数解析式一般设为 y=k/x（k≠0）。将已知点坐标直接代入求出k；若涉及面积，利用k的几何意义，过双曲线上一点作坐标轴垂线围成矩形面积为|k|，列方程求k。 变式演练 【变式01】（2025·河北·一模）已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点，连接，过点作轴的垂线，垂足为． （1）当反比例函数的图象经过线段的中点时，的值为__________； （2）当反比例函数的图象把线段上横、纵坐标均为整数的点分布在其左右两侧，且左侧点的个数：右侧点的个数时，的取值范围为________． 【变式02】（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【变式03】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知，在如图所示的平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，． (1)求线段所在直线的解析式； (2)如图，在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的得到线段，若反比例函数的图象过点，求k的值，并直接判断点是否落在反比例函数的图象上； (3)在第一象限，以原点为位似中心，将线段缩小为原来的所得线段记为，当点落在（2）中的反比例函数的图象上时，请直接写出m的值． 题型03 反比例函数的性质 典例引领 【典例01】（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例02】若点A（﹣1，a）、B（2，b）、C（3，c）在反比例函数y的图象上，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b 方法透视 考向解读 考查图象所在的象限、增减性（k＞0在一三象限y随x增大而减小；k＜0在二四象限y随x增大而增大）及比较函数值大小，常以选择题或填空题形式出现。 方法技能 在同一分支上，利用增减性直接比较函数值大小；不在同一分支，根据函数值的正负比较（正数恒大于负数）；取值范围问题先确定k符号及所在象限，再结合条件列不等式求解。 变式演练 【变式01】反比例函数图象上三个点的坐标分别是，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式02】（23-24九年级上·河北沧州·期末）已知反比例函数，若当时随的增大而增大，写出一个符合条件的的整数值：________. 【变式03】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)画出反比例函数的图象； (3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 题型04 反比例函数的实际应用问题 典例引领 【典例01】（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【典例02】在压力不变的情况下，某物体所受到的压强与它的受力面积之间成反比例函数关系，且当S=0.1时，P=1000．下列说法中，错误的是( ) A．P与S之间的函数表达式为 B．当S=0.4时，P=250 C．当受力面积小于时，压强大于 D．该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大 方法透视 考向解读 结合物理、化学等学科情境（如压强、体积、密度），考查从实际问题中抽象出反比例模型并求解的能力，难度不大但需跨学科知识。 方法技能 从题意中提取两个变量的乘积为常数（xy=k）的核心关系，设解析式 y=k/x 代入已知数据求k，再根据实际问题的变量范围给出答案，注意单位统一。 变式演练 【变式01】（2025·河北保定·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若电流由减少至，则电阻的变化情况是（   ） A．增大，增大了 B．减小，减小了 C．增大，增大了 D．减小，减小了 【变式02】（2025·河北保定·一模）小明从地到地的平均速度与行驶时间成反比例函数关系，其函数图象如图所示．若某天他从地出发，在到这段时间内到达地，则他的平均速度可能是（    ） A． B． C． D． 【变式03】【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 题型05 反比例函数比例系数的应用 典例引领 【典例01】（2025·河北唐山·一模）如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【典例02】（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边的边的中点M．若等边的面积为16，则k的值为_________． 方法透视 考向解读 利用k的几何意义解决面积计算问题：过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积为|k|，围成的三角形面积为|k|/2，高频考查。 方法技能  涉及双曲线上的点向坐标轴作垂线时，优先利用矩形面积=|k|、三角形面积=|k|/2建立等量关系；若图象对称出现，利用对称点坐标及面积相等求解；必要时用待定系数法先求k，再计算面积。 变式演练 【变式01】（2025·河北邯郸·一模）如图，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，交轴于点，若，则的值为_____． 【变式02】（2025·河北张家口·模拟预测）如图，点，在反比函数（）的图象上，，的纵坐标分别是3和6，连接，，若的面积是9，则______． 【变式03】（19-20九年级上·山东济南·月考）如图，点A、B是函数y＝x与y＝的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为___________． 题型06 一次函数与几何的综合 典例引领 【典例01】（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2026·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，直线：经过点．将正方形沿轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有（   ） ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为： ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 方法透视 考向解读 以一次函数为背景，考查其与坐标轴交点坐标、围成三角形面积、旋转平移等几何变换，常出现在解答题中，涉及分类讨论和数形结合。 方法技能 求与坐标轴交点时分别令y=0和x=0；面积问题优先确定三角形顶点坐标，用坐标差公式S=½×底×高；图形变换遵循平移规律（左加右减自变量，上加下减常数项）及旋转对称性质，将几何条件转化为代数运算求解。 变式演练 【变式01】（2025·河北邢台·三模）嘉嘉在几何画板软件上做数学实验：如图，在平面直角坐标系中，取，构造直线． (1)求直线的解析式． (2)嘉嘉将直线在轴下方的部分沿轴翻折，得到射线，取，线段以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，运动时间为秒． ①点运动到点的初始位置时，用时______秒． ②求点运动到线段上时的坐标； ③直接写出仅有一个点在内部（含角的两边）时的取值范围． 【变式02】（2025·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与交于点，点为轴上正半轴一动点，过点作轴的垂线与直线，分别相交于，两点，过点作轴的直线交于点． (1)求的值及的函数表达式； (2)当，求点的坐标； (3)以，为边作长方形，当点在运动过程中，试探究的运动轨迹是否为一条直线中的一部分？若是，直接写出该直线解析式；若不是，请说明理由． 【变式03】（2025·河北沧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，直线交直线于点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)若点在第二象限，的面积是5． ①求点的坐标； ②将沿轴平移，点的对应点分别为，，，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围． 题型07 一次函数图象和性质的应用 典例引领 【典例01】（2025·河北石家庄·三模）如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点， (1)求直线的解析式； (2)当时，判断点P是否在直线上； (3)嘉嘉说：当a取不同的两个值时，得到两个点，，则直线与直线平行．嘉嘉说得对吗？请针对他的说法进行说理； (4)直接写出的面积． 【典例02】（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点C，过点C且与平行的直线交y轴于点D． (1)______；点C的坐标是______；直线的表达式是______； (2)直线与交于点E，在直线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； 方法透视 考向解读 通过k和b的符号判断图象经过的象限、增减性及与坐标轴交点位置，常与不等式、方程结合考查数形结合思想。 方法技能  k＞0时图象上升，k＜0时下降；b＞0时交y轴正半轴，b＜0时交负半轴。已知两点用待定系数法求解析式；方程kx+b=0的解是直线与x轴交点的横坐标；不等式解集对应图象在x轴上方或下方的部分，结合交点坐标求解。 变式演练 【变式01】（2026·河北石家庄·一模）如图，直线经过点，，直线：与x轴交于点C，与直线交于点P． (1)求直线的表达式，判断点是否在直线上，并说明理由； (2)求的面积． 【变式02】（2025·河北保定·一模）如图，直线与坐标轴交于点，，直线经过点，与交于点，点的横坐标为1． (1)求直线的解析式． (2)点是线段上一点，过点作垂直于轴的直线，分别与轴和直线交于点，．设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②若，求线段的长． 【变式03】（2025·河北石家庄·一模）如图，直线分别与轴及直线交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点，连接． (1)直接写出点的坐标，并求直线的表达式； (2)设，求的值； (3)设直线关于轴对称的直线为，请通过计算说明点是否在上． 题型08 一次函数临界点问题 典例引领 【典例01】（2025·河北石家庄·三模）如图，平面直角坐标系中，有一动点和正方形，其中，．    (1)求直线的解析式； (2)当时，判断点是否在正方形内（含边界）； 当点运动到轴上时，求的面积； (3)若点在内部（含边界，直接写出的取值范围． 【典例02】（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点和图形在第一象限内，过点作轴和轴的垂线、垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且．则称四边形是图形的一个覆盖，为这个覆盖的特征点．如：如图，，，，，四边形是线段的一个覆盖，为这个覆盖的特征点．若在直线上存在图中的覆盖的特征点，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 两直线交点或直线与坐标轴交点，涉及分段函数、方案选择等实际问题，根据自变量的取值范围判断临界位置，综合性强。 方法技能 联立两直线解析式求解交点坐标即为临界点；分段函数需明确每段的自变量范围及对应解析式，在端点处比较函数值确定最值或方案；含参数不等式临界值通过分析边界条件建立方程求解。 变式演练 【变式01】（2025·河北张家口·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，有一动直线：，点先向右平移4个单位长度再向下平移8个单位长度得到点． (1)求直线的解析式； (2)①的面积为______； ②判断直线是否经过点； (3)设直线与的边、分别交于点、，如果内部只有5个整点（不包括边界），直接写出的取值范围． 【变式02】（2025·河北邢台·一模）如图．在平面直角坐标系中，，，直线经过点、，直线与直线相交于点，直线与直线、分别相交于点点． (1)求直线的解析式； (2)若点的横坐标与纵坐标均为整数，求的值； (3)当时，点在点的正上方，求的取值范围． 【变式03】（2025·河北秦皇岛·一模）如图，已知直线经过点，直线． (1)求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ (2)若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P． ①点P的坐标为________． ②求面积． (3)直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围． 题型09 一次函数的实际应用问题 典例引领 【典例01】（2025·河北邯郸·二模）一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，其进价与售价情况如下表所示： 甲品牌 乙品牌 进价（元/件） 60 56 售价（元/件） 80 72 设购进甲品牌书包个，销售完这80个书包所获得的总利润是元． (1)求与的函数关系式； (2)该文具店是否会获得利润1406元？说明理由； (3)若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【典例02】（2025·河北石家庄·一模）某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则． 计价规则 货物质量不超过时，单价为6元； 货物质量超过但不超过时，超过部分单价为5元； 货物质量超出时，超出的部分单价为4元，并一次性额外收取30元的碳排放附加费． 设货物质量为，运费为y（元）． (1)若货物A质量为，货物B质量为，分别计算两个货物的运费； (2)当时，求y与x的函数解析式； (3)若某货物的运费为170元，求该货物质量为多少？ 方法透视 考向解读 常以文字型、表格型、图象型形式呈现，考查从实际问题中提取变量关系、建立一次函数模型并求解最优方案的能力，2024年起与统计等跨领域结合。 方法技能 建立一次函数关系式（设y=kx+b）；列方程求最值或比较方案时，先求函数解析式，再结合自变量的实际范围（如整数、非负）讨论；注意分段函数需分类讨论求最值；最后作答要回扣实际情境。 变式演练 【变式01】（2025·河北保定·一模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，某数学小组对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，相应数据如下表所示，并发现交通量和时间的变化规律符合一次函数的特征，其中． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 (1)求与的函数解析式； (2)在13时：通过计算判断与的大小关系； (3)如图，该小组希望设置“可变车道”来改善拥堵状况，根据交通量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，交通量较大的为，经查阅资料得：当时，是严重拥堵，需使可变车道行车方向与交通量较大的方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，通过计算判断在严重拥堵时如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵． 【变式02】（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） (1)图中______，______，小球的速度为______． (2)求图2中直线的函数解析式． (3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 【变式03】甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 题型10 反比例函数与一次函数的综合 典例引领 【典例01】（2025·河北唐山·三模）题目：“如图，点在同一个反比例函数的图象上，线段和线段关于直线对称，点，分别是点，的对应点．若线段与坐标轴有交点，求整数的值．”甲答：，乙答：或6，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．两人答案合在一起才完整 D．两人答案合在一起也不完整 【典例02】（2025·河北邢台·一模）如图，已知点和点均在双曲线上，点的横坐标为，连接交轴于点，点的横坐标为，用的代数式表示___________． 方法透视 考向解读 以解答题形式考查两函数图象交点、不等式解集、面积计算及解析式求法，是中考必考内容，通常先通过交点坐标确定解析式，再解决问题。 方法技能  解题按“先反比例后一次”顺序：将已知交点代入y=k/x求k，再联立两式求另一交点坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式；不等式解集通过观察两函数图象位置关系确定；面积问题用分割法或补形法转化为规则图形，结合k的几何意义简化计算。 变式演练 【变式01】（2025·河北秦皇岛·一模）已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点和点B，如图．当时，自变量x的取值范围是________ 【变式02】（2025·河北秦皇岛·一模）如图．已知点，将反比例函数的图象向左平移m个单位长度，若使平移后的反比例函数图象和线段有交点，则m的取值范围是________． 【变式03】（2025·河北石家庄·三模）如图，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点B落在处，过点作正比例函数和反比例函数的图象， (1)求a和k的值； (2)求点C的坐标． 题●型●训●练 51．（2026·河北石家庄·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 52．（2025·河北邯郸·三模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在函数的图象上，，．将线段沿x轴正方向平移得线段（点A平移后的对应点为），交函数的图象于点D，过点D作轴于点E，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 53．（2025·河北邯郸·二模）如图，点M的坐标为，过点M作垂直于y轴的直线，分别交直线，，于点A，B，C．若一个等腰直角三角形的周长为c，设它的直角边长为x，则点在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段BC在此处键入公式。上 D．点C右侧 54．（2025·河北石家庄·一模）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图-1所示，动点从点出发，沿路径匀速运动，速度为，点到达终点后停止运动，的面积与点的运动时间的关系如图-2所示，以下结论：①；②；③点从点运动到点需要，正确的结论是（   ） A．③ B．①② C．①③ D．②③ 55．（2026·河北石家庄·一模）如图，数轴上点，，分别表示数，，，那么反比例函数的图像在第__________象限． 56．（2025·河北保定·模拟预测）如图，平面直角坐标系的第二象限内有一正六边形，点，点．我们将正六边形内部或边上横、纵坐标都为整数的点称为“好点”，反比例函数的图象记为l．若l两侧“好点”的个数相同，则k的取值范围为__________． 57．（2025·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与直线交于点． (1)试说明：无论取何值，直线都经过定点； (2)若，，直线l与轴的交点为，求直线的解析式，并求出此时的面积； (3)若直线l与线段有交点，直接写出的取值范围． 58．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，已知一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 59．（2025·河北保定·一模）如图，平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中的坐标分别为，．从光源处发射光线照射到平面镜上（含端点）． (1)请说明：入射光线必过点； (2)求入射光线照射到镜面上时，的取值范围； (3)一条感光带置于轴上，其中的坐标分别为，，光线照到感光带任何一点，感光带都会发光．请判断入射光线经平面镜反射后的光线能否使感光带发光．若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由并直接写出将平面镜至少向右平移多少个单位长度反射光线才能使感光带发光． 60．（2023·安徽蚌埠·三模）如图，直线与反比例函数在第一条限内交于，两点，轴上的点满足．    (1)若点坐标为，求点的坐标； (2)若的面积为，求实数的值； (3)设点，的坐标分别为，，求的值． 试卷第2页，共84页 公司1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $