七 包装盒 长方体和正方体 第14周-【拔尖特训】2025-2026学年五年级下册数学（青岛版）

第14周 教材思考题 组合图形的表面积和体积 。典例精析 举一反三 (教材母题)下图是由若干个棱长1厘 1.如图所示为由若干个棱长为1厘米的小 米的小正方体拼成的，它的表面积和体积各 正方体拼成的图形，它的表面积和体积各 是多少？ 是多少？ [解析]通过观察发现这个立体图形是由多 个小正方体拼成的组合图形，要求它的表面 积和体积。求它的表面积，需要分析清楚 前、后面共有几个小正方形，左、右面共有几 个小正方形，上、下面共有几个小正方形，最 2.下图是由若干个棱长为1厘米的小正方 后求表面积，这种方法比较复杂。通过观察 体堆成的，它的表面积是多少平方厘米？ 发现，表面积可以看作是长6厘米、宽6厘 米、高4厘米的长方体的表面积，可以直接 根据长方体的表面积计算公式进行计算。 求它的体积，可以用一个大长方体的体积减 去四个小正方体的体积。 [答案]表面积：6X4×4+6×6×2 3.下图是由若干个棱长为1cm的小正方体 拼成的，它的体积是多少立方厘米？在这 =96+72 =168(平方厘米) 个基础上（原来的小正方体不动），要把它 体积：6×6×4一1×1×1×4 拼成一个大正方体（添加的小正方体尽量 =144-4 少)，表面积是增加还是减少？增加或减 =140(立方厘米) 少多少平方厘米？ 答：表面积是168平方厘米，体积是140立 方厘米。 点评：解决此类问题时，求体积，可以用整体图形 的体积减去缺少部分的体积；求表面积，可以 通过部分面的平移将不规则图形转化为规则图 形再计算。 27 思维创新题 长方体挖孔问题 。典例精析 2.如图所示为一个棱长是 如图，有一个棱长为15厘米的正方体 体，在正方体的上面的正中心向下挖一个 木块，在它的上面、前面、右面的中心分别凿 棱长为6厘米的正方体小洞，在小洞的底 穿一个长方体孔，孔口为边长是5厘米的正 面正中心再向下挖一个棱长为3厘米的 方形。穿孔后木块的体积是多少立方厘米？ 正方体小洞，第三个小洞的挖法与前两个 相同，棱长为1厘米。最后得到的立体图 形的表面积和体积各是多少？ [解析]由题意可知，从大正方体的体积中 减去三个长方体的体积即可求解。但是要 注意的是，在截去的三个长方体的正中间交 汇处是一个棱长为5厘米的正方体，这个正 方体的体积减一次就可以了，而我们在减去 三个长方体的体积时，该正方体的体积被减 了三次，因此，要补上两个棱长为5厘米的 正方体的体积。 [答案]15×15×15一5×15×5×3+5× 3.如图，在一个长方体金属件的前面和上面 5X5×2=3375-1125+250=2500(立方 的中心，分别挖一个长10cm、宽3cm的 厘米) 孔（垂直打通）。将挖孔后的零件浸没在 答：穿孔后木块的体积是2500立方厘米。 长40cm、宽25cm、高30cm的长方体容 点评：解决本题的关键是从大正方体里面减去 器中，容器内水深15cm。放入零件后水 3个小长方体的体积后，要加上多减去的2个小 面上升多少厘米？ 正方体的体积。 8 cm 举一反三 25cm 1.在棱长为3厘米的正方体铁块的每个面 18cm 中心打一个边与正方体的棱平行的方洞。 洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘 米（如图）。求打完洞后铁块的体积。 1厘米 282.(15-1)×2=28(个)448÷28=16（平方厘米） 16=4×4每个小正方体的棱长是4厘米 解析：长方体的底面是正方形，截成15个小正方 体，需要切(15一1)次，增加了[(15-1)×2]个正方 形的面的面积。先算出1个面的面积，再看是哪两 个相同的数的积，由此推断每个小正方体的棱长。 思维创新题正方体展开图的对应问题 1.甲 2.山解析：观察题图①，可得出“我”与“山”相 对，“爱”与“乡”相对，“家”与“茶”相对。小正方体 从题图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第 3格：翻到第1格时，“家”在下面，由于“家”与“茶” 相对，此时朝上面的字是“茶”；翻到第2格时，“爱” 在下面，由于“爱”与“乡”相对，此时朝上面的字是 “乡”；翻到第3格时，“我”在下面，由于“我”与“山” 相对，此时朝上面的字是“山”。所以，这时小正方 体朝上面的字是“山”。 3.丁解析：通过观察题图发现展开图属于正方 体展开图的“1一4一1”结构，折成正方体后两个有 圆的面相对，两个有涂色三角形的面相邻，有未涂 色圆的面与两个涂色三角形中有公共点的两直角 边所在的面相邻，有涂色圆的面与两个有涂色三角 形的面的空白部分相邻，只有丁符合这一特征。 第13周 教材思考题灵活求解不规则物体的体积 1.14×6×(8一4)+4×6×4×2=528(cm3) 2.7×528=1425.6(g) 解析：已知每立方厘米铝合金重2.7g,要求这个零 件的质量，要先求出这个零件的体积。这个零件是 个不规则物体，可以把它分割成上、下两部分，零件 的体积等于上、下两部分的体积之和。 2.24×15×(10+8)-8×15×8-12×15×6= 4440(cm3)2.7×4440=11988(g) 解析：已知每立方厘米铝合金重2.7g,要求这个零 件的质量，要先求出这个零件的体积。这个零件是 个不规则物体，可以把这个零件看作一个长方体， 这样就多了左上角空白部分的一个小长方体和右 边中间空白部分的小长方体，所以零件体积等于大 长方体的体积减去这两个小长方体的体积。 3.18X6×7-6×6×5=576(cm3) 576×21.45=12355.2(g) 576×19.32=11128.32(g) 576×10.49=6042.24(g) 576×7.86=4527.36(g)是由金制成的 解析：先求出这个构件的体积，再看相同体积的质 量与哪种材料的质量相符。 思维创新题抓不变量解决问题 1.(9+7+5)×4÷12=7(厘米) 解析：先根据长方体的棱长总和计算公式算出长方 体的棱长总和，也就是铁丝的长度，即正方体的棱 长总和，根据“正方体的棱长=棱长总和÷12”即可 算出正方体的棱长。 2.20×50×24=24000(cm3) 24000÷(20×50+40×50)=8(cm) 解析：先求出A鱼缸中水的体积，再用A鱼缸中水 的体积除以两个鱼缸的底面积之和即可求解。 第14周 教材思考题组合图形的表面积和体积 1.表面积：7×5×4十7×7×2=238（平方厘米） 体积：7×7×5-1×1×1×4=241（立方厘米） 2.6×2+5×4=32(个)1×1×32=32（平方厘米） 3.1×1×1=1(cm3)21×1=21(cm3) 1×1=1(cm)1×9×2+1×7×2+1×2+1× 11×2=56(cm)4×4×6-56=40(cm2) 增加，增加40cm 思维创新题长方体挖孔问题 1.3×3×3-1×1×1×6=21(立方厘米) 8 2.表面积：10×10×6+6×6×4+3×3×4+1× 1×4-1×1×2=782(平方厘米) 体积：10×10×10-6×6×6-3×3×3-1×1× 1=756(立方厘米) 3.18×25×8-10×3×25-10×3×8+10×3× 3=2700(cm3)2700÷(40×25)=2.7(cm) 解析：由题意可知，在挖去的两个长方体的正中间 交汇处是一个长10cm、宽3cm、高3cm的小长方 体，该小长方体的体积只需要减一次，在从大长方 体的体积中减去两个长方体的体积时，该小长方体 的体积被减了两次，因此，要补上一个该小长方体 的体积。再用长方体金属件的体积除以长方体容 器的底面积即可求出水面上升的高度。 回顾整理一总复习 第15周 综合拓展题巧用分数的拆分与分组运算 1w+；品+8”8 =+(+3)-(号+)+(+号) (号+6)+（合+） 11 6T7 -1月 解析：观察算式中的分数，按常规方法可以先通分 再相加减。也可以将一个分数拆分成两个分数相 加的形式即音号日，品日+子品十 日为日十日是-十7然后去格号，最后运 用运算律和运算性质，进行简便计算。 2122⊥2⊥2 (2)3+15+356399 11111111111 =1-3+35+5-7+7-9+gi 1 品 解析：先把加数写成两个分数相减的形式，再计算。 2++号+++号++号+叶 =1+2+3+…+47 =(1+47)×47÷2 =1128 思维创新题长方体表面积最小问题 1.2×3=6(厘米)》 (20×8+20×6+8×6)×2=656(平方厘米) 2.拼成长9cm、宽5×2=10(cm)、高3×3= 9(cm)的长方体时，表面积最小 (9×10+9×10+9×9)×2=522(cm2) 解析：求怎样拼表面积最小，就是求拼成的长方体 的表面积最小的情况。把这6个小长方体拼成一 个大长方体的拼法有多种，当大长方体的长为 9cm,宽为(5X2)cm,高为(3X3)cm时，表面积最 小。利用长方体的表面积计算公式求出大长方体 的表面积。 3.包装成长13厘米、宽6×2=12（厘米）、高3× 6=18(厘米)的长方体时，表面积最小 (13×12+13×18+12×18)×2=1212(平方厘米) 解析：求怎样包装表面积最小，就是求拼成的长方 体表面积最小的情况。把这12个长方体物品拼成 一个大长方体的拼法有多种，当大长方体的长为 13厘米，宽为(6×2)厘米，高为(3×6)厘米时，表 面积最小。利用长方体的表面积计算公式求出大 长方体的表面积。