2026年高考数学计算能力强化训练（综合卷）

2026年高考数学计算能力强化训练 综合卷 综合卷 1 参考答案与解析 9 多维细目表 15 提速技巧 16 注意事项： 1. 训练目标：本卷旨在提升中等水平学生的复杂运算处理能力和计算稳定性.题目数据包含整数、分数、根号的混合运算，计算步骤控制在3-6步，侧重于公式变形、多步代入及含参问题的常规讨论. 2. 训练时间：建议用时120分钟，请合理分配时间，确保计算准确. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 (　　) A. B. C. D. 2. 若 ( 为虚数单位)，则 (　　) A. B. C. D. 3. 在正方形ABCD中， ， 为 的中点， 为 边上靠近 的四等分点， 与 交于点 ，则 (　　) A. B. C. D. 4. 已知集合 ， ，则 (　　) A. B. C. D. 5. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 (　　) A. B. C. D. 6. 若双曲线 的离心率为 ，则 的值为(　　) A. B. C. 3 D. 2 7. 已知i为虚数单位，复数 满足 ，则 (　　) A. B. C. D. 8. 将数列 和数列 的公共项按从小到大的次序组成数列 ，则 (　　) A. 100 B. 441 C. 121 D. 361 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知在棱长为1的正方体 中， 为侧面 内一点(包含边界)，则下列结论正确的是(　　) A. 若 平面 ，则 的最大值为 B. 若点 在线段 上，则 的最小值为 C. 存在点 ，使得点 和点 到平面 的距离相等 D. 三棱锥 外接球的体积的最小值是 10. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦.如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，其中 ， 为正八边形的中心，则(　　) A. B. C. D. 11. 已知实数 满足 ，则下列不等关系一定成立的是(　　) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线 的右焦点为 ，过原点 的直线交 于 ， 两点，且 .若直线 的斜率为 ，则双曲线 的离心率为______. 13. 已知直线 ， ，若圆 的圆心在 轴正半轴上，且与直线 ， 都相切，则圆 的方程为______. 14. 已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分） 某科技公司统计了过去10年每年的研发投入 （单位：亿元）和营业额 （单位：亿元）的数据，如下表：参考数据： ， ， ， . 参考公式：相关系数 年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 研发投入 （亿元） 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 营业额 （亿元） 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 （1） 估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； （2） 求样本 的相关系数（精确到0.01）； （3） 已知 与 的关系可以用线性回归模型 来拟合，利用该模型预测当研发投入为13.5亿元时，该公司今年的营业额. 16. （15分） 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 为 的中点， ， . （1） 证明：平面 平面 ； （2） 若 ，直线 与平面 所成角的正切值等于2，求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. （15分） 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间（分钟） 频数（人） 20 14 10 6 （1） 估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2） 记乘客等待时间为 ，随机变量 服从指数分布，且 取值不超过 的概率为 ，其中e是自然对数的底数. （i） 证明：对于任意的 ，有 ； （ii） 如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为 （单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若 ，则坐公交车（费用2元）；若 ，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 18. （17分） 已知椭圆 的方程为 ，上顶点为 ，右顶点为 ， ，椭圆的离心率为 ，过点 的直线与椭圆 交于点 ( 在第一或第四象限)，过原点 且与直线 平行的直线与椭圆 在第二象限交于点 . （1） 求椭圆方程； （2） 轴上有一点 ， ，求直线 的斜率； （3） 若直线 与 轴交于点 ，求直线 的斜率. 19. （17分） 已知函数 . （1） 讨论 的单调性； （2） 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与解析 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A C A D B D 1. 【解析】集合 ，故 . 集合 . 所以 .故选：C. 2. 【解析】由题得 . 所以 .故选： A. 3. 【解析】以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立坐标系.则 . . .故选： A. 4. 【解析】根据集合交集的定义，在数轴上表示出集合A和B，它们的公共部分是 .故选：C. 5. 【解析】由 及奇函数性质，得 ，进而周期为4. 所以 . 因为 是奇函数， . 当 时， ，所以 . 因此 .故选： A. 6. 【解析】双曲线 中， ，则 . 离心率 . 两边平方得 ，即 ，解得 . 因为 ，所以 .故选：D. 7. 【解析】 .故选：B. 8. 【解析】数列 的项是所有正奇数. 数列 的项是完全平方数. 它们的公共项是奇数的平方，即数列 的通项为 . 所以 .故选：D. 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ACD ACD ABD 9. 【解析】A项，点M轨迹为线段 ，当M在 时DM最大为 ，正确. B项，将侧面展开， 的最小值为 ，错误. C项，当M在线段AD上时，由于 ，故点C和点B到平面 距离相等，又 平分 ，故A1和B距离相等，从而A1和C距离相等，正确. D项，三棱锥外接球球心在线段 上，通过计算得当M为 时半径最小为 ，体积最小为 ，正确. 故选：ACD. 10. 【解析】A项，由正八边形性质和向量加法， ，正确. B项， （M为AC中点），不等于 ，错误. C项，在 中计算，正确. D项，连接EB，则 ，故 ，正确. 故选：ACD. 11. 【解析】由 ，故 ，A正确. 由 平方得 .又 ，故 ，B正确. C项，取 ，满足条件但 不成立，错误. D项，分类讨论易知恒成立，正确. 故选：ABD. 三、填空题 题号 12 13 14 答案 12. 【解析】由双曲线和直线的对称性，可得 .又 ，所以在 中， . 由 斜率为 ，得 ，所以 为等边三角形， . 连接左焦点 ，则 为直角三角形，且 . 由双曲线定义， ，而 ，所以 . 在 中， ，所以 . 代入得 ，所以离心率 . 13. 【解析】设圆心 . 圆与两直线相切，则圆心到两直线距离相等，即 . 化简得 ，解得 或 (舍去). 半径 . 圆C的方程为 . 14. 【解析】当 时， ，即 . 设 ，则 ，变形为 . 又 . 所以数列 是首项为4，公比为2的等比数列. 故 ，即 . 取 ，得 . 四、解答题 15. 【答案】（1） 12亿元，650亿元；（2） 0.96；（3） 710亿元 【解析】 (1)【步骤分值：计算x均值2分，计算y均值2分，共4分】 平均每年的研发投入 （亿元）. 平均每年的营业额 （亿元）. (2)【步骤分值：代入公式2分，计算结果2分，共4分】 由相关系数公式得： . (3)【步骤分值：解释回归模型1分，代入x值2分，计算结果2分，共5分】 已知线性回归模型为 . 将 代入回归方程，得 （亿元）. 故预测该公司今年的营业额为710亿元. 16. 【答案】（1） 证明见解析；（2） 【解析】 (1)【步骤分值：证明线面垂直3分，由线面垂直证面面垂直2分，共5分】 设 为 的中点，连接 .因为 为 中点，所以 且 . 又底面 为矩形， 且 ，所以 ，且 ，故 与 必相交. 因为 ， 为 中点，所以 .又已知 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 .又 ，且 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 . (2)【步骤分值：证PO垂直底面并建系3分，求各点坐标2分，求法向量3分，求夹角余弦2分，共10分】 取 中点 ，连接 .因为 ，所以 为等边三角形， . 又平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 . 以 为原点， (过O平行于AB), 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系. 由题意，直线 与平面 所成角的正切值为2，即 ，设 ，则 ， . 则 . 平面 的法向量 . 设平面 的法向量为 ， . 由 ，取 . 设平面 与平面 夹角为 ， . 17. 【答案】（1） 7.7分钟；(2)（i） 证明见解析；（ii） 元 【解析】 (1)【步骤分值：正确使用组中值2分，加权平均计算2分，共4分】 平均等待时间 分钟. (2)(i)【步骤分值：写出概率表达式2分，条件概率公式展开并化简3分，共5分】 由题意， . 由条件概率公式， .得证. (ii)【步骤分值：利用(i)求Y>10概率2分，求Y≤10概率2分，计算期望2分，共6分】 由(i)知， . 所以 . 所以交通费用 的期望为 (元). 18. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】 (1)【步骤分值：利用离心率和a,b,c关系1分，利用AB长求c 2分，得方程2分，共5分】 由题意， ，所以 . 上顶点 ，右顶点 . 由 ，解得 . 所以 .椭圆方程为 . (2)【步骤分值：设出直线方程2分，联立求P点坐标3分，联立求Q点坐标2分，利用垂直斜率关系求k 3分，共10分】 由(1)知 .设直线 方程为 (k < 0). 联立 ，消y得 . 解得 ， . 直线 方程为 ，联立椭圆得 ， . 由 ，则 . . 由 ，则 ，代入解得 (舍去 因为此时P不在第一/四象限). (3)【步骤分值：利用平行线分线段成比例2分，代入坐标得方程2分，解方程得斜率3分，共7分】 因为 ，所以 . 已知 ， ，所以 . 所以 . 代入 的表达式，得 （注意k<0，所以 为正， 为正）. 化简得 ，两边平方并整理得 ，解得 或 (舍). 因为 ，所以 . 19. 【答案】（1） 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2） 【解析】 (1)【步骤分值：求导2分，解不等式求单调区间3分，共5分】 函数定义域为 . . 令 ，得 . 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减. (2)【步骤分值：等价变形不等式3分，构造函数并判断单调性4分，分离参数求最值5分，共12分】 不等式 等价于 ，即 . 构造函数 ，其在R上单调递增. 则不等式可化为 ，从而 . 分离参数得 对任意 恒成立. 由(1)知， . 所以 ，即 的取值范围为 . 多维细目表 题型 题号 分值 必备知识 易错类型 单选题 1 5 集合的补集与交集运算 忽略对数定义域 单选题 2 5 复数的四则运算与模 分母实数化错误 单选题 3 5 平面向量数量积与夹角 向量坐标运算错误 单选题 4 5 集合的交集运算 忽略端点取舍 单选题 5 5 函数的奇偶性与周期性 周期计算错误 单选题 6 5 双曲线的离心率 a,b,c关系与公式混淆 单选题 7 5 复数的除法运算 复数乘法计算出错 单选题 8 5 数列的通项与公共项 公共项规律找错 多选题 9 6 立体几何中的动点最值 空间想象不足，计算量大 多选题 10 6 平面向量的线性运算与数量积 向量分解与夹角判断 多选题 11 6 不等式性质与基本不等式 绝对值处理不当 填空题 12 5 双曲线的离心率 几何性质挖掘不足 填空题 13 5 圆的标准方程 点到直线距离公式应用 填空题 14 5 数列的递推与求和 构造新数列能力弱 解答题 15 13 统计（线性回归与相关系数） 公式记忆与代入计算 解答题 16 15 立体几何（面面垂直、二面角） 建系坐标与法向量计算 解答题 17 15 概率统计（条件概率与期望） 条件概率公式应用 解答题 18 17 解析几何（椭圆方程与斜率） 直线与椭圆联立计算 解答题 19 17 导数（单调性、恒成立、同构） 分类讨论与构造函数 提速技巧 一、单选题提速技巧 题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧 1 集合补集与对数定义域 补集求解错误；对数真数大于 0 遗漏 先解每个集合的不等式，再画数轴进行交并补。特别注意：对数函数定义域永远是真数 >0。 2 复数模长 分母实数化后忘记求模；模长公式用错 复数 的模长 。先化简为代数形式再求模。 3 向量数量积求角 建系坐标算错；数量积公式与向量模计算 几何图形中求角，优先建系用坐标法。，注意向量方向。 4 集合交集 区间端点取舍 交集取公共部分。端点是否取等，看原不等式是否带等号。 5 函数奇偶性与周期求值 周期推导错误（ 推周期 4） 由 结合奇偶性推周期。奇函数：，周期 T 满足 。 6 双曲线离心率 双曲线 a,b,c 关系记错（） 双曲线中 ，椭圆中 。离心率 。 7 复数除法 复数乘法计算出错（i²=-1） 复数除法分子分母同乘分母的共轭复数。计算时注意 i²=-1。 8 数列公共项 公共项规律找错（奇数的平方） 列举前几项找规律。两个数列的交集，先分析各自特征（奇偶性、幂次等），再归纳通项。 二、多选题提速技巧 题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧 9 立体几何动点最值 轨迹判断；侧面展开图计算；外接球半径计算 正方体动点问题，常用展开图求最短路径，用坐标法或几何法求轨迹。外接球半径找球心到各顶点距离相等。 10 平面向量线性运算 向量分解；正八边形中的角度与长度关系 多边形中向量运算，利用中心对称性和边长关系。数量积可用投影或坐标法。 11 不等式性质 绝对值处理不当；平方后范围变化 等价于 且 。涉及平方时，注意符号。 三、填空题提速技巧 题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧 12 双曲线离心率 几何性质挖掘不足（垂直、斜率、焦点三角形） 由垂直和斜率可得焦点三角形的角度，进而求边长关系，最后代入定义求离心率。 13 圆的标准方程 点到直线距离公式应用；绝对值方程求解 圆与两直线相切，则圆心到两直线距离相等且等于半径。解绝对值方程要讨论正负。 14 数列递推与求和 构造新数列（） 遇到 与 的关系，尝试用 转化为 的递推，再构造等比数列。 四、解答题提速技巧 题号 典型题类型 计算难点 提速技巧 15 统计：相关系数与回归 公式记忆；数据代入易错 相关系数 r 公式中分子是，分母是各自离差平方和的根号之积。计算时代入要仔细。 16 立体几何：面面垂直与二面角 线面垂直判定；建系坐标与法向量 证明面面垂直，先证线面垂直。二面角余弦值 ，注意锐角钝角。 17 概率：条件概率与期望 条件概率公式 ；指数分布无记忆性 条件概率问题，先写出事件，再用公式。无记忆性：。 18 解析几何：椭圆与直线 联立方程求解弦长、坐标；斜率关系转化为方程 直线与椭圆联立，韦达定理求中点、弦长。垂直关系转化为斜率之积为 -1。平行关系转化为坐标成比例。 19 导数：恒成立与同构 不等式等价变形；同构函数 的构造 恒成立问题常用分离参数或构造函数。若出现 形式，可考虑同构。单调性求最值。 综合卷总览口诀 补集不忘定义域，复数模长先化代。 坐标求角快又准，周期推导用替换。 双曲离心 a b c，公共数列找奇偶。 动点最值展与球，向量分解看对称。 绝对值去要平方，递推求和构造忙。 回归系数套公式，二面角求法向量。 条件概率写事件，联立韦达弦长现。 恒成立时参分离，同构函数最值取。 $