2026年高考数学计算能力强化训练（基础卷）

2026年高考数学计算能力强化训练 基础卷 基础卷 1 参考答案与解析 6 多维细目表 11 提速技巧总结 12 注意事项： 1.训练目标：本卷旨在提升计算基础薄弱学生的运算速度和准确性.题目数据以整数为主，计算步骤控制在2-4步，侧重于基础公式、法则的熟练运用和基本代数运算能力的训练. 2.训练时间：建议用时120分钟，请严格控制时间，模拟真实考场环境. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 ， ，则 (　　) A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 ( 为虚数单位), 则 的虚部为(　　) A. B. C. D. 3. 已知空间向量 ，平面 的一个法向量为 ，则向量 在平面 上的投影向量是(　　) A. B. C. D. 4. 已知函数 则 的值为(　　) A. 2 B. .2 C. 3 D. .3 5. 已知函数 在 处取得最大值，则 (　　) A. B. 1 C. D. 2 6. 设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，且 .则 和 的值为(　　) A. , B. , C. , D. , 7. 若 的展开式的常数项为60，则 (　　) A. 4 B. 2 C. 16 D. 8 8. 一个大于1的自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．在不超过20的质数中任取三个不同数，则其和是偶数的取法有(　　) A. 15 B. 21 C. 35 D. 28 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条不同的直线 ， ，两个不同的平面 ， ，则下列命题为真命题的是(　　) A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ， ，则 10. 已知 为第二象限角， ，则(　　) A. B. C. D. 11. 设 为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为 ，则下列结论正确的是(　　) A. 若事件 互斥，则 B. 若事件 互斥，则 C. 若事件 相互独立，则 D. 若 ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为 ，则圆台的体积为______. 13. 的展开式中，常数项为______. 14. 若函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分） 设函数 . （1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若函数 在区间 内单调递增，求 的取值范围. 16. （15分） 记 的内角 、 、 的对边分别是 ， ， ，已知 ， 为锐角. （1） 求角 的大小； （2） 若 ， 的面积为 ，求 的周长. 17. （15分） 设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，且 . （1） 求 和 ； （2） 求 . 18. （17分） 在 中，内角A，B，C所对的边分别为 ， ， ，且 . （1） 证明： ； （2） 若 的面积为 ，证明 为等边三角形. 19. （17分） 如图，在正三棱台 中， ， . （1） 求正三棱台 的体积 ； （2） 若 是 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与解析 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D B D B A B 1. 【解析】因为 ， ，所以 . 故选：A. 2. 【解析】由 ，可得 .故 的虚部为 .故选： A. 3. 【解析】向量 在平面 上的投影向量为 . ， . 则投影向量为 .故选：D. 4. 【解析】因为 ，所以 .故选：B. 5. 【解析】由正弦函数的性质，当 在 处取得最大值时，有 . 解得 .又因为 ，所以取 ，得 .故选： D. 6. 【解析】当 时， ，又 ，所以 . 当 时， 两式相减得 ，即 .所以 . 将 代入 ，得 ，解得 .故选：B. 7. 【解析】 展开式的通项公式为 . 令 ，得 .常数项为 . 由题意， ，解得 .故选： A. 8. 【解析】不超过20的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，共8个数. 要使取出的三个不同数的和为偶数，由于质数中只有一个偶数2，其余均为奇数，因此必须包含2. 从剩下的7个奇数中任选2个，则共有 种取法.故选：B. 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 AC ABC ACD 9. 【解析】对于A，根据直线与平面垂直的性质定理知A正确. 对于B，除非加上 ，可以推出 ，其他情况容易举反例，故B错误. 对于C，因为 ，过 作平面 ，则易得 ，因为 ，所以 .又 ，所以 ，故C正确. 对于D，直线 ， 相交时符合平面与平面平行的判定定理，否则结论不成立，故D错误. 故选：AC. 10. 【解析】因为 为第二象限角， ，所以 . 对于A， ，故A正确. 对于B， ，故B正确. 对于C， ，故C正确. 对于D， ，故D错误. 故选：ABC. 11. 【解析】对于A，若事件 互斥，则 ，故A正确. 对于B，若事件 互斥， ，故B错误. 对于C，若事件 相互独立，则 . ，故C正确. 对于D，由 ，得 ，解得 ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 题号 12 13 14 答案 10 12. 【解析】设圆台母线长为 ，由侧面积公式 ，得 ，解得 . 圆台的高 . 所以圆台的体积 . 13. 【解析】因为 ， 又 的展开式的通项为 ， 所以当 时， ， 所以 的展开式中常数项为10. 14. 【解析】因为 ，所以 . 令 ，得 ，解得 . 所以 ，则 . 所以曲线在点 处的切线方程为 ，即 . 四、解答题 15. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 (1)【步骤分值：求导2分，求斜率1分，求切点1分，点斜式写方程1分，共5分】 当 时， . . 所以 ，又 . 故切线方程为 ，即 . (2)【步骤分值：求导2分，分析导数符号2分，解不等式2分，得出结论2分，共8分】 . 由题意， 在 内恒成立，即 在 上恒成立. 令 ，其为一次函数，需满足 . 即 ，解得 且 . 所以 的取值范围是 . 16. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 (1)【步骤分值：展开化简3分，求出 2分，得出角B 2分，共7分】 因为 ， 所以 ， 即 . 因为 ，所以 ，故 . 又 为锐角，所以 . (2)【步骤分值：面积公式求 2分，余弦定理求 3分，求 2分，求周长1分，共8分】 因为 的面积为 ，所以 ，解得 . 由余弦定理 ，得 ，即 ， 所以 . 所以 . 所以 的周长为 . 17. 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】 (1)【步骤分值：利用n=1求关系2分，n≥2时作差求q 3分，求a1 2分，共7分】 当 时， ，即 ，所以 . 当 时，由 两式相减得 ，即 . 所以数列的公比 . 将 代入 ，得 ，解得 . (2)【步骤分值：写出求和公式2分，代入计算1分，化简1分，共4分】 由(1)知，数列 是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以前 项和 . 18. 【解析】 (1)【步骤分值：正弦定理边化角2分，化简3分，再次用正弦定理角化边2分，得出结论1分，共8分】 由正弦定理 ，可将等式 化为： . 展开得 . 移项得 . 因为 ，所以 . 故 . 再由正弦定理角化边得 ，命题得证. (2)【步骤分值：面积公式求A 2分，余弦定理代入化简4分，得出b=c 2分，结论1分，共9分】 由三角形面积公式 ，得 . 因为 ，由(1)知A为锐角，所以 . 由余弦定理 . 又由(1)知 ，代入上式得 . 整理得 ，即 ，所以 . 因此 ，再结合(1)知 ，所以 为等边三角形. 19. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 (1)【步骤分值：求高2分，用台体体积公式计算2分，共4分】 设上、下底面的中心分别为 ，连接 ，过 作底面垂线，垂足为 ，则 为高. 由题意， 和 都是正三角形，且 ，可得 ，故 . 由勾股定理，高 . 正三棱台体积 . (2)【步骤分值：建系并写坐标4分，求法向量3分，求线面角3分，共10分】 以 为原点， 为 轴，平行于 的直线为 轴， 为 轴建系. 则 . . . 设平面 的法向量为 ，由 ，得法向量 . 设直线 与平面所成角为 ，则 . 多维细目表 题型 题号 分值 必备知识 易错类型 单选题 1 5 集合的运算 忽略不等式端点 单选题 2 5 复数四则运算 虚部概念混淆 单选题 3 5 空间向量的投影向量 投影公式记错 单选题 4 5 分段函数求值 代入错误 单选题 5 5 三角函数最值与求参 代入条件求解错误 单选题 6 5 等比数列通项 由Sn求an关系不清 单选题 7 5 二项式定理 通项公式指数错误 单选题 8 5 古典概型与组合 分类遗漏 多选题 9 6 立体几何线面关系 判定定理条件不清 多选题 10 6 三角函数恒等变换 象限符号错误 多选题 11 6 概率基本性质 独立与互斥公式混淆 填空题 12 5 圆台的体积 高与母线关系混淆 填空题 13 5 二项式定理（常数项） 漏乘系数 填空题 14 5 导数的几何意义 不会求f’(1) 解答题 15 13 导数应用（切线、单调性） 参数讨论不全 解答题 16 15 解三角形 余弦定理化简错 解答题 17 15 数列的通项与求和 Sn与an关系应用 解答题 18 17 解三角形（边角互化） 三角恒等变换不熟 解答题 19 17 立体几何（体积、线面角） 建系坐标与法向量 提速技巧总结 一、单选题提速技巧 题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧 1 集合交集/并集 忽略不等式端点；解二次不等式出错 集合运算务必画数轴。解不等式时，注意二次项系数正负、判别式。写区间时，严格区分开闭。口诀：解集要画轴，端点看等号。 2 复数虚部 虚部概念混淆（是否带 i）；分母实数化计算出错 复数除法必须分子分母同乘共轭复数。虚部是实数，不带 i。口诀：除复数，乘共轭；问虚部，看 i 前。 3 投影向量 投影向量公式记混（数量积除以模长的平方再乘向量本身？还是乘方向向量？） 投影向量公式：。记死：分母是模长平方，乘的是目标方向向量。 4 分段函数求值 代入错误（x=1/2 用错解析式）；对数运算不熟 分段函数求值，先判断自变量所在区间，再代入对应解析式。，。 5 三角函数求参 最大值条件转化错误（） 在 取最大值，则 。结合范围定参数。 6 等比数列基本量 由 求 时忽略 条件；作差计算出错 与 关系： (n≥2)。必须检验 n=1 时是否满足。 7 二项式定理 通项公式指数算错；常数项条件设为 后 r 取错 写出通项 ，令 x 的指数为 0 求 r。注意负号和分数指数。 8 古典概型计数 分类遗漏（和为偶数的条件未考虑必须含 2） 质数中只有一个偶数 2。和为偶数，必须选 2 和两个奇数。 二、多选题提速技巧 题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧 9 线面关系判断 判定定理条件记忆模糊（如面面平行需相交线） 逐项用定理检验。线面垂直性质定理可推线线平行。面面平行判定必须“两条相交直线”。 10 三角函数恒等变换 象限符号错误；诱导公式、二倍角公式记混 先由象限定 符号（第二象限为负）。再用公式逐项计算。，。 11 概率基本性质 互斥与独立公式混淆；对立事件概率计算错误 互斥时 ，独立时 。对立事件概率为 1 减去原事件概率。 三、填空题提速技巧 题号 典型题类型 易错点/计算难点 提速技巧 12 圆台体积 高与母线关系混淆；公式记错（1/3） 圆台体积 。高、母线、半径差构成直角三角形：。 13 二项式常数项 漏乘系数（前面还有因式 (x-2)） 先展开后面的二项式，再乘以前面的因式，合并同类项找常数。不要直接对整体用通项。 14 导数切线方程 不会求 （含参导数） 先求导函数，再代入 ，建立关于 的方程求解。切点坐标、斜率、点斜式方程三步走。 四、解答题提速技巧 题号 典型题类型 计算难点 提速技巧 15 导数：切线、单调性求参 求导后化简；含参不等式恒成立讨论 ①求导要准（乘积求导法则）。②切线方程用点斜式。③单调性转化为导函数符号问题，一次函数恒成立看端点。 16 解三角形：正弦余弦定理 和差角公式化简；面积公式与余弦定理联立 ①边角互化首选正弦定理。②。③已知面积和夹角求边积，再用余弦定理求边和。 17 数列：由 Sn 求通项与求和 作差后符号处理；等比求和公式 ① 是核心。②求出 q 和 a1 后，套公式 ，注意 q=1 的情况。 18 解三角形：边角互化证明 三角恒等变形（和差角、诱导公式） 证明题中，正弦定理边化角后，目标是凑出 。然后角化边得出结论。 19 立体几何：棱台体积与线面角 建系坐标易错；法向量计算；台体体积公式 ①正棱台高用勾股定理求。②建系要利用垂直关系。③线面角正弦值 。 基础卷总览口诀： 1. 集合数轴画端详，复数虚部不带 i。 2. 投影公式记心间，分段代入先看区。 3. 三角最值套公式，数列关系要验一。 4. 二项通项找常数，古典计数分类细。 5. 立几建系找直角，导数切线步骤齐。 $