第二章 导数及其应用（知识清单）高二数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学导数单元知识清单系统梳理了导数的概念运算、几何意义及应用，涵盖导数与函数单调性、极值最值的关系，构建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单通过易错点辨析（如“在某点处切线”与“过某点切线”的区别）、20个重难点分级解析（如极值点偏移问题），培养学生数学思维与运算能力。设计“典例+变式”训练和解题策略总结（如构造函数法），帮助不同学生高效掌握，教师可据此优化教学，提升课堂实效。

第二章 导数 知识点一、导数的概念及运算 1．导数的概念 (1)函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率称为y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作 或y′|，即f ′(x0)＝＝． (2)函数y＝f (x)的导函数(简称导数) f ′(x)＝y′＝． 2．导数的几何意义 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为 ． 提醒：在点P处有切线，P一定是切点，过点P有切线，P点不一定是切点． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝ f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝ f (x)＝sin x f ′(x)＝ f (x)＝cos x f ′(x)＝ f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ f (x)＝ex f ′(x)＝ f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ f (x)＝ln x f ′(x)＝ 4．导数的运算法则 若f ′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝ ； (2)[f (x)g(x)]′＝ ； (3)′＝ (g(x)≠0)； (4)[cf (x)]′＝ ． 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 知识点二、导数与函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)内可导 f ′(x)>0 f (x)在区间(a，b)上 f ′(x)<0 f (x)在区间(a，b)上 f ′(x)＝0 f (x)在区间(a，b)上是 2．利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的 ； 第2步，求出导数f ′(x)的 ； 第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性． 注1．若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时， 恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f ′(x)≤0恒成立． 2．若函数f (x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时， ；若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时， ． 3．f ′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f (x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f (x)＝x3在R上单调递增，但f ′(0)＝0． 知识点三、导数与函数的极值、最值 1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ．则 叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ．则b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 ． 提醒：①对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．例如：f (x)＝x3，f ′(x)＝3x2，当x0＝0时，f ′(x0)＝0，但x0＝0不是f (x)的极值点；②区分极值与极值点． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f (x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的 ； ②将函数y＝f (x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 提醒：1．若函数f (x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． 2．单调函数无极值，区间端点一定不是极值点． 【易错点】01 混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线” 辨析：1.在点P处的切线：P一定是切点，直接用f ′(x0)求斜率。 2.过点P的切线：P不一定是切点，需设切点，列方程求解。 【典例1】（25-26高二下·吉林长春·期中）已知曲线，则在点的切线方程为________． 【典例2】（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________． 【易错点】02 单调性与导数的充分必要条件混淆 辨析：认为f ′(x)>0是函数单调递增的充要条件，忽略等号。 1.充分不必要：f ′(x)>0→单调递增； 2.充要条件：单调递增→且不恒为0（如，仍递增）。 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）若函数在单调递减，则a的取值范围是______． 【典例2】（24-25高二下·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是________． 【易错点】03 极值点与f ′(x0)＝0的逻辑关系混淆 辨析：认为f ′(x0)＝0就一定是极值点，忽略左右导数符号判断。 1.f ′(x0)＝0是极值点的必要不充分条件； 2.极值点需满足：f ′(x0)＝0且左右导数异号。 【典例1】（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数在处取极值，且，则的值为____. 【典例2】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）函数在时有极小值，那么的值为____. 重难点01 变化率问题 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系 平均变化率＝，如果当Δx趋于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数就是函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率．求函数的瞬时变化率可以利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解． 【例1】（25-26高二下·甘肃平凉·月考）函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·江苏扬州·月考）若函数在区间上的平均变化率为，则等于___________. 【变式1-2】（江苏苏州市吴中区甪直高级中学、昆山市蓬朗高级中学2025-2026学年下学期第一次模块检测联合考试高二数学试题）已知在h时刻，原油的温度（单位：℃）为．则在时刻，原油温度的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二下·河北保定·月考）若 则 在处的瞬时变化率为（    ） A．1 B． C．2 D． 重难点02 导数的运算 导数的运算方法 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 【例2】【多选】（25-26高二下·吉林长春·期中）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（21-22高二下·上海长宁·期末）函数，则__________. 【变式2-2】（25-26高二下·江苏苏州·期中）函数的导数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】【多选】（25-26高二下·重庆·月考）下列函数的导函数正确的是（    ） A． B． C． D． 重难点03 导数的几何意义 导数几何意义的应用要点 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)函数f (x)过某点(m，n)有若干条切线，转化为关于切点的方程(高次)根的个数问题． 【例3】（25-26高二下·上海·月考）已知曲线在处的切线的斜率为__________. 【变式3-1】（2026·湖北黄冈·一模）设函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【变式3-2】（25-26高二下·重庆·月考）过点且与曲线相切的直线方程为（     ） A． B． C．或 D． 【变式3-3】（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 重难点04 两曲线的公切线问题 曲线公切线的求解策略 设直线与曲线y＝f (x)相切于点(x1，f (x1))，与曲线y＝g(x)相切于点(x2，g(x2))，则切线方程为y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)，即y＝f ′(x1)x＋f (x1)－f ′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2． 所以解出x1，x2，从而可得公切线方程． 【例4】（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【变式4-1】（25-26高二下·重庆·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______． 【变式4-2】（吉林省G35 联合体2026届高三下学期二模数学试题）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 【变式4-3】（2026·青海西宁·二模）若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____． 重难点05 导函数与原函数的性质关系问题 1．导函数与原函数对称性、周期性的关系 性质1：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于直线x＝a对称⇔导函数f ′(x)的图象关于点(a，0)对称． 性质2：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于点(a，f (a))对称⇔导函数f ′(x)的图象关于直线x＝a对称． 性质3：f (x)的图象是周期为T的周期函数⇔f ′(x)的图象是周期为T的周期函数． 2．导函数与原函数奇偶性的关系 性质1：若f (x)为偶函数且可导，则f ′(x)为奇函数． 性质2：若f (x)为奇函数且可导，则f ′(x)为偶函数． 【例5】【多选】（2024·辽宁大连·一模）已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（    ） A．是奇函数 B．是减函数 C． D．是的极小值点 【变式5-1】【多选】（2024·贵州·模拟预测）已知函数的导函数为，与的定义域都是R，且满足，，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．为周期函数 C． D．是偶函数 【变式5-2】【多选】（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】【多选】（23-24高三上·江西·期中）已知函数的定义域为是奇函数，分别是函数的导函数，在上单调递减，则（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 重难点06 不含参数的函数的单调性 利用导函数求函数单调区间的注意点 (1)先求函数定义域，单调区间是定义域的子集． (2)正确求导函数． (3)当f ′(x)＝0无解时，可根据f ′(x)的结构特征确定f ′(x)的符号． (4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”“或”连接，要用“，”“和”隔开． 【例6】（24-25高二下·天津·月考）若函数，则的单调递减区间为________． 【变式6-1】（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【变式6-2】（25-26高二下·上海·月考）已知函数，则的单调减区间是__________. 【变式6-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为______. 【例6】（24-25高二下·天津·月考）若函数，则的单调递减区间为________． 【变式6-1】（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【变式6-2】（25-26高二下·上海·月考）已知函数，则的单调减区间是__________. 【变式6-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为______. 重难点07 含参数的函数的单调性 　(1)对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个： 分类讨论点1(根的有无讨论)：求导后，考虑f ′(x)＝0是否有实数根，从而引起分类讨论； 分类讨论点2(根在不在定义域内讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，但不清楚f ′(x)＝0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论； 分类讨论点3(根的大小的讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，f ′(x)＝0的实数根也落在定义域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论． (2)求出f ′(x)后，先观察f ′(x)的解析式的特征(当参数取某些特殊值或在某一范围内时，f ′(x)≥0(≤0)恒成立)，再解不等式． 【例7】（2026·江苏·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【变式7-1】（25-26高二下·山东泰安·月考）已知函数，是两个不同的正数，且满足. (1)讨论的单调性； (2)若函数在闭区间上的最大值为0，求的值； (3)当时，证明：. 【变式7-2】（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【变式7-3】（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的最小值． 重难点08 函数单调性的应用--比较大小或解不等式 灵活构造函数，利用函数单调性比较大小或解抽象不等式． 【例8】（25-26高二下·山东泰安·月考）已知，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二下·江苏南京·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二下·河北邢台·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点09 求参数的取值范围 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)f (x)在区间(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f ′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 【例9】（25-26高二下·海南省直辖县级单位·月考）已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）若函数是区间上的单调函数，则实数m的值一定不是（ ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 重难点10 根据函数的图象判断函数的极值 1.根据原函数图象判断极值的解题策略 先在原函数图象上寻找峰顶、谷底或导数不存在的尖点，这些是候选极值点；再观察每个点左右两侧的单调性：若左边递增、右边递减，则为极大值点；若左边递减、右边递增，则为极小值点；若两侧单调性不变，则该点不是极值点，判断时只关注局部升降变化，不与整体最值混淆。 2.根据导函数图象判断极值的解题策略 先找出导函数图象与x轴的交点及导数不存在的点，这些是临界点；再看临界点左右两侧导函数的符号：若左正右负，则原函数在该点取极大值；若左负右正，则原函数在该点取极小值；若两侧符号相同，则该点无极值。 【例10】（2026·安徽马鞍山·一模）函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-1】（24-25高三上·贵州遵义·月考）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【变式10-2】（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数的图象如图所示，则（   ）． A．0 B．l C．2 D． 【变式10-3】（25-26高三上·湖南常德·开学考试）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的一个零点 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．函数在区间上单调递增 重难点11 已知函数的极值(点)求参数 根据函数极值情况求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性．不满足题意可能有两种情况：一是函数在定义域内单调，二是函数在极值点左、右两侧的单调性相反，即极值相反． 【例11】（25-26高二下·吉林长春·期中）若函数没有极值，则实数的取值范围是（   ） A．B． C． D． 【变式11-1】（25-26高二下·河北张家口·月考）若函数在处有极值，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高三下·辽宁·月考）若是函数的极大值点，则的极小值为（   ） A． B． C． D．0 【变式11-3】（25-26高二下·重庆·月考）已知函数（）有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点12 利用导数研究函数的最值 求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 【例12】（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26高二下·江苏苏州·月考）设函数，若，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．e 【变式12-2】（25-26高二下·山东泰安·月考）已知函数，若且，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式12-3】（25-26高二下·安徽马鞍山·月考）若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 重难点13 导数型构造函数 (1)出现xf ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝． (2)出现nf (x)＋xf ′(x)形式，构造函数F (x)＝xnf (x)． (3)出现f ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝． (4)出现f ′(x)＋nf (x)形式，构造函数F (x)＝enxf (x)． (5)与sin x，cos x有关的导函数存在一定的特殊性，其常见考查形式如下： F (x)＝f (x)sin x，F ′(x)＝f ′(x)sin x＋f (x)cos x； F (x)＝，F ′(x)＝； F (x)＝f (x)cosx，F ′(x)＝f ′(x)cos x－f (x)sin x； F (x)＝，F ′(x)＝． 【例13】（25-26高二下·河北邢台·月考）记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26高二下·河北邢台·月考）已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A．B． C． D． 【变式13-2】（10-11高三·湖北荆州·月考）是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，，若，则必有（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（25-26高二下·湖南岳阳·开学考试）定义在R上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 重难点14 依据数值特征构造具体函数 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为所构函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小． 【例14】（25-26高二下·安徽合肥·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26高二下·江苏常州·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2026·河南·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（25-26高二下·山东青岛·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 重难点15 同构函数 1.地位同等同构策略 对于含有地位同等的两个变量x1，x2(或x，y，或a，b)的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数的单调性解决．常见的同构类型有： 原式 转化 构造函数 ＞k(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＜kx1－kx2 构造y＝f (x)－kx，为增函数 ＜(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＞ 构造y＝f (x)＋，为减函数 2.指对同构 （1）指对同构的本质：指、幂、对三种函数的互相转化，即alogax＝x＝logaax(a＞0且a≠1)． （2）三种基本模式： ①积型： aea≤b ln b 说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知． ②商型： < ③和差型： ea±a>b±ln b 如：eax＋ax＞ln (x＋1)＋x＋1⇔eax＋ax＞eln (x+1)＋ln (x＋1)⇔ax＞ln (x＋1)． 特别地，若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘x，同加上x等，再用上述方式变形．常见的有： ①aeax>ln x⇒axeax>x ln x； ②ex>a ln (ax－a)－a⇒ex>ln [a(x－1)]－1⇒ex－ln a－ln a>ln (x－1)－1 ⇒ex－ln a＋x－ln a>ln (x－1)＋x－1＝eln (x-1)＋ln (x－1)； ③ax>logax⇒ex ln a>⇒(x ln a)ex ln a>x ln x． 【例15】（2025·陕西·模拟预测）已知恒成立，求正数的取值范围_____． 【变式15-1】（2026·云南大理·二模）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为________． 【变式15-2】（2022·云南·二模）已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________． 【变式15-3】（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数.若不等式对恒成立，则实数的取值范围___________. 重难点16 利用导数证明不等式 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数的单调性、极值、最值加以证明．常用方法如下： 移项构造 差函数法 证明不等式f (x)＞g(x)(或f (x)＜g(x))转化为证明f (x)－g(x)＞0(或f (x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f (x)－g(x) 分拆构造 双函数法 证明等式f (x)＞g(x)转化为证明＞g(x)max 放缩后构 造函数法 一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1(x＞0)，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln (x＋1)≤x(x＞－1) 【例16】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数，其中a为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，求证：当时，. 【变式16-1】（25-26高二下·江苏·月考）已知 (1)若函数在区间单调递减，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【变式16-2】（25-26高二下·重庆·月考）已知 (1)若存在极值点，求的取值范围 (2)若时，对均有成立，求实数的取值范围． (3)设，证明：． 【变式16-3】（2026·广东广州·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有且仅有1个零点，求的值； (3)若存在，使得对任意恒成立，证明：． 重难点17 利用导数解决恒(能)成立问题 利用导数解决恒(能)成立问题的思路：①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；④换元分离，简化运算．在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”．依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界． 【例17】（25-26高二下·广东汕头·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求的最大值． 【变式17-1】（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)若，求的取值范围． 【变式17-2】（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数. (1)若为中心对称图形，求a的值以及对称中心坐标； (2)当时，，求a的取值范围. 【变式17-3】（25-26高二下·重庆·月考）已知函数. (1)若，求的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 重难点18 利用导数解决函数的零点问题 利用导数解决函数的零点问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．求解此类问题的常用方法：数形结合法、零点存在定理． 1.含参数的函数的零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，则可将参数分离出来后，用x表示含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数，即转化为一条直线(平行于x轴)与一个复杂函数图象交点个数问题． 【例18】（25-26高二下·海南省直辖县级单位·月考）已知函数． (1)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围. 【变式18-1】（25-26高二下·四川遂宁·月考）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 【变式18-2】（25-26高二下·重庆·月考）已知函数（）． (1)讨论函数在上的单调性； (2)当时，函数在有且仅有一个零点，求的取值范围． 【变式18-3】（25-26高二下·河北邢台·月考）已知函数 (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)讨论函数的零点个数. 重难点19 隐零点问题 函数零点存在但不可求时，常虚设零点，利用零点存在定理估计所设零点所在的一个小范围(区间长度小于1个单位长度)，然后利用零点所满足的关系进行代换化简． 【例19】（江苏苏州市吴中区甪直高级中学、昆山市蓬朗高级中学2025-2026学年下学期第一次模块检测联合考试高二数学试题）已知函数，． (1)若，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 【变式19-1】（2026·重庆·二模）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 【变式19-2】（2026·广东湛江·二模）已知函数（），. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，对任意，都有； (3)若方程没有实根，求整数的最小值. 【变式19-3】（25-26高二下·陕西商洛·月考）已知定义在上的函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求整数的最大值. 重难点20 极值点偏移问题 极值点偏移的判定定理 对于可导函数y＝f (x)在区间(a，b)上只有一个极大(小)值点x0，方程f (x)＝0的解分别为x1，x2，且a＜x1＜x2＜b． (1)若0＝f (x1)＜f (2x0－x2)，则＜(＞)x0，即函数y＝f (x)在区间(x1，x2)上的极大(小)值点x0右(左)偏； (2)若0＝f (x1)＞f (2x0－x2)，则＞(＜)x0，即函数y＝f (x)在区间(x1，x2)上的极大(小)值点x0左(右)偏． 【思维突破妙招】　证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法： (1)证明x1＋x2＜2a(或x1＋x2＞2a)： ①构造函数g(x)＝f (x)－f (2a－x)，求导，确定函数y＝f (x)和函数y＝g(x)的单调性； ②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f (x1)＝f (x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f (x1)－f (2a－x1)＝f (x2)－f (2a－x1)与零的大小关系； ③由函数y＝f (x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与2a－x1的大小关系，从而证明相应问题． (2)证明x1x2＜a2(或x1x2＞a2)(x1，x2都为正数)： ①构造函数g(x)＝f (x)－f，求导，确定函数y＝f (x)和函数y＝g(x)的单调性； ②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f (x1)＝f (x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f (x1)－f＝f (x2)－f与零的大小关系； ③由函数y＝f (x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与的大小关系，从而证明相应问题． (3)应用对数平均不等式＜＜证明极值点偏移： ①由题中等式产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题． 【例20】（25-26高二下·重庆·月考）已知函数，． (1)若过原点的直线与曲线相切于点，证明：为定值； (2)已知恰有两个零点，，恰有两个零点，，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【变式20-1】（25-26高二下·山西太原·月考）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中，称为在上的中值点． (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，，存在，使得，且是上的“双中值函数”，，是在上的中值点． ①求的取值范围； ②证明： 【变式20-2】（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数 (1)若有两个零点，求实数的取值范围； (2)若且，证明：； (3)若且，证明：. 【变式20-3】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 导数 知识点一、导数的概念及运算 1．导数的概念 (1)函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率称为y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或y′|，即f ′(x0)＝＝． (2)函数y＝f (x)的导函数(简称导数) f ′(x)＝y′＝． 2．导数的几何意义 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)． 提醒：在点P处有切线，P一定是切点，过点P有切线，P点不一定是切点． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝αxα-1 f (x)＝sin x f ′(x)＝cos x f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin x f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝axln a f (x)＝ex f ′(x)＝ex f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ f (x)＝ln x f ′(x)＝ 4．导数的运算法则 若f ′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)； (2)[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[cf (x)]′＝cf ′(x)． 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 知识点二、导数与函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)内可导 f ′(x)>0 f (x)在区间(a，b)上单调递增 f ′(x)<0 f (x)在区间(a，b)上单调递减 f ′(x)＝0 f (x)在区间(a，b)上是常数函数 2．利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f ′(x)的零点； 第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性． 注1．若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f ′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f ′(x)≤0恒成立． 2．若函数f (x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)<0有解． 3．f ′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f (x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f (x)＝x3在R上单调递增，但f ′(0)＝0． 知识点三、导数与函数的极值、最值 1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0．则a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0．则b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 提醒：①对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．例如：f (x)＝x3，f ′(x)＝3x2，当x0＝0时，f ′(x0)＝0，但x0＝0不是f (x)的极值点；②区分极值与极值点． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f (x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 提醒：1．若函数f (x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． 2．单调函数无极值，区间端点一定不是极值点． 【易错点】01 混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线” 辨析：1.在点P处的切线：P一定是切点，直接用f ′(x0)求斜率。 2.过点P的切线：P不一定是切点，需设切点，列方程求解。 【典例1】（25-26高二下·吉林长春·期中）已知曲线，则在点的切线方程为________． 【答案】 【详解】，故， 又，所以曲线在点的切线方程为， 即. 【典例2】（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________． 【答案】或 【详解】函数的定义域为，. 设曲线经过点的切线的切点为，则. 所以，即， 整理得.解得或. 当时，切点为，切线斜率为， 此时切线方程为，即； 当时，切点为，切线斜率为， 此时切线方程为，即. 所以曲线经过点的切线方程为或. 【易错点】02 单调性与导数的充分必要条件混淆 辨析：认为f ′(x)>0是函数单调递增的充要条件，忽略等号。 1.充分不必要：f ′(x)>0→单调递增； 2.充要条件：单调递增→且不恒为0（如，仍递增）。 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）若函数在单调递减，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出定义域，求出，求出的单调递减区间，列关于的不等式即可求解. 【详解】的定义域为， ， 令，即， 解得，即的单调递减区间为， 因为在单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 【典例2】（24-25高二下·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】求得导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，求得的取值范围. 【详解】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为：. 【易错点】03 极值点与f ′(x0)＝0的逻辑关系混淆 辨析：认为f ′(x0)＝0就一定是极值点，忽略左右导数符号判断。 1.f ′(x0)＝0是极值点的必要不充分条件； 2.极值点需满足：f ′(x0)＝0且左右导数异号。 【典例1】（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数在处取极值，且，则的值为____. 【答案】 【分析】根据题意得出，求出、的值，再结合函数极值点的定义进行检验，即可得出的值. 【详解】因为，所以， 因为函数在处取极值，且， 所以，解得或， 当，时，，，此时函数有极值点； 当，时，，此时函数在上为增函数，无极值点. 所以，，故. 【典例2】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）函数在时有极小值，那么的值为____. 【答案】30或6 【分析】由在时有极小值，可得，据此可得或，经验证后，可得答案. 【详解】，， 由题，又， 则 则或. 当，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则； 当，，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则. 故答案为：或. 重难点01 变化率问题 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系 平均变化率＝，如果当Δx趋于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数就是函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率．求函数的瞬时变化率可以利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解． 【例1】（25-26高二下·甘肃平凉·月考）函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的计算公式求得正确答案. 【详解】函数在区间上的平均变化率是. 【变式1-1】（25-26高二下·江苏扬州·月考）若函数在区间上的平均变化率为，则等于___________. 【答案】 【分析】根据函数的平均变化率的公式，求解即可. 【详解】在区间上的平均变化率为 ，故 【变式1-2】（江苏苏州市吴中区甪直高级中学、昆山市蓬朗高级中学2025-2026学年下学期第一次模块检测联合考试高二数学试题）已知在h时刻，原油的温度（单位：℃）为．则在时刻，原油温度的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以， 所以在第时，原油温度的瞬时变化率为. 【变式1-3】（25-26高二下·河北保定·月考）若 则 在处的瞬时变化率为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】 ， 将代入导函数得 ， 因此在处的瞬时变化率为. 重难点02 导数的运算 导数的运算方法 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 【例2】【多选】（25-26高二下·吉林长春·期中）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据常用函数的求导公式结合求导法则即可求解. 【详解】A选项，，所以A选项错误； B选项, ，所以B选项正确； C选项, ，所以C选项正确; D选项,，所以D选项错误; 【变式2-1】（21-22高二下·上海长宁·期末）函数，则__________. 【答案】0 【详解】，令得，解得， 则，故. 【变式2-2】（25-26高二下·江苏苏州·期中）函数的导数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 所以. 【变式2-3】【多选】（25-26高二下·重庆·月考）下列函数的导函数正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 重难点03 导数的几何意义 导数几何意义的应用要点 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)函数f (x)过某点(m，n)有若干条切线，转化为关于切点的方程(高次)根的个数问题． 【例3】（25-26高二下·上海·月考）已知曲线在处的切线的斜率为__________. 【答案】3 【详解】对 求导得. 代入 得 因此,切线的斜率为3. 【变式3-1】（2026·湖北黄冈·一模）设函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【详解】因为，所以. 求导得，有， 曲线在点处的切线方程为， 即. 【变式3-2】（25-26高二下·重庆·月考）过点且与曲线相切的直线方程为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】方法1：因为直线与曲线不相切. 设切线方程为. 代入得，整理得：. 由. 所以所求切线方程为：，即. 方法2：因为，所以点在曲线上. 由，所以，即在点处的切线斜率为2. 所以所求切线方程为：，即. 【变式3-3】（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对曲线求导，结合已知求切点横坐标，进而得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值． 【详解】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以， 所以切点的横坐标，将其代入直线方程和曲线方程，则有，即， 又，所以， 即，当且仅当时取等号，所以的最小值为2． 重难点04 两曲线的公切线问题 曲线公切线的求解策略 设直线与曲线y＝f (x)相切于点(x1，f (x1))，与曲线y＝g(x)相切于点(x2，g(x2))，则切线方程为y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)，即y＝f ′(x1)x＋f (x1)－f ′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2． 所以解出x1，x2，从而可得公切线方程． 【例4】（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【答案】/ 【分析】先分别设切点求导数得出切线斜率进而得出切线方程，由题意对照直线方程分别求出即得. 【详解】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故  ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 . 【变式4-1】（25-26高二下·重庆·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______． 【答案】或0 【详解】设，切点为， 可知，则切线方程为，化简得， 设，切点为， 可知，则切线方程为，化简得， 当两条切线为同一直线时， 由可得，代入上式得，化简得， 解得或，由，可知或0. 【变式4-2】（吉林省G35 联合体2026届高三下学期二模数学试题）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 【答案】或 【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以，又由，所以， 设公共点为， 所以，由，即，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得. 【变式4-3】（2026·青海西宁·二模）若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据导函数的几何意义分析可得，构建，利用导数求单调性及最值. 【详解】设公切线为，是与的切点，是与的切点， ，，所以的方程为， 因为，整理得， 同理，因为，整理得． 依题意两条直线重合，可得，两式相除得， 所以，代入①得 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则或． 当时，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 所以有极小值为，有极大值为， 当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 所以当，即时， 直线与曲线有三个交点，故的取值范围为． 重难点05 导函数与原函数的性质关系问题 1．导函数与原函数对称性、周期性的关系 性质1：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于直线x＝a对称⇔导函数f ′(x)的图象关于点(a，0)对称． 性质2：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于点(a，f (a))对称⇔导函数f ′(x)的图象关于直线x＝a对称． 性质3：f (x)的图象是周期为T的周期函数⇔f ′(x)的图象是周期为T的周期函数． 2．导函数与原函数奇偶性的关系 性质1：若f (x)为偶函数且可导，则f ′(x)为奇函数． 性质2：若f (x)为奇函数且可导，则f ′(x)为偶函数． 【例5】【多选】（2024·辽宁大连·一模）已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（    ） A．是奇函数 B．是减函数 C． D．是的极小值点 【答案】ACD 【分析】对于A：利用赋值法，令求出，令可确定奇偶性，对于BCD：将当作常数，作为变量，对原式求导，然后可通过赋值可得，结合导数判断的单调性及极值. 【详解】对于选项A：令，可得，解得； 令，可得， 且函数的定义域为，所以是奇函数，故A正确； 对于选项B：因为， 可得， 令，可得； 又因为，则，可得， 且，可得， 即，所以，故C正确； 对于选项D：因为， 令，解得或；令，解得； 可知在和上为增函数，在上为减函数， 所以是的极小值点，故B错误，D正确. 故选：ACD. 【变式5-1】【多选】（2024·贵州·模拟预测）已知函数的导函数为，与的定义域都是R，且满足，，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．为周期函数 C． D．是偶函数 【答案】ABD 【分析】本题根据题目所给的抽象函数条件式，先确定为奇函数，根据原函数与导函数的奇偶关系确定为偶函数，确定为偶函数，再根据函数对称中心的表达式确定的对称中心，再根据对称中心、对称轴与周期的关系确定的周期，从而解决各个问题. 【详解】对于AB，，为奇函数，为偶函数； ，，故 ，关于中心对称，且 又关于y轴对称，故，, 所以，故， 的周期为，故的周期为，A，B正确. 对于D，对两边同时求导得，， 即，的对称轴为直线， 故为偶函数，故D正确. 对于C，关于中心对称， 所以， ， C错误. 故选：ABD. 【变式5-2】【多选】（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】法一、利用赋值法结合抽象函数的奇偶性、对称性、周期性可判定A、B、C选项，利用C的结论可判定D项；法二、构造函数，利用正、余弦函数的性质一一判定选项即可. 【详解】法一、由题意可知为上奇函数，即， 令 或0（舍去），故A错误； 令， 故B正确； 由条件可知，， 则有， 所以，则，故C正确； 由C：，即的一个周期为， 所以，故D错误. 法二、由题意可设，则，显然符合条件， 对于A项，，故A错误； 对于B项，，故B正确； 对于C项，，故C正确； 对于D项，，所以， 故D错误. 故选：BC 【点睛】思路点睛：抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，通过令及构造并判定其是否相等可分别判定A、B、C选项，另外结合函数的奇偶性与其导函数奇偶性的关系可得出最终结果；还可以通过观察条件构造合适的基础函数能更快捷的得出结果. 【变式5-3】【多选】（23-24高三上·江西·期中）已知函数的定义域为是奇函数，分别是函数的导函数，在上单调递减，则（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ACD 【分析】根据的奇函数性质，得出解析式并求导即得A项正确,结合解析式，求导后比较两式即得B项错误， 运用函数的轴对称特征式计算即得C项正确，构造函数，利用函数的单调性和对称性即得D项正确. 【详解】对于A选项，因是奇函数，故有则，故A项正确； 对于B选项，因故，从而 ，而，则，故B项错误； 对于C选项，因，故的图象关于直线对称，故C项正确； 对于D选项，因的图象关于直线对称，故 设则又设 则有从而在上递增，则即在上递增，， 故有恒成立，则， 又因在上单调递减，则在上单调递增，又， 故即：故D项正确. 故选：ACD. 重难点06 不含参数的函数的单调性 利用导函数求函数单调区间的注意点 (1)先求函数定义域，单调区间是定义域的子集． (2)正确求导函数． (3)当f ′(x)＝0无解时，可根据f ′(x)的结构特征确定f ′(x)的符号． (4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”“或”连接，要用“，”“和”隔开． 【例6】（24-25高二下·天津·月考）若函数，则的单调递减区间为________． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的单调递减区间即可. 【详解】函数，定义域为， 求导得， 令，则，解得， 又，则， 所以的单调递减区间为. 【变式6-1】（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【答案】 【详解】由题意得， 因，则， 由 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即. 故在上单调递减的区间为． 【变式6-2】（25-26高二下·上海·月考）已知函数，则的单调减区间是__________. 【答案】 【详解】定义域为，， 令，解得：， 的单调减区间是. 【变式6-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为______. 【答案】 【详解】，. 由得，，即. 的单调递增区间为. 故答案为： 【例6】（24-25高二下·天津·月考）若函数，则的单调递减区间为________． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的单调递减区间即可. 【详解】函数，定义域为， 求导得， 令，则，解得， 又，则， 所以的单调递减区间为. 【变式6-1】（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【答案】 【详解】由题意得， 因，则， 由 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即. 故在上单调递减的区间为． 【变式6-2】（25-26高二下·上海·月考）已知函数，则的单调减区间是__________. 【答案】 【详解】定义域为，， 令，解得：， 的单调减区间是. 【变式6-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为______. 【答案】 【详解】，. 由得，，即. 的单调递增区间为. 故答案为： 重难点07 含参数的函数的单调性 　(1)对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个： 分类讨论点1(根的有无讨论)：求导后，考虑f ′(x)＝0是否有实数根，从而引起分类讨论； 分类讨论点2(根在不在定义域内讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，但不清楚f ′(x)＝0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论； 分类讨论点3(根的大小的讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，f ′(x)＝0的实数根也落在定义域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论． (2)求出f ′(x)后，先观察f ′(x)的解析式的特征(当参数取某些特殊值或在某一范围内时，f ′(x)≥0(≤0)恒成立)，再解不等式． 【例7】（2026·江苏·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【答案】(1)①当时，，则在上单调递增; ②当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)证明见解析 【分析】第1问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第2问将要证明曲线在直线的下方，转化为函数不等式问题即可， 【详解】（1）（1）因为的定义域为， 的导函数. ①当时，，则在上单调递增. ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减. （2）（2）因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为，所以的方程为. 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：. 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，， 所以原命题得证. 【变式7-1】（25-26高二下·山东泰安·月考）已知函数，是两个不同的正数，且满足. (1)讨论的单调性； (2)若函数在闭区间上的最大值为0，求的值； (3)当时，证明：. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减. (2) (3)证明见解析 【分析】1（1）利用导数讨论函数单调性即可； （2）分、、三种情况，根据单调性得到最大值，再求即可； （3）【法1】根据题意转化为证，再构造函数，利用导数证明恒成立即可；【法2】由题知，是两根，即，是两根，根据极值点偏移构造，即可． 【详解】（1）解：函数的定义域为，， 由，可得，由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1），当时，，在上单调递增， ，∴； 当时，，在上单调递减，，与前提矛盾，舍去； 当时，在上单调递增，在上单调递减，，不合题意； 综上，； （3）【法1】由（1），令，，当时，由，得，整理可得， ，，∴. 要证明，只需证明， 即证， 即证，即，两边取自然对数，即证， 化简转化为要证， 又，即证， 设，， ， 设，，所以在上单调递增， 所以，即，从而在上单调递增， 所以，故原命题成立. 【法2】 由题意，若记，那么，是两根，，可转化为，是两根， 令，，令，，解，； ，，所以在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，要证，即，只需证， 只需证， 令，， 当时，，， ∴，在上单调递增，，式得证，目标得证． 【变式7-2】（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； (2)证明见解析 【分析】（1）求导函数，按照和分类讨论，利用导函数的正负情况即可得解； （2）结合（1）得到的最大值，即证，然后构造函数，利用导数法证明即可. 【详解】（1）由题函数定义域为，， 则当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 所以时单调递增，时单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，由（1）可知有最大值为， 故要证，只需证，即证， 设，则， 所以时单调递增，时单调递减； 所以对任意恒成立，因为， 所以，故原不等式得证. 【变式7-3】（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导数，再按，，，分类求出函数的单调区间； （2）由（1）的信息，求出函数的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 依题意，，即恒成立， 令函数，求导得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即，因此，即 所以实数的最小值. 重难点08 函数单调性的应用--比较大小或解不等式 灵活构造函数，利用函数单调性比较大小或解抽象不等式． 【例8】（25-26高二下·山东泰安·月考）已知，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且等号仅在 时成立， 所以在上严格单调递增， 由可得，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式8-1】（25-26高二下·江苏南京·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过构造函数，将、、转化为函数值，对函数求导确定其在时单调递减，再根据自变量大小比较函数值大小. 【详解】由题意设函数， 则，，， 又因为（）， 令，得， 所以当时，，单调递减， 又因为，且都在递减区间， 所以，即. 【变式8-2】（25-26高二下·河北邢台·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据导数与单调性关系即可证出，再根据对数函数单调性得到，即可得证. 【详解】令，则，而， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故在上恒成立，即， 令，则，故，． 综上，． 【变式8-3】（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对 化简：. 求导：. 令，得； 时，此时单调递减； 时，此时单调递增， ， ， 显然， 故的图象关于直线对称, 且在上单调递减，上单调递增. 所以等价于， 平方得， 整理得，解得. 重难点09 求参数的取值范围 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)f (x)在区间(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f ′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 【例9】（25-26高二下·海南省直辖县级单位·月考）已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于命题，将问题转化为在上恒成立，求出的范围，结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】在上单调递增 在上恒成立. 即在上恒成立， 所以：. 又是的充分不必要条件，所以集合是集合的子集，即. 【变式9-1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）若函数是区间上的单调函数，则实数m的值一定不是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接求出的单调区间，根据条件得或或，求出的取值范围，即可求解. 【详解】因为，由，得到， 由，得到或， 所以的增区间为，减区间为，，又在区间上单调， 则或或，解得或，结合选项知，实数m的值一定不是. 【变式9-2】（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用命题的否定，变成恒成立问题，分离参数构造新函数，求解最值即可，最后再求其补集. 【详解】考虑问题的否定，函数在上不存在单调递增区间， 则对于，恒成立， 分离参数得在上恒成立，则. 令，求导得， 当，，单调递增， 所以，所以 所以原命题成立的条件为 【变式9-3】（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次求导法，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 重难点10 根据函数的图象判断函数的极值 1.根据原函数图象判断极值的解题策略 先在原函数图象上寻找峰顶、谷底或导数不存在的尖点，这些是候选极值点；再观察每个点左右两侧的单调性：若左边递增、右边递减，则为极大值点；若左边递减、右边递增，则为极小值点；若两侧单调性不变，则该点不是极值点，判断时只关注局部升降变化，不与整体最值混淆。 2.根据导函数图象判断极值的解题策略 先找出导函数图象与x轴的交点及导数不存在的点，这些是临界点；再看临界点左右两侧导函数的符号：若左正右负，则原函数在该点取极大值；若左负右正，则原函数在该点取极小值；若两侧符号相同，则该点无极值。 【例10】（2026·安徽马鞍山·一模）函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象确定的变号零点个数即可. 【详解】函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为， 当时，；当时，；当时，， 当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，所以极值点个数为2. 故选：B 【变式10-1】（24-25高三上·贵州遵义·月考）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】D 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可知：当时，； 当时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值.故ABC错误，D正确. 故选：D 【变式10-2】（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数的图象如图所示，则（   ）． A．0 B．l C．2 D． 【答案】D 【分析】根据给定函数及图象，求出解析式，利用导数求出其极值点即可. 【详解】由图象知，是函数的3个零点，则， 求导得，是函数的两个极值点，即为函数的两个变号零点， 而，所以. 故选：D 【变式10-3】（25-26高三上·湖南常德·开学考试）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的一个零点 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．函数在区间上单调递增 【答案】D 【分析】由图可知为导函数的图象，导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可. 【详解】根据导函数的图像可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 可知是函数的极值点，不足以说明是函数零点. 因为函数在上单调递增，可知不是函数的极小值点，也不是函数的极大值点， 所以ABC不正确，故D正确. 故选：D. 重难点11 已知函数的极值(点)求参数 根据函数极值情况求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性．不满足题意可能有两种情况：一是函数在定义域内单调，二是函数在极值点左、右两侧的单调性相反，即极值相反． 【例11】（25-26高二下·吉林长春·期中）若函数没有极值，则实数的取值范围是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数解析式，根据导数与极值的关系，对讨论求解即可． 【详解】. 函数没有极值，等价于其导函数的符号不发生改变. 因为是开口向上的抛物线，所以， 解得， 即当时，，在上单调递增，满足条件. 综上，函数没有极值时实数的取值范围为. 【变式11-1】（25-26高二下·河北张家口·月考）若函数在处有极值，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 因为函数在处有极值，所以，解得. 此时当时，；当时，. 所以在上单调递增，在单调递减. 所以是函数的极大值点.故满足题意. 所以的单调递增区间是． 【变式11-2】（25-26高三下·辽宁·月考）若是函数的极大值点，则的极小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】由题意可知，， 由，解得. 当时，， 或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 显然是的极小值点，不符合题意； 当时，，同理可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意， 故是的极小值点，则的极小值为. 【变式11-3】（25-26高二下·重庆·月考）已知函数（）有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，因为（）有两个极值点， 所以在R上有两个不同的实根， 所以或， 即. 重难点12 利用导数研究函数的最值 求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 【例12】（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究单调性，进而求极大值，比较函数值大小即可求解. 【详解】由题意得，，令，得，解得或， 由，有，解得或， 由，有，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为， ，，因为， 所以的最大值为. 【变式12-1】（25-26高二下·江苏苏州·月考）设函数，若，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．e 【答案】A 【分析】根据恒成立得出条件等式，构造函数，利用导数即可求解. 【详解】当时，，此时要使，还需恒成立，即还需， 当时，，此时要使，还需恒成立，即还需， 综上，，即. 所以，又，则， 令，则， 当时，，即单调递减；当时，，即单调递增； 所以，故的最小值为1. 【变式12-2】（25-26高二下·山东泰安·月考）已知函数，若且，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】令，由已知得，， ∴，令，， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴. 【变式12-3】（25-26高二下·安徽马鞍山·月考）若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，令，得到，得出在上单调递减，根据题意，转化为在存在零点，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得，其中， 令，可得， 所以在上为单调递减函数， 要使得函数在上有最大值，则函数在上有极大值， 则存在，使得在上单调递增，在上单调递减， 即有零点，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 重难点13 导数型构造函数 (1)出现xf ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝． (2)出现nf (x)＋xf ′(x)形式，构造函数F (x)＝xnf (x)． (3)出现f ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝． (4)出现f ′(x)＋nf (x)形式，构造函数F (x)＝enxf (x)． (5)与sin x，cos x有关的导函数存在一定的特殊性，其常见考查形式如下： F (x)＝f (x)sin x，F ′(x)＝f ′(x)sin x＋f (x)cos x； F (x)＝，F ′(x)＝； F (x)＝f (x)cosx，F ′(x)＝f ′(x)cos x－f (x)sin x； F (x)＝，F ′(x)＝． 【例13】（25-26高二下·河北邢台·月考）记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，结合能成立求出范围. 【详解】令，则，单调递减， 由，可得，， 即， 所以当时，有解，即有解，所以， 故的取值范围为． 【变式13-1】（25-26高二下·河北邢台·月考）已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，所以在上单调递增，则，即，所以. 【变式13-2】（10-11高三·湖北荆州·月考）是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，，若，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数确定函数的单调性，进而比较大小. 【详解】令，则， 又，，所以，函数在上单调递减， 由，得，即，所以. 【变式13-3】（25-26高二下·湖南岳阳·开学考试）定义在R上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意构造函数，由推得在上单调递增，由条件推得为周期为的周期函数，根据得到，将待求不等式化成，再利用函数单调性即可求解. 【详解】令，可得，所以在上单调递增， 由可得，所以是以为一个周期的周期函数， 则，所以， 则不等式，即为，即， 又因为在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为． 重难点14 依据数值特征构造具体函数 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为所构函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小． 【例14】（25-26高二下·安徽合肥·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察值之间的关系，可作差构造函数，通过求导分析函数单调性，确定大小关系. 【详解】设（）， 则，在上单调递增， 所以， 当时，，取，得，即； 设（）， 则，在上单调递减， 所以， 所以当时，， 取，得，即. 故. 【变式14-1】（25-26高二下·江苏常州·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，利用导数分析其单调性，结合单调性比较大小即可. 【详解】令，，则，，， 因为， 可知在内单调递减，且， 则，所以. 【变式14-2】（2026·河南·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可构造函数，利用导数求得单调性，取，得到大小关系；再根据对数函数单调性和临界值得到大小关系即可. 【详解】设，则， 在上单调递减，，， 在上单调递减，，，； ，，； 综上所述：. 【变式14-3】（25-26高二下·山东青岛·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造且，并应用导数得到，结合即可得. 【详解】令且，则， 所以在上单调递减，则， 即， 由于， 且， 所以， 所以. 重难点15 同构函数 1.地位同等同构策略 对于含有地位同等的两个变量x1，x2(或x，y，或a，b)的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数的单调性解决．常见的同构类型有： 原式 转化 构造函数 ＞k(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＜kx1－kx2 构造y＝f (x)－kx，为增函数 ＜(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＞ 构造y＝f (x)＋，为减函数 2.指对同构 （1）指对同构的本质：指、幂、对三种函数的互相转化，即alogax＝x＝logaax(a＞0且a≠1)． （2）三种基本模式： ①积型： aea≤b ln b 说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知． ②商型： < ③和差型： ea±a>b±ln b 如：eax＋ax＞ln (x＋1)＋x＋1⇔eax＋ax＞eln (x+1)＋ln (x＋1)⇔ax＞ln (x＋1)． 特别地，若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘x，同加上x等，再用上述方式变形．常见的有： ①aeax>ln x⇒axeax>x ln x； ②ex>a ln (ax－a)－a⇒ex>ln [a(x－1)]－1⇒ex－ln a－ln a>ln (x－1)－1 ⇒ex－ln a＋x－ln a>ln (x－1)＋x－1＝eln (x-1)＋ln (x－1)； ③ax>logax⇒ex ln a>⇒(x ln a)ex ln a>x ln x． 【例15】（2025·陕西·模拟预测）已知恒成立，求正数的取值范围_____． 【答案】 【分析】当时，条件显然成立，所以只需处理的情况即可，此时 ，令， 求导，利用函数的单调性转换求解即可. 【详解】， 又，所以， 当时，上式显然成立， 所以只需处理的情况即可，此时 ， 令， 恒成立，所以严格递增， 在恒成立即可， 令，则， 令， 当时，，严格增， 当时，，严格减， 所以，所以， 故答案为：. 【变式15-1】（2026·云南大理·二模）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将问题转化为恒成立，根据的单调性得出，再利用导函数求出的最小值即可. 【详解】， 因为，所以，所以， 即恒成立， 令，因为在上单调递增，所以，故， 即在时恒成立即可， 设，，则，， 由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增，则，所以， 又，所以a的取值范围为． 故答案为： 【变式15-2】（2022·云南·二模）已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先讨论时，不等式成立；时，不等式变形为，构造函数，由单调性得到，参变分离后构造函数， 求出最大值即可求解. 【详解】当时，，显然成立，符合题意； 当时，由，，可得，即，， 令，，在上单增，又，故， 即，即，，即使成立，令，则， 当时，单增，当时，单减，故，故； 综上：. 故答案为：. 【点睛】本题关键点在于当时，将不等式变形为，构造函数，借助其单调性得到，再参变分离构造函数，求出其最大值，即可求解. 【变式15-3】（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数.若不等式对恒成立，则实数的取值范围___________. 【答案】 【分析】设，，转化问题为，利用导数分析函数的单调性，进而可得，令，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，，， 得，则， 则，即， 设，，即，① 因为， 所以当时，，则在上单调递减， 当 时，，则在上单调递增. 因为，所以， 当时，，且在上单调递减， 则①式等价于，则，即， 令，则， 当时，，则在上单调递减， 当 时，，则在上单调递增， 所以，则，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 重难点16 利用导数证明不等式 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数的单调性、极值、最值加以证明．常用方法如下： 移项构造 差函数法 证明不等式f (x)＞g(x)(或f (x)＜g(x))转化为证明f (x)－g(x)＞0(或f (x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f (x)－g(x) 分拆构造 双函数法 证明等式f (x)＞g(x)转化为证明＞g(x)max 放缩后构 造函数法 一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1(x＞0)，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln (x＋1)≤x(x＞－1) 【例16】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数，其中a为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，求证：当时，. 【答案】(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求导，根据导数的符号判断函数的单调区间； （2）根据题意分析可知，利用导数分析可知在内单调递减，结合恒成立问题运算求解即可； （3）令，利用导数分析的单调性可得，结合，可得，即可得结果. 【详解】（1）当时，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）因为， 若，当趋近于时，趋近于，不合题意，所以， 因为， 且，则，，则， 可知在内单调递减，则， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. （3）令， 则， 因为，，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 因为，则，可得， 即，所以当时，. 【变式16-1】（25-26高二下·江苏·月考）已知 (1)若函数在区间单调递减，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件求解作答. （2）（i）求出函数的导数，根据函数有两个不同的极值点，列不等式求解即可. （ii）根据给定条件，求出a的取值范围，将用a表示出，再构造函数并借助导数推理作答. 【详解】（1）函数的定义域为，. 因为函数在区间单调递减，所以. 则，化简得. 解得. （2）（i）由题意，的定义域为，， 因为有两个极值点， 所以方程即在上有两不等实根， 即函数在上有两不同零点， 因此只需，解得，即实数的取值范围是； （ii）由（i）知，，，， 所以 ， 因此要证，即证， 即证， 构造函数，， 则， 又在上显然恒成立， 所以在上单调递减， 又，， 由函数零点存在性定理可得，，使得，即，即； 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以， 又在上显然单调递增， 所以， 所以，即， 故. 【变式16-2】（25-26高二下·重庆·月考）已知 (1)若存在极值点，求的取值范围 (2)若时，对均有成立，求实数的取值范围． (3)设，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见详解. 【分析】（1）转化为导函数有变号零点，利用判别式求解即可； （2）参变分离，构造函数，利用四阶导数逐层讨论即可求出的最值，进而可得的范围； （3）根据函数的单调性得，然后令，结合等比数列求和公式即可得证. 【详解】（1）， 因为存在极值点，所以存在变号零点， 所以，解得或， 所以的取值范围为. （2）因为，所以， 记，则， 因为， 所以为偶函数，记， 则，记， 则，记， 则，所以为增函数， 所以， 所以为减函数， 所以， 所以为减函数， 故，即当时 因为为偶函数，所以在上单调递增，此时， 综上，当时，，单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为 （3）由（2）知，，即，当且仅当时等号成立， 令，因为，所以， 所以， 因为 ， 所以，证毕. 【变式16-3】（2026·广东广州·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有且仅有1个零点，求的值； (3)若存在，使得对任意恒成立，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间为 ，单调递减区间为. (2) (3)证明见解析； 【分析】（1）先求定义域，再对函数求导，利用导数即可得到单调区间； （2）由有且仅有1个零点，分离参数得到有且仅有1个解，令， 利用导数得到的单调性和最小值，所以. （3）由对任意恒成立，得到，则只需证明即可，利用导数得到最大值为.因此，再令，得到 时取得最大值，因此，即，故得证. 【详解】（1）当时，，定义域为， 求导得到， 令，则当时， 所以在内单调递减，且， 即在内单调递减，且， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 综上所述，单调递增区间为 ，单调递减区间为. （2）因为有且仅有1个零点， 所以方程有且仅有1个解， 即有且仅有1个解， 令， ， 则， 令，则， 所以在区间 上单调递增， 又因为 ， 所以当 时，，即，单调递减； 当 时，，即，单调递增； 所以函数在处取得极小值也是最小值， 当时，，时，， 因为有且仅有1个解， 所以. （3）因为对任意恒成立， 所以，即， 因此， 要证，只需证明即可， 对函数求导得到， 令，则， 所以在区间单调递减， 即在区间单调递减， 存在唯一极大值点，满足，即， 在内函数单调递增， 内函数单调递减， 所以当时取得极大值也是最大值 . 因此， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在时取得最大值， 因此， 所以，所以， 故得证. 重难点17 利用导数解决恒(能)成立问题 利用导数解决恒(能)成立问题的思路：①构造函数，分类讨论；②部分分离，化为切线；③完全分离，函数最值；④换元分离，简化运算．在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”．依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界． 【例17】（25-26高二下·广东汕头·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）依题意将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围. 【详解】（1）当时，， 则，得，又， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）若恒成立， 即恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为，由和，解得. 综上可得，的最大值为. 【变式17-1】（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）当时, 由，得 令，得，令，得; 令，得， 所以在处取得极小值，也是最小值，； （2）若，则, 由，得, 令，得，令，得， 所以在上递减，在上递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 即，解得， 所以的取值范围. 【变式17-2】（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数. (1)若为中心对称图形，求a的值以及对称中心坐标； (2)当时，，求a的取值范围. 【答案】(1)，对称中心 (2) 【分析】（1）求出的定义域，根据中心对称性可得对称中心的横坐标必为，结合中心对称的定义求解； （2）分离参数将原不等式转化为，对成立，构造函数，，利用导数证明，即得，得解. 【详解】（1）由，则，即，得或， 所以函数的定义域为， 所以， 若为中心对称图形，其对称中心的横坐标必为，设对称中心为， 则满足， ， 所以，得， 当时，，因此对称中心的坐标为. （2）因为， 所以当时，，即， 因为，所以， 所以不等式等价于，即，对. 令，，则， 令，则， 所以函数在上单调递增，故，即， 所以函数在上单调递增，故，即， 所以，又， 所以，即， 所以. 【变式17-3】（25-26高二下·重庆·月考）已知函数. (1)若，求的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）首先写出的解析式，求出导函数，根据导函数的正负即可得到单调区间； （2）分离参数后可构造函数，问题可转化为恒成立问题. 【详解】（1）当时，，定义域为. ， 令，即，解得（舍去）或； 令，即，结合定义域可解得. 又在处连续，所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），即，整理得，即. 因为，所以. 构造函数，则，. 因为均在上单调递减， 所以是减函数，又的一个零点为1， 所以当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， 所以，所以，即实数a的取值范围是. 重难点18 利用导数解决函数的零点问题 利用导数解决函数的零点问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．求解此类问题的常用方法：数形结合法、零点存在定理． 1.含参数的函数的零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，则可将参数分离出来后，用x表示含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数，即转化为一条直线(平行于x轴)与一个复杂函数图象交点个数问题． 【例18】（25-26高二下·海南省直辖县级单位·月考）已知函数． (1)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数单调性得出导函数，再分离参数结合最值得出参数范围； （2）先求出导函数，再分类得出函数单调性，再结合零点个数列式计算求解. 【详解】（1），则，在上单调递增， 所以在上恒成立，即， 令，则，当时取得最小值，，所以， 即的取值范围是 （2）当时，，则单调递增，不可能有两个零点； 当时，时，；时，， 则在上单调递增，上单调递减， ，解得， 因此可得，此时， 又， 令，则，， 因为时，所以，此时单调递减，， 所以当时，，即， 由零点存在性定理可知在区间和区间内各有一个零点， 所以有两个零点，故． 【变式18-1】（25-26高二下·四川遂宁·月考）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)时，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增 (3) 【分析】（1）根据导函数求解极值即可； （2）根据导函数求解单调性即可； （3）将零点问题等价为有两个不等根，令并进一步求解其单调性、极值，最后再结合函数图像即可求出的取值范围． 【详解】（1）由函数，所以函数的定义域为， ，令得，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时取极小值，无极大值． （2）， 当时，恒成立，故在单调递增； 当时，令得，解得， 故在单调递减，在单调递增； 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增． （3）由题意可得有两个不等根，等价于有两个不等根， 令，则， 令得，得， 故在单调递增，在单调递减， 当时，，当时，，如图所示， 故与要有两个不同交点，则， 解得，故的取值范围为． 【变式18-2】（25-26高二下·重庆·月考）已知函数（）． (1)讨论函数在上的单调性； (2)当时，函数在有且仅有一个零点，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减. (2) 【详解】（1），令，得或， ①若时，，故在上单调递增； ②若时，由可得或，由可得, 故函数在和上单调递增；在上单调递减； ③若时，由可得或，由可得, 故函数在和上单调递增；在上单调递减 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，时，在和上单调递增，上单调递减， 故函数的极大值为， 函数的极小值为， 而，时，， 由题意在有且仅有一个零点，可知有如下两种情况： ①极大值时满足题意，即需使，又，解得； ②极小值时满足题意，，又，解得； 综上所述，a的取值范围为． 【变式18-3】（25-26高二下·河北邢台·月考）已知函数 (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)时，在单调递减，时，在单调递减，在单调递增. (3)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可直接求出切线方程； （2）对函数求导并对参数进行分类讨论，得出导函数符号即可得出函数单调性； （3）根据（2）中的结论求出函数最小值，再利用零点存在性定理即可判断出函数的零点个数. 【详解】（1）当时，，则， 此时，所以切线方程为， 即. （2）的定义域为，， 显然恒成立， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增. （3）（ⅰ）若，由（2）知，在单调递减，又. 取且时，，所以只有一个零点； （ⅱ）若，由（2）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 故时有两个零点； 综上所述：当时，只有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，只有一个零点； 当时，没有零点； 重难点19 隐零点问题 函数零点存在但不可求时，常虚设零点，利用零点存在定理估计所设零点所在的一个小范围(区间长度小于1个单位长度)，然后利用零点所满足的关系进行代换化简． 【例19】（江苏苏州市吴中区甪直高级中学、昆山市蓬朗高级中学2025-2026学年下学期第一次模块检测联合考试高二数学试题）已知函数，． (1)若，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (3)1 【分析】（1）对原函数进行求导，代入求解即可. （2）求出函数的导数，并讨论和两种情况讨论函数的单调性. （3）首先将不等式变形，参变分离为在上恒成立，转化为求函数的最值问题，求解即可. 【详解】（1）已知，则. 因为，则，解得， （2）由（1）知， . 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 设，则. 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以. 故整数的最小值为1. 【变式19-1】（2026·重庆·二模）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数导数，再利用导数研究导函数的极值，判断的符号即可得解； （2）转化为，构造函数，利用导数，分类讨论函数的最大值即可得解. 【详解】（1）的定义域为求导有， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，则有，所以在单调递减； （2）当时，等价于， 即， 令，则， ①若，即，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，即，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以， 令，是减函数， 又，所以，与条件矛盾， 综上，所以． 【变式19-2】（2026·广东湛江·二模）已知函数（），. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，对任意，都有； (3)若方程没有实根，求整数的最小值. 【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）求导后,讨论的取值范围进行求解； （2）转化为，即.设，求导，研究函数的单调性进行求解； （3）方程可化为，所以.记，，对函数求导，由单调性和最值求解． 【详解】（1）解：的定义域为，， 当时，恒成立，在区间上单调递增； 当时，令，得， 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 综上，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）证明：当时，，要证， 即证，即. 设， 则， 令（），则， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减. 故， 所以当时，，当时，， 所以在处取最小值， 故恒成立，原不等式得证. （3）解：方程可化为，所以. 记，，则. 记， 则. 记， 则， 故函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 又，，当时，， 故当时，，即，在区间上单调递减， 由，， 根据零点存在性定理可知存在，使得，即. 且当时，单调递增，当时，单调递减， 故， 且，当时，， 设（），则， 设（），则， 所以， 所以在区间上单调递减， 且，，所以， 所以若没有实数根，则整数的最小值为1. 【变式19-3】（25-26高二下·陕西商洛·月考）已知定义在上的函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数的正负，判断原函数的单调区间，进而可确定其最大值； （2）由题意，可知恒成立，构造函数，通过判断其单调性，求得其最小值即可. 【详解】（1）由已知得， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 所以； （2）由题设知对于任意，恒成立， 即，所以恒成立， 设，则， 令，则， 又，所以恒成立，所以在上单调递增， 又，，所以存在，使得， 即，所以， 所以时，，所以，所以在上单调递减， 所以时，，所以，所以在上单调递增， 则 设，易知在上单调递增， 又，，所以， 所以恒成立， 又，所以整数的最大值为. 重难点20 极值点偏移问题 极值点偏移的判定定理 对于可导函数y＝f (x)在区间(a，b)上只有一个极大(小)值点x0，方程f (x)＝0的解分别为x1，x2，且a＜x1＜x2＜b． (1)若0＝f (x1)＜f (2x0－x2)，则＜(＞)x0，即函数y＝f (x)在区间(x1，x2)上的极大(小)值点x0右(左)偏； (2)若0＝f (x1)＞f (2x0－x2)，则＞(＜)x0，即函数y＝f (x)在区间(x1，x2)上的极大(小)值点x0左(右)偏． 【思维突破妙招】　证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法： (1)证明x1＋x2＜2a(或x1＋x2＞2a)： ①构造函数g(x)＝f (x)－f (2a－x)，求导，确定函数y＝f (x)和函数y＝g(x)的单调性； ②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f (x1)＝f (x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f (x1)－f (2a－x1)＝f (x2)－f (2a－x1)与零的大小关系； ③由函数y＝f (x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与2a－x1的大小关系，从而证明相应问题． (2)证明x1x2＜a2(或x1x2＞a2)(x1，x2都为正数)： ①构造函数g(x)＝f (x)－f，求导，确定函数y＝f (x)和函数y＝g(x)的单调性； ②确定x1，x2满足x1＜a＜x2，且f (x1)＝f (x2)，由函数值g(x1)与g(a)的大小关系，得g(x1)＝f (x1)－f＝f (x2)－f与零的大小关系； ③由函数y＝f (x)在区间(a，＋∞)上的单调性得到x2与的大小关系，从而证明相应问题． (3)应用对数平均不等式＜＜证明极值点偏移： ①由题中等式产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题． 【例20】（25-26高二下·重庆·月考）已知函数，． (1)若过原点的直线与曲线相切于点，证明：为定值； (2)已知恰有两个零点，，恰有两个零点，，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）利用切线过原点可以得到关于的等式，变形即可得到所求式为定值； （2）（i）对构造函数，将零点问题转化为交点问题，通过分析单调性得到有两个交点应满足的条件，对构造函数并进行变量代换，得到与相近的形式从而快速得到结果，综合得到结论； （ii）由（i）中分析可得到，和，的对应关系，并利用基本不等式将所证不等式左边转为关于的单变量函数，再通过放缩将原不等式转为函数值大小的比较，最后构造函数证明并利用单调性证明原不等式. 【详解】（1）因为，所以，， 依题意有在点处的切线过原点，所以， 代入表达式得即， 又，故有即. （2）（i）有两个零点等价于有两个根，设，则， 时，，单调递增；时，，单调递减， 所以时取得最大值，且当时，， 当时，， 有两个根即与有两个交点，则应有即； 有两个零点等价于有两个根，设，则， 令得，采用类似的分析可知时单调递减， 时单调递增，最小值为， 且当时，，当时，， 有两个根即与有两个交点，则应有， 综上所述，的取值范围为； （ii）有两个根等价于有两个根，设， 当时，，由（i）可知有两个根， 因为，所以即有两个根 ，所以， 根据基本不等式有，设， 于是只需证明，设， 则上述不等式可以放缩为， 接下来分析与也即与的关系， 考虑函数， 则， 当，，单调递增，所以， 由（i）可知，所以即， 又因为，所以，由（i）可知在上单调递增， 且，故，得，即， 因为，当时，单调递增， 所以，原不等式得证. 【点睛】对于多变量不等式，应当尽可能将变量组合在一起转为单变量不等式，对于涉及不止一个函数的情况，灵活利用函数间的同构关系可以大大简化分析. 【变式20-1】（25-26高二下·山西太原·月考）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中，称为在上的中值点． (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，，存在，使得，且是上的“双中值函数”，，是在上的中值点． ①求的取值范围； ②证明： 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求出，令，求出，根据定义即可判断； （2）①令，由题意可知存在，使得在上有两个实数解，求导得到的单调性，列不等式组即可求出答案；②不妨设，令，，通过求导证明当时，当时，从而得到，，即可证明. 【详解】（1），， 由，解得，， 因为，， 所以函数不是上的“双中值函数”. （2）①由题意知，， 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得，存在，使得在上有两个实数解， 又因为当，， 故需使，解得， 即的取值范围为； ②不妨设， 令， 设， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时，即在上单调递减， 又，所以当时，当时， 即，， 又因为，所以， 即， 即， 因为，所以. 【变式20-2】（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数 (1)若有两个零点，求实数的取值范围； (2)若且，证明：； (3)若且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由可得，令，令，其中，分析可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的取值范围； （2）令，，先证明出，由已知条件得出，可得，即可证得所证不等式成立； （3）先证明，结合以及所证不等式可证得结论成立. 【详解】（1）由， 可得， 令，其中，则函数，故函数在上为增函数， 所以，故函数的值域为， 令，其中，则， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以， 因为内层函数在上为增函数， 故直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是. （2）令，，因为函数在上为增函数，且，则， 先证明：， 不妨令，则，即证，即证. 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，所以， 即当时，，故. 本题中，因为，，且， 即，即， 故，所以，故， 即. （3）先证明：， 不妨令，则，即证， 即证， 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，故， 即，故，即. 本题中，，所以，即，即. 【变式20-3】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，判断函数的单调性； （2）首先根据函数解析式的形式，将条件变形，将问题转化为证明，其中，根据所设函数，，证明，再结合函数的单调性，即可证明左边，再将右边转化为证明. 【详解】（1）因为，在定义域内单调递增，，得， 且时，当时， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）. 令，，设，则. 故问题等价于证明：. 不妨设，则. 先证明左边：. 证明：设，. 则， 因为，设 于是. 所以在上单调递增，故，从而在上单调递减，所以，即. 又，且，所以. 又因为，，且在上单调递增， 所以，故. 再证明右边不等式：. 证明：有，可得，，所以. 令，，，其中，. 当时，显然有. 下面讨论的情形. 因为，易知当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 记，，则. 记，则 . 记，则 ， 所以在上单调递增，得，所以，故在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，故，得证. 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $