第二十章 第5课时 勾股定理的逆定理及其应用(2)-【金牌导学案】2025-2026学年八年级下册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦勾股定理逆定理的应用，课前预习通过勾股数判断、定理与逆定理区别回顾旧知，课堂讲练以航行方向、三角形证明等问题为支架，衔接勾股定理与逆定理的知识脉络。 其亮点在于分层检测设计，基础题巩固概念，提升题结合口袋公园面积等实际情境，培优题通过旋转法培养创新意识。以数学眼光观察现实问题，用推理思维解决几何证明，助力学生深化理解，教师可精准教学。

 第二十章 金牌导学案 勾股定理 金牌导学案 金牌导学案 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) 2 课堂讲练 1 课前预习 3 分层检测 1.下列各组数能构成直角三角形的是　　　　　（选填序号）. ① 3，4，5　　　　　　 ② 5，6，7　　　　　　 ③ 6，8，10　　　　　　 ④ 5，12，13 2．勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个　　　　　，称为勾股数． 3．求直角三角形某边长度用　　　　　　　；判断某三角形是否为直角三角形用　　　　　　　　　　　． ①③④ 正整数　 勾股定理 勾股定理的逆定理 课前预习 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) 1．【例】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度航行． 已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB＝ 26海里，你能知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 勾股定理逆定理的实际应用 解：由题意，得OB＝5×2＝10，OA＝12×2＝24，AB＝26， ∵OB2＋OA2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676， ∴OB2＋OA2＝AB2.∴∠AOB＝90°. ∵∠BOC＝30°，∴∠AOC＝90°－30°＝60°. ∴乙船是沿南偏西60°方向航行的． 课堂讲练 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) 2.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C，B两岛距离100海 里，求乙船航行的方向． 解：由题意，得AC＝30×2＝60, AB＝40×2＝80， ∴AC2＋AB2＝602＋802＝10 000，BC2＝1002＝10 000. ∴AC2＋AB2＝BC2.∴∠BAC＝90°. ∵∠CAD＝35°，∴∠BAE＝180°－∠BAC－∠CAD＝55°. ∴乙船航行方向是南偏东55°方向． 课堂讲练 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) 3.【例】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CD＝12，AD＝16，BD＝9，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由． 解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°. 在Rt△ACD中，CD＝12，AD＝16， ∴AC2＝CD2＋AD2＝400. 在Rt△BCD中，CD＝12，BD＝9，∴BC2＝CD2＋BD2＝225. ∵AB＝AD＋BD＝25，∴AB2＝625. ∴AC2＋BC2＝625＝AB2.∴△ABC是直角三角形． 课堂讲练 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) 4.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9. （1）求DC和AB的长． 课堂讲练 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) （2）求证：∠ACB＝90°. (2)证明：∵AC＝20，BC＝15，AB＝25， ∴AC2＋BC2＝202＋152＝625，AB2＝252＝625. ∴AC2＋BC2＝AB2. ∴∠ACB＝90°. 课堂讲练 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) 5．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．4，5，6 6．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C的对边长分别是a，b，c，则下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A.a2－b2＝c2 B．∠A＝90°－∠B C．a∶b∶c＝1∶2∶3 D．6∠A＝2∠B＝3∠C D　 C　 分层检测 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) 7．如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿　　　　　　　方向航行． 南偏西40° 分层检测 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) 8．口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形ABCD是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向400 m处，C入口在桂花园B的正东方向300 m处，玫瑰园D与C入口相距1 200 m，玫瑰园D与A 入口相距1 300 m．求某市口袋公园的面积． 分层检测 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) 解：如图，连接AC.由题意，得∠B＝90°， ∴AC2＝AB2＋BC2＝250 000.∴AC＝500. ∵AC2＋CD2＝250 000＋1 2002＝1 690 000， AD2＝1 3002＝1 690 000，AC2＋CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°. ∴口袋公园的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积 ＝ AB·BC＋ AC·CD＝ ×400×300＋ ×500×1 200 ＝360 000(m2). 分层检测 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) 9．【问题背景】 如图1，P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC.若PA＝5，PB＝3，PC＝4，求∠BPC的度数．下面是小英同学的部分解题过程： 解：如图1，把△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A，连接 PP′. 由旋转可得△P′BA≌△PBC， 所以∠BP′A＝∠BPC，∠P′BA＝∠PBC， P′B＝PB＝3，AP′＝PC＝4. …… 分层检测 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) （1）请你帮助小英续写解题过程． 解：(1)由旋转，得∠PBP′＝60°， ∴△PBP′是等边三角形． ∴PP′＝PB＝3，∠PP′B＝60°. ∵PA2＝AP′2＋PP′2， ∴△APP′是直角三角形，且∠AP′P＝90°. ∴∠BPC＝∠BP′A＝90°＋60°＝150°. 分层检测 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) 【解决问题】 （2）如图2，点D是等腰直角三角形ABC内一点，AC＝BC，连接DA，DB，DC，AD＝5，BD＝3，CD＝2 .求∠BDC的度数． (2)如图，将△BCD绕点C顺时针旋转 90° 得到△ACE，连接DE. 由旋转可得AE＝BD＝3，CE＝CD＝2 ， ∠BDC＝∠AEC，∠DCE＝90°， ∴∠CDE＝∠CED＝ ×(180°－∠DCE)＝45°. 分层检测 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) 分层检测 第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2) 感谢聆听 17 $